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差分方程知识点总结一、差分方程的概念差分方程是指用差分运算符号（Δ）表示的方程。
差分运算符Δ表示的是某一变量在两个连续时间点的变化量。
差分方程通常用于描述离散时间下的变化规律，比如时间序列、离散动力系统等。
二、常见的差分方程1. 一阶线性差分方程一阶线性差分方程的一般形式为：y(t+1) - y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
一阶线性差分方程常常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律。
2. 二阶线性差分方程二阶线性差分方程的一般形式为：y(t+2) - 2*y(t+1) + y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
二阶线性差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的二阶线性变化规律。
3. 线性非齐次差分方程线性非齐次差分方程的一般形式为：y(t+1) - a*y(t) = b，其中a和b为常数。
线性非齐次差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律，并且受到外部条件的影响。
4. 滞后差分方程滞后差分方程的一般形式为：y(t+1) = f(y(t))，其中f为某一函数。
滞后差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的非线性变化规律。
5. 差分方程组差分方程组是指由多个差分方程组成的方程组。
差分方程组通常用于描述多个变量之间的变化规律，比如混合动力系统、多变量时间序列等。
三、差分方程的解法1. 特征根法特征根法是解一阶或二阶线性差分方程的一种常用方法。
通过求解特征方程，可以求得差分方程的通解。
2. 递推法递推法是解一阶或二阶非齐次差分方程的一种常用方法。
通过递推关系，可以求得差分方程的特解。
3. Z变换法Z变换法是解一阶或二阶差分方程的一种常用方法。
通过对差分方程进行Z变换，可以将其转换为等价的代数方程，然后求解其解。
4. 数值解法对于复杂的差分方程，通常采用数值解法求解。
数值解法包括Euler法、Runge-Kutta法、递推法等，通过迭代计算逼近差分方程的解。
高考数学中的差分方程及相关概念在高中数学中，我们学习了许多数学知识，其中差分方程是一个比较重要的概念，在高考中也经常出现。
那么差分方程是什么？有什么用处呢？一、什么是差分方程差分方程，也叫离散微积分方程，是指用有限差分代替导数的微分方程，其本质是一种递推式。
差分方程的一般形式为y[n+1] = f(y[n], y[n-1], ... , y[n-k])，其中y[n]是第n个离散点的函数值，y[n-k]是第n-k个离散点的函数值。
差分方程是一种离散的动态系统，可以用来描述各种离散事件的演化。
它广泛应用于数学、物理、工程、经济等领域中各种动态系统的建模与分析。
二、差分方程的分类根据差分方程的阶数及系数对n的依赖关系，差分方程可以分为以下几类：1.一阶线性差分方程一阶线性差分方程的一般形式为y[n+1] = ay[n] + b，其中a和b 是常数。
这种差分方程的解可以用递推公式y[n] = ay[n-1] + b求得。
2.二阶线性差分方程二阶线性差分方程的一般形式为y[n+2] + ay[n+1] + by[n] = f[n]，其中a、b是常数，f[n]是已知函数。
这种差分方程的解可以用特征根法或借助于已知解求得通解。
3.非线性差分方程非线性差分方程的一般形式为y[n+1] = f(y[n])，其中f(y[n])是非线性函数。
这种差分方程的解一般需要运用迭代法或数值解法求解。
三、差分方程的应用差分方程是一种用来描述具有离散状态的系统演化的工具，它在许多领域中都有着广泛的应用，例如：1.物理学差分方程在物理学中应用广泛，例如：在天体物理学中，用差分方程描述行星运动的轨迹、研究宇宙星系的演化等；在量子力学中，用差分方程描述粒子的运动状态等。
2.经济学差分方程在经济学中也有着广泛的应用，例如：在货币政策分析中，用差分方程描述货币供应量、利率与物价水平等的变化；在经济增长模型中，用差分方程描述经济增长的变化趋势等。
差分方程的定义差分方程的定义差分方程是一种数学方程，用于描述离散化的动态系统。
它可以被视为微分方程的离散版本，通常用于模拟和预测离散时间下的自然现象和工程问题。
一、差分方程的基本概念1.1 差分方程的定义差分方程是一种数学方程，描述一个序列在相邻时间点之间如何变化。
它通常采用递推公式表示，其中当前时刻的值是前一时刻值和其他参数的函数。
1.2 差分方程的分类根据差分方程中所涉及到变量的类型，可以将其分类为一阶差分方程、二阶差分方程等。
此外，还可以根据其递推公式中所包含的项数进行分类。
1.3 差分运算符在差分方程中，通常使用差分运算符来表示序列在相邻时间点之间发生了什么变化。
最常见的两个运算符是前向差分运算符和后向差分运算符。
二、解差分方程2.1 差分方程求解方法求解差分方程需要使用递推法或转换法等方法。
其中递推法是最基本也是最常见的方法，它通过逐个计算序列中每个时间点的值来得到整个序列的解。
2.2 初始条件和边界条件在求解差分方程时，需要给出初始条件和边界条件。
初始条件是指序列在起始时刻的值，而边界条件则是指序列在某些时间点上的限制。
三、应用领域3.1 差分方程在物理学中的应用差分方程广泛应用于物理学中，例如描述运动物体的速度、加速度等问题。
此外，在热力学和电磁学等领域也有广泛的应用。
3.2 差分方程在经济学中的应用差分方程在经济学中也有广泛的应用，例如描述市场需求和供给之间的关系、货币政策对通货膨胀率的影响等问题。
3.3 差分方程在工程学中的应用差分方程在工程学中也有广泛的应用，例如描述机器人运动轨迹、控制系统稳定性等问题。
四、总结差分方程是一种重要的数学工具，在模拟和预测离散时间下自然现象和工程问题时具有重要作用。
其基本概念包括差分方程定义、分类以及差分运算符等。
求解差分方程需要使用递推法或转换法等方法，并给出初始条件和边界条件。
差分方程在物理学、经济学和工程学等领域都有广泛的应用。
差分方程对连续型变量而言，我们常常导致到微分方程的问题. 对离散型变量将导致另一类的问题.一、差分的定义 定义 设)(x y y =是一个函数, 自变量从x 变化到x +1, 这时函数的增量记为)()1(x y x y y x -+=∆, 我们趁这个量为)(x y 在点x 步长为1的一阶差分,简称为)(x y 的一阶差分. 为了方便我们也记)(),1(1x y y x y y x x =+=+,即 x x x y y y -=∆+1.称x x x x x x x x y y y y y y y y +-=---=∆∆+++++121122)()()(为)(x y 二阶差分,简记为x y 2∆.同样记)(2x y ∆∆为x y 3∆,并称为三阶差分. 一般记)(1x n x ny y -∆∆=∆,称为n 阶差分.且有i n x i ni inx ny C y -+=-=∆∑)1(0. 性质: 当a,b,C 是常数, y x 和z x 是函数时,(1) Δ(C )=0;(2) Δ(Cy x )= C Δ(y x );(3) Δ(ay x + b z x )= a Δy x + b Δ z x ;(4) Δ(y x z x )= z x+1Δy x +y x Δ z x = y x+1Δz x +z x Δy x ; (5) 1111++++∆-∆=∆-∆=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∆x x x x x x x x x x x x xxz z z y y z z z z y y z z y . 例 已知),0(≠=x x y x α求Δ(y x ). 解 Δ(y x )= ααx x -+)1(.特别, 当n 为正整数时, Δ(y x )=i n ni i nx C-=∑1, 阶数降了一阶.推论 若m, ,n 为正整数时, m,> n P(x)为n 次多项式,则0)(=∆x P m . 例 已知),10(≠<=a a y x x 求Δ(y x ). 解 Δ(y x )= )1(1-=-+a a a a x x x .二、差分方程定义 设是含有未知函数差分的等式，称为差分方程。
它的一般形式为0),,,,(1=++n x x x y y y x F 或0),,,,(=∆∆x n x x y y y x G ， 其中F , G 是表达式，x 是自变量. 使等式成立自变量的取值范围称为该方程的定义域. 0),,,,(1=++n x x x y y y x F 的方程，也称为n 阶差分方程. n 为方程的阶. 形如)()()()(110x f y x a y x a y x a x n n x n x =+++-++ （14-7-1）称为n 阶线性差分方程.. 0)(=x f 时为齐次的. 0)(≠x f 为非齐次的.差分方程是含有未知函数及其导数的方程, 满足该方程的函数称为差分方程的解．对于一阶差分方程来说，它的含有一个任意常数的解，称为此微分方程的通解．一般来说，对于n 阶差分方程，其含有n 个互相独立的任意常数的解称为差分方程的通解．不含有任意常数的解称为差分方程的特解．同微分方程一样椰油初值问题. 初值条件也有如下情形: 一阶的如: 00y y x x x==.二阶的如:00y y x x x==,00y y x x x∆=∆=等等.对于线性差分方程的解的结构有如下结论.定理 如果)(1x y y =和)(2x y y =都是方程（14-7-1）的解，则对任意常数C 1, C 2,)()(2211x y C x y C +也是方程（14-7-1）的解．定理 设0)(0≠x a ，)()2()1(,.....,,n x x x y y y 是0)()()(110=+++-++x n n x n x y x a y x a y x a的n 个线性无关的特解，则)()2(2)1(1.....n x n x x x y C y C y C y +++=是它的通解. 定理 设0)(0≠x a ，)()2()1(,.....,,n xx x y y y 是齐次方程 0)()()(110=+++-++x n n x n x y x a y x a y x a的n 个线性无关的特解，*x y 是非齐次方程)()()()(110x f y x a y x a y x a x n n x n x =+++-++的一个特解,则*)()2(2)1(1.....x n x n x x x y y C y C y C y ++++=是非齐次方程的通解. 定理 设，)1(x y 是方程 )()()()(1110x f y x a y x a y x a x n n x n x =+++-++ 的解， )2(xy 是方程 )()()()(2110x f y x a y x a y x a x n n x n x =+++-++ 的解,则)2()1(xx x y y y +=是方程 )()()()()(21110x f x f y x a y x a y x a x n n x n x +=+++-++ 的解.本书着重研究一阶和二阶常系数的差分方程.三、一阶常系数的差分方程一阶常系数的差分方程是)(1x f py y x x =-+ (常数p ≠0).（a ）当0)(=x f ，设x x r y =是其齐次方程的解, 即 01=-+x x pr r ,所以 r=p . 那么01=-+x x pr r有通解x x Cp y =(C 为任意常数)例 求差分方程0231=-+x x y y 的通解.解 事实上原方程是0321=-+x x y y 所以其通解为xx C y ⎪⎭⎫⎝⎛=32 (C 为任意常数)..（b ）当0)(≠x f ，用待定系数法求其特解.(i) 如果)()(x P x f n =(n 次多项式),则非齐次方程为 )(1x P py y n x x =-+. 若 p =1, 即 )(1x P y y n x x =-+, 那么x y 可以是n +1次多项式.,相减时常数项和最高次数相被消去, 所以可以设][2210n n x x b x b x b b x y ++++= , 代入方程后,比较系数确定n b b b b ,,,,210 便得到一个特解.若 p ≠1, 最高次数相不可能被消去, 所以可以设有特解n n x x b x b x b b y ++++= 2210, 同样代入方程后,比较系数确定n b b b b ,,,,210 便得到一个特解..(ii) 如果)()(x P x f n x λ=()(x P n 是n 次多项式,λ是常数),则非齐次方程为)(1x P py y n x x x λ=-+.为了求之一个特解,分两步: 第一步, 令 x x x z y λ=,代入方程得)(11x P z p z n x x x x x λλλ=-++,它等价于)(1x P pz z n x x =-+λ. 第二步, 用(i)的方法.总之,对这种情况,可以直接设其特解为)(2210n n s x x x b x b x b b x y ++++= λ,其中当p ≠λ时, s=0 , 当p =λ时, s =1 .例 求差分方程 xx x y y 2731⋅=-+ 的通解.解 显然其齐次方程的通解为xx C y 3⋅=(C 为任意常数). 设其特解为x x b y 2⋅=, 所以有x x x b b 272321⋅=⋅-⋅+, 从而得b =-7.因此,原方程的通解为xxx C y 273⋅-⋅=.四、二阶常系数的差分方程这里讨论的是这样的方程: )(12x f qy py y x x x =++++ (p ,q 是常数). 先给结论 .定理 x x r y =是方程 012=++++x x x qy py y (16-7-2) 的解的充分必要条件r 为方程 02=++q pr r (16-7-3) 的根 (读者自己证明).(16-7-3))称为原方程的特征方程. 下面分步讨论. （a ）当0)(=x f ，如果 042>-q p , 即其特征方程有两个不同实根,记为21,r r . 注意到x x r r 21,是线性无关的, 所以(16-7-2)有通解x x x r C r C y 2211+=, (21,C C 是任意常数).如果042=-q p , 即其特征方程有两个相同实根,记为221pr r -==.,可以验证xx p x p ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2是(16-7-2)的线性无关的特解. 所以xx p x C C y ⎪⎭⎫⎝⎛-+=2)(21(21,C C 是任意常数)是(16-7-2)的通解.如果 042<-q p ,因 p, q 是实数, 即其特征方程有两互为共轭的复根, 记为2422p q i p -±-,记为0),sin (cos >±=±λθθλβαi i . 可以验证)sin(),cos(x x x x θλθλ是(16-7-2)的线性无关的特解. 所以))sin()cos((21x C x C y x x θθλ+=(21,C C 是任意常数)是(16-7-2)的通解 .例 求03412=++++x x x y y y 的通解.解 其特征方程0342=++r r , 有根 -1, -3 . 原方程有通解 x x x C C y )3()1(21-+-= (21,C C 是任意常数)例 求042=++x x y y 的通解.解 其特征方程042=+r , 有根 -2i , 2i . 原方程有通解)2cos(2)2sin(221x C x C y x x x ππ+=, (21,C C 是任意常数).（a ）当0)(≠x f ，同一阶相似,只要求其一个特解即可.(i) 如果)()(x P x f n =(n 次多项式),注意到)(12x f qy py y x x x =++++可以写成 )()1()2(12x f y q p y p y x x x =+++∆++∆+.若01≠++q p , 令特解为n n x x b x b x b b y ++++= 2210. 若02,01≠+=++p q p ,令特解为}{2210n n x x b x b x b b x y ++++= .若02,01=+=++p q p ,令特解为}{22102n n x x b x b x b b x y ++++= .将特解代入原方程,再比较系数确定n b b b b ,,,,210 便得到一个特解.. 例 求242=++x x y y 的通解.解 前例已知其齐次的通解,故只需求一个特解. 令0b y x =,代入的210=b ,所以它的通解为 21)2cos(2)2sin(221++=x C x C y x x x ππ, (21,C C 是任意常数).(ii) 如果)()(x P x f n x λ=()(x P n 是n 次多项式,λ是常数),则非齐次方程为)(12x P qy py y n x x x x λ=++++.可以直接设其特解为)(2210n n s x x x b x b x b b x y ++++= λ,其中当λ不是其特征方程的根时, s=0 , 当λ是其特征方程的单根时, s =1 ; 当λ是其特征方程的重根时, s =2.例 求x x x y y 242=++的通解.解 令xb y 2=, x x x b b 22422=++, 所以81=b , 所以其通解 82)2cos(2)2sin(221xxxx x C x C y ++=ππ, (21,C C 是任意常数).习题 14-71．求下列函数的一阶和二阶差分 1）)()2)(1(n x x x x y ---= ；2）xx y ⎪⎭⎫⎝⎛+=313；3）x y xsin 3=；4）xe y x=；5）x x y ln =。
