一元二次函数解法辅导讲义

龙文教育学科教师辅导讲义说明：一些含有y x +、22y x +、xy 的二元二次方程组，除可以且代入法来解外，往往还可以利用根与系数的关系，将解二元二次方程组化为解一元二次方程的问题.有时，后者显得更为简便. 例3、关于x 的方程()011222=+-+x k x k 有两个不相等的实数根21,x x ，〔1〕求k 的取值范围；〔2〕是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？假设存在，求出k 的值；假设不存在，请说明理由。

例4、当k 取何值时，方程04234422=+-++-k m m x mx x 的根与m 均为有理数？例5、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程〔二次项系数为1〕时，小明因看错常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。

你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？例6、b a ≠，0122=--a a ，0122=--b b ，求=+b a变式：假设0122=--a a ，0122=--b b ，那么ab b a +的值为 。

例7、βα,是方程012=--x x 的两个根，那么=+βα34 .测试题目：一、选择题1．解方程：3x 2+27=0得〔 〕.(A)x=±3 (B)x=-3 (C)无实数根 (D)方程的根有无数个2．方程〔2-3x 〕+〔3x-2〕2=0的解是〔 〕.(A),x 2=-1 (B) ,(C)x 1=x 2= (D) ,x 2=13.方程(x-1)2=4的根是( ).(A)3,-3 (B)3,-1 (C)2,-3 (D)3,-24.用配方法解方程:正确的选项是( ).(A) (B)(C),原方程无实数解 (D) 原方程无实数解用求根公式求解,先求a,b,c的值,正确的选项是( ). (A) a=1,b= (B)a=1,b=-,c=2(C)a=-1,b=- ,c=-2 (D)a=-1,b=,c=26．用公式法解方程：3x2-5x+1=0，正确的结果是〔〕.〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕都不对二、填空7．方程9x2=25的根是___________...8.二次方程x2+(t-2)x-t=0有一个根是2,那么t=________,另一个根是_________.9.关于x的方程6x2-5(m-1)x+m2-2m-3=0有一个根是0,那么m的值为__________.10.关于x的方程(m2-m-2)x2+mx+n=0是一元二次方程的条件为___________.11.方程(x+2)(x-a)=0和方程x2+x-2=0有两个一样的解,那么a=________.三、用适当的方法解以下关于x和y的方程12．〔x+2〕〔x-2〕=1. 13.(3x-4)2=(4x-3)214.3x2-4x-4=0. 15.x2+x-1=0.16.x2+2x-1=0. 17.(2y+1)2+3(2y+1)+2=0.18.2x2- 19.x2-bx-2b2=0.20.a2x2+2abx+b2-4=0(a≠0). 21．〔b-c〕x2-〔c-a〕x+〔a-b〕=0〔a≠c〕22．用因式分解法、配方法、分式法解方程2x2+5x-3=0.〔A〕因式分解法〔B〕配方法〔C〕公式法23．解方程：〔1〕〔2〕24．解关于x的方程：x2-2x+1-k〔x2-1〕=025．|2m-3|=1，试解关于x的方程3mx〔x+1〕-5〔x+1〕〔x-1〕=x2。

精锐教育学科教师辅导讲义 学员编号： 年 级：八 课 时 数：3学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师授课类型 T 同步知识讲解 C 专题方法讲解 T 学法与能力测评 授课日期时段教学内容一、同步知识梳理一元二次方程1） 概念： 等式，=号两边是整式，只含有一个求知数（一元），并且求知数的最高次数是2（二次）；2） 表现形式：（1） 一般形式：)0(02≠=++a c bx ax； ① 当0,0≠=c b，方程为02=+c ax ； ② 当0,0≠=b c，方程为02=+bx ax ； ③ 当0,0==b c，方程为02=ax ； 3） 注意0≠a ；（1） 只有当0≠a，02=++c bx ax 才叫做一元二次方程； （2） 当0,0≠=b a ，方程变成0=+c bx ，变成一元一次方程；（3） 判断一个方程是不是一元二次方程，不能只看表面现象，要看化简后的最简式，整理成一元二次方程的一般形式；（4） 如果明确指出方程02=++c bx ax 是一元二次方程，那就隐含了0≠a 这一条件；4） 一元二次方程的解：（1） 有的一元二次方程有两个不相等的实数解；有的方程有两个相等的实数解；有的方程无实数根；（2） 判断某个实数是不是一元二次方程的解，代入其方程看是否符号即可；5） 一元二次方程的解法：（1） 直接开平方法形如02=+c ax或0)(2=++c m x a （2） 配方法① 把形如02=++c bx ax 的一元二次方程通过配方变形为n m x a =+2)(的形式，左边是一个含有求知数的完全平方式，右边是一个非负常数，这个方程就能应用直接开平方法求解；② 配方法的理论依据是完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+±③ 配方时，化二次项系数a 为1，通过变形，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成一个完全平方式；④ 对于一个二次方程02=++q px x 而言，要使方程左边变成一个完全平方式，pxx +2可以写成222px x ⋅+，对照完全平方公式，222)2()2(22p p p x x -+⋅+，配成完全平方式，这样原方程就化成q p p x -=+4)2(22的形式；若042≥-q p ，可以直接开平方法解得；若042<-q p ，则原方程无解（3） 公式法（求根公式）① 对于任何一个一元二次方程写成一般形式02=++c bx ax ，0≠a ；当042≥-ac b 时，一元二次方程的根可以表示为：aac b b x 242-±-=； ② 用公式法步骤： 把方程化为一般形式，确定a,b,c 值； 求出ac b 42-的值；若042≥-ac b ，把a,b,c 代入求根公式；若042<-ac b ，此方程无实根；③ 求根公式推导：02=++c bx ax ，因为0≠a ，方程两边都除以a ，得02=++a c x a b x ，移项得a c x a b x -=+2，配方得，ac a b a b a b x x -=+⋅⋅+222)2()2(22，即222244)2()2(a ac b a c a b a b x -=-=+；当042≥-ac b 时，直接开平方即得； ④ 根据ac b 42-=∆的值的情况可以判别方程根的情况： 当042>-ac b 时，方程有两个不相等的根；当042=-ac b 时，方程有两个相等的实数根；042<-ac b 时，方程没有实数根；（4） 因式分解法（十字相乘）① 理论根据是00=⇔=⋅A B A 或0=B② 若一元二次方程等号的一边是0，而另一边易分解成两个一次因式时，例如092=-x ，这个方程变为(X+3)(X-3)=0，要使其成立，必须(X+3)=0或（X-3）=0，因此分别解这两个一元一次方程即可；③ 对一个一元二次方程因式分解可用的方法：十字相乘；平方差；提取公因式；6） 配方法的应用由02≥x 可知：)0()(2≥≥++a c c m x a ，此时方程有最小值；)0()(2≤≤++a c c m x a ，此时方程有最大值；7） 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）（1） 由公式法得，一元二次方程的两根为a ac b b x 2421-+-=，aac b b x 2422---=；得出a b x x -=+21，a c x x =⋅21； （2） 可以把方程02=++c bx ax 变形为02=++a c x ab x ，也可变形为0))((21=--x x x x a ；二、同步题型分析题型1：一元二次方程定义例1：下列方程哪些是一元二次方程： )12(3652+=+x x x ；x x =28；532=x ；y x 342=；24)3()15(x x x x x ++=-；例2： 方程013)2(=+++mx xm m 是关于X 的一元二次方程，则M=？例3： a 为何值时，方程04)3()3(1=+++--x a xa a （1）是一元一次方程（2）是一元二次方程；例4; 关于X 的方程)2(322x x m ax-=--是一元二次方程，则a 范围？题型2：一元二次方程的解例1：判断下列实数是否为一元二次方程012=--x x 的解 （1）x=-1 (2) x=251+;例2： 若X=4是一元二次方程223a x x=-的一个根，则常数a 的值为？；例3： 若关于X 的一元二次方程043)2(22=-++-m x x m ,其中有一个根是0，求M ；例4： 若关于X 的一元二次方程)0(0532≠=--a bx ax的一个根是2，那么4a-6b=? ;例5：若n 是关于X 的方程022=++n mx x的根，则m+n 的值为？；例6; 已知X=1是一元二次方程02=++n mx x的一个根，则222n mn m ++的值为？一、专题精讲解法 – 直接开平方与配方法例1：用配方法解下列方程：142=x ； 0522=--x x ；09)6(2=-+x ； 02732=-x ；01432=++x x ； 0122=--x x ； x x 5222=+；01422=--x x ； 01722=--x x ； 01232=+--x x ；01212=+-x x解法 – 公式法例2：2x －1＝－2x 2 (x ＋1)(x －1)＝x 226x 2－x －2＝0．(x ＋3)(x －3)＝3．解法 – 十字相乘法例3： 解下列方程：0542=+x x ； 0)74)(45(=+-x x ； 06)3()3(2=----x x)2()2(3-=-x x x ； 01522=-+x x ； x x x 22)1(3-=-；0)12(9)1(422=---x x ； 1)1)(12(=--x x ；12)3)(1(=+-x x ； 712)12)(53(+-=--x x x ； 03522=-+t t ；024)56)(56(=--+x x ； 0)3()3(42=---x x x ；0)21()21(2=--+x x ； 02)()(2=-+-+y x y x配方法的应用例4： （1）求证：无论X 取何值，二次根式542++x x 在实数范围内都有意义；（2）求证：无论a 取何值，122+-a a的值总是一个正数；（3）求2722+-x x的最小值；（4）设X ，Y 为实数，求0242222=+-++y y xy x的最小值韦达定理：两根和 两根积1. 已知关于X 的一元二次方程0)12(22=+-+m x m x有两个实数根1x ，2x ；求实数M 的取值范围；当02221=-x x 时，求M 的值；2. 如果关于X 的方程0)1(222=+-+k x k x有实数根a 和b,则a+b 的范围？；3. 关于X 的方程04222=-+-k x x的两个根互为倒数，则K 为？；4. 方程0122=--x x的两个实数根为a,b,则（a-1）(b-1)=? ;5. 关于X 的一元二次方程072=--kx x的一个根为1，另一根为A ，求A 和K ；6. 已知一元二次方程013)13(2=-++-x x 的两根为a,b,则b a 11+；7. 甲已两学生解同一个一元二次方程，甲将X 项的系数看错，解得两根为-4和8，已将常数项看错，解得两极为4和10，此外无其他错误，试求正确的一元二次方程，求出根；8. 设a,b 是一元二次方程0232=--x x的两个实数根，则223b ab a ++；9. 若一元二次方程02)2(2=++-a x a x的两个实数根分别是3，b,则a+b ；10. 若关于X 的一元二次方程012)2(222=++--k x k x 有实数根a,b,求K 的范围？ 设kb a t +=，求t 的最小值二、专题过关检测题1：k 为何值时，一元二次方程kx 2－6x ＋9＝0①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③没有实数根．检测题2：关于x 的一元二次方程－x 2＋(2k ＋1)x ＋2－k 2＝0有实数根，求k 的取值范围．检测题3:求证：不论m 取任何实数，方程02)1(2=++-m x m x 都有两个不相等的实数根．一、 能力培养综合题1已知方程mx 2＋mx ＋5＝m 有两个相等的实数根，求方程的解．综合题2求证：不论k 取何实数，方程(k 2＋1)x 2－2kx ＋(k 2＋4)＝0都没有实根．二、 能力点评课后作业一、写出下列一元二次方程的根1．3(x －1)2－1＝0．_____________________________．2．(2x ＋1)2－2(2x ＋1)＝3．_______________________．3．3x 2－5x ＋2＝0．_____________________________．4．x 2－4x －6＝0．______________________________．二、选择题5．方程x 2－4x ＋4＝0的根是( )．(A)x ＝2 (B)x 1＝x 2＝2 (C)x ＝4(D)x 1＝x 2＝4 6．5.27.0512=+x 的根是( )． (A)x ＝3(B)x ＝±3 (C)x ＝±9 (D)3±=x 7．072=-x x 的根是( )．(A)77=x(B)x 1＝0，x 2＝77 (C)x 1＝0，x 2＝7(D)x ＝7 8．(x －1)2＝x －1的根是( )．(A)x ＝2 (B)x ＝0或x ＝1(C)x ＝1 (D)x ＝1或x ＝2三、用适当方法解下列方程9．6x 2－x －2＝0． 10．(x ＋3)(x －3)＝3．四、解关于x 的方程x 2－2mx ＋m 2－n 2＝0． 2a 2x 2－5ax ＋2＝0(a ≠0)．.02322=+-x x (y －5)(y ＋3)＋(y －2)(y ＋4)＝26．x 2＋5x ＋k 2＝2kx ＋5k －6．.066)3322(2=++-x x。

杭州教育辅导讲义
2、知识要点归纳
由实际情景加工整理成抽象实际的问题，通过数学化变成数学问题.经过求解、检验、修正改进等进而产生的问题称为数学应用问题，数学应用题是经过加工的数学应用问题，是呈现在我们中学生面前的数学应用问题从数学应用问题到数学应用题作了以下几个方面的“加工”.
（1）加工“背景”：让背景材料为学生所熟悉的材料；让背景材料较为简洁
（2）加工“数学”：让“数学化”的过程较为简单，让各环节中使用的数学思想、方法和知识都是学生所能接受的.
（3）加工“检验”：在问题中的检验和讨论“实际化”即检验数学结果是否合乎实际问题，有验证的意识。

龙文教育学科教师辅导讲义学员姓名： 辅导课目：数学 年级：八年级 学科教师：汪老师 授课日期及时段课 题第二章 一元二次方程复习重点、难点、考点1、一元二次方程的基本概念2、一元二次方程的解法及应用学习目标1、理解一元二次方程的基本概念及其相应的应用2、一元二次方程的解法及其应用教学内容一、知识回顾:1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数。

2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用直接开平方的方法. （注意：用直接开平方的方法时要记得取正、负.）（2）配方法：关键化原方程为2()x m n +=的形式 （警告： 用配方法时二次项系数要化1.）（3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是221,24(40)2b b ac x b ac a-±-=-≥.（注意：方程要先化成一般形式.）（4）因式分解法（主要有提取公因式、运用平方差公式、运用完全平方公式、十字相乘法）：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积； ③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.（注意：方程要先化成一般形式.）3．一元二次方程根的判别式: 24b ac ∆=-(1)一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的情况：①当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；②当0∆=时，方程有两个相等的实数根； ③当0∆<时，方程无实数根. (2)判定一元二次方程根的情况； (3)确定字母的值或取值范围。

知识点练习知识一：一元二次方程的概念1、一元二次方程(1－3x)(x+3)=2x 2+1的一般形式是 它的二次项系数是 ； 一次项系数是 ；常数项是 。

一元二次方程的四种解法一对一辅导讲义编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（一元二次方程的四种解法一对一辅导讲义）的内1、认识一元二次方程2、掌握一元二次方程常见解法；3、经历一元二次方程解法的发现过程，体验归纳、类比的思想方法.容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为一元二次方程的四种解法一对一辅导讲义的全部内容。

1、一元二次方程解法重点、难点2、会解一元二次方程，并能熟练运用四种方法去解考点及考试要一元二次方程的四种解法求教学内容第一课时 一元二次方程的四种解法知识梳理1．已知x=1是一元二次方程2210mx x -+=的一个解，则m 的值是多少？2．已知关于x 的一元二次方程222320()x m m x ++-=-的一个根是0，求m 的值。

3.已知x=1是方程210x mx -+=的根，化简226912m m m m -+--+;4.已知实数a 满足2280a a+-=，求)3)(1(12)1)(1(31a 12+++-⨯+-+-+a a a a a a a 的值。

新课标第一网课前检测5。

已知m ，n 是有理数，方程20x mx n ++=有一个根是52-，求m+n 的值.一、直接开方法：（利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解） 形式:2()x a b +=举例:解方程：29(1)25x += 解：方程两边除以9，得: 225(1)9x +=1251352581,13333x x x ∴+=±∴=-==--=-二、配方法：（理论依据：根据完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±，将原方程配成2()x a b +=的形式，再用直接开方法求解。

龙文教育学科教师辅导讲义课 题 方程与不等式（组）（二） 一元二次方程 教学目标1. 理解一元二次方程的概念。

2. 掌握解一元二次方程的方法和技巧。

3. 学会列一元二次方程解应用题。

重点、难点本节的重点是熟练掌握解一元二次方程的方法和技巧；会列一元二次方程解应用题是本节教学的难点。

考点及考试要求教学内容一、主要知识点回顾：二、一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方程．一般形式：ax 2＋bx+c=0(a ≠0） 其中a 、b 、c 分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项；ax 2、bx 、c 分别叫做二次项、一次项和常数项。

例1：关于y 的一元二次方程2y(y-3)= -4的一般形式是___________ ,它的二次项系数是_____,一次项是_____, 常数项是_____例2：下列各等式是否是关于的一元二次方程？为什么？ （1） （2） （a 为常数） （3）一元二次方程一元二次方程的定义 一元二次方程的解法一元二次方程的应用（增长率问题、成本利润与数量问题）把握住：一个未知数，最高次数是2，整式方程一般形式：ax ²+bx+c=0（a ≠0）直接开平方法：适应于形如（x-k ）² =h （h ≥0）型配方法： 配方:方程两边同加一次项系数一半的平方 公式法：因式分解法:适应于左边能分解为两个一次式的积，右边是0的方程2(1)51x x x +=-260x ax +=243x y =230ax x -+=（4）（5） （6）22(1)0m x mx m +-+=例3：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。

（关于x 的一元二次方程）253x x -= 230x =三、一元二次方程的解法：1. 一元二次方程的解：满足一元二次方程成立的未知数的取值。

例1：若关于x 的一元二次方程x 2＋p x ＋5＝0的一个根是－1，求p 的值。

1精锐教育学科教师辅导讲义授课类型T 一元二次方程的解法授课日期时段 教学内容一、同步知识梳理一元二次方程的概念1.方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，我们把这样的方程叫做一元二次方程。

2.能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解（或根）。

3.一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为02=++c bx ax 的形式,我们把02=++c bx ax (a,b,c 为常数，a ≠0）称为一元二次方程的一般形式。

c bx ax ,,2分别称为二次项，一次项，常数项。

一元二次方程的解法1．因式分解: 把一个多项式化成几个整式的积的形式主要方法: (1)提取公因式法 (2)公式法2.利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

它的基本步骤是：（1）若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；（2）将方程的左边分解因式；（3）根据若A·B=0,则A=0或B=0,将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程。

3.一般地，对于形如 a x =2（a ≥0）的方程，根据平方根的意义，可解得 a x =1，a x -=2这种解一元二次方程的方法叫做开平方。

24.把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法。

5.用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。

（a ≠0, b 2-4ac ≥0) 当b 2-4ac=0 时，一元二次方程有两个相等的实数根。

当b 2-4ac<0，一元二次方程无实数根。

二、同步题型分析例题1 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）。

（A ）x 2-1x=1 （B ）x 2+y=2 （C ）2x 2=2 （D ）x+5=（-7）2例题2 把一元二次方程（x+2）（x-3）=4化成一般形式，得（ ）。

（A ）x 2+x-10=0 （B ）x 2-x-6=4 （C ）x 2-x-10=0 （D ）x 2-x-6=0 例题3 当m 满足什么条件时，方程m （x 2+x ）=2x 2-（x+1）是关于x 的一元二次方程？当m 取何值时，方程m （x 2+x ）=2x 2-（x +1）是一元一次方程？例题4 设方程03742=+-x x 的两根为21x x ，，不解方程，求下列各式的值:(1) 2221x x + (2) 21x x - （3）21x x + （4）21x x -三、课堂达标检测1. 一元二次方程12)3)(31(2+=-+x x x 化为一般形式为： ，二次项)04(24222,1≥--±-=ac b a ac b b x3系数为： 一次项系数为： ，常数项为： 。

一元二次函数解法讲义【知识梳理】1．定义：一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 都是常数，,那么的二次函数是x y2。

二次函数c bx ax y ++=2()0≠a 配方得:()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 44,22-=-=3。

抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①的符号决定抛物线的开口方向： （1）当时,开口向上;顶点是抛物线的最低点,在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大,当abx 2-= ,y 值最小，最小值为a b ac 442-（2）当时，开口向下;顶点是抛物线的最高点，在对称轴左侧，y 随ｘ的增大而减小，当abx 2-= ,y 值最大,最大值为a b ac 442-（3）a 相等,抛物线的开口大小、形状相同。

②平行于y 轴（或重合）的直线记作．特别地,ｙ轴记作直线.4.顶点决定抛物线的位置：几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.5.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1)公式法：ab ac a b x a c bx ax y 44)2(222-++=++=, ∴顶点是)44,2(2a b ac a b --，对称轴是直线abx 2-=． （２）配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为k h x a y +-=2)(的形式，得到顶点为),(k h ,对称轴是直线.(３）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失．6.抛物线的作用中，c b a c bx ax y ,,2++=（１）决定开口方向及开口大小,这与2ax y =中的完全一样.(２）和共同决定抛物线对称轴的位置：由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=,故: ①时,对称轴为轴 ②ab＞0（即、同号）时,对称轴在轴左侧 ③0<ab（即、异号）时,对称轴在y 轴右侧. （3）的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置。