二次函数和一元二次方程-辅导讲义

二次函数与一元二次方程（知识点考点一站到底）知识点☀笔记知识点一 利用判别式判断抛物线与x 轴的交点个数判别式 Δ＝b 2－ 4ac二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)图象图象与x 轴 的交点个数根的情况Δ>0a >0与x 轴有 2个交点有两个不相等的实数根a <0Δ＝0a >0与x 轴有 1个交点有两个相等的 实数根a <0Δ<0a >00个交点没有实数根a <0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的横坐标，就是对应方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根．考点☀梳理解题指导：①确定一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＋k ＝0的根的情况，可以利用二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与y ＝－k 的图象的交点情况进行判断．②用图象法求一元二次方程的近似根的步骤：(1)画出函数的图象，并由图象确定方程根的个数； (2)由图象交点的位置确定交点横坐标的范围； (3)估计方程的近似根．考点1：二次函数与一元二次方程的关系必备知识点：①二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的横坐标，就是对应方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根．题型1 图形法确定一元二次方程的近似根例1．（2022·全国·九年级专题练习）下表是若干组二次函数25y x x c =-+的自变量x 与函数值y 的对应值： x …1.31.41.51.61.7…y … 0.36 0.13 ﹣0.08 ﹣0.27 ﹣0.44 … 那么方程x 2﹣5x +c ＝0的一个近似根（精确到0.1）是（ ）A ．3.4 B ．3.5 C ．3.6 D ．3.7【答案】B【分析】观察表格可得-0.08更接近于0，得到方程的一个近似根（精确到0.1）是1.5，再由25y x x c =-+的对称轴为x =52得到方程250x x c -+=的另一个近似根（精确到0.1）是3.5【详解】解：∵二次函数25y x x c =-+， ∵对称轴为直线x ＝52，观察表格得：方程250x x c -+=的一个近似根（精确到0.1）是1.5， ∵另一个近似根m 满足 1.52m +＝52， ∵m ＝3.5， 故选：B.【点睛】此题考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键．＝ax 2+bx +c 的图象，并求得一个近似根为x ＝﹣4.3，则方程的另一个近似根为（ ）（精确到0.1）A ．x ＝4.3B ．x ＝3.3C ．x ＝2.3D ．x ＝1.3【答案】C【分析】根据抛物线与x 轴的一个交点为（﹣4.3，0），又抛物线的对称轴为：x ＝﹣1，即可求解． 【详解】解：∵抛物线与x 轴的一个交点为（﹣4.3，0），又抛物线的对称轴为：x ＝﹣1， ∵另一个交点坐标为：（2.3，0）， 则方程的另一个近似根为x ＝2.3，故选：C ．【点睛】本题考查了根据二次函数图象求方程的近似根，掌握抛物线的对称性是解题的关键．练习1．（2022·全国·九年级专题练习）根据表格中二次函数y ＝ax 2+bx +c 的自变量x 与函数值y 的对应值，可以判断方程 ax 2+bx +c ＝0的一个解x 的范围是（ ）x 00.5 1 1.5 2 y ＝ax 2+bx +c 1-0.5-13.57A ．0＜x ＜0.5B ．0.5＜x ＜1C ．1＜x ＜1.5D ．1.5＜x ＜2【答案】B【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质．【详解】解：观察表格可知：当x =0.5时，y =-0.5；当x =1时，y =1， ∵方程ax 2+bx +c =0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的一个解x 的范围是0.5＜x ＜1． 故选：B ．【点睛】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y 由正变为负时，自变量的取值即可．练习2．（2022.浙江湖州.九年级期末）在二次函数y ＝ax 2+bx +c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表，则方程ax 2+bx +c ＝0的一个解x 的范围是（ ） x (1)1.11.2 1.3 1.4 … y …-1-0.490.040.591.16…A ．1＜x ＜1.1B ．1.1＜x ＜1.2C ．1.2＜x ＜1.3D ．1.3＜x ＜1.4【答案】B【分析】根据表格中自变量与函数的值的变化情况得出当y =0时相应的自变量的取值范围即可． 【详解】由表格中数据可知，当x ＝1.1时，y ＝－0.49. 当x ＝1.2时，y ＝0.04于是可得，当y ＝0时，相应的自变量x 的取值范围为1.1＜x ＜1.2 故选B【点睛】本题考查了用图像法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y 由正变为负时自变量的取值即可．练习2．（2022·全国·九年级课时练习）如表，是二次函数()y f x =的自变量x 与函数值y 的几组对应值．那么方程()0f x =的一个近似解是（ ）x 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y -1.49-1-0.490.040.591.16A ．1B ．1.1C ．1.2D ．1.3【答案】C【分析】由表格可得抛物线与x 轴的一个交点在(1.1,0)和(1.2,0)之间且距离(1.2,0)较近，进而求解． 【详解】解：由表格可得 1.1x =时，0y <， 1.2x =时，0y >，()0f x ∴=的一个解在1.1与1.2之间， |0.49|0.04>，()0f x ∴=的一个近似解是1.2，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数与方程的关系．练习4．（2022·江苏·九年级专题练习）观察下列表格，估计一元二次方程2350x x +-=的正数解在（ ）x－1 0 1 2 3 425x x +- －7 －5 －1 5 13 23A ．－1和0之间B ．0和1之间C ．1和2之间D ．2和3之间【答案】C【分析】令y =x 2＋3x －5根据x =﹣1和x =5时的函数值，即可得到答案． 【详解】解：令y =x 2＋3x －5， 当1x =时，10y =-<， 当2x =时，50y =>，∴x 2＋3x －5=0的一个正数x 的取值范围为1＜x ＜2，故选C ．【点睛】本题考查二次函数的与坐标轴的交点问题，掌握二次函数的性质是解题关键． 例1．（2022·吉林省实验中学九年级阶段练习）抛物线253y x x =-+-与y 轴的交点坐标是（ ） A ．()0,3 B ．()0,3-C ．()0,5-D ．()0,5【答案】B【分析】把x ＝0代入253y x x =-+-求得y 的值，即可得到答案． 【详解】解：∵当x ＝0时，253y x x =-+-＝﹣3， ∵抛物线253y x x =-+-与y 轴的交点坐标是（0，﹣3）．故选：B例2．（2022·全国·九年级专题练习）已知二次函数y ＝x 2﹣6x +5．函数图象与x 轴交点坐标为_____，与y 轴的交点坐标为__________；【答案】 （5，0），（1，0） （0，5）【分析】利用y =0解方程得到图象与轴的交点，利用x =0求图象与y 轴的交点即可． 【详解】把y ＝0代入y ＝x 2﹣6x +5得0＝x 2﹣6x +5， 解得x 1＝5，x 2＝1，∵抛物线与x 轴交点坐标为（5，0），（1，0）， 把x ＝0代入y ＝x 2﹣6x +5得y ＝5， ∵抛物线与y 轴交点坐标为（0，5）， 故答案为：（5，0），（1，0）；（0，5）．【点睛】此题考查了二次函数图象与坐标轴的交点坐标，解一元二次方程，正确掌握计算方法是解题的关键．练习1．（2021·江苏·南通市八一中学九年级阶段练习）抛物线y ＝23x +4x +2与x 轴的交点个数是_____． 【答案】0【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断． 【详解】解：∵Δ=24-4×3×2=-8＜0， ∵抛物线与x 轴没有交点． 故答案为：0．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，解题关键是把求二次函数y =2ax +bx +c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程的根的判别式的应用进行解决． 练习2．（2022·浙江温州·九年级期中）已知二次函数1y x k =--+的图象过点0,3．(1)求该二次函数的表达式．(2)求该二次函数图象与x 轴的交点坐标． 【答案】(1)()214y x =--+ (2)()1,0-，()3,0【分析】（1）把点()0,3代入函数解析式，求出k 的值即可得到函数表达式； （2）取y ＝0，得到()2140x --+=，求出x 的值，即可得到答案． （1）解：把()0,3代入()21y x k =--+得：()2013k --+=，解得：4k =，∵该二次函数的表达式是()214y x =--+； （2）当0y =时，()2140x --+=， 解得：11x =-或23x =，∵该二次函数图象与x 轴的交点坐标是()1,0-，()3,0．【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数的表达式、二次函数图象与x 轴的交点等知识，熟练掌握方法是解题的关键．练习3．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知二次函数223y ax x ++＝的图象与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B ，与y 轴交于点C .(1)求二次函数的解析式和点B 的坐标； (2)直接写出y 的最大值为 .【答案】(1)2y x 2x 3=-++；B （3，0）； (2)4【分析】（1）运用待定系数法即可求得二次函数的解析式，令y ＝0，解一元二次方程即可求得点B 的坐标； （2）运用配方法将二次函数解析式化为顶点式，即可得出答案． （1）∵抛物线223y ax x ++＝经过点A （﹣1，0）， ∵a ﹣2+3＝0， 解得：a ＝﹣1，∵二次函数的解析式为2y x 2x 3=-++， 令y ＝0，得2230x x -++=， 解得：13x =，21x =- ∵B （3，0）； （2）∵()222314y x x x =-++=--+， ∵当x ＝1时，4y =最大值． 故答案为：4．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，抛物线与x 轴交点坐标，二次函数最值等，难度较小，是常见的基础题．练习4．（2021·江西上饶·九年级阶段练习）如图，抛物线23y ax bx ++＝（a ≠0）与x 轴交于点A （1，0）和点B （﹣3，0），与y 轴交于点C ，连接BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，顶点为点D ．(1)求抛物线的解析式； (2)求∵BOC 的面积． 【答案】(1)223y x x --+＝ (2)92【分析】（1）根据抛物线23y ax bx ++＝（a ≠0）与x 轴交于点A （1，0）和点B （﹣3，0），即可得到关于a 、b 的方程，从而可以求得a 、b 的值，然后即可写出抛物线的解析式；（2）根据（1）中抛物线的解析式，可以写出点C 的坐标，然后再根据点B 的坐标，即可得到OC 和OB 的长，再根据三角形面积公式，即可求得∵BOC 的面积． （1）解：∵抛物线23y ax bx ++＝（a ≠0）与x 轴交于点A （1，0）和点B （﹣3，0），∵309330a b a b ++=⎧⎨-+=⎩， 解得12a b =-⎧⎨=-⎩，∵抛物线的解析式为223y x x --+＝． （2）解：由（1）知，223y x x --+＝，∵点C 的坐标为（0，3）， ∵OC ＝3，∵点B 的坐标为（﹣3，0）， ∵OB ＝3， ∵∵BOC ＝90°， ∵∵BOC 的面积是2OB OC ⋅＝33922⨯=． 【点睛】本题主要考查抛物线与x 轴的交点、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、三角形的面积，解答本题的关键是明确二次函数的性质，利用数形结合的思想解答． 例1．（2022·福建省长汀县第二中学九年级阶段练习）定义：min{a ，b }＝(),().a a b b a b ⎧≤⎨>⎩若函数y ＝min{x ＋1，223x x -++ }，则该函数的最大值为___________.【答案】3【分析】根据定义画出函数图象，设直线y =x +1，抛物线2y x 2x 3=-++，联立直线与抛物线方程得抛物线与直线交点坐标，结合图象求解．【详解】解：依题意，设直线y =x +1，抛物线2y x 2x 3=-++， 联立直线与抛物线方程得2123y x y x x =+⎧⎨=-++⎩， 解得23x y =⎧⎨=⎩或10x y =-⎧⎨=⎩，∵直线与抛物线交点坐标为（-1，0），（2，3）， 如图，∵x ≤-1时，y =223x x -++，函数最大值为y =0，-1＜x ≤2时，y =x +1，函数最大值为y =3， 当x ＞2时，y =223x x -++，y ＜3， ∵x =2时，函数取最大值为3， 故答案为：3．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握函数与方程及不等式的关系．通过数形结合求解． 例2．（2022·全国·九年级课时练习）抛物线223y x x =-，当1y =-时，自变量的值为_________． 【答案】1或12【分析】把y =1代入解析式中得到关于x 的方程，解方程即可 【详解】解：223y x x =-， 当1y =-时，2231x x -=-， 解得11x =，212x =， 故答案为：1或12．【点睛】本题考查函数值以及自变量，解题的关键是掌握函数值的计算方法．练习．（全国八年级课时练习）已知，当时，的值为；当时，y 的值等于9． 【答案】 3 0或6【分析】令y =0即可得到关于x 的一元二次方程，求出x 的值即可；令y =9即可得到关于x 的一元二次方程，求出x 的值即可．【详解】解：∵y =x 2-6x +9中的值为0， ∵令x 2-6x +9=0，解得x =3； ∵y =x 2-6x +9中的值为9， ∵令x 2-6x +9=9，即x 2-6x =0， 解得1206x x ==，． 故答案为：3；0或6．【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程，根据函数值得到关于x 的元二次方程，求出x 的值是解答此题的关键．练习．（全国九年级课时练习）如图，抛物线与轴交于、两点，且点、B 都在原点右侧，抛物线的顶点为点P ，当ABP △为直角三角形时，m 的值为________．【答案】2【分析】设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则AB =｜x 2-x 1｜，求出点P （m ，-（m -1）2），由抛物线的对称性知∵ABP 为等腰直角三角形，建立方程｜x 2-x 1｜=2（m -1）2，根据根与系数关系可求得m 值． 【详解】解：设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则AB =｜x 2-x 1｜， 令y =0得22210x mx m -+-=，∵x 1+x 2=2m ，x 1·x 2=2m -1，则｜x 2-x 1｜2=4m 2-8m +4=4（m -1）2，由抛物线2221y x mx m =-+-=（x -m ）2－（m -1）2得顶点坐标为P （m ，-（m -1）2）， 抛物线的对称性知∵ABP 为等腰直角三角形， ∵｜x 2-x 1｜=2（m -1）2， 即4（m -1）2=4（m -1）4， 解得：m =2或m =0或m =1，∵抛物线2221y x mx m =-+-与x 轴交于A 、B 两点，且点A 、B 都在原点右侧， ∵2m ＞0且m ≠1且2m -1＞0，即m ＞12且m ≠1， ∵m =2， 故答案为：2．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、等腰直角三角形的判定与性质、根与系数的关系、解高次方程等知识，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．意创造非凡、探索未来．某商店准备用2400元购进一批冰墩墩钥匙扣出售．假如每个钥匙扣的进价降低20%，则可以多买50个．(1)求每个冰墩墩钥匙扣的进价；(2)市场调查发现：当每个冰墩墩钥匙扣的售价是20元时，每周可以销售200个；每涨价1元，每周少销售10个．设每个冰墩墩钥匙扣的售价是x 元（x 是大于20的正整数），每周总利润是w 元． ①求w 与x 的函数关系，并求每周总利润的最大值；②当每周总利润大于1870元时，直接写出每个冰墩墩钥匙扣的售价． 【答案】(1)每个冰墩墩钥匙扣的进价为12元(2)①2105204800w x x =-+-，最大值为1960元；②每个冰墩墩钥匙扣的售价为24元或25元或26元或27元或28元【分析】（1）设每个冰墩墩钥匙扣的进价为x 元，根据题意列出分式方程，进而计算求解即可；（2）①根据题意列出二次函数关系，根据二次函数的性质求得最大利润即可；②根据题意列出方程，根据二次函数的性质求得x 的范围，根据题意取整数解即可．(1)设每个冰墩墩钥匙扣的进价为x 元，由题意得：()2400240050120%x x +=-，解得12x =，经检验，12x =是原方程的解且符合题意，答：每个冰墩墩钥匙扣的进价为12元；(2)①()()122001020w x x =---⎡⎤⎣⎦2105204800x x =-+-()210261960x =--+ ∵0a <且x 是大于20的正整数∵当26x =时，w 有最大值，最大值为1960元②由题意得，21052048001870x x -+-=，解得23x =或29∵抛物线开口向下，x 是大于20的正整数∵当2329x <<时，每周总利润大于1870元，∵售价为24元或25元或26元或27元或28元．【点睛】本题考查了分式方程的应用，二次函数的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程或关系式是解题的关键．练习．（全国九年级课时练习）如图，已知二次函数的图象经过点．(1)求a 的值和图象的顶点坐标；(2)点(,)Q m n 在该二次函数图象上；①当11n =时，求m 的值，②当m ＜x ＜m -3时，该二次函数有最小值2，请直接写出m 的取值范围． 【答案】(1)2a =；()1,2-(2)①4m =-或2；②41m -<-【分析】（1）将点P 的坐标代入二次函数解析式可得关于a 的方程，再解方程即可得出a 的值．将二次函数的解析式进行配方，即可得到图象的顶点坐标；（2）①将点Q 的坐标代入二次函数解析式，求解方程即可得到m 的值；②根据当1x =-时，二次函数取最小值为2，得出13m m -≤+＜，解关于m 的不等式组即可．（1）解：∵二次函数21y x ax a =+++的图象经过点()2,3P -，∵()()23221a a =-+⨯-++．解得：a =2；∵二次函数的解析式为()222312y x x x =++=++．∵图象的顶点坐标是()1,2-．（2）①∵点(),Q m n 在该二次函数图象上，且n =11，∵21123m m =++．解得14m =-，22m =，∵m 的值为-4或2；②∵二次函数()222312y x x x =++=++的最小值为2，∵13m m -≤+＜，解得：41m -≤-＜，∵m 的取值范围是41m -≤-＜．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解一元二次方程，二次函数的最值，能够正确应用数形结合思想是解题关键．题型4 根据二次函数系数求对应方程根的情况或与x 轴交点情况例1．（2022·全国·九年级专题练习）如图，抛物线2y ax =与直线y bx c =+的两个交点坐标分别为(2,4)A -，(1,1)B ，则方程2ax bx c =+的解是________________.【答案】12x =-，21x =【分析】二次函数图象与一次函数图象交点的横坐标即为2ax bx c =+的解：12x =-，21x =.【详解】解：抛物线 2y ax =与直线y bx c =+的两个交点坐标分别为 ()2,4A - ， ()1,1B ，∴方程组2y ax y bx c ⎧=⎨=+⎩的解为1124x y =-⎧⎨=⎩ ，2211x y =⎧⎨=⎩ ， 即关于x 的方程 20ax bx c --=的解为12x =-，21x =，所以方程2ax bx c =+ 的解是 12x =-，21x =，故答案为： 12x =-，21x =．【点睛】本题考查了函数图象与方程的解的关系，函数与方程是密不可分的，方程的根的个数问题，往往可以转化为两个函数图象的交点问题．例2．（2022·福建南平·九年级期末）如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为1x =，点P 是抛物线与x 轴的一个交点，若点P 的坐标为()4,0，则关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的解为__________．【答案】124,2x x ==-【分析】根据函数的对称轴和点P 的坐标可以得出与x 轴的另一交点坐标，从而得出结论．【详解】解：∵抛物线2y ax bx c =++的对称轴为x ＝1，点P 是抛物线与x 轴的一个交点，坐标为（4，0），∵抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（−2，0），∵关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的解为：124,2x x ==-．故答案为：124,2x x ==-．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点问题，关键是对二次函数性质的掌握和运用．练习1．（2022·全国·九年级课时练习）已知抛物线2y x bx c =++的部分图像如图所示，则方程20x bx c ++=的解是___________【答案】11x =-或23x =【分析】根据抛物线的轴对称性即可求得抛物线与x 轴的另一个交点的坐标，这两个交点的横坐标就是方程20x bx c ++=的解．【详解】解：由图像可知抛物线与x 轴的一个交点坐标为(1,0)-，对称轴为直线1x =，设抛物线与x 轴的另一个交点为2(,0)x ，则2112x -+=， 解得：23x =．∵方程20x bx c ++=的解为11x =-或23x =．故答案为：11x =-或23x =【点睛】本题考查的是利用二次函数的图像求解一元二次方程，以及抛物线的对称性问题，正确理解抛物线与x 轴的交点的横坐标与相应的一元二次方程的根之间的关系是解题的关键．练习2．（2021·湖北·武汉二中广雅中学九年级阶段练习）如图，已知抛物线223y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，直线25y kx k =-+与它有三个公共点时，则k 值为______．【答案】222-+或53【分析】先确定A 、B 、C 三点坐标，y =kx -2k +5=k （x -2）+5，可得直线经过定点（2，5）画出图形，分别找到两个极限位置，求出k 的值．【详解】解：∵223y x x =--∵当y =0时，解得x =-1或x =3；当x =0时，解得y =3∵A （-1,0），B （3,0），C （0，3）∵y =kx -2k +5=k （x -2）+5∵直线25y kx k =-+必过定点（2，5）要使直线y =kx -2k +5与图像有三个公共点，则可得到如图所示的两个极限位置，①直线经过A 、N ，此时将点A （-1，0）代入可得：0=-k -2k +5，解得：k =53②直线经过点N 与抛物线相切时，由题意可得：22325x x kx k -++=-+整理得：2(2)220x k x k +--+=2(2)4(22)0k k ∆=---+=，解得222k =-±由图像可知，k ＞0，则222k =-+综上可知，25y kx k =-+与223y x x =--有三个公共点时，则k 值为222-+或53． 故答案为222-+或53．【点睛】本题主要考查了一次函数与抛物线的交点问题，根据题意找到恰好有3个公共点的位置以及数形结合思想的运用是解答本题的关键．练习3．（2020·北京房山·九年级期中）若二次函数23y kx x =--的图象与轴有交点，则k 的取值范围是_______．【答案】13k ≥-且0k ≠##k ≠0且k ≥13- 【分析】根据二次函数的定义可知0k ≠，由题意令0y =，得出一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式大于或等于0，解不等式即可求解．【详解】解：∵二次函数223y kx x =--的图象与x 轴有交点，令0y =，则2230kx x --=，∵4120k =+≥且0k ≠，解得13k ≥-且0k ≠． 故答案为：13k ≥-且0k ≠． 【点睛】本题考查了二次函数的定义以及二次函数与x 轴交点问题，转为一元二次方程根的判别式是解题的关键，注意不要漏掉0k ≠．练习．（全国九年级专题练习）已知抛物线与轴的一个交点为，则代数式2225m m -+=_____________． 【答案】15【分析】把点(,0)m 代入二次函数解析式可得25m m -=，然后问题可求解．【详解】解：把点(,0)m 代入二次函数解析式得：250m m --=，则有25m m -=，∵()222252515m m m m -+=-+=； 故答案为15．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．。

二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解本节知识点：1.一元二次不等式的概念。

2.三个二次的关系。

3.一元二次不等式的解法。

知识点拓展：4.分式不等式的解法。

5.高次不等式的解法。

本节题型：1.解不含参数的一元二次不等式。

2.解含参数的一元二次不等式。

3.三个二次之间的关系。

4.简单高次不等式、分式不等式的解法。

5.XXX成立问题。

6.一元二次不等式的应用。

知识点讲解：一元二次不等式的概念：一元二次不等式是只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。

即形如ax2+bx+c>(≥)或ax2+bx+c<(≤)（其中a≠）的不等式叫做一元二次不等式。

解一元二次不等式，就是求出使不等式成立的x的值。

解的集合，叫做这个一元二次不等式的解集。

注意一元二次不等式的解集要写成集合或区间的形式。

三个二次的关系：一元二次不等式的解集、一元二次方程的解以及二次函数的图象之间有着紧密的联系。

一元二次方程ax2+bx+c=(a≠)与二次函数y=ax2+bx+c=(a≠)的关系是：1)当Δ=b2-4ac≥时，一元二次方程有实数根，二次函数的图象与x轴有交点，且方程的解是交点的横坐标，交点的横坐标亦是方程的解；①当Δ>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，二次函数的图象与x轴有两个不同的交点；②当Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，二次函数的图象与x轴只有一个交点（即抛物线的顶点）。

2)当Δ<0时，一元二次方程无实数根，二次函数的图象与x轴没有交点。

具体关系见下表（1）所示。

一元二次不等式与二次函数y=ax2+bx+c=(a≠)的关系是：一元二次不等式ax2+bx+c>(≥)的解集就是二次函数y=ax2+bx+c=(a≠)的图象位于x轴上方（包括x轴）的部分所对应的自变量的取值范围。

例题讲解：1.解不等式x2+4x+3≤0.解：将不等式化为一元二次方程x2+4x+3=0，解得x=-1，x=-3.因此，不等式的解集为[-3,-1]。

第2讲：二次函数与一元二次方程、不等式(重点题型方法与技巧)目录类型一：一元二次不等式（不含参）的求解 类型二：一元二次不等式（含参）的求解 角度1：两根大小不确定，从两根相等开始讨论角度2：最高项系数含参从0开始讨论 角度3：不可因式分解型，从开始讨论 类型三：一元二次不等式与对应函数、方程的关系类型四：二次不等式恒成立问题 类型五：一元二次函数求最值（含参数）类型六：：根据不等式的解求参数1、四个二次的关系 1.1一元二次函数的零点一般地，对于二次函数2y ax bx c =++，我们把使20ax bx c ++=的实数x 叫做二次函数2y ax bx c =++的零点．1.2次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42-=∆，它的解按照0>∆，0=∆，0<∆可分三种情况，相应地，二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图象与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或20ax bx c ++<(0)a >的解集.判别式ac b 42-=∆ 0∆>0∆=0∆<二次函数2y ax bx c =++(0a >的图象一元二次方程20ax bx c ++=(0a >)的根有两个不相等的实数有两个相等的实数根没有实数根根1x ，2x (12x x <)122b x x a==-20ax bx c ++>(0a >)的解集 12{|}x x x x x <>或 {|}2b x x a≠-R20ax bx c ++<(0a >)的解集12{|}x x x x <<∅ ∅2、一元二次不等式的解法1：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； 2：写出相应的方程20ax bx c ++=(0)a >，计算判别式∆：①0∆>时，求出两根12x x 、，且12x x <（注意灵活运用十字相乘法）； ②0∆=时，求根ab x x 221-==； ③0∆<时，方程无解 3：根据不等式，写出解集.类型一：一元二次不等式（不含参）的求解典型例题例题1．（2022·全国·高一课时练习）不等式21560x x +->的解集为（ ） A ．{1x x 或1}6x <-B ．116x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C ．{1x x 或3}x <-D ．{}32x x -<<【答案】B【详解】法一：原不等式即为26510x x --<，即()()6110x x +-<，解得116x -<<，故原不等式的解集为116x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭．法二：当2x =时，不等式不成立，排除A ，C ；当1x =时，不等式不成立，排除D ． 故选：B ．例题2．（2022·陕西省丹凤中学高一期末（理））不等式2280x x +-≤的解集是________． 【答案】{|42}x x -≤≤【详解】解：因为2280x x +-≤，即()()420x x +-≤， 解得42x -≤≤，所以原不等式的解集为{|42}x x -≤≤； 故答案为：{|42}x x -≤≤同类题型演练1．（2022·广东珠海·高一期末）不等式()()130x x ++<的解集是（ ）A ．RB ．∅C ．{31}x x -<<-∣D ．{3xx <-∣，或1}x >- 【答案】C【详解】解：由()()130x x ++<，解得31x -<<-，即不等式的解集为{31}xx -<<-∣； 故选：C2．（2022·四川成都·高一期末（文））不等式()()120x x +->的解集为___________. 【答案】{}|12x x -<<【详解】不等式()()120x x +->可化为()()120x x +-<， 解得：12x -<<.所以原不等式的解集为{}|12x x -<<. 故答案为：{}|12x x -<<类型二：一元二次不等式（含参）的求解 角度1：两根大小不确定，从两根相等开始讨论 典型例题例题1．（2022·全国·高一课时练习）解不等式()2220x c x c -++<.【答案】解：不等式化为()2220x c x c -++<，即()(2)0x c x --<当2>c 时，不等式的解集为{}2x x c <<， 当2c =时，不等式的解集为∅， 当2c <时，不等式的解集为{}2x c x <<例题2．（2022·全国·高三专题练习）求不等式2212x ax a ->（a R ∈）的解集． 【答案】当a>0时，不等式的解集为{|}43a ax x x <->或 当a ＝0时，不等式的解集为{x|x ∈R 且x≠0}； 当a<0时，不等式的解集为{|}34a ax x x <>-或 【详解】试题分析：解含参数的二次不等式，通常要比较其对应方程的两根大小才能写出不等式的解集．本题对应方程两根为13a x =，24ax =-比较这两个根的大小，只需讨论与零的大小关系就可以了．试题解析：原不等式可化为（3x －a ）（4x ＋a ）>0． 当a>0时，不等式的解集为{|}43a a x x x <->或 当a ＝0时，不等式的解集为{x|x ∈R 且x≠0}； 当a<0时，不等式的解集为{|}34a a x x x <>-或 例题3．（2022·广东·高一期末）设函数2()(1)1f x ax a x =-++． (1)当a +∈R 时，求关于x 的不等式()0f x <的解集．【答案】(1)当1a =时，解集为∅；当01a <<时，解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当1a >时，解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. ()0f x <，即()2110ax a x -++<，当a +∈R 时，原不等式可化为()110x x a⎛⎫--< ⎪⎝⎭，其解得情况应由1a与1的大小关系确定， 当1a =时，解得x ∈∅； 当1a >时，解得11x a<<； 当01a <<时，解得11x a<<. 综上所述：当1a =时，解集为∅；当01a <<时，解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当1a >时，解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 同类题型演练1．（2022·福建南平·高一期末）当0a <时，求关于x 的不等式2(24)80ax a x +-->的解集． 【答案】2(24)80ax a x +-->，因为0a <，所以不等式可化为2(4)0x x a ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭当24a <-时，即102a -<<，原不等式的解集24,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭当24a =-时，即12a =-，原不等式的解集为∅当24a >-时即12a <-原不等式的解集2,4a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.综上所述，当102a -<<时，原不等式的解24,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；当12a =-时，原不等式的解集为∅；当12a <-时，原不等式的解集2,4a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.2．（2022·四川成都·高一期末）设函数()()3y x x a =--，R a ∈. (1)解关于x 的不等式0y <； 【答案】(1)答案见解析.当3a <时，不等式()0f x <的解集为(),3a ， 当3a =时，不等式()0f x <的解集为∅， 当3a >时，不等式()0f x <的解集为()3,a .3．（2022·甘肃省武威第一中学高一开学考试）解关于x 的不等式：()2230x a a x a -++<.【答案】答案见解析【详解】解：()2230x a a x a -++<即()()20x a x a --<， 则对应方程的根为212,==x a x a ，①当0a <或1a >时，原不等式的解集为{}2x a x a <<，②当0a =或1a =时，原不等式的解集为∅，③当01a <<时，原不等式的解集为{}2x a x a <<.角度2：最高项系数含参从0开始讨论典型例题例题1．（2022·湖南·新邵县第二中学高一开学考试）解关于x 的不等式2(1)21(R)ax a x a a a +-+-<-∈.【答案】由题意可得22(1)21(1)10ax a x a a ax a x +-+-<-⇒+--<，当0a =时，不等式可化为1x <，所以不等式的解集为{}1x x <，当0a >时，21(1)10(1)(1)01ax a x ax x x a+--<⇒+-<⇒-<<，当0a <时，2(1)10(1)(1)0ax a x ax x +--<⇒+-<，①当1a =-，解集{}1x x ≠，②当10a -<<，解集为{1x x <或1x a ⎫>-⎬⎭，③当1a <-，解集为{1x x >或1x a ⎫<-⎬⎭.综上所述，当1a <-，不等式的解集为{1x x >或1x a ⎫<-⎬⎭，当1a =-，不等式的解集为{}1x x ≠，当10a -<<，不等式的解集为{1x x <或1x a ⎫>-⎬⎭，当0a =时，不等式的解集为{}1x x <，当0a >时，不等式的解集为11x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.例题2．（2022·陕西·西安高新第三中学高一期中）已知函数()2(2)()f x ax a x a =+-∈R .若2a >-，解关于x 的不等式()2f x ≥.【答案】20a -<<时，解集为2|1x x a ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭；0a =时，解集为{}1x x ≤-； 0a >时，解集为2{|x x a≥或1}x ≤- 不等式()2f x ≥，可化为：()2220ax a x +--≥.当0a =时，原不等式即为220x --≥，∴1x ≤-．当0a >时，原不等式化为()210a x x a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，∴2x a ≥或1x ≤-.当20a -<<时，原不等式为()210a x x a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，可化为()210x x a ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭因21a<-，∴21x a ≤≤-．综上，20a -<<时，原不等式的解集为2|1x x a ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭；0a =时，原不等式的解集为{}1x x ≤-； 0a >时，原不等式的解集为2{|x x a≥或1}x ≤- 同类题型演练1．（2022·全国·高一专题练习）若R a ∈，解关于x 的不等式2(1)10ax a x +++>．【答案】答案见解析.【详解】当0a =时，1x >-，当0a ≠时，1()(1)0a x x a++>，当0a <时，1()(1)0x x a ++<，解得11x a-<<-，当0a >时，1()(1)0x x a++>，若1a =，则1x ≠-，若01a <<，则1x a <-或1x >-，若1a >，则1x <-或1x a>-，所以当0a <时，原不等式的解集是{}|11x x a -<<-；当0a =时，原不等式的解集是{|1}x x >-；当01a <≤时，原不等式的解集是1{|x x a <-或1}x >-；当1a >时，原不等式的解集是{|1x x <-或1}x a>-．2．（2022·福建·莆田一中高一期末）已知函数2()(1)2f x ax a x a =+-+-. 若0a <，解关于x 的不等式()1f x a <-. 【答案】依题意，因0a <，则2()1(1)101()(1)0f x a ax a x x x a<-⇔+-⇔--+><，当1a =-时，11a-=，解得1x ≠， 当10a -<<时，11a ->，解得1x <或1x a>-， 当1a <-时，101a <-<，解得1x a<-或1x >，所以，当1a =-时，原不等式的解集为{R |1}x x ∈≠；当10a -<<时，原不等式的解集为{|1x x <或1}x a>-；当1a <-时，原不等式的解集为1{|x x a<-或1}x >.角度3：不可因式分解型，从开始讨论典型例题例题1．（2022·全国·高一专题练习）解关于x 的不等式：2220()x ax a R ++>∈． 【答案】答案见解析.【详解】关于x 的不等式：2220()x ax a R ++>∈中，∆2242216a a =-⨯⨯=-，当4a >或4a 时，∆0>，对应的一元二次方程有两个实数根2164a a x ---=和2164a a x -+-=，且22161644a a a a ----+-<， 故不等式的解集为216{|4a a x x ---<或216}4a a x -+->；当4a =±时，∆0=，对应的一元二次方程有两个相等的实数根4ax =-，∴不等式的解集为{|}4ax x ≠-；当44a -<<时，∆0<， ∴不等式的解集为R ；综上，4a >或4a时，不等式的解集为216{|4a a x x ---<或216}4a a x -+->；4a =±时，不等式的解集为{|}4ax x ≠-；44a -<<时，不等式的解集为R ．同类题型演练1．（2022·山东滨州·高二期中）已知一元二次函数2()f x x bx c =++，满足(0)2,(1)(1)=-=f f f ．(1)求()f x 的解析式；(2)解关于x 的不等式()2≤f x ax ． 【答案】(1)2()2f x x =+(2)解集见解析(1)解：函数2()f x x bx c =++，由(0)2f =，得2,c = 因为(1)(1)f f -=，所以1212,++=-+b b 解得0b =； 所以2()2f x x =+.(2)关于x 的不等式()2≤f x ax 可化为2220,-+≤x ax 因为248,∆=-a所以当0,∆<即22a -<<时，原不等式对应的方程无实数根， 又二次函数222y x ax =-+的图像开口向上，所以原不等式的解集为∅； 当0∆=，即2a =±时，原不等式对应的方程有两个相等的实数根， 2a =时，原不等式的解集为{}|2=x x ；2a =-时，原不等式的解集为{}|2=-x x ；当0,∆>即2a <-或2a >时，原不等式对应的有两个相等的实数根， 分别为22122,2,=--=+-x a a x a a 且12,x x <所以原不等式解集为{}22|22--≤≤+-x a a a a a .综上所知，当22a -<<时，原不等式的解集为∅； 当2a =时，原不等式的解集为{}|2=x x ； 当2a =-时，原不等式的解集为{}|2=-x x ；当2a <-或2a >时，原不等式解集为{}22|22--≤≤+-x a a a a a .类型三：一元二次不等式与对应函数、方程的关系典型例题例题1．（2022·全国·高一课时练习）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则不等式20ax bx c ++>的解集是（ ）A ．{}21x x -<<B ．{|2x x <-或1}x >C ．{}21x x -≤≤D ．{|2x x ≤-或1}x ≥【答案】A【详解】由二次函数图象知：20ax bx c ++>有21x -<<. 故选：A例题2．（2022·黑龙江·大庆实验中学高二期末）已知220x kx m -+<的解集为()1,t -（1t >-），则k m +的值为（ ） A ．1- B ．2- C ．1 D ．2【答案】B【详解】解：因为220x kx m -+<的解集为()1,t -（1t >-）， 所以1x =-为220x kx m -+=的根，所以2k m +=-. 故选：B例题3．（2022·黑龙江·大庆中学高二期末）若不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则0ax b +>的解集为（ ）A ．1,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．1,6⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,6⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,6⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】A【详解】不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭则根据对应方程的韦达定理得到：112311223ba a⎧⎛⎫-+=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-⋅= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得122a b =-⎧⎨=-⎩，则1220x -->的解集为1,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭故选：A同类题型演练1．（2022·浙江·高三专题练习）已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，则不等式20ax bx c ++>的解集是（ ）A ．()2,1-B ．()(),21,-∞-⋃+∞C ．[]2,1-D ．(][),21,-∞-+∞【答案】A【详解】结合图像易知，不等式20ax bx c ++>的解集()2,1-， 故选：A.2．（2022·全国·高一单元测试）若方程()200ax bx c a ++=<有唯一的实数根3，则不等式20ax bx c ++≥的解集为______．【答案】{}3x x =【详解】由已知得抛物线()20y ax bx c a =++<的开口向下，与x 轴交于点()3,0，故不等式20ax bx c ++≥的解集为{}3x x =． 故答案为：{}3x x =3．（2022·江苏·高一）若关于x 的不等式28210mx mx ++<的解集为{}71x x -<<-，则实数m 的值为______. 【答案】3【详解】由题可知，－7和－1是二次方程28210mx mx ++=的两个根， 故()21713m m=-⨯-⇒=.经检验满足题意 故答案为：3.类型四：二次不等式恒成立问题典型例题例题1．（2022·江西吉安·高二期末（文））若关于x 的不等式2220ax ax --<恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]2,0- B ．(]2,0- C ．()2,0-D ．()(),20,-∞-⋃+∞【答案】B【详解】当0a =时，不等式成立；当0a ≠时，不等式2220ax ax --<恒成立， 等价于()()20,2420,a a a <⎧⎪⎨∆=--⨯-<⎪⎩20a ∴-<<． 综上，实数a 的取值范围为(]2,0-． 故选：B ．例题2．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学高二期中）已知命题“[1,2]x ∃∈-，230x x a +>-”是假命题，则实数a 的取值范围是________. 【答案】(,4]-∞-【详解】由题意得，“[1,2]x ∀∈-，230x x a -+≤”是真命题， 则23a x x ≤-+对[1,2]x ∀∈-恒成立，在区间[]1,2-上，23x x -+的最小值为()()21314--+⨯-=-，所以()2min 34a x x ≤-+=-，即a 的取值范围是(,4]-∞-. 故答案为：(,4]-∞-例题3．（2022·全国·高一课时练习）已知关于x 的不等式244x mx x m +>+-． (1)若对任意实数x ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于04m ≤≤，不等式恒成立，求实数x 的取值范围．【答案】(1)(0,4) (2)()()(),00,22,-∞⋃⋃+∞（1）若对任意实数x ，不等式恒成立，即2440x mx x m +--+>恒成立 则关于x 的方程2440x mx x m +--+=的判别式()()24440m m ∆=---+<， 即240m m -<，解得04m <<，所以实数m 的取值范围为(0,4)． （2）不等式244x mx x m +>+-，可看成关于m 的一次不等式()21440m x x x -+-+>，又04m ≤≤，所以224404(1)440x x x x x ⎧-+>⎨-+-+>⎩，解得2x ≠且0x ≠，所以实数x 的取值范围是()()(),00,22,-∞⋃⋃+∞．同类题型演练1．（多选）（2022·全国·高一课时练习）不等式22x bx c x b ++≥+对任意的x ∈R 恒成立，则（ ） A ．2440b c -+≤ B ．0b ≤ C ．1c ≥ D ．0b c +≥【答案】ACD【详解】22x bx c x b ++≥+可整理为()220x b x c b +-+-≥，则()()2224440b c b b c ∆=---=-+≤，故A 正确． 当1b =，2c =时，满足0∆≤，即原不等式成立．B 错误；由0∆≤，得214b c ≥+，所以1c ≥．C 正确；2211042b b b c b ⎛⎫+≥++=+≥ ⎪⎝⎭．D 正确．故选：ACD ．2．（2022·江苏南京·高二期末）2R,10x x x λ∀∈-+>，则λ的取值范围为__________． 【答案】22λ-<<【详解】由题设240λ∆=-<，可得22λ-<<. 故答案为：22λ-<<3．（2022·四川广安·高一期末（理））已知不等式()21460a x x +--<的解集是{}13x x -<<．(1)求常数a 的值；(2)若关于x 的不等式240ax mx ++≥的解集为R ，求m 的取值范围． 【答案】(1)1a =(2)[]4,4-(1)因为不等式()21460a x x +--<的解集是{}13x x -<<．所以－1和3是方程()21460a x x +--=的解，把1x =-代入方程解得1a =．经验证满足题意(2)若关于x 的不等式240ax mx ++≥的解集为R ，即240x mx ++≥的解集为R ， 所以2160m ∆=-≤，解得44m -≤≤，所以m 的取值范围是[]4,4-．4．（2022·四川·盐亭中学高二阶段练习（文））已知函数()()211f x x a x =-++．(1)若关于x 的不等式的()0f x <的解集是{}2x m x <<，求a ，m 的值； (2)设关于x 不等式的()0f x >在[]0,1上恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)32a =，12m =(2)(),1-∞ (1)根据二次不等式的解集与系数的关系可得x m =和2x =是方程()2110x a x -++=的两根，故()221210a -+⨯+=，解得32a =，由韦达定理有21m =，解得12m =. 故32a =，12m = (2)()0f x >在[]0,1上恒成立，即()211x a x +>+恒成立.当0x =时满足题意，当(]0,1x ∈时，min 11x a x ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭恒成立，因为1122x x x x+≥⋅=，当且仅当1x =时取等号.故12a +<，即a的取值范围为(),1-∞.5．（2022·浙江·镇海中学高二期末）已知函数2()4f x x x b =-+，若()0f x <的解集为{}1|x x m <<.(1)求b ，m 的值；(2)当a 为何值时，2()2()10a b x a b x +++-<的解集为R ？ 【答案】(1)3m =，3b = (2)(]4,3--(1)解：由题意可知，240x x b -+<的解集为{}1|x x m <<， 所以1x =与x m =为方程240x x b -+=的两根，141m m b +=⎧∴⎨⋅=⎩，33m b =⎧∴⎨=⎩； (2)解：()()2210a b x a b x +++-<的解集为R ，①当0a b +=时，10-<的解集为R ，30a ∴+=，3a ∴=-；②当0a b +<时，()20Δ4()40a b a b a b +<⎧⎨=+++<⎩，10a b ∴-<+<，130a ∴-<+<，43a ∴-<<-综上所述，a 的取值范围为(]4,3--.类型五：一元二次函数求最值（含参数）典型例题例题1．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()222f x x ax =++．(1)当1a =时，求函数()f x 在区间[)23-，上的值域； (2)当1a =-时，求函数()f x 在区间[]1t t +，上的最大值；(3)求()f x 在[]55-，上的最大值与最小值． 【答案】(1)[)1,17(2)221(1)12112t t t t ⎧-+<⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，，(3)答案见解析（1）当1a =时，()()222211f x x x x =++=++，函数在[)21－，－上单调递减，在()1,3-上单调递增， ()()min 11317x f x f ∴===－，，，∴函数()f x 在区间[)23-，上的值域是[)1,17；（2）当1a =-时，()()222211f x x x x =-+=-+，12t，函数()f x 在区间[]1t t +，上的最大值()()211f t t =-+； 12t ≥，函数()f x 在区间[]1t t +，上的最大值()211f t t +=+； ∴函数()f x 在区间[]1t t +，上的最大值221(1)12112t t t t ⎧-+<⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，，；（3）函数()()222222f x x ax x a a =++=++- 的对称轴为x a =-，①当5a -<-，即5a >时，函数y 在[]55－，上是增函数， 当5x =-时，函数y 取得最小值为2710a -；当5x =时，函数y 取得最大值为2710a +． ②当50a -≤<，即05a <≤时，当x a =-时，函数y 取得最小值为22-a ；当5x =时，函数y 取得最大值为2710a +．③当05a ≤≤－，即50a ≤≤－时，x =－a 时，函数y 取得最小值为22a －；当5x =－时，函数y 取得最大值为2710a －．④当5a >－，即5a <－时，函数y 在[]55－，上是减函数， 故当5x =－时，函数y 取得最大值为2710a －；当5x =时，函数y 取得最小值为2710a +． 综上，当5a >时，函数的最大值为2710a +，最小值为2710a -，当05a <≤时，函数的最大值为2710a +，最小值为22-a ，当50a ≤≤－时，函数的最大值为2710a －，最小值为22a －，当5a <－时，函数的最大值为2710a －，最小值为2710a + 例题2．（2022·黑龙江·大庆市东风中学高二期末）已知二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且满足(0)2f =，(1)()21f x f x x +-=+. (1)求函数()f x 的解析式；(2)当[,2]x t t ∈+（R t ∈）时，求函数()f x 的最小值()g t （用t 表示）． 【答案】(1)2()2f x x =+ (2)222,0()2,2046,2t t g t t t t t ⎧+≥⎪=-<<⎨⎪++≤-⎩（1）因为二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且满足(0)2f =，(1)()21f x f x x +-=+， 所以2c =，且22(1)(1)()21a x b x c ax bx c x ++++-++=+，由22(1)(1)()21a x b x c ax bx c x ++++-++=+，得221ax b a x ++=+，所以221a b a =⎧⎨+=⎩，得10a b =⎧⎨=⎩，所以2()2f x x =+.（2）因为2()2f x x =+是图象的对称轴为直线0x =，且开口向上的二次函数， 当0t ≥时，2()2f x x =+在[,2]x t t ∈+上单调递增，则2min ()()2f x f t t ==+；当20t +≤，即2t ≤-时，2()2f x x =+在[,2]x t t ∈+上单调递减，则22min ()(2)(2)246f x f t t t t =+=++=++；当01t t <<+，即20t -<<时，min ()(0)2f x f ==， 综上222,0()2,2046,2t t g t t t t t ⎧+≥⎪=-<<⎨⎪++≤-⎩同类题型演练1．（2021·全国·高一专题练习）已知函数()22f x x mx n =++的图象过点(0,1)-，且满足()()12f f -=．(1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()f x 在[],2a a +上的最小值； 【答案】(1)2()221f x x x =--(2)2min23263,,2331[()],,2221221,.2a a a f x a a a a ⎧++≤-⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩(1)解：因为函数2()2f x x mx n =++的图象过点(0,1)-， 所以1n =- 又(1)(2)f f -=， 所以1224m -+=-， 解得2m =-，所以2()221f x x x =--；(2)2213()221222f x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，[,2]x a a ∈+，当122a +≤时，即32a ≤-时，函数()f x 在[],2a a +上单调递减，所以2min [()](2)263f x f a a a =+=++，当122a a <<+时，即3122a -<<时，函数()f x 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,22a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦单调递增，所以min 13[()]22f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭；当12a ≥时，函数()f x 在[],2a a +上单调递增， 所以2min [()]()221f x f a a a ==--．综上：2min23263,,2331[()],,2221221,.2a a a f x a a a a ⎧++≤-⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩2．（2021·江西·兴国县将军中学高一期中）已知二次函数()2f x x bx c =++，且()()31f f -=，()00=f ．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()()()422g x f x a x =-++，[]1,2x ∈，求函数()g x 的最小值． 【答案】(1)2()2f x x x =+；(2)2min12,0()21,0124,1a a g x a a a a a -≤⎧⎪=--+<<⎨⎪-≥⎩. (1)由(3)(1),(0)0f f f -==，则(0)0f c ==，又931b b -=+，解得2b =， ∴函数()f x 的解析式为2()2f x x x =+.(2)由(1)知，2()2(1)2g x x a x =-++， 其对称轴1x a =+，而[]1,2x ∈， 当11a +≤，即0a ≤时，()g x 在[]1,2上单调递增，min ()(1)12g x g a ==-， 当12a +≥，即1a ≥时，()g x 在[]1,2上单调递减，min ()(2)24g x g a ==-，当01a <<时，2min ()(1)21g x g a a a =+=--+，∴2min12,0()21,0124,1a a g x a a a a a -≤⎧⎪=--+<<⎨⎪-≥⎩. 类型六：：根据不等式的解求参数典型例题例题1．（2021·福建三明·高一期中）已知函数2()2f x ax x c =++，若不等式()0f x <的解集是{|53}x x -<< (1)求()f x 的解析式；(2)若函数()f x 在区间[,2]m m +上的最小值为20，求实数m 的值. 【答案】(1)2()215f x x x =+- (2)－9或5(1)125,3x x =-=是对应方程ax 2＋2x ＋c ＝0的两根.由韦达定理得12122211515x x a ac c x x a ⎧+=-=-⎪=⎧⎪∴⎨⎨=-⎩⎪==-⎪⎩，2()215f x x x ∴=+-；(2)22()215(1)16f x x x x =+-=+-，对称轴为1x =-，当21m +≤-，即3m ≤-时，2min ()(2)(3)16f x f m m =+=+-，由已知得：2(3)1620m +-=， 解得：m ＝3或－9，又3m ≤-，9m ∴=-，当1m ≥-时，2min ()()(1)16f x f m m ==+-，由已知得：2(1)1620m +-=， 解得：m ＝5或－7，又1m ≥-，5m ∴=，当12m m <-<+时，min ()1620f x =-≠，（舍去）， 综上所述，m ＝－9或5.例题2．（2021·河南开封·高一阶段练习）已知函数()221f x x ax =-+，[]1,2x ∈，R a ∈.(1)若()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围； (2)若()f x 最小值为4-，求a 的值. 【答案】(1)54a ≥； (2)94. (1)因为2()21f x x ax =-+开口向上，由[]1,2x ∈时，()0f x ≤恒成立，可得()max 0f x ≤，所以(1)0(2)0f f ≤⎧⎨≤⎩，即220540a a -≤⎧⎨-≤⎩，解得：54a ≥，所以a 的取值范围为54a ≥. (2)()221f x x ax =-+对称轴为x a =，开口向上，当1a ≤时，()()min 1224f x f a ==-=-，解得：3a =（舍）；当12a <<时，2min ()()14f x f a a ==-+=-，5a =±（舍）；当2a ≥时，min ()(2)544f x f a ==-=-，94a =； 所以a 的值为94.同类题型演练1．（2022·贵州毕节·高一期末）已知函数2()2(0)f x x ax a =->． (1)当3a =时，解关于x 的不等式5()7f x -<<；(2)函数()y f x =在[],2t t +上的最大值为0，最小值是4-，求实数a 和t 的值． 【答案】(1)(1,1)(5,7)-⋃ (2)0,2t a ==或2,2t a ==(1)当3a =时，不等式5()7f x -<<， 即为2567x x -<-<，即226756⎧-<⎪⎨-<-⎪⎩x x x x ，所以171,5或-<<⎧⎨<>⎩x x x ， 所以11x -<<或57x <<，所以原不等式的解集为(1,1)(5,7)-⋃． (2)(0)(2)0f f a ==，由题意0=t 或22t a +=，这时24a -≤-解得2a ≥， 若0=t ，则2t a +≤，所以()()2242f t f a +==-⇒=；若22t a +=，即22t a a =-≥， 所以()()422f t f a =-=-，则2a =，综上，0,2t a ==或2,2t a ==．2．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0，1]时有最大值2，求a的值．【答案】a＝－1或a＝2．【详解】函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，对称轴方程为x＝a．（1）当a<0时，f(x)max＝f(0)＝1－a，∴1－a＝2，∴a＝－1．（2）当0≤a≤1时，f(x)max＝f(a)＝a2－a＋1，∴a2－a＋1＝2，即a2－a－1＝0，∴a＝125(舍去)．（3）当a>1时，f(x)max＝f(1)＝a，∴a＝2．综上可知，a＝－1或a＝2．。

⼆次函数辅导讲义（学⽣版）⼆次函数辅导讲义⼀、基础知识讲解+中考考点、例题分析考点1：⼆次函数的图象和性质⼀、考点讲解：1．⼆次函数的定义：形如（a≠0，a，b，c为常数）的函数为⼆次函数．2．⼆次函数的图象及性质：⑴⼆次函数y=ax2 (a≠0）；当a＞0时，抛物线开⼝向上，顶点是最低点；当a＜0时，抛物线开⼝向下，顶点是最⾼点；a越⼩，抛物线开⼝越⼤．y=a(x－h)2＋k的对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k）。

⑵⼆次函数，顶点为（－，），对称轴x=－；当a＞0时，抛物线开⼝向上，图象有最低点，且x＞－，y随x的增⼤⽽增⼤，x＜－，y随x的增⼤⽽减⼩；当a＜0时，抛物线开⼝向下，图象有最⾼点，且x＞－，y随x的增⼤⽽减⼩，x＜－，y随x的增⼤⽽增⼤．解题⼩诀窍：⼆次函数上两点坐标为（），（），即两点纵坐标相等，则其对称轴为直线。

3．图象的平移：⼆次函数y=ax2 与y=－ax2 的图像关于x轴对称。

平移的简记⼝诀是“上加下减，左加右减”。

⼀、经典考题剖析：【考题1】在平⾯直⾓坐标系内，如果将抛物线向右平移2个单位，向下平移3个单位，平移后⼆次函数的关系式是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．2．⼆次函数的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（）A． B. C. D.4．已知⼆次函数(a≠0）与⼀次函数y=kx+m(k≠0）的图象相交于点A（－2，4）,B(8，2)，如图1－2－7所⽰，能使y1＞y2成⽴的x取值范围是_______5．已知直线y=x 与⼆次函数y=ax 2 －2x －1的图象的⼀个交点 M 的横标为1，则a 的值为（）A 、2B 、1C 、3D 、 46．已知反⽐例函数y= x k 的图象在每个象限内y 随x 的增⼤⽽增⼤，则⼆次函数y=2kx 2 －x+k 2的图象⼤致为图1－2－3中的（）7、读材料：当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发⽣变化．例如：由抛物线①，有y=②，所以抛物线的顶点坐标为（m ，2m －1），即③④。

二次函数与1元二次方程二次函数与一元二次方程一、二次函数的概念1. 定义- 一般地，形如y = ax^2+bx + c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。

其中x是自变量，a、b、c分别是二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。

- 例如y = 2x^2+3x - 1，这里a = 2，b = 3，c=-1。

二、二次函数的图象1. 二次函数y = ax^2+bx + c（a≠0）的图象是一条抛物线- 当a>0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。

- 例如y=x^2，a = 1>0，其图象开口向上；y=-x^2，a=- 1<0，其图象开口向下。

2. 对称轴与顶点坐标- 对于二次函数y = ax^2+bx + c（a≠0），其对称轴公式为x =-(b)/(2a)。

- 顶点坐标为(-(b)/(2a),frac{4ac - b^2}{4a})。

- 例如对于二次函数y = 2x^2-4x + 1，a = 2，b=-4，c = 1。

对称轴为x =-(-4)/(2×2)=1，顶点纵坐标y=frac{4×2×1-(-4)^2}{4×2}=(8 - 16)/(8)=-1，顶点坐标为(1,-1)。

三、一元二次方程的概念1. 定义- 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。

- 一般形式为ax^2+bx + c = 0（a，b，c是常数，a≠0）。

例如x^2+2x - 3 = 0，这里a = 1，b = 2，c=-3。

四、二次函数与一元二次方程的关系1. 二次函数y = ax^2+bx + c与一元二次方程ax^2+bx + c = 0（a≠0）的联系- 一元二次方程ax^2+bx + c = 0的解就是二次函数y = ax^2+bx + c的图象与x轴交点的横坐标。

- 当b^2-4ac>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，二次函数的图象与x轴有两个交点。

第一讲 二次函数的定义知识点归纳：二次函数的定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数。

二次函数具备三个条件，缺一不可：(1）是整式方程;（2）是一个自变量的二次式;（3）二次项系数不为0考点：二次函数的二次项系数不为0,且二次函数的表达式必须为整式例1、 函数y=（m ＋2）x22-m＋2x －1是二次函数，则m= ．例2、 下列函数中是二次函数的有( )①y=x ＋x 1；②y=3（x －1）2＋2;③y=（x ＋3）2－2x 2；④y=21x ＋x ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例3、某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x ，请你得出每天销售利润y 与售价的函数表达式．例4 、如图，正方形ABCD 的边长为4,P 是BC 边上一点，QP ⊥AP 交DC 于Q ，如果BP=x,△ADQ 的面积为y,用含x 的代数式表示y ．训练题:1、已知函数y=ax 2＋bx ＋c （其中a ，b,c 是常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时,是正比例函数．2、若函数y=(m 2+2m －7）x 2+4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为 。

3、已知函数y=(m －1)x2m +1+5x －3是二次函数，求m 的值。

4、已知菱形的一条对角线长为a ，另一条对角线为它的3倍,用表达式表示出菱形的面积S 与对角线a 的关系．5、请你分别给a ，b,c 一个值，让c bx ax y ++=2为二次函数，且让一次函数y=ax+b 的图像经过一、二、三象限6．下列不是二次函数的是（ ）A ．y=3x 2＋4 B ．y=－31x 2C ．y=52-xD ．y=(x ＋1）（x －2）7．函数y=（m －n ）x 2＋mx ＋n 是二次函数的条件是（ ）A ．m 、n 为常数,且m ≠0B ．m 、n 为常数，且m ≠nC ．m 、n 为常数,且n ≠0D ．m 、n 可以为任何常数8．如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为135°的两面墙,另外两边是总长为30米的铁栅栏．（1）求梯形的面积y 与高x 的表达式；（2）求x 的取值范围．9．如图,在矩形ABCD 中，AB=6cm,BC=12cm ．点P 从点A 开始沿AB 方向向点B 以1cm/s 的速度移动,同时，点Q 从点B 开始沿BC 边向C 以2cm/s 的速度移动．如果P 、Q 两点分别到达B 、C 两点停止移动，设运动开始后第t 秒钟时，五边形APQCD 的面积为Scm 2，写出S 与t 的函数表达式，并指出自变量t 的取值范围．10．已知:如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=8．点D 在斜边AB 上，分别作DE ⊥AC,DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F,得四边形DECF ．设DE=x ，DF=y ．（1)AE 用含y 的代数式表示为：AE= ；（2）求y 与x 之间的函数表达式，并求出x 的取值范围； （3）设四边形DECF 的面积为S ，求S 与x 之间的函数表达式．第二讲 二次函数的图像和性质知识点归纳:1、求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=。

【讲义】二次函数与一次函数、一元二次方程、不等式(组)(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--二次函数与一次函数、反比例函数、一元二次方程、不等式组课程目标：灵活运用二次函数的性质解一元二次方程；熟练解决二次函数与与其它函数结合的有关问题。

课程要求：完成讲义中的练习；完成课后配套练习。

一、二次函数与一元二次方程、不等式（组）例1．函数（是常数）的图像与轴的交点个数为（）Ａ．0个Ｂ．1个Ｃ．2个Ｄ．1个或2个例2.已知实数x，y满足x2＋3x＋y－3＝0，则x＋y的最大值为 .例3.设函数y=x2﹣（k+1）x﹣4（k+5）的图象如图所示，它与x 轴交于A、B两点，且线段OA与OB的长的比为1：4，则k=_________ ．例4. 如图10-2，是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x＝1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是 .例5. 已知P（3,m-)和Q（1，m）是抛物线221y x bx=++上的两点．（1）求b的值；22y mx x m=+-m x（2）判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；（3）将抛物线221y x bx =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴无交点，求k 的最小值．【当堂练】1.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图10-1所示，则下列结论正确的是( )A ．a ＞0B ．c ＜0C ．b 2－4ac ＜0D ．a ＋b ＋c ＞02.如图所示，函数的图像与轴只有一个交点，则交点的横坐标 ．3.二次函数的图像与轴的交点坐标为 ． =ax2+bx+c 中，a<0，抛物线与x 轴有两个交点A （2，0）B （-1，0），则ax2+bx+c>0的解是____________; ax2+bx+c<0的解是____________5. 抛物线与轴有个交点，因为其判别式0，相应二次方程的根的情况为． 2(2)7(5)y k x x k =--+-x 0x =269y x x =-+-x 2283y x x =--x 24b ac -=23280x x -+=Ｏ6.关于的方程有两个相等的实数根，则相应二次函数与轴必然相交于点，此时 ．7.平面直角坐标系中，若平移二次函数y=(x-2009)(x-2008)+4的图象，使其与x 轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为（ ）A ．向上平移4个单位B ．向下平移4个单位C ．向左平移4个单位D ．向右平移4个单位8.若关于x 的一元二次方程0522=++ax x 的两根在1与2之间（不含1和2），则a 的取值范围是 ．9.右图是二次函数y 1=ax 2+bx+c 和一次函数y 2=mx+n 的图像，•观察图像写出y 2≥y 1时，x 的取值范围_______．10.已知抛物线的顶点在抛物线上，且抛物线在轴上截得的线段长是和的值．11.已知函数．（1）求证：不论为何实数，此二次函数的图像与轴都有两个不同交点；（2）若函数有最小值，求函数表达式．12.关于x 的一元二次方程22(1)2(2)10m x m x ---+=.（1）当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根；x 25mx mx m ++=25y mx mx m =++-x m =21()3y x h k =--+2y x =x 43h k 22y x mx m =-+-m x y 54-（2）点()11A --，是抛物线22(1)2(2)1y m x m x =---+上的点，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若点B 与点A 关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点B 的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由.二、二次函数与一次函数、反比例函数例1．当路程s 一定时，速度v 与时间t 之间的函数关系是（ ）A ．正比例函数B ．反比例函数C ．一次函数D ．二次函数例2. 在同一坐标系内，一次函数y=ax+b 与二次函数y=ax 2+8x+b 的图象可能是（ ）例2.函数2y kx =-与k y x =（k ≠0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）例3.如图，直线y=kx+b与反比例函数y=（x＜0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣2，4），点B的横坐标为﹣4．（1）试确定反比例函数的关系式；（2）求△AOC的面积．例4.如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO，其顶点为A（0，1）、B（－33，1）、C（－33，0）、O（0，0）．将此矩形沿着过E（－3，1）、F（－433，0）的直线EF向右下方翻折，B、C的对应点分别为B′、C′．（1）求折痕所在直线EF的解析式；（2）一抛物线经过B、E、B′三点，求此二次函数解析式；（3）能否在直线EF上求一点P，使得△PBC周长最小如能，求出点P的坐标；若不能，说明理由．例5．如图，过y轴上点A的一次函数与反比例函数相交于B、D两点，B （﹣2，3），BC⊥x轴于C，四边形OABC面积为4．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求点D的坐标；（3）当x在什么取值范围内，一次函数的值大于反比例函数的值．（直接写出结果）【当堂练】1.二次函数y=ax 2+bx 的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．. 2.函数y=x 2+bx+c 与y=x 的图象如图所示，有以下结论：①b 2﹣4c ＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x+c ＜0．其中正确的个数为（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 43.在同一直角坐标系中，函数y=mx+m 和y=﹣mx 2+2x+2（m 是常数，且m≠0）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，则函数y=与y=bx+c 在同一直角坐标系内的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．5．根据下图所示程序计算函数值，若输入的x 的值为52，则输出的函数值为 .6. 定义[]p q ，为一次函数y px q =+的特征数．（1）若特征数是[]22k -，的一次函数为正比例函数，求k 的值；（2）设点A B ，分别为抛物线()(2)y x m x =+-与x 轴、y 轴的交点，其中0m >，且OAB △的面积为4，O 为坐标原点，求图象过A 、B 两点的一次函数的特征数．7.已知：二次函数的图象经过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，－b ），其中且、为实数．（1）求一次函数的表达式（用含b 的式子表示）；（2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；（3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为x1、x2，求| x1－x2 |的范围．8.如图，直线3+-=x y 与x 轴，y 轴分别交于B ，C 两点，抛物线c bx x y ++-=2经过点B 和点C ，点A 是抛物线与x 轴的另一个交点.（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）若点Q 在抛物线的对称轴上，能使△Q AC 的周长最小，请求出Q 点的坐标；（3）在直线BC 上是否存在一点P ，且31：＝：PAB PAC S S ∆∆，若存在，求P 点的坐标，若不存在，请说明理由.22y ax bx =+-0a b >>a b9.如图，在平面直角坐标系中，直线33--=x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C. 抛物线c bx x y ++=2经过A 、C 两点，且与x 轴交于另一点B(点B 在点A 右侧).（1）求抛物线的解析式及点B 坐标；（2）若点M 是线段BC 上一动点，过点M 的直线EF 平行y 轴交x 轴于点F ，交抛物线于点E.求ME 长的最大值；（3）试探究当ME 取最大值时，在抛物线x 轴下方是否存在点P ，使以M 、F 、B 、P 为顶点的四边形是平行四边形若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由.。

二次函数与一元二次方程、不等式含答案知识梳理1、一元二次不等式的概念（1）只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式．如：不等式2x2－x＋1＞0是一元二次不等式．（2）使一元二次不等式成立的未知数的取值范围叫一元二次不等式的解集．（3）一元二次不等式经过变形，可化成以下两种标准形式：①ax2＋bx＋c＞0(a＞0)；②ax2＋bx＋c＜0(a＞0)．设二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac，则：（1）Δ＞0时，方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的解x1，x2，设x1＜x2，则不等式①的解集为{x|x<x1或x>x2}，不等式②的解集为{x|x1<x<x2}．（2）Δ＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的解，即x1＝x2，此时不等式①的解集为{x|x≠x1}，不等式②的解集为∅．（3）Δ＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0无实数解，不等式①的解集为R，不等式②的解集为∅．2、三个“二次”二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集三者之间的关系(如下表)：Δ＝b2－4ac 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象方程ax2＋bx＋c＝0解的情况ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集Δ＞0有两相异实根x1，x2{x|x＞x2，或x＜x1} {x|x1＜x＜x2} Δ＝0有两相等实根x0{x|x≠x0} ∅Δ＜0没有实根 R ∅3、含参数的一元二次不等式的解法（1）两边同除或同乘含参的式子时，应讨论含参的式子的符号．如：当a ＞0时，关于x 不等式ax ＞a 2的解是x ＞a ；当a ＜0时，关于x 不等式ax ＞a 2的解是x ＜a ．（2）解含参数的一元二次不等式时，先求相应二次方程的根，比较根的大小后，再根据相应二次函数的图象写出不等式的解集．如：当a ＞0时，关于x 不等式x 2－ax ＞0的解是x ＜0或x ＞a ；当a ＜0时，关于x 不等式x 2－ax ＞0的解是x ＜a 或x ＞0．知识典例题型一 一元二次不等式的求解例1 不等式23210x x +-≤的解集是（ ） A ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．(]1,1,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[)1,1,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦【答案】A巩固练习1、不等式290x x -+>的解集是（ ） A ．{0x x <或}9x > B ．{9x x <-或}0x > C ．{}09x x << D ．{}90x x -<<【答案】C2、不等式2320x x -++>的解集为____________． 【答案】2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭题型二 分式不等式求解例 2 解不等式2x －53－x＞0解析：原不等式可化为： 2x －5x －3＜0， 即(2x －5)(x －3)＜0. ∴x ∈⎝⎛⎭⎫52，3，∴原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫52，3巩固练习求下列不等式的解集：(1)x ＋21－x ＜0 (2)x ＋1x －2≤2.解析：(1)由x ＋21－x ＜0，得x ＋2x －1＞0，此不等式等价于(x ＋2)(x －1)＞0， ∴原不等式的解集为{x |x ＜－2或x ＞1}． (2)解法一：移项得x ＋1x －2－2≤0，左边通分并化简有－x ＋5x －2≤0，即x －5x －2≥0，它的同解不等式为⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)(x －5)≥0，x －2≠0，∴x ＜2或x ≥5，∴原不等式的解集为{x |x ＜2或x ≥5}． 题型三 带参数的一元二次不等式例 3 解关于x 的一元二次不等式()2330x m x m +-->【解析】利用十字相乘法进行化简：03>+-))((m x x （1）当3>-m 时，即3-<m ，解为}{3<->x m x 或 （2）当3=-m 时，即3-=m ，解为R（3）当3<-m 时，即3->m ，解为}{m x x -<>或3巩固练习1、解关于x 的不等式x 2－ax －2a 2＜0.分析：求出一元二次方程的两根2a ，－a ，比较两根的大小． 解析：方程x 2－ax －2a 2＝0的判别式 Δ＝a 2＋8a 2＝9a 2≥0， 得方程两根x 1＝2a ，x 2＝－a ， (1)若a ＞0，则－a ＜x ＜2a ，此时不等式的解集为{x |－a ＜x ＜2a }； (2)若a ＜0，则2a ＜x ＜－a ， 此时不等式的解集为{x |2a ＜x ＜－a }； (3)若a ＝0，则原不等式即为x 2＜0， 此时解集为∅.综上所述，原不等式的解集为 当a ＞0时，{x |－a ＜x ＜2a }； 当a ＜0时，{x |2a ＜x ＜－a }； 当a ＝0时，∅.2、解关于x 的不等式22420x ax a +-<. 【答案】答案不唯一，具体见解析.题型四 二次项系数为参数的一元二次不等式例 4 设m R ∈，解关于x 的不等式22230m x mx +-<． 【答案】详见解析巩固练习1、若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<的解集为R ，则a 的取值范围是（ ） A ．2a ≤ B ．22a -<≤C ．22a -<<D ．2a <【答案】B2、解关于x 的不等式：ax 2－2(a ＋1)x ＋4＜0.解析：(1)当a ＝0时，原不等式的解集为： {x |x ＞2}．(2)当a ≠0时，原不等式化为：a ⎝⎛⎭⎫x －2a (x －2)＜0， ①当a ＜0时，原不等式等价于⎝⎛⎭⎫x －2a (x －2)＞0 ，此时原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜2a 或x ＞2；②当0＜a ＜1时，2＜2a，此时原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2＜x ＜2a ；③当a ＞1时，2a＜2，此时原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2a ＜x ＜2； ④当a ＝1时，原不等式的解集为∅.题型五 参数求解例 5 一元二次不等式220ax bx ++>的解集是11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭，则+a b 的值是（ ）A ．10B ．-10C ．14D ．-14【答案】D巩固练习1、已知不等式20ax bx c ++>的解集为1|23x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则不等式20cx bx a ++<的解为（ ） A ．1|32x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．{3x x <-或12x ⎫>⎬⎭ C ．1|23x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D ．{2x x ≤-或13x ⎫>⎬⎭【答案】A2、已知不等式20x bx c ++>的解集为{}21x x x <或． （1）求b 和c 的值；（2）求不等式210cx bx ++≤的解集. 【答案】(1)3b =-，2c =；(2)1|12x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤≤题型五 恒成立问题例 5 若关于x 的不等式220x x a ++>的解集为R ，则实数a 的取值范围是_____. 【答案】()1,+∞巩固练习1、已知关于x 的不等式23208kx kx +-<的解集为R ，则实数k 的取值范围是__________. 【答案】(]3,0-2、对任意的实数x ，不等式()11ax x -<恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．(),0-∞ B ．[)4,0-C ．(]4,0-D ．(],4-∞-【答案】C巩固提升1、不等式25140x x -++≤的解集为（ ）A ．{7x x ≥或}2x ≤ B ．{}27x x ≤≤ C ．{7x x ≥或}2x ≤- D ．{}27x x -≤≤【答案】C2、不等式()43x x -<的解集为（ ） A ．{|1x x <或}3x > B ．{0x x <或}4x > C ．{}13x x << D ．{}04x x <<【答案】A3、不等式220ax bx ++>的解集是11|23x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则-a b 的值为（ ）A ．14B ．-14C ．10D ．-10【答案】D4、不等式13()()022≥x x +-的解集是（ ）A ．1{|2x x <-或3}2x > B ．1{|2x x ≤-或3}2x ≥C ．13{|}22x x -≤≤D ．13{|}22x x -<<【答案】C5、不等式23100x x --<的解集是（ ） A ．()2,5- B ．()5,2- C ．()(),52,-∞-+∞ D ．()(),25,-∞-+∞【答案】A6、已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<【答案】C。

二次函数与一元二次方程、不等式预习讲义【巩固初中知识】一、一元二次方程1．一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的解法（1）配方法：将方程整理成q p x =+2)(，方程的根是 ． 注：2x 系数是1和不是1时配方注意事项；2x 系数是负数时配方注意事项． （2）公式法： )04(2>-=∆ac b ．（3）因式分解：十字相乘法：0)(2=+++pq x q p x ⇒ ． 2．一元二次方程根的判别（24b ac ∆=-） （1）△＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0，方程有一个实数根或者两个相等的实数根； （3）△＜0，方程没有实数根，方程无解． 3．韦达定理（根与系数关系）一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根是1x 和2x ，则1x +2x ＝ ； 1x .2x ＝ ． 二、一元二次函数1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

2．二次函数2y ax bx c =++的性质当0a >时，抛物线开口 ，当0a <时，抛物线开口 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ． 3．二次函数解析式求法（1）一般式： （a ，b ，c 为常数，0a ≠），需要三个坐标点； （2）顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠），顶点坐标和其他任一点的坐标； （3）零点式： （a 为常数，且0a ≠），二次函数的零点为1x ，2x ．【衔接高中知识】（1）一元二次不等式的定义：只含有一个未知数并且未知数的最高次数是2的不等式叫作一元二次不等式，形如02>++c bx ax （或0<，或0≤，或0≥），其中0≠a ．（2）一元二次不等式的解法步骤：第1步：将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式： c bx ax ++2＞0或 c bx ax ++2＜0(a ＞0) 第2步：求出相应的一元二次方程的根．第3步：利用二次函数的图象与x 轴的交点确定一元二次不等式的解集． 三个“二次”的关系判别式Δ＝b 2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集【考点分类精讲】考点1 解简单的一元二次不等式【考题1】解下列不等式 （1）3x 2－x －4＞0； （2）x 2－x －12≤0；（3）)3)(1(x x --＜x 25-； （4）2)1(3)11(+≥+x x x（5）03422<+-x x（6）042<-+x x【举一反三】1．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)＜0的实数x 的取值范围为（ ） A ．(0,2) B ．(－2,1) C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D ．(－1,2) 2．不等式2620x x --+≤的解集是（ ） A ．21|32x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭B ．12|23x x x ⎧⎫≥≤-⎨⎬⎩⎭或 C ．21|32x x x ⎧⎫≥≤-⎨⎬⎩⎭或D ．12{|}23x x -≤≤ 考点2 解一元二次不等式组【考题2】求使2223132xx x x -++-+有意义的x 的取值范围．【举一反三】求使0562086122>-+-+>+-x x x x 有意义的x 的取值范围．考点3 已知一元二次不等式的解集求参数的取值范围【考题3】设关于x 的不等式02<++b ax x 的解集为)2,1(，求不等式012>++ax bx 的解集．【举一反三】1．关于x 的不等式2282a ax x --＜0(a ＞0)的解集为(1x ,2x )，且1521=-x x ，则=a （ ） A ．25 B ．27 C ．415 D ．215 2．已知不等式220ax x c ++<的解集是11,,32⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则不等式220cx x a ++≤的解集是（ ） A ．11,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．11,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[-2，3]D ．[-3，2]考题4 一元二次不等式的恒成立问题【考题4】已知关于x 的不等式049)1(220822<+++++-m x m mx x x 恒成立，求实数m 的取值范围【举一反三】1．已知不等式042<++ax x 的解集为空集，则a 的取值范围是（ ） A ．44>-<a a 或B ．44<<-aC ．44≥-≤a a 或D ．44≤≤-a2．设关于x 的不等式1)1()1(22----x a x a ＜0的解集是R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ＜53-或a ＞1B ．53-＜a ＜1C ．53-＜a ≤1 D ．53-＜a ≤1或1-=a 3．定义运算：，若使得成立，则实数a 的取值范围是 ） A ． B ．C ．D ．【难点突破】含参数一元二次不等式的解法【考题5】解关于x 的不等式x 2－(1＋a )x ＋a ＜0（a 为常数）．举一反三：1．关于x 的不等式0)1(2<++-a x a x 的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是（ ） A ．(4,5) B ．(－3，－2)∪(4,5) C ．(4,5]D ．[－3，－2)∪(4,5]2．若10<<a ，则不等式01)1(2<++-x aa x 的解集是 （ ） A ．}1|{ax a x <<B ．}1|{a x ax << C ．a x x >|{或}1ax <D ．ax x 1|{>或}a x < 3．解关于x 的不等式012<--+ax x ax ，其中（a 为常数）．【题型优化测训】1．不等式0232<+-x x 的解集为（ ）A ．(1，2）B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－2，－1)D ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) 2．若不等式22-+bx ax ＜0的解集为(2-,41)，则ab 等于（ ） A ．－28B ．－26C ．28D ．263．定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x －b )>0的解集是(2,3)，则a ＋b ＝（ ） A ．1B ．2C ．4D ．84．若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 对任意x 都成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(－2,2] B ．(－2,2) C ．(－∞，－2)∪[2，＋∞)D ．(－∞，2]5．已知不等式20ax bx c ++>的解集为（-4,1），则不等式2(1)(3)0b x a x c +-++>的解集为（ ） A ．4(1,)3- B ．4(,1)(,)3-∞-⋃+∞ C ．4(,1)3-D ．4(,)(1,)3-∞-⋃+∞ 6．关于x 的不等式()()224210a x a x -++-≥的解集是R ，则实数a 的取值范围为（ ）A ． )56,2(-B ．)56,2[-C ．}2{-D ．∅7．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. （1）解关于a 的不等式f (1)>0；（2）若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a 、b 的值．（选做题）不等式2x －1＞m (x 2－1)对一切满足|m |≤2的值均成立，则x 的范围为______________．。

西子名师2014年秋季初三数学讲义二次函数与一元二次方程一：知识要点一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的解的情况等价于抛物线y=ax 2+bx+c(c ≠0)与直线y=0(即x 轴)的公共点的个数。

抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)与x 轴的公共点有三种情况：两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有：(1)抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个公共点(x 1，0)(x 2，0)一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不等实根△=b 2-4ac>0。

(2)抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴只有一个公共点时，此公共点即为顶点（-2ab ，0）一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个相等实根，x 1=x 2=-2ab △=b 2-4ac=0.(3)抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴没有公共点一元二次方程ax 2+bx+c=0没有实数根△=b 2-4ac<0.(4)抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=h 的公共点情况方程ax 2+bx+c=h 的根的情况。

抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=mx+n 的公共点情况方程ax 2+bx+c=mx+n 的根的情况。

(5)当一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根1x 、2x 时，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于两点A(1x ,0)、B(2x ,0)，此时有ab x x -=+21，1x ·a cx =2.此时抛物线与x 轴两交点的距离为：AB=21x x -=221)(x x -212214)(x x x x -+=224a ac b -=a∆= 二：典型例题例1：关于x 的一元二次方程22(1)2(2)10m x m x ---+=.（1）当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）点()11A --，是抛物线22(1)2(2)1y m x m x =---+上的点，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，若点B 与点A 关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点B 的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由.例2：已知抛物线2442y ax ax a =-+-，其中a 是常数． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）若25a >，且抛物线与x 轴交于整数点（坐标为整数的点），求此抛物线的解析式．例3：已知：关于x 的一元二次方程()()21210m x m x -+--=（m 为实数） （1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（2）在（1）的条件下，求证：无论m 取何值，抛物线()()2121y m x m x =-+--总过x 轴上的一个固定点；（3）若m 是整数，且关于x 的一元二次方程()()21210m x m x -+--=有两个不相等的整数根，把抛物线()()2121y m x m x =-+--向右平移3个单位长度，求平移后的解析式．例4：已知：关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=． ⑴求证：m 取任何实数时，方程总有实数根； ⑵若二次函数213(1)21=--+-y mx m x m 的图象关于y 轴对称． ①求二次函数1y 的解析式； ②已知一次函数222=-y x ，证明：在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值12y y ≥均成立； ⑶在⑵条件下，若二次函数23y ax bx c =++的图象经过点(50)-，，且在实数范围内，对于x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥，均成立，求二次函数23=++y ax bx c 的解析式．三：综合练习1.函数22y mx x m =+-（m 是常数）的图像与x 轴的交点个数为（）Ａ．0个Ｂ．1个Ｃ．2个Ｄ．1个或2个2.关于二次函数2y ax bx c =++的图像有下列命题：①当0c =时，函数的图像经过原点；②当0c >，且函数的图像开口向下时，方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实根；③函数图像最高点的纵坐标是244ac b a-；④当0b =时，函数的图像关于y 轴对称．其中正确命题的个数是（ ）Ａ．1个Ｂ．2个Ｃ．3个Ｄ．4个3.不论x 为何值，二次函数y=ax 2+bx+c 的值恒为负的条件（ ）。