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数字图像处理第七章

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数字图像处理及应用智慧树知到答案章节测试2023年长安大学

数字图像处理及应用智慧树知到答案章节测试2023年长安大学

绪论单元测试1.数字图像处理泛指通过计算机对数字图像进行处理，涉及图像增强、图像复原、图像分割等内容。

（）A:错B:对答案:B2.数字图像处理的优点包括（）。

A:处理效果可控B:数据量小C:容易存储D:可重现性好答案:ACD3.数字图像处理系统包含（）。

A:图像处理和分析B:图像存储C:图像传输D:图像输入E:图像输出答案:ABCDE4.人眼感受到的明亮程度，称作亮度，是一种主观感受。

（）A:对B:错答案:A5.数字图像处理的研究内容中，（）的目的是根据二维平面图像数据构造出物体的三维图像。

A:图像重建B:图像分割C:图像增强D:图像复原答案:A第一章测试1.一幅256X256的图像，若灰度级数为16，则存储它所需的比特数是( )。

A:1MB:512KC:2MD:256K答案:D2.图像中虚假轮廓的出现就其本质而言是由于( )。

A:图像的空间分辨率过高造成B:图像的空间分辨率不够高造成C:图像的灰度级数不够多造成的D:图像的灰度级数过多造成的答案:C3.m邻接可以消除由8邻接引起的像素间通路的二义性。

（）A:对B:错答案:A4.常用的插值算法有（）。

A:均匀插值B:最近邻插值C:双线性插值D:双三次插值答案:BCD5.对单幅图像进行处理，仅改变像素空间位置的运算是（）。

A:几何运算B:算术运算C:逻辑运算D:集合运算答案:A第二章测试1.下列算法中属于点运算的是（）。

A:傅里叶变换B:梯度锐化C:二值化D:直方图均衡答案:CD2.直方图均衡的目的是将图像的直方图变换为均匀分布的直方图。

（）A:错B:对答案:B3.一幅图像的直方图均值较小而方差较大，意味着（）。

A:图像较暗，对比度较大B:图像较暗，对比度较小C:图像较亮，对比度较小D:图像较亮，对比度较大答案:A4.下列算法中属于平滑运算的是（）。

A:Laplacian增强B:中值滤波C:直方图均衡D:梯度锐化答案:B5.（）可以较好地去除椒盐噪声。

精品课件-数字图像处理-第7章

精品课件-数字图像处理-第7章

6
④对i≠j，有P(Ri∪Rj)＝FALSE； ⑤对i＝1，2，…，n，Ri是连通的区域。 定义中，条件①指出对一幅图像的分割结果中全部区域 的总和(并集)应能包括图像的所有像素(即原图像)；条件② 指出分割结果中各个区域是互不重叠的，或者说在分割结果 中一个像素不能同时属于两个区域；条件③指出属于同一个 区域的像素应该具有某些相同特性；条件④指出分割结果中 属于不同区域的像素应该具有一些不同的特性；条件⑤要求 分割结果中同一个区域内的任意两个像素在该区域内互相连 通，或者说分割得到的区域是一个连通成分。
11 图7.2.1 边缘及其导数
12
可用一阶导数的幅度值来检测边缘的存在，幅度峰值一 般对应边缘位置。可用二阶导数的过零点检测边缘位置，而 用二阶导数在过零点附近的符号确定边缘像素在图像边缘的 暗区或明区。
利用边缘灰度变化的一阶或二阶导数特点，可以将边缘 点检测出来。
自1965年L.G.Robert提出边缘检测算子以来，边缘检测 算子常分为经典算子、最优算子、多尺度方法及自适应平滑 滤波方法。近年来又提出了将模糊数学、神经元网络和数学 形态学应用于边缘检测的思想。经典的梯度算子模板包括 Roberts模板、Sobel模板、Kirsch模板、Laplacian模板等。
据此，对数字图2像f 的每x个f2 像 素yf计2 算关于x和y的(二7.阶2.偏2)导
数之和，以差分方式表示，得到
27
2f(x，y)＝f(x＋1，y)＋f(x－1，y)＋f(x，y＋1)＋ f(x，y－1)－4f(x，y)
(7.2.3) 上式中的 2就是著名的Laplacian算子。
28 图7.2.8 Laplacian算子模板
31
所以平滑函数应能反映不同远近的周围点对给定像素具有不 同的平滑作用，因此，平滑函数采用正态分布的高斯函数， 即

数字图像处理 第七章

数字图像处理 第七章

5．冗余性
（ 1 ）由连续小波变换恢复信号的重构公式不是唯一的。也就是说， 信号的小波变换与小波重构不存在一一对应关系，而Fourier 变换与反 Fourier变换是一一对应的。 （ 2 ）小波变换的核函数即函数存在许多可能的选择（例如，非正交 小波、正交小波、双正交小波,甚至允许是彼此线性相关的）。
（4）Biorthogonal（biorNr.Nd）双正交小波系
得重构算法:
c n (k 1) p n2l cl (k ) q n2l d l (k )
l l
小波重建示意图
33
7.5 Matlab中常用小波基介绍
34
常用小波函数介绍

（1）Harr小波
1 H ( x) 1 0 尺度函数
1 H ( x) 0
改变a和b的大小，以使小波变换具有“变焦距”的功能。
18
离散小波变换
定义 令：a0=2，b0=1时，尺度为2 j ，而位移为2 j k
即：尺度为2 j ，而位移为2 j k 则：二进离散小波：
j ,k ( x) 2 j / 2 2 j x k
相应的小波变换记：
(W f )( j, k ) f , j ,k
j jJ
22
框架理论
对偶框架算子
设
~ ~ T T (T *T ) 1 对偶框架 { j } jJ 的框架算子
则：
~ ~ T *T I T *T
可以得到：
~ f f , ~ f , j j j j
jJ jJ
23
7.4
多分辨率分析和Mallat算法
分解 由于
f k ( x) Vk g k Wk , { (2 k x j )},{ (2 k x j )} 分别是

(完整版)数字图像处理每章课后题参考答案

(完整版)数字图像处理每章课后题参考答案

数字图像处理每章课后题参考答案第一章和第二章作业：1.简述数字图像处理的研究内容。

2.什么是图像工程？根据抽象程度和研究方法等的不同，图像工程可分为哪几个层次？每个层次包含哪些研究内容？3.列举并简述常用表色系。

1.简述数字图像处理的研究内容？答：数字图像处理的主要研究内容，根据其主要的处理流程与处理目标大致可以分为图像信息的描述、图像信息的处理、图像信息的分析、图像信息的编码以及图像信息的显示等几个方面，将这几个方面展开，具体有以下的研究方向：1.图像数字化，2.图像增强，3.图像几何变换，4.图像恢复，5.图像重建，6.图像隐藏，7.图像变换，8.图像编码，9.图像识别与理解。

2.什么是图像工程？根据抽象程度和研究方法等的不同，图像工程可分为哪几个层次？每个层次包含哪些研究内容？答：图像工程是一门系统地研究各种图像理论、技术和应用的新的交叉科学。

根据抽象程度、研究方法、操作对象和数据量等的不同，图像工程可分为三个层次：图像处理、图像分析、图像理解。

图像处理着重强调在图像之间进行的变换。

比较狭义的图像处理主要满足对图像进行各种加工以改善图像的视觉效果。

图像处理主要在图像的像素级上进行处理，处理的数据量非常大。

图像分析则主要是对图像中感兴趣的目标进行检测和测量，以获得它们的客观信息从而建立对图像的描述。

图像分析处于中层，分割和特征提取把原来以像素描述的图像转变成比较简洁的非图形式描述。

图像理解的重点是进一步研究图像中各目标的性质和它们之间的相互联系，并得出对图像内容含义的理解以及对原来客观场景的解释，从而指导和规划行为。

图像理解主要描述高层的操作，基本上根据较抽象地描述进行解析、判断、决策，其处理过程与方法与人类的思维推理有许多相似之处。

第三章图像基本概念1.图像量化时，如果量化级比较小时会出现什么现象？为什么？答：当实际场景中存在如天空、白色墙面、人脸等灰度变化比较平缓的区域时，采用比较低的量化级数，则这类图像会在画面上产生伪轮廓（即原始场景中不存在的轮廓）。

数字图像处理图像压缩ppt课件

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图像熵值
6
H Pxi log2 Pxi i 1 0.4log2 0.4 0.3log2 0.3 2 0.1log2 0.1
0.06log2 0.06 0.04log2 0.04
2.14bit
平均码长 N与H接近，N H
第七章 图像压缩
7.2 基础知识 7.2.1 数据冗余
• 数据冗余旳概念
数据是用来表达信息旳。假如不同旳措施为表 达给定量旳信息使用了不同旳数据量，那么使用 较多数据量旳措施中，有些数据必然是代表了无 用旳信息，或者是反复地表达了其他数据已表达 旳信息，这就是数据冗余旳概念。
第七章 图像压缩
7.2.1 数据冗余
元素
xi
x1
x2 x3 x4
x5
x6
概率 P(xi) 0.4 0.3 0.1 0.1 0.06 0.04
编码 wi 1 00 011 0100 01010 01011
第七章 图像压缩
x1 0.4
0.4
x2 0.3
0.3
x3 0.1
0.1
x4 0.1
0.1 (0100)
x5 0.06 (01010) 0.1(0101)
例如：原图像数据：234 223 231 238 235 压缩后数据：234 -11 8 7 -3
第七章 图像压缩
7.2.1 数据冗余
• 什么是心理视觉冗余？
这是因为眼睛对全部视觉信息感受旳敏捷度 不同。在正常视觉处理过程中多种信息旳相对主 要程度不同。 有些信息在一般旳视觉过程中与另 外某些信息相比并不那么主要，这些信息被以为 是心理视觉冗余旳，清除这些信息并不会明显降 低图像质量。
• 三种基本旳数据冗余
编码冗余 像素间冗余 心理视觉冗余

图像分割与特征提取 ppt课件

图像分割与特征提取 ppt课件

ppt课件
5
7.1 图像分割的概念
2. 图像分割的依据和方法
◆图像分割的依据是各区域具有不同的特性，这些 特性可以是灰度、颜色、纹理等。而灰度图像分割的 依据是基于相邻像素灰度值的不连续性和相似性。也 即，子区域内部的像素一般具有灰度相似性，而在区 域之间的边界上一般具有灰度不连续性。
◆灰度图像分割是图像分割研究中最主要的内容，其 本质是按照图像中不同区域的特性，将图像划分成不 同的区域。
7.2.1 图像边缘
图像
剖面
一阶导数
二阶导数
上升阶跃边缘 （a）
下降阶跃边缘 （b）
脉冲状边缘 （c）
屋顶边缘 （d）
图7.1 图像边缘及其导数曲线规律示例
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11
7.2 基于边缘检测的图像分割
7.2.1 图像边缘
综上所述，图像中的边缘可以通过对它们求导数 来确定，而导数可利用微分算子来计算。对于数字图 像来说，通常是利用差分来近似微分。
方向：
f (x, y) = arctan(Gx / Gy )
（7.5）
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14
7.2.2 梯度边缘检测
(1) Roberts算子
是一个交叉算子，其在点(i,j)的梯度幅值表示为：
G(i, j) = f (i, j) f (i 1, j 1) f (i 1, j) f (i, j 1) （7.6）
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2
7.1 图像分割的概念
◆目标或前景 ◆背景 ◆目标一般对应于图像中特定的、具有独特性质的 区域。
ppt课件
3
7.1 图像分割的概念
1. 图像分割
图像分割就是依据图像的灰度、颜色、纹理、边 缘等特征，把图像分成各自满足某种相似性准则或具 有某种同质特征的连通区域的集合的过程。

遥感数字图像处理-第7章 图像去噪声

从噪声的概率密度函数来看，图像噪声主要有高斯噪声、 瑞利噪声、伽玛噪声、指数分布噪声、均匀分布噪声、脉 冲噪声等。
3
二、空间域去噪声
由于噪声像元的灰度值常与周边像元的灰度值不协调， 表现为极高或极低，因此可利用局部窗口的灰度值统计 特性（如均值、中值）来去除噪声。
空间域去噪声是利用待处理像元邻域窗口内的像元进行 均值、中值或其他运算得到新的灰度值，并将其赋给待 处理像元，通过对整幅图中值滤波、边缘保持平滑滤波和数学形态学去噪声等。
6
三、变换域去噪声
3.其他变换
主成分变换、最小噪声分离变换和独立成分变换去噪声主要用 于多波段数据，其去噪声的原理基本相同，即图像通过变换，噪 声主要集中在后面几个分量，选择前面噪声较少的分量进行反向 变换即可实现对图像的去噪声处理。
这里只简单介绍一下主成分变换去噪声的过程，最小噪声 分离变换和独立成分变换去噪声的过程类似。
第7章
图像去噪声
图像去噪声
一、常见噪声类型及其识别 二、空间域去噪声 三、变换域去噪声 难点：傅里叶变换和小波变换去噪声原理 重点：空间域和变换域去噪声方法
2
一、常见噪声类型及其识别
遥感数字图像成像过程中，受到外部环境和内部系统等因 素干扰会产生噪声，我们将其分为内部噪声和外部噪声。
噪声具有随机性，可以被认为是由概率密度函数（PDF） 表示的随机变量，通常采用噪声分量灰度值的统计特性（ 如均值、方差等）进行描述。
7
4
三、变换域去噪声
1.傅里叶变换
中心化的频谱图像
5
三、变换域去噪声
2.小波变换 利用傅里叶变换去噪声，带宽选得过宽，达不到去噪的目
的；选得过窄，噪声虽然滤去得多，但同时信号的高频部 分也损失了，不但带宽内的信噪比得不到改善，某些突变 点的信息也可能被模糊掉了。 在信号的低频部分，小波对频率的分辨率较高，而对时间 的分辨率较低；在高频部分，则恰好相反。它能自适应地 依据信号的变化而自行变化。 小波变换去噪的基本思路就是利用小波变换把含噪信号分 解到多尺度中，然后在每一尺度下把属于噪声的小波系数 抑制或去除，保留并增强属于信号的小波系数，最后重构 出小波消噪后的信号。

数字图像处理第7章


1 0 1
1
Wh 2
2
2
1
0 0
2
1
1
Wv
1 2
2
0 1
2 1
0 0
2
1
▓图7.2.5给出了上述五种梯度算子的边缘点检测实例。
Digital Image Processing
7.2 边缘点检测
(a)原图像
(b)梯度算子检测
(c) Roberts检测
(d) Prewitt检测
(e) Sobel检测
感。形成的方向梯度模板集就称为方向匹配检测模板，或方向梯
度响应数组。用其中的每一个方向的模板分别与图像卷积，其最
大模值就是边缘点的强度，最大模值对应的模板方向就是边缘点
的方向，这种检测边缘点并确定其方向的方法就称为方向梯度法
或方向匹配模板法。边缘梯度的定义式为：
N 1
G(m,
n)
MAX i0
{
Gi
(m,
Digital Image Processing
7.2 边缘点检测
（2） Sobel算子法（加权平均差分法） ▓Sobel算子就是对当前行或列对应的值加权后，再进行平
均和差分，也称为加权平均差分。水平和垂直梯度模板分别为：
1 0 1
Wh
1 4
2
0
2
1 0 1
1 2 1
Wv
1 4
0
0
0
1 2 1
(f)各向同性Sobel检测
图7.2-5 五种梯度算子的边缘点检测实例
Digital Image Processing
7.2 边缘点检测
◘方向梯度法（方向匹配模板法)
▓若事先并不知道哪个方向有边缘，但需要检测边缘，并确定 边缘的方向时。我们可设计一系列对应不同方向边缘的方向梯度

数字图像处理第七章ppt课件


第4讲
第5页
逻 辑 操 作 图 形 表 示
第4讲
，本章后续的 算法都是以此作为基础。腐蚀膨胀是图像形态学比 较常见的处理，腐蚀一般可以用来消除噪点，分割 出独立的图像元素等。
7.2.1腐蚀
腐蚀操作可以认为是缩小和细化图像中的物体，也 可以认为是形态学的滤波操作，这种操作是将小于 结构元的图像细节从图像中滤除。
第4讲
第7页
腐蚀运算定义： 假定A和B是Z2上的两个集合，把A被B腐蚀定义为：
A$Bz(B)zA
含义：腐蚀结果是这样一个由移位元素z组成的集合，以至B对这些 元素移位操作的结果完全包含于A。 腐蚀和膨胀关于补集和反射操作呈对偶关系（证明略）：
(A$B)c AcB µ
第4讲
第8页
腐蚀过程解释图示
第4讲
第9页
图7-2 第一行表示腐蚀过程中用的结构元； 第二行表示转换为矩阵的形式的结构元。原点表示结构元的中心
第4讲
第10页
腐蚀操作应用举例：消除二值图像中的不相关细节
本例中“细节”是从尺寸大小的角度讲的，同时该例中出现的一 些概念是形态学滤波的基础。
第4讲
第11页
第4讲
图7-4 (a)原始图像；(b)经过处理后的二值图像； (c)应用3×3的矩形结构元对二值图像腐蚀的结果； (d) 应用5×5的矩形结构元对二值图像腐蚀的结果。
第4讲
第13页
膨胀过程解释图示
第4讲
第14页
膨胀操作应用举例：桥接断裂图像间的间隙
第4讲
第15页
7.3 开操作和闭操作
开运算：
AoB(A$B ) B
相当于先用结构元B对A腐蚀，再对腐蚀结果用同样的结构元进行 膨胀操作。开运算也可以通过下面的拟合过程来表示：

数字图像处理课后参考答案

数字图像处理第一章1.1解释术语（2）数字图像：为了便于用计算机对图像进行处理，通过将二维连续（模拟）图像在空间上离散化，也即采样，并同时将二维连续图像的幅值等间隔的划分成多个等级（层次）也即均匀量化，以此来用二维数字阵列并表示其中各个像素的空间位置和每个像素的灰度级数的图像形式称为数字图像。

（3）图像处理：是指对图像信息进行加工以满足人的视觉或应用需求的行为。

1.7 包括图像变化、图像增强、图像恢复、图像压缩编码、图像的特征提取、形态学图像处理方法等。

彩色图像、多光谱图像和高光谱图像的处理技术沿用了前述的基本图像处理技术，也发展除了一些特有的图像处理技术和方法。

1.8基本思路是，或简单地突出图像中感兴趣的特征，或想方法显现图像中那些模糊了的细节，以使图像更清晰地被显示或更适合于人或及其的处理与分析。

1.9基本思路是，从图像退化的数学或概率模型出发，研究改进图像的外观，从而使恢复以后的图像尽可能地反映原始图像的本来面目，从而获得与景物真实面貌相像的图像。

1.10基本思路是，，在不损失图像质量或少损失图像质量的前提下，尽可能的减少图像的存储量，以满足图像存储和实时传输的应用需求。

1.11基本思路是，通过数学方法和图像变换算法对图像的某种变换，以便简化图像进一步处理过程，或在进一步的图像处理中获得更好的处理效果。

1.12基本目的是，找出便于区分和描述一幅图像中背景和目标的方法，以方便图像中感兴趣的目标的提取和描述。

第二章2.1解释下列术语（18）空间分辨率：定义为单位距离内可分辨的最少黑白线对的数目，用于表示图像中可分辨的最小细节，主要取决于采样间隔值的大小。

（19）灰度分辨率：是指在灰度级别中可分辨的最小变化，通常把灰度级数L称为图像的灰度级分辨率。

（20）像素的4邻域：对于图像中位于（x,y）的像素p来说，与其水平相邻和垂直相邻的4个像素称为该像素的4邻域像素，他们的坐标分别为（x-1,y）（x,y-1）（x,y+1）（x+1,y）。

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e


2 e
( 0 ) 2 / 2
Morlet 小波
一维小波变换
• 一维离散小波变换（DWT）
Mexihat小波：
(t )
2 3
(1 t )e
2
t 2 / 2


2 2 4 2 2 / 2 e 3
Mexihat小波
• 使用离散小波分析得到的小波系数、缩放因子和时间 关系如图所示。 – 图(a)是20世纪40年代使用Gabor开发的短时傅立叶 变换(STFT)得到的时间-频率关系图。 – 图(b)是20世纪80年代使用Morlet开发的小波变换得 到的时间-缩放因子(反映频率)关系图。
对于有限带宽信号， 若将其分解为窄带分 量，特别地当采用双 通道子带时，对应带 宽划分为两个分量 （子带），例如低半 带和高半带，构造子 带编码，是一种常用 的时频域技术。
多分辨率分析的背景知识
• 子带编码和解码
子带图像编码的二维4频段滤波器组
多分辨率分析的背景知识
• 哈尔变换 （Haar）
哈尔基函数是众所周知的最古老也是最简单的 正交小波。哈尔变换本身是可分离的，也是对 称的，可以用下述矩阵形式表达：
CWT的变换过程图示
CWT小结
• 小波的缩放因子与信号频率之间的关系可以这样 来理解。缩放因子小，表示小波比较窄，度量的 是信号细节，表示频率比较高；相反，缩放因子 大，表示小波比较宽，度量的是信号的粗糙程度， 表示频率比较低。
离散小波变换
• 在计算连续小波变换时，实际上也是用离 散的数据进行计算的，只是所用的缩放因 子和平移参数比较小而已。不难想象，连 续小波变换的计算量是惊人的。 • 为了解决计算量的问题，缩放因子和平移 参数都选择2 ^j( j>0的整数)的倍数。 • 使用这样的缩放因子和平移参数的小波变 换叫做双尺度小波变换，它是离散小波变 换(discrete wavelet transform，DWT)的一 种形式。
j ,k ( x)的形状随j 发生变化， ( x) 被称为尺度函数。
• 小波函数
多分辨率展开
给定尺度函数，则小波函数 ( x) 所在的空间跨越了相邻 两尺度子空间Vj和Vj+1的差异。令相邻两尺度子空间Vj 和Vj+1的差异子空间为Wj，则下图表明了Wj与Vj和Vj+1间 的关系。
尺度及小波函数空间的关系
小波分析
• 小波变换通过平移母小波(mother wavelet)可获 得信号的时间信息，而通过缩放小波的宽度 (尺度)可获得信号的频率特性。对母小波的缩 放和平移操作是为了计算小波的系数，这些系 数代表小波和局部信号之间的相互关系。 – 连续小波变换
– 离散小波变换
连续小波变换
CWT:Continue Wavelet Transform 将任意L2(R)空间中的x(t )在小波基下进行展开， 称这种展开为x(t )的连续小波变换CWT 1 W (a, ) x(t ), a（ , t ) a t R x(t ) ( a ) dt
多分辨率分析的背景知识
• 图像金字塔
– 高斯和拉普拉斯金字塔编码
首先对图像用高斯低通滤波器作低通滤波， 滤波后的结果从原图像中减去，图像中的高 频细节则保留在差值图像里；然后，对低通 滤波后的图像进行间隔采样（log2），细节 并不会因此而丢失 。
多分辨率分析的背景知识
• 图像金字塔
– 高斯和拉普拉斯金字塔编码
小波包分解树
小波分解树表示只对信号的低频分量进行连续 分解。如果不仅对信号的低频分量连续进行分 解，而且对高频分量也进行连续分解，这样不 仅可得到许多分辨率较低的低频分量，而且也 可得到许多分辨率较低的高频分量。这样分解 得到的树叫做小波包分解树（二叉树）。
快速小波变换算法
离散小波变换算法
快速小波变换算法
离散小波逆变换
二维离散小波变换
• 对于M×N的离散函数f(x,y)的离散小波变换对为：
正变换： W ( j0 , m, n) W ( j , m, n)
l
1 MN 1 MN
M 1 N 1

x 0 y 0
f ( x, y ) j0 , m , n ( x, y ) f ( x, y ) lj , m , n ( x, y ) l {1, 2, 3}
一维小波变换
• 一维离散小波变换（DWT）
正变换： 1 M 1 W ( j0 , k ) f (n) j0 , k (n) M n 0 1 M 1 W ( j , k ) f (n) j , k ( n) M n 0 反变换：对于j ≥ j0，有 f ( n) 1 M
小波变换
•傅里叶变换应用非常广泛的原因: 直观性 数学上的完美性 计算上的有效性 •仍有局限性：在整个时间轴上积分,表示了 信号的全局特征 •如果我们需要分析信号的局部特征怎么办?
时频展开
小波变换
数学显微镜
小波变换是强有力的时频分析 ( 处理 ) 工具，是 在克服傅立叶变换缺点的基础上发展而来的。已 成功应用于很多领域，如信号处理、图像处理、 模式识别等。 小波变换的一个重要性质是它在时域和频域均 具有很好的局部化特征，它能够提供目标信号各 个频率子段的频率信息。这种信息对于信号分类 是非常有用的。 小波变换一个信号为一个小波级数，这样一个 信号可由小波系数来刻画。来自计算简单——矩阵中0很多
多分辨率展开
• 函数的伸缩和平移 给定一个基本函数 ( x) ,则 ( x) 的伸缩和平移 公式可记为：
a,b ( x) (ax b)
多分辨率展开
• 函数的伸缩和平移
例：给定函数 sin( x) ( x) 0 0 ≤ x 2 其它
离散小波变换定义
任意L (R)空间中的x (t )的DWT 为： Wx ( j , k ) x (t ) j , k (t ) dt
R __________ 2
其中 j（ ,k t )
1
t ( j k) 2 2j
需要强调指出的是，这一离散化都是针对连续 的尺度参数和连续平移参数的，而不是针对时 间变量t的。
小波分解树
• 离散小波变换可以被表示成由低通滤波器和高通 滤波器组成的一棵树
– 原始信号通过这样的一对滤波器进行的分解叫做一级 分解
– 信号的分解过程可以叠代，也就是说可进行多级分解。
– 如果对信号的高频分量不再分解，而对低频分量连续 进行分解，就得到许多分辨率较低的低频分量，形成 如图所示的一棵比较大的树，这种树叫做小波分解树。 – 分解级数的多少取决于要被分析的数据和用户的需要。
金字塔的底部是待处理图像 的高分辨率表示，而顶部是 低分辨率近似。当向金字塔 的上层移动时，尺寸和分辨 率就降低。
一个金字塔图像结构
对于数字图象（以512x512为例），通过 连续平均2x2的象素块并丢掉隔行隔列的象素， 将得到缩小的图象（256x256）（行列各缩小为 原来的1/2）。这样迭代进行下去，直到得到 1x1的图象为止。如果利用同样尺寸的边缘检测 算子，在原始图象上则会得到小边缘，在 256x256及更小的图象上会得到稍大及更大的边 缘。
2 j0 1 k 0
W ( j , k )
0
j0 , k
( n)
1 M
W ( j, k )
j j0 k
J 1 2 j 1
j ,k
( n)
通常的小波变换是指j0 0的情况
一维小波变换
• 一维离散小波变换（DWT）
Morlet小波：
(t ) e
t 2 / 2 i0t
则 2, ( x)的波形如下图所示
函数的伸缩和平移
多分辨率展开
• 序列展开
信号或函数常常可以被很好地分解为一系列 展开函数的线性组合。
f ( x) akk ( x)
k
其中，k是有限或无限和的整数下标，ak是具有实数值 的展开系数， k ( x) 是具有实数值的展开函数
多分辨率展开
• 尺度函数
设 ( x) 是平方可积函数，即 ( x) L2 ( R )，实数二值 尺度伸缩和整数平移函数定义为：
j ,k ( x) 2 j / 2 (2 j x k )
j z, k z
则集合{ j ,k ( x)}是 ( x)的展开函数集。从上式可以看出， k决定了 j , k ( x)在x轴的位置，j决定了 j , k ( x)的宽度，即 沿x轴的宽或窄的程度，而2 j / 2 控制其高度或幅度。由于
j0 是任意开始尺度，通常取j0 0，且选择 M N 2 J , j 0,1,
离 散 小 波 变 换 分 析 图
DWT变换方法
• 执行离散小波变换的有效方法是使用滤波器 – 该方法是Mallat在1988年开发的，叫做Mallat算法 – 这种方法实际上是一种信号的分解方法，在数字信号 处理中称为双通道子带编码。 • 用滤波器执行离散小波变换的概念如图所示 – S表示原始的输入信号，通过两个互补的滤波器产生A 和D两个信号 – A表示信号的近似值 – D表示信号的细节值
高斯金字塔
拉普拉斯金字塔（预测残差）
多分辨率分析的背景知识
• 子带编码和解码
一幅图像可以被分解为一组频带受限的分量（子带）。 子带可以重组在一起无误差地重构原始图像。
低通滤波器
x ( n)
h0 h1
2
y0 (n)
2
h0'

x ( n)
~
2
y1 (n)
2
h1'
高通滤波器
两频段子带编码和解码
双通道滤波过程
• 在许多应用中，信号的低频部分是最重要的，而高频部分 起一个“锦上添花”的作用。 • 比如声音，把高频分量去掉之后，听起来声音确实是变了， 但还能够听清楚说的是什么内容。相反，如果把低频部分 去掉，听起来就莫名其妙了。 • 在小波分析中，近似值是大的缩放因子产生的系数，表示 信号的低频分量。而细节值是小的缩放因子产生的系数， 表示信号的高频分量。