03 第三章 基本初等函数(Ⅱ)
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用心 爱心 专心 第三章 基本初等函数（Ⅱ）
★知识网络
任意角的概念 弧长与扇形
面积公式
角度制与
弧度制 同角三角函数的基本关系式 诱导
公式 计算与化简
证明恒等式
任意角的
三角函数 三角函数的
图像和性质 已知三角函数值求角
和角公式 倍角公式
差角公式 应用
应用 应用 应用 应用
应用
应用
用心 爱心 专心 第1讲 弧度制与任意角的三角函数
★知 识 梳理
1．任意角的概念：设角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在坐标平面内.终边绕顶点旋转即可产生正角、负角和零角.象限角：若角的终边在第k象限，则称为第k象限角；终边相同的角所有与终边相同的角连同在内构成集合为360,SkkZ
2．弧度制的概念：与半径等长的圆弧所对的圆心角称为1rad（弧度）的角.
角度与弧度的互化公式：1rad180（）57.35718'；1 180 rad
3扇形的弧长公式：l r（扇形的圆心角为弧度，半径为r）；扇形的面积公式：S
21122lrr
4． 任意角的三角函数的定义：在角的终边上任取点(,)Pxy，设(0)OPrr
则sinyr ；cosxr；tanyx
cot,sec,cscxrryxy
5． 三角函数在各象限的符号：sin上正下负横轴零，cos左负右正纵轴零，tan
交叉正负横轴零．
6．三角函数的定义域
三角函数 定义域
xysin R
xycos R
xytan Zkkxx,2
xycot Zkkxx,
xysec
Zkkxx,2
用心 爱心 专心 xycsc Zkkxx,
★重 难 点 突
破
1.重点：掌握任意角的三角函数的定义和弧度制处理三角式的化简，求值等问题。
2.难点：确定三角函数值的符号，理解弧度的概念及其与角度的关系
3.重难点：理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算.
掌握终边相同的角的表示方法和扇形弧长和面积的计算.
(1)角的范围的确定应用不等式的性质和结合终边相同的角的表达式。
问题1：若α是第三象限角，试求α2 、α3 的范围.
点拨：依据象限角的表示法将α表示出来后，再确定α2 、α3 的范围，再进一步判断α2 、α3 所在的象限.
：∵α是第三象限角
∴k²360°+180°＜α＜k²360°+270°(k∈Z)
(1)k²180°+90°＜α2 ＜k²180°+135°(k∈Z)
当k＝2n(n∈Z)时，n²360°+90°＜α2 ＜n²360°+135°
当k＝2n+1(n∈Z)时，n²360°+270°＜α2 ＜n²360°+315°
∴α2 为第二或第四象限角.
(2)k²120°+60°＜α3 ＜k²120°+90°(k∈Z)
当k＝3n(n∈Z)时，n²360°+60°＜α3 ＜n²360°+90°(n∈Z)
当k＝3n+1(n∈Z)时，n²360°+180°＜α3 ＜n²360°+210°（n∈Z)
当k＝3n+2(n∈Z)时，n²360°+300°＜α3 ＜n²360°+330°(n∈Z)
∴α3 为第一或第三或第四象限角.
（2）扇形弧长和面积的计算严格按公式进行转化。
问题2. 一个扇形OAB的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，求∠AOB和弦AB的长.
分析：欲求∠AOB，需要知道的长和半径OA的长，用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，结合已知条件，能比较容易地求得，之后在△AOB中求弦AB的长.作OM⊥AB交AB于M，则AM＝BM＝12 AB，在Rt△AMO中求AM.
解：设扇形的半径为R cm.∠AOB=α rad.
用心 爱心 专心 据题意121422RaRR 解之得21R
过O作OM⊥AB交AB于M.
则AM＝BM＝12 AB.
在Rt△AMO中，AM＝sin1，∴AB＝2sin1
故∠AOB＝2 rad.该AB的长为2sin1厘米.
★热 点 考 点 题 型 探 析
考点1 角的概念问题
题型1: 终边相同的角的表示方法
［例1］ 写出(0)yxx所夹区域内的角的集合。
【解题思路】任一与角α终边相同的角，都可以表示成α与整数个周角的和.
解：当终边落在(0)yxx上时，角的集合为|45360,kkZ；
当终边落在(0)yxx上时，角的集合为|45360,kkZ；
所以，按逆时针方向旋转有集合：|4536045360,SkkkZ．
【名师指引】把一条直线分成两部分，分别写出它们对应角的集合，最后求并集即可．
题型2:象限角的表示.
［例2］已知角是第二象限角，求：（1）角2是第几象限的角；（2）角2终边的位置。
【解题思路】依据已知条件先得出角的范围,再讨论k值确定象限角.
解析∵18036090360kk，∴90180245180kk；
当k为偶数时，2在第一象限，当k为奇数时，2在第三象限；
即：2为第一或第三象限角。∵360360221803602kk，
∴2的终边在下半平面。
【名师指引】已知所在象限，求*()nNn所在象限问题,一般都要分n种情况进行讨论．
【新题导练】
1．设M＝｛小于90的角｝，N＝｛第一象限的角｝，则MN＝（ ）
A、｛锐角} B、｛小于90的角｝ C、｛第一象限的角｝ D、以上都不对
解析：D ［小于090的角是由锐角、零角及负角组成，第一象限的角包括锐角及其它终边在第
用心 爱心 专心 一象限的角，所以MN是由锐角和终边在第一象限的负角组成的角］
2．写出-720°到720°之间与-1068°终边相同的角的集合___________________．
解析:372,12,348,708
3．已知{|180(1)45}kk，判断所在的象限．
解析：在第一象限或第二象限［∵00{|180(1)45}kk，∴可设
00180(1)45,kkkZ，若2kn，则00218045,nnZ，若21kn，则002180135,nnZ故在第一象限或第二象限］
考点2 弧度制与弧长公式
题型1:角度制与弧度制的互化
例3.（1）设0012570,750，用弧度制表示它们，并指出它们各自所在的象限．
（2）设1237,53，用角度制表示它们，并在00720~0范围内找出与它们有相同终边的所有角．
【解题思路】用互化公式.
［解析］（1）11955702218066（－），∴1在第二象限
22557502218066，∴2在第一象限
（2）0031803()10855，与它终边相同的角可表示为00360108,kkZ，
由00007203601080k得3321010k，∴2,1k，
即在00720~0范围内与1有相同终边的角是00612,252．
同理02420且在00720~0范围内与2有相同终边的角是060．
【名师指引】角度与弧度进行互化，关键是对转化公式的理解和应用；判断一个角所在象限，关键是在[0,2)内找到与该角终边相同的角．
［例4］设扇形的周长为8cm，面积为24cm，则扇形的圆心角的弧度数是
【解题思路】用扇形面积和弧长公式.
解析: 21(82)4,440,2,4,22lSrrrrrlr
【名师指引】在扇形的弧长公式与弓形的面积公式中，所用到的角的单位是弧度，不是角度．
【新题导练】
4．0300化为弧度为（ ）
用心 爱心 专心 A、43 B、53 C、74 D、76
解析．B ［05300(300)1803］
5．三角形三内角的比是7∶8∶15，各内角的弧度数分别是_______．
解析：设三角形的三内角分别是7,8,15xxx，则7815xxx故30x
所以各内角的弧度数分别是78,,30302
考点3 三角函数的定义与三角函数的符号
题型1:判断三角函数值的符号
例5. 确定下列三角函数值的符号
(1)cos250° （2）sin（－π4 ） （3）tan（－672°） （4）tan11π3
【解题思路】 直接根据三角函数的符号法则确定。
解：(1)∵250°是第三象限角，∴cos250°＜0
(2)∵－π4 是第四象限角，∴sin（－π4 ）＜0
(3)tan（－672°）＝tan（48°－2³360°）＝tan48°
而48°是第一象限角，∴tan（－672°）＞0
(4)tan11π3 ＝tan（5π3 ＋2π）＝tan5π3
而5π3 是第四象限角，∴tan11π3 ＜0.
【名师指引】三角函数值的符号由角所在的象限确定
题型2:由三角函数的定义求值
［例6］已知角终边上一点P与x轴的距离和与y轴的距离之比为3∶4（且均不为零），
求2sin+cos的值．
【解题思路】直接根据三角函数的定义求值.
解析:若角终边过点3,4P，则254532cossin2；
若角终边过点3,4P，则5254532cossin2；
若角终边过点3,4P，则254532cossin2；
若角终边过点3,4P，则5254532cossin2．
【名师指引】若点(,)xy是角α终边上异于原点的一点，求角α的三角函数值只需用定义即可.
