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21.2 解一元二次方程(第3课时)

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21-2 解一元二次方程 课件(共33张PPT)

21-2 解一元二次方程 课件(共33张PPT)
2×2 2
小练习
用公式法解下列一元二次方程：
（3）5x2-3x=x+1
（4）x2+17x=8x
解：方程化为5x2-4x-1=0
解：方程化为x2-8x+17=0
a=5,b=-4,c=-1.
a=1,b=-8,c=17.
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×（-1）=36＞0. Δ=b2-4ac=(-8)2-4×1×17=-4＜0.
因式分解，可以考虑配方法；
（4）三项都有，且二次项系数不为1时的，一般可以用公式法。
小练习
例 3：解方程：x2-6x-16=0。
解：原方程变形为（x-8)(x+2）=0。
于是，得x-8=0或x+2=0
∴x1=8，x2=-2
解析：一元二次方程的解法有：配方法，公式法和因式分解法，解题时要
注意选择合适的解题方法。解此一元二次方程选择因式分解法最简单，因
（3）求解b2-4ac的值，如果b2-4ac≥0；
−± 2−4
（4）代入公式x=
，即可求出一元二次方程的根。
2
知识梳理
例 2：用公式法解方程x2-3x-1=0正确的解为（ D ）
−3± 13
A. x1,2=
2
3± 5
C.x1,2=
2
B.
D.
−3± 5
x1,2=
2
3± 13
x1,2=
2
解析：x2-3x-1=0。这里a=1，b=-3,c=-1。
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×（-7）=44＞0. Δ=b2-4ac=(-2 2)2-4×2×1=0.
−± 2−4
方程有两个不等的实数根x=
2

人教九年级数学上册《解一元二次方程——公式法》课件

人教九年级数学上册《解一元二次方程——公式法》课件
(2)化为一般形式为8x2＋4x＋3＝0，∵a＝8，b＝4，c＝3， ∴Δ＝42－4×8×3＝－80＜0，∴此方程没有实数根
(3)化为一般形式为2x2＋5x－2＝0，∵a＝2，b＝5，c＝－2， ∴Δ＝52－4×2×(－2)＝41＞0， ∴此方程有两个不相等的实数根
知识点2：用公式法解一元二次方程
14．当x满足条件
x＋1＜3x－3， 12（x－4）＜31（x－4）
时，求出方程x2－2x
－4＝0的根．
解：解不等式组得2<x<4，解方程得x1＝1＋ 5，x2＝1－ 5， ∴x＝1＋ 5
15．(2014·梅州)已知关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0. (1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根； (2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 解：(1)a＝12，另一个根为x＝－32
知识点1：根的判别式
1．下列关于x的方程有实数根的是( B )
A．x2－x＋1＝0
B．x2＋x＋1＝0
C．(x－1)(x＋2)＝0
D．(x－1)2＋1＝0
2．(2014·兰州)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的
实数根，下列选项中正确的是( C )
A．b2－4ac＝0
B．b2－4ac＞0
C．b2－4ac＜0
D．b2－4ac≥0
3．一元二次方程x2－4x＋5＝0的根的情况是( D )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
4．利用判别式判断下列方程的根的情况： (1)9x2－6x＋1＝0； (2)8x2＋4x＝－3； (3)2(x2－1)＋5x＝0. 解:(1)∵a＝9，b＝－6，c＝1，∴Δ＝(－6)2－4×9×1＝0， ∴此方程有两个相等的实数根

瑞金市第八中学九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.4一元二次方程的根

瑞金市第八中学九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.4一元二次方程的根
韦达研究了方程根与系数的关系,在一元二次方程中就有一个 根与系数之间关系的韦达定理.
复习引入
算一算 解以下方程并完成填空 :
(1)x2+3x-4=0; (2)x2-5x+6=0;
(3)2x2+3x+1=0. 两 根
一元二次方程
x1
x2
关系
x2+3x-4=0 -4
x2-5x+6=0 2
x22x2+33xx+11=00 1
9
拓展提升
6. 当k为何值时 , 方程2x2-kx+1=0的两根差为1.
解 : 设方程两根分别为x1 , x2(x1>x2) , 那么x1-x2=1
由根与系数的关系 , 得
k
1
x1 x2
2,x1 x2
, 2
∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1
k 2 4 1 1,
2
2
k2 3,
2
k 2 3.
x2-(x1+x2)x+x1·x2=0 , x1+x2= -p , x1 ·x2=q.
x2+px+q=0 , 重要发现 如果方程x2+px+q=0的两根是x1 , x2,那么x1+x2=
猜一猜〔2〕通过上表猜想 , 如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2 , 那 么 , 你可以发现什么结论 ？
44
4
归纳 在运用韦达定理求两根之和、两根之积时 , 先把 方程化为一般式 , 再分别代入a、b、c的值即可 .
例2 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2 , 求它的另一 个根及k的值.

人教版初中数学21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件

人教版初中数学21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件
答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2.
探究新知
21.2 解一元二次方程/
素养考点 3 利用根与系数的关系求两根的平方和、倒数和
例3 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、 倒数和.
解：根据根与系数的关系可知：
x1
x2
3 2
, x1
x2
1. 2
1∵ x1 x2 2 x12 2x1x2 x22 ,
（2）因为k=-7,所以 x1 x2 7, x1x2 4. 则：(x1 x2)2 (x1 x2)2 4x1x2 72 4 (4) 65.
课堂检测
21.2 解一元二次方程/
能力提升题
设x1,x2是方程3x2 + 4x – 3 = 0的两个根.利用根系数之间的关系,
求下列各式的值.
（1）x2 + 7x + 6 = 0; 解：这里 a = 1 , b = 7 , c = 6. Δ = b2 - 4ac = 72 – 4 × 1 × 6 = 25 > 0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6.
探究新知
课堂检测
21.2 解一元二次方程/
3.已知方程 3x2 -19x + m=0的一个根是1，求它的另
一个根及m的值.
解：将x = 1代入方程中： 3 -19 + m = 0.
解得 m = 16,
设另一个根为x1,则：
1 × x1 =
c 16 . a3
∴x1 =
16 . 3
课堂检测
21.2 解一元二次方程/
21.2 解一元二次方程/
（2）2x2 - 3x - 2 = 0.

21.2.4 一元二次方程的解法(三)公式法

21.2.4 一元二次方程的解法(三)公式法

一元二次方程的根的情况
ax2 bx c 0 （a 0）
（1）当 b2 4ac 0 时，有两个不等的实数根。
x1 b
b2 2a
4ac
,
x2
b
b2 4ac ; 2a
（2）当 b2 4ac 0 时，有两个相等的实数根。
b
x1
x2
; 2a
（3）当 b2 4ac 0 时，没有实数根。
x b b2 4ac 2a
利用它解一元二次方程的方法叫做公式法．
例1 （1）用公式法解方程 5x2-4x-12=0 求根公式：x -b b2 - 4ac
经历求根公式的推导过程. 会用公式法解简单系数的一元二次方程.
1.用配方法解一元二次方程的步骤有哪几步？
①移项，二次项系数化为1；②左边配成完全平方式；
③左边写成完全平方形式；④降次；⑤解一次方程.
2.如何用配方法解方程2x2+4x+1=0?
解：移项，得 2x2+4x=－1, 二次项系数化为1，得 x2 +2x
x2
b a
x
b 2a
2
c a
b 2a
2
.
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a 2
.
问题：接下来能用直接开平方解吗？
问题：接下来能用直接开平方解吗？
x
b 2a
2
b2 4ac 4a 2
(x+n)2=p有实数根的条件是（ p≥0 ）
∵a ≠0,4a2>0， 当b2-4ac ≥0时，方程有实数根.
1.关于x的一元二次方程 x2 2x m 0 有两个实根，则m的取
值范围是 m 1 .

九年级数学上册 第21章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 21.2.3 因式分解法(听课)课

九年级数学上册 第21章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 21.2.3 因式分解法(听课)课

21.2.3 因式分解法
解：(1)原方程可化为(x－5)2＝4， ∴x－5＝±2，∴x1＝7，x2＝3. (2)∵b2－4ac＝22－4×3×(－3)＝4＋36＝40，
－2± 40
－1＋ 10
－1－ 10
∴x＝ 2×3 ， ∴x1＝
3
，x2＝
3
.
(3)原方程可化为(x＋ 2)(x＋ 3)＝0，
∴x＋ 2＝0 或 x＋ 3＝0，∴x1＝－ 2，x2＝－ 3.
21.2.3 因式分解法
目标二 能选择合适的方法解一元二次方程
例 2 教材补充例题 选择合适的方法解一元二次方程：
(1)4(x－5)2＝16; (2)3x2＋2x－3＝0； (3)x2＋ 2x＝－ 3(x＋ 2)．
[解析] 根据方程的不同特点选取最简便的方法．(1)可以用直接开平方法； (2)可以用公式法；(3)可以用因式分解法．
21.2.3 因式分解法
【归纳总结】一元二次方程的解法选择： 1．选择顺序：直接开平方法——因式分解法——公式法(或配方 法)． 2．若方程为(mx＋n)2＝p(p≥0)型，则用直接开平方法． 3．若方程右边为0，而左边易于分解成两个一次因式的积，则可用 因式分解法． 4．若方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数，则可用配方法． 5．公式法和配方法可解任意的一元二次方程．
21.2.3 因式分解法
解：(1)因式分解，得 x(3x－5)＝0，于是得 x＝0 或 3x－5＝0， 5
所以 x1＝0，x2＝3. (2)因式分解，得(x－3)(x＋4)＝0，于是得 x－3＝0 或 x＋4＝0， 所以 x1＝3，x2＝－4.
21.2.3 因式分解法
(3)因式分解，得(x－5＋4)(x－5－4)＝0， 于是得 x－1＝0 或 x－9＝0，所以 x1＝1，x2＝9. (4)移项，得 16(2x－1)2－25(x－2)2＝0. 因式分解，得[4(2x－1)＋5(x－2)][4(2x－1)－5(x－2)]＝0， 所以 13x－14＝0 或 3x＋6＝0，

解一元二次方程(全)


③ 6 2 2 两边加 9 9，即（ ）= 3 = 9 2 x2 + 6x + 9 = -4 + 9
2 （x + 3） =5
x2 + 6x = -4
一般地，当二次项系数为 1 时，二次式加上一次项 系数一半的平方，二次式就可以写成完全平方的形式．
2．推导求根公式
议一议：结合方程①的解答过程，说出解一般二次 项系数为 1 的一元二次方程的基本思路是什么？具体步 骤是什么？ 配方
② 公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程 都适用，但不一定是最简单的，因此在解方程 时我们首先考虑能否应用“直接开平方法”、 “因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑 公式法（适当也可考虑配方法）
2、用适当方法解下列方程 ① -5x2-7x+6=0 ② 2x2+7x-4=0 ③ 4(t+2)2=3 ④ x2+2x-9999=0
② 3t(t+2)=2(t+2)
③ (3-t)2+t2=9 ④ (x+101)2-10(x+101)+9=0
小结：
1、
ax2+c=0
====> 直接开平方法
ax2+bx=0
====> 因式分解法 因式分解法 ax2+bx+c=0 ====> 公式法（配方法）
2、公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用 ，但不一定 是最简单的，因此在解方程时我们首先 考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等 简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配 方法） 3、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单 方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为 一般形式再选取合理的方法。

21.2.2_一元二次方程的解法-公式法

用配方法解一元二次方程的步骤: 1、移项:把常数项移到方程的右边; 2、化二次项系数为1； 3、配方:方程两边都加上一次项系数一半的 平方,将方程左边配成完全平方式 4、开方 ：根据平方根意义,方程两边开平 方; 5、求解。
怎样用配方法解形如一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0)的一元二次方程：
一般的，式子 b 2 4ac 叫做一元二次方程 2 ax bx c 0(a 0) 根的判别式，通常用希 腊字母 △ 表示，
即
b 4ac
2
归纳：
由上可知， 当△>0时，方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)有两个不相等 的实数根； 当△=0时，方程 ax2 +bx+c=0 (a≠0)有两个相等的 实数根；
1、(09成都)若关于
的一元二次方程
有两个不相等的实数根，则 的取值范围是 （ B A. C. B. D. ） 且 且
2、关于x的一元二次方程 只有一解（相同解算一解），则a的值为（ ） A． B． C． D． 或
已知一元二次方程证明根的情况
已知关于x 的一元二次方程
x kx k 2 0
作业：
1、 关于x的方程
有两个不相等的实数根.求k的取值范围。 2.m取何值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有两 个相等的实数根？
当△<0时，方程 ax2 +bx+c=0 (a≠0)无实数根。
1.练习：不解方程，判断下列一元二次方程的根 的情况
2x 6x 3
2
3x( x 2) 7
x 4x 4 0
2
已知方程及其根的情况，求字母的取值范围

21.2.3因式分解法解一元二次方程(教案)

三、教学难点与重点
1.教学重点
-重点一：一元二次方程标准形式的掌握，即ax² + bx + c = 0（a, b, c为常数，且a≠0）。通过讲解和示例，使学生理解方程各部分的数学意义。
-举例：方程x² + 3x - 4 = 0中，a=1，b=3，c=-4，强调a≠0的条件。
-重点二：因式分解法的应用，包括提取公因式、十字相乘等方法，以及如何将一元二次方程转化为因式分解的形式。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了因式分解法解一元二次方程的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这一方法的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
今天我们在课堂上学习了因式分解法解一元二次方程，回顾整个教学过程，我觉得有几个地方值得反思。
2.提高学生的数学建模素养，通过实际问题的引入，让学生学会将现实问题转化为数学问题，并运用数学知识进行解决；
3.培养学生的数据分析能力，使学生能够运用判别式Δ分析一元二次方程的根的性质，增强对数学问题的深入理解；
4.增强学生的数学抽象思维，让学生掌握一元二次方程的一般形式，并能够将其与因式分解法有效结合。
4.通过例题和练习，熟练运用因式分解法求解一元二次方程，并能解决实际问题。
本节课将结合教材内容，针对以上要点进行深入讲解和练习。
二、核心素养目标
《21.2.3因式分解法解一元二次方程》的核心素养目标如下：
1.培养学生的逻辑推理能力，使其能够运用因式分解法进行一元二次方程的求解，理解数学知识之间的内在联系；
关于小组讨论，我发现学生们在讨论因式分解法在实际生活中的应用时，思维比较局限，难以提出具有创新性的观点。在今后的教学中，我会引导学生多关注生活，发现生活中的数学问题，提高他们运用数学知识解决实际问题的能力。

《 解一元二次方程之因式分解法》九年级初三数学上册PPT课件(第21.2.3 课时)


老师：XXX
时间：20XX.4
Trend Design
第二十一章 一元二次方程
前言
学习目标
1.会用因式分解法解一元二次方程。
2.能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解
决问题的多样性。
重点难点
重点：运用因式分解法求解一元二次方程。
难点：灵活应用各种因式分解法解一元二次方程。
回顾
.
课堂测试
2.若代数式3x2+1的值等于76，则x的值为 ±5
.
3.对于方程x2=m-3,若方程有两个不相等的实数根,则
m ＞3 ;若方程有两个相等的实数根，则m =3 ;若方程无
实数根，则m ＜3
.
课堂测试
4.用直接开平方法解下列方程：
⑴2x2-50=0；
⑵4x2+12x+9=1.
解：⑴移项，得2x2= 50 .
子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗?
根据平方根的意义，得x=±5,
60个面 即x1=5, x2=﹣5.
可以验证，x1=5, x2=﹣5，
是方程①的两个根
设正方体的棱长为x dm，
则一个正方体的表面积为6x2 dm2，
10×6x2=1 500
整理，得x2=25
①
因为棱长不能是负值，所以盒子的棱长为5 dm
因式分解法解一元二次方程的一般步骤
①移项,使一元二次方程等式右边为0;
②分解，把左边运用因式分解法化为两个一次因式的积;
③赋值，分别令每个因式等于0,得到两个一元一次方程;
④求解，分别解这两个一元一次方程，得到方程的解。
归纳：右化零，左分解，两因式，各求解.
思考
2)解：移项、合并同类项，
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21.2 解一元二次方程（第3课时）
课件说明
• 本课是在学习配方法、公式法的基础上，进一步学习 解一类特殊的一元二次方程的方法——因式分解法．
课件说明
• 学习目标： 1．会选择合适的方法进行因式分解，并解一元二次 方程； 2．在探究因式分解法解方程的过程中体会转化、降 次的数学思想． • 学习重点： 因式分解法解一元二次方程．
100 x 1 = 0 ，x 2 = 49
2．应用举例
例 解下列方程： （ 1） x （x - 2）+ x - 2=0
1 3 2 （ 2） 5 x 2 x x 2 x 4 4
2
归纳因式分解法解一元二次方程的步骤： （1）化方程为一般形式； （2）将方程左边因式分解； （3）至少有一个因式为零，得到两个一元一次方
1．探究因式分解法
你认为该如何解决这个问题？你想用哪种方法解这 个方程？
10x - 4.9x 2 = 0 配方法 公式法 降 次 Nhomakorabea？
100 x 1 = 0，x 2 = 49
1．探究因式分解法
问题3 观察方程 10x - 4.9x 2 = 0，它有什么特点？ 你能根据它的特点找到更简便的方法吗？
10x - 4.9x 2 = 0 两个因式的积等于零 x（10 - 4.9x） =0 至少有一个因式为零 x=0 或 10 - 4.9x = 0
1．探究因式分解法
问题1 解一元二次方程的基本思路是什么？我们 已经学过哪些解一元二次方程的方法？
配方法，求根公式法．
1．探究因式分解法
问题2 根据物理学规律，如果把一个物体从地面 以 10 m/s 的速度竖直上抛，那么经过 x s 物体离地面的 高度（单位：m）为 10x - 4.9x 2． 你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗 （精确到 0.01 s）？
程；
（4）两个一元一次方程的解就是原方程的解．
3．练习巩固
教科书第 14 页
练习第 1 题．
4．归纳小结
问题4 请回答以下问题： （1）因式分解法的依据是什么？解题步骤是什么？ （2）回顾配方法、公式法和因式分解法，你能说 出它们各自的特点吗？
5．布置作业
教科书习题 21.2
第 6，10 题．