一元二次函数解法__辅导讲义

龙文教育学科教师辅导讲义说明：一些含有y x +、22y x +、xy 的二元二次方程组，除可以且代入法来解外，往往还可以利用根与系数的关系，将解二元二次方程组化为解一元二次方程的问题.有时，后者显得更为简便. 例3、关于x 的方程()011222=+-+x k x k 有两个不相等的实数根21,x x ，〔1〕求k 的取值范围；〔2〕是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？假设存在，求出k 的值；假设不存在，请说明理由。

例4、当k 取何值时，方程04234422=+-++-k m m x mx x 的根与m 均为有理数？例5、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程〔二次项系数为1〕时，小明因看错常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。

你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？例6、b a ≠，0122=--a a ，0122=--b b ，求=+b a变式：假设0122=--a a ，0122=--b b ，那么ab b a +的值为 。

例7、βα,是方程012=--x x 的两个根，那么=+βα34 .测试题目：一、选择题1．解方程：3x 2+27=0得〔 〕.(A)x=±3 (B)x=-3 (C)无实数根 (D)方程的根有无数个2．方程〔2-3x 〕+〔3x-2〕2=0的解是〔 〕.(A),x 2=-1 (B) ,(C)x 1=x 2= (D) ,x 2=13.方程(x-1)2=4的根是( ).(A)3,-3 (B)3,-1 (C)2,-3 (D)3,-24.用配方法解方程:正确的选项是( ).(A) (B)(C),原方程无实数解 (D) 原方程无实数解用求根公式求解,先求a,b,c的值,正确的选项是( ). (A) a=1,b= (B)a=1,b=-,c=2(C)a=-1,b=- ,c=-2 (D)a=-1,b=,c=26．用公式法解方程：3x2-5x+1=0，正确的结果是〔〕.〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕都不对二、填空7．方程9x2=25的根是___________...8.二次方程x2+(t-2)x-t=0有一个根是2,那么t=________,另一个根是_________.9.关于x的方程6x2-5(m-1)x+m2-2m-3=0有一个根是0,那么m的值为__________.10.关于x的方程(m2-m-2)x2+mx+n=0是一元二次方程的条件为___________.11.方程(x+2)(x-a)=0和方程x2+x-2=0有两个一样的解,那么a=________.三、用适当的方法解以下关于x和y的方程12．〔x+2〕〔x-2〕=1. 13.(3x-4)2=(4x-3)214.3x2-4x-4=0. 15.x2+x-1=0.16.x2+2x-1=0. 17.(2y+1)2+3(2y+1)+2=0.18.2x2- 19.x2-bx-2b2=0.20.a2x2+2abx+b2-4=0(a≠0). 21．〔b-c〕x2-〔c-a〕x+〔a-b〕=0〔a≠c〕22．用因式分解法、配方法、分式法解方程2x2+5x-3=0.〔A〕因式分解法〔B〕配方法〔C〕公式法23．解方程：〔1〕〔2〕24．解关于x的方程：x2-2x+1-k〔x2-1〕=025．|2m-3|=1，试解关于x的方程3mx〔x+1〕-5〔x+1〕〔x-1〕=x2。

精锐教育学科教师辅导讲义 学员编号： 年 级：八 课 时 数：3学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师授课类型 T 同步知识讲解 C 专题方法讲解 T 学法与能力测评 授课日期时段教学内容一、同步知识梳理一元二次方程1） 概念： 等式，=号两边是整式，只含有一个求知数（一元），并且求知数的最高次数是2（二次）；2） 表现形式：（1） 一般形式：)0(02≠=++a c bx ax； ① 当0,0≠=c b，方程为02=+c ax ； ② 当0,0≠=b c，方程为02=+bx ax ； ③ 当0,0==b c，方程为02=ax ； 3） 注意0≠a ；（1） 只有当0≠a，02=++c bx ax 才叫做一元二次方程； （2） 当0,0≠=b a ，方程变成0=+c bx ，变成一元一次方程；（3） 判断一个方程是不是一元二次方程，不能只看表面现象，要看化简后的最简式，整理成一元二次方程的一般形式；（4） 如果明确指出方程02=++c bx ax 是一元二次方程，那就隐含了0≠a 这一条件；4） 一元二次方程的解：（1） 有的一元二次方程有两个不相等的实数解；有的方程有两个相等的实数解；有的方程无实数根；（2） 判断某个实数是不是一元二次方程的解，代入其方程看是否符号即可；5） 一元二次方程的解法：（1） 直接开平方法形如02=+c ax或0)(2=++c m x a （2） 配方法① 把形如02=++c bx ax 的一元二次方程通过配方变形为n m x a =+2)(的形式，左边是一个含有求知数的完全平方式，右边是一个非负常数，这个方程就能应用直接开平方法求解；② 配方法的理论依据是完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+±③ 配方时，化二次项系数a 为1，通过变形，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成一个完全平方式；④ 对于一个二次方程02=++q px x 而言，要使方程左边变成一个完全平方式，pxx +2可以写成222px x ⋅+，对照完全平方公式，222)2()2(22p p p x x -+⋅+，配成完全平方式，这样原方程就化成q p p x -=+4)2(22的形式；若042≥-q p ，可以直接开平方法解得；若042<-q p ，则原方程无解（3） 公式法（求根公式）① 对于任何一个一元二次方程写成一般形式02=++c bx ax ，0≠a ；当042≥-ac b 时，一元二次方程的根可以表示为：aac b b x 242-±-=； ② 用公式法步骤： 把方程化为一般形式，确定a,b,c 值； 求出ac b 42-的值；若042≥-ac b ，把a,b,c 代入求根公式；若042<-ac b ，此方程无实根；③ 求根公式推导：02=++c bx ax ，因为0≠a ，方程两边都除以a ，得02=++a c x a b x ，移项得a c x a b x -=+2，配方得，ac a b a b a b x x -=+⋅⋅+222)2()2(22，即222244)2()2(a ac b a c a b a b x -=-=+；当042≥-ac b 时，直接开平方即得； ④ 根据ac b 42-=∆的值的情况可以判别方程根的情况： 当042>-ac b 时，方程有两个不相等的根；当042=-ac b 时，方程有两个相等的实数根；042<-ac b 时，方程没有实数根；（4） 因式分解法（十字相乘）① 理论根据是00=⇔=⋅A B A 或0=B② 若一元二次方程等号的一边是0，而另一边易分解成两个一次因式时，例如092=-x ，这个方程变为(X+3)(X-3)=0，要使其成立，必须(X+3)=0或（X-3）=0，因此分别解这两个一元一次方程即可；③ 对一个一元二次方程因式分解可用的方法：十字相乘；平方差；提取公因式；6） 配方法的应用由02≥x 可知：)0()(2≥≥++a c c m x a ，此时方程有最小值；)0()(2≤≤++a c c m x a ，此时方程有最大值；7） 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）（1） 由公式法得，一元二次方程的两根为a ac b b x 2421-+-=，aac b b x 2422---=；得出a b x x -=+21，a c x x =⋅21； （2） 可以把方程02=++c bx ax 变形为02=++a c x ab x ，也可变形为0))((21=--x x x x a ；二、同步题型分析题型1：一元二次方程定义例1：下列方程哪些是一元二次方程： )12(3652+=+x x x ；x x =28；532=x ；y x 342=；24)3()15(x x x x x ++=-；例2： 方程013)2(=+++mx xm m 是关于X 的一元二次方程，则M=？例3： a 为何值时，方程04)3()3(1=+++--x a xa a （1）是一元一次方程（2）是一元二次方程；例4; 关于X 的方程)2(322x x m ax-=--是一元二次方程，则a 范围？题型2：一元二次方程的解例1：判断下列实数是否为一元二次方程012=--x x 的解 （1）x=-1 (2) x=251+;例2： 若X=4是一元二次方程223a x x=-的一个根，则常数a 的值为？；例3： 若关于X 的一元二次方程043)2(22=-++-m x x m ,其中有一个根是0，求M ；例4： 若关于X 的一元二次方程)0(0532≠=--a bx ax的一个根是2，那么4a-6b=? ;例5：若n 是关于X 的方程022=++n mx x的根，则m+n 的值为？；例6; 已知X=1是一元二次方程02=++n mx x的一个根，则222n mn m ++的值为？一、专题精讲解法 – 直接开平方与配方法例1：用配方法解下列方程：142=x ； 0522=--x x ；09)6(2=-+x ； 02732=-x ；01432=++x x ； 0122=--x x ； x x 5222=+；01422=--x x ； 01722=--x x ； 01232=+--x x ；01212=+-x x解法 – 公式法例2：2x －1＝－2x 2 (x ＋1)(x －1)＝x 226x 2－x －2＝0．(x ＋3)(x －3)＝3．解法 – 十字相乘法例3： 解下列方程：0542=+x x ； 0)74)(45(=+-x x ； 06)3()3(2=----x x)2()2(3-=-x x x ； 01522=-+x x ； x x x 22)1(3-=-；0)12(9)1(422=---x x ； 1)1)(12(=--x x ；12)3)(1(=+-x x ； 712)12)(53(+-=--x x x ； 03522=-+t t ；024)56)(56(=--+x x ； 0)3()3(42=---x x x ；0)21()21(2=--+x x ； 02)()(2=-+-+y x y x配方法的应用例4： （1）求证：无论X 取何值，二次根式542++x x 在实数范围内都有意义；（2）求证：无论a 取何值，122+-a a的值总是一个正数；（3）求2722+-x x的最小值；（4）设X ，Y 为实数，求0242222=+-++y y xy x的最小值韦达定理：两根和 两根积1. 已知关于X 的一元二次方程0)12(22=+-+m x m x有两个实数根1x ，2x ；求实数M 的取值范围；当02221=-x x 时，求M 的值；2. 如果关于X 的方程0)1(222=+-+k x k x有实数根a 和b,则a+b 的范围？；3. 关于X 的方程04222=-+-k x x的两个根互为倒数，则K 为？；4. 方程0122=--x x的两个实数根为a,b,则（a-1）(b-1)=? ;5. 关于X 的一元二次方程072=--kx x的一个根为1，另一根为A ，求A 和K ；6. 已知一元二次方程013)13(2=-++-x x 的两根为a,b,则b a 11+；7. 甲已两学生解同一个一元二次方程，甲将X 项的系数看错，解得两根为-4和8，已将常数项看错，解得两极为4和10，此外无其他错误，试求正确的一元二次方程，求出根；8. 设a,b 是一元二次方程0232=--x x的两个实数根，则223b ab a ++；9. 若一元二次方程02)2(2=++-a x a x的两个实数根分别是3，b,则a+b ；10. 若关于X 的一元二次方程012)2(222=++--k x k x 有实数根a,b,求K 的范围？ 设kb a t +=，求t 的最小值二、专题过关检测题1：k 为何值时，一元二次方程kx 2－6x ＋9＝0①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③没有实数根．检测题2：关于x 的一元二次方程－x 2＋(2k ＋1)x ＋2－k 2＝0有实数根，求k 的取值范围．检测题3:求证：不论m 取任何实数，方程02)1(2=++-m x m x 都有两个不相等的实数根．一、 能力培养综合题1已知方程mx 2＋mx ＋5＝m 有两个相等的实数根，求方程的解．综合题2求证：不论k 取何实数，方程(k 2＋1)x 2－2kx ＋(k 2＋4)＝0都没有实根．二、 能力点评课后作业一、写出下列一元二次方程的根1．3(x －1)2－1＝0．_____________________________．2．(2x ＋1)2－2(2x ＋1)＝3．_______________________．3．3x 2－5x ＋2＝0．_____________________________．4．x 2－4x －6＝0．______________________________．二、选择题5．方程x 2－4x ＋4＝0的根是( )．(A)x ＝2 (B)x 1＝x 2＝2 (C)x ＝4(D)x 1＝x 2＝4 6．5.27.0512=+x 的根是( )． (A)x ＝3(B)x ＝±3 (C)x ＝±9 (D)3±=x 7．072=-x x 的根是( )．(A)77=x(B)x 1＝0，x 2＝77 (C)x 1＝0，x 2＝7(D)x ＝7 8．(x －1)2＝x －1的根是( )．(A)x ＝2 (B)x ＝0或x ＝1(C)x ＝1 (D)x ＝1或x ＝2三、用适当方法解下列方程9．6x 2－x －2＝0． 10．(x ＋3)(x －3)＝3．四、解关于x 的方程x 2－2mx ＋m 2－n 2＝0． 2a 2x 2－5ax ＋2＝0(a ≠0)．.02322=+-x x (y －5)(y ＋3)＋(y －2)(y ＋4)＝26．x 2＋5x ＋k 2＝2kx ＋5k －6．.066)3322(2=++-x x。

讲义内容知识概括知识点一：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解的情况等价于抛物线y=ax2+bx+c(c≠0)与直线y=0(即x 轴)的公共点的个数。

抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的公共点有三种情况：两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有：(1)抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个公共点(x1，0)(x2，0)一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等实根△=b2-4ac>0。

(2)抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点时，此公共点即为顶点一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等实根，(3)抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根△=b2-4ac<0.(4)事实上，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=h的公共点情况方程ax2+bx+c=h的根的情况。

抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n的公共点情况方程ax2+bx+c=mx+n的根的情况。

方法总结：⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c=++中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a++≠本身就是所含字母x的二次函数；下面以0a>时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：∆>抛物线与x轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根∆=抛物线与x轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根0∆<抛物线与x轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.题型一 求字母系数的取值范围【例1】若二次函数)1(24)1(22-+--=k kx x k y 的图象与x 轴有两个交点，求k 的取值范围；练习1：已知：关于x 的函数772--=x kx y 的图象与x 轴总有交点，求k 的取值范围？练习2：已知抛物线2234y x kx k =+-（k 为常数，且k ＞0）．证明：此抛物线与x 轴总有两个交点；练习3：已知关于x 的二次函数y ＝x 2－（2m －1）x ＋m 2＋3m ＋4.探究m 满足什么条件时，二次函数y 的图象与x 轴的交点的个数.题型二 一次函数图象和二次函数图象的交点问题【例2】已知抛物线C 经过（-5，0），（0，25），（1，6）三点,直线l 的函数表达式为32-=x y ；（1）求抛物线的表达式；（2）证明抛物线C 与直线l 无交点；（3）若与l 平行的直线m x y +=2与抛物线C 只有一个公共点P ，求点P 的坐标；练习1：已知二次函数y=﹣x 2+bx+c 的图象如图所示，它与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y 轴的交点坐标为（0，3）．（1）求出b ，c 的值，并写出此二次函数的解析式；（2）根据图象，写出函数值y 为正数时，自变量x 的取值范围．题型三 关于二次函数图象交点的综合问题【例3】已知抛物线2234y x kx k =+-（k 为常数，且k ＞0）．（1）证明：此抛物线与x 轴总有两个交点；（2）设抛物线与x 轴交于M 、N 两点，若这两点到原点的距离分别为OM 、ON ，且1123ONOM-=，求k 的值．练习1：抛物线2y x bx c =-++的部分图象如图所示，则方程02=++-c bx x 的两根为 .练习2：下列命题：①若0a b c ++=，则240b ac -≥；②若b a c >+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根； ③若23b a c =+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根； ④若240b ac ->，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3. 其中正确的是（ ）．Ａ.只有①②③Ｂ．只有①③④Ｃ．只有①④Ｄ．只有②【例4】已知二次函数y=x2+bx﹣c的图象与x轴两交点的坐标分别为（m，0），（﹣3m，0）（m≠0）．（1）证明4c=3b2；（2）若该函数图象的对称轴为直线x=1，试求二次函数的最小值．练习：已知关于x的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0．（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根；（2）若关于x的二次函数y=mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式；（3）在直角坐标系xoy中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线y=x+b与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b的取值范围．。

一元二次不等式的解法教学目标：（1）理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的图像的关系；掌握一元二次不等式的解法；知道一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组；会解简单的分式不等式； （2）了解命题的概念，会判断简单命题的真假；了解复合命题的概念，理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；会准确判定含有“或”、“且”、“非”的复合命题的构成形式及复合命题的真假。

二. 重点、难点： 重点：（1）一元二次不等式的解法； （2）判断复合命题的真假。

难点：（1）一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系； （2）含有字母参数的一元二次不等式的解法； （3）对“或”的含义的理解。

能力要求：（1）通过对一元二次不等式解法的学习，培养学生的逻辑推理能力、分析问题和解决问题的能力、运算能力，并渗透转化和数形结合的思想；（2）通过对逻辑联结词的学习，提高学生使用数学语言表达问题，进行交流的能力，提高学生分析、综合能力和逻辑推理能力。

学法指导：在学习“一元二次不等式解法”这一节时，注意运用数形结合、函数与方程，化归的数学思想；【例题分析】例1. 解下列不等式： 026)1(2≤+--x x ()244102x x ++< ()33502x x -+>分析：解一元二次不等式的步骤是：1°，把二次项系数化为正数；2°，解对应的一元二次方程；3°，根据方程的根，结合不等号方向，得出不等式的解集。

解：()16202原不等式化为x x +-≥∆≥+-=-062023122，方程的根是，x x ∴≤-≥原不等式的解集是或，{|}x x x 2312()()244121022x x x ++=+≥∴++<不等式的解集是44102x x φ ()303502∆<-+=，方程无实数根x x∴-+>不等式的解集是x x R 2350例2. 解不等式()()()()()175302214032328022x x x x x x x x -+≤-+≥+--+>分析：以上不等式的特点是不等号的右边为0，左边是两个因式的积或商，我们可以根据乘积或商的符号法则将其转化为不等式组求解。

第五讲 一元二次方程的整数整数解在数学课外活动中，在各类数学竞赛中，一元二次方程的整数解问题一直是个热点，它将古老的整数理论与传统的一元二次方程知识相结合，涉及面广，解法灵活，综合性强，备受关注，解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有：从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解；从判别式手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数(设△=2k )，通过穷举，逼近求解；从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因数分解、因式分解求解；从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解．注：一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关．【例题求解】【例1】若关于x 的方程054)15117()9)(6(2=+----x k x k k 的解都是整数，则符合条件的整数是的值有 个．思路点拨 用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定是的值才能全面而准确．注：系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的题设条件，看是否要分类讨论．【例2】 已知a 、b 为质数且是方程0132=+-c x x 的根，那么ba ab +的值是( ) A ．22127 B ．22125 C ．22123 D ．22121 思路点拨 由韦达定理a 、b 的关系式，结合整数性质求出a 、b 、c 的值．【例3】 试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程01)2(2=-+++r x r rx 有根且只有整数根．思路点拨 由于方程的类型未确定，所以应分类讨论．当0≠r 时，由根与系数关系得到关于r 的两个等式，消去r ，利用因式(数)分解先求出方程两整数根．【例4】 当m 为整数时，关于x 的方程01)12()12(2=++--x m x m 是否有有理根?如果有，求出m 的值；如果没有，请说明理由．思路点拨 整系数方程有有理根的条件是为完全平方数．设△=22224)12(544)12(4)12(n m m m m m =+-=+-=--+(n 为整数)解不定方程，讨论m 的存在性．注：一元二次方程02=++c bx ax (a ≠0)而言，方程的根为整数必为有理数，而△=ac b 42-为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件．【例5】 若关于x 的方程0)13()3(22=-+--a x a ax 至少有一个整数根，求非负整数a 的值． 思路点拨 因根的表示式复杂，从韦达定理得出的a 的两个关系式中消去a 也较困难，又因a 的次数低于x 的次数，故可将原方程变形为关于a 的一次方程．学历训练1．已知关于x 的方程012)1(2=--+-a x x a 的根都是整数，那么符合条件的整数a 有 ．2．已知方程019992=+-m x x 有两个质数解，则m ＝ ．3．给出四个命题：①整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中，若△为一个完全平方数，则方程必有有理根；②整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中，若方程有有理数根，则△为完全平方数；③无理数系数方程02=++c bx ax (a ≠0)的根只能是无理数；④若a 、b 、c 均为奇数，则方程02=++c bx ax 没有有理数根，其中真命题是 ．4．已知关于x 的一元二次方程0)12(22=+-+a x a x (a 为整数)的两个实数根是1x 、2x ，则21x x -= ．5．设rn 为整数，且4<m<40，方程08144)32(222=+-+--m m x m x 有两个整数根，求m 的值及方程的根．(山西省竞赛题)6．已知方程015132)83(222=+-+--a a x a a ax (a ≠0)至少有一个整数根，求a 的值．7．求使关于x 的方程01)1(2=-+++k x k kx 的根都是整数的k 值．8．当n 为正整数时，关于x 的方程0763*******=-+-+-n n x nx x 的两根均为质数，试解此方程．9．设关于x 的二次方程4)462()86(2222=+--++-k x k k x k k 的两根都是整数，试求满足条件的所有实数k 的值．10．试求所有这样的正整数a ，使得方程0)3(4)12(22=-+-+a x a ax 至少有一个整数解．11．已知p 为质数，使二次方程015222=--+-p p px x 的两根都是整数，求出p 的所有可能值．12．已知方程02=++c bx x 及02=++b cx x 分别各有两个整数根1x 、2x 及1x '、2x '，且1x 2x >0，1x '2x ' >0． (1)求证：1x <0,2x <0，1x '<0,2x '< 0； (2)求证：11+≤≤-b c b ；(3)求b 、c 所有可能的值．13．如果直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程0122=+--m x mx 的根(m 为整数)，这样的直角三角形是否存在?若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长；若不存在，请说明理由．参考答案。

龙文教育学科教师辅导讲义学员姓名： 辅导课目：数学 年级：八年级 学科教师：汪老师 授课日期及时段课 题第二章 一元二次方程复习重点、难点、考点1、一元二次方程的基本概念2、一元二次方程的解法及应用学习目标1、理解一元二次方程的基本概念及其相应的应用2、一元二次方程的解法及其应用教学内容一、知识回顾:1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数。

2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用直接开平方的方法. （注意：用直接开平方的方法时要记得取正、负.）（2）配方法：关键化原方程为2()x m n +=的形式 （警告： 用配方法时二次项系数要化1.）（3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是221,24(40)2b b ac x b ac a-±-=-≥.（注意：方程要先化成一般形式.）（4）因式分解法（主要有提取公因式、运用平方差公式、运用完全平方公式、十字相乘法）：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积； ③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.（注意：方程要先化成一般形式.）3．一元二次方程根的判别式: 24b ac ∆=-(1)一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的情况：①当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；②当0∆=时，方程有两个相等的实数根； ③当0∆<时，方程无实数根. (2)判定一元二次方程根的情况； (3)确定字母的值或取值范围。

知识点练习知识一：一元二次方程的概念1、一元二次方程(1－3x)(x+3)=2x 2+1的一般形式是 它的二次项系数是 ； 一次项系数是 ；常数项是 。

一元二次函数讲解教案一元二次函数讲解教案精选2篇（一）教案：一元二次函数的讲解目标：1. 学生能够理解一元二次函数的基本概念。

2. 学生能够识别一元二次函数的标准形式和一般形式，并进行相互转化。

3. 学生能够画出一元二次函数的图像，并能够提取关键信息。

4. 学生能够解一元二次方程，并能够应用一元二次函数解决实际问题。

教学过程：一、导入（5分钟）通过简单的问题引入一元二次函数的概念：- 请举一个实际生活中的例子，可以用一元二次函数来描述的。

- 你知道一元二次函数和一次函数的区别吗？二、概念讲解（10分钟）1. 定义一元二次函数：y = ax^2 + bx + c。

其中a、b、c为常数，并且a ≠ 0。

2. 一元二次函数的图像呈现抛物线的形状。

3. 标准形式和一般形式的区别：- 标准形式：y = a(x - h)^2 + k。

其中(h, k)为顶点坐标。

- 一般形式：y = ax^2 + bx + c。

4. 标准形式和一般形式的转化方法。

三、画图和提取信息（15分钟）1. 根据给定的一元二次函数，画出抛物线的图像。

2. 从图像中提取关键信息：开口方向、顶点坐标、对称轴、x轴与y轴的交点等。

四、方程求解（15分钟）1. 什么是一元二次方程？如何解一元二次方程？2. 通过图像求解一元二次方程的根。

3. 通过公式求解一元二次方程的根。

4. 实际问题的应用案例。

五、练习与巩固（15分钟）1. 练习解一元二次方程：给定一元二次函数的图像，求解相应的方程。

2. 练习画图和提取信息：给定一元二次函数的一般形式，画出抛物线的图像，并提取关键信息。

3. 练习应用问题：通过一元二次函数解决实际问题。

六、总结与反思（5分钟）请学生总结今天学习的重点内容，并提出自己的疑问或观点。

七、课堂延伸可以引导学生进一步探究一元二次函数的性质，如开口方向、对称性等。

可以让学生自主寻找相关的性质与规律，并进行讨论和总结。

也可以通过拓展问题拓宽学生的思维，如给定一元二次函数的一般形式，求解其与坐标轴的交点等。

一元二次方程的四种解法一对一辅导讲义编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（一元二次方程的四种解法一对一辅导讲义）的内1、认识一元二次方程2、掌握一元二次方程常见解法；3、经历一元二次方程解法的发现过程，体验归纳、类比的思想方法.容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为一元二次方程的四种解法一对一辅导讲义的全部内容。

1、一元二次方程解法重点、难点2、会解一元二次方程，并能熟练运用四种方法去解考点及考试要一元二次方程的四种解法求教学内容第一课时 一元二次方程的四种解法知识梳理1．已知x=1是一元二次方程2210mx x -+=的一个解，则m 的值是多少？2．已知关于x 的一元二次方程222320()x m m x ++-=-的一个根是0，求m 的值。

3.已知x=1是方程210x mx -+=的根，化简226912m m m m -+--+;4.已知实数a 满足2280a a+-=，求)3)(1(12)1)(1(31a 12+++-⨯+-+-+a a a a a a a 的值。

新课标第一网课前检测5。

已知m ，n 是有理数，方程20x mx n ++=有一个根是52-，求m+n 的值.一、直接开方法：（利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解） 形式:2()x a b +=举例:解方程：29(1)25x += 解：方程两边除以9，得: 225(1)9x +=1251352581,13333x x x ∴+=±∴=-==--=-二、配方法：（理论依据：根据完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±，将原方程配成2()x a b +=的形式，再用直接开方法求解。

龙文教育学科教师辅导讲义课 题 方程与不等式（组）（二） 一元二次方程 教学目标1. 理解一元二次方程的概念。

2. 掌握解一元二次方程的方法和技巧。

3. 学会列一元二次方程解应用题。

重点、难点本节的重点是熟练掌握解一元二次方程的方法和技巧；会列一元二次方程解应用题是本节教学的难点。

考点及考试要求教学内容一、主要知识点回顾：二、一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方程．一般形式：ax 2＋bx+c=0(a ≠0） 其中a 、b 、c 分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项；ax 2、bx 、c 分别叫做二次项、一次项和常数项。

例1：关于y 的一元二次方程2y(y-3)= -4的一般形式是___________ ,它的二次项系数是_____,一次项是_____, 常数项是_____例2：下列各等式是否是关于的一元二次方程？为什么？ （1） （2） （a 为常数） （3）一元二次方程一元二次方程的定义 一元二次方程的解法一元二次方程的应用（增长率问题、成本利润与数量问题）把握住：一个未知数，最高次数是2，整式方程一般形式：ax ²+bx+c=0（a ≠0）直接开平方法：适应于形如（x-k ）² =h （h ≥0）型配方法： 配方:方程两边同加一次项系数一半的平方 公式法：因式分解法:适应于左边能分解为两个一次式的积，右边是0的方程2(1)51x x x +=-260x ax +=243x y =230ax x -+=（4）（5） （6）22(1)0m x mx m +-+=例3：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。

（关于x 的一元二次方程）253x x -= 230x =三、一元二次方程的解法：1. 一元二次方程的解：满足一元二次方程成立的未知数的取值。

例1：若关于x 的一元二次方程x 2＋p x ＋5＝0的一个根是－1，求p 的值。

一元二次函数解法讲义【知识梳理】：一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 都是常数，,那么的二次函数是x yc bx ax y ++=2()0≠a 配方得：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 44,22-=-=：开口方向、对称轴、顶点.①的符号决定抛物线的开口方向： (1)当时，开口向上；顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，当abx 2-= ,y 值最小，最小值为a b ac 442-(2)当时，开口向下；顶点是抛物线的最高点，在对称轴左侧，y 随x 的增大而减小，当abx 2-= ,y 值最大，最大值为a b ac 442-(3)a 相等，抛物线的开口大小、形状一样. ②平行于y 轴〔或重合〕的直线记作.特别地，y 轴记作直线.:几个不同的二次函数，如果二次项系数一样，那么抛物线的开口方向、开口大小完全一样，只是顶点的位置不同.5.求抛物线的顶点、对称轴的方法〔1〕公式法：ab ac a b x a c bx ax y 44)2(222-++=++=， ∴顶点是)44,2(2a b ac a b --，对称轴是直线abx 2-=. 〔2〕配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为k h x a y +-=2)(的形式，得到顶点为),(k h ，对称轴是直线.〔3〕运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进展验证，才能做到万无一失.的作用中，c b a c bx ax y ,,2++=〔1〕决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的完全一样.〔2〕和共同决定抛物线对称轴的位置:由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=，故： ①时，对称轴为轴 ②ab>0〔即、同号〕时，对称轴在轴左侧 ③0<ab〔即、异号〕时，对称轴在y 轴右侧. 〔3〕的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当y x 时，0=c =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点〔0，〕：①，抛物线经过原点; ②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.轴右侧，那么0<ab.〔1〕一般式：c bx ax y ++=2.图像上三点或三对y x ,的值，通常选择一般式. 〔2〕顶点式：()k h x a y +-=2.图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.〔3〕交点式：图像与轴的交点坐标21,x x ，通常选用交点式：))((21x x x x a y --=. 〔1〕轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为),0(c . 〔2〕与轴平行的直线与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(,).〔3〕抛物线与轴的交点:二次函数c bx ax y ++=2的图像与轴的两个交点的横坐标21,x x ，是对应一元二次方程轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点抛物线与轴相交；②有一个交点〔顶点在轴上〕抛物线与轴相切；③没有交点抛物线与轴相离.〔4〕平行于轴的直线与抛物线的交点：同〔3〕一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，那么横坐标是的两个实数根.〔5〕一次函数)0(≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数c bx ax y ++=2)0(≠a 的图像G 的交点，由方程组的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点;②方程组只有一组解时与只有一个交点； ③方程组无解时与没有交点. 〔6〕抛物线与轴两交点之间的距离：假设抛物线c bx ax y ++=2与轴两交点为)0,(),0,(21x B x A ，由于21,x x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x -=•-=+2121,经典例题：【例1】二次函数c bx ax y ++=2的图像如下图，那么abc 、ac b 42-、b a +2、c b a +-24这四个代数式中，值为正的有〔 〕A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个解析：∵abx 2=＜1 ∴b a +2＞0答案：A评注：由抛物线开口方向判定a 的符号，由对称轴的位置判定b 的符号，由抛物线与y 轴交点位置判定c 的符号。

1精锐教育学科教师辅导讲义授课类型T 一元二次方程的解法授课日期时段 教学内容一、同步知识梳理一元二次方程的概念1.方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，我们把这样的方程叫做一元二次方程。

2.能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解（或根）。

3.一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为02=++c bx ax 的形式,我们把02=++c bx ax (a,b,c 为常数，a ≠0）称为一元二次方程的一般形式。

c bx ax ,,2分别称为二次项，一次项，常数项。

一元二次方程的解法1．因式分解: 把一个多项式化成几个整式的积的形式主要方法: (1)提取公因式法 (2)公式法2.利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

它的基本步骤是：（1）若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；（2）将方程的左边分解因式；（3）根据若A·B=0,则A=0或B=0,将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程。

3.一般地，对于形如 a x =2（a ≥0）的方程，根据平方根的意义，可解得 a x =1，a x -=2这种解一元二次方程的方法叫做开平方。

24.把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法。

5.用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。

（a ≠0, b 2-4ac ≥0) 当b 2-4ac=0 时，一元二次方程有两个相等的实数根。

当b 2-4ac<0，一元二次方程无实数根。

二、同步题型分析例题1 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）。

（A ）x 2-1x=1 （B ）x 2+y=2 （C ）2x 2=2 （D ）x+5=（-7）2例题2 把一元二次方程（x+2）（x-3）=4化成一般形式，得（ ）。

（A ）x 2+x-10=0 （B ）x 2-x-6=4 （C ）x 2-x-10=0 （D ）x 2-x-6=0 例题3 当m 满足什么条件时，方程m （x 2+x ）=2x 2-（x+1）是关于x 的一元二次方程？当m 取何值时，方程m （x 2+x ）=2x 2-（x +1）是一元一次方程？例题4 设方程03742=+-x x 的两根为21x x ，，不解方程，求下列各式的值:(1) 2221x x + (2) 21x x - （3）21x x + （4）21x x -三、课堂达标检测1. 一元二次方程12)3)(31(2+=-+x x x 化为一般形式为： ，二次项)04(24222,1≥--±-=ac b a ac b b x3系数为： 一次项系数为： ，常数项为： 。