差分方程的解法分析及MATLAB实现(程序)

模型建立 记第k年沙丘鹤的数量为xk,年均增长率为 r，则第k+1年鹤的数量为
xk+1=(1+r)xk k=0,1,2······
已知x0=100, 在较好，中等和较差的自然 环境下 r=0.0194, -0.0324,和-0.0382 我们利用 Matlab编程，递推20年后观察沙丘鹤的 数量变化情况
Xk-1决定的部分是 a1bcXk-1,由Xk-2决定的部分是 a2b(1-a1)bcXk-2
Xk= a1bcXk-1 + a2b(1-a1)bcXk-2
Xk= a1bcXk-1 + a2b(1-a1)bcXk-2
实际上，就是Xk= pXk-1 + qXk-2 我们需 要知道x0,a1,a2,c, 考察b不同时，种子繁 殖的情况。在这里假设 X0=100,a1=0.5,a2=0.25,c=10,b=0.18~0.20 这样可以用matlab计算了
K=(0:20)’; Y1=zwfz(100,21,0.18); Y2=zwfz(100,21,0.19); Y3=zwfz(100,21,0,20); Round([k,y1’,y2’,y3’]) Plot(k,y1,k,y2,’:’,k,y3,’o’), Gtext(‘b=0.18’),gtext(‘b=0.19’),gtext(‘b=0.20’)
function x=czqc(n) A=[0.6,0.2,0.1;0.3,0.7,0.3;0.1,0.1,0.6]; x(:,1)=[200,200,200]'; for k=1:n x(:,k+1)=A*x(:,k); end
如果直接看10年或者20年发展趋势，可以直接在命令窗 口（commond window）作，而不是必须编一个函数

Matlab实现
首先建立一个关于变量n ，r的函数 function x=sqh(n,r) a=1+r; x=100; for k=1:n
x(k+1)=a*x(k); end
在command窗口里调用sqh函数
k=(0:20)';
>> y1=sqh(20,0.0194); >> y2=sqh(20,-0.0324); >> y3=sqh(20,-0.0382); >> round([k,y1',y2',y3'])
可以看到时间充分长以后3个城市汽车数量 趋于180，300，120
可以考察这个结果与初始条件是否有关
若最开始600辆汽车都在A市，可以看到变 化时间充分长以后，各城市汽车数量趋于 稳定，与初始值无关
直接输入x（:,1）的值即可
x(:,1)=[600,0,0]; round(x'); plot(k,x),grid
模型及其求解
记一棵植物春季产种的平均数为c,种子能 活过一个冬天的(1岁种子)比例为b,活过 一个冬天没有发芽又活过一个冬天的（2 岁种子）比例仍为b,1岁种子发芽率a1， 2岁种子发芽率a2。
设c,a1,a2固定，b是变量，考察能一直繁殖的条件 记第k年植物数量为Xk，显然Xk与Xk-1,Xk-2有关，由
高阶线性常系数差分方程
如果第k+1时段变量Xk+1不仅取决 于第k时段变量Xk，而且与以前时段变 量有关，就要用高阶差分方程来描述
一年生植物的繁殖
一年生植物春季发芽，夏天开花，秋季 产种，没有腐烂，风干，被人为掠取的 那些种子可以活过冬天，其中一部分能 在第2年春季发芽，然后开花，产种，其 中的另一部分虽未能发芽，但如又能活 过一个冬天，则其中一部分可在第三年 春季发芽，然后开花，产种，如此继续， 一年生植物只能活1年，而近似的认为， 种子最多可以活过两个冬天，试建立数 学模型研究这种植物数量变化的规律， 及它能一直繁殖下去的条件。

matlab用z变换求解差分方程Z变换是一种非常重要的信号分析工具，在MATLAB中，可以使用Symbolic Math Toolbox进行Z变换的计算和求解差分方程。

Z变换是一种将离散时间信号从时间域转换到复平面域的方法。

它与拉普拉斯变换的关系类似，但适用于离散时间信号的分析。

在MATLAB 中，使用syms函数创建符号变量来表示Z变换的变量，然后使用ztrans函数进行Z变换的计算和求解差分方程。

下面将通过一个简单的例子来说明如何使用MATLAB进行Z变换求解差分方程。

假设有一个差分方程：y[n]-0.5y[n-1]+0.25y[n-2]=x[n]首先，使用syms函数创建符号变量：syms z定义输入信号和初始条件：x=z^2;%输入信号y0=1;%初始条件y[-1]y1=0;%初始条件y[-2]然后，使用ztrans函数进行Z变换计算：Y = ztrans(y[n], n, z);X = ztrans(x, n, z);差分方程中的Y和X分别表示Y(z)和X(z)，因此可以写出差分方程的Z变换方程：Y-0.5*z^(-1)*Y+0.25*z^(-2)*Y=X然后，将方程转化为Y(z)的表达式：Y = solve(Y - 0.5*z^(-1)*Y + 0.25*z^(-2)*Y == X, Y);至此，Z变换方程求解完成，可以使用ilaplace函数从Z域转换回时间域，以获得Y[n]的表达式：y = ilaplace(Y, z, n);最后，可以将结果绘制出来：n=-10:10;%时间范围y_n = subs(y, n, n); % 计算y[n]的值stem(n, y_n); % 绘制离散时间信号综上所述，我们可以使用MATLAB的Symbolic Math Toolbox进行差分方程的Z变换求解，这对于信号分析和系统设计非常有用。

一阶线性常系数差分方程的解、平衡点及其稳定性
x a x b k 1 k
• 自然环境下,b=0 • 人工孵化条件下
xk a k x0
k k 1 xa xba ( 1 a ) k 0
1 ak a x0 b 1 a
k
• 令xk=xk时，xk→x,称平衡点是稳定的
• • • • • • •
A=[0.6,0.2,0.1;0.3,0.7,0.3;0.1,0.1,0.6]; >> n=10; >> for k=1:n x(:,1)=[200,200,200]'; x(:,k+1)=A*x(:,k); end >> round(x)
作图观察数量变化趋势
300
• • • • •
用Matlab求解差分方程问题
一阶线性常系数差分方程
高阶线性常系数差分方程
线性常系数差分方程组
差分方程是在离散时段上描述现 实世界中变化过程的数学模型
• 例1、 某种货币1年期存款的年利率是r ， 现存入M元，问年后的本金与利息之和 是多少？
• Xk+1=(1+r)xk , k = 0 , 1 , 2 · · · · ·
利用plot 绘图观察数量变化趋势
• 可以用不同线型和颜色绘图 • r g b c m y k w 分别表示 红绿兰兰绿洋红黄黑白色 ： + o * . X s d 表示不同的线型
• plot(k,y1,k,y2,k,y3) 在同一坐标系下画图 plot(k,y2,':')
>> plot(k,y2,'--')
0.1 • A 0.6 0.7 0.3 B C

用Matlab求解差分方程问题
一阶线性常系数差分方程
高阶线性常系数差分方程
线性常系数差分方程组
差分方程是在离散时段上描述现 实世界中变化过程的数学模型
• 例1、 某种货币1年期存款的年利率是r ， 现存入M元，问年后的本金与利息之和 是多少？
• Xk+1=(1+r)xk , k = 0 , 1 , 2 · · · · ·
x ( k 1 ) 0 . 6 x ( k ) 0 . 2 x ( k ) 0 . 1 x ( k ) 1 1 2 3 x ( k 1 ) 0 . 3 x ( k ) 0 . 7 x ( k ) 0 . 3 x ( k ) 2 1 2 3 x ( k 1 ) 0 . 1 x ( k ) 0 . 1 x ( k ) 0 . 6 x ( k ) 3 1 2 3
k=0:10; plot(k,x) ，grid gtext('x1(k)'), gtext('x2(k)'), gtext('x3(k)')
280 260 240 220 200 180 160 140 120
x2(k)
x1(k)
x3(k) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
• 可以看到时间充分长以后3个城市汽车数 量趋于180，300，120 • 可以考察这个结果与初始条件是否有关 • 若最开始600辆汽车都在A市，可以看到 变化时间充分长以后，各城市汽车数量 趋于稳定，与初始值无关
Matlab实现
• • • • • • • 首先建立一个关于变量n ，r的函数 function x=sqh(n,r) a=1+r; x=100; for k=1:n x(k+1)=a*x(k); end

利用plot 绘图观察数量变化趋势
可以用不同线型和颜色绘图 r g b c m y k w 分别表示 红绿兰兰绿洋红黄黑白色 ： + o * . X s d 表示不同的线型
plot(k,y1,k,y2,k,y3) 在同一坐标系下画图 plot(k,y2,':')
>> plot(k,y2,'--')
Matlab实现
首先建立一个关于变量n ，r的函数 function x=sqh(n,r) a=1+r; x=100; for k=1:n x(k+1)=a*x(k); end
在command窗口里调用sqh函数
k=(0:20)';
>> y1=sqh(20,0.0194); >> y2=sqh(20,-0.0324); >> y3=sqh(20,-0.0382); >> round([k,y1',y2',y3'])
将种群按年龄等间隔的分成若干个年龄组，时 间也离散化为时段，给定各年龄组种群的繁殖 率和死亡率，建立按年龄分组的种群增长模型， 预测未来各年龄组的种群数量，并讨论时间充 分长以后的变化趋势。
模型及其求解 设种群按年龄等间隔的分成n个年龄组，记 i=1,2,· · · ，n,时段记作k=0,1,2· · · ,且年龄组区间与 时段长度相等(若5岁为一个年龄组，则5年为一 个时段)。以雌性个体为研究对象 记在时段k第i年龄组的数量为xi(k);第i年龄组的 繁殖率为bi，表示每个个体在一个时段内繁殖 的数量；第i年龄组死亡率为di，表示一个时段 内死亡数与总数的比，si=1-di是存活率。
1,2 1, xk 0( k )

b 1 a
一阶线性常系数差分方程的解、平衡点及其稳定性
xk 1 axk b
• 自然环境下,b=0 • 人工孵化条件下
xk ak x0
xk ak x0 b(1 a
k
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ak 1 )
1 ak a x0 b 1 a
• 令xk=xk+1=x得
x
差分方程的平衡点 • k→∞时，xk→x,称平衡点是稳定的
用matlab求解差分方程问题一阶线性常系数差分方程高阶线性常系数差分方程线性常系数差分方程组一阶线性常系数差分方程?濒危物种的自然演变和人工孵化?问题florida沙丘鹤属于濒危物种它在较好自然环境下年均增长率仅为194而在中等和较差环境下年均增长率分别为324和等和较差环境下年均增长率分别为324和382如果在某自然保护区内开始有100只鹤建立描述其数量变化规律的模型并作数值计算
模型建立
• 记第k年沙丘鹤的数量为xk,年均增长率为 r，则第k+1年鹤的数量为 •
xk+1=(1+r)xk k=0,1,2· · · · · ·
• 已知x0=100, 在较好，中等和较差的自然 环境下 r=0.0194, -0.0324,和-0.0382 我们利用 Matlab编程，递推20年后观察沙丘鹤的 数量变化情况
Matlab实现
• • • • • • • 首先建立一个关于变量n ，r的函数 function x=sqh(n,r) a=1+r; x=100; for k=1:n x(k+1)=a*x(k); end
• 在command窗口里调用sqh函数 k=(0:20)';
>> y1=sqh(20,0.0194); >> y2=sqh(20,-0.0324); >> y3=sqh(20,-0.0382); >> round([k,y1',y2',y3'])

• • • • • • •
K=(0:20)’; Y1=zwfz(100,21,0.18); Y2=zwfz(100,21,0.19); Y3=zwfz(100,21,0,20); Round([k,y1’,y2’,y3’]) Plot(k,y1,k,y2,’:’,k,y3,’o’), Gtext(‘b=0.18’),gtext(‘b=0.19’),gtext(‘b=0.20’)
>> plot(k,y2,'r') >> plot(k,y2,'y') >> plot(k,y2,'y',k,y1,':')
• 人工孵化是挽救濒危物种的措施之一， 如果每年孵化5只鹤放入保护区，观察在 中等自然条件下沙丘鹤的数量如何变化
Xk+1=aXk +5 ,a=1+r
如果我们想考察每年孵化多少只比较合 适，可以令
• • • • • •
function x=czqc(n) A=[0.6,0.2,0.1;0.3,0.7,0.3;0.1,0.1,0.6]; x(:,1)=[200,200,200]'; for k=1:n x(:,k+1)=A*x(:,k); end
如果直接看10年或者20年发展趋势，可以直接在命令窗 口（commond window）作，而不是必须编一个函数
1,2
5 2 10 b
植物能一直繁殖下去的条件是b>0.191
线性常系数差分方程组
• 汽车租赁公司的运营
• 一家汽车租赁公司在3个相邻的城市运营，为方便顾客起见公司承 诺，在一个城市租赁的汽车可以在任意一个城市归还。根据经验
估计和市场调查，一个租赁期内在A市租赁的汽车

MATLAB中的差分方程建模与求解方法引言差分方程是数学中常见的一种方程类型，是一种离散形式的微分方程。

在实际问题中，差分方程能够提供对系统的离散描述，对于动态模型的建立和求解具有重要作用。

MATLAB作为一种功能强大的数值计算软件，其内置了丰富的工具箱和函数，为差分方程的建模和求解提供了便利。

一、差分方程的建模差分方程的建模是将实际问题转化为数学方程的过程。

在MATLAB中，差分方程的建模可以通过定义离散系统的状态和状态转移方程来实现。

下面以一个简单的例子说明差分方程的建模过程。

假设有一个人口增长模型，人口数在每年增加10%，则差分方程可以表示为：P(n+1) = P(n) + 0.1 * P(n)，其中P(n)表示第n年的人口数，P(n+1)表示第n+1年的人口数。

在MATLAB中，可以通过定义一个函数来描述差分方程的状态转移方程，代码如下：```matlabfunction Pn = population_growth(Pn_minus_1)growth_rate = 0.1;Pn = Pn_minus_1 + growth_rate * Pn_minus_1;end```上述代码定义了一个名为"population_growth"的函数，该函数的输入参数为上一年的人口数"Pn_minus_1"，输出为当前年的人口数"Pn"。

其中，growth_rate表示人口增长率，根据差分方程的定义，将上一年的人口数乘以增长率再加上本身，即可得到当前年的人口数。

二、差分方程的求解方法在MATLAB中，差分方程的求解可以通过多种方法实现。

下面介绍两种常用的差分方程求解方法：欧拉法和四阶龙格-库塔法。

1. 欧拉法（Euler's method）欧拉法是差分方程求解中最简单直观的一种方法。

其基本思想是通过离散化的方式逐步逼近连续函数的解。

具体步骤如下：1) 将时间段分割成若干个小区间；2) 根据差分方程的状态转移方程，在每个小区间内进行计算；3) 迭代计算直到达到指定的时间点。

差分方程的解法分析及其MATLAB实现张登奇;彭仕玉【摘要】差分方程是描述离散时间系统的数学模型，求解差分方程是分析离散时间系统的重要内容，常用的求解方法有迭代法、时域经典法、双零法和变换域法。

文章根据各种方法的求解原理，分别介绍了不同方法的求解步骤，结合实例列出了这些方法的求解过程及MATLAB实现程序。

%The difference equation is mathematical model to describe discrete-time systems, to solve the differential equation is an important part to analyze discrete-time systems, commonly used methods are: iterative method, classical time-domain method, double zero response method and the transform-domain method. This paper introduces the solving steps of these different methods according to the corresponding principles with examples and lists these corresponding MATLAB programs.【期刊名称】《湖南理工学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(000)003【总页数】5页(P28-32)【关键词】离散时间系统;差分方程;时域分析法;变换域分析法;MATLAB【作者】张登奇;彭仕玉【作者单位】湖南理工学院信息与通信工程学院，湖南岳阳 414006;湖南理工学院信息与通信工程学院，湖南岳阳 414006【正文语种】中文【中图分类】TN911.72;O175.7线性常系数差分方程是描述线性时不变离散时间系统的数学模型, 求解差分方程是分析离散时间系统的重要内容. 在《信号与系统》课程中介绍的求解方法主要有迭代法、时域经典法、双零法和变换域法[1]. 迭代法可手工逐次代入求解, 也可编程用计算机求解, 该方法原理简单, 缺点是只能得到数值解.时域经典法先求齐次解和特解, 再用边界条件确定待定系数得完全解, 该方法数学过程清晰, 但求解过程麻烦. 双零法分别求零输入响应和零状态响应, 再通过叠加得到全响应. 该方法物理意义清晰, 但求解过程依然麻烦. 变换域法利用z变换将差分方程变换成代数方程求解, 该方法简便高效, 是求解差分方程的重要方法. 本文根据不同方法的求解原理, 分别介绍各种方法的求解步骤, 结合实例列出这些方法的求解过程和MATLAB实现程序.差分方程本身就是一个递推方程, 根据初始状态和激励信号依次迭代就可算出输出序列. 迭代法是解差分方程的基础方法, 如果所需输出序列个数较少（如计算边界条件）可手工直算, 如需计算大量输出可利用计算机编程实现.现结合实例介绍迭代法的计算过程.例1已知离散系统的差分方程为激励信号为初始状态为y(−1)=4,y(−2)=12.求系统响应.根据激励信号和初始状态, 手工依次迭代可算出利用MATLAB中的filter函数实现迭代过程的m程序如下:clc;clear;format compact;a=[1, -3/4, 1/8], b=[1, 1/3, 0], %输入差分方程系数向量, 不足补0对齐n=0:10;xn=(3/4).^n, %输入激励信号zx=[0, 0], zy=[4, 12], %输入初始状态zi=filtic(b, a, zy, zx), %计算等效初始条件[yn, zf]=filter(b, a, xn, zi), %迭代计算输出和后段等效初始条件MATLAB提供的filter函数是一个内建函数, 用type命令看不到程序代码.为了理解迭代思想, 下面根据图1所示的直接Ⅰ型结构[2], 重写实现迭代法的m程序. clc;clear;format compact;a=[1, -3/4, 1/8], b=[1, 1/3, 0], %输入差分方程系数向量, 不足补0对齐n=0:10;x=(3/4).^n, %输入激励信号zx=[0, 0], zy=[4, 12], %输入初始状态% 下面是按直接Ⅰ型结构迭代的通用程序 %N=length(a)-1, %计算数据存储长度L=length(x), %计算激励信号长度y=zeros(1, L);%输出信号初始化for i=1:L; %逐个计算输出信号for n=1:N;z(n)=b(n+1)*zx(n)-a(n+1)*zy(n);end %分算过去zz=sum(z);%计算输出中的过去分量y(i)=b(1)*x(i)+zz;% 计算当前输出y(n)for n=N:-1:2, zx(n)=zx(n-1);zy(n)=zy(n-1);end%过去数据下移zx(1)=x(i);zy(1)=y(i);%当前的激励和输出变为过去, 以便算下一个输出end%理解filter函数中zf参数的意义zf=zeros(1, N);%初始化zffor k=1:N; %逐个计算zf参数for n=1:N;z(n)=b(n+1)*zx(n)-a(n+1)*zy(n);end %算z(n)zf(k)=sum(z);% 计算第k个zffor k=N:-1:2, zx(k)=zx(k-1);zy(k)=zy(k-1);end;%过去数据下移zx(1)=0;zy(1)=0;% 没有当前的激励和输出变为过去, 算下一个zfendy, zf, %显示输出和zf参数该程序采用直接Ⅰ型结构实现迭代计算, 与filter函数计算的结果相同, zf参数可用于激励信号分段处理时，调用filter函数计算下一段输出所需的等效初始条件.用时域经典法求解差分方程与高等数学中求解微分方程的过程类似: 先求齐次解; 再将激励信号代入方程右端化简得自由项, 根据自由项形式求特解; 然后根据边界条件求完全解[3]. 用时域经典法求解例1的基本步骤如下.(1) 求齐次解. 特征方程为可算出高阶特征根可用MATLAB的roots函数计算. 齐次解为(2) 求方程的特解. 将代入差分方程右端得自由项为当n≥1时, 特解可设为代入差分方程求得(3) 利用边界条件求完全解.当n=0时迭代求出当n≥1时, 完全解的形式为选择求完全解系数的边界条件可参考文[4]选y(0),y(−1). 根据边界条件求得注意完全解的表达式只适于特解成立的n取值范围, 其他点要用δ(n)及其延迟表示, 如果其值符合表达式则可合并处理.差分方程的完全解为MATLAB没有专用的差分方程求解函数, 但可调用maple符号运算工具箱中的rsolve函数实现[5], 格式为y=maple('rsolve({equs, inis}, y(n))'), 其中equs为差分方程表达式, inis为边界条件,y(n)为差分方程中的输出函数式. rsolve的其他格式可通过mhelp rsolve命令了解. 在MATLAB中用时域经典法求解例1中的全响应和单位样值响应的程序如下:clc;clear;format compact;yn=maple('rsolve({y(n)-3/4*y(n-1)+1/8*y(n-2)=(3/4)^n+1/3*(3/4)^(n-1),y(0)=5/2, y(-1)=4}, y(n))'),hn=maple('rsolve({y(n)-3/4*y(n-1)+1/8*y(n-2)=0, y(0)=1, y(1)=13/12},y(n))'),如同时域经典法一样, 应用rsolve函数时要特别注意边界条件的选择问题，且边界条件要连续取点.本例求单位样值响应时的边界条件要选用y(0)和y(1)[6], 在命令窗中显示的结果也要分析n的取值范围.双零法是将完全解分解成物理意义明显的零输入响应和零状态响应分别计算. 零输入响应是激励为零, 由系统的初始状态所产生的响应; 零输入响应要求差分方程右端为零, 故特解为零; 完全解为齐次解形式, 系数可直接由初始状态确定. 零状态响应是初始状态为零, 由激励信号所产生的响应. 计算零状态响应可用时域经典法, 也可用卷积法. 根据双零响应的定义, 按时域经典法的求解步骤可分别求出零输入响应和零状态响应. 理解了双零法的求解原理和步骤, 实际计算可调用rsolve函数实现:yzi=maple('rsolve({y(n)-3/4*y(n-1)+1/8*y(n-2)=0, y(-1)=4, y(-2)=12}, y(n))'), yzs=maple('rsolve({y(n)-3/4*y(n-1)+1/8*y(n-2)=(3/4)^n+1/3*(3/4)^(n-1), y(0)=1, y(-1)=0}, y(n))'),边界条件和n的取值范围这里不再赘述, 各响应的计算结果在命令窗都有显示, 零输入响应和零状态响应之和与前面计算的全响应相等.变换域法是以z变换为数学工具, 先将时域差分方程变换成z域代数方程, 再在z 域求解响应的象函数, 最后将响应象函数逆变换成时域原函数, 是一种间接求解差分方程的计算方法.z变换的线性和位移性是变换域法求解差分方程的重要性质, 这里只列出双边序列的单边z变换位移公式[1]:设差分方程的一般形式为对差分方程两边取单边z变换, 并利用z变换的位移公式, 得整理成A(z)Y(z)+Y0(z)=B(z)X(z)+X0(z)形式, 有可以看出, 由差分方程可直接写出A(z)和B(z), 系统函数将系统函数进行逆z变换可得单位样值响应. 由差分方程的初始状态可算出Y0(z), 由激励信号的初始状态可算出X0(z), 将激励信号进行z变换可得X(z), 求解z域代数方程可得输出信号的象函数对输出象函数进行逆z变换可得输出信号的原函数y(n). 为了计算简单和便于对结果进行对比分析,例1列举的实例中, 系统函数的极点均为单根有理数极点, 且系统函数H(z)的零极点与激励象函数X(z)的零极点均不相同. 参照s域求解微分方程的方法[7], 利用z变换求解差分方程各响应的步骤可归纳如下:(1) 根据差分方程直接写出A(z),B(z)和H(z),H(z)的逆变换即为单位样值响应;(2) 根据激励信号算出X(z), 如激励不是因果序列则还要算出前M个初始状态值;(3) 根据差分方程的初始状态y(−1),y(−2),⋅⋅⋅,y(−N)和激励信号的初始状态x(−1),x(−2),⋅⋅⋅,x(−M)算出Y0(z)和X0(z);(4) 在z域求解代数方程A(z)Y(z)+Y0(z)=B(z)X(z)+X0(z)得输出象函数Y(z),Y(z)的逆变换即为全响应;(5) 分析响应象函数的极点来源及在z平面中的位置, 确定自由响应与强迫响应, 或瞬态响应与稳态响应;(6) 根据零输入响应和零状态响应的定义, 在z域求解双零响应的象函数, 对双零响应的象函数进行逆z变换, 得零输入响应和零状态响应.用变换域法求解例1的基本过程如下.根据差分方程直接写出系统函数的极点为对激励信号进行z变换得激励象函数的极点为根据差分方程的初始状态算出根据激励信号的初始状态算出X0(z)=0.对z域代数方程求解, 得全响应的象函数进行逆z变换得全响应为其中, 与系统函数的极点对应的是自由响应; 与激励象函数的极点对应的是强迫响应.Y(z)的极点都在z平面的单位圆内故都是瞬态响应. 零输入响应和零状态响应可按定义参照求解.上述求解过程可借助MATLAB的符号运算编程实现. 实现变换域法求解差分方程的m程序如下:clc;clear;format compact;syms z n %定义符号对象% 输入差分方程、初始状态和激励信号%a=[1, -3/4, 1/8], b=[1, 1/3], %输入差分方程系数向量y0=[4, 12], x0=[0], %输入初始状态, 长度分别比a、b短1, 长度为0时用[]xn=(3/4)^n, %输入激励信号, 自动单边处理, u(n)可用1^n表示% 下面是变换域法求解差分方程的通用程序，极点为有理数时有解析式输出 % N=length(a)-1;M=length(b)-1;%计算长度Az=poly2sym(a, 'z')/z^N;Bz=poly2sym(b, 'z')/z^M;%计算A(z)和B(z)Hz=Bz/Az;disp('系统函数H(z):'), sys=filt(b, a), %计算并显示系统函数hn=iztrans(Hz);disp('单位样值响应h(n)='), pretty(hn), %计算并显示单位样值响应Hzp=roots(a);disp('系统极点:');Hzp, %计算并显示系统极点Xz=ztrans(xn);disp('激励象函数X(z)='), pretty(Xz), %激励信号的单边z变换Y0z=0;%初始化Y0(z), 求Y0(z)注意系数标号与变量下标的关系for k=1:N;for l=-k:-1;Y0z = Y0z+a(k+1)*y0(-l)*z^(-k-l);endenddisp('初始Y0(z)'), Y0z, %系统初始状态的z变换X0z=0;%初始化X0(z), 求X0(z)注意系数标号与变量下标的关系for r=1:M;for m=-r:-1;X0z = X0z+b(r+1)*x0(-m)*z^(-r-m);endenddisp('初始X0(z)'), X0z, %激励信号起始状态的z变换Yz=(Bz*Xz+X0z-Y0z)/Az;disp('全响应的z变换Y(z)'), pretty(simple(Yz)),yn=iztrans(Yz);disp('全响应y(n)='), pretty(yn), % 计算并显示全响应Yziz=-Y0z/Az;disp('零输入象函数Yzi(z)='), pretty(Yziz), %零激励响应的z变换yzin=iztrans(Yziz);disp('零输入响应yzi(n)='), pretty(yzin), % 计算并显示零输入响应Yzsz=(Bz*Xz+X0z)/Az;disp('零状态象函数Yzs(z)='), pretty(Yzsz), %零状态响应的z变换yzsn=iztrans(Yzsz);disp('零状态响应yzs(n)='), pretty(yzsn), % 计算并显示零状态响应该程序的运行过程与手算过程对应, 显示在命令窗的运行结果与手算结果相同.求解差分方程有多种方法. 迭代法计算原理简单, 调用filter函数时要注意初始状态的等效变换. 经典法数学思路清晰, 调用rsolve函数时要注意边界条件的选择问题. 双零法物理意义清楚, 可根据定义用经典法计算. 变换域法简便高效, 适合计算各类响应. 本文列举的变换域法求解实例可作为课程教学的补充材料, 编写的变换域法求解程序对教学科研也有一定的应用价值.【相关文献】[1] 郑君里, 应启珩, 杨为理. 信号与系统[M]. 第2版. 北京: 高等教育出版社, 2000:16, 64[2] 高西全, 丁玉美. 数字信号处理[M]. 第3版. 西安: 西安电子科技大学出版社, 2008:129[3] 陈从颜, 翟军勇. 信号与系统基础[M]. 北京: 机械工业出版社, 2009:19[4] 朱玲赞. 差分方程的边界条件和离散系统的初始状态[J]. 电气电子教学学报, 2001(03): 35～37[5] 张志勇. 精通MATLAB6.5[M]. 北京: 北京航空航天大学出版社, 2003:229[6] 史林杰. 离散时间系统边界条件的确定准则[J]. 电工教学, 1997(02): 22～24[7] 张登奇, 张璇. 连续时间系统的s域分析及MATLAB实现[J]. 湖南理工学院学报(自然科学版), 2012(02): 26～29。

x1 ( k + 1) = 0.6 x1 ( k ) + 0.2 x2 ( k ) + 0.1x3 ( k ) x2 ( k + 1) = 0.3 x1 ( k ) + 0.7 x2 ( k ) + 0.3 x3 ( k ) x ( k + 1) = 0.1x ( k ) + 0.1x ( k ) + 0.6 x ( k ) 1 2 3 3
Xk-1决定的部分是 a1bcXk-1,由Xk-2决定的部分是 a2b(1-a1)bcXk-2 Xk= a1bcXk-1 + a2b(1-a1)bcXk-2

Xk= a1bcXk-1 + a2b(1-a1)bcXk-2
实际上，就是Xk= pXk-1 + qXk-2 我们需 要知道x0,a1,a2,c, 考察b不同时，种子繁 殖的情况。在这里假设 X0=100,a1=0.5,a2=0.25,c=10,b=0.18~0.20 这样可以用matlab计算了
500
400
300
200
100
0
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1
2
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按年龄分组的种群增长
野生或饲养的动物因繁殖而增加，因自然死亡 和人为屠杀而减少，不同年龄动物的繁殖率， 死亡率有较大差别，因此在研究某一种群数量 的变化时，需要考虑年龄分组的种群增长。 将种群按年龄等间隔的分成若干个年龄组，时 间也离散化为时段，给定各年龄组种群的繁殖 率和死亡率，建立按年龄分组的种群增长模型， 预测未来各年龄组的种群数量，并讨论时间充 分长以后的变化趋势。
Matlab求解差分方程问题 用Matlab求解差分方程问题

Xk-1决定的部分是 a1bcXk-1,由Xk-2决定的部分是 a2b(1-a1)bcXk-2
Xk= a1bcXk-1 + a2b(1-a1)bcXk-2
Xk= a1bcXk-1 + a2b(1-a1)bcXk-2
• 实际上，就是Xk= pXk-1 + qXk-2 我们需 要知道x0,a1,a2,c, 考察b不同时，种子繁 殖的情况。在这里假设 • X0=100,a1=0.5,a2=0.25,c=10,b=0.18~0.20 • 这样可以用matlab计算了
Xk= a1bcXk-1 + a2b(1-a1)bcXk-2
• • • • • • • • Function x=zwfz(x0,n,b) C=10;a1=0.5;a2=0.25; p=a1*b*c;q=a2*b*(1-a1)*b*c; X1=x0; X2=p*(x1); for k=3:n X(k)=p*(xk-1)+q*(xk-2); end
k=0:10; plot(k,x) ，grid gtext('x1(k)'), gtext('x2(k)'), gtext('x3(k)')
280 260 240 220 200 180 160 140 120
x2(k)
x1(k)
x3(k) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
• 可以看到时间充分长以后3个城市汽车数 量趋于180，300，120 • 可以考察这个结果与初始条件是否有关 • 若最开始600辆汽车都在A市，可以看到 变化时间充分长以后，各城市汽车数量 趋于稳定，与初始值无关
直接输入x（:,1）的值即可
x(:,1)=[600,0,0]; round(x'); plot(k,x),grid

Matlab实现
• • • • • • • 首先建立一个关于变量n ，r的函数 function x=sqh(n,r) a=1+r; x=100; for k=1:n x(k+1)=a*x(k); end
• 在command窗口里调用sqh函数 k=(0:20)';
>> y1=sqh(20,0.0194); >> y2=sqh(20,-0.0324); >> y3=sqh(20,-0.0382); >> round([k,y1',y2',y3'])
用Matlab求解差分方程问题
一阶线性常系数差分方程
高阶线性常系数差分方程
线性常系数差分方程组
差分方程是在离散时段上描述现 实世界中变化过程的数学模型
• 例1、 某种货币1年期存款的年利率是r ， 现存入M元，问年3;r)xk , k = 0 , 1 , 2 · · · · ·
方程(1)的解可以表为 C1,c2 由初始条件x0,x1确定。
1,2 1, xk 0( k )
1,2 1, xk ( k )
• 本例中，用待定系数的方法可以求出 b=0.18时,c1=95.64, c2=4.36 ， (1, 2 ) (0.9430, 0.0430) 这样 xk 95.64(0.9430)k 4.36(0.0430)k 实际上，
直接输入x（:,1）的值即可
x(:,1)=[600,0,0]; round(x'); plot(k,x),grid
600 500
400
300
200
100
0
0
1
2

差分方程的解法分析及MATLAB 实现（程序）摘自：张登奇,彭仕玉.差分方程的解法分析及其MATLAB 实现[J]. 湖南理工学院学报.2014(03) 引言线性常系数差分方程是描述线性时不变离散时间系统的数学模型,求解差分方程是分析离散时间系统的重要内容.在《信号与系统》课程中介绍的求解方法主要有迭代法、时域经典法、双零法和变换域法[1].1 迭代法例1 已知离散系统的差分方程为)1(31)()2(81)1(43)(-+=-+--n x n x n y n y n y ,激励信号为)()43()(n u n x n =,初始状态为21)2(4)1(=-=-y y ，.求系统响应. 根据激励信号和初始状态,手工依次迭代可算出2459)1(,25)0(==y y . 利用MATLAB 中的filter 函数实现迭代过程的m 程序如下:clc;clear;format compact;a=[1,-3/4,1/8],b=[1,1/3,0], %输入差分方程系数向量,不足补0对齐n=0:10;xn=(3/4).^n, %输入激励信号zx=[0,0],zy=[4,12], %输入初始状态zi=filtic(b,a,zy,zx),%计算等效初始条件[yn,zf]=filter(b,a,xn,zi),%迭代计算输出和后段等效初始条件2 时域经典法用时域经典法求解差分方程:先求齐次解；再将激励信号代入方程右端化简得自由项,根据自由项形式求特解；然后根据边界条件求完全解[3].用时域经典法求解例1的基本步骤如下.（1）求齐次解.特征方程为081432=+-αα,可算出41 , 2121==αα.高阶特征根可用MATLAB 的roots 函数计算.齐次解为. 0 , )41()21()(21≥+=n C C n y n n h （2）求方程的特解.将)()43()(n u n x n =代入差分方程右端得自由项为 ⎪⎩⎪⎨⎧≥⋅==-⋅+-1,)43(9130 ,1)1()43(31)()43(1n n n u n u n n n 当1≥n 时,特解可设为n p D n y )43()(=,代入差分方程求得213=D . （3）利用边界条件求完全解.当n =0时迭代求出25)0(=y ,当n ≥1时,完全解的形式为 ,)43(213 )41()21()(21n n n C C n y ⋅++=选择求完全解系数的边界条件可参考文[4]选)1(),0(-y y .根据边界条件求得35,31721=-=C C .注意完全解的表达式只适于特解成立的n 取值范围,其他点要用)(n δ及其延迟表示,如果其值符合表达式则可合并处理.差分方程的完全解为)(])43(213 )41(35)21(317[)1(])43(213 )41(35)21(317[)(25)(n u n u n n y n n n n n n ⋅+⋅+⋅-=-⋅+⋅+⋅-+=δ MATLAB 没有专用的差分方程求解函数,但可调用maple 符号运算工具箱中的rsolve 函数实现[5],格式为y=maple('rsolve({equs, inis},y(n))'),其中:equs 为差分方程表达式, inis 为边界条件,y(n)为差分方程中的输出函数式.rsolve 的其他格式可通过mhelp rsolve 命令了解.在MATLAB 中用时域经典法求解例1中的全响应和单位样值响应的程序如下.clc;clear;format compact;yn=maple('rsolve({y(n)-3/4*y(n-1)+1/8*y(n-2)=(3/4)^n+1/3*(3/4)^(n-1),y(0)=5/2,y(-1)=4},y(n))'),hn=maple('rsolve({y(n)-3/4*y(n-1)+1/8*y(n-2)=0,y(0)=1,y(1)=13/12},y(n))'),3 双零法根据双零响应的定义,按时域经典法的求解步骤可分别求出零输入响应和零状态响应.理解了双零法的求解原理和步骤,实际计算可调用rsolve 函数实现.yzi=maple('rsolve({y(n)-3/4*y(n-1)+1/8*y(n-2)=0,y(-1)=4, y(-2)=12},y(n))'),yzs=maple('rsolve({y(n)-3/4*y(n-1)+1/8*y(n-2)=(3/4)^n+1/3*(3/4)^(n-1),y(0)=1,y(-1)=0},y(n))'),4 变换域法设差分方程的一般形式为)()(00r n x b k n y a r Mr k N k -=-∑∑==.对差分方程两边取单边z 变换,并利用z 变换的位移公式得])()([])()([1010m r m r r M r l k l k k N k z m x z X z b z l y z Y z a ---=-=---=-=∑∑∑∑+=+整理成)()()()()()(00z X z X z B z Y z Y z A +=+形式有. )(, )(110110M M N N z b z b b z B z a z a a z A ----+++=+++=. )()(, )()(110110∑∑∑∑=--=--=--=--==M r r m m r r N k k l l k k z m x b s X zl y a s Y可以看出,由差分方程可直接写出 )(z A 和 )(z B ,系统函数)(/)()(z A z B z H =,将系统函数进行逆z 变换可得单位样值响应.由差分方程的初始状态可算出 )(0z Y ,由激励信号的初始状态可算出 )(0z X ,将激励信号进行z 变换可得 )(z X ,求解z 域代数方程可得输出信号的象函数 , )()()()()()(00z A z Y z X z X z B z Y -+= 对输出象函数进行逆z 变换可得输出信号的原函数)(n y .利用z 变换求解差分方程各响应的步骤可归纳如下:（1）根据差分方程直接写出 )(z A 、 )(z B 和)(z H ,)(z H 的逆变换即为单位样值响应；（2）根据激励信号算出 )(z X ,如激励不是因果序列则还要算出前M 个初始状态值；（3）根据差分方程的初始状态 )(, ),2( ),1(N y y y -⋅⋅⋅--和激励信号的初始状态 )(, ),2( ),1(M x x x -⋅⋅⋅--算出 )(0z Y 和 )(0z X ；（4）在z 域求解代数方程)()()()()()(00z X z X z B z Y z Y z A +=+得输出象函数 )(z Y , )(z Y 的逆变换即为全响应；（5）分析响应象函数的极点来源及在z 平面中的位置,确定自由响应与强迫响应,或瞬态响应与稳态响应；（6）根据零输入响应和零状态响应的定义,在z 域求解双零响应的象函数,对双零响应的象函数进行逆z 变换,得零输入响应和零状态响应.用变换域法求解例1的基本过程如下. 根据差分方程直接写出2181431 )(--+-=z z z A ,1311 )(-+=z z B .系统函数的极点为41,21. 对激励信号进行z 变换得)43/( )(-=z z z X .激励象函数的极点为3/4. 根据差分方程的初始状态算出102123 )(-+-=z z Y .根据激励信号的初始状态算出 0)(0=z X . 对z 域代数方程求解,得全响应的象函数)323161123/()83243125( )(2323-+-+-=z z z z z z z Y . 进行逆z 变换得全响应为)(])43(213 )41(35)21(317[)(n u n y n n n ⋅+⋅+⋅-= 其中,与系统函数的极点对应的是自由响应;与激励象函数的极点对应的是强迫响应. )(z Y 的极点都在z 平面的单位圆内故都是瞬态响应.零输入响应和零状态响应可按定义参照求解.上述求解过程可借助MATLAB 的符号运算编程实现.实现变换域法求解差分方程的m 程序如下: clc;clear;format compact;syms z n %定义符号对象% 输入差分方程、初始状态和激励信号%a=[1,-3/4,1/8],b=[1,1/3], %输入差分方程系数向量y0=[4,12],x0=[0], %输入初始状态,长度分别比a 、b 短1,长度为0时用[]xn=(3/4)^n, %输入激励信号,自动单边处理,u(n)可用1^n 表示% 下面是变换域法求解差分方程的通用程序，极点为有理数时有解析式输出 %N=length(a)-1;M=length(b)-1;%计算长度Az=poly2sym(a,'z')/z^N;Bz=poly2sym(b,'z')/z^M;%计算A(z)和B(z)Hz=Bz/Az;disp('系统函数H(z):'),sys=filt(b,a),%计算并显示系统函数hn=iztrans(Hz);disp('单位样值响应h(n)='),pretty(hn),%计算并显示单位样值响应Hzp=roots(a);disp('系统极点:');Hzp,%计算并显示系统极点Xz=ztrans(xn);disp('激励象函数X(z)='),pretty(Xz),%激励信号的单边z 变换Y0z=0;%初始化Y0(z),求Y0(z)注意系数标号与变量下标的关系for k=1:N;for l=-k:-1;Y0z = Y0z+a(k+1)*y0(-l)*z^(-k-l);endenddisp('初始Y0(z)'),Y0z,%系统初始状态的z 变换X0z=0;%初始化X0(z),求X0(z)注意系数标号与变量下标的关系for r=1:M;for m=-r:-1;X0z = X0z+b(r+1)*x0(-m)*z^(-r-m);endenddisp('初始X0(z)'),X0z,%激励信号起始状态的z 变换Yz=(Bz*Xz+X0z-Y0z)/Az;disp('全响应的z 变换Y(z)'),pretty(simple(Yz)),yn=iztrans(Yz);disp('全响应y(n)='),pretty(yn),% 计算并显示全响应Yziz=-Y0z/Az;disp('零输入象函数Yzi(z)='),pretty(Yziz),%零激励响应的z 变换yzin=iztrans(Yziz);disp('零输入响应yzi(n)='),pretty(yzin),% 计算并显示零输入响应 Yzsz=(Bz*Xz+X0z)/Az;disp('零状态象函数Yzs(z)='),pretty(Yzsz),%零状态响应的z 变换yzsn=iztrans(Yzsz);disp('零状态响应yzs(n)='),pretty(yzsn),% 计算并显示零状态响应该程序的运行过程与手算过程对应,显示在命令窗的运行结果与手算结果相同.。

程中出现．
定义3′ 含有两个或两个以上函数值yt,yt+1,…的函数方 程,称为(常)差分方程,出现在差分方程中未知函数下 标的最大差,称为差分方程的阶． n阶差分方程的一般形式为
F(t,yt,yt+1,…，yt+n)=0,
其中F为t,yt,yt+1,…，yt+n的已知函数 ,且yt和yt+n一定要 在差分方程中出现.
其中A1，A2，…，An为n个任意(独立)常数．
定理4(非齐次线性差分方程通解结构定理) 如果 y (t)是非齐次线性方程yt+n+a1(t)yt+n-1+a2(t)yt+n-2
+…+an-1(t)yt＋1+an(t)yt=f(t)的一个特解,yA(t)是其对应的齐
次线性方程 yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2 +…+an-1yt+1+anyt=0 的通
解,那么,非齐次线性差分方程的通解为： y(t)=yA(t)+ y (t)
即
y(t)=A1y1(t)+A2y2(t)+…+Anyn(t)+ y(t)， 这里A1，A2,…,An为n个任意(独立)常数．
第二节 一阶常系数线性差分方程
一阶常系数线性差分方程的一般形式为 yt+1+ayt=f(t) 和 yt+1+ayt=0, 其中 f(t) 为 t 的已知函数 ,a≠0 为常数 .分别称为一阶常 系数非齐次线性差分方程和其对应的齐次差分方程.
试以特解 yt =a+bt,(a,b为待定系数)代入方程得

一阶线性常系数差分方程的解、平衡点及其稳定性
01
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自然环境下,b=0
02
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人工孵化条件下
03
差分方程的平衡点
令xk=xk+1=x得
04
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X(k)=p*(xk-1)+q*(xk-2);
添加标题
end
K=(0:20)’; Y1=zwfz(100,21,0.18); Y2=zwfz(100,21,0.19); Y3=zwfz(100,21,0,20); Round([k,y1’,y2’,y3’]) Plot(k,y1,k,y2,’:’,k,y3,’o’), Gtext(‘b=0.18’),gtext(‘b=0.19’),gtext(‘b=0.20’)
plot(k,y2,':') >> plot(k,y2,'--') >> plot(k,y2,'r') >> plot(k,y2,'y') >> plot(k,y2,'y',k,y1,':') >> plot(k,y2,k,y1,':') >> plot(k,y2,'oy',k,y1,':') 用gtext(‘r=0.0194’),gtext(‘r=-0.0324’),gtext(‘r=-0.0382’)在图上做标记。
可以看到时间充分长以后3个城市汽车数量趋于180，300，120 可以考察这个结果与初始条件是否有关 若最开始600辆汽车都在A市，可以看到变化时间充分长以后，各城市汽车数量趋于稳定，与初始值无关