高中物理圆锥摆模型全透视

(3)小球m在轻杆牵引作用下，若小球在竖直平面内不能做完整的圆周运动，则小球结束圆周运动时受力特点是？
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学习新知一: 圆锥摆
小试锋芒
1．如图所示，质量均为m的a、b两小球用不可伸长的等长轻质细线悬挂起来，使小球a在竖直平面内来回摆动，小球b在水平面内做匀速圆周运动，连接小球b的绳子与竖直方向的夹角和小球a摆动时绳子偏离竖直方向的最大夹角都为θ，则下列说法正确的是（ ）
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4.5 牛顿运动定律的应用—【新教材】人教版（2019）高中物理必修第一册课件(共19张PPT)
4.5 牛顿运动定律的应用—【新教材】人教版（2019）高中物理必修第一册课件(共19张PPT)
C
AC
BC
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学习新知二:圆周运动中的圆锥摆临界问题
A. a绳在竖直方向上的分力与重力相等，可知a绳的张力不可能为零。
D．由于b绳可能没有弹力，故b绳突然被剪断，a绳的芒1,5,112.记得周日收一次改错本
(2)画出小球在最高点时绳上拉力与此时球在最高点速度平方的关系，即 图
(3)小球m在轻绳牵引作用下，若小球在竖直平面内不能做完整的圆周运动，则小球结束圆周运动时受力特点是？
竖直平面内圆周运动杆（不计重力）模型
(1)小球在竖直平面内恰好能做完整的圆周运动，则小球在最高点的受力特点和相应速度大小？
(2)画出小球在最高点时杆上拉力与此时球在最高点速度平方的关系，即 图
专题：圆锥摆及其临界问题
第六章 圆周运动
学习目标：1、理解分析圆锥摆模型。（重点）2、理解分析圆周运动中的圆锥摆临界问题。（重难点）3、学会应用圆周运动解决生活相似问题，体会科学知识的应用价值。
复习竖直平面内圆周运动绳、杆（不计重力）模型

圆锥摆模型全透视一、圆锥摆模型：1．结构特点：一根质量和伸长可以不计的线，系一个可以视为质点的摆球，在水平面内作匀速圆周运动。

2．受力特点：只受两个力：竖直向下的重力mg 和沿摆线方向的拉力F 。

两个力的合力，就是摆球作圆周运动的向心力F n ，如图示。

二、常规讨论：1． 向心力和向心加速度：设摆球的质量为m ，摆线长为l ，与竖直方向的夹角为θ，摆球的线速度为v ，角速度为ω，周期为T ，频率为f 。

nn ma F =，θπθπθωθθsin )2(sin )2(sin sin tan 2222l f m l T m l m l v m mg ====，θπθπθωθθsin )2(sin )2(sin sin tan 2222l f l Tl l v g a n =====2． 摆线的拉力：有两种基本思路：当θ角已知时θcos /mg F =，当θ角未知时l f m l Tm l m F F n 222)2()2(sin /ππωθ==== 3． 周期的计算：设悬点到圆周运动圆心的距离为h ，根据向心力公式有ghg l T πθπ2cos 2==，由此可知高度相同的圆锥摆，周期相同，与θ,,l m 无关。

4．动态分析：当角速度ω增大时，根据θωθsin tan 2R m mg =有Rg2cos ωθ=，ω增大，θ增大，向心力增大，回旋半径增大，周期变小。

三、典型实例：例1：将一个半径为R 的内壁光滑的半球形碗固定在水平地面上，若使质量为m 的小球贴着碗的内壁在水平面内以角速度ω做匀速圆周运动，如图，求圆周平面距碗底的高度。

若角速度ω增大，则高度、回旋半径、向心力如何变化？解析：本题属于圆锥摆模型，球面的弹力类比于绳的拉力，球面半径类比于绳长。

θωθsin tan 2R m mg =，故Rg2cos ωθ=，圆周平面距碗底的高度为2cos ωθgR R R h -=-=。

若角速度ω增大，则有θ增大，高度h 变大，回旋半径变大，向心力变大。

精心整理圆锥摆模型全透视一、圆锥摆模型：1．结构特点：一根质量和伸长可以不计的线，系一个可以视为质点的摆球，在水平面内作匀速圆周运动。

2．受力特点：只受两个力：竖直向下的重力mg 和沿摆线方向的拉力F 。

两个力的合力，就是摆球作圆周运动的向心力F n ，如图示。

二、常规讨论：1． 向心力和向心加速度：设摆球的质量为m ，摆线长为l度为v ，角速度为ω，周期为T ，频率为f 。

n n ma F =，θπθωθθsin )2(sin sin tan 222l T m l m l v m mg ====θtan g a n =2． ，当θ角未知时F F n sin /θ=3． ghg l T πθπ2cos 2==，由此可知高度相同的圆锥摆，周期相同，与θ,,l m 无关。

4．动态分析：当角速度ω增大时，根据θωθsin tan 2R m mg =有Rg2cos ωθ=，ω增大，θ增大，向心力增大，回旋半径增大，周期变小。

三、典型实例：例1：将一个半径为R 的内壁光滑的半球形碗固定在水平地面上，若使质量为m 的小球贴着碗的内壁在水平面内以角速度ω做匀速圆周运动，如图，求圆周平面距碗底的高度。

若角速度ω增大，则高度、回旋半径、向心力如何变化？解析：本题属于圆锥摆模型，球面的弹力类比于绳的拉力，球面半径类比于绳长。

θωθsin tan 2R m mg =，故Rg2cos ωθ=，圆周平面距碗底的高度为2cos ωθgR R R h -=-=。

若角速度ω增大，则有θ增大，高度h 变大，回旋半径变大，向心力变大。

点评：例2：圆锥筒内壁的A 处有一质量为m 回旋半径，向心力分别如何变化？解析：小球受两个力mg 、F N ，m mg 2cot ωθ=变，回旋半径r 减小，小球到锥底的高度降低。

点评：本题区别于例1例3：一光滑的圆锥体固定在水平桌面上，顶角为600一速圆周运动，绳解析：0230sin 30tan L v m =，求得小球的线速度为小球不做圆锥摆运动，小球受三个力，如图示，用正交分解法解题，在竖直方向mgF F N =+0030sin 30cos ，在水平方向0230sin 30cos 30sin L v m F F N =-，解得mg F 033.1=。

圆周运动模型——圆锥摆模型1.特点：对于圆锥摆模型，是水平面内的圆周运动，一般涉及水平面内圆周运动是匀速的，需要的向心力水平，圆心在水平面内。

2.基本模型：圆锥摆是一种典型的匀速圆周运动模型，基本的圆锥摆模型和受力情况如图所示，拉力和重力的合力提供球做圆周运动的向心力．F 合＝F n ＝mg tan θ＝m v 2R例1：（基本模型）量为m 的小球，一端固定于O 点。

让其在水平面内做匀速圆周运动(这种运动通常称为圆锥摆运动)，如图所示。

当摆线L 与竖直方向的夹角是时，求：(1) 线的拉力F ；(2) 小球运动的角速度；例2：(广东高考)有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图4-3-1所示，长为L 的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r 的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ，不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系．例3：（火车弯道）铁路转弯处的弯道半径r 是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内、外轨高度差h 的设计不仅与r 有关，还取决于火车在弯道上的行驶速率．下列表格中是铁路设计人员技术手册中弯道半径r 及与之对应的轨道的高度差h.(1)根据表中数据，试导出h 和r 关系的表达式，并求出当r ＝440 m 时，h 的设计值．(2)铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内、外轨道均不向车轮施加侧向压力，又已知我国铁路内、外轨的间距设计值为L ＝1 435 mm ，结合表中数据，算出我国火车的转弯速率v(以km /h 为单位，结果取整数．当θ很小时，tan θ≈sin θ)．(3)为了提高运输能力，国家对铁路不断进行提速，这就要求火车转弯速率也需要提高．请根据上述计算原理和上述表格分析提速时应采取怎样的有效措施．弯道半径r/m 660 330 220 165 132 110 内、外轨高度差h/mm 50 100 150 200 250 300例4：（双线圆锥摆）如图所示，在竖直的转动轴上，a 、b 两点间距为40 cm ，细线ac 长50 cm ，bc 长30 cm ，在c 点系一质量为m 的小球，在转动轴带着小球转动的过程中，下列说法不正确的是( )A ．转速小时，ac 受拉力，bc 松弛B ．bc 刚好拉直时ac 中拉力为1.25mgC ．bc 拉直后转速增大，ac 拉力不变D ．bc 拉直后转速增大，ac 拉力增大例5：（双线圆锥摆）如图所示，一个质量为m 的小球由两根细绳拴在竖直转轴上的A 、B 两处，AB 间距为L ，A 处绳长为2L ，B 处绳长为L ，两根绳能承受的最大拉力均为2mg ，转轴带动小球转动。