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函数之一次函数问题

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备考2020中考数学高频考点剖析

专题1 函数之一次函数问题

考点扫描☆聚焦中考

一次函数，是每年中考的必考内容之一，考查的知识点包括函数图像和一次函数的图形、性质及其应用等几个方面，总体来看，难度系数低，以选择填空为主。也有少量的解析题。解析题主要以综合应用为主，往往和方程及反比例函数综合体现。结合2018年全国各地中考的实例，我们从四方面进行一次函数问题的探讨：

（1）函数图像问题；

（2）一次函数图形与性质问题；

（3）一次函数的应用．

例3（2018年四川省南充市）直线y=2x向下平移2个单位长度得到的直线是（ ）

A．y=2（x+2） B．y=2（x﹣2） C．y=2x﹣2 D．y=2x+2

【考点】F9：一次函数图象与几何变换．

【分析】据一次函数图象与几何变换得到直线y=2x向下平移2个单位得到的函数解析式为y=2x﹣2．

【解答】解：直线y=2x向下平移2个单位得到的函数解析式为y=2x﹣2．

故选：C．

本题考查了一次函数图象与几何变换：一次函数y=kx（k≠0）的图象为直线，当直线平移时k不变，当向上平移m个单位，则平移后直线的解析式为y=kx+m．

例4（2018•达州）如图，在物理课上，老师将挂在弹簧测力计下端的铁块浸没于水中，然后缓慢匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的高度x（单位：cm）之间的函数关系的大致图象是（ ）

A． B． C． D．

【分析】根据题意，利用分类讨论的数学思想可以解答本题．

【解答】解：由题意可知，

铁块露出水面以前，F拉+F浮=G，浮力不变，故此过程中弹簧的度数不变，

当铁块慢慢露出水面开始，浮力减小，则拉力增加，

当铁块完全露出水面后，拉力等于重力，

故选：D．

例6 （2018年江苏省南京市）小明从家出发，沿一条直道跑步，经过一段时间原路返回，刚好在第16min回到家中．设小明出发第t min时的速度为vm/min，离家的距离为s m，v与t之间的函数关系如图所示（图中的空心圈表示不包含这一点）．

（1）小明出发第2min时离家的距离为 m；

（2）当2＜t≤5时，求s与t之间的函数表达式；

（3）画出s与t之间的函数图象．

【分析】（1）根据路程=速度×时间求出小明出发第2min时离家的距离即可；

（2）当2＜t≤5时，离家的距离s=前面2min走的路程加上后面（t﹣2）min走过的路程列式即可；

（3）分类讨论：0≤t≤2、2＜t≤5、5＜t≤6.25和6.25＜t≤16四种情况，画出各自的图形即可求解．

【解答】解：（1）100×2=200（m）．

故小明出发第2min时离家的距离为200m；

（2）当2＜t≤5时，s=100×2+160（t﹣2）=160t﹣120．

故s与t之间的函数表达式为160t﹣120；

（3）s与t之间的函数关系式为，

如图所示：

故答案为：200．

【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，读懂题目信息，从图中准确获取信息是解题的关键．

考点过关☆专项突破

类型一 函数图像

1.

（2018•湖北黄冈•3分）函数y= 11xx中自变量x的取值范围是（ ）

A．x≥-1且x≠1 B.x≥-1 C. x≠1 D. -1≤x＜1

2. （2018·四川自贡·4分）已知圆锥的侧面积是8πcm2，若圆锥底面半径为R（cm），母线长为l（cm），则R关于l的函数图象大致是（

）

A． B． C． D．

3. （2018•通辽）小刚从家去学校，先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上了公交车，公交车匀速行驶一段时后到达学校，小刚从家到学校行驶路程s（单位：m）与时间r（单位：min）之间函数关系的大致图象是（ ）

A．B．C．D．

4. （2018年四川省内江市）如图，在物理课上，小明用弹簧秤将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则如图能反映弹簧秤的读数y（单位：N）与铁块被提起的高度x（单位：cm）之间的函数关系的大致图是（ ）

A． B． C． D．

5. （2018•随州）“龟兔赛跑”这则寓言故事讲述的是比赛中兔子开始领先，但它因为骄傲在途中睡觉，而乌龟一直坚持爬行最终贏得比赛，下列函数图象可以体现这一故事过程的是（ ）

A．B．

C．D．

6. （2018•金华）某通讯公司就上宽带网推出A，B，C三种月收费方式．这三种收费方式每月所需的费用y（元）与上网时间x（h）的函数关系如图所示，则下列判断错误的是（ ）

A．每月上网时间不足25h时，选择A方式最省钱

B．每月上网费用为60元时，B方式可上网的时间比A方式多

C．每月上网时间为35h时，选择B方式最省钱

D．每月上网时间超过70h时，选择C方式最省钱

类型二 一次函数图像与性质

1. （2018·台湾·分）已知坐标平面上，一次函数y=3x+a的图形通过点（0，﹣4），其中a为一数，求a的值为何？（ ）

A．﹣12 B．﹣4 C．4 D．12

2．（2018·广东深圳·3分）把函数y=x向上平移3个单位，下列在该平移后的直线上的点是( )

A. B. C. D.

4. （2018·湖南省常德·3分）若一次函数y=（k﹣2）x+1的函数值y随x的增大而增大，则（ ）

A．k＜2 B．k＞2 C．k＞0 D．k＜0

5. （2018·四川宜宾·3分）已知点A是直线y=x+1上一点，其横坐标为﹣，若点B与点A关于y轴对称，则点B的坐标为 ．

6. （2018·湖北江汉·3分）如图，在平面直角坐标系中，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…都是等腰直角三角形，其直角顶点P1（3，3），P2，P3，…均在直线y=﹣x+4上．设△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…的面积分别为S1，S2，S3，…，依据图形所反映的规律，S2018= ．

7. （2018•甘肃白银，定西，武威•3分） 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的不等式组的解集为__________．

8 （2018•江苏扬州•3分）如图，在等腰Rt△ABO，∠A=90°，点B的坐标为（0，2），若直线l：y=mx+m（m≠0）把△ABO分成面积相等的两部分，则m的值为 ．

类型三 一次函数的综合应用

1．（2018·江苏镇江·3分）甲、乙两地相距80km，一辆汽车上午9：00从甲地出发驶往乙地，匀速行驶了一半的路程后将速度提高了20km/h，并继续匀速行驶至乙地，汽车行驶的路程y（km）与时间x（h）之间的函数关系如图所示，该车到达乙地的时间是当天上午（ ）

A．10：35 B．10：40 C．10：45 D．10：50

2．（2018·辽宁省阜新市）甲、乙两人分别从A，B两地相向而行，他们距B地的距离s（km）与时间t（h）的关系如图所示，那么乙的速度是 km/h．

3．（2018·重庆市B卷）（4.00分）一天早晨，小玲从家出发匀速步行到学校，小玲出发一段时间后，她的妈妈发现小玲忘带了一件必需的学习用品，于是立即下楼骑自行车，沿小玲行进的路线，匀速去追小玲，妈妈追上小玲将学习用品交给小玲后，立即沿原路线匀速返回家里，但由于路上行人渐多，妈妈返回时骑车的速度只是原来速度的一半，小玲继续以原速度步行前往学校，妈妈与小玲之间的距离y（米）与小玲从家出发后步行的时间x（分）之间的关系如图所示（小玲和妈妈上、下楼以及妈妈交学习用品给小玲耽搁的时间忽略不计）．当妈妈刚回到家时，小玲离学校的距离为 米．

4. （2018·重庆(A)·4分）,AB两地相距的路程为240千米，甲、乙两车沿同一线路从A地出发到B地，分别以一定的速度匀速行驶，甲车先出发40分钟后，乙车才出发。途中乙车发生故障，修车耗时20分钟，随后，乙车车速比发生故障前减少了10千米/小时（仍保持匀速前行），甲、乙两车同时到达B地。甲、乙两车相距的路程y（千米）与甲车行驶时间x（小时）之间的关系如图所示，求乙车修好时，甲车距B地还有 千米。

xyO千米小时21030

5. （2018·山东潍坊·11分）为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务．该工程队有A，B两种型号的挖掘机，已知3台A型和5台B型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台A型和7台B型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台A型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台B型挖掘机一小时的施工费用为180元．

（1）分别求每台A型，B型挖掘机一小时挖土多少立方米？

（2）若不同数量的A型和B型挖掘机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元，问施工时有哪几种调配方案，并指出哪种调配方案的施工费用最低，最低费用是多少元？

6. （2018•湖北黄石•8分）某年5月，我国南方某省A、B两市遭受严重洪涝灾害，1.5万人被迫转移，邻近县市C、D获知A、B两市分别急需救灾物资200吨和300吨的消息后，决定调运物资支援灾区．已知C市有救灾物资240吨，D市有救灾物资260吨，现将这些救灾物资全部调往A、B两市．已知从C市运往A、B两市的费用分别为每吨20元和25元，从D市运往往A、B两市的费用别为每吨15元和30元，设从D市运往B市的救灾物资为x吨．

（1）请填写下表

A（吨） B（吨） 合计（吨）

C x﹣60 300﹣x 240

D 260﹣x x 260

总计（吨） 200 300 500

（2）设C、D两市的总运费为w元，求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）经过抢修，从D市到B市的路况得到了改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m元（m＞0），其余路线运费不变．若C、D两市的总运费的最小值不小于10320元，求m的取值范围．

7. （2018·广西梧州·10分）我市从2018年1月1日开始，禁止燃油助力车上路，于是电动自行车的市场需求量日渐增多．某商店计划最多投入8万元购进A.B两种型号的电动自行车共30辆，其中每辆B型电动自行车比每辆A型电动自行车多500元．用5万元购进的A型电动自行车与用6万元购进的B型电动自行车数量一样．

（1）求A.B两种型号电动自行车的进货单价；

（2）若A型电动自行车每辆售价为2800元，B型电动自行车每辆售价为3500元，设该商店计划购进A型电动自行车m辆，两种型号的电动自行车全部销售后可获利润y元．写出y与m之间的函数关系式；

（3）该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？

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一次函数综合—线段和差、存在性问题解析

一次函数综合—线段和差、存在性问题解析

一次函数的应用—线段和差、存在性问题

一、一次函数线段和差最值问题

【知识点】

1. 最短路径原理

【原理 1】 作法 作图 原理

在直线 l 上求一点 P，使PA+PB 值最小。

连 AB，与 l 交点即为

P．

两点之间线段最短．

PA+PB 最小值为 AB．

【原理 2】 作法 作图 原理

在直线 l 上求一点 P，使PA+PB 值最小．

作 B 关于 l 的对称点 B＇连 A B＇，与 l 交点即为 P．

两点之间线段最短．

PA+PB 最小值为A B＇．

【原理 3】 作法 作图 原理

在直线 l 上求一点 P，使

作直线 AB，与直线 l

的交点即为 P．

三角形任意两边之差小于第三边．≤AB . PBPA－ 2. 具体题型：

（1）求线段和最小时动点坐标或直线解析式；

（2）求三角形周长最小值；

（3）求线段差最大时点的坐标或直线解析式。

3. 口诀：“和小异，差大同”

（一）一次函数线段和最小值问题

【例题讲解】★★☆例题1．在平面直角坐标系xOy中，y轴上有一点P，它到点(4,3)A，(3,1)B的距离

之和最小，则点P的坐标是( )

A．(0,0) B．4(0,)7 C．5(0,)7 D．4(0,)5

【答案】C 的值最大 .

【原理 4】 作法 作图 原理

在直线 l 上求一点 P，使的值最大 . 作 B 关于 l 的对称点

B＇作直线 A B＇，与 l

交点即为 P．

三角形任意两边之差小于第三边．≤AB＇ . PBPA－PBPA－PBPA－ 【解析】解：作A关于y轴的对称点C，连接BC交y轴于P，

则此时APPB最小，

即此时点P到点A和点B的距离之和最小，

(4,3)A，

(4,3)C，

设直线CB的解析式是ykxb，

把C、B的坐标代入得：3413kbkb，

解得：47k，57b，

4577yx，

一次函数必考十类题

一次函数必考十类题

一次函数必考十类题

1. 一次函数的定义与表达式

题目：写出一个斜率为2且经过点(1, 3)的一次函数。

解答：使用点斜式 \(y - y_1 = m(x - x_1)\)，代入 \(m = 2\), \(x_1 = 1\), \(y_1 = 3\)，得到 \(y

- 3 = 2(x - 1)\)，化简得 \(y = 2x + 1\)。

2. 一次函数的图像

题目：画出函数 \(y = 3x - 2\) 的图像。

解答：找到两个点（如 (0, -2) 和 (1, 1)），然后用直尺连接这两个点即可。

3. 一次函数的斜率

题目：求函数 \(y = -4x + 5\) 的斜率。

解答：斜率 \(m\) 即为一次项系数，所以斜率为 \(-4\)。

4. 一次函数的截距

题目：求函数 \(y = 2x + 3\) 在 y 轴上的截距。

解答：当 \(x = 0\) 时，\(y = 3\)，因此 y 轴截距为 3。

5. 两点式方程

题目：已知两点 (2, 4) 和 (4, 8)，求通过这两点的一次函数。

解答：先求斜率 \(m = \frac{8 - 4}{4 - 2} = 2\)，再用点斜式 \(y - 4 = 2(x - 2)\)，化简得 \(y

= 2x\)。

6. 平行与垂直直线

题目：已知直线 \(y = 3x + 1\)，求一条与其平行的直线和一条与其垂直的直线。

解答：

平行直线：斜率相同，例如 \(y = 3x + 2\)。

垂直直线：斜率互为负倒数，例如 \(y = -\frac{1}{3}x + 1\)。

7. 一次函数的应用题

题目：某出租车起步价为10元，每公里收费2元，写出费用与行驶距离的关系式。

解答：设行驶距离为 \(x\) 公里，费用为 \(y\) 元，则 \(y = 2x + 10\)。

8. 一次函数的交点

题目：求直线 \(y = 2x + 1\) 和 \(y = -x + 4\) 的交点。

一次函数的应用问题归纳总结

一次函数的应用问题归纳总结

一次函数的应用问题归纳总结

一、求表达式：

1、已知两点坐标

例：在平面直角坐标系中，已知直线经过点A（4，4），B（﹣2，1）．求直线AB所对应的函数表达式。

2、通过文字叙述

例：从地面竖直向上抛射一个小球，在落地之前，物体向上的速度v（m/s）是运动时间t（s）的一次函数．经测量，该物体的初始速度（t＝0时物体的速度）为25m/s，经过2s物体的速度为5m/s．

（1）请你求出v与t之间的函数关系式；

（2）经过多长时间，物体将达到最高点？（此时物体的速度为0）

3、通过图像（表格）

例：去年入夏以来，全国大部分地区发生严重干旱，某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准．若某户居民每月应缴水费y（元），用水量x（吨）的函数，其图象如图所示，

（1）分别写出x≤5和x＞5的函数解析式．

（2）观察函数图象，利用函数解析式，回答自来水公司采取的收费标准．

（3）若某户居民该月用水3.5吨，则应交水费多少元？若某户居民该月交水费9元，则用水多少吨？

二、求面积

例1、已知一次函数y＝kx+b的图象平行于直线y＝﹣3x，且经过点（2，﹣3）．

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）求这个一次函数与两坐标轴所围成的图形面积．

例2、如图：已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，2），且与正比例函数y＝x的图象交于点C（m，4） （1）求m的值； （2）求一次函数表达式； （3）求这两个函数图象与x轴所围成的△AOC的面积． 例3、如图，一次函数y＝﹣x+m的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，与正比例函数y＝x图象交于点P（2，n）．

（1）求m和n的值；

（2）求△POB的面积；

（3）在直线OP上是否存在异于点P的另一点C，使得△OBC与△OBP的面积相等？若存在，请求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．

例4、如图，直线l1：y1=﹣x+m与y轴交于点A（0，6），直线l2：y2=kx+1分别与x轴交于点B（﹣2，0），与y轴交于点C．两条直线相交于点D，连接AB．

一次函数专题训练题

一次函数专题训练题

一次函数知识点总结与常见题型

基本概念

1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。

例题：在匀速运动公式vts中,v表示速度,t表示时间,s表示在时间t所走的路程,则变量是________,常量是_______。在圆的周长公式C=2πr中，变量是________，常量是_________.

2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。

*判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应

例题：下列函数（1）y=πx (2)y=2x－1 (3)y=1x (4)y=21－3x (5)y=x2－1中，是一次函数的有（ ）

（A）4个 （B）3个 （C）2个 （D）1个

3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的围，叫做这个函数的定义域。

4、确定函数定义域的方法：

（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；

（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；

（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

例题：下列函数中，自变量x的取值围是x≥2的是（ ）

A．y=2xB．y=12xC．y=24xD．y=2x·2x

函数5yx中自变量x的取值围是___________.

已知函数221xy，当11x时，y的取值围是 （ ）

A.2325yB.2523yC.2523yD.2523y

5、函数的图像

一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．