黑龙江省佳木斯市小学数学小学奥数系列6-1-3植树问题(一)

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1．封闭与非封闭植树路线的讲解及生活运用。

2．掌握空心方阵和实心方阵的变化规律．

3．几何图形的设计与构造

一、植树问题分两种情况：

（一）不封闭的植树路线.

① 若题目中要求在植树的线路两端都植树，则棵数比段数多1.

全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数段数1全长株距1

全长株距(棵数1)

株距全长(棵数1)

② 如果题目中要求在路线的一端植树，则棵数就比在两端植树时的棵数少1，即棵数与段数相等.

全长、棵数、株距之间的关系就为：全长株距棵数；

棵数段数全长株距；

株距全长棵数.

③ 如果植树路线的两端都不植树，则棵数就比②中还少1棵.

全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数段数1全长株距1.

株距全长(棵数1).

全长株距(棵数+1)

（二）封闭的植树路线.

在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树，因为头尾两端重合在一起，所以种树的棵数等于分成的段数.

全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数段数周长株距. 知识点拨 教学目标

5-1-3.植树问题（一）

2 二、解植树问题的三要素

（1）总路线长（2）间距（棵距）长（3）棵数，

只要知道这三个要素中任意两个要素，就可以求出第三个．

三、方阵问题

（1）明确空心方阵和实心方阵的概念及区别.

（2）每边的个数＝总数÷41”；

（3）每向里一层每边棋子数减少2；

（4）掌握计算层数、每层个数、总个数的方法，及每层个数的变化规律。

【例 1】 大头儿子的学校旁边的一条路长400米，在路的一边从头到尾每隔4米种一棵树，一共能种几棵树？

【考点】直线上的植树问题 【难度】1星 【题型】解答

【解析】 从图上可以看出，每隔4米种一棵树，如果20米长的路的一边共种了6棵树，这是因为我们首先要在这条路的一端种上一棵，就是说种树的棵树要比间距的个数多1，所以列式为：400÷4+1=101（棵）.

1 第6讲 植树问题

一、 知识要点

1、 基本概念：

总长：植树路线的全长。

棵距：两棵数之间的距离。

段数：总长中共有几个棵距

棵数：植树的总棵树

2、 基本类型以及关系式：

（1） 路的两端都要植树

棵树=线路总长÷棵距+1

线路总长=棵距×（棵树－1）

棵距=线路总长÷（棵数－1）

（2） 路的两端都没有植树

棵树=线路总长÷棵距－1

棵数=段数-1

(3)路的一端植树，另一端不植树

棵树=线路总长÷棵距

棵数=段数

另外，生活中还有一些问题，可以用植树问题的方法来解答。比如锯木头、爬楼梯问题等等，这时解题的关键是要将题目中的条件和问题与植树问题中的“总距离”、“间隔长”、“棵数”对应起来。

2 二、精讲精练

【例题1】小朋友们在路的一边植树，先植一棵树，以后每隔3米植一棵，已经植了9棵，问第一棵和第九棵树相距多少米？

练习1：

（1）在路的一侧插彩旗，每隔5米插一面，从起点到终点共插了20面，这条道路有多长？

（2）在学校的走廊两边，每隔4米放一盆菊花，从起点到终点一共放了20盆，这条走廊长多少米？

【例题2】在一条长42米的大路两侧栽树，从起点到终点一共栽了14棵，已知相邻两棵树之间的距离都相等，问相邻两棵树之间的距离是多少米？

3 练习2：在公园一条长30米的路的两侧放椅子，从起点到终点共放了12把椅子，相邻两把椅子的距离相等，相邻两把椅子之间相距多少米？

【例题3】把一根钢管锯成小段，一共花了28分钟，已知每锯开一段需要4分钟，这根钢管被锯成了多少段？

练习3： 一根圆木锯成2米长的小段，一共花了12分钟。已知每锯下一段要3分钟，这根圆木长多少米？

【例题4】甲、乙两人比赛爬楼梯，甲跑到4楼时，乙恰好跑到3楼，照这样计算，甲跑到16楼时，乙跑到了多少楼？

练习4：小明和小红两人爬楼梯比赛，小明跑到第4层时，小红跑到第5层，照这样计算，当小明跑到第16层时，小红跑到了第几层？

第4讲 植树问题

知识点、重点、难点

以植树为内容,研究植树的棵树、棵与棵之间的距离(棵距)和需要植树的总长度(总长)等数量间关系的问题,称为植树问题.

植树问题在生活中很有实际运用价值,其基本数量关系和解题的要点是:

1.植树问题的基本数量关系:每段距离×段数=总距离.

2.在直线上植树要根据以下几种情况,弄清棵数与段数之间的关系:

(1)在一段距离中,两端都植树,棵数=段数+1;

(2)在一段距离中,两端都不植树,棵数=段数-1;

(3)在一段距离中,一端不植树,棵数=段数.

3.在封闭曲线上植树,棵数=段数.

例题精讲:

例 1 有一条长1000米的公路,在公路的一侧从头到尾每隔25米栽一棵树苗,一共需要准备多少棵树苗?

分析:先将全长1000米的公路每25米分成一段,一共分成多少段?种树的总棵树和分成的段数的关系是棵数=段数+1.

解 1000÷25+1=41(棵).

答:一共需要准备41棵树苗.

例 2 公路的一旁每隔40米有木电杆一根(两端都有).共121根.现改为水泥电杆51根(包括两端),求两根相邻水泥电杆之间的距离.

分析:公路全长为40×(121-1)

解 40×(121-1)÷(51-1)=40×120÷50=96(米).

答:两根相邻水泥杆之间的距离是96米.

例 3 两幢大楼相隔115米,在其间以等距离的要求埋设22根电杆,从第1根到第15根电杆之间相隔多少米?

分析:在相距115米的两幢大楼之间埋设电杆,是两端都不埋电杆的情况,115米应该分成22+1=23段,那么每段长是115÷23=5米,而第1根到第15根电杆间有15-1=14段,所以第1根到第15根电杆之间相隔(5×14)米.

解 115÷(22+1)×(15-1)=115÷23×14=70(米)

答:从第1根到第15根之间相隔70米.

例 4 工程队打算在长96米,宽36米的长方形工地的四周打水泥桩,要求四角各打一根,并且每相邻两根的距离是4米,共要打水泥桩多少根?

1 教学辅导教案

学科：数学 任课教师：杨老师 授课时间：2012/10/20

姓名 年级 性别 教学课题 《植树问题》二

教学

目标 1.通过探究发现一条线段上两端要种和两端不种两种不同情况植树问题的规律。

2.使学生经历和体验“复杂问题简单化”的解题策略和方法

重点

难点 会应用植树问题的规律解决一些相关的实际问题。

课

堂

教

学

过

程

过

程 一，植树问题公式

（1）不封闭线路的植树问题：

间隔数+1=棵数；（两端植树）

路长÷间隔长+1=棵数。

或 间隔数-1=棵数；（两端不植）

路长÷间隔长-1=棵数；

路长÷间隔数=每个间隔长；

每个间隔长×间隔数=路长。

（2）封闭线路的植树问题：

路长÷间隔数=棵数；

路长÷间隔数=路长÷棵数=每个间隔长；

每个间隔长×间隔数=每个间隔长×棵数=路长。

（3）平面植树问题：

占地总面积÷每棵占地面积=棵数

二，例题分析

例1在一条长420米的公路两旁种树，每隔6米种一棵，两头都要种，一共要种多少棵？

分析；树的间隔5米，那么我们先求出420米的路有多少个间隔数，公路两旁、两头都要种树不是环形的路，求出；树数=（间隔数+1）×2

解；间隔数；420÷6=70，树数；（70+1）×2=142（棵） 答；一共要种142棵。

2 例2在一段路边每隔50米设一根路灯杆，包括这段路两端设的路灯杆，共设了10根。这段路长多少米？

解：这是第(3)种情形，所以，“段数”＝10－1＝9。这段路长为50×(10-1)＝450(米)。

答：这段路长450米。

例3将一根钢管，锯成5段，如果每锯一段需要3分钟，那么锯完这根木材需要多少时间？

分析；每锯一段用2分钟，锯成5段共用；2×5=10（分钟），就错了，想想；钢管锯成5段，是否要锯5次？

解；锯5段，实际上只要用5-1=4次