专题06 一元二次方程、一元一次不等式及其应用-备战2022年中考数学题源解密(原卷版)

(1月最新最细）全国中考真题解析120考点汇编一次函数与二元一次方程和一元一次不等式（组）一、选择题1.（山东淄博9，4分）下列各个选项中旳网格都是边长为1旳小正方形，运用函数旳图象解方程5x﹣1=2x+5，其中对旳旳是（）A. B.C. D.考点：一次函数与一元一次方程；一次函数旳性质。

专题：推理填空题。

分析：把x=0代入解析式求出直线与y轴旳交点，再根据k旳值判断y随x旳增大而增大还是减小即可判断选项．解答：解：5x﹣1=2x+5，∴实际上求出直线y=5x﹣1和y=2x+5旳交点坐标，把x=0分别代入解析式得：y1=﹣1，y2=5，∴直线y=5x﹣1与Y轴旳交点是（0，﹣1），和y=2x+5与Y轴旳交点是（0，5），∴直线y=5x﹣1中y随x旳增大而增大，故选项C、D错误；∵直线y=2x+5中y随x旳增大而增大，故选项A对旳；选项B 错误；故选A．点评：本题重要考察对一次还是旳性质，一次函数与一元一次方程旳关系等知识点旳理解和掌握，能根据一次函数与一元一次方程旳关系进行说理是解此题旳关键．2.（辽宁阜新,13,3分）如图，直线y=kx+b（k＞0）与x轴旳交点为（﹣2，0），则有关x旳不等式kx+b＜0旳解集是．考点：一次函数与一元一次不等式；一次函数旳性质。

专题：推理填空题。

分析：根据一次函数旳性质得出y随x旳增大而增大，当x＜﹣2时，y＜0，即可求出答案．解答：解：∵直线y=kx+b（k＞0）与x轴旳交点为（﹣2，0），∴y 随x 旳增大而增大，当x ＜﹣2时，y ＜0，即kx+b ＜0．故答案为：x ＜﹣2．点评：本题重要考察对一次函数与一元一次不等式，一次函数旳性质等知识点旳理解和掌握，能纯熟地运用性质进行说理是解此题旳关键3. （广西百色，6，4分）两条直线y =k 1x +b 1和y =k 2x +b 2相交于点A （﹣2，3），则方程组⎩⎨⎧+=+=2211b x k y b x k y 旳解是（ ）A ．⎩⎨⎧==32y xB ．⎩⎨⎧=-=32y xC ．⎩⎨⎧-==23y xD ．⎩⎨⎧==23y x 考点：一次函数与二元一次方程（组）．专题：计算题．分析：由题意，两条直线y =k i x +b 1和y =k 2x +b 2相交于点A （﹣2，3），因此x =﹣2．y =3就是方程组⎩⎨⎧+=+=2211b x k y b x k y 旳解． 解答：解：∵两条直线y =k i x +b 1和y =k 2x +b 2相交于点A （﹣2，3），∴⎩⎨⎧=-=32y x 就是方程组⎩⎨⎧+=+=2211b x k y b x k y 旳解．∴方程组旳⎩⎨⎧+=+=2211b x k y b x k y 解为：⎩⎨⎧=-=32y x ． 点评：本题重要考察了二元一次方程（组）和一次函数旳综合问题，两直线旳交点就是两直线解析式所构成方程组旳解，认真体会一次函数与一元一次方程之间旳内在联络．二、填空题1. （贵州毕节，16，5分）已知一次函数3+=kx y 旳图象如图所示则不等式03<+kx 旳解集是 。

专题06一元二次方程及其应用（11题）一、单选题1．（2024·四川自贡·中考真题）关于x 的一元二次方程220x kx +-=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根2．（2024·山东泰安·中考真题）关于x 的一元二次方程2230x x k -+=有实数根，则实数k 的取值范围是（）A ．98k <B ．98k ≤C ．98k ≥D ．98k <-3．（2024·甘肃兰州·中考真题）关于x 的一元二次方程2960x x c -+=有两个相等的实数根，则c =（）A ．9-B ．4C ．1-D ．14．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程210210x x -+=的两个根，则这个三角形的周长为（）A ．17或13B ．13或21C ．17D ．13二、填空题5．（2024·广东·中考真题）若关于x 的一元二次方程220x x c ++=有两个相等的实数根，则c =．6．（2024·四川巴中·中考真题）已知方程220x x k -+=的一个根为2-，则方程的另一个根为．7．（2024·甘肃临夏州·中考真题）若关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣m=0有两个相等的实数根，则m 的值为．三、解答题8．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：x 2﹣5x +6＝09．（2024·安徽·中考真题）解方程：223x x -=10．（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：2430x x -+=；（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长．11．（2024·辽宁·中考真题）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y （件）与每件售价x （元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：每件售价x /元⋅⋅⋅455565⋅⋅⋅日销售量y /件⋅⋅⋅554535⋅⋅⋅(1)求y 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）；(2)该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由．专题06一元二次方程及其应用（11题）一、单选题1．（2024·四川自贡·中考真题）关于x 的一元二次方程220x kx +-=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根【答案】A【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠中，当0∆>时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式解答即可．【详解】解： △()2241280k k =-⨯⨯-=+>，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A ．2．（2024·山东泰安·中考真题）关于x 的一元二次方程2230x x k -+=有实数根，则实数k 的取值范围是（）A ．9k <B ．98k ≤C ．98k ≥D ．98k <-【答案】B【分析】本题考查了判别式与一元二次方程根的情况，熟知一元二次方程有实数根的条件是解题的关键．根据一元二次方程有实数根的条件是0∆≥，据此列不等式求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2230x x k -+=有实数根，∴()2Δ3420k =--⨯≥，解得98k ≤．故选B ．3．（2024·甘肃兰州·中考真题）关于x 的一元二次方程2960x x c -+=有两个相等的实数根，则c =（）A ．9-B ．4C ．1-D ．1【答案】D【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数k 的取值，解题的关键是熟练掌握一元二次方程()200ax bx c a ++=≠根的判别式24b ac ∆=-，当方程有两个不相等的实数根时，0∆>；当方程有两个相等的实数根时，Δ0=；当方程没有实数根时，Δ0<．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2960x x c -+=有两个相等的实数根，∴()2Δ64936360c c =--⨯⨯=-=，解得：1c =，故选：D ．4．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程210210x x -+=的两个根，则这个三角形的周长为（）A ．17或13B ．13或21C ．17D ．13【答案】C【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得13x =，27x =，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为3，腰长为7，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键．【详解】解：由方程210210x x -+=得，13x =，27x =，∵337+<，∴等腰三角形的底边长为3，腰长为7，∴这个三角形的周长为37717++=，故选：C ．二、填空题5．（2024·广东·中考真题）若关于x 的一元二次方程220x x c ++=有两个相等的实数根，则c =．【答案】1【分析】由220x x c ++=有两个相等的实数根，可得240b ac ∆=-=进而可解答．【详解】解：∵220x x c ++=有两个相等的实数根，∴24440b ac c ∆=-=-=，∴1c =．故答案为：1．【点睛】本题主要考查根据一元二次方程根的情况求参数，掌握相关知识是解题的关键．6．（2024·四川巴中·中考真题）已知方程220x x k -+=的一个根为2-，则方程的另一个根为．7．（2024·甘肃临夏州·中考真题）若关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣m=0有两个相等的实数根，则m 的值为．【答案】-1【分析】根据关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣m=0有两个相等的实数根可知△=0，求出m 的取值即可．【详解】解：由已知得△=0，即4+4m=0，解得m=-1．故答案为-1.【点睛】本题考查的是根的判别式，即一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b 2-4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．三、解答题8．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：x 2﹣5x +6＝0【答案】x 1＝2，x 2＝3【分析】利用因式分解的方法解出方程即可.【详解】利用因式分解法求解可得．解：∵x 2﹣5x +6＝0，∴（x ﹣2）（x ﹣3）＝0，则x ﹣2＝0或x ﹣3＝0，解得x 1＝2，x 2＝3．【点睛】本题考查解一元二次方程因式分解法,关键在于熟练掌握因式分解的方法步骤.9．（2024·安徽·中考真题）解方程：223x x -=【答案】13x =，21x =-【分析】先移项，然后利用因式分解法解一元二次方程，即可求出答案．【详解】解：∵223x x -=，∴223=0x x --，∴(3)(1)0x x -+=，∴13x =，21x =-．【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法进行解题．10．（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：2430x x -+=；（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长．11．（2024·辽宁·中考真题）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价x （元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：每件售价x /元⋅⋅⋅455565⋅⋅⋅日销售量y /件⋅⋅⋅554535⋅⋅⋅(1)求y 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）；(2)该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由．【答案】(1)100=-+y x ；(2)该商品日销售额不能达到2600元，理由见解析。

方程与不等式形如2x p+=（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的nx m p()=或2方法解一元二次方程．如果方程化成2x p=的形式，那么可得x＝±；如果方程能化成2+=（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．()nx m p注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．1.把x ＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程20ax bx c ++=（a≠0）的求根公式．2.用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．3.用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a ，b ，c 的值（注意符号）；②求出24b ac -的值（若240b ac -<，方程无实数根）；③在240b ac -≥的前提下，把a 、b 、c 的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②240b ac -≥．1.因式分解法解一元二次方程的意义②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（24b ac ∆=-）判断方程的根的情况．一元二次方程20ax bx c ++=（a≠0）的根与24b ac ∆=-有如下关系：①当0∆>时，方程有两个不相等的两个实数根；②当0∆=时，方程有两个相等的两个实数根；③当0∆<时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．一元二次方程根的情况与判别式的关系 1.当240b ac ->时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根；2.当240b ac -=时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有1个（两个相等的）实数根；3.当240b ac -<时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠没有实数根．根与系数关系 1.若二次项系数为1，常用以下关系：12，x x 是方程20x px q ++=的两根时，12x x p +=-，12x x q =，反过来可得12()p x x =-+，12q x x =，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．2.若二次项系数不为1，则常用以下关系：12，x x 是一元二次方程20ax bx c ++=（a≠0）的两根时，12b x x a +=-，12c x x a=，反过来也成立，即12()b x x a =-+，12c x x a=．3.常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，2212x x +等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．利用一元二次方程解决实际列一元二次方程解应用题的“六字诀”1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．1.类型1：如图1所示的矩形ABCD长为a，宽为b，空白“回形”道路的宽为x，则阴影部分的面积为()(--．a xb x22)2.类型2：如图2所示的矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则空白部分的面积为()()--．a xb x3.类型3：如图3所示的矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则4块空白部分的面积之和可转化为()()--．a xb x图1 图2 图31.重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场1）支球队比赛，∴1支球队需要比（的一元二次方程的一个根，．＜＜．＜＜解得，＝．＜＜＜＜，＜．①若，则＝，＝，时，（×9（x∴或或，∴或或，当时，当时，当时，6+6+2+，﹣，然后计算代数式＝或﹣，2+，﹣，2+，﹣，4+2+2﹣＝6+．►考向三解一元二次方程-配方法6．（2023•新疆）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0配方后得到的方程是（ ）A．（x+6）2＝28B．（x﹣6）2＝28C．（x+3）2＝1D．（x﹣3）2＝1【思路点拨】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．【规范解答】解：x2﹣6x+8＝0，x2﹣6x＝﹣8，x2﹣6x+9＝﹣8+9，（x﹣3）2＝1，故选：D．【真题剖析】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．7．（2022•无锡）（1）解方程：x2+6x﹣1＝0；（2）解不等式组：．【思路点拨】（1）用配方法解方程即可；（2）求出每个不等式的解集，再找公共解集即可．【规范解答】解：（1）∵x2+6x﹣1＝0，∴（x+3）2＝10，∴x+3＝或x+3＝﹣，∴x1＝﹣3，x2＝﹣﹣3；（2）解不等式①得：x≤2，解不等式②得：x＞﹣3，∴不等式组的解集为﹣3＜x≤2．【真题剖析】本题考查解一元二次方程和解一元一次不等式组，解题的关键是掌握配方法和求公共解集的方法．8．（2022•徐州）（1）解方程：x2﹣2x﹣1＝0；（2）解不等式组：．【思路点拨】（1）方程移项后，利用完全平方公式配方，开方即可求出解；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．【规范解答】解：（1）方程移项得：x2﹣2x＝1，配方得：x2﹣2x+1＝2，即（x﹣1）2＝2，开方得：x﹣1＝±，解得：x1＝1+，x2＝1﹣；（2），由①得：x≥1，由②得：x＞2，则不等式组的解集为x＞2．【真题剖析】此题考查了解一元一次不等式组，以及解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握不等式组的解法及方程的解法是解本题的关键．►考向四解一元二次方程-公式法9．（2023•台湾）利用公式解可得一元二次方程式3x2﹣11x﹣1＝0 的两解为a、b，且a＞b，求a值为何（ ）A．B．C．D．【思路点拨】利用公式法即可求解．【规范解答】解：3x2﹣11x﹣1＝0，这里a＝3，b＝﹣11，c＝﹣1，∴Δ＝（﹣11）2﹣4×3×（﹣1）＝133＞0，∴x＝＝，∵一元二次方程式3x2﹣11x﹣1＝0 的两解为a、b，且a＞b，∴a的值为．故选：D．【真题剖析】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，能熟练运用公式法解答方程是解此题的关键．10．（2022•东营）一元二次方程x2+4x﹣8＝0的解是（ ）A．x1＝2+2，x2＝2﹣2B．x1＝2+2，x2＝2﹣2C．x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2D．x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2【思路点拨】根据公式法解一元二次方程的步骤求解即可．【规范解答】解：∵a＝1，b＝4，c＝﹣8，∴Δ＝42﹣4×1×（﹣8）＝48＞0，则x＝＝＝﹣2±2，∴x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2，故选：D．【真题剖析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解时，＝时，＝＝　．＝．＝．【思路点拨】（1）先根据数轴确定（2）根据方程的系数特点，选择配方法、公式法或因式分解法．＝＝＝1±．1+，﹣；±2．2+2，2；＝（2x ﹣y ）2+4x ﹣2y +x 2+4x +3＝（2x ﹣y ）2+2（2x ﹣y ）+1﹣1+x 2+4x +4﹣4+3＝[（2x ﹣y ）2+2（2x ﹣y ）+1]+（x 2+4x +4）﹣2＝（2x ﹣y +1）2+（x +2）2﹣2，∵x ，y 均为实数，∴（2x ﹣y +1）2≥0，（x +2）2≥0，∴原式W ≥﹣2，即原式的W 的最小值为：﹣2，解法二：由题意5x 2+（8﹣4y ）x +（y 2﹣2y +3﹣W ）＝0，∵x 为实数，∴（8﹣4y ）2﹣20（y 2﹣2y +3﹣W ）≥0，即5W ≥（y +3）2﹣10≥﹣10，∴W ≥﹣2，∴W 的最小值为：﹣2，故答案为：﹣2．【真题剖析】本题考查配方法的应用及偶次幂的非负性，利用配方法把原式整理为“平方+常数”的形式是解题的关键．15．（2022•乐山）已知m 2+n 2+10＝6m ﹣2n ，则m ﹣n ＝　4　．【思路点拨】根据完全平方公式得出m 和n 的值即可得出结论．【规范解答】解：∵m 2+n 2+10＝6m ﹣2n ，∴m 2﹣6m +9+n 2+2n +1＝0，即（m ﹣3）2+（n +1）2＝0，∴m ＝3，n ＝﹣1，∴m ﹣n ＝4，故答案为：4．【真题剖析】本题主要考查完全平方公式，根据完全平方公式得出m 和n 的值是解题的关键．►考向七 根的判别式解题技巧/易错易混/特别提醒1.当240b ac ->时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根；2.当240b ac -=时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有1个（两个相等的）实数根；3.当240b ac -<时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠没有实数根．16．（2023•眉山）关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m ﹣2＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）．﹣　．﹣．﹣．＜≤＜且≤且≤，≤且是方程的两个实数根，且+＝﹣，求，由+＝﹣进行变形直接代入得到∵+＝＝＝﹣，∴，整理得＝．﹣，＝．也考查了根的判别式．【思路点拨】设每月盈利的平均增长率是x，利用5月份盈利＝3月份盈利×（1+每月盈利的平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【规范解答】解：设每月盈利的平均增长率是x，根据题意得：5000（1+x）2＝7200，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去），∴每月盈利的平均增长率是20%．故答案为：20%．【真题剖析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．24．（2023•东营）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？（2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．【思路点拨】（1）根据BC＝栅栏总长﹣2AB，再利用矩形面积公式即可求出；（2）把S＝650代入x（72﹣2x）中函数解析式中，解方程，取在自变量范围内的值即可．【规范解答】解：（1）设矩形ABCD的边AB＝xm，则边BC＝70﹣2x+2＝（72﹣2x）m．根据题意，得x（72﹣2x）＝640，化简，得x2﹣36x+320＝0，解得x1＝16，x2＝20，当x＝16时，72﹣2x＝72﹣32＝40（m），当x＝20时，72﹣2x＝72﹣40＝32（m）．答：当羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为640m2的羊圈；（2）答：不能，理由：由题意，得x（72﹣2x）＝650，化简，得x2﹣36x+325＝0，Δ＝（﹣36）2﹣4×325＝﹣4＜0，∴一元二次方程没有实数根．∴羊圈的面积不能达到650m2．【真题剖析】本题考查了一元二次方程的应用，找到周长等量关系是解决本题的关键．1．（2023•赤峰）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0时，配方后正确的是（ ）A．（x+2）2＝3B．（x+2）2＝17C．（x﹣2）2＝5D．（x﹣2）2＝17【思路点拨】先把﹣1移到方程的右边，然后方程两边都加4，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可．【规范解答】解：∵x2﹣4x﹣1＝0，∴x2﹣4x＝1，∴x2﹣4x+4＝1+4，∴（x﹣2）2＝5．故选：C．【真题剖析】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n（n≥0）的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．2．（2023•福建）根据福建省统计局数据，福建省2020年的地区生产总值为43903.89亿元，2022年的地区生产总值为53109.85亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（ ）A．43903.89（1+x）＝53109.85B．43903.89（1+x）2＝53109.85C．43903.89x2＝53109.85D．43903.89（1+x2）＝53109.85【思路点拨】设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据福建省2020年的地区生产总值为43903.89亿元，2022年的地区生产总值为53109.85亿元，据此列方程．【规范解答】解：设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意得，43903.89（1+x）2＝53109.85，故选：B．【真题剖析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．3．（2023•广西）据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（ ）A．3.2（1﹣x）2＝3.7B．3.2（1+x）2＝3.7C．3.7（1﹣x）2＝3.2D．3.7（1+x）2＝3.2【思路点拨】根据2020年的人均可支配收入×（1+年平均增长率）2＝2022年的人均可支配收入，列出一元二次方程即可．【规范解答】解：由题意得：3.2（1+x）2＝3.7，故选：B．【真题剖析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．A．5m B．70m【思路点拨】设小路的宽是x m根据花圃的面积是3600m2，可列出关于【规范解答】解：设小路的宽是﹣|+（）（））求不等式组的解集．）先化简，再求值（+÷，其中﹣|+（）（）2﹣4×+22﹣2+2）（+÷＝∴x＝3，∴原式＝3+1＝4．【真题剖析】本题考查了一元二次方程的解，实数的运算，分式的化简和求值，解一元一次不等式，正确地进行运算是解题的关键．9．（2022•齐齐哈尔）解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2．【思路点拨】方程开方转化为一元一次方程，求出解即可．【规范解答】解：方程：（2x+3）2＝（3x+2）2，开方得：2x+3＝3x+2或2x+3＝﹣3x﹣2，解得：x1＝1，x2＝﹣1．【真题剖析】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．10．（2023•无锡）（1）解方程：2x2+x﹣2＝0；（2）解不等式组：．【思路点拨】（1）方程利用公式法求解即可；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【规范解答】解：（1）2x2+x﹣2＝0，∵a＝2，b＝1，c＝﹣2，∴b2﹣4ac＝12﹣4×2×（﹣2）＝17，∴x＝＝，∴，；（2），解不等式①得x＞﹣1，解不等式②得：x＜3，∴不等式组的解集为：﹣1＜x＜3．【真题剖析】本题考查的是解一元二次方程以及解一元一次不等式组，掌握公式法和解一元一次不等式的基本步骤是解答本题的关键．11．（2023•青海）为丰富学生课余生活，提高学生运算能力，数学小组设计了如下的解题接力游戏：（1）解不等式组：；（2）当m取（1）的一个整数解时，解方程x2﹣2x﹣m＝0．【思路点拨】（1）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可；＝＝＝1±，1+，﹣（答案不唯一）．＝，＝，试比较）比较大小：　＜　．（填（2）根据“作差法”即可得到结论．【规范解答】解：（1）M﹣N＝﹣＝＝＝，∵3a＞b＞0，∴3a﹣b＞0，b（b+1）＞0，∴＞0，∴M＞N；（2）﹣＝＝﹣＜0，∴＜．故答案为：＜．【真题剖析】本题考查了配方法的应用，有理数大小的比较，熟练掌握“作差法”是解题的关键．14．（2023•湖北）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0．（1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；（2）设该方程的两个实数根为a，b，若（2a+b）（a+2b）＝20，求m的值．【思路点拨】（1）要证明方程都有两个不相等的实数根，即证明Δ＝b2﹣4ac＞0即可；（2）利用根与系数的关系得a+b＝2m+1，ab＝m2+m，再将（2a+b）（a+2b）＝20变形可得2（a+b）2+ab ＝20，将a+b，ab的代入可得关于m的一元二次方程，求解即可．【规范解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4（m2+m）＝4m2+4m+1﹣4m2﹣4m＝1＞0，∴无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；（2）解：∵该方程的两个实数根为a，b，∴a+b＝＝2m+1，ab＝＝m2+m，∵（2a+b）（a+2b）＝2a2+4ab+ab+2b2＝2（a2+2ab+b2）+ab＝2（a+b）2+ab，∴2（a+b）2+ab＝20，∴2（2m+1）2+m2+m＝20，整理得：m2+m﹣2＝0，解得：m1＝﹣2，m2＝1，∴m的值为﹣2或1．）的两根时，，．﹣，＝．﹣　﹣　．，求的值．﹣，﹣，将其代入﹣，﹣，结合（的值，再将其代入＝中，即可求出结论．﹣，﹣；﹣，﹣；∴m+n＝﹣，mn＝﹣，∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝+1＝；（3）∵实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0，且s≠t，∴s，t是一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根，∴s+t＝﹣，st＝﹣，∵（t﹣s）2＝（t+s）2﹣4st＝（﹣）2﹣4×（﹣）＝，∴t﹣s＝±，∴＝＝＝±．【真题剖析】本题考查根与系数的关系，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．16．（2023•郴州）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；（2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？【思路点拨】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，由2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人，列出方程可求解；（2）设5月份后10天日均接待游客人数是a万人，由增长率不会超过前两个月的月平均增长率，列出不等式，即可求解．【规范解答】解：（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，由题意可得：1.6（1+x）2＝2.5，解得：x＝25%，x＝﹣（不合题意舍去），答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%；（2）设5月份后10天日均接待游客人数是a万人，由题意可得：2.125+10a≤2.5（1+25%），解得：a≤0.1，答：5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人．【真题剖析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，找到正确的数量关系是解题的关键。

2022中考真题分类9——一元二次方程一、方程的解1. （2022·青海）已知关于x 的方程230x mx +=+的一个根为1x =，则实数m 的值为（ ） A ．4 B ．4− C ．3 D ．3−【答案】B【分析】根据方程根的定义，将1x =代入方程，解出m 的值即可． 【详解】解：关于x 的方程230x mx +=+的一个根为1x =， 所以130++=m ， 解得4m =−． 故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握由方程的根求待定系数的方法是将根代入方程求解．2. （2022·湖南益阳）若x ＝−1是方程x 2+x +m ＝0的一个根，则此方程的另一个根是（ ） A ．−1 B ．0 C ．1 D ．2【答案】B【分析】根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】设x 2+x +m ＝0另一个根是α， ∴−1+α＝−1， ∴α＝0， 故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程根与系数的关系，本题属于基础题型．3. （2022·广西贵港）若2x =−是一元二次方程220x x m ++=的一个根，则方程的另一个根及m 的值分别是（ ） A ．0，2−B ．0，0C ．2−，2−D ．2−，0【分析】直接把2x =−代入方程，可求出m 的值，再解方程，即可求出另一个根． 【详解】解：根据题意，∵2x =−是一元二次方程220x x m ++=的一个根， 把2x =−代入220x x m ++=，则 2(2)2(2)0m −+⨯−+=，解得：0m =； ∴220x x +=， ∴(2)0x x +=， ∴12x =−，0x =， ∴方程的另一个根是0x =； 故选：B【点睛】本题考查了解一元二次方程，方程的解，解题的关键是掌握解一元二次方程的步骤进行计算．4. （2022·江苏连云港）若关于x 的一元二次方程()2100mx nx m +−=≠的一个解是1x =，则m n +的值是_______．【答案】1【分析】根据一元二次方程解的定义把1x =代入到()2100mx nx m +−=≠进行求解即可． 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程()2100mx nx m +−=≠的一个解是1x =，∴10m n +−=， ∴1m n +=， 故答案为：1．【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键．5. （2022·山东聊城）用配方法解一元二次方程23610x x +−=时，将它化为()2x a b+=的形式，则a b +的值为（ ） A ．103 B ．73C ．2D ．43二、根的判别式6.（2022·四川攀枝花）若关于x的方程20x x m−−=有实数根，则实数m的取值的范围是（）A．14m<B．14m≤C．14m≥−D．14m>−【详解】解析：关于7.（2022·湖北荆州）关于x的方程2320x kx−−=实数根的情况，下列判断正确的是（）A．有两个相等实数根B．有两个不相等实数根C．没有实数根D．有一个实数根【分析】根据根的判别式直接判断即可得出答案． 【详解】解：对于关于x 的方程2320x kx −−=， ∵()22341(2)980k k ∆=−−⨯⨯−=+>， ∴此方程有两个不相等的实数根． 故选B ．【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．8. （2022·江苏淮安）若关于x 的一元二次方程220−−=x x k 没有实数根，则k 的值可以是（ ） A ．2− B ．1− C ．0 D ．1【答案】A【分析】根据根的判别式列出不等式求出k 的范围即可求出答案． 【详解】解：∵一元二次方程220−−=x x k 没有实数根， ∴()()2241440k k ∆=−−⨯⨯−=+<， ∴1k <−， 故选：A.【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ0<时，方程无实数根”是解题的关键．9. （2022·辽宁盘锦）关于x 的一元二次方程m 2x −mx −14＝0有两个相等的实数根，则m＝_____．10. （2022·山东东营）关于x 的一元二次方程（k －1）x 2－2x +1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是_______． 【答案】k ＜2且k ≠1【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k −1≠0且∆＝（−2）2−4（k −1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程（k －1）x 2－2x +1=0有两个不相等的实数根， ∴k －1≠0且∆=（－2）2－4（k －1）＞0， 解得：k ＜2且k ≠1． 故答案为：k ＜2且k ≠1．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根的判别式∆＝b 2−4ac ：当∆＞0，方程有两个不相等的实数根；当∆＝0，方程有两个相等的实数根；当∆＜0，方程没有实数根．11. （2022·四川宜宾）若关于x 的一元二次方程2210ax x 有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．0a ≠ B ．1a >−且0a ≠C ．1a ≥−且0a ≠D ．1a >−【答案】B【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出a ≠0，Δ=22−4a ×（−1）=4+4a ＞0，再求出即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程ax 2+2x −1=0有两个不相等的实数根， ∴a ≠0，Δ=22−4a ×（−1）=4+4a ＞0，解得：a ＞−1且a ≠0， 故选：B ．【点睛】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程ax 2+bx +c =0（a 、b 、c 为常数，a ≠0），当b 2−4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b 2−4ac =0时，方程有两个相等的实数根；当b 2−4ac ＜0时，方程没有实数根．12. （2022·西藏）已知关于x 的一元二次方程（m −1）x 2+2x −3＝0有实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≥23B ．m ＜23C ．m ＞23且m ≠1D ．m ≥23且m ≠1(2=2410m m ⎧−⎨−≠⎩解得：m ≥23且故选D ．【点睛】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数的取值范围．注意不要忽略一元二次13. （2022·四川巴中）对于实数a ，b 定义新运算：2a b ab b =−※，若关于x 的方程1x k =※有两个不相等的实数根，则k 的取值范围（ ） A ．14k >−B ．14k <−C ．14k >−且0k ≠D ．14k ≥−且0k ≠【答案】A【分析】根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等式组求解． 【详解】解：∵1x k =※， ∴2x x k −=， 即20x x k −−=，14. （2022·贵州安顺）定义新运算a b *，对于任意实数a ，b 满足()()1a b a b a b *=+−−，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如43(43)(43)1716*=+−−=−=，若x k x *=（k 为实数） 是关于x 的方程，则它的根的情况是（ ） A ．有一个实根 B ．有两个不相等的实数根 C ．有两个相等的实数根 D ．没有实数根【答案】B【分析】将x k *按照题中的新运算方法展开，可得()()1x k x k x k *=+−−，所以x k x*=可得()()1x k x k x +−−=，化简得：2210x x k −−−=，()()222141145k k ∆=−−⨯⋅−−=+，可得0∆>，即可得出答案.【详解】解：根据新运算法则可得：()()2211x k x k x k x k *=+−−=−−，则x k x *=即为221x k x −−=， 整理得：2210x x k −−−=， 则21,1,1a b c k ==−=−−，可得：()()222141145k k ∆=−−⨯⋅−−=+20k ≥， 2455k ∴+≥；0∴∆>，∴方程有两个不相等的实数根；故答案选：B.【点睛】本题考查新定义运算以及一元二次方程根的判别式.注意观察题干中新定义运算的计算方法，不能出错；在求一元二次方程根的判别式时，含有参数的一元二次方程要尤其注意各项系数的符号.三、韦达定理15. （2022·内蒙古包头）若12,x x 是方程2230x x −−=的两个实数根，则212x x ⋅的值为（ ） A ．3或9− B ．3−或9 C ．3或6− D ．3−或621223x x x x =−122··3x x x x =−【点睛】此题考查了根与系数的关系以及解二元一次方程，正确解出方程进行分类讨论是16. （2022·四川乐山）关于x 的一元二次方程2320x x m −+=有两根，其中一根为1x =，则这两根之积为（ ） A ．13B ．23C ．1D ．13−【详解】解：关于17.（2022·四川宜宾）已知m、n是一元二次方程2250x x+−=的两个根，则22m mn m++的值为（）A．0B．－10C．3D．10【答案】A【分析】根据一元二次方程根与系数关系得出mn=－5，把x=m代入方程得m2+2m−5=0，即m2+2m=5，代入即可求解．【详解】解：∵m、n是一元二次方程2250x x+−=的两个根，∴mn=－5，m2+2m−5=0，∴m2+2m=5，∴22m mn m++=5－5=0，故选：A．【点睛】本题考查代数式求值，一元二次方程根与系数关系，方程解的意义，根据一元二次方程根与系数关系和方程解的意义得出mn=−5，m2+2m=5是解题的关键．18.（2022·山东日照）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且22123 16x x+=，则m=__________．【答案】18−##−0.12519. （2022·贵州黔东南）已知关于x 的一元二次方程220x x a −−=的两根分别记为1x ，2x ，若11x =−，则2212a x x −−的值为（ ）A ．7B ．7−C ．6D ．6−【答案】B【分析】根据根与系数关系求出2x =3，a =3，再求代数式的值即． 【详解】解：∵一元二次方程220x x a −−=的两根分别记为1x ，2x ， ∴1x +2x =2， ∵11x =−， ∴2x =3， ∴1x ·2x =−a =−3， ∴a =3，∴22123917a x x −−=−−=−．故选B ．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数关系，代数式的值，掌握一元二次方程的根与系数关系，代数式的值是解题关键．20. （2022·四川巴中）α、β是关于x 的方程210x x k −+−=的两个实数根，且224ααβ−−=，则k 的值为________．【答案】4−【分析】222()4ααβαααβ−−=−−+=，然后根据方程的解的定义以及一元二次方程根与系数的关系，得到关于k 的一元一次方程，即可解得答案． 【详解】解：∵αβ、是方程210x x k −+−=的根 ∴210k αα−+−=，1αβ+=∴222()114k k ααβαααβ−−=−−+=−+−=−= ∴k =−4 故答案是−4．【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的问题是本题的解题关键．21. （2022·四川眉山）设1x ，2x 是方程2230x x +−=的两个实数根，则2212x x +的值为________． 【答案】10【分析】由根与系数的关系，得到122x x +=−，123x x =−，然后根据完全平方公式变形求值，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，∵1x ，2x 是方程2230x x +−=的两个实数根， ∴122x x +=−，123x x =−，∴2212122212()2(2)2(3)10x x x x x x =+−=−−⨯−=+；故答案为：10．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式变形求值，解题的关键是掌握得到122x x +=−，123x x =−．22. （2022·黑龙江绥化）设1x 与2x 为一元二次方程213202x x ++=的两根，则()212x x −的值为________．23. （2022·四川泸州）已知关于x 的方程()22210x m x m −−+=的两实数根为1x ，2x ，若()()12113++=x x ，则m 的值为（ ）A ．3−B ．1−C ．3−或3D ．1−或324. （2022·湖北鄂州）若实数a 、b 分别满足a 2−4a +3＝0，b 2−4b +3＝0，且a ≠b ，则11a b+的值为 _____．25. （2022·四川内江）已知x 1、x 2是关于x 的方程x 2−2x +k −1＝0的两实数根，且2112x x x x +＝x 12+2x 2−1，则k 的值为 _____．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．26. （2022·内蒙古呼和浩特）已知1x ，2x 是方程220220x x −−=的两个实数根，则代数式321122022−+x x x 的值是（ ）A ．4045B ．4044C ．2022D ．1【答案】A【分析】根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：解：∵1x ，2x 是方程220220x x −−=的两个实数根，∴2112022x x −=，122022x x =−，121x x =+321122022−+x x x ()()()2222211212121220222122022x x x x x x x x x =−+=+=+−=−⨯−4045= 故选A【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．27. （2022·湖北武汉）若关于x 的一元二次方程222410x mx m m −+−−=有两个实数根1x ，2x ，且()()121222217x x x x ++−=，则m =（ ）A ．2或6B ．2或8C ．2D ．62124x x m =−，再代入得方程的一元二次方程1)0≥,∵212122,41x x m x x m m +==−−，又()()121222217x x x x ++−= ∴12122()130x x x x +−−=把212122,41x x m x x m m +==−−代入整理得,28120m m −+=解得,122,6m m == 故选A【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）由根与系数的关系结合12122()130x x x x +−−=，找出关于m 的一元二次方程．28. （2022·四川遂宁）已知m 为方程2320220x x +−=的根，那么32220252022m m m +−+的值为（ ）A ．2022−B ．0C ．2022D ．4044【答案】B【分析】根据题意有2320220m m +−=，即有32320220m m m +−=，据此即可作答． 【详解】∵m 为2320220x x +−=的根据， ∴2320220m m +−=，且m ≠0， ∴32320220m m m +−=，则有原式=322(32022)(32022)000m m m m m +−−+−=−=， 故选：B ．【点睛】本题考查了利用未知数是一元二次方程的根求解代数式的值，由m 为2320220x x +−=得到2320220m m +−=是解答本题的关键．29. （2022·湖北十堰）已知关于x 的一元二次方程22230x x m −−=．(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个实数根分别为α，β，且25αβ+=，求m 的值． 【答案】(1)见解析 (2)1m =±【分析】（1）根据根的判别式24b ac ∆=−，即可判断；（2）利用根与系数关系求出2αβ+=，由25αβ+=即可解出α，β，再根据23m αβ⋅=−，即可得到m 的值．【详解】（1）()22224241(3)412b ac m m ∆=−=−−⨯⋅−=+， ∵2120m ≥， ∴241240m +≥>，∴该方程总有两个不相等的实数根；（2）方程的两个实数根α，β，由根与系数关系可知，2αβ+=，23m αβ⋅=−， ∵25αβ+=， ∴52αβ=−， ∴522ββ−+=， 解得：3β=，1α=−， ∴23133m −=−⨯=−，即1m =±．【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系．30. ．（2022·湖北随州）已知关于x 的一元二次方程()222110x k x k ++++=有两个不等实数根1x ，2x ． (1)求k 的取值范围； (2)若125x x =，求k 的值．）解：关于四、实际应用31. （2022·宁夏）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x ，根据题意列出方程，正确的是（ ） A ．26.2(1)8.9x += B ．28.9(1) 6.2x +=C ．26.2(1)8.9x +=D ．26.2(1) 6.2(1)8.9x x +++=【答案】A【分析】设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x ，根据三月底和五月底92号汽油价格，得出关于x 的一元二次方程即可． 【详解】解：依题意，得26.2(1)8.9x +=． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程解决实际问题的知识，找准数量关系，正确列出一元二次方程式解题关键．32. （2022·江苏南通）李师傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若从1月到3月，每月盈利的平均增长率都相同，则这个平均增长率是（ ） A ．10.5% B ．10%C ．20%D ．21%【答案】B【分析】设每月盈利的平均增长率为x ，根据今年1月盈利3000元，3月盈利3630元，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设每月盈利的平均增长率为x ， 依题意，得：3000（1＋x ）2＝3630，解得：x 1＝0.1＝10%，x 2＝−2.1（不合题意，舍去）． 故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．33. （2022·广西河池）某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x ．则所列方程为( ) A ．30（1+x ）2＝50B ．30（1−x ）2＝50C ．30（1+x 2）＝50D ．30（1−x 2）＝50【答案】A【分析】根据题意和题目中的数据，可以得到()230150x +=，从而可以判断哪个选项是符合题意的．【详解】解：由题意可得，230(1)50x +=，故选：A ．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题．34. （2022·山东泰安）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x 株，则符合题意的方程是（ ） A ．()316210x x −= B ．()316210x −= C ．()316210x x −= D ．36210x =【答案】A【分析】设这批椽的数量为x 株，则一株椽的价钱为3（x −1）文，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：∵这批椽的数量为x 株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，∴一株椽的价钱为3（x −1）文，依题意得：3（x −1）x ＝6210， 故选：A ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．35.（2022·江苏泰州）如图，在长为50m，宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？【答案】4m【分析】根据题意设道路的宽应为x米，则种草坪部分的长为(50−2x)m，宽为(38−2x)m，再根据题目中的等量关系建立方程即可得解．【详解】解：设道路的宽应为x米，由题意得(50−2x)×(38−2x)=1260解得：x1=4，x2=40(不符合题意，舍去)答：道路的宽应为4m．【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是能根据题目中的等量关系建立方程．36.（2022·江苏无锡）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为x m（如图）．(1)若矩形养殖场的总面积为362m，求此时x的值；(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？37.（2022·辽宁沈阳）如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．(1)若所围成矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？(2)矩形框架ABCD面积最大值为______平方厘米．∴当10x =时，S 有最大值，即为150S =； 故答案为：150．【点睛】本题主要考查一元二次方程及二次函数的应用，解题的关键是找准题干中的等量关系．38. （2022·四川眉山）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同． (1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；(2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？等量关系和相应的不等关系，列出正确的方程和不等式．39. （2022·湖北宜昌）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨． (1)求4月份再生纸的产量；(2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加%m ．5月份每吨再生纸的利润比上月增加%2m，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求m 的值； (3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？（3）解：设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y ，5月份再生纸的产量为a 吨， 21200(1)(1)(125%)1200(1)y a y y a +⋅+=+⨯+⋅∴()2120011500y +=答：6月份每吨再生纸的利润是1500元．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意，列出方程求解是解题的关键．40. （2022·辽宁朝阳）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y （件）与每件售价x （元）之间存在一次函数关系（其中8≤x ≤15，且x 为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件． (1)求y 与x 之间的函数关系式．(2)若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？ (3)设该商店销售这种消毒用品每天获利w （元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)5150y x =−+ (2)13(3)每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．【分析】（1）根据给定的数据，利用待定系数法即可求出y 与x 之间的函数关系式； （2）根据每件的销售利润×每天的销售量=425，解一元二次方程即可；（3）利用销售该消毒用品每天的销售利润=每件的销售利润×每天的销售量，即可得出w 关于x 的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．【详解】（1）解：设y 与x 之间的函数关系式为()0y kx b k =+≠，根据题意得：91051195k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：5150k b =−⎧⎨=⎩， ∴y 与x 之间的函数关系式为5150y x =−+； （2）解：（−5x +150）（x −8）=425， 整理得：2383450x x −+=，解得：1213,25x x ==， ∵8≤x ≤15，∴若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元； （3）解：根据题意得：()()()851508w y x x x =−=−+− 251901200x x =−+− ()2519605x =−−+∵8≤x ≤15，且x 为整数，当x <19时，w 随x 的增大而增大， ∴当x =15时，w 有最大值，最大值为525．答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，解题的关键是找准题目的等量关系，41. （2022·辽宁丹东）丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y （件）与销售单价x （元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：(1)直接写出y 与x 的函数关系式；(2)若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？ (3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)y ＝−2x +160 (2)销售单价应定为50元(3)当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润1248元【分析】（1）设每天的销售数量y （件）与销售单价x （元/件）之间的关系式为y ＝kx +b ，用待定系数法可得y ＝−2x +160；（2）根据题意得（x−30）•（−2x+160）＝1200，解方程并由销售单价不低于成本且不高于54元，可得销售单价应定为50元；（3）设每天获利w元，w＝（x−30）•（−2x+160）＝−2x2+220x−4800＝−2（x−55）2+1250，由二次函数性质可得当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．【详解】（1）解：设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，把（35，90），（40，80）代入得：3590 4080k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得2160kb=−⎧⎨=⎩，∴y＝−2x+160；（2）根据题意得：（x−30）•（−2x+160）＝1200，解得x1＝50，x2＝60，∵规定销售单价不低于成本且不高于54元，∴x＝50，答：销售单价应定为50元；（3）设每天获利w元，w＝（x−30）•（−2x+160）＝−2x2+220x−4800＝−2（x−55）2+1250，∵−2＜0，对称轴是直线x＝55，而x≤54，∴x＝54时，w取最大值，最大值是−2×（54−55）2+1250＝1248（元），答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．【点睛】本题考查一次函数，一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和一元二次方程．42.（2022·湖北荆门）某商场销售一种进价为30元/个的商品，当销售价格x（元/个）满足40＜x＜80时，其销售量y（万个）与x之间的关系式为y＝−110x+9．同时销售过程中的其它开支为50万元．(1)求出商场销售这种商品的净利润z（万元）与销售价格x函数解析式，销售价格x定为多少时净利润最大，最大净利润是多少？(2)若净利润预期不低于17．5万元，试求出销售价格x的取值范围；若还需考虑销售量尽可能大，销售价格x应定为多少元？43. （2022·辽宁锦州）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现．，日销售量y （个）与销售单价x （元）之间满足如图所示的一次函数关系． (1)求y 与x 的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）；(2)若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？(3)设该玩具日销售利润为w 元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？【答案】(1)2100y x =−+； (2)40元或20元；(3)当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元；【分析】（1）直接由待定系数法，即可求出一次函数的解析式；（2）根据题意，设当天玩具的销售单价是x 元，然后列出一元二次方程，解方程即可求出答案；（3）根据题意，列出w 与x 的关系式，然后利用二次函数的性质，即可求出答案． 【详解】（1）解：由图可知，设一次函数的解析式为y kx b =+， 把点（25，50）和点（35，30）代入，得 25503530k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得2100k b =−⎧⎨=⎩， ∴一次函数的解析式为2100y x =−+；（2）解：根据题意，设当天玩具的销售单价是x 元，则(10)(2100)600x x −⨯−+=，解得：140x =，220x =，∴当天玩具的销售单价是40元或20元； （3）解：根据题意，则(10)(2100)w x x =−⨯−+，整理得：22(30)800w x =−−+； ∵20−<，∴当30x =时，w 有最大值，最大值为800；∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，一次函数的应用，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握题意，正确的找出题目的关系，从而进行解题．44. （2022·贵州毕节）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A 、B 两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价−进货价）(1)网店第一次用850元购进A 、B 两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数； (2)第一次购进的冰墩嫩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A 、B 两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？(3)冬奥会临近结束时，网店打算把B 款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B 款钥匙扣平均每天销售利润为90元？ 【答案】(1)A 、B 两款钥匙扣分别购进20件和10件(2)购进A 款冰墩墩钥匙扣40件，购进B 款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大，最大为1080元(3)销售价定为每件30元或34元时，才能使B 款钥匙扣平均每天销售利润为90元【分析】(1)设A 、B 两款钥匙扣分别购进x 和y 件，根据“用850元购进A 、B 两款钥匙扣2022中考真题分类因赛理科31 共30件”列出二元一次方程组即可求解； (2)设购进A 款冰墩墩钥匙扣m 件，则购进B 款冰墩墩钥匙扣(80−m )件，根据“进货总价不高于2200元”列出不等式3025(80)2200m m 求出40m ≤；设销售利润为w 元，得到3960w m ，w 随着m 的增大而增大，结合m 的范围由此即可求出最大利润；(3)设B 款冰墩墩钥匙扣降价a 元销售，则平均每天多销售2a 件，每天能销售(4+2a )件，每件的利润为(12−a )元，由“平均每天销售利润为90元”得到(4+2a )(12−a )=90，求解即可．【详解】（1）解：设A 、B 两款钥匙扣分别购进x 和y 件，由题意可知：303025850x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解出：2010x y =⎧⎨=⎩， 故A 、B 两款钥匙扣分别购进20和10件．（2）解：设购进A 款冰墩墩钥匙扣m 件，则购进B 款冰墩墩钥匙扣(80−m )件， 由题意可知：3025(80)2200m m ， 解出：40m ≤，设销售利润为w 元，则(4530)(3725)(80)3960w m m m ，∴w 是关于m 的一次函数，且3＞0，∴w 随着m 的增大而增大，当40m =时，销售利润最大，最大为3409601080元，故购进A 款冰墩墩钥匙扣40件，购进B 款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大，最大为1080元．（3）解：设B 款冰墩墩钥匙扣降价a 元销售，则平均每天多销售2a 件，每天能销售(4+2a )件，每件的利润为(12−a )元，由题意可知：(4+2a )(12−a )=90，解出：a 1=3，a 2=7，故B 款冰墩墩钥匙扣售价为34元或30元一件时，平均每天销售利润为90元．【点睛】本题考察了二元一次方程组、一元一次不等式的应用、一次函数增减性求利润最大问题及一元二次方程的应用，属于综合题，读懂题意是解决本题的关键．。

专题06一元一次方程【专题目录】技巧1：巧用一元一次方程求字母系数的值技巧2：特殊一元一次方程的解法技巧【题型】一、一元一次方程概念【题型】二、一元一次方程的解法【题型】三、一元一次方程应用之配套问题和工程问题【题型】四、一元一次方程应用之销售盈亏问题【题型】五、一元一次方程应用之比赛积分问题【考纲要求】1、了解等式、方程、一元一次方程的概念，掌握等式的基本性质．2、掌握一元一次方程的标准形式，熟练掌握一元一次方程的解法．3、会列方程(组)解决实际问题.【考点总结】一、一元一次方程【注意】一元一次方程的特征1.只含有一个未知数x2.未知数x 的次数都是13.等式两边都是整式，分母中不含未知数。

整式方程一元一次方程概念只含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的整式方程，叫做一元一次方程。

其一般形式是ax +b =0(a,b 为常数，且a ≠0).解法解法依据是等式的基本性质.性质①：若a =b ，则a ±m =b ±m ；性质②：若a =b ，则am =bm ；若a =b ，则db d a (d ≠0).解法的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1.2．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)未知数的系数化为1.【技巧归纳】技巧1：巧用一元一次方程求字母系数的值【类型】一、利用一元一次方程的定义求字母系数的值1．已知方程(m －2)x |m|－1＋16＝0是关于x 的一元一次方程，求m 的值及方程的解．2．已知方程(3a ＋2b)x 2＋ax ＋b ＝0是关于x 的一元一次方程，求方程的解．3．已知(m 2－1)x 2－(m ＋1)x ＋8＝0是关于x 的一元一次方程，求式子199(m ＋x)(x －2m)＋9m ＋17的值．【类型】一、利用方程的解求字母系数的值题型1：利用方程的解的定义求字母系数的值4．关于x 的方程a(x －a)＋b(x ＋b)＝0有无穷多个解，则()A ．a ＋b ＝0B ．a －b ＝0C ．ab ＝0D .a b＝05．关于x 的方程(2a ＋b)x －1＝0无解，则ab 是()A ．正数B ．非正数C ．负数D ．非负数6．已知关于x 的方程9x －3＝kx ＋14有整数解，那么满足条件的整数k ＝__________．7．已知x ＝12是方程6(2x ＋m)＝3m ＋2的解，求关于y 的方程my ＋2＝m(1－2y)的解．8．当m 取什么整数时，关于x 的方程12mx －53＝题型2：利用两个方程同解或解具有已知倍数关系确定字母系数的值9．如果方程x －43－8＝－x ＋22的解与关于x 的方程2ax －(3a ＋5)＝5x ＋12a ＋20的解相同，确定字母a 的值．题型3：利用方程的错解确定字母系数的值10．小马虎解方程2x －13＝x ＋a 2－1，去分母时，方程右边的－1忘记乘6，其他步骤都正确，这时方程的解为x ＝2，试求a 的值，并正确解方程．参考答案1．解：－1＝1，－2≠0，所以m ＝－2.将m ＝－2代入原方程，得－4x ＋16＝0，解得x ＝4.2.解：＋2b ＝0，，所以3a ＝－2b ，即a ＝－23b.当3a ＋2b ＝0时，原方程可化为ax ＋b ＝0，则x ＝－b a.将a ＝－23b 代入方程的解中，得x ＝－b a ＝32.3．解：2－1＝0，＋1≠0，所以m ＝1.当m ＝1时，原方程可化为－2x ＋8＝0，解得x ＝4.当m ＝1，x ＝4时，199(m ＋x)(x －2m)＋9m ＋17＝199×5×2＋9×1＋17＝2016.4．A 5.B 6.8，－8，10或267．解：将x ＝12代入方程6(2x ＋m)＝3m ＋2，得2×12＋3m ＋2，解得m ＝－43.将m ＝－43代入方程my ＋2＝m(1－2y)，得－43y ＋2＝－43(1－2y)，解得y ＝56.点拨：已知一元一次方程的解，确定关于某一个未知数的方程中另外一个字母的值，只需把未知数的值(方程的解)代入原方程，即可得出含另一个字母的方程，通过求解确定另一个字母的值，从而进行关于其他字母的计算．8．解：原方程可化为12mx －53＝12x －23，所以12(m －1)x ＝1，所以(m －1)x ＝2.因为x 必须为正整数且m 为整数，故m －1＝1或2.当m －1＝1，即m ＝2时，x ＝2；当m －1＝2，即m ＝3时，x ＝1.所以当m ＝2或3时，方程的解为正整数．9．解：x －43－8＝－x ＋22，去分母，得2(x －4)－48＝－3(x ＋2)．去括号、移项、合并同类项，得5x ＝50.系数化为1，得x ＝10.把x ＝10代入方程2ax －(3a ＋5)＝5x ＋12a ＋20，得2a×10－(3a ＋5)＝5×10＋12a ＋20，去括号、移项，得20a －3a －12a ＝5＋50＋20.合并同类项，得5a ＝75，系数化为1，得a ＝15.10．解：由题意得4x －2＝3x ＋3a －1，移项、合并同类项，得x ＝3a ＋1.因为x ＝2，所以2＝3a ＋1，则a ＝13.当a ＝13时，原方程为2x －13＝x ＋132－1，解得x ＝－3.技巧2：特殊一元一次方程的解法技巧【类型】一、分子、分母含小数的一元一次方程题型1：巧化分母为11．解方程：4x －1.60.5－3x －5.40.2＝1.8－x 0.1.2．解方程：2x ＋10.25－x －20.5＝－10.题型2：巧化同分母3．解方程：x 0.6－0.16－0.5x 0.06＝1.题型3：巧约分去分母4．解方程：4－6x 0.01－6.5＝0.02－2x 0.02－7.5.【类型】二、分子、分母为整数的一元一次方程题型1：巧用拆分法5．解方程：x －12－2x －36＝6－x 3.6．解方程：x 2＋x 6＋x 12＋x 20＝1.题型2：巧用对消法7．解方程：x 3＋x －25＝337－6－3x 15.题型3：巧通分8．解方程：x ＋37－x ＋25＝x ＋16－x ＋44.【类型】三、含括号的一元一次方程题型1：利用倒数关系去括号92－x ＝2.题型2：整体合并去括号10．解方程：x －13x －13（x －9）＝19(x －9)．题型3：整体合并去分母11．解方程：13(x －5)＝3－23(x －5)．题型4：不去括号反而添括号12．解方程：12x －12（x －1）＝23(x －1)．题型5：由外向内去括号13－6＋2＝0.题型6：由内向外去括号14．解方程：243x ＝34x.参考答案1．解：去分母，得2(4x －1.6)－5(3x －5.4)＝10(1.8－x)．去括号、移项、合并同类项，得3x ＝－5.8.系数化为1，得x ＝－2915.点拨：本题将各分数分母化为整数1，从而巧妙地去掉了分母，给解题带来了方便.2．解：去分母、去括号，得8x ＋4－2x ＋4＝－10.移项、合并同类项，得6x ＝－18.系数化为1，得x ＝－3.点拨：由0.25×4＝1，0.5×2＝1，可巧妙地将分母化为整数1.3．解：化为同分母，得0.1x 0.06－0.16－0.5x 0.06＝0.060.06.去分母，得0.1x －0.16＋0.5x ＝0.06.解得x ＝1130.4．解：原方程可化为4－6x 0.01＋1＝0.01－x 0.01.去分母，得4－6x ＋0.01＝0.01－x.解得x ＝45.点拨：本题将第二个分数通过约分处理后，使两个分数的分母相同，便于去分母．5．解：拆项，得x 2－12－x 3＋12＝2－x 3.移项、合并同类项，得x 2＝2.系数化为1，得x ＝4.点拨：方程通过拆项处理后，便于合并同类项，使复杂方程简单化．6．解：x 1.整理得x －x 5＝1.解得x ＝54.点拨：因为x 2＝x －x 2，x 6＝x 2－x 3，x 12＝x 3－x 4，x 20＝x 4－x 5，所以把方程的左边每一项拆项分解后再合并就很简便.7．解：原方程可化为x 3＋x －25＝247＋x －25，即x 3＝247.所以x ＝727.点拨：此题不要急于去分母，通过观察发现－6－3x 15＝x －25，两边消去这一项可避免去分母运算．8．解：方程两边分别通分后相加，得5（x ＋3）－7（x ＋2）35＝2（x ＋1）－3（x ＋4）12.化简，得－2x ＋135＝－x －1012.解得x ＝－36211.点拨：本题若直接去分母，则两边应同乘各分母的最小公倍数420，运算量大容易出错，但是把方程左右两边分别通分后再去分母，会给解方程带来方便．9．解：去括号，得x 4－1－3－x ＝2.移项、合并同类项，得－34x ＝6.系数化为1，得x ＝－8.点拨：观察方程特点，由于32与23互为倒数，因此让32乘以括号内的每一项，则可先去中括号，同时又去小括号，非常简便．10．解：原方程可化为x －13x ＋19(x －9)－19(x －9)＝0.合并同类项，得23x ＝0.系数化为1，得x ＝0.11．解：移项，得13(x －5)＋23(x －5)＝3.合并同类项，得x －5＝3.解得x ＝8.点拨：本题将x －5看成一个整体，通过移项、合并同类项进行解答，这样避免了去分母，给解题带来简便．12．解：原方程可化为12[(x －1)＋1－12(x －1)]＝23(x －1)．去中括号，得12(x －1)＋12－14(x －1)＝23(x －1)．移项、合并同类项，得－512(x －1)＝－12.解得x ＝115.13．解：－2＋2＝0.[来源:学科网]去小括号，得136x －112＝0.移项，得136x ＝112.系数化为1，得x ＝3.14．解：去小括号，得2[43x －23x ＋12]＝34x.去中括号，得43x ＋1＝34x.移项，合并同类项，得712x ＝－1.系数化为1，得x ＝－127.【题型讲解】【题型】一、一元一次方程概念例1、关于x 的一元一次方程224a x m -+=的解为1x =，则a m +的值为（）A ．9B ．8C ．5D ．4【详解】解：因为关于x 的一元一次方程2x a-2+m=4的解为x=1，可得：a-2=1，2+m=4，解得：a=3，m=2，所以a+m=3+2=5，故选：C ．【题型】二、一元一次方程的解法例2、解一元一次方程11(1)123x x +=-时，去分母正确的是（）A ．3(1)12x x +=-B ．2(1)13x x+=-C ．2(1)63x x +=-D ．3(1)62x x+=-【答案】D【分析】根据等式的基本性质将方程两边都乘以6可得答案．【详解】解：方程两边都乘以6，得：3（x +1）＝6﹣2x ，故选：D ．例3、解方程：221123x x x ---=-【答案】27x =【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，依此即可求解．【详解】解：221123x x x ---=-()()6326221x x x --=--636642x x x -+=-+634662x x x -+=-+72x =27x =【题型】三、一元一次方程应用之配套问题和工程问题例4、某车间有22名工人，每人每天可生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉需配2个螺母，为使生产的螺钉和螺母刚好配套，若设x 名工人生产螺钉，依题意列方程为（）A ．1200x ＝2000（22﹣x ）B ．1200x ＝2×2000（22﹣x ）C ．1200（22﹣x ）＝2000xD ．2×1200x ＝2000（22﹣x ）【答案】D【分析】首先根据题目中已经设出每天安排x 个工人生产螺钉，则（22-x ）个工人生产螺母，由1个螺钉需要配2个螺母，可知螺母的个数是螺钉个数的2倍，从而得出等量关系，就可以列出方程．【详解】解：设每天安排x 个工人生产螺钉，则（22-x ）个工人生产螺母，利用一个螺钉配两个螺母．由题意得：2×1200x=2000（22-x ），即2×1200x=2000（22-x ），故选D ．【题型】四、一元一次方程应用之销售盈亏问题例5、随着传统节日“端午节”临近，某超市决定开展“欢度端午，回馈顾客”的活动，将进价为120元一盒的某品牌粽子按标价的8折出售，仍可获利20%，则该超市该品牌粽子的标价为__元．（）A ．180B ．170C ．160D ．150【答案】A【分析】设该超市该品牌粽子的标价为x 元，则售价为80%x 元，根据等量关系：利润=售价﹣进价列出方程，解出即可．【详解】解：设该超市该品牌粽子的标价为x 元，则售价为80%x 元，由题意得：80%x ﹣120=20%×120，解得：x =180．即该超市该品牌粽子的标价为180元．故选：A ．【题型】五、一元一次方程应用之比赛积分问题例6、一张试卷有25道选择题，做对一题得4分，做错一题得-1分，某同学做完了25道题，共得70分，那么他做对的题数是（）A ．17道B ．18道C ．19道D ．20道【答案】C 【分析】设作对了x 道，则错了（25-x ）道，根据题意列出方程进行求解.【详解】设作对了x 道，则错了（25-x ）道，依题意得4x-(25-x)=70，解得x=19故选C.一元一次方程（达标训练）一、单选题1．（2020·浙江·模拟预测）下列各式：①253-+=；②235=3x x x -+；③211x +=；④21=x ；⑤23x +；⑥4x =．其中是一元一次方程的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】根据一元一次方程的定义逐个判断即可【详解】解：①不含未知数，故错②未知数的最高次数为2，故错③含一个未知数，次数为1，是等式且两边均为整式，故对④左边不是整式，故错⑤不是等式，故错⑥含一个未知数，次数为1，是等式且两边均为整式，故对故选：B【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握并理解一元一次方程的定义是解本题的关键2．（2022·浙江温州·三模）解方程2233522x x x x x--+=--，以下去分母正确的是（）A ．22335x x x ---=B ．22335x x x --+=C ．()223352x x x x ---=-D ．()223352x x x x --+=-【答案】D【分析】利用等式的性质在分式方程两边分别乘()2x -即可．【详解】A ，()223352,x x x x +--=-故此选项不符合题意．B ，()223352,x x x x +--=-故此选项不符合题意．C ，()223352,x x x x +--=-故此选项不符合题意．D ，()223352,x x x x +--=-故此选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题主要考查了解分式方程去分母，根据等式的性质在分式方程两边分别乘以分母的最简公分母，熟练掌握等式的性质是解此题的关键．3．（2022·重庆沙坪坝·一模）若关于x 的方程25x a +=的解是2x =，则a 的值为（）A ．9-B ．9C ．1-D ．1【答案】D【分析】把2x =代入方程计算即可求出a 的值．【详解】解：把2x =代入方程得：45a +=，解得1a =．故选：D ．【点睛】本题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．4．（2022·河北石家庄·二模）1x =是下列哪个方程的解（）A ．65x=-B ．2233+=+x x C ．21133x x x x -=--D ．2x x =【答案】D【分析】把x ＝1代入各选项进行验算即可得解．【详解】解：A 、5−1＝4≠6，故本选项错误；B 、2124⨯+=，3136⨯+=，4≠6，故本选项错误；C 、当x =1时，x -1=0即分式的分母为0，故本选项错误；D 、211=，故本选项正确．故选：D ．【点睛】本题考查了方程的解的概念，使方程的左右两边相等的未知数的值是方程的解．5．（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方—九宫图．在如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等，则m 的值是（）A ．5B ．3C ．1-D ．2-【答案】A 【分析】根据幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等列出方程，即可求解．【详解】解：设幻方正中间的数字为a ，依题意得：124a m a ++=++，解得：5m =．故选A ．【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．二、填空题6．（2022·四川达州·二模）方程2x -3=5的解为________.【答案】x =4【分析】根据解一元一次方程的解法求解即可得．【详解】解：2x -3=5，移项得2x =8，系数化为1得：x =4，故答案为：x =4．【点睛】题目主要考查解一元一次方程，熟练掌握方法是解题关键．7．（2022·四川广元·二模）已知：A ，B 在数轴上对应的数分别用a ，b 表示，且2(4)|12|0a b ++-=．若点C 点在数轴上且满足3AC BC =，则C 点对应的数为________．【答案】8或20##20或8【分析】先根据非负数的性质求出a ，b 的值，分C 点在线段AB 上和线段AB 的延长线上两种情况讨论，即可求解．【详解】解：∵2(4)|12|0a b ++-=∴a ＋4＝0，b −12＝0解得：a ＝−4，b ＝12∴A 表示的数是−4，B 表示的数是12设数轴上点C 表示的数为c∵AC ＝3BC∴|c ＋4|＝3|c −12|当点C 在线段AB 上时则c ＋4＝3（12−c ）解得：c ＝8当点C 在AB 的延长线上时则c ＋4＝3（c −12）解得：c ＝20综上可知：C 对应的数为8或20．【点睛】本题考查了非负数的性质，方程的解法，数轴两点之间的距离，运用分类讨论思想方程思想和数形结合思想是解本题的关键．三、解答题8．（2022·四川广元·一模）解方程：2(1)13x x x --=-．【答案】12x =-【分析】先去括号，再移项，合并同类项，最后把未知数的系数化“1”，从而可得答案.【详解】解：去括号，得2213x x x -+=-.移项及合并同类项，得21x =-.系数化为1，得12x =-.【点睛】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握“解一元一次方程的步骤”是解本题的关键.9．（2022·湖南·长沙市长郡双语实验中学二模）“小口罩，大温暖”，为有效防控疫情，缓解基层防疫物资短缺问题，2020年2月10日，福山区首批4万只口罩免费派发．烟台市政府紧急调拨的这批民用口罩包括A ，B 两种不同款型，其中A 型口罩单价100元，B 型口罩单价80元．(1)先进行试点发放，某社区环卫工人共收到A ，B 两种款型的口罩100盒，总价值共计9200元，求免费发放给该社区环卫工人的A 型口罩和B 型口罩各多少盒？(2)我区某街道办事处决定将此项公益活动在其整个街道社区全面铺开，按照试点发放中A ，B 两种款型的数量比共发放2000盒．若该社区人口平均每500人发放A型口罩m盒，B型口罩（328m-）盒．求该街道社区人口总数．【答案】(1)免费发放给该社区环卫工人的A型口罩60盒，B型口罩40盒(2)该街道社区人口总数为50000人【分析】（1）设免费发放给该社区环卫工人的A型口罩x盒，B型口罩y盒，根据题意，列出方程，即可求解；（2）根据题意可得3286040m m-=，从而得到m=12，即可求解．(1)解：设免费发放给该社区环卫工人的A型口罩x盒，B型口罩y盒，依题意得：100100809200x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：6040xy=⎧⎨=⎩．答：免费发放给该社区环卫工人的A型口罩60盒，B型口罩40盒．(2)解：依题意得：328 6040m m-=，解得：m=12，∴m+3m−28=20．∴该街道社区人口总数=200020×500=50000（人）．答：该街道社区人口总数为50000人．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．一元一次方程（提升测评）一、单选题1．（2022·湖北十堰·一模）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数，羊价各是多少？如果我们设合伙人数为x ，则可列方程（）A ．54573x x +=+B ．54573x x -=-C ．45357x x +=+D ．45357x x -=+【答案】A【分析】根据每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，可以列出相应的一元一次方程，本题得以解决．【详解】解：设合伙人数为x ，则可列方程为54573x x +=+；故选：A【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．2．（2022·浙江温州·二模）若代数式()()2132x x +++的值为8，则代数式()()2231x x -+-的值为（）A ．0B ．11C ．7-D ．15-【答案】C【分析】由()()2132x x +++的值为8，求得x =0，再将x =0代入计算可得．【详解】解：∵()()2132x x +++的值为8，∴2x +2+3x +6=8，∴x =0，当x =0时，()()2231x x -+-=2×(-2)+3×(-1)=-7．故选：C ．【点睛】本题考查了解一元一次方程，代数式的求值，掌握解一元一次方程的解法是解题的关键．3．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）已知m n =，下列等式不成立的是（）A ．2m n m +=B ．0-=m nC ．22m x n x -=-D ．235m n n-=【答案】D【分析】根据等式的性质和合并同类项即可判断．【详解】由m n =，得2m n m m m +=+=，故A 成立；0m n m m -=-=，故B 成立；根据等式的性质，等式两边同加或减一个等式，左右两边仍相等，22m x n x -=-，故C 成立；2323m n n n n -=-=-，故D 不成立；故选D ．【点睛】本题考查了等式的性质和合并同类项，熟记运算法则是解题的关键．4．（2022·河北保定·一模）已知分式：341(32a a a a -+---■的某一项被污染，但化简的结果等于2a +，被污染的项应为（）A ．0B ．1C ．23a a --D ．32a a --【答案】B【分析】设被污染的部分为p ，然后根据等式的性质解关于p 的方程，求出p 的表达式即可．【详解】解：设被污染的部分为p ，则341()(232a a p a a a -+-=+--，∴241()232a p a a a --=+--，∴()()()132222a p a a a a --=+⨯--+，∴3122a p a a -=+--，∴22a p a -=-，∴1p =．故选：B ．【点睛】本题主要考查了分式的混合运算和利用等式的性质解一元一次方程，解题的关键是根据等式的性质解方程和掌握分式混合运算顺序和运算法则．5．（2022·重庆·三模）下列四种说法中正确的有（）①关于x 、y 的方程24107x y +=存在整数解．②若两个不等实数a 、b 满足()()244222a b a b +=+，则a 、b 互为相反数．③若2()4()()0a c a b b c ---=-，则2b a c =+．④若222x yz y xz z xy ---==，则x y z ==．A ．①④B ．②③C ．①②④D ．②③④【答案】B【分析】将24x y +提公因式2得2(2)x y +，由x 、y 为整数，则2(3)x y +为偶数，因为107为奇数，即原等式不成立，即可判断①；将442222()()a b a b +=+，整理得222()0a b -=，即得出22a b =，由于实数a 、b 不相等，即得出a 、b 互为相反数，故可判断②；2()4()()0a c a b b c ---=-整理得2(2)0a c b +-=，即得20a c b +-=，即2a c b +=，故可判断③；由222x yz y xz z xy ---==，得出2222x xz y yz y xy z xz ⎧+=+⎨+=+⎩，即可变形为222211()()2211()()22x z y z y x z x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩，可以得出x y z ==或0x y z ++=，故可判断④．【详解】解：∵262(3)x y x y +=+，∴如果x 、y 为整数，那么2(3)x y +为偶数，∵107为奇数，∴24107x y +=不存在整数解，故①错误；442222()()a b a b +=+444422222a b a b a b +++=442220a b a b +-=222()0a b -=∴22a b =，∵实数a 、b 不相等，∴a 、b 互为相反数，故②正确；2()4()()0a c ab bc ---=-222244440a ac c ab ac b bc -+-++-=()()22440a cb ac b +-++=2(2)0a cb +-=∴20ac b +-=，即2a c b +=，故③正确；∵222x yz y xz z xy---==∴2222x xz y yz y xy z xz ⎧+=+⎨+=+⎩，∴2222222211441144x xz z y yz z y xy x z xz x ⎧++=++⎪⎪⎨⎪++=++⎪⎩，即222211()()2211()()22x z y z y x z x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩，∴11()2211()22x z y z y x z x ⎧+=±+⎪⎪⎨⎪+=±+⎪⎩，∴x y z ==或0x y z ++=，故④不一定正确．综上可知正确的有②③．故选B ．【点睛】本题考查因式分解，整式的混合运算．熟练掌握完全平方公式是解题关键．二、填空题6．（2022·山东临沂·一模）如图，用一块长7.5cm 、宽3cm 的长方形纸板，和一块长6cm 、宽1.5cm 的长方形纸板，与一块小正方形纸板以及另两块长方形纸板，恰好拼成一个大正方形，则小正方形的边长是______cm ，拼成的大正方形的面积是______cm 2．【答案】 4.581【分析】设小正方形的边长为x cm ，然后表示出大正方形的边长，利用正方形的面积相等列出方程求得小正方形的边长，然后求得大正方形的边长即可求得面积．【详解】解：设小正方形的边长为x cm ，则大正方形的边长为(6+7.5-x ）cm 或（x +3+1.5）cm ，根据题意得：6+7.5-x =x +3+1.5，解得：x =4.5，则大正方形的边长为6+7.5-x =6+7.5-4.5=9(cm ）,大正方形的面积为92=81(cm 2),故答案为：4.5；81．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，设出小正方形的边长并表示出大正方形的边长．7．（2022·上海静安·1=的解是________．【答案】x =1【分析】首先方程两边同时平方，把无理方程化为有理方程，再解方程即可求得【详解】解：方程两边同时平方，得3x -2=1，解得x =1，经检验，x =1是原方程的解，所以，原方程的解为x =1．故答案为：x =1．【点睛】本题考查了无理方程的解法，熟练掌握和运用无理方程的解法是解决本题的关键，注意要检验．三、解答题8．（2022·河北·育华中学三模）如图，数轴上a 、b 、c 三个数所对应的点分别为A 、B 、C ，已知b 是最小的正整数，且a 、c 满足2(6)20c a -++＝．(1)①直接写出数a 、c 的值，；②求代数式222a c ac +-的值；(2)若将数轴折叠，使得点A 与点C 重合，求与点B 重合的点表示的数；(3)请在数轴上确定一点D ，使得AD ＝2BD ，则D 表示的数是．【答案】(1)①-2，6；②64(2)3(3)4或0【分析】（1）①根据平方和绝对值的非负性即可求出a 和c ，②把a 和c 的值代入222a c ac +-求值即可；（2）根据题意，求出b 的值，然后求出线段AC 的中点，即可求出结论；（3）设点D 表示的数为x ，然后根据点D 的位置分类讨论，分别根据2AD BD =列出方程即可分别求出结论．（1）解：①∵()2620c a -++=，∴20a +=，60c -=，解得2a =-，6c =．故答案为：-2，6．②把2a =-，6c =代入222a c ac +-，2224362464a c ac +-=++=；（2）解：∵b 是最小的正整数，∴1b =，∴线段AC 的中点为()2622-+÷=，设与点B 重合的点表示的数为n ，则(1+n )÷2=2，解得：n =3．∴与点B 重合的点表示的数是3．故答案为：3．（3）解：因为a =-2，b =1，c =6，设点D 表示的数为x ，若2AD BD =，分三种情况讨论：①若点D 在点A 的左侧，则x <-2且()221x x --=-，解得4x =(不符合题意，舍去)；②若点D 在点A 、B 之间，则-2<x <1且()()221x x --=-，解得0x =；③若点D 在点B 右侧，则x >1且x -(-2)=2(x -1)，解得：x =4．综上所述，点D 表示的数是0或4．故答案为：0或4．【点睛】此题考查了非负性的应用、数轴上两点之间的距离、中点公式和一元一次方程的应用，解题的关键是掌握平方、绝对值的非负性、数轴上两点之间的距离公式、中点公式和等量关系．。

第七讲 一元二次方程 知识点一：一元二次方程及其解法1. 一元二次方程：等号的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二的方程 叫做一元二次方程。

2. 一元二次方程的一般形式：）为常数，（0,,2≠++=a c b a c bx ax y 。

3. 一元二次方程的解法：知识点二：一元二次方程)0,,(02≠=++a c b a c bx ax 为常数，根的判别式 1.当,042≥-ac b 时，方程有两个不相等的实数根。

2.当042=-ac b 时，方程有两个相等的实数根。

3.当042 ac b -时，方程没有实数根。

知识点三：根与系数的关系若关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根分别为21,x x ，则ab x x -=+21，a cx x =⋅21知识点四：用一元二次方程解决实际问题的步骤用一元二次方程解决实际问题的步骤可归结为六个字：“设，找，列，解，验，答”，即（1）设元；（2）找等量关系；（3）列方程；（4）解方程；（5）检验；（6）写答案。

第八讲 分式方程知识点一：分式方程：分母中含有未知数的方程叫分式方程。

知识点二：增根（1）定义：在方程变形的过程中，产生的不适合原方程的根叫做方程的增根，增根应该舍去。

（2）验根：可以把求出的根代入原方程检验，如果求出的根使原方程的一个字母的值是0，那么这个根就是方程的增根。

知识点三：解分式方程的基本思想和步骤 （1）基本思想：分式方程−−−→−去分母转化整式方程。

（2）一般步骤：①去分母，化为整式方程②解整式方程③写出分式方程的根。

知识点四：分式方程的应用分式方程的应用题与列其他方程解应用题一样，不同之处是所列方程为分式方程且必须验根。

用分式方程解决实际问题的步骤可归结为六个字：“设，找，列，解，验，答”，即（1）设元；（2）找等量关系；（3）列方程；（4）解方程；（5）检验；（6）写答案。

第九讲 一元一次不等式(组) 知识点一：不等式的相关概念（1）不等式：用不等号连接起来的式子。

备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）专题06一元二次方程一．选择题（共14小题）1．（2022•天津）方程x2+4x+3＝0的两个根为（）A．x1＝1，x2＝3B．x1＝﹣1，x2＝3C．x1＝1，x2＝﹣3D．x1＝﹣1，x2＝﹣3【分析】根据解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．【解析】x2+4x+3＝0，（x+3）（x+1）＝0，x+3＝0或x+1＝0，x1＝﹣3，x2＝﹣1，故选：D．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解题的关键．2．（2022•常德）关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0无实数解，则k的取值范围是（）A．k＞4B．k＜4C．k＜﹣4D．k＞1【分析】根据一元二次方程判别式得到Δ＝（﹣4）2﹣4×1×k＜0，然后求出不等式的解集即可．【解析】∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0无实数解，∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×k＜0，解得：k＞4，故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．3．（2022•新疆）若关于x的一元二次方程x2+x﹣k＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k＞−14B．k≥−14C．k＜−14D．k≤−14【分析】根据关于x的一元二次方程x2+x﹣k＝0有两个实数根，可知Δ≥0，可以求得k的取值范围．【解析】∵关于x的一元二次方程x2+x﹣k＝0有两个实数根，∴Δ＝12﹣4×1×（﹣k）≥0，解得k≥−1 4，故选：B ．【点评】本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确一元二次方程有实数根时，Δ≥0．4．（2022•乐山）关于x 的一元二次方程3x 2﹣2x +m ＝0有两根，其中一根为x ＝1，则这两根之积为（ ）A ．13B ．23C ．1D ．−13 【分析】直接把x ＝1代入一元二次方程即可求出m 的值，根据根与系数的关系即可求得．【解析】∵方程的其中一个根是1，∴3﹣2+m ＝0，解得m ＝﹣1，∵两根的积为m 3， ∴两根的积为−13，故选：D ．【点评】本题考查了一元二次方程的根已经根与系数的关系：x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=−b a ，x 1•x 2=c a ．5．（2022•怀化）下列一元二次方程有实数解的是（ ）A ．2x 2﹣x +1＝0B ．x 2﹣2x +2＝0C ．x 2+3x ﹣2＝0D ．x 2+2＝0 【分析】根据各方程的系数结合根的判别式Δ＝b 2﹣4ac ，可求出各方程根的判别式Δ的值，取Δ≥0的选项即可得出结论．【解析】A ．∵Δ＝（﹣1）2﹣4×2×1＝﹣7＜0，∴方程2x 2﹣x +1＝0没有实数根；B ．∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0，∴方程x 2﹣2x +2＝0没有实数根；C ．∵Δ＝32﹣4×1×（﹣2）＝17＞0，∴方程x 2+3x ﹣2＝0有两个不相等的实数根；D ．∵Δ＝02﹣4×1×2＝﹣8＜0，∴方程x 2+2＝0没有实数根．故选：C ．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根”是解题的关键．6．（2022•温州）若关于x 的方程x 2+6x +c ＝0有两个相等的实数根，则c 的值是（ ）A．36B．﹣36C．9D．﹣9【分析】方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根，可知Δ＝62﹣4c＝0，然后即可计算出c的值．【解析】∵方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝62﹣4c＝0，解得c＝9，故选：C．【点评】本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确一元二次方程有两个相等的实数根时Δ＝0．7．（2022•武威）用配方法解方程x2﹣2x＝2时，配方后正确的是（）A．（x+1）2＝3B．（x+1）2＝6C．（x﹣1）2＝3D．（x﹣1）2＝6【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．【解析】x2﹣2x＝2，x2﹣2x+1＝2+1，即（x﹣1）2＝3．故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．8．（2022•滨州）一元二次方程2x2﹣5x+6＝0的根的情况为（）A．无实数根B．有两个不等的实数根C．有两个相等的实数根D．不能判定【分析】求出判别式Δ＝b2﹣4ac，判断其的符号就即可得出结论．【解析】∵Δ＝（﹣5）2﹣4×2×6＝25﹣48＝﹣23＜0，∴2x2﹣5x+6＝0无实数根，故选：A．【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式Δ＜0时，方程无实数根是解决问题的关键．9．（2022•重庆）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（）A．200（1+x）2＝242B．200（1﹣x）2＝242C．200（1+2x）＝242D．200（1﹣2x）＝242【分析】设该快递店揽件日平均增长率为x，关系式为：第三天揽件数＝第一天揽件数×（1+揽件日平均增长率）2，把相关数值代入即可．【解析】设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，可列方程：200（1+x）2＝242，故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律．10．（2022•泸州）已知关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两实数根为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝3，则m的值为（）A．﹣3B．﹣1C．﹣3或1D．﹣1或3【分析】根据方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣1＝0的两实数根为x1，x2，得出x1+x2与x1x2的值，再根据x12+x22＝3，即可求出m的值．【解析】∵方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两实数根为x1，x2，∴x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝m2，∵（x1+1）（x2+1）＝x1x2+x1+x2+1＝3，∴m2+2m﹣1+1＝3，解得：m1＝1，m2＝﹣3，∵方程有两实数根，∴Δ＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0，即m≤1 4，∴m2＝1（不合题意，舍去），∴m＝﹣3；故选：A．【点评】本题考查了根与系数的关系及根的判别式，难度适中，关键掌握x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．11．（2022•重庆）学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵．设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（）A．625（1﹣x）2＝400B．400（1+x）2＝625C．625x2＝400D．400x2＝625【分析】第三年的植树量＝第一年的植树量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．【解析】根据题意得：400（1+x）2＝625，故选：B．【点评】考查列一元二次方程解决实际问题，读懂题意，找到等量关系列方程是解决本题的关键．12．（2022•遂宁）已知m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，那么m3+2m2﹣2025m+2022的值为（）A．﹣2022B．0C．2022D．4044【分析】将方程的根代入方程，化简得m2+3m＝2022，将代数式变形，整体代入求值即可．【解析】∵m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，∴m2+3m﹣2022＝0，∴m2+3m＝2022，∴原式＝m3+3m2﹣m2﹣3m﹣2022m+2022＝m（m2+3m）﹣（m2+3m）﹣2022m+2022＝2022m﹣2022﹣2022m+2022＝0．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的解，考查整体思想，将m2+3m＝2022整体代入代数式求值是解题的关键．13．（2022•新疆）临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程为（）A．8（1+2x）＝11.52B．2×8（1+x）＝11.52C．8（1+x）2＝11.52D．8（1+x2）＝11.52【分析】设这两个月销售额的月平均增长率为x，先求出第二个月的销售额，再求第三个月的销售额，列出方程即可．【解析】设这两个月销售额的月平均增长率为x，第一个月的销售额为8万元，第二个月的销售额为8（1+x）万元，第三个月的销售额为8（1+x）2万元，∴8（1+x）2＝11.52，故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，先求出第二个月的销售额，再求第三个月的销售额是解题的关键．14．（2022•泰安）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（）A．3（x﹣1）x＝6210B．3（x﹣1）＝6210C．（3x﹣1）x＝6210D．3x＝6210【分析】设这批椽的数量为x株，则一株椽的价钱为3（x﹣1）文，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解析】∵这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，∴一株椽的价钱为3（x﹣1）文．依题意得：3（x﹣1）x＝6210．故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．二．填空题（共12小题）15．（2022•娄底）已知实数x1，x2是方程x2+x﹣1＝0的两根，则x1x2＝﹣1．【分析】根据根与系数的关系解答．【解析】∵方程x2+x﹣1＝0中的a＝b＝1，c＝﹣1，∴x1x2=ca=−1．故答案是：﹣1．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=−b a，x1•x2=c a．16．（2022•宿迁）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有实数根，则实数k的取值范围是k≤1．【分析】先计算根的判别式，根据一元二次方程解的情况得不等式，求解即可．【解析】∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×k＝4﹣4k．又∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有实数根，∴4﹣4k≥0．∴k≤1．故答案为：k≤1．【点评】本题考查了根的判别式，掌握“Δ＝b2﹣4ac”及根的判别式与一元二次方程解的情况是解决本题的关键．17．（2022•孝感）若一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个根是x1，x2，则x1•x2的值是3．【分析】根据根与系数的关系直接可得答案．【解析】∵x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个根，∴x1•x2＝3，故答案为：3．【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．18．（2022•眉山）设x1，x2是方程x2+2x﹣3＝0的两个实数根，则x12+x22的值为10．【分析】由根与系数的关系，得到x1+x2＝﹣2，x1•x2＝﹣3，然后根据完全平方公式变形求值，即可得到答案．【解析】∵x1，x2是方程x2+2x﹣3＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣2，x1•x2＝﹣3，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（﹣2）2﹣2×（﹣3）＝10；故答案为：10．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式变形求值，解题的关键是掌握韦达定理得到x1+x2＝﹣2，x1•x2＝﹣3．19．（2022•扬州）请填写一个常数，使得关于x的方程x2﹣2x+0（答案不唯一）＝0有两个不相等的实数根．【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，即可得出关于c的不等式，解之即可求出c的值．【解析】a＝1，b＝﹣2．∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×c＞0，∴c＜1．故答案为：0（答案不唯一）．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．20．（2022•云南）方程2x2+1＝3x的解为x1＝1，x2=12．【分析】方程利用因式分解法求出解即可．【解析】2x2+1＝3x，2x2﹣3x+1＝0，（x﹣1）（2x﹣1）＝0，解得：x1＝1，x2=1 2．故答案为：x1＝1，x2=1 2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：掌握十字相乘法解方程是本题的关键．21．（2022•连云港）若关于x的一元二次方程mx2+nx﹣1＝0（m≠0）的一个解是x＝1，则m+n的值是1．【分析】把x＝1代入方程mx2+nx﹣1＝0得到m+n﹣1＝0，然后求得m+n的值即可．【解析】把x＝1代入方程mx2+nx﹣1＝0得m+n﹣1＝0，解得m+n＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．22．（2022•安徽）若一元二次方程2x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝2．【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝16﹣8m＝0，解之即可得出结论．【解析】∵一元二次方程2x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝16﹣8m＝0，解得：m＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等实数根”是解题的关键．23．（2022•成都）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是2√7．【分析】设直角三角形两条直角边分别为a、b，斜边为c，由一元二次方程根与系数的关系可得a+b＝6，ab＝4，再由勾股定理即可求出斜边长．【解析】设直角三角形两条直角边分别为a、b，斜边为c，∵直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个实数根，∴a+b＝6，ab＝4，∴斜边c=√a2+b2=√(a+b)2−2ab=√62−2×4=2√7，故答案为：2√7．【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，涉及勾股定理、完全平方公式的应用，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系，得到a+b＝6，ab＝4．24．（2022•杭州）某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0），则x＝30%（用百分数表示）．【分析】设新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0），利用2019年的新注册用户数为100万×（1+平均增长率）2＝2021年的新注册用户数为169万，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解析】新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0），依题意得：100（1+x）2＝169，解得：x1＝0.3，x2＝﹣2.3（不合题意，舍去）．0.3＝30%，∴新注册用户数的年平均增长率为30%．故答案为：30%．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．25．（2022•江西）关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为1．【分析】根据根的判别式Δ＝0，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值．【解析】∵关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝22﹣4×1×k＝0，解得：k＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．26．（2022•重庆）特产专卖店销售桃片、米花糖、麻花三种特产，其中每包桃片的成本是麻花的2倍，每包桃片、米花糖、麻花的售价分别比其成本高20%、30%、20%．该店五月份销售桃片、米花糖、麻花的数量之比为1：3：2，三种特产的总利润是总成本的25%，则每包米花糖与每包麻花的成本之比为4：3．【分析】先根据比例设该店五月份销售桃片、米花糖、麻花的数量分别为x，3x，2x，每包麻花的成本为y 元，每包米花糖的成本为a元，则每包桃片的成本是2y元，由三种特产的总利润是总成本的25%列方程可得ay=43，从而解答此题．【解析】设该店五月份销售桃片、米花糖、麻花的数量分别为x，3x，2x，每包麻花的成本为y元，每包米花糖的成本为a元，则每包桃片的成本是2y元，由题意得：20%•2y•x+30%•a•3x+20%•y•2x＝25%（2xy+3ax+2xy），15a＝20y，∴ay=43，则每包米花糖与每包麻花的成本之比为4：3．故答案为：4：3．【点评】本题考查三元高次方程的应用，解本题要理解题意，通过找出等量关系即可求解．三．解答题（共5小题）27．（2022•随州）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1x2＝5，求k的值．【分析】（1）根据判别式的意义得到Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到x1x2＝k2+1，再利用x1x2＝5得到k2+1＝5，然后解关于k的方程，最后利用k的范围确定k的值．【解析】（1）根据题意得Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，解得k＞3 4；（2）根据题意得x1x2＝k2+1，∵x1x2＝5，∴k2+1＝5，解得k1＝﹣2，k2＝2，∵k＞3 4，∴k＝2．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1x2=c a．也考查了根的判别式．28．（2022•凉山州）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．【分析】通过观察方程形式，本题可用因式分解法进行解答．【解析】原方程可以变形为（x﹣3）（x+1）＝0x﹣3＝0，x+1＝0∴x1＝3，x2＝﹣1．【点评】熟练运用因式分解法解一元二次方程．注意：常数项应分解成两个数的积，且这两个的和应等于一次项系数．29．（2022•南充）已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根．（1）求实数k的取值范围．（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝﹣1，求k的值．【分析】（1）根据一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根，可知Δ≥0，即可求得k的取值范围；（2）根据根与系数的关系和（x1+1）（x2+1）＝﹣1，可以求得k的值．【解析】（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根，∴Δ＝32﹣4×1×（k﹣2）≥0，解得k≤17 4，即k的取值范围是k≤17 4；（2）∵方程x2+3x+k﹣2＝0的两个实数根分别为x1，x2，∴x1+x1＝﹣3，x1x2＝k﹣2，∵（x1+1）（x2+1）＝﹣1，∴x1x2+（x1+x2）+1＝﹣1，∴k﹣2+（﹣3）+1＝﹣1，解得k＝3，即k的值是3．【点评】本题考查根与系数的关系、根的判别式，解答本题的关键是明确一元二次方有根时Δ≥0，以及根与系数的关系．30．（2022•凉山州）阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，∴m +n ＝1，mn ＝﹣1，则m 2n +mn 2＝mn （m +n ）＝﹣1×1＝﹣1．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：（1）材料理解：一元二次方程2x 2﹣3x ﹣1＝0的两个根为x 1，x 2，则x 1+x 2＝ 32．x 1x 2＝ −12 ． （2）类比应用：已知一元二次方程2x 2﹣3x ﹣1＝0的两根分别为m 、n ，求nm+m n 的值．（3）思维拓展：已知实数s 、t 满足2s 2﹣3s ﹣1＝0，2t 2﹣3t ﹣1＝0，且s ≠t ，求1s−1t的值． 【分析】（1）根据根与系数的关系进行求解即可；（2）根据根与系数的关系可得：m +n =32，mn =−12，再利用分式的化简求值的方法进行运算即可； （3）可把s 与t 看作是方程2x 2﹣3x ﹣1＝0的两个实数根，则有s +t =32，st =−12，再利用分式的化简求值的方法进行运算即可．【解析】（1）∵一元二次方程2x 2﹣3x ﹣1＝0的两个根为x 1，x 2， ∴x 1+x 2=−−32=32，x 1x 2=−12=−12， 故答案为：32，−12； （2）∵一元二次方程2x 2﹣3x ﹣1＝0的两根分别为m 、n ， ∴m +n =32，mn =−12， ∴n m+m n=n 2+m 2mn=(m+n)2−2mnmn=(32)2−2×(−12)−12=−132； （3）∵实数s 、t 满足2s 2﹣3s ﹣1＝0，2t 2﹣3t ﹣1＝0， ∴s ，与t 看作是方程2x 2﹣3x ﹣1＝0的两个实数根， ∴s +t =32，st =−12， ∴（s ﹣t ）2＝（s +t ）2﹣4st ，（s ﹣t ）2＝（32）2﹣4×（−12），（s ﹣t ）2=174， ∴s ﹣t =±√172， ∴1s−1t=t−sst =−(s−t)st=±√172−12=±√17．【点评】本题主要考查根与系数的关系，分式的化简求值，解答的关键是把s ，t 看作是相应的方程的两个实数根．31．（2022•眉山）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？【分析】（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x ，利用2021年投入资金金额＝2019年投入资金金额×（1+年平均增长率）2，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设该市在2022年可以改造y 个老旧小区，根据2022年改造老旧小区所需资金不多于2022年投入资金金额，即可得出关于y 的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论． 【解析】（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x ， 依题意得：1000（1+x ）2＝1440，解得：x 1＝0.2＝20%，x 2＝﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%． （2）设该市在2022年可以改造y 个老旧小区， 依题意得：80×（1+15%）y ≤1440×（1+20%）， 解得：y ≤43223，又∵y为整数，∴y的最大值为18．答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．。

专题06 一元一次方程及其应用专题知识回顾知识点1：一元一次方程的概念1.一元一次方程：一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0)。

要点诠释：一元一次方程须满足下列三个条件：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的次数是1次；（3）整式方程．注意：方程要化为最简形式，且一次项系数不能为零。

2.方程的解：判断一个数是否是某方程的解,将其代入方程两边，看两边是否相等．知识点2：一元一次方程的解法1.方程的同解原理（也叫等式的基本性质）性质1：等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。

性质2：等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。

要点诠释：分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。

2.解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数，依据等式基本性质2，注意防止漏乘（尤其整数项），注意添括号。

（2）去括号一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号，依据去括号法则、分配律，注意变号，防止漏乘。

（3）移项把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)，依据等式基本性质1，移项要变号，不移不变号。

（4）合并同类项把方程化成ax ＝b(a≠0)的形式，依据合并同类项法则，计算要仔细，不要出差错。

（5）系数化为1在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解x ＝b/a ,依据等式基本性质2，计算要仔细，分子分母勿颠倒。

要点诠释：理解方程ax=b 在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用:①a≠0时，方程有唯一解x ＝b/a ；②a=0，b=0时，方程有无数个解；③a=0，b≠0时，方程无解。

知识点3：列一元一次方程解应用题1.列一元一次方程解应用题的一般步骤：（1）审—审题：认真审题，弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系。

（2）设—设出未知数：根据提问，巧设未知数．（3）列—列出方程：设出未知数后，利用等量关系写出等式，即列方程。