2019届高考理科数学第一轮复习习题

第五讲 曲线与方程考点 曲线方程的求法1.已知点M (-3,0),N (3,0),B (1,0),动圆C 与直线MN 切于点B ,过M,N 与圆C 相切的两直线(非x 轴)相交于点P ,则点P 的轨迹方程为( )A.x 2-y 28=1(x >1)B.x 2-y 28=1(x <-1)C.x 2+y 28=1(x >0)D.x 2-y 210=1(x >1)2.已知点Q 在椭圆C:x 216+y 210=1上,点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )(其中O 为坐标原点,F 1为椭圆C 的左焦点),则点P 的轨迹为( )A.圆B.抛物线C.双曲线D.椭圆 3.[2018益阳市、湘潭市高三调考] 已知动圆P 经过点N (1,0),并且与圆M :(x +1)2+y 2=16相切.(1)求点P 的轨迹C 的方程;(2)设G (m ,0)为轨迹C 内的一个动点,过点G 且斜率为k 的直线l 交轨迹C 于A,B 两点,当k 为何值时,ω=|GA |2+|GB |2是与m 无关的定值?并求出该定值.答案1.A 由题意知,|PM |-|PN |=|BM |-|BN |=2,由双曲线的定义可知点P 的轨迹是以M,N 为焦点的双曲线的右支,由c =3,a =1,知b 2=8.所以点P 的轨迹方程为x 2-y 28=1(x>1).故选A.2.D 因为点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ),所以点P 是线段QF 1的中点,设P (x,y ),由于F 1为椭圆C :x 216+y 210=1的左焦点,则F 1(-√6,0),故Q (2x +√6,2y ),由点Q 在椭圆C :x 216+y 210=1上,得点P 的轨迹方程为(2x+√6)216+(2y )210=1,故点P 的轨迹为椭圆.故选D.3.(1)由题意,设动圆P 的半径为r ,则|PM |=4-r ,|PN|=r ,可得|PM |+|PN |=4-r +r =4,∴点P 的轨迹C 是以M,N 为焦点的椭圆,∴2a =4,2c =2,∴b =√a 2-c 2=√3,∴椭圆的方程为x 24+y 23=1.即点P 的轨迹C 的方程为x 24+y 23=1.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由题意知-2<m <2,直线l:y =k (x -m ), 由{y =k (x -m ),x 24+y 23=1,得(3+4k 2)x 2-8k 2mx +4k 2m 2-12=0, ∴x 1+x 2=8mk 24k 2+3,x 1x 2=4m 2k 2-124k 2+3,∴y 1+y 2=k (x 1-m )+k (x 2-m )=k (x 1+x 2)-2km =-6mk 4k 2+3,y 1y 2=k 2(x 1-m )(x 2-m )=k 2x 1x 2-k 2m (x 1+x 2)+k 2m 2=3k 2(m 2-4)4k 2+3,∴|GA |2+|GB |2=(x 1-m )2+y 12+(x 2-m )2+y 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2-2m (x 1+x 2)+2m 2+(y 1+y 2)2-2y 1y 2=(k 2+1)[-6m 2(4k 2-3)+24(3+4k 2)](4k 2+3)2.要使ω=|GA |2+|GB |2的值与m 无关,需使4k 2-3=0, 解得k =±√32,此时ω=|GA |2+|GB |2=7.。

第五十课时 椭圆的定义与标准方程课前预习案考纲要求1、掌握椭圆的定义，并会用椭圆定义解题；掌握求椭圆标准方程的基本步骤（定型、定位、定量）掌握求椭圆标准方程的基本方法（定义法和待定系数法）2、基础知识梳理1．定义：①平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数2a （122___a F F ），这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫 )． 两焦点间的距离叫做②定义的符号表示： 。

注意：当122a F F =时，轨迹是 ；当122a F F < 时， 。

③,,a b c 之间的关系 。

2．椭圆的标准方程（1）若椭圆的焦点在x 轴上，则椭圆的标准方程为 ，焦点坐标为 ，焦距为 。

（2）若椭圆的焦点在y 轴上，则椭圆的标准方程为 ，焦点坐标为 ，焦距为 。

预习自测1.已知椭圆的焦点为1F （-1，0）和2F （1，0），P 是椭圆上的一点，且21F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则该椭圆的方程为（ ）A ．191622=+y x B ．1121622=+y x C ．13422=+y x D ．14322=+y x 2.已知椭圆的方程是2221(5)25x y a a +=>,它的两个焦点分别是F 1,F 2,且| F 1F 2|=8,弦AB 过F 1,则∆ABF 2的周长为( )A.10B.20C.241D.4412．P 是椭圆14522=+y x 上的一点，1F 和2F 是焦点，若1230F PF ∠=，则12F PF ∆的面积等于（）A .3316 B .)32(4- C .)32(16+ D .16课内探究案典型例题考点1：椭圆的定义【典例1】下列说法中，正确的是（ ）A ．平面内与两个定点1F ，2F 的距离和等于常数的点的轨迹是椭圆B ．与两个定点1F ，2F 的距离和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹是椭圆C ．方程()2222210x y a c a a c +=>>-表示焦点在x 轴上的椭圆 D ．方程()222210,0x y a b a b+=>>表示焦点在y 轴上的椭圆【变式1】1F ，2F 是定点，126F F =，动点M 满足126MF MF +=，则点M 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．直线 C ．线段 D ．圆考点2．椭圆的标准方程【典例2】(1)已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的3倍,并且过点P(3,0),求椭圆的方程;(2)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点P 1(6,1),P 2(-3,-2),求椭圆的方程.【变式2】已知椭圆的中心在原点，且经过点(0,3)P ，b a 3=，求椭圆的标准方程．考点3．椭圆的焦距【典例3】椭圆 63222=+y x 的焦距是（ ） A ．1B ．)23(2-C ．2D ．)23(2+【变式3】椭圆1422=+y m x 的焦距为2，则m 的值是（ ）A ．5B ．3C ．5或3D ．不存在当堂检测1．如果方程222=+my x 表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数m 的取值范围是（ ）A ．（0，+∞）B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，1）2．若椭圆116222=+b y x 过点（－2，3），则其焦距为（ ） A.25 B.23 C. 43 D. 45 3.若椭圆的两焦点为(2,0)-和(2,0)，且椭圆过点53(,)22-，则椭圆方程是（ ）A ．22184y x += B ．221106y x += C ．22148y x += D ．221106x y += 4. （2019年高考广东）已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ,离心率等于21,则C 的方程是（ ） A ．14322=+y x B ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x课后拓展案A 组全员必做题1．（2019年高考大纲卷）已知()()1221,0,1,0,F F C F -是椭圆的两个焦点过且垂直于x 轴的直线交于A B 、两点，且3AB =，则C 的方程为（ ）A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 2．设AB 是椭圆Γ的长轴,点C 在Γ上,且π4CBA ∠=.若4AB =,2BC =,则Γ的两个焦点之间的距离为_______.3.如图所示，椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，直线x ＝±a 和y ＝±b 所围成的矩形ABCD 的面积为8.求椭圆M 的标准方程.4．在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C 的中心在原点O,焦点在x 轴上,短轴长为2,离心率为22，求椭圆C 的方程.5．已知圆22:(1)1M x y ++=,圆22:(1)9N x y -+=,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线C .求C 的方程.1．（2019年高考安徽）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4,且过点(23)P ，，求椭圆C 的方程.2．椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率32e =,a+b=3求椭圆C 的方程;3.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P(0,1)在C 1上．求椭圆C 1的方程.参考答案预习自测1.C2.D3.B典型例题【典例1】C 【变式1】C【典例2】（1）2219x y +=或221819y x +=；（2）22193x y +=. 【变式2】198122=+y x 或1922=+x y 【典例3】C【变式3】C当堂检测1.D2.C3.D4.DA 组全员必做题1.C2.4633.221 4xy+=4.221 2xy+=5.22143x y+=.B组提高选做题1.221 84x y+=2.221 4xy+=3.221 2xy+=。

第10节导数的概念及计算【选题明细表】知识点、方法题号导数的概念与运算1,2,3,13导数的几何意义4,5, 7,8,9,11导数运算及几何意义综合6,10,12,14,15基础巩固(时间:30分钟)1.(2017·黑龙江省伊春市期中)函数y=的导数为( D )(A) (B)(C)- (D)解析:因为y=,所以y′==.故选D.2.函数y=ln(2x2+1)的导数是( B )(A) (B)(C)(D)解析:因为y=ln(2x2+1),所以y′=·(2x2+1)′=.故选B.3.(2017·山西怀仁县期中)已知f(x)=x2+3xf′(1),则f′(2)等于( A )(A)1 (B)2 (C)4 (D)8解析:f′(x)=2x+3f′(1),令x=1,得f′(1)=2+3f′(1),f′(1)=-1,所以f′(x)=2x-3.所以f′(2)=1.故选A.4.(2017·湖南怀化一模)如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f′(5)等于( A )(A)2 (B)1(C) (D)0解析:根据图象知,点P为切点,f(5)=-5+8=3,f′(5)为函数y=f(x)的图象在点P处的切线的斜率,所以f′(5)=-1,所以f(5)+f′(5)=2.故选A.5.函数f(x)=e x ln x在x=1处的切线方程是( C )(A)y=2e(x-1) (B)y=ex-1(C)y=e(x-1) (D)y=x-e解析:函数f(x)=e x ln x的导数为f′(x)=e x ln x+e x·,所以切线的斜率k=f′(1)=e,令f(x)=e x ln x中x=1,得f(1)=0,所以切点坐标为(1,0),所以切线方程为y-0=e(x-1),即y=e(x-1).故选C.6.(2017·湖南邵阳二模)已知a>0,曲线f(x)=2ax2-在点(1,f(1))处的切线的斜率为k,则当k取最小值时a的值为( A )(A) (B) (C)1 (D)2解析:f(x)=2ax2-的导数为f′(x)=4ax+,可得在点(1,f(1))处的切线的斜率为k=4a+,由a>0,可得4a+≥2=4,当且仅当4a=,即a=时,k取最小值.故选A.7.导学号 38486054(2017·河南许昌二模)已知函数y=x+1+ln x在点A(1,2)处的切线l,若l与二次函数y=ax+(a+2)x+1的图象也相切,则实数a的取值为( D )(A)12 (B)8 (C)0 (D)4解析:y=x+1+ln x的导数为y′=1+,曲线y=x+1+ln x在x=1处的切线斜率为k=2,则曲线y=x+1+ln x在x=1处的切线方程为y-2=2x-2,即y=2x.由于切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,y=ax2+(a+2)x+1可联立y=2x,得ax2+ax+1=0,又a≠0,两线相切有一切点,所以有Δ=a2-4a=0,解得a=4.故选D.8.(2017·天津卷)已知a∈R,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1,f(1))处的切线为l,则l 在y轴上的截距为.解析:因为f′(x)=a-,所以f′(1)=a-1.又因为f(1)=a,所以切线l的斜率为a-1,且过点(1,a),所以切线l的方程为y-a=(a-1)(x-1).令x=0,得y=1,故l在y轴上的截距为1.答案:19.(2017·云南一模)已知函数f(x)=axln x+b(a,b∈R),若f(x)的图象在x=1处的切线方程为2x-y=0,则a+b= .解析:f(x)=axln x+b的导数为f′(x)=a(1+ln x),由f(x)的图象在x=1处的切线方程为2x-y=0,易知f(1)=2,即b=2,f′(1)=2,即a=2,则a+b=4.答案:4能力提升(时间:15分钟)10.导学号 38486055已知函数f(x)在R上可导,且f(x)=x2+2xf′(2),则函数f(x)的解析式为( B )(A)f(x)=x2+8x (B)f(x)=x2-8x(C)f(x)=x2+2x (D)f(x)=x2-2x解析:因为f(x)=x2+2xf′(2),所以f′(x)=2x+2f′(2),所以f′(2)=2×2+2f′(2),解得f′(2)=-4,所以f(x)=x2-8x,故选B.11.(2017·广州一模)设函数f(x)=x3+ax2,若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程为x+y=0,则点P的坐标为( D )(A)(0,0) (B)(1,-1)(C)(-1,1) (D)(1,-1)或(-1,1)解析:因为f(x)=x3+ax2,所以f′(x)=3x2+2ax,因为函数在点(x0,f(x0))处的切线方程为x+y=0,所以3+2ax0=-1,因为x0++a=0,解得x0=±1.当x0=1时,f(x0)=-1,当x0=-1时,f(x0)=1.故选D.。

第20讲两角和与差的正弦、余弦和正切考试说明 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.会用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.考情分析真题再现■ [2017-2013]课标全国真题再现1.[2016·全国卷Ⅱ]若cos-α=,则sin 2α=()A.B.C.-D.-[解析] D∵cos-α=,∴sin 2α=cos-2α=2cos2-α-1=-.2.[2015·全国卷Ⅰ] sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=()A.-B.C.-D.[解析] D sin 20°cos10°-cos 160°sin10°=sin20°·cos 10°+cos20°sin10°=sin30°=.3.[2017·全国卷Ⅲ]函数f(x)=sin +cos 的最大值为()A. B.1C. D.[解析] A因为f(x)=+cos x+sin x==sin ,所以函数f(x)的最大值为.4.[2014·全国卷Ⅰ]设α∈,β∈,且tan α=,则()A.3α-β=B.3α+β=C.2α-β=D.2α+β=[解析] C tan α=====tan,因为β∈,所以+∈,又α∈且tan α=tan,所以α=+,即2α-β=.5.[2017·全国卷Ⅰ]已知α∈,tan α=2,则cos= .[答案][解析] 因为α∈,tan α=2,所以sin α=,cos α=,于是cos=(cos α+sin α)=.■ [2017-2016]其他省份类似高考真题1.[2016·四川卷] cos2-sin2= .[答案][解析] 由题可知,cos2-sin2=cos=.2.[2017·江苏卷]若tan=,则tan α=.[答案][解析] tan α=tan===.【课前双基巩固】知识聚焦(1)sin αcos β±cos αsin β(2)cos αcos β∓sin αsin β(3)对点演练1.[解析] sin 75°=sin(45°+30°)=sin 45°cos30°+cos 45°sin30°=×+×=.2.[解析] ∵cos α=-,α∈,∴sin α=,∴sin=sin αcos+cosαsin=×+×=.3.-1[解析] 原式=cos 65°cos115°-sin 65°sin115°=cos(65°+115°)=cos180°=-1.4.7[解析] tan(α-β)==7.5.-[解析] 因为tan+α=tan+α=,所以=,tan α=-,又α∈,π,所以cosα=-=-.6.sin[解析] sin x-cos x=cos sin x-sin cos x=sin.7.[解析] ==tan(45°-15°)=tan 30°=.8.2[解析] 因为α+β=,所以tan(α+β)=-1,即=-1,整理得(1-tan α)(1-tan β)=2,所以[1+tan(π-α)](1-tan β)=(1-tan α)(1-tan β)=2.【课堂考点探究】例1[思路点拨] (1)利用两角和与差的正弦公式展开已知条件即可.(2)法一:由已知利用同角三角函数的基本关系式可求出sinα+的值,进而利用两角差的余弦公式即可计算得解.法二:由已知利用两角和的余弦公式可得sin α=cos α+,代入同角三角函数的基本关系式化简整理可得关于cos α的一元二次方程,解方程并结合α的范围即可得解.(1)A(2)[解析] (1) 由sin(α+β)=2sin(α-β)=,可得sin αcos β+cos αsin β=,①sin αcos β-cos αsin β=,②由①+②解得sin αcos β=.(2)法一:∵α∈0,,cosα+=-,∴α+∈,,sinα+=,∴cos α=cosα+-=cosα+cos+sinα+sin=×+×=.法二:∵cosα+=-,可得cos α-sin α=-,∴sin α=cos α+,又∵sin2α+cos2α=1,∴cosα+2+cos2α=1,整理可得36cos2α+24cos α-11=0,解得cos α=或.∵α∈0,,可得cos α>0,故cos α=.变式题(1)C(2)1[解析] (1)cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β).由cosα=,cos(α-β)=,0<β<α<,可知sin α=,sin(α-β)=,代入上式得cos β=×+×==,所以β=,故选C.(2)由lg(6x2-5x+2)=0,可得6x2-5x+1=0.∵tan α,tan β分别是lg(6x2-5x+2)=0的两个实根,∴tan α+tan β=,tan α·tan β=,∴tan(α+β)===1.例2[思路点拨] (1)将两个条件等式分别平方相加可得;(2)先利用“切化弦”的思想,根据条件求出cos αcos β的值,再利用差角的余弦公式求出sin αsin β的值,即可求cos(α+β)的值.(1)-(2)-[解析] (1)∵sin α+cos β=,sin β-cos α=,∴(sin α+cos β)2=,(sin β-cosα)2=,即sin2α+2sin αcos β+cos2β=①,sin2β-2sin βcos α+cos2α=②,①+②得sin2α+2sin αcos β+cos2β+sin2β-2sin βcosα+cos2α=(sin2α+cos2α)+(cos2β+sin2β)+2(sin αcos β-sin βcosα)=1+1+2sin(α-β)=2+2sin(α-β)=,则sin(α-β)=-.(2)∵tan α-tan β=-==3,α-β=,∴cos αcos β=.又cos(α-β)=cos αcos β+sinαsin β=,∴sin αsin β=-,那么cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=-.变式题(1)(2)4[解析] (1)sin 42°cos18°-cos 138°cos72°=sin 42°cos18°+cos 42°sin18°=sin(42°+18°)=sin 60°=.(2)(1+tan 20°)(1+tan 25°)=1+tan 20°+tan 25°+tan 20°tan25°=1+tan(20°+25°)(1-tan 20°tan25°)+tan 20°tan25°=2,同理可得(1+tan 21°)(1+tan 24°)=2,所以原式=4.例3[思路点拨] (1)所求式即tan+α,将+α看成(α+β)-β-求解;(2)观察已知角与所求角之间的关系,有+α++β=π+(α+β),进而可用诱导公式及两角和的正弦公式求解.(1)D(2)[解析](1)∵tan(α+β)=,tanβ-=,∴==tan+α=tan(α+β)-β-===.(2)∵<α<,∴<+α<π,又∵cos+α=-,∴sin+α=.∵0<β<,∴<+β<π,又sin+β=,∴cos+β=-.∴sin(α+β)=-sin[π+(α+β)]=-sin+α++β=-sin+αcos+β+sin+βcos+α=-×-×=.变式题(1)D(2)C[解析] (1)∵tan α=,tan(α-β)=-,∴tan(2α-β)===.(2)∵α为锐角,sinα-=,∴0<α-<,∴cosα-==,则cosα-=cosα--=cosα-cos+sinα-sin=×+×=.【备选理由】例1为根据关系式求三角函数值,主要考查两角和的正弦公式的逆用、诱导公式及同角三角函数的基本关系式,求解时要注意角的范围及解的情况;例2为根据函数值求角,需要通过观察已知角和所求角之间的关系合理进行角的变换.1[配合例2使用] [2017·抚州七校联考]若sin x+cos x=,则tan x+等于()A.±B.±C.±2D.±[解析] D由sin x+cos x=,得2sin x+=,即sin x+=,所以cos x+=±,所以tan x+=±,所以tan x+=tan x+=±.2[配合例3使用] [2017·宿迁泗洪中学期中]已知α,β为锐角,tan α=,cos(α+β)=-.(1)求sin α;(2)求2α+β.解:(1)∵∴sin2α=,又∵α为锐角,∴sin α=.(2)∵α,β为锐角,cos(α+β)=-<0.∴α+β∈,π,∴sin(α+β)==.由(1)可知sin α=,cos α=,∴sin(2α+β)=sin[α+(α+β)]=sin αcos(α+β)+cos αsin(α+β)=×+×=0,又∵α∈0,,α+β∈,π,∴2α+β∈,,∴2α+β=π.。