八年级数学寒假班讲义一元二次方程学生版

《一元二次方程及其应用》讲义一、一元二次方程的定义【例题】1、关于x 的方程023)1()1(2=++++-m x m x m ,当m 时为一元一次方程；当m 时为一元二次方程。

2、下列方程中，是关于x 的一元二次方程的有________．（1）2y 2+y －1=0；（2）x （2x －1）=2x 2；（3）21x－2x=1；（4）ax 2+bx+c=0；（5）12x 2=0． 3、关于x 的方程（m 2－1）x 2+（m －1）x+2m －1=0是一元二次方程的条件是________．【习题】1、下列方程中是一元二次方程的是( ).A.xy ＋2＝1B. 09212=-+xx C. x 2＝0 D.02=++c bx ax 2、下列方程中，不是一元二次方程的是（ ） A.2x 2+7=0 B.2x 2+23x +1=0 C.5x 2+x 1+4=0 D.3x 2+(1+x ) 2+1=03、关于x 的方程(m －4)x 2+(m +4)x +2m +3=0，当m __________时，是一元二次方程，当m __________时，是一元一次方程.4、下列说法正确的是（ ）A ．一元二次方程的一般形式是20ax bx c ++= B ．一元二次方程20ax bx c ++=的根是242b b ac x a -±-= C ．方程2x x =的解是x ＝1D ．方程(3)(2)0x x x +-=的根有三个 二、一元二次方程的根【例题】1、若ｎ（ｎ≠0）是关于ｘ的方程ｘ2+ｍｘ+2ｎ=0的根，则ｍ＋ｎ的值是（ ）A 、1B 、2C 、－1D 、－22、若x =1是方程ax 2+bx +c =0的解，则（ ）A.a +b +c =1B.a －b +c =0C.a +b +c =0D.a －b －c =03、已知0和1-都是某个方程的解，此方程是（ ）A. 012=-xB. 0)1(=+x xC. 02=-x xD. 1+=x x4、如果21x －2x －8=0，则1x 的值是________．5、已知一元二次方程02=++c bx ax ，若0=++c b a ，则该方程一定有一个根是（ ）A. 0B. 1C. -1D. 2【习题】1、若x =－1是方程ax 2+bx +c =0的解，则（ ）A.a +b +c =1B.a －b +c =0C.a +b +c =0D.a －b －c =02、已知（x 2+y 2+1）（x 2+y 2+3）=8，则x 2+y 2的值为（ ）．A ．－5或1B ．1C ．5D ．5或－13、已知m 是一元二次方程x 2–2005x +1=0的解，求代数式22200520041m m m -++的值.4、已知x = –5是方程x 2+mx –10=0的一个根，求x =3时，x 2+mx –10的值.三、一元二次方程的解法【例题】1、填写解方程3x (x +5)=5(x +5)的过程解：3x (x +5)__________=0(x +5)(__________)=0x +5=__________或__________=0∴x 1=__________,x 2=__________2、用配方法解方程x 2+2x －1=0时①移项得__________________②配方得__________________即（x +__________）2=__________③x +__________=__________或x +__________=__________④x 1=__________,x 2=__________3、方程2（x+2）2－8=0的根是 。

海豚教育个性化简案海豚教育错题汇编学生姓名：年级：科目：授课日期：月日上课时间：时分 ------ 时分合计：小时教学目标1. 理解并掌握一元二次方程的一般形式；2. 会用直接开平方法、配方法、公式法解一元二次方程；3. 能根据方程特征，灵活选择解方程的方法。

重难点导航1. 一元二次方程的解法；2. 根据方程特征，灵活选择适当的方法解方程.教学简案：一元二次方程的概念及解法知识点一：一元二次方程的概念知识点二：一元二次方程的解知识点三：解一元二次方程授课教师评价：□准时上课：无迟到和早退现象（今日学生课堂表□今天所学知识点全部掌握：教师任意抽查一知识点，学生能完全掌握现符合共项）□上课态度认真：上课期间认真听讲，无任何不配合老师的情况（大写）□海豚作业完成达标：全部按时按量完成所布置的作业，无少做漏做现象审核人签字：学生签字：教师签字：1. 已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。

海豚教育个性化教案 一元二次方程的概念及解法知识点一：一元二次方程的概念(1)定义：只含有一个未知数．．．．．．．．，并且未知．．数的最高次数是．．．．．．．2．，这样的整式方程．．．．就是一元二次方程。

(2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax(3)四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02≠=++a c bx ax 的形式，则这个方程就为一元二次方程． （4）将方程化为一般形式：02=++c bx ax 时，应满足（a ≠0）例1：下列方程①x 2+1=0；②2y(3y-5)=6y 2+4；③ax 2+bx+c=0 ；④0351=--x x，其中是一元二次方程的有 。

变式:方程：①13122=-x x ②05222=+-y xy x ③0172=+x ④022=y 中一元二次程的是 。

【八年级下册数学第二章《一元二次方程》讲解 】【书本相关知识点:】1、一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程. 一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数。

2、 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用直接开平方的方法. （注意：用直接开平方的方法时要记得取正、负.）（2）配方法：关键化原方程为2()x m n +=的形式 （警告： 用配方法时二次项系数要化1.）（3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是221,24(40)2b b ac x b ac a-±-=-≥. （注意：方程要先化成一般形式.）（4）因式分解法（主要有提取公因式、运用平方差公式、运用完全平方公式、十字相乘法）：因式分解法的一般步骤是：① 将方程的右边化为 ；② 将方程的左边化成两个一次因式的乘积； ③ 令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程 的解. （注意：方程要先化成一般形式.） 3、一元二次方程根的判别式: 24b ac ∆=-(1)一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的情况：①当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；②当0∆=时，方程有两个相等的实数根； ③当0∆<时，方程无实数根. (2)判定一元二次方程根的情况； (3)确定字母的值或取值范围。

【相关练习题讲解：】 知识一：一元二次方程的概念1、一元二次方程(1－3x)(x+3)=2x 2+1的一般形式是 它的二次项系数是 ； 一次项系数是 ；常数项是 。

2、已知关于x 的方程(m+3)x 2－mx+1=0，当m 时，原方程为一元二次方程，若原方程是一元一次方程， 则 m 的取值范围是 。

围图形漫画释义满分晋级阶梯1一元二次方程的基本解法方程10级 判别式与求根公式方程9级一元二次方程的基本解法 方程8级分式方程题型切片（四个）对应题目题型目标一元二次方程的概念例1；例2；演练1；例8直接开平方法解一元二次方程例3；例4；演练2；配方解一元二次方程例5；例6；演练3；演练4；因式分解法解一元二次方程例7；演练5．模块一一元二次方程的概念知识互联网题型切片定 义示例剖析一元二次方程定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程．判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下四个标准： ⑴整式方程．⑵方程中只含有一个未知数．⑶化简后方程中未知数的最高次数是2．⑷二次项的系数不为0 22210x x -+=此方程满足： 整式方程；只含有一个未知数x ；x 的最高次数是2，系数是2所以这个方程是一个一元二次方程．一元二次方程的一般式：20ax bx c ++=()0a ≠． 其中2ax 为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项． 一元二次方程22210x x -+=， 其中221a b c ==-=，，． 一元二次方程的根：如果0x 满足2000(0)ax bx c a ++=≠，则0x 就是方程20(0)ax bx c a ++=≠的一个根．1满足2110-=，则1是方程20x x -=的一个根．0满足2000-=，则0是方程20x x -=的另一个根．∴0,1是方程20x x -=的两个根，表示为12=0, =1x x一元二次方程都可化成如下形式： 20ax bx c ++=（0a ≠）． 1．“可化成”是指对整式方程进行去分母，去括号，移项、合并同类项等变形．2．一般形式中，b 、c 可以是任意实数，而二次项系数0a ≠，若0a =，方程就不是一元二次方程了，也未必是一次方程，要对b 进行讨论．3．要确认一元二次方程的各项系数必须先将此方程化为一般形式，然后确定a 、b 、c 的值，不要漏掉符号．．．．． 4．项及项的系数要区分开．建议 强调掌握一元二次方程一般形式对学习一元二次方程很重要，这种从形式上认识数学概念的方法，在今后学习基本初等函数时也要使用．夯实基础知识导航【例1】 1. 判断下列方程是不是一元二次方程．⑴ 2210x kx --=（k 为常数） ⑵413x =+ ⑶ 210x -=； ⑷ 250x = ⑸ 20x y += ⑹ ()()2233x x +=-；⑺ 2320mx x -+=（m 为常数） ⑻ ()()2212150a x a x a ++-+-=（a 为常数）．2. 将下列一元二次方程化成一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．⑴ 2216x x -=； ⑵ ()()3213x x x -+=-；⑶ ()()()3253115x x x x ++--=； ⑷ 23323x x x ++=-．【例2】 ⑴关于x 的方程()()2293510m x m x m -+++-=，当m ________时，方程为一元二次方程；当m =_________时，方程为一元一次方程；⑵已知m 是方程210x x --=的一个根，求代数式2552008m m -+的值；⑶已知a 是2200910x x -+=的根，求22120082009a a a +--的值．能力提升定 义示例剖析直接开平方法：对于形如2x m =或()2ax b m+=()00a m ≠≥，的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平方法求解．()211x +=11x +=或11x +=-1202x x ==-，【例3】 用直接开平方法解关于x 的方程：⑴ ()()323212x x +-=； ⑵()22463x -=；⑶ ()2x m n -=； ⑷ ()2214x b c -=+【例4】 解关于x 的方程：⑴ ()()222332x x +=+； ⑵ ()()225293x x -=+；能力提升夯实基础知识导航模块二 直接开平方法解一元二次方程⑶ ()()22425931x x -=-．定 义实例剖析配方法：通过配方把一元二次方程转化成形如()2ax b m +=的方程，再运用直接开平方的方法求解．⑴220x x += ⑵2+2=1x x -22101x x ++=+ 2+2+1=0x x()211x += ()2+1=0x 11x +=± 12==1x x -11x +=或11x +=- 1202x x ==-，总结：用配方法解一元二次方程的一般步骤：①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； ②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1；③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为2()x m n +=的形式； ④求解：若0n ≥时，方程的解为x m n =-±，若0n <时，方程无实数解配方法是一种重要的数学方法，运用配方法解一元二次方程，就是通过配方把方程变成2()x m n +=（0n ≥）的形式，再用直接开平方法求解，当0n <时，方程无实数解．．．． （1）“将二次项系数化为1”是配方的前提条件，第三步配方是关键也是难点．（2）配方法是一种重要的数学方法，它不仅表现在一元二次方程的解法中，在今后学习二次函数以及到高中学习二次曲线时还会经常用到，应予以重视．避免后续学习二次函数时出错．【例5】 用配方法解方程：⑴ 2420x x ++=； ⑵ 211063x x +-=； ⑶ 23123y y +=；夯实基础知识导航模块三 配方法解一元二次方程⑷ 221233x x += ⑸ 2++5=0x x【例6】 用配方法解关于x 的方程 ⑴ 20x px q ++=（p q ，为已知常数）；⑵ 20ax bx c ++=（a 、b 、c 为常数且0a ≠）模块四 因式分解法解一元二次方程能力提升定 义示例剖析因式分解法：因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：若0ab =，则0a =或0b =； 解方程：20x x -= 解：()10x x -= 则0x =或10x -= ∴0x =或1x = 因式分解法的一般步骤：⑴ 将方程化为一元二次方程的一般形式； ⑵ 把方程的左边分解为两个一次因式的积，右边等于0；⑶ 令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程； ⑷ 解出这两个一元一次方程的解，即可得到原方 程的两个根． 总结：1．因式分解法把一元二次方程作为两个一元一次方程来求解，体现了一种“降次”的思想．2．将方程右边变形为0，左边化为()()0ax b cx d ++=的形式． 3．因式分解法是比前两种简单的一种方法，若能用此法优先考虑． 4．便于计算，先把方程整理成一般形式且首项为正号．．． 注意：1.解方程时，不能两边同时约去含未知数的代数式2.因式分解法的前提是方程一边等于0，此前提不成立时常得出错误答案【例7】 用因式分解法解方程：⑴ 23x x =； ⑵ 22230x x -=；⑶ ()()21210x x -+-=； ⑷ ()23242x x x -=-夯实基础知识导航⑸ ()()21211x x ---=- ⑹ ()()224320x x +--=【例8】 已知a 是一元二次方程2210x x --=的根，求223352a a a --++的值．真题赏析知识模块一 一元二次方程的概念 课后演练【演练1】 ⑴ 已知2x =是一元二次方程220x mx ++=的一个解，则m 的值是___________．⑵ 若方程2220kx x k k +-+=有一个根是0，则k 的值是____________．⑶ 如果12x =是关于x 的方程22320x ax a +-=的根，那么关于y 的方程23y a -=的根是________________．⑷ 已知3-是关于x 的方程22310x x a --+=的一个根，则31a -的值是_____________．⑸ 已知方程20x bx a ++=有一个根是()0a a -≠，则a b -的值是_________________．知识模块二 直接开平方法解一元二次方程 课后演练【演练2】 ⑴已知一元二次方程20ax bx c ++=的一个根为1，且a b 、满足等式223b a a =-+--，求方程2104y c -=的根．⑵用直接开平方法解方程：① ()22340x +-= ② ()241x k +=知识模块三 配方法解一元二次方程 课后演练【演练3】 用配方法解方程：⑴ 2210x x --=； ⑵ 2660y y -+=；⑶ 23610x x -+=； ⑷ 2568x x =+实战演练11 初二寒假·第1讲·尖子班·学生版【演练4】 用配方法解关于x 的方程：220x x k -+=知识模块四 因式分解法解一元二次方程 课后演练【演练5】 选择适当的方法解方程：⑴ ()190x x x +--=； ⑵ 22224x x -=；⑶ ()()222x x x -=-；⑷(20x x -+； ⑸ 2414x x +=；⑹ ()()23230x x x -+-=；第十六种品格：感恩生活是什么？我们苦苦追寻。

一元二次方程讲义1.解方程2(2)9x -=. 2（3x ﹣1）2=8．例题3：配方法1.已知方程260xx q +=-可以配方成27x p =（-）的形式，那么262x x q +=-可以配方成下列的（ ） A. 25x p =（-） B. 29x p =（-） C. 229x p +=（-） D. 225x p +=（-） 2.用配方法解方程：2420x x ++=练习：1． 用配方法解方程：x 2﹣7x+5=0． 2x 2﹣3x+1=0．x 2﹣6x ﹣7=0．例题4.公式法1.一元二次方程4x 2﹣2x+=0的根的情况是（ ）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法判断2.用公式法解方程：03822=+-x x.练习：1．用公式法解方程：3x 2+5（2x+1）=0．练习：1．“在线教育”指的是通过应用信息科技和互联网技术进行内容传播和快速学习的方法．”互联网+”时代，中国的在线教育得到迅猛发展．根据中国产业信息网数据统计分析，2015年中国在线教育市场产值约为1600亿元，2017年中国在线教育市场产值在2015年的基础上增加了900亿元．（1）求2015年到2017年中国在线教育市场产值的年平均增长率；（2）若增长率保持不变，预计2018年中国在线教育市场产值约为多少亿元？例题2：利润问题1.某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？练习:1．今年本市蜜桔大丰收，某水果商销售一种蜜桔，成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？（销售利润=销售价﹣成本价）例题3：面积问题1.某中学标准化建设规划在校园内的一块长36米，宽20米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的人行道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草（如图所示），若使每一块草坪的面积都为96平方米．求人行道的宽。

第3关 一元二次方程的解法（讲义部分）知识点1 解一元二次方程-公式法一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+= （1）当2时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：1,2x =（2）当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22bx a=- （3）当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根. 备注：公式法解方程的步骤：①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，并确定出a 、b 、c ；②求出24b ac ∆=-，并判断方程解的情况；③代公式：1,2x =（要注意符号）.题型1 公式法【例1】用公式法解下列方程： （1）2325x x =-；（2）23412y y -=；（3）(1)(1)x x +-=． （4）(1)(3)64x x x ++=+；（5）21)0x x ++=； （6）2(21)0x m x m -++=．【解答】解：（1）3a =，5b =，2c =-224543(2)2524490b ac -=-⨯⨯-=+=>．x ==所以12x =-，213x =．（2）原方程变形为：23820y y --=． 3a =，8b =-，2c =-．224(8)43(2)642488b ac -=--⨯⨯-=+=．x ==．所以1x ，2x（3）原方程变形210x --=．1a =，b =-1c =-．224(41(1)84120b ac -=--⨯⨯-=+=>．所以x ==．故1x 2x =（4）去括号，移项方程化为一般式为：2210x x --=， 1a =，2b =-，1=-，224(2)41(1)8b ac ∴-=--⨯⨯-=1x ∴===，11x ∴=+，21x =-；（5）1a =，1)b =，c =2241)]4116b ac ∴-=-⨯⨯=，1)2x ∴===-±，13x ∴=，21x =；（6）1a =，(21)b m =-+，c m =， 2224[(21)]4141b ac m m m ∴-=-+-⨯⨯=+，x ∴=，1x ∴=，2x =．【点评】解此题的关键是熟练应用求根公式，要注意将方程化为一般形式，确定a 、b 、c 的值．【例2】阅读下面的例题：阅读下边一元二次方程求根公式的两种推导方法： 方法一：教材中方法 方法二：20ax bx c ++=，224440a x abx ac ∴++=，配方可得：22(2)4ax b b ac ∴+=-． 当240b ac -…时，2ax b +=2ax b ∴=-±．当240b ac -…时，x ∴=． 请回答下列问题：（1）两种方法有什么异同？你认为哪个方法好？ （2）说说你有什么感想？ 【解答】解：（1）两种方法的本质是相同的，都运用了配方法．不同的是：第一种方法配方出现分式比较繁；两边开方时分子、分母都出现“±”，相除后为何只有分子上有“±”2a =．第二种方法，运用等式性质后，配方无上述问题，是对教材方法的再创新，所以第二 种方法好．（2）学习要勤于思考，敢于向传统挑战和创新．虽然教材是我们的学习之本，但不是圣经，不能照本宣科． 说明：其它感想，只要合理即可．【点评】本题主要告诉了学生求根公式法的推导过程． 知识点2 解一元二次方程-因式分解法（1）如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反过来，如果两个因 式中有个等于0 ，那么它们的积就等于0 . （2）通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解.（3）因式分解常用方法：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧十字相乘平方差公式完全平方公式提公因式如：20(,0)()0ax bx a b x ax b +=≠⇔+= 此类方程适合用提公因式，而且其中一个根为0.例如：290(3)(3)0x x x -=⇔+-=230(3)0x x x x -=⇔-=3(21)5(21)0(35)(21)0x x x x x ---=⇔--=225120(23)(4)0x x x x +-=⇔-+=题型2 因式分解法【例3】用因式分解法解下列方程： （1）2721x x =；（2）3(4)5(4)x x x -=-；（3）2(21)360x --=；（4）22(31)4(23)x x -=+；（5）27100x x -+=； （6）(3)(2)6x x -+=；（7）2(5)17(5)300x x ---+=；（8）2237x x +=． 【解答】解：（1）27210x x -=，7(3)0x x -=，70x =或30x -=， 所以10x =，23x =；（2）3(4)5(4)0x x x ---=，(4)(35)0x x --=，40x -=或350x -=，所以14x =，253x =；（3）(216)(216)0x x -+--=，2160x -+=或2160x --=，所以152x =，272x =； （4）22(31)4(23)0x x --+=，[312(23)][312(23)]0x x x x -++--+=， 312(23)0x x -++=或312(23)0x x --+=，所以157x =-，27x =-； （5）(2)(5)0x x --=，20x -=或50x -=， 所以12x =，25x =；（6）2120x x --=， (4)(3)0x x -+=，40x -=或30x +=， 所以14x =，23x =-；（7）(52)(515)0x x ----=，520x --=或5150x --=， 所以17x =，220x =；（8）22730x x -+=， (21)(3)0x x --=，210x -=或30x -=，所以112x =，23x =．【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式 分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到 两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解 一元一次方程的问题了（数学转化思想）．【例4】若2230x px q -+=的两根分别是3-与5，则多项式2246x px q -+可以分解为( ) A ．(3)(5)x x +- B ．(3)(5)x x -+ C ．2(3)(5)x x +- D ．2(3)(5)x x -+ 【解答】解：2230x px q -+=的两根分别是3-与5，222462(23)x px q x px p ∴-+=-+ 2(3)(5)x x =+-， 故选：C ．【点评】本题考查了解一元二次方程和分解因式，注意：根据方程的解分解因式是解此题的关键．知识点3 解一元二次方程-换元法1.解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．2.我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．题型3 换元法【例5】已知2222()(2)80x y x y +++-=，求22x y +的值． 【解答】解：设22x y t +=，则原方程变形为(2)80t t +-=，整理得2280t t +-=， (4)(2)0t t ∴+-=，14t ∴=-，22t =，当4t =-时，则224x y +=-，无意义舍去， 当2t =时，则222x y +=． 所以22x y +的值为2．【点评】本题考查了换元法解一元二次方程：运用换元法，可使方程转化为简单的一元二次方程， 便于求方程的解．【例6】已知2222(2)()350a b a b +-+-=，1a b -=，求： （1）a b +； （2）ab ；（3）22b a a b+．【解答】解：2222(2)()350a b a b +-+-=，设22a b λ+=，22350λλ∴--=，解得：7λ=或5-（设去）．2222()2()27a b a b ab a b ab +=+-=-+=， 且1a b -=，3ab ∴=，a b +=， ∴（1）3a b +=±． （2）3ab =．（3）原式33b a a b+=+ 22()()a b a b ab ab++-===． 【点评】该题主要考查了换元法解一元二次方程、完全平方公式及其应用问题；解题的关键是首 先运用换元法来求22a b +的值；然后灵活运用完全平方公式来分析、判断、推理或解 答；对求解运算能力提出了一定的要求．【例7】解方程：222222(34)(276)(342)x x x x x x +-+-+=-+． 【解答】解：设234u x x =+-，2276v x x =-+，则2342u v x x +=-+．则原方程变为222()u v u v +=+，即22222u v u uv v +=++， 0uv ∴=，0u ∴=或0v =，即2340x x +-=或22760x x -+=． 解得123434,1,,22x x x x =-===； 【点评】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．换元法是借助引进辅助元素，将问题 进行转化的一种解题方法．这种方法在解题过程中，把某个式子看作一个整体，用一 个字母去代表它，实行等量替换．常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观． 知识点4 一元二次方程根的判别式利用一元二次方程根的判别式()ac b 42-=∆判断方程的根的情况． 一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根与ac b 42-=∆有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立．题型4 一元二次方程根的判别式【例8】若关于x 的一元二次方程2(2)410a x x ---=有实数根，则a 的取值范围为( ) A ．2a -… B ．2a ≠ C ．2a >-且2a ≠ D ．2a -…且2a ≠【解答】解：由题意可知：△164(2)0a =+-…，2a ∴-…，20a -≠， 2a ∴≠，2a ∴-…且2a ≠， 故选：C ．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根的判别式，本题属于 基础题型．【例9】已知关于x 的一元二次方程22(21)10x m x m +++-=． （1）当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）在（1）的结论下，若m 取最小整数，求此时方程的两个根． 【解答】解：（1）由△22(21)4(1)0m m =+-->，解得：54m >-；（2）由（1）可知0m =， ∴原方程化为210x x +-=，x ∴=【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，属于基础题型．【例10】已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m m -+++=．（1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程的两根1x 、2x 是某个等腰三角形的两边长，且该三角形的周长为10，试求m 的值．【解答】（1）证明：△2224[(21)]4()10b ac m m m =-=-+-+=>∴该方程总有两个不相等的实数根；（2）解：2112m x +±=， 1x m ∴=，21x m =+， 12x x ∴≠①若1x 为腰，2x 为底边，得3110m +=，3m =；②若2x 为腰，1x 为底边，得3210m +=，83m =；综上所述，3m =或83m =．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与△24b ac =-有如下关系：当△0>时，方程有两个不相等的两个实数根；当△0=时，方程有两个相等 的两个实数根；当△0<时，方程无实数根．也考查了三角形三边的关系．【例11】判断关于x 的方程2(21)30mx m x m +-++=的根的情况，并直接写出关于x 的方程2(21)30mx m x m +-++=的根及相应的m 的取值范围． 【解答】解：当0m =时，方程化为30x -+=，解得3x =；当0m ≠时，当△2(21)4(3)1610m m m m =--+=-+>，解得116m <，方程的解为1x =，2x =；当△2(21)4(3)1610m m m m =--+=-+=，解得116m =，方程的解为127x x ==；当△2(21)4(3)1610m m m m =--+=-+<，解得116m >，方程没有实数解．综上所述，当0m =时，3x =；当116m <且0m ≠，1x =，2x =116m =，127x x ==；当116m >，方程没有实数解． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与△24b ac =-有如 下关系：当△0>时，方程有两个不相等的实数根；当△0=时，方程有两个相等的实 数根；当△0<时，方程无实数根．第3关 一元二次方程的解法（题册部分）【课后练1】用公式法解下列方程： （1）22980x x -+=； （2）216830x x ++=； （3）22221x x x ++=；（4）23x +=． 【解答】解：（1）22980x x -+=，224(9)42817b ac -=--⨯⨯=，x =，1x =，2x =； （2）216830x x ++=，224841631280b ac -=-⨯⨯=-<， 所以此方程无解；（3）22221x x x ++=，22410x x +-=，224442(1)24b ac -=-⨯⨯-=，x ，1x ，2x =（4）23x +=，230x -+=，24(b ac -=-，241320-⨯⨯=，x =1x 2x =【课后练2】用因式分解法解下列方程： （1）2721x x =；（2）3(4)5(4)x x x -=-； （3）2(21)360x --=； （4）22(31)4(23)x x -=+； （5）27100x x -+=； （6）(3)(2)6x x -+=；（7）2(5)17(5)300x x ---+=； （8）2237x x +=．【解答】解：（1）27210x x -=，7(3)0x x -=，70x =或30x -=， 所以10x =，23x =；（2）3(4)5(4)0x x x ---=，(4)(35)0x x --=，40x -=或350x -=，所以14x =，253x =；（3）(216)(216)0x x -+--=，2160x -+=或2160x --=，所以152x =，272x =；（4）22(31)4(23)0x x --+=，[312(23)][312(23)]0x x x x -++--+=， 312(23)0x x -++=或312(23)0x x --+=，所以157x =-，27x =-；（5）(2)(5)0x x --=，20x -=或50x -=， 所以12x =，25x =；（6）2120x x --=， (4)(3)0x x -+=，40x -=或30x +=， 所以14x =，23x =-；（7）(52)(515)0x x ----=，520x --=或5150x --=， 所以17x =，220x =；（8）22730x x -+=， (21)(3)0x x --=，210x -=或30x -=，所以112x =，23x =．【课后练3】解下列方程（1）2(21)7x -=（直接开平方法） （2）22740x x --=（用配方法） （3）22103x x -=（公式法）（4）22(34)(34)x x -=-（因式分解法）（5）2426x +=（用换元法解） （6）222(21)230x x +--=（用换元法解） 【解答】解：（1）开平方，得21x -=，1x ∴=2x =； （2）移项，得 2274x x -=，化二次项的系数为1，得2722x x -=，配方，得274949221616x x -+=+， 2781()416x -=开平方，得7944x -=±， 14x ∴=，212x =-； （3）移项，得221030x x --=，2a ∴=，10b =-，3c =-， ∴△100241240=+=>，x ∴=，1x ∴，2x ； （4）移项，得22(34)(34)0x x ---=分解因式，得(3434)(3434)0x x x x -+---+=，10x ∴--=或770x -=， 11x ∴=-，21x =；（5）原方程变形为：2830x +=，设a ，将原方程变形为：230a a -=，移项，得2300a a --=，因式分解，得(5)(6)0a a +-=，50a ∴+=或60a -=，15a ∴=-（舍去），26a =，∴6=，解得：x =±经检验，x =±（6）原方程变形为：222(21)(21)20x x +-+-=，设221x a +=，则原方程变为：220a a --=，解得：11a =-，22a =， 当1a =-时，2211x +=-，△0<，原方程无解， 当2a =时， 2212x +=，11解得：x =【课后练4】阅读下面的材料，回答问题：解方程42540x x -+=，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设2x y =，那么42x y =，于是原方程可变为2540y y -+=①，解得11y =，24y =． 当1y =时，21x =，1x ∴=±；当4y =时，24x =，2x ∴=±；∴原方程有四个根：11x =，21x =-，32x =，42x =-．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到 的目的，体现了数学的转化思想．（2）解方程222()4()120x x x x +-+-=．【解答】解：（1）换元，降次（2）设2x x y +=，原方程可化为24120y y --=，解得16y =，22y =-．由26x x +=，得13x =-，22x =．由22x x +=-，得方程220x x ++=，2414270b ac -=-⨯=-<，此时方程无实根．所以原方程的解为13x =-，22x =．【课后练5】已知关于x 的一元二次方程2220x mx m --=．（1）求证：不论m 为何值，该方程总有两个实数根；（2）若1x =是该方程的根，求代数式2425m m ++的值．【解答】解：（1）1a =，b m =，22c m =22224()41(2)9b ac m m m ∴-=-⨯⨯=，不论m 为何值，20m …，即290m …，240b ac ∴-…；∴不论m 为何值，该方程总有两个实数根（2）因为1x =是2220x mx m --=的根所以2120m m --=，即221m m +=，所以224252(2)52157m m m m ++=++=⨯+=；【课后练6】已知关于x 的一元二次方程22(21)0x k x k k -+++=求证：（1）方程总有两个不相等的实数根．（2）若等腰ABC ∆的两边AB ，AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5．求ABC ∆的周长．【解答】（1）证明：△22(21)4()k k k =+-+10=>，所以方程总有两个不相等的实数根；（2）2112k x +±=， 所以11x k =+，2x k =，当15k +=，解得4k =，三角形三边为5、5、4，则三角形的周长为55414++=；当5k =，三角形三边为5、5、6，则三角形的周长为55616++=；综上所述，ABC ∆的周长为14或16．。

一元二次方程知识管理一元二次方程的识别方法：①整式方程；②只含一个未知数；③未知数的最高次数是2.1.a x 2＋b x ＋c ＝0，当a≠0时，方程才是一元二次方程，但b ，c 可以是0.2.将一个一元二次方程化成一般形式，可以通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤．3.指出一元二次方程的某项时，应连同未知数一起；指出某项系数时应连同它前面的符号一起.使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．判断一个数值是不是一元二次方程的根的方法：将这个值代入一元二次方程，看方程的左右两边是否相等，若相等，则是方程的根；若不相等，就不是方程的根．【例1】下列方程：①x 2＋y －6＝0；② 212=+xx ；③x 2－x －2＝0；④x 2－2＋5x 3－6x ＝0；⑤2x 2－3x ＝2(x 2－2)，是一元二次方程的有( )A ．1个 B. 2个 C ．3个 D ．4个2.下列关于x 的方程一定是一元二次方程的是( )A ．ax 2＋b x ＋c ＝0B ．x 2＋3－x 2＝0C ．x 2＋x1 ＝2 D ．x 2－x －1＝0 3.若关于x 的方程(a －2)x 2－2ax ＋a ＋2＝0是一元二次方程，则( )A ．a ＝2B ．a ＝－2C ．a ＝0D ．a ≠2【例2】将方程3x (x －1)＝5(x ＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．2.把方程x (x ＋2)＝5(x －2)化成一般形式，则a ，b ，c 的值分别是( )A ．1，－3，10B ．1，7，－10C ．1，－5，12D ．1，3，2【例3】下面哪些数是方程x2－x－2＝0的根？－3，－2，－1，0，1，2，32.一元二次方程x2－3x＝0的根是()A．x1＝0，x2＝－3 B．x1＝1，x2＝3C．x1＝1，x2＝－3 D．x1＝0，x2＝33.已知关于x的一元二次方程2x2－3m x－5＝0的一个根是－1，则m＝________．解一元二次方程直接开平方法解方程一般地，对于方程 x 2＝p (Ⅰ)(1) 当p>0时，根据平方根的意义，方程(Ⅰ)有两个不等的实数根x 1＝－p ，x 2＝p ；(2) 当p ＝0时，方程(Ⅰ)有两个相等的实数根x 1＝x 2＝0；(3) 当p<0时，因为对任意实数x ，都有x 2≥0，所以方程(Ⅰ)无实数根．用直接开平方法解一元二次方程时，首先将方程化成左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，然后根据平方根的定义求解．当整理后右边为0时，方程有两个相等的实数根．实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程转化为我们会解的方程了．【例1】 用直接开平方法解下列方程．(1)x 2－81＝0；(2)4x 2－64＝01.方程x 2＝2的解是________．2.若方程x 2＝m 的解是有理数，则实数m 不能取下列四个数中的( )A ．1B ．4 C. 41 D.21 3.已知一元二次方程m x 2＋n ＝0(m≠0，n≠0)，若方程有解，则必须满足( )A ．n ＝0B ．m ，n 异号C ．n 是m 的整数倍D ．m ，n 同号【例2】 用直接开平方法解下列方程．(1)(x －3)2＝25；(2)(2y －3)2＝16.1.已知b ＜0，关于x 的一元二次方程(x －1)2＝b 的根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．有两个实数根2.一元二次方程(x＋6)2＝16可化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是()A．x－6＝4 B．x－6＝－4C．x＋6＝4 D．x＋6＝－43.一元二次方程(x－2)2＝1的根是()A．x＝3 B．x1＝3，x2＝－3C．x1＝3，x2＝1 D．x1＝1，x2＝－3知识管理1.当二次项系数为1时，已知一次项的系数，则常数项为一次项系数一半的平方；已知常数项，则一次项系数为常数项的平方根的两倍．注意有两个．2.当二次项系数不为1时，则先化二次项系数为1，然后再配方．通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法．可以看出，配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解．—般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x ＋n)2＝p (Ⅱ)的形式，那么就有：(1)当p>0时，方程(Ⅱ)有两个不等的实数根.(2)当p ＝0时，方程(Ⅱ)有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－n ；(3)当p<0时，因为对任意实数x ，都有(x ＋n)2≥0，所以方程(Ⅱ)无实数根．【例1】 填空：(1)x 2＋10x ＋____＝(x ＋____)2；(2)x 2－12x ＋____＝(x －____)2；(3)x 2＋5x ＋____＝(x ＋____)2；(4)x 2－32x ＋____＝(x －____)2. 2.将代数式a 2＋4a －5变形，结果正确的是( )A ．(a ＋2)2－1B ．(a ＋2)2－5C ．(a ＋2)2＋4D ．(a ＋2)2－9【例2】 解下列方程．(1)x 2－8x ＋1＝0；(2)2x 2＋1＝3x .1.用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是( )A ．x 2＋4x ＝5B ．2x 2－4x ＝5C ．x 2－8x ＝5D ．x 2＋8x ＝52.用配方法解一元二次方程x 2－6x －7＝0，下列变形正确的是( )A ．(x －6)2＝－7＋36B ．(x －6)2＝7＋36C ．(x －3)2＝－7＋9D ．(x －3)2＝7＋9知识管理1.解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法．2.一般地，式子b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝b 2－4ac .3.一元二次方程ax 2+bx +c=0(a≠0)的根有三种情况：当Δ>0时，方程有两个不等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ< 0时，方程无实数根．4.求根公式的定义：当Δ≥0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的实数根可写为aac b b x 242-±-= 的形式，这个式子叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的求根公式．求根公式表达了用配方法解一般的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的结果.5.用公式法解一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式，然后确定二次项系数、一次项系数及常数项，在确定了a ，b ，c 后，先计算b 2－4ac 的值，当b 2－4ac ≥0时，再用求根公式解．6.用公式法解一元二次方程的“四个步骤”：(1) 把一元二次方程化为一般形式．(2) 确定a ，b ，c 的值．(3) 计算b 2－4ac 的值．(4) 当b 2－4ac ≥0时，把a ，b ，c 的值代入求根公式，求出方程的两个实数根；当b 2－4ac <0时，方程无实数根．【例1】1.方程3x 2－x ＝4化为一般形式后的a ，b ，c 的值分别为( )A ．－1、3、－4B ．3、－1、－4C ．3、－4、－1D ．3、1、42.一元二次方程223422=+x x 中，b 2－4ac 的值应是( )A ．32B ．－32C ．64D ．－64【例2】用公式法解下列方程：（1）x 2－4x －7＝0；2＋1＝0；（2）2x2－x2（3）5x2－3x＝x＋1.因式分解法知识管理1.因式分解法的依据：如果a·b=0, 那么a=0或b=0．先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．2.解一元二次方程的方法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．其中配方法和公式法适合于所有一元二次方程，直接开方法适合于某些特殊方程.3.解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次．4.解一元二次方程方法的选择顺序：先特殊后一般，即先考虑直接开平方法和因式分解法，不能用这两种方法时，再用公式法；没有特殊要求的，一般不用配方法．5.在没有规定方法的前提下解一元二次方程，首先考虑用因式分解法，其次考虑用公式法．对于系数较大时，一般不适宜用公式法，如果一次项系数是偶数，可选用配方法.【例1】1.用因式分解法解方程，下列过程正确的是()A．(2x－3)(3x－4)＝0化为2x－3＝0或3x－4＝0B．(x＋3)(x－1)＝1化为x＋3＝0或x－1＝1C．(x－3)(x－4)＝3×4化为x－3＝3或x－4＝4D．x(x＋2)＝0化为x＋2＝02.方程(x－2)(x＋3)＝0的解是()A．x＝2 B．x＝－3C．x1＝－2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝－3【例2】1.解下列方程：x(x－2)＋x－2＝0；2.已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是()A．3 B．4 C．5 D．73.菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长为方程y2－7y＋10＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为()A．7B．8C．10D．20【例3】用适当的方法解下列一元二次方程：(1)x2－3x－4＝0；(2)2x2－7x－6＝0；(3)(x－1)2－2(x－1)＝0.一元二次方程的根与系数的关系知识管理1.方程的两个根x 1，x 2和系数a ，b ，c 有如下关系：这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：a b x x -=+21，ac x x =⋅21。

第12讲 一元二次方程及其解法知识点1 一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程一般形式：任何一个一元二次方程，经过整理都可以化为ax²+bx+c=0(a≠0)的形式．称之为一元二次方程的一般形式；ax²，bx ，c 分别称为二次项、一次项、常数项；a ，b 分别称为二次项系数、一次项系数【典例】例1（2020秋•安居区期中）已知方程（m ﹣2）x m 2+（m ﹣3）x +1＝0． （1）当m 为何值时，它是一元二次方程？ （2）当m 为何值时，它是一元一次方程？例2（2020•广西模拟）关于x 的方程(m −3)x m 2−7−x =5是一元二次方程，求m 的值．例3 （2020秋•市中区期中）将一元二次方程13x(x −2)=5化为二次项系数为“1”的一般形式是 ，其中，一次项系数是 ，常数项是 ．例4 （2020秋•双流区校级期中）若关于x 的一元二次方程（m +4）x 2+5x +m 2+3m ﹣4＝0的常数项为0，则m 的值等于 ．【随堂练习】1．（2020秋•重庆期末）已知关于x 的方程（a ﹣3）x 2﹣4x ﹣5＝0是一元二次方程，那么a 的取值范围是 ．2．（2020秋•城关区校级月考）当k 取何值时，关于x 的方程（k ﹣5）x 2+（k +2）x +5＝0． （1）是一元一次方程？ （2）是一元二次方程？3．（2020秋•天津期中）将一元二次方程4x 2﹣5x ＝81化成一般形式后，二次项系数，一次项系数，常数项分别为 ．4．（2020秋•永州月考）若关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2﹣x +m 2﹣m ＝0的常数项为0，则m 的值为多少．知识点2一元二次方程的解法1、形如或的一元二次方程，就可用直接开平方的方法；2、用配方法解一元二次方程的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数； ①移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项； ①配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方； ①化原方程为的形式；①如果是非负数，即，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n ＜0，则原方程无解.)0(2≥=a a x )0()(2≥=-a a b x ()02≠=++a o c bx ax 2()x m n +=0n ≥3、公式法又叫万能法，对于任何的一元二次方程都适用，解题时，一定要准确判断a 、b 、c 的值，熟练记忆并理解公式的推导和结论 （1）一元二次方程的根的判别式①=b 2－4ac当△＞0时，有两个不相等的实数根； 当△＝0时，有两个相等的实数根；当①＜0时，没有实数根．反过来也成立（2）一元二次方程的求根公式是4、因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为0；①将方程的左边化成两个一次因式的乘积；①令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解【典例】直接开平方法例1（2020秋•杨浦区期中）若关于x 的一元二次方程a （x ﹣m ）2＝3的两根为12±12√3，其中a 、m 为两数，则a ＝ ，m ＝ ．例2（2020秋•石家庄期中）关于x 的方程a （x +m ）2+b ＝0的解是x 1＝﹣3，x 2＝2（a 、b 、m 为常数，a ≠0），则方程a （x +m +1）2+b ＝0的解是 ．【随堂练习】1．（2020秋•于洪区校级月考）若一元二次方程ax 2＝b （ab ＞0）的两个根分别是m +1与2m ﹣4，则ab = ．2．（2020•鼓楼区校级模拟）已知关于x 的方程a （x +c ）2+b ＝0（a ，b ，c 为常数，a ≠0）20(0)ax bx c a ++=≠21,240)2b x b ac a -±=-≥的两根分别为﹣2，1，那么关于x的方程a（x+c﹣2）2+b＝0的两根分别为．【典例】配方法例1（2020秋•白云区校级期中）将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b 为常数）的形式，则b＝．例2（2020秋•五常市期末）解方程：2x2+8x﹣1＝0．【随堂练习】1．（2020秋•硚口区期中）如果把方程x2+10x+9＝0化为（x+m）2＝n的形式，则m，n的值分别是（）A．5，﹣16B．﹣5，﹣16C．﹣5，16D．5，16 2．（2020秋•武功县期末）解方程：4x2﹣8x+1＝0．【典例】公式法例1（2020秋•河南月考）用公式法解一元二次方程2x2﹣3x＝1时，化方程为一般式当中的a、b、c依次为（）A．2，﹣3，﹣1B．2，3，1C．2，﹣3，1D．2，3，﹣1例2（2020秋•斗门区校级期中）解方程x2﹣2√2x=1 4．【随堂练习】1．（2020秋•奈曼旗月考）解方程：x2+3x﹣4＝0．【典例】因式分解法例1（2020秋•伊通县期末）若规定两个实数a 、b 通过运算※，得到3ab ，即a ※b ＝3ab ，如2※5＝3×2×5＝30． （1）（−√2）※x ＝ ；（2）若x ※x ﹣2※x ﹣2※4＝0，求x 的值．例2（2020秋•吉安期中）菱形ABCD 的一条对角线长为6，边AB 的长是方程x 2﹣7x +12＝0的一个根，则菱形ABCD 的周长为（ ） A ．12 B ．14C ．16D ．12或16【随堂练习】1．（2020秋•闽侯县期中）矩形ABCD 的一条对角线长为5，边AB 的长是方程x 2﹣6x +8＝0的一个根，则矩形ABCD 的面积为（ ） A ．12 B ．20C ．2√21D ．12或2√212．（2020秋•三水区校级期中）点P 的坐标恰好是2x 2﹣x ﹣1＝0的两根，则P 点在第（ ）象限． A ．一或三 B ．一或四C ．二或四D ．三或四知识点3 根与系数的关系根与系数关系又称为韦达定理：(1)如果方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的两个根为x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a(2)如果方程x 2+px+q ＝0的两个根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝-p ，x 1·x 2=q (3)当方程的两个根分别为x 1、x 2，满足条件的方程为（x -x 1）（x -x 2）=0 (4)常常配合平方差公式和完全平方公式完成解题【典例】根与系数的关系应用例1（2020秋•云梦县月考）关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣m +2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根x1，x2满足x12+2x2＝m2，求m的值．例2（2020秋•蔡甸区月考）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2＝0．（1）若该方程有两个实数根，求m的取值范围；（2）若该方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2＝21，求m的值．【随堂练习】1．（2020秋•泰兴市月考）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，方程的两根分别为x1，x2．（1）若c＝1，x1＝﹣1，①用含a的代数式表示b；②若方程两根（包括x1，x2）之间有且只有三个整数，求a的取值范围；（2）已知b2−4ac=4a，(x1−x2)2=c2−2c+6c，设y＝x1•x2，请用含c的代数式表示y，并求出y的最小值．2．（2020秋•孝感月考）已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有实数根．（1）若方程的一个根为1，求m的值；（2）设α、β是方程的两个实数根，是否存在实数m使得α2+β2﹣αβ＝6成立？如果存在，请求出来，若不存在，请说明理由．综合运用1．（2020秋•科左中旗期末）一元二次方程x（2x+3）＝5的常数项是（）A．﹣5B．2C．3D．52．（2020秋•洛宁县月考）用配方法解一元二次方程：x2﹣4x﹣2＝0，可将方程变形为（x ﹣2）2＝n的形式，则n的值是（）A．0B．2C．4D．63．（2020秋•荥阳市校级月考）以下是小明解关于x的方程（x+m）2＝n的过程：x+m=±√n；x=±√n−m；你认为是否正确？如果正确写“是”，如果错误写出错误原因：．4．（2020秋•乌苏市月考）已知方程（m+4）x|m|﹣2+8x+1＝0是一元二次方程，求m的值．5．（2020•宿松县模拟）解方程：4（2x﹣1）2﹣36＝0．6．（2020秋•龙沙区期末）解方程：（x+1）2﹣4＝3（x+1）．7．（2020秋•白云区期中）已知方程x2﹣（k+1）x+k﹣1＝0是关于x的一元二次方程．（1）求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是2，求k的值及方程的另一个根．8．（2020秋•海珠区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+2（k+1）x+k2﹣1＝0．（1）用含k的代数式表示该方程根的判别式；（2）若该方程有两个实数根x1，x2，且满足x1x2＝2x1+2x2，求k的值．。

第23章 一元二次方程1．一元二次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程.一般形式：c b a c bx ax ,,(02=++是已知数，)0≠a 。

其中c b a ,,分别叫做二次项的系数，一次项的系数,常数项。

（1)下列方程中,是关于x 的一元二次方程的是( ）A x 1＋x 2＝1B 212+x －21-x ＝1C x 2－x ＋1＝0D 2x 3－5xy －4y 2＝0(2）将方程x 2+3=x +3x 化成一般形式是____________，二次项系数是____________，一次项系数是____________，常数项是____________。

(3）关于x 的方程m 2x －3x=2x －mx+2是一元二次方程，m 应满足什么条件？（4）已知关于x 的一元一次方程(m －2)2x +3x+2m －4=0，有一个解是0，求m 的值.（1）下列方程 ①－x 2+2=0 ②2x 2－3x =0 ③ －3x 2=0 ④ －3x 2=0 ⑤ x 2+x1=0 ⑥232+x ＝5x ⑦ 2x 2－3=（x －3）(x 2+1）中是一元二次方程的有（ ） A 2个 B 3个 C 4个 D 5个(2）方程（m+1）2x －（2m+2）x+3m －1=0有一个根为0,则m 的值为（ ） A 32 B 31 C －32 D －31（1）若()5112=-+m x m 是一元二次方程,则m= 。

（2）一元二次方程()()0112=-+++c x b x a 化成一般形式为01342=++x x ，试求（2a+b ）·3c 的值.2．一元二次方程的解法（1）直接开平方法（1)方程2x =1 的实数根的个数是 。

（2)用直接开平方法解下列方程① 92x －25=0 ② ()422=+x若方程()0212=--n m x ，试说明方程根的情况. （2）因式分解法(1)方程2x －1=0的根是 。

一元二次方程的应用
题型1：增长率（降低率）问题
例1某市政府为了解决看病贵的问题决定下调药品价格，某种药品经过连续两次降价之后，由每盒200元下降到128元，这种药品平均降价的百分率是多少？
题型二：定价问题
例2，益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？
5,常州春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准：
某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？
三、课堂达标检测
检测题1：一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是（）
A．x
1
=1，x2=2 B．x1=1，x2=﹣2 C．x1=﹣1，x2=﹣2 D．x1=﹣1，x2=2 检测题2：一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是（）
A
．
有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根
C ．只有一个实数根D
．
没有实数根。

专 题一元二次方程的解法教学目标1. 理解一元二次方程及其有关概念2. 会解一元二次方程,并能熟练运用四种方法去解重点、难点1. 一元二次方程的判定，求根公式2. 一元二次方程的解法与应用考点及考试要求1. 一元二次方程的定义,一般形式，配方式2. 熟练一元二次方程的解法能灵活运用:直接开平法,配方法.，因式分解，公式法去3. 一元二次方程在实际问题中的综合应用教学内容考点一、概念(1)定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。

(2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax注：当b=0时可化为02=+c ax 这是一元二次方程的配方式(3)四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02≠=++a c bx ax 的形式，则这个方程就为一元二次方程． （4）将方程化为一般形式：02=++c bx ax 时，应满足（a≠0）(4)难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。

典型例题：例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ()()12132+=+x xB 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。

例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为。

考点二、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为。

一元二次方程基础知识1、 一元二次方程 方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2的方程，一般地，这样的方程都整理成为形如ax bx c a 200++=≠（）的一般形式，我们把这样的方程叫一元二次方程。

其中ax bx c 2，，分别叫做一元二次方程的二次项、一次项和常数项，a 、b 分别是二次项和一次项的系数。

如：24102x x -+=满足一般形式ax bx c a 200++=≠（），2412x x ，，-分别是二次项、一次项和常数项，2，－4分别是二次项和一次项系数。

注：如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次方程时，则需要讨论字母的取值范围。

2. 一元二次方程求根方法 （1）直接开平方法形如x m m 20=≥（）的方程都可以用开平方的方法写成x m =±，求出它的解，这种解法称为直接开平方法。

（2）配方法通过配方将原方程转化为()x n m m +=≥20（）的方程，再用直接开平方法求解。

配方：组成完全平方式的变形过程叫做配方。

配方应注意：当二次项系数为1时，原式两边要加上一次项系数一半的平方，若二次项系数不为1，只需方程两边同时除以二次项系数，使之成为1。

（3）公式法求根公式：方程ax bx c a 200++=≠（）的求根公式x b b ac ab ac =-±--≥224240（）步骤：1）把方程整理为一般形式：ax bx c a 200++=≠（），确定a 、b 、c 。

2）计算式子b ac 24-的值。

3）当b ac 240-≥时，把a 、b 和b ac 24-的值代入求根公式计算，就可以求出方程的解。

（4）因式分解法把一元二次方程整理为一般形式后，方程一边为零，另一边是关于未知数的二次三项式，如果这个二次三项式可以作因式分解，就可以把这样的一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，这种解方程的方法叫因式分解法。

3、一元二次方程根的判别式的定义运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b ac x a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：2b x a += 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．4、判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24b ac ∆=-确定．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,2x =．②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122bx x a ==-． ③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根． 若a ，b ，c 为有理数，且∆为完全平方式，则方程的解为有理根；若∆为完全平方式，同时b -2a 的整数倍，则方程的根为整数根．说明：⑴用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用，当方程有 两个不相等的实数根时，0∆>；有两个相等的实数根时，0∆=；没有实数根时，0∆<．⑵在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式24b ac ∆=-判定方程的根的情况（有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根）．当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根．①当0a >时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0a <时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点．5、一元二次方程的根的判别式的应用一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用： ⑴运用判别式，判定方程实数根的个数；⑵利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围； ⑶通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题．6、韦达定理如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a +=-，12cx x a =．（隐含的条件：0∆≥）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设1x ，2x 是方程20x px q ++=的两个根，则12x x p +=-，12x x q ⋅=．7、韦达定理的逆定理2一般地，如果有两个数1x ，2x 满足12b x x a +=-，12cx x a =，那么1x ，2x 必定是20(0)ax bx c a ++=≠的两个根．8、韦达定理与根的符号关系在24b ac ∆=-≥0的条件下，我们有如下结论：⑴当0c a <时，方程的两根必一正一负．若0b a -≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0b a -<，则此方程的正根小于负根的绝对值．⑵当0c a >时，方程的两根同正或同负．若0b a ->，则此方程的两根均为正根；若0b a -<，则此方程的两根均为负根． 更一般的结论是：若1x ，2x 是20(0)ax bx c a ++=≠的两根（其中12x x ≥），且m 为实数，当0∆≥时，一般地：① 121()()0x m x m x m --<⇔>，2x m <② 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+->1x m ⇔>，2x m >③ 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+-<1x m ⇔<，2x m <特殊地：当0m =时，上述就转化为20(0)ax bx c a ++=≠有两异根、两正根、两负根的条件．其他有用结论：⑴若有理系数一元二次方程有一根a +a a ，b 为有理数）．⑵若0ac <，则方程20(0)ax bx c a ++=≠必有实数根． ⑶若0ac >，方程20(0)ax bx c a ++=≠不一定有实数根． ⑷若0a b c ++=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =． ⑸若0a b c -+=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =-．9、韦达定理的应用⑴已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； ⑵已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； ⑶已知方程的两根，求作方程；⑷结合根的判别式，讨论根的符号特征；⑸逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；⑹利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱10、整数根问题对于一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的实根情况，可以用判别式24b ac ∆=-来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．方程有整数根的条件：如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有整数根，那么必然同时满足以下条件：⑵ 2b ak -=或2b ak -=，其中k 为整数． 以上两个条件必须同时满足，缺一不可．另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a 、b 、c 均为有理数)11、一元二次方程的应用1．求代数式的值；2. 可化为一元二次方程的分式方程。

初中数学《一元二次方程》全章讲义一元二次方程的解法包括四种：因式分解法、配方法、公式法和图像法。

1、因式分解法：将一元二次方程化为两个一次因式的乘积，使每个一次因式等于0，从而求出方程的解。

2、配方法：通过加减平方完成方程的配方，将一元二次方程化为一个完全平方式的形式，从而求出方程的解。

3、公式法：利用求根公式求出一元二次方程的解，其中求根公式为x=（-b±√(b²-4ac)）/2a。

4、图像法：通过绘制一元二次方程的图像，找出方程在x轴上的根，从而求出方程的解。

例1、用因式分解法解方程x²-3x-10=0.解：将方程化为(x-5)(x+2)=0，得到x=5或x=-2.例2、用配方法解方程2x²+5x-3=0.解：将方程改写为2(x+5/4)²-121/16=0，得到x=-3/2或x=1/2.例3、用公式法解方程3x²+4x-1=0.解：根据求根公式，得到x=(-4±√52)/6，化简后得到x=-1/3或x=1/2.例4、用图像法解方程x²-2x-3=0.解：绘制出方程的图像，找到x轴上的两个根，得到x=-1和x=3.一元二次方程的常用解法包括直接开平方法、配方法、求根公式法和因式分解法。

选择合适的解法可以按以下方法进行：当方程一边为完全平方式，另一边为非负数时，可用直接开平方法；当方程的一边为一次因式的乘积，而另一边可以分解为两个一次因式的乘积的形式时，运用因式分解法求解；当方程的一边较易配成含未知数的完全平方式，另一边为非负数时，常用配方法；当不便用上面三种方法时，就用求根公式法。

例如，对于方程$2x-8=\sqrt{x+2}$，可以使用直接开平方法求解；对于方程$(1-x)^2-9=0$，可以使用因式分解法求解；对于方程$2x(x-3)=5(x-3)$，可以使用配方法求解；对于方程$(4x+y)^2+3(4x+y)-4=0$，可以使用求根公式法求解。

一元二次方程讲义(总13页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第6讲 判别式和根与系数的关系【学习目标】1、 使学生会运用根与系数关系解题 2、对一元二次方程以及其根有更深刻的了解，培养分析问题和解决问题的能力【知识要点】1、一元二次方程的判别式：ac b 42-=∆，（1）当042>-ac b 时，方程有两个不相等的实数根，aacb b x 242-±-=；（2）当042=-ac b 时，方程有两个相等的实数根，abx x 221-==； （3）当042<-ac b 时，方程无实数解。

2、一元二次方程根与系数关系的推导：对于一元二次方程02=++c bx ax 其中0≠a ，设其根为21,x x ，由求根公式a acb b x x 24221-±-==，有ab x x -=+21，a cx x =⋅213、常见的形式：（1）212212214)()(x x x x x x -+=- （2）)(3)(21213213231x x x x x x x x +-+=+ （3）21221214)(x x x x x x -+±=-【典型例题】例1 当m 分别满足什么条件时，方程2x 2-(4m+1)x +2m 2-1=0,（1）有两个相等实根；（2）有两个不相实根；（3）无实根；(4)有两个实根.例2、已知方程022=--c x x 的一个根是3，求方程的另一个根及c 的值。

例3、已知方程0652=--x x 的根是x 1和x 2，求下列式子的值： （1）2221x x + + 21x x （2）1221x x x x +例4、已知关于x 的方程3x 2-mx-2=0的两根为x 1 ，x 2，且31121=+x x ， 求 ①m 的值； ②求x 12+x 22的值.例5、已知关于x 的方程（1）03)21(22=-+--a x a x 有两个不相等的实数根，且关于x 的方程（2）01222=-+-a x x 没有实数根，问a 取什么整数时，方程（1）有整数解【经典练习】姓名： 成绩：一、选择题1、方程012=--kx x 的根的情况是（ ）A 、有两个不相等的实数根B 、有两个相等的实数根C 、 没有实数根D 、 与k 的取值有关2、已知关于x 的一元二次方程0)1()1(22=+--k x k 的两根互为倒数，则k 的取值是( ).A 、2±B 、2C 、 2-D 、03、设方程0532=+-q x x 的两根为1x 和2x ，且0621=+x x ,那么q 的值等于( ). A 、32-B 、-2C 、91D 、92-4、如果方程12=+mx x 的两个实根互为相反数，那么m 的值为（ ） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、±15、已知ab ≠0，方程02=++c bx ax 的系数满足ac b =⎪⎭⎫⎝⎛22，则方程的两根之比为（ ）A 、0∶1B 、1∶1C 、1∶2D 、2∶3 二、填空题1、已知方程0432=--x x 的两个根分别是x 1和x 2，则21x x += _____，21x x =_____2、已知方程02=++b ax x 的两个根分别是2与3，则=a ，=b3、已知方程032=++k x x 的两根之差为5，k=?4、（1）已知方程x 2-12x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m= （2）方程 05242=++mx x 的一个根是另一个根的5倍，则m= ；51为根构造一个一元二次方程 三、简答题1、讨论方程04)1(4)1(22=----x m x m 的根的情况并根据下列条件确定m 的值。

八上寒假数能班讲义九一元二次方程概念及解1、学生活动：列方程．问题（1）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，•两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，•那么门的高和宽各是多少？如果假设门的高为x•尺，•那么，•这个门的宽为_______•尺，•根据题意，•得________．整理、化简，得：__________．问题（2）如图，如果A C C BA B A C，那么点C叫做线段AB的黄金分割点．如果假设AB=1，AC=x，那么BC=________，根据题意，得：________．整理得：_________．问题（3）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意，得：_______．整理，得：________．请口答下面问题．（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？老师点评：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）•都有等号，是方程．因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．2、方程的解⑴内容：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用：①利用根的概念求代数式的值；例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．例2．（学生活动：请二至三位同学上台演练）将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=•1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．例3、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。

辅导讲义 学员姓名： 学科教师：年 级： 辅导科目：授课日期时 间主 题 整式方程与分式方程学习目标 1．知道一元整式方程与高次方程的有关概念；2．理解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的概念，掌握它们的基本解法；3．会解可化成一元二次方程的分式方程．教学内容1．一元整式方程： ,这个方程叫做一元整式方程．2．一元n 次方程： ，这个方程叫做一元n 次方程．3．一元高次方程： ，这样的方程统称为一元高次方程．4．（1）二项方程： ，那么这样的方程就叫做二项方程．（2）二项方程的一般形式为:（3）二项方程根的情况：当n 为奇数时， .当n 为偶数时，如果ab <0，那么方程 实数根，且这两个根互为 ；如果ab >0，那么方程 实数根.5．下面四个方程中是整式方程的是（ ）．A ．212x x x =+B ．33x x x --=C ．100991x x x -=-D ．()7110x x+= 6．下面四个关于x 的方程中，次数和另外三个不同的是（ ）．A ．231ax x a +=-B ．32x x ax -=C ．3230ax a x x ++=D ．33x a =7．下列方程中，是二项方程的是（ ）A . 230x x +=；B .42230x x +-=；C .41x =；D . 2(1)80x x ++=.【例题精讲】例题1：用适当的方法解下列方程（1）()228x -= （2）22410x x --=（3）2699910x x --=（4）()()212115x x ---=例题2：解下列关于x 的方程（1）(32)2(3)a x x -=- （2）2211(1)bx x b -=-≠-【试一试】1.解下列方程；（1）()226x -=（开平方法） （2）01422=+-x x （配方法）（3）x x x 22332-=-（因式分解法）2.解下列方程；（1）()()04143142=--+-x x （2） ()()223132x x -=-例题3：解下列方程（1）08623=+-x x x （2）423100x x +-=（3）01244)(222=-+--x x x x（4）0124323=+--x x x例题4：解方程：243455121760x x x x x x --+=---+【试一试】1.解下列方程（1）256011x x x x ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭； （2）22228(2)3(1)1112x x x x x x +-+=-+.2.解方程：（1））22113()40x x x x +-++= （2）解方程：2211x x 0x x+++=1．方程32320x x x --=的解是 __________．2．方程2(9)0x x -=的实数根有________个．3．x x 83=的解是____________________．4．方程31903x +=的解是 ． 5．关于x 的方程2(32)2(32)()3a x x a -=-≠-的根是 ．6．方程01224=-+-x x x 的解为________________．7.小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打6个字，小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等．设小明打字速度为x 个／分钟，那么由题意可列方程是 ．8．下列方程中，只有两个实数根的方程的个数是（ ）①023=-x x ②02432=+-x x ③1624=x ④06524=+-x x A ．0 B ．1 C ．2 D ．39．解下列方程（1）429180x x -+= （2）425360x x +-=（3）060723=-+x x x （4）0105223=+--x x x（5）261393x x x x +=+-- （6）2261x x x x ++=+10．若解分式方程22111x m x x x x x++-=--产生增根，则m 的值是 . 11．分式方程2202(2)x x x k x x x x -+++=--只有一个解，则k 的值为 . 12．关于x 的方程1122a a x x +-=-+有两个不相等的实数根，则a 的取值范围为 .1．方程①422100x x -+=；②6220x x +=；③310x x ++=；④42x =是双二次方程的有（ ）．A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④2. 用换元法解方程)2(3422x x x x +=+，若设y x x =+2，则原方程可以化为…（ ） (A ) y 2－4=3y (B ) y 2=3y (C ) y 2－2=3y (D ) 以上都不对3.方程02024=--x x （ ）。