第二宇宙速度计算公式

地月转移轨道的速度和第二宇宙速度在宇宙学中，地月转移轨道的速度和第二宇宙速度是两个非常重要的概念。

地月转移轨道是指地球绕月球公转的轨道，而第二宇宙速度则是指一个物体需要达到的速度才能克服引力束缚，进入无限远空间。

本文将详细探讨这两个概念的内涵和意义。

我们来了解一下地月转移轨道的速度。

地月转移轨道是一个椭圆形的轨道，其长轴和短轴分别为357.91万公里和347.56万公里。

在这个轨道上，地球绕月球公转一周所需的时间约为27.3天。

这个速度对于我们来说可能很难想象，但对于宇宙中的其他天体来说，这是一个非常合适的速度。

因为这个速度可以让地球与月球保持稳定的距离，避免了两者之间的相互碰撞。

这个速度也使得地球能够在适当的距离上受到太阳的光照，从而维持适宜的温度。

接下来，我们来探讨一下第二宇宙速度。

第二宇宙速度是指一个物体需要达到的速度才能克服引力束缚，进入无限远空间。

这个速度是一个理论值，通常用公式v=√(2GM/R)来计算，其中G是引力常数，M是地球的质量，R是地球的半径。

根据这个公式，我们可以得到第二宇宙速度大约为11.2公里/秒。

这个速度虽然看起来不高，但对于一个物体来说，要达到这个速度并不容易。

因为在地球附近的引力作用下，物体需要克服很大的阻力才能达到这个速度。

而且，即使物体达到了第二宇宙速度，它仍然会受到太阳和其他恒星的引力影响，因此要想真正进入无限远空间，还需要克服这些引力的影响。

地月转移轨道的速度和第二宇宙速度是宇宙学中非常重要的概念。

地月转移轨道保证了地球与月球之间的稳定关系，而第二宇宙速度则揭示了物体在宇宙中的运动规律。

虽然这两个概念看似简单，但它们背后的物理学原理却非常复杂。

通过对这些概念的研究，我们可以更好地了解宇宙的本质和演化过程。

核心考点专题15 人造卫星 宇宙速度知识一 近地卫星和同步卫星1．卫星运动的轨道平面一定通过地球的球心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，同步卫星的轨道是赤道轨道．卫星轨道平面必须过地心卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供，而万有引力指向地心，所以卫星的轨道平面必须经过地心．2．近地卫星：轨道在地球表面附近的卫星，其轨道半径r ＝R (地球半径)，运行速度等于第一宇宙速度v ＝7.9_km/s.3．同步卫星(1)轨道平面与赤道平面共面．(2)周期与地球自转周期相等，T ＝24 h.(3)高度固定不变，h ＝3.6×107m.(4)运行速率均为v ＝3.1×103 m/s.知识二 宇宙速度1．第一宇宙速度(1)第一宇宙速度是人造地球卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动时的速度．(2)第一宇宙速度是人造地球卫星稳定运行的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度．(3)第一宇宙速度的计算 ①由G Mm R 2＝m v 2R 得v ＝ GM R＝7.9 km/s. ②由mg ＝m v 2R得v ＝gR ＝7.9 km/s. 2．第二宇宙速度：v 2＝11.2_km/s ，使物体挣脱地球引力束缚永远离开地球的最小发射速度．3．第三宇宙速度：v 3＝16.7_km/s ，使物体挣脱太阳引力束缚飞到太阳系外的最小发射速度．对点练习1. 关于人造地球卫星，下列说法正确的是(已知地球半径为6 400 km)( )A ．运行的轨道半径越大，线速度也越大B ．运行的速率可能等于8.3 km/sC ．运行的轨道半径越大，周期也越大D ．运行的周期可能等于80 min【答案】C【解析】由GMm r 2＝mv 2r得v ＝ GM r ，当r ＝R 地时v 有最大值，约为7.9 km/s ，A 、B 选项错误；由GMm r 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r 得T ＝2π r 3GM ，C 选项正确；卫星运行的最小周期T min ＝2πR 地v max ＝2×3.14×6 4007.9s≈85 min，D 选项错误．2. 由于通信和广播等方面的需要，许多国家发射了地球同步轨道卫星，这些卫星的( )A ．质量可以不同B ．轨道半径可以不同C ．轨道平面可以不同D ．速率可以不同 【答案】A【解析】同步卫星轨道只能在赤道平面内，高度一定，轨道半径一定，速率一定，但质量可以不同，故只有A 项正确．3. 星球上的物体脱离星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度．星球的第二宇宙速度v 2与第一宇宙速度v 1的关系是v 2＝2v 1.已知某星球的半径为r ，它表面的重力加速度为地球表面重力加速度g 的16.不计其他星球的影响．则该星球的第二宇宙速度为( ) A.gr3 B.gr 6 C.gr 3 D.gr 【答案】A【解析】该星球的第一宇宙速度满足：G Mm r 2＝m v 21r ，在该星球表面处万有引力等于重力：G Mm r 2＝m g 6，由以上两式得v 1＝gr6，则第二宇宙速度v 2＝2×gr6＝gr3，故A 正确．4. (多选)假如做圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增加到原来的2倍，仍做圆周运动，则( )A ．根据公式v ＝ωr 可知卫星运动的线速度将增大到原来的2倍B ．根据公式F ＝mv 2r 可知卫星所需的向心力将减小到原来的12C ．根据公式F ＝G Mm r 2可知地球提供的向心力将减小到原来的14D ．根据上述B 和C 中给出的公式可知，卫星运行的线速度将减小到原来的22【答案】CD【解析】由于ω＝ GM r 3，故当r 增加到原来的2倍时，ω将改变，所以不能用公式v ＝ωr 来判断卫星线速度的变化，选项A 错误；人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动的向心力由地球对卫星的万有引力提供，有F ＝G Mm r 2＝mv 2r ，得v ＝ GM r，则离地球越远的卫星运行速度越小，当半径增加到原来的2倍时，引力变为原来的14，线速度变为原来的22，选项B 错误，C 、D 正确． 5. 宇宙飞船和空间站在同一轨道上运动，若飞船想与前方的空间站对接，飞船为了追上空间站，可采取的方法是( )A ．飞船加速直到追上空间站，完成对接B ．飞船从原轨道减速至一个较低轨道，再加速追上空间站完成对接C ．飞船加速至一个较高轨道，再减速追上空间站，完成对接D ．无论飞船采取何种措施，均不能与空间站对接【答案】B【解析】飞船在轨道上正常运行时，有G Mm r 2＝m v 2r .当飞船直接加速时，所需向心力m v 2r 增大，则G Mm r 2<m v 2r，故飞船做离心运动，轨道半径增大，将导致不在同一轨道上，A 错误；飞船若先减速，它的轨道半径将减小，但运行速度增大，故在低轨道上飞船可接近空间站，当飞船运动到合适的位置再加速，回到原轨道，即可追上空间站，B 正确；若飞船先加速，它的轨道半径将增大，但运行速度减小，故而追不上空间站，C 错误．6. 万有引力的发现实现了物理学史上第一次大统一：“地上物理学”和“天上物理学”的统一，它表明天体运动和地面上物体的运动遵从相同的规律。

关于第二宇宙速度的计算一、第二宇宙速度定义第二宇宙速度（也称为逃逸速度）是一个航天器或卫星需要达到的最小速度，以便完全逃离地球引力的束缚，进入宇宙空间。

这个速度使得物体能够摆脱地球的引力，进入太阳系的其他部分或更远的宇宙。

二、第二宇宙速度的计算公式第二宇宙速度（V₂）的计算公式为：V₂ = √(2gR)其中：•V₂是第二宇宙速度•g 是地球表面的重力加速度，约为 9.81 m/s²•R 是地球的半径，约为 6371 km将上述数值代入公式，我们可以得到：V₂≈√(2 × 9.81 × 6371000) ≈ 11.2 km/s这意味着，为了逃离地球，一个物体需要以大约11.2公里每秒的速度飞行。

三、第二宇宙速度的意义第二宇宙速度在航天学中具有重要意义。

它决定了发射卫星或进行深空探测所需的最小能量。

如果一个航天器的速度低于第二宇宙速度，它将无法逃离地球引力并最终返回地球。

四、影响第二宇宙速度的因素1.地球质量：地球的质量越大，其引力越强，因此需要的逃逸速度也越大。

2.地球半径：地球的半径越大，物体需要克服的引力距离越长，因此逃逸速度也越大。

3.重力加速度：重力加速度越大，地球对物体的引力作用越强，因此逃逸速度也越大。

五、实际应用在实际应用中，火箭和航天器必须以足够的速度才能逃离地球。

例如，阿波罗任务中的土星五号火箭就需要达到第二宇宙速度，以便将宇航员送到月球。

六、研究展望随着航天技术的不断发展，对第二宇宙速度的研究也在不断深入。

未来的研究可能包括如何更有效地达到或超过第二宇宙速度，以及如何利用这一速度进行更远的太空探索。

人造卫星　宇宙速度物理考点　1.会比较卫星运动的各物理量之间的关系.2.理解三种宇宙速度，并会求解第一宇宙速度的大小.3.会分析天体的“追及”问题．考点一　卫星运行参量的分析基础回扣1．天体(卫星)运行问题分析将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供．2．基本公式：(1)线速度：G ＝m ⇒v ＝Mmr 2v 2r GM r (2)角速度：G ＝mω2r ⇒ω＝Mmr 2GMr 3(3)周期：G ＝m 2r ⇒T ＝2πMmr 2(2πT )r 3GM(4)向心加速度：G ＝ma ⇒a ＝Mmr 2GMr 2结论：r 越大，v 、ω、a 越小，T 越大．技巧点拨1．公式中r 指轨道半径，是卫星到中心天体球心的距离，R 通常指中心天体的半径，有r ＝R ＋h .2．近地卫星和同步卫星卫星运动的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，同步卫星的轨道是赤道轨道．(1)近地卫星：轨道在地球表面附近的卫星，其轨道半径r ＝R (地球半径)，运行速度等于第一宇宙速度v ＝7.9 km/s(人造地球卫星的最大运行速度)，T ＝85 min(人造地球卫星的最小周期)．(2)同步卫星①轨道平面与赤道平面共面．②周期与地球自转周期相等，T ＝24 h.③高度固定不变，h ＝3.6×107 m.④运行速率均为v ＝3.1×103 m/s. 卫星运行参量与轨道半径的关系例1　(2020·浙江7月选考·7)火星探测任务“天问一号”的标识如图1所示．若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2，则火星与地球绕太阳运动的( )图1A ．轨道周长之比为2∶3B ．线速度大小之比为∶32C ．角速度大小之比为2∶323D ．向心加速度大小之比为9∶4答案　C解析　轨道周长C ＝2πr ，与半径成正比，故轨道周长之比为3∶2，故A 错误；根据万有引力提供向心力有＝m ，得v ＝，得＝＝，故B 错误；由万有引力提供GMmr 2v 2r GMr v 火v 地r 地r 火23向心力有＝mω2r ，得ω＝，得＝＝，故C 正确；由＝ma ，得GMm r 2GMr 3ω火ω地r 地3r 火32233GMmr 2a ＝，得＝＝，故D 错误．GMr 2a 火a 地r 地2r 火249 同步卫星、近地卫星及赤道上物体的比较例2　(2019·青海西宁市三校联考)如图2所示，a 为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b 为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星(轨道半径约等于地球半径)，c 为地球的同步卫星．下列关于a 、b 、c 的说法中正确的是( )图2A ．b 卫星转动线速度大于7.9 km/sB ．a 、b 、c 做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为a a ＞a b ＞a cC ．a 、b 、c 做匀速圆周运动的周期关系为T a ＝T c <T bD ．在b 、c 中，b 的线速度大答案　D解析　b 为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，根据万有引力定律有G ＝m ，MmR 2v 2R 解得v ＝，又＝mg ，可得v ＝，与第一宇宙速度大小相同，即v ＝7.9 km/s ，故GMR GMmR 2gR A 错误；地球赤道上的物体与同步卫星具有相同的角速度，所以ωa ＝ωc ，根据a ＝rω2知，c 的向心加速度大于a 的向心加速度，根据a ＝得b 的向心加速度大于c 的向心加速度，GMr 2即a b ＞a c ＞a a ，故B 错误；卫星c 为地球同步卫星，所以T a ＝T c ，根据T ＝2π得c 的周r 3GM 期大于b 的周期，即T a ＝T c ＞T b ，故C 错误；在b 、c中，根据v ＝，可知b 的线速度GMr 比c 的线速度大，故D 正确．1.(卫星运行参量的比较)(2020·浙江1月选考·9)如图3所示，卫星a 、b 、c 沿圆形轨道绕地球运行．a 是极地轨道卫星，在地球两极上空约1 000 km 处运行；b 是低轨道卫星，距地球表面高度与a 相等；c 是地球同步卫星，则( )图3A ．a 、b 的周期比c 大B ．a 、b 的向心力一定相等C ．a 、b 的速度大小相等D ．a 、b 的向心加速度比c 小答案　C解析　根据万有引力提供向心力有＝m ＝mω2r ＝m r ＝ma ，可知v ＝，ω＝GMmr 2v 2r 4π2T 2GM r，T ＝，a ＝，由此可知，半径越大，线速度、角速度、向心加速度越小，周GM r 32πr 3GM GMr 2期越长，因为a 、b 卫星的半径相等，且比c 小，因此a 、b 卫星的线速度大小相等，向心加速度比c 大，周期小于卫星c 的周期，选项C 正确，A 、D 错误；由于不知道三颗卫星的质量关系，因此不清楚向心力的关系，选项B 错误．2．(同步卫星)关于我国发射的“亚洲一号”地球同步通信卫星的说法，正确的是( )A ．若其质量加倍，则轨道半径也要加倍B ．它在北京上空运行，故可用于我国的电视广播C ．它以第一宇宙速度运行D ．它运行的角速度与地球自转角速度相同答案　D解析　由G ＝m 得r ＝，可知轨道半径与卫星质量无关，A 错误；同步卫星的轨道Mmr 2v 2r GMv 2平面必须与赤道平面重合，即在赤道上空运行，不能在北京上空运行，B 错误；第一宇宙速度是卫星在最低圆轨道上运行的速度，而同步卫星在高轨道上运行，其运行速度小于第一宇宙速度，C 错误；所谓“同步”就是卫星保持与赤道上某一点相对静止，所以同步卫星的角速度与地球自转角速度相同，D 正确．3．(卫星运动分析)(2016·全国卷Ⅰ·17)利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯．目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍．假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( )A ．1 hB ．4 h C ．8 h D ．16 h 答案　B解析　地球自转周期变小，卫星要与地球保持同步，则卫星的公转周期也应随之变小，由开普勒第三定律＝k 可知卫星离地球的高度应变小，要实现三颗卫星覆盖全球的目的，则卫r 3T 2星周期最小时，由数学几何关系可作出卫星间的位置关系如图所示．卫星的轨道半径为r ＝＝2R Rsin 30°由＝得r 13T 12r 23T 22＝(6.6R )3242(2R )3T 22解得T 2≈4 h ．考点二　宇宙速度的理解和计算基础回扣第一宇宙速度(环绕速度)v 1＝7.9 km/s ，是物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度第二宇宙速度(脱离速度)v 2＝11.2 km/s ，是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度第三宇宙速度(逃逸速度)v 3＝16.7 km/s ，是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度技巧点拨1．第一宇宙速度的推导方法一：由G ＝m ，得v 1＝＝ m/s ≈7.9×103MmR 2v 12R GMR 6.67×10－11×5.98×10246.4×106m/s.方法二：由mg ＝m 得v 1＝＝ m/s ≈7.9×103 m/s.v 12R gR 9.8×6.4×106第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，T min ＝2π＝5 078 s ≈85 min.Rg 2．宇宙速度与运动轨迹的关系(1)v 发＝7.9 km/s 时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动．(2)7.9 km/s<v 发<11.2 km/s ，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆．(3)11.2 km/s ≤v 发＜16.7 km/s ，卫星绕太阳运动的轨迹为椭圆．(4)v 发≥16.7 km/s ，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间．例3　(2020·北京卷·5)我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”．已知火星质量约为地球质量的10%，半径约为地球半径的50%，下列说法正确的是( )A ．火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度B ．火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间C ．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度D ．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度答案　A解析　火星探测器需要脱离地球的束缚，故其发射速度应大于地球的第二宇宙速度，故A正确，B 错误；由G ＝m 得，v 火＝＝＝v 地，故火星的第一宇宙速MmR 2v 2R GM 火R 火0.1M 地G0.5R 地55度小于地球的第一宇宙速度，故C 错误；由＝mg 得，g 火＝G ＝G ＝0.4gGMmR 2M 火R 火20.1M 地(0.5R 地)2地，故火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，故D 错误．4．(第一宇宙速度的计算)地球的近地卫星线速度大小约为8 km/s ，已知月球质量约为地球质量的，地球半径约为月球半径的4倍，下列说法正确的是( )181A ．在月球上发射卫星的最小速度约为8 km/s B ．月球卫星的环绕速度可能达到4 km/s C ．月球的第一宇宙速度约为1.8 km/sD ．“近月卫星”的速度比“近地卫星”的速度大答案　C解析　根据第一宇宙速度v ＝，月球与地球的第一宇宙速度之比为GMR ＝＝＝，月球的第一宇宙速度约为v 2＝v 1＝×8 km/s ≈1.8 km/s ，在月球上v 2v 1M 2R 1M 1R 2481292929发射卫星的最小速度约为1.8 km/s ，月球卫星的环绕速度小于或等于1.8 km/s ，“近月卫星”的速度为1.8 km/s ，小于“近地卫星”的速度，故C 正确．5．(宇宙速度的理解和计算)宇航员在一行星上以速度v 0竖直上抛一质量为m 的物体，不计空气阻力，经2t 后落回手中，已知该星球半径为R .求：(1)该星球的第一宇宙速度的大小；(2)该星球的第二宇宙速度的大小．已知取无穷远处引力势能为零，物体距星球球心距离为r 时的引力势能E p ＝－G .(G 为万有引力常量)mMr 答案　(1)　(2)v 0Rt 2v 0R t解析　(1)由题意可知星球表面重力加速度为g ＝v 0t由万有引力定律知mg ＝m v 12R解得v 1＝＝.gR v 0Rt (2)由星球表面万有引力等于物体重力知＝mgGMmR 2又E p ＝－G mMR解得E p ＝－m v 0Rt 由机械能守恒有m v 22－＝012m v 0R t 解得v 2＝.2v 0Rt 考点三　天体的“追及”问题1．相距最近两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA －ωB )t ＝2n π(n ＝1,2,3…)．2．相距最远当两卫星位于和中心连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA －ωB )t ′＝(2n －1)π(n ＝1,2,3…)．例4　当地球位于太阳和木星之间且三者几乎排成一条直线时，称之为“木星冲日”，2016年3月8日出现了一次“木星冲日”．已知木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动，木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍．则下列说法正确的是( )A ．下一次的“木星冲日”时间肯定在2018年B ．下一次的“木星冲日”时间肯定在2017年C ．木星运行的加速度比地球的大D ．木星运行的周期比地球的小答案　B解析　地球公转周期T 1＝1年，由T ＝2π可知，土星公转周期T 2＝T 1≈11.18r 3GM 125年．设经时间t ，再次出现“木星冲日”，则有ω1t －ω2t ＝2π，其中ω1＝，ω2＝，解得2πT 12πT 2t ≈1.1年，因此下一次“木星冲日”发生在2017年，故A 错误，B 正确；设太阳质量为M ，行星质量为m ，轨道半径为r ，周期为T ，加速度为a .对行星由牛顿第二定律可得G ＝ma ＝m r ，解得a ＝，T ＝2π，由于木星到太阳的距离大约是地球到太阳Mmr 24π2T 2GMr 2r 3GM 距离的5倍，因此，木星运行的加速度比地球的小，木星运行的周期比地球的大，故C 、D 错误．6．(天体的“追及”问题)(多选)(2020·山西太原市质检)如图4，在万有引力作用下，a 、b 两卫星在同一平面内绕某一行星c 沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为r a ∶r b ＝1∶4，则下列说法中正确的有( )图4A ．a 、b 运动的周期之比为T a ∶T b ＝1∶8B ．a 、b 运动的周期之比为T a ∶T b ＝1∶4C ．从图示位置开始，在b 转动一周的过程中，a 、b 、c 共线12次D ．从图示位置开始，在b 转动一周的过程中，a 、b 、c 共线14次答案　AD解析　根据开普勒第三定律：半径的三次方与周期的二次方成正比，则a 、b 运动的周期之比为1∶8，A 对，B 错；设图示位置ac 连线与bc 连线的夹角为θ<，b 转动一周(圆心角为π22π)的时间为T b ，则a 、b 相距最远时：T b －T b ＝(π－θ)＋n ·2π(n ＝0,1,2,3…)，可知2πTa 2πTb n <6.75，n 可取7个值；a 、b 相距最近时：T b －T b ＝(2π－θ)＋m ·2π(m ＝0,1,2,3…)，可2πTa 2πTb 知m <6.25，m 可取7个值，故在b 转动一周的过程中，a 、b 、c 共线14次，C 错，D 对．课时精练1．(2020·天津卷·2)北斗问天，国之夙愿．如图1所示，我国北斗三号系统的收官之星是地球静止轨道卫星，其轨道半径约为地球半径的7倍．与近地轨道卫星相比，地球静止轨道卫星( )图1A．周期大B．线速度大C．角速度大D．加速度大答案　A解析　根据万有引力提供向心力有G＝m()2r、G＝m、G＝mω2r、G＝maMmr22πTMmr2v2rMmr2Mmr2可知T＝2π、v＝、ω＝、a＝，因为地球静止轨道卫星的轨道半径大于近r3GMGMrGMr3GMr2地轨道卫星的轨道半径，所以地球静止轨道卫星的周期大、线速度小、角速度小、向心加速度小，故选项A正确．2．(2020·四川泸州市质量检测)我国实施空间科学战略性先导科技专项计划，已经发射了“悟空”“墨子”“慧眼”等系列的科技研究卫星，2019年8月31日又成功发射一颗微重力技术实验卫星．若微重力技术实验卫星和地球同步卫星均绕地球做匀速圆周运动时，微重力技术实验卫星的轨道高度比地球同步卫星低，下列说法中正确的是( )A．该实验卫星的周期大于地球同步卫星的周期B．该实验卫星的向心加速度大于地球同步卫星的向心加速度C．该实验卫星的线速度小于地球同步卫星的线速度D．该实验卫星的角速度小于地球同步卫星的角速度答案　B解析　万有引力提供向心力，由G＝m2r＝m＝mω2r＝ma，解得：v＝，T＝2πMmr2(2πT)v2rGMr ，ω＝，a＝.实验卫星的轨道半径小于地球同步卫星的轨道半径，可知该实验r3GMGMr3GMr2卫星周期比地球同步卫星的小，向心加速度、线速度、角速度均比地球同步卫星的大，故选项B 正确，A 、C 、D 错误．3.(2019·天津卷·1)2018年12月8日，肩负着亿万中华儿女探月飞天梦想的嫦娥四号探测器成功发射，“实现人类航天器首次在月球背面巡视探测，率先在月背刻上了中国足迹”，如图2.已知月球的质量为M 、半径为R .探测器的质量为m ，引力常量为G ，嫦娥四号探测器围绕月球做半径为r 的匀速圆周运动时，探测器的( )图2A ．周期为B ．动能为4π2r 3GM GMm2RC ．角速度为D ．向心加速度为Gmr 3GMR 2答案　A解析　嫦娥四号探测器环绕月球做匀速圆周运动时，万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力，由＝mω2r ＝m ＝m r ＝ma ，解得ω＝、v ＝、T ＝、a ＝，GMmr 2v 2r 4π2T 2GMr 3GMr 4π2r 3GM GMr 2则嫦娥四号探测器的动能为E k ＝m v 2＝，由以上可知A 正确，B 、C 、D 错误．12GMm2r 4．(2019·北京卷·18)2019年5月17日，我国成功发射第45颗北斗导航卫星，该卫星属于地球静止轨道卫星(同步卫星)．该卫星( )A ．入轨后可以位于北京正上方B ．入轨后的速度大于第一宇宙速度C ．发射速度大于第二宇宙速度D ．若发射到近地圆轨道所需能量较少答案　D解析　同步卫星只能位于赤道正上方，A 项错误；由＝知，卫星的轨道半径越大，GMmr 2m v 2r 卫星做匀速圆周运动的线速度越小，因此入轨后的速度小于第一宇宙速度(近地卫星的速度)，B 项错误；同步卫星的发射速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，C 项错误；若发射到近地圆轨道，所需发射速度较小，所需能量较少，D 正确．5．(多选)(2020·江苏卷·7改编)甲、乙两颗人造卫星质量相等，均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍．下列应用公式进行的推论正确的有( )A ．由v ＝可知，甲的速度是乙的倍gr 2B ．由a ＝ω2r 可知，甲的向心加速度是乙的2倍C ．由F ＝G 可知，甲的向心力是乙的Mm r 214D ．由＝k 可知，甲的周期是乙的2倍r 3T 22答案　CD解析　人造卫星绕地球做圆周运动时有G ＝m ，即v ＝，因此甲的速度是乙的Mmr 2v 2r GMr 倍，故A 错误；由G ＝ma 得a ＝，故甲的向心加速度是乙的，故B 错误；由22Mmr 2GMr 214F ＝G 知甲的向心力是乙的，故C 正确；由开普勒第三定律＝k ，绕同一天体运动，k Mmr 214r 3T 2值不变，可知甲的周期是乙的2倍，故D 正确．26．(2020·全国卷Ⅲ·16)“嫦娥四号”探测器于2019年1月在月球背面成功着陆，着陆前曾绕月球飞行，某段时间可认为绕月做匀速圆周运动，圆周半径为月球半径的K 倍．已知地球半径R 是月球半径的P 倍，地球质量是月球质量的Q 倍，地球表面重力加速度大小为g .则“嫦娥四号”绕月球做圆周运动的速率为( )A. B. C. D.RKg QP RPKgQ RQgKP RPgQK答案　D解析　在地球表面有G ＝mg ，“嫦娥四号”绕月球做匀速圆周运动时有M 地mR 2G ＝m ′，根据已知条件有R ＝PR 月，M 地＝QM 月，联立以上各式解得v ＝M 月m ′(KR 月)2v 2KR 月，故选D.RPgQK 7．如图3，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M 和2M 的行星做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )图3A ．甲的向心加速度比乙的小B ．甲的运行周期比乙的小C ．甲的角速度比乙的大D ．甲的线速度比乙的大答案　A8．星球上的物体脱离星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度．星球的第二宇宙速度v 2与第一宇宙速度v 1的关系是v 2＝v 1.已知某星球的半径为r ，它表面的重力加速度为地2球表面重力加速度g 的.不计其他星球的影响．则该星球的第二宇宙速度为( )16A. B.gr 3gr 6C. D.gr 3gr 答案　A解析　该星球的第一宇宙速度满足：G ＝m ，在该星球表面处万有引力等于重力：G Mmr 2v 12r ＝m ，由以上两式得v 1＝，则第二宇宙速度v 2＝×＝，故A 正确．Mmr 2g6gr62gr6gr39．(2019·安徽宣城市第二次模拟)有a 、b 、c 、d 四颗地球卫星，卫星a 还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，卫星b 在地面附近近地轨道上正常运动，c 是地球同步卫星，d 是高空探测卫星，各卫星排列位置如图4，则有( )图4A ．a 的向心加速度等于重力加速度gB ．b 在相同时间内转过的弧长最长C ．c 在4 h 内转过的圆心角是π6D ．d 的运动周期有可能是20 h 答案　B解析　同步卫星的周期、角速度与地球自转周期、角速度相同，则知a 与c 的角速度相同，根据a ＝ω2r 知，c 的向心加速度大于a 的向心加速度．由G ＝mg ，解得：g ＝，卫星Mmr 2GMr 2的轨道半径越大，向心加速度越小，则c 的向心加速度小于b 的向心加速度，而b 的向心加速度约为g ，则a 的向心加速度小于重力加速度g ，故A 错误；由G ＝m ，解得：v ＝Mmr 2v 2r ，卫星的半径r 越大，速度v 越小，所以b 的速度最大，在相同时间内转过的弧长最长，GMr故B 正确；c 是地球同步卫星，周期是24 h ，则c 在4 h 内转过的圆心角是×4＝，故C 2π24π3错误；由开普勒第三定律＝k 可知：卫星的半径r 越大，周期T 越大，所以d 的运动周期r 3T 2大于c 的周期24 h ，即不可能是20 h ，故D 错误．10.(多选)(2019·贵州毕节市适应性监测(三))其实地月系统是双星模型，为了寻找航天器相对地球和月球不动的位置，科学家们作出了不懈努力．如图5所示，1767年欧拉推导出L 1、L 2、L 3三个位置，1772年拉格朗日又推导出L 4、L 5两个位置．现在科学家把L 1、L 2、L 3、L 4、L 5统称地月系中的拉格朗日点．中国“嫦娥四号”探测器成功登陆月球背面，并通过处于拉格朗日区的“嫦娥四号”中继卫星“鹊桥”把信息返回地球，引起众多师生对拉格朗日点的热议．下列说法正确的是( )图5A ．在拉格朗日点航天器的受力不再遵循万有引力定律B ．在不同的拉格朗日点航天器随地月系统运动的周期均相同C ．“嫦娥四号”中继卫星“鹊桥”应选择L 1点开展工程任务实验D ．“嫦娥四号”中继卫星“鹊桥”应选择L 2点开展工程任务实验答案　BD解析　在拉格朗日点的航天器仍然受万有引力，在地球和月球的万有引力作用下绕地月双星系统的中心做匀速圆周运动，A 错误；因在拉格朗日点的航天器相对地球和月球的位置不变，说明它们的角速度一样，因此周期也一样，B 正确；“嫦娥四号”探测器登陆的是月球的背面，“鹊桥”要把探测器在月球背面采集的信息传回地球，L 2在月球的背面，因此应选在L 2点开展工程任务实验，所以C 错误，D 正确．11.经长期观测发现，A 行星运行轨道的半径近似为R 0，周期为T 0，其实际运行的轨道与圆轨道存在一些偏离，且周期性地每隔t 0(t 0＞T 0)发生一次最大的偏离，如图6所示，天文学家认为形成这种现象的原因可能是A 行星外侧还存在着一颗未知行星B ，已知行星B 与行星A 同向转动，则行星B 的运行轨道(可认为是圆轨道)半径近似为( )图6A ．R ＝R 0B ．R ＝R 03t 02(t 0－T 0)2t 0t 0－T 0C ．R ＝R 0D ．R ＝R 0t 03(t 0－T 0)3t 0t 0－T 0答案　A解析　A 行星运行的轨道发生最大偏离，一定是B 对A 的引力引起的，且B 行星在此时刻对A 有最大的引力，故此时A 、B 行星与恒星在同一直线上且位于恒星的同一侧，设B 行星的运行周期为T ，运行的轨道半径为R ，根据题意有t 0－t 0＝2π，所以T ＝，由开2πT 02πT t 0T 0t 0－T 0普勒第三定律可得＝，联立解得R ＝R 0，故A 正确，B 、C 、D 错误．R 03T 02R 3T 23t 02(t 0－T 0)212．(2019·河南郑州市第一次模拟)“玉兔号”月球车与月球表面的第一次接触实现了中国人“奔月”的伟大梦想．“玉兔号”月球车在月球表面做了一个自由下落实验，测得物体从静止自由下落h 高度的时间为t ，已知月球半径为R ，自转周期为T ，引力常量为G .求：(1)月球表面重力加速度的大小；(2)月球的质量和月球的第一宇宙速度的大小；(3)月球同步卫星离月球表面高度．答案　(1)　(2) (3)－R2ht 22R 2hGt 22hRt 23T 2R 2h2π2t 2解析　(1)由自由落体运动规律有：h ＝gt 2，所以有：g ＝.122ht 2(2)月球的第一宇宙速度为近月卫星的运行速度，根据重力提供向心力mg ＝m ，v 12R 所以：v 1＝＝gR 2hRt 2在月球表面的物体受到的重力等于万有引力，则有：mg ＝GMm R 2所以M ＝.2R 2hGt 2(3)月球同步卫星绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力有：＝m (R ＋h ′)GMm(R ＋h ′)24π2T 2解得h ′＝－R .3T 2R 2h2π2t 213.(多选)(2019·全国卷Ⅰ·21)在星球M 上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P 轻放在弹簧上端，P 由静止向下运动，物体的加速度a 与弹簧的压缩量x 间的关系如图7中实线所示．在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q 完成同样的过程，其a －x 关系如图中虚线所示．假设两星球均为质量均匀分布的球体．已知星球M 的半径是星球N 的3倍，则( )图7A ．M 与N 的密度相等B ．Q 的质量是P 的3倍C ．Q 下落过程中的最大动能是P 的4倍D ．Q 下落过程中弹簧的最大压缩量是P 的4倍答案　AC解析　设物体P 、Q 的质量分别为m P 、m Q ；星球M 、N 的质量分别为M 1、M 2，半径分别为R 1、R 2，密度分别为ρ1、ρ2；M 、N 表面的重力加速度分别为g 1、g 2.在星球M 上，弹簧压缩量为0时有m P g 1＝3m P a 0，所以g 1＝3a 0＝G ，密度ρ1＝＝；在星球N 上，M 1R 12M 143πR 139a 04πGR 1弹簧压缩量为0时有m Q g 2＝m Q a 0，所以g 2＝a 0＝G ，密度ρ2＝＝；因为M 2R 22M 243πR 233a 04πGR 2R 1＝3R 2，所以ρ1＝ρ2，选项A 正确；当物体的加速度为0时有m P g 1＝3m P a 0＝kx 0，m Q g 2＝m Q a 0＝2kx 0，解得m Q ＝6m P ，选项B 错误；根据a －x 图线与x轴围成图形的面积和质量的乘积表示合外力做的功可知，E km P ＝m P a 0x 0，E km Q ＝m Q a 0x 0，所32以E km Q ＝4E km P ，选项C 正确；根据运动的对称性可知，Q 下落时弹簧的最大压缩量为4x 0，P 下落时弹簧的最大压缩量为2x 0，选项D 错误．。

一二三宇宙速度计算过程一二三宇宙速度计算过程宇宙速度是指物质从地球上跑出去的速度，由于宇宙速度非常大，在日常生活中很难感性理解，因此我们需要运用一定的数学知识来进行计算。

一、计算器材计算宇宙速度需要使用以下材料和数据：1. 望远镜：可以观察天体的电子设备2. 天文学表格或者软件：列出星球之间的距离和质量数据3. 速度计算器或在线计算器二、寻找起点和终点在计算宇宙速度之前，需要先寻找起点和终点。

这通常需要使用望远镜来观察天体，然后使用天文学表格或者软件来确定起点和终点之间的距离。

三、计算两点之间的距离确定了起点和终点的位置之后，需要计算它们之间的距离。

这一步需要使用天文学表格或者软件，输入两个星球之间的距离和质量。

四、计算总能量总能量是指物体在运动的过程中具有的能量，也称作动能。

计算总能量的公式为：总能量 = 1/2 x 质量 x 速度²。

五、计算一宇宙速度一宇宙速度是指物质从地球上跑出去的速度，通常被定义为299792.458 km每秒。

计算一宇宙速度的公式为：速度 = 1宇宙速度x n。

其中，n为数字，代表其它速度与一宇宙速度的比值。

六、计算宇宙速度计算宇宙速度的公式为：宇宙速度 = 总能量 / 质量。

将计算结果除以一宇宙速度，就可以得出宇宙速度。

七、总结通过以上步骤，我们就可以得出宇宙速度的计算结果。

宇宙速度是人类研究宇宙、探索宇宙的基础，对于了解宇宙的运行规律、宇宙中物质的分布等方面都具有重要的意义。

因此，我们需要通过学习数学知识来掌握计算宇宙速度的方法，为宇宙探索事业做出贡献。

高中物理：三大宇宙速度含义解释宇宙速度及其意义(1)三个宇宙速度的值分别为第一宇宙速度（又叫最小发射速度、最大环绕速度、近地环绕速度）：物体围绕地球做匀速圆周运动所需要的最小发射速度，又称环绕速度，其值为：第一宇宙速度的计算：方法一：地球对卫星的万有引力就是卫星做圆周运动的向心力．G=m，v=。

当h↑，v↓，所以在地球表面附近卫星的速度是它运行的最大速度。

其大小为r＞＞h（地面附近）时，=7．9×103m/s方法二：在地面附近物体的重力近似地等于地球对物体的万有引力，重力就是卫星做圆周运动的向心力．．当r＞＞h时．gh≈g所以v1＝=7．9×103m/s第二宇宙速度（脱离速度）：如果卫生的速大于而小于，卫星将做椭圆运动。

当卫星的速度等于或大于的时候，物体就可以挣脱地球引力的束缚，成为绕太阳运动的人造行星，或飞到其它行星上去，把叫做第二宇宙速度，第二宇宙速度是挣脱地球引力束缚的最小发射速度。

第三宇宙速度：物体挣脱太阳系而飞向太阳系以外的宇宙空间所需要的最小发射速度，又称逃逸速度，其值为：(2)当发射速度v与宇宙速度分别有如下关系时，被发射物体的运动情况将有所不同①当v＜v1时，被发射物体最终仍将落回地面；②当v1≤v＜v2时，被发射物体将环绕地球运动，成为地球卫星；③当v2≤v＜v3时，被发射物体将脱离地球束缚，成为环绕太阳运动的“人造行星”；④当v≥v3时，被发射物体将从太阳系中逃逸。

5．同步卫星（所有的通迅卫星都为同步卫星）⑴同步卫星。

“同步”的含义就是和地球保持相对静止（又叫静止轨道卫星），所以其周期等于地球自转周期，既T=24h，⑵特点（1）地球同步卫星的轨道平面，非同步人造地球卫星其轨道平面可与地轴有任意夹角，而同步卫星一定位于赤道的正上方，不可能在与赤道平行的其他平面上。

这是因为：不是赤道上方的某一轨道上跟着地球的自转同步地作匀速圆运动，卫星的向心力为地球对它引力的一个分力F1，而另一个分力F2的作用将使其运行轨道靠赤道，故此，只有在赤道上空，同步卫星才可能在稳定的轨道上运行。

第二宇宙速度公式
第二宇宙速度即挣脱地球引力的最小速度，也就是逃逸速率，由公式F=GM1M2/R^2和F=MV^2/R及太阳质量地球环绕半径可求得G*M*m/r^2=m*（v^2）/rG引力常数，M被环绕天体质量，m环绕物体质量，r环绕半径，v速度。

得出v^2=G*M/r，月球半径约1738公里，是地球的3/11.质量约7350亿亿吨，相当于地球质量的1/81.
月球的第一宇宙速度约是1.68km/s。

在根据：V^2＝GM（2/r-1/a）a是人造天体运动轨道的半长径。

a →∞，得第二宇宙速度V2=2.38km/s。

一般：第二宇宙速度V2等于第一宇宙速度V1乘以√2.
第三宇宙速度V3较难：
我以地球打比方吧，绕太阳运动的平均线速度为29.8km/s。

在地球轨道上，要使人造天体脱离太阳引力场的逃逸速度为42.1km/s。

当它与地球的运动方向一致的时候，能够充分利用地球的运动速度，在这种情况下，人造天体在脱离地球引力场后本身所需要的速度仅为两者之差V0=12.3km/s。

设在地球表面发射速度为V3，分别列出两个活力公式并且联立：
V3^2-V0^2=GM（2/r-2/d）其中d是地球引力的作用范围半径，由于d远大于r，因此和2/r这一项比起来的话可以忽略2/d这一项，由此就可以计算出：
V3=16.7km/s，也就是第三宇宙速度。

航天与星体问题专题一．要点归纳1．天体运动的两个基本规律 (1)万有引力提供向心力行星卫星模型：F ＝G Mm r 2＝m v 2r ＝mrω2＝m 4π2T2r双星模型：G m 1m 2L2＝m 1ω2r 1＝m 2ω2(L －r 1)其中，G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2 2．万有引力等于重力 G MmR 2＝mg (物体在地球表面且忽略地球自转效应)； G Mm (R ＋h )2＝mg ′(在离地面高h 处，忽略地球自转效应完全相等，g ′为该处的重力加速度)2．人造卫星的加速度、线速度、角速度、周期跟轨道半径的关系F 万＝G Mmr2＝F 向＝⎩⎪⎨⎪⎧ma →a ＝GM r 2→a ∝1r2m v 2r →v ＝GM r →v ∝1rmω2r →ω＝GM r 3→ω∝1r3m 4π2T 2r →T ＝4π2r3GM→T ∝r 3.3．宇宙速度(1)第一宇宙速度(环绕速度)：v ＝gR ＝7.9_km/s ，是卫星发射的最小速度，也是卫星环绕地球运行的最大速度．(2)第二宇宙速度：v ＝11.2 km/s (3)第三宇宙速度：v ＝16.7 km/s注意：①三个宇宙速度的大小都是取地球中心为参照系； ②以上数据是地球上的宇宙速度，其他星球上都有各自的宇宙速度，计算方法与地球相同．4．关于地球同步卫星地球同步卫星是指与地球自转同步的卫星，它相对于地球表面是静止的，广泛应用于通信领域，又叫做同步通信卫星．其特点可概括为六个“一定”：(1)位置一定(必须位于地球赤道的上空)地球同步卫星绕地球旋转的轨道平面一定与地球的赤道面重合．假设同步卫星的轨道平面与赤道平面不重合，而与某一纬线所在的平面重合，如图3－4所示．同步卫星由于受到地球指向地心的万有引力F 的作用，绕地轴做圆周运动，F 的一个分力F 1提供向心力，而另一个分力F 2将使同步卫星不断地移向赤道面，最终直至与赤道面重合为止(此时万有引力F 全部提供向心力)．图3－4(2)周期(T )一定①同步卫星的运行方向与地球自转的方向一致．②同步卫星的运转周期与地球的自转周期相同，即T ＝24 h ． (3)角速度(ω)一定由公式ω＝φt 知，地球同步卫星的角速度ω＝2πT，因为T 恒定，π为常数，故ω也一定．(4)向心加速度(a )的大小一定地球同步卫星的向心加速度为a ，则由牛顿第二定律和万有引力定律得： G Mm (R ＋h )2＝ma ，a ＝GM (R ＋h )2． (5)距离地球表面的高度(h )一定由于万有引力提供向心力，则在ω一定的条件下，同步卫星的高度不具有任意性，而是唯一确定的．根据G Mm (R ＋h )2＝mω2(R ＋h )得： h ＝3GM ω2－R ＝3GM(2πT)2－R ≈36000 km ． (6)环绕速率(v )一定在轨道半径一定的条件下，同步卫星的环绕速率也一定，且为v ＝GMr＝R 2gR ＋h＝3.08 km/s ．因此，所有同步卫星的线速度大小、角速度大小及周期、半径都相等． 由此可知要发射同步卫星必须同时满足三个条件： ①卫星运行周期和地球自转周期相同； ②卫星的运行轨道在地球的赤道平面内； ③卫星距地面高度有确定值．二、天体质量、密度及表面重力加速度的计算1．星体表面的重力加速度：g ＝G MR22．天体质量常用的计算公式：M ＝r v 2G ＝4π2r 3GT2●例1 假设某个国家发射了一颗绕火星做圆周运动的卫星．已知该卫星贴着火星表面运动，把火星视为均匀球体，如果知道该卫星的运行周期为T ，引力常量为G ，那么( )A ．可以计算火星的质量B ．可以计算火星表面的引力加速度C ．可以计算火星的密度D ．可以计算火星的半径【解析】卫星绕火星做圆周运动的向心力由万有引力提供，则有：G Mm r 2＝m 4π2T2r而火星的质量M ＝ρ43πr 3联立解得：火星的密度ρ＝3πGT2由M ＝4π2r 3GT 2，g ＝G M r 2＝4π2T2r 知，不能确定火星的质量、半径和其的表面引力加速度，所以C 正确．[答案] C 【点评】历年的高考中都常见到关于星体质量(或密度)、重力加速度的计算试题，如2009年高考全国理综卷Ⅰ第19题，江苏物理卷第3题，2008年高考上海物理卷1(A)等． ★同类拓展1 我国探月的嫦娥工程已启动，在不久的将来，我国宇航员将登上月球．假如宇航员在月球上测得摆长为l 的单摆做小振幅振动的周期为T ，将月球视为密度均匀、半径为r 的球体，则月球的密度为( )A ．3πGT 2B ．3πl GrT 2C ．16πl 3GrT 2D ．3πl 16GrT 2 【解析】设月球表面附近的重力加速度为g 0．有：T ＝2πlg 0又由g 0＝G M r 2，ρ＝3M4πr 3可解得ρ＝3πlGrT 2．[答案] B三、行星、卫星的动力学问题不同轨道的行星(卫星)的速度、周期、角速度的关系在“要点归纳”中已有总结，关于这类问题还需特别注意分析清楚卫星的变轨过程及变轨前后的速度、周期及向心加速度的关系．●例2 2008年9月25日到28日，我国成功发射了神舟七号载人航天飞行并实现了航天员首次出舱．飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点343千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为343千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为90分钟．下列判断正确的是[2009年高考·山东理综卷]( )A ．飞船变轨前后的机械能相等B ．飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态C ．飞船在此圆轨道上运动的角速度大于同步卫星运动的角速度D ．飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度 【解析】飞船点火变轨，反冲力对飞船做正功，飞船的机械能不守恒，A 错误．飞船在圆形轨道上绕行时，航天员(包括飞船及其他物品)受到的万有引力恰好提供所需的向心力，处于完全失重状态，B 正确．神舟七号的运行高度远低于同步卫星，由ω2∝1r3知，C 正确．由牛顿第二定律a ＝F 引m ＝G Mr2知，变轨前后过同一点的加速度相等．[答案] BC【点评】对于这类卫星变轨的问题，特别要注意比较加速度时不能根据运动学公式a ＝v 2r ＝ω2r ，因为变轨前后卫星在同一点的速度、轨道半径均变化，一般要通过决定式a ＝F m 来比较．★同类拓展1 为纪念伽利略将望远镜用于天文观测400周年，2009年被定为以“探索我的宇宙”为主题的国际天文年．我国发射的嫦娥一号卫星绕月球经过一年多的运行，完成了既定任务，于2009年3月1日16日13分成功撞月．图示为嫦娥一号卫星撞月的模拟图，卫星在控制点1开始进入撞月轨道．假设卫星绕月球做圆周运动的轨道半径为R ，周期为T ，引力常量为G ．根据题中信息( )A ．可以求出月球的质量B ．可以求出月球对嫦娥一号卫星的引力C ．可知嫦娥一号卫星在控制点1处应减速D ．可知嫦娥一号在地面的发射速度大于11.2 km/s【解析】由G Mm R 2＝m 4π2T 2R 可得月球的质量M ＝4π2R 3GT 2，A 正确．由于不知嫦娥一号的质量，无法求得引力，B 错误．卫星在控制点1开始做近月运动，知在该点万有引力要大于所需的向心力，故知在控制点1应减速，C 正确．嫦娥一号进入绕月轨道后，同时还与月球一起绕地球运行，并未脱离地球，故知发射速度小于11.2 km/s ，D 错误．[答案] AC四、星体、航天问题中涉及的一些功能关系1．质量相同的绕地做圆周运动的卫星，在越高的轨道动能E k ＝12m v 2＝G Mm2r越小，引力势能越大，总机械能越大．2．若假设距某星球无穷远的引力势能为零，则距它r 处卫星的引力势能E p ＝－G Mmr(不需推导和记忆)．在星球表面处发射物体能逃逸的初动能为E k ≥|E p |＝G MmR．●例3 2008年12月，天文学家们通过观测的数据确认了银河系中央的黑洞“人马座A *”的质量与太阳质量的倍数关系．研究发现，有一星体S2绕人马座A *做椭圆运动，其轨道半长轴为9.50×102天文单位(地球公转轨道的半径为一个天文单位)，人马座A *就处在该椭圆的一个焦点上．观测得到S2星的运动周期为15.2年．(1)若将S2星的运行轨道视为半径r ＝9.50×102天文单位的圆轨道，试估算人马座A *的质量M A 是太阳质量M S 的多少倍．(结果保留一位有效数字)(2)黑洞的第二宇宙速度极大，处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚．由于引力的作用，黑洞表面处质量为m 的粒子具有的势能为E p ＝－G MmR(设粒子在离黑洞无限远处的势能为零)，式中M 、R 分别表示黑洞的质量和半径．已知引力常量G ＝6.7×10－11 N·m 2 /kg 2，光速c ＝3.0×108 m/s ，太阳质量M S ＝2.0×1030 kg ，太阳半径R S ＝7.0×108 m ，不考虑相对论效应，利用上问结果，在经典力学范围内求人马座A *的半径R A 与太阳半径R S 之比应小于多少．(结果按四舍五入保留整数)[2009年高考·天津理综卷] 【解析】(1)S2星绕人马座A *做圆周运动的向心力由人马座A *对S2星的万有引力提供，设S2星的质量为m S2，角速度为ω，周期为T ，则有：G M A m S2r 2＝m S2ω2rω＝2πT设地球质量为m E ，公转轨道半径为r E ，周期为T E ，则： G M S m E r E 2＝m E (2πT E)2r E 综合上述三式得：M A M S ＝(r r E )3(T ET)2上式中T E ＝1年，r E ＝1天文单位代入数据可得：M AM S＝4×106．(2)引力对粒子作用不到的地方即为无限远处，此时粒子的势能为零．“处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚”，说明了黑洞表面处以光速运动的粒子在远离黑洞的过程中克服引力做功，粒子在到达无限远之前，其动能便减小为零，此时势能仍为负值，则其能量总和小于零．根据能量守恒定律可知，粒子在黑洞表面处的能量也小于零，则有：12mc 2－G Mm R＜0 依题意可知：R ＝R A ，M ＝M A可得：R A ＜2GM Ac2代入数据得：R A ＜1.2×1010 m 故R AR S＜17． [答案] (1)4×106 (2)R AR S<17【点评】①“黑洞”问题在高考中时有出现，关键要理解好其“不能逃逸”的动能定理方程：12mc 2－G Mm R<0．②E p ＝－G MmR是假定离星球无穷远的物体与星球共有的引力势能为零时，物体在其他位置(与星球共有)的引力势能，同样有引力做的功等于引力势能的减少．★同类拓展2 2005年10月12日，神舟六号飞船顺利升空后，在离地面340 km 的圆轨道上运行了73圈．运行中需要多次进行轨道维持．所谓“轨道维持”就是通过控制飞船上发动机的点火时间、推力的大小和方向，使飞船能保持在预定轨道上稳定运行．如果不进行轨道维持，由于飞船在轨道上运动受摩擦阻力的作用，轨道高度会逐渐缓慢降低，在这种情况下，下列说法正确的是( )A ．飞船受到的万有引力逐渐增大、线速度逐渐减小B ．飞船的向心加速度逐渐增大、周期逐渐减小、线速度和角速度都逐渐增大C ．飞船的动能、重力势能和机械能都逐渐减小D ．重力势能逐渐减小，动能逐渐增大，机械能逐渐减小【解析】飞船的轨道高度缓慢降低，由万有引力定律知其受到的万有引力逐渐增大，向心加速度逐渐增大，又由于轨道变化的缓慢性，即在很短时间可当做匀速圆周运动，由G Mmr2＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2T2r 知，其线速度逐渐增大，动能增大，由此可知飞船动能逐渐增大，重力势能逐渐减小，由空气阻力做负功知机械能逐渐减少．[答案] BD五、双星问题●例4 天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星．双星系统在银河系中很普遍．利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量．已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T ，两颗恒星之间的距离为r ，试推算这个双星系统的总质量．(引力常量为G )[2008年高考·宁夏理综卷]【解析】设两颗恒星的质量分别为m 1、m 2，做圆周运动的半径分别为r 1、r 2，角速度分别为ω1、ω2．根据题意有：ω1＝ω2 r 1＋r 2＝r根据万有引力定律和牛顿定律，有：G m 1m 2r 2＝m 1r 1ω12 G m 1m 2r 2＝m 2r 2ω22 联立解得：r 1＝m 2rm 1＋m 2根据角速度与周期的关系知ω1＝ω2＝2πT联立解得：m 1＋m 2＝4π2r3T 2G．[答案] 4π2r3T 2G【点评】在双星系统中，当其中一星体质量远远大于另一星体时，它们的共同圆心就在大质量星球内部且趋近于球心．1．天文学家新发现了太阳系外的一颗行星．这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍．已知某一近地卫星绕地球运行的周期约为1.4小时，引力常量G ＝6.67×10－11N·m 2/kg 2，由此估算该行星的平均密度约为[2009年高考·全国理综卷Ⅰ]( )A ．1.8×103 kg/m 3B ．5.6×103 kg/m 3C ．1.1×104 kg/m 3D ．2.9×104 kg/m 3【解析】由G Mm R 2＝m 4π2T 2R ，ρ＝3M 4πR 3可得，地球密度ρ＝3πGT 2，再由质量和体积关系得该行星的密度ρ′＝2.9×104 kg/m 3．[答案] D练习1．2009年2月11日，俄罗斯的“宇宙－2251”卫星和美国的“铱－33”卫星在西伯利亚上空约805 km 处发生碰撞．这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件．碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境．假定有甲、乙两块碎片，绕地球运行的轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是[2009年高考·安徽理综卷Ⅰ]( )A ．甲的运行周期一定比乙的长B ．甲距地面的高度一定比乙的高C ．甲的向心力一定比乙的小D ．甲的加速度一定比乙的大【解析】由v ＝GMr可知，甲碎片的速率大，轨道半径小，故B 错误；由公式T ＝2πR 3GM可知，甲的周期小，故A 错误；由于未知两碎片的质量，无法判断向心力的大小，故C 错误；碎片的加速度是指引力加速度，由G Mm R 2＝ma ，可得a ＝GMR2，甲的加速度比乙大，D 正确．[答案] D2.1990年4月25日，科学家将哈勃天文望远镜送上距地球表面约600 km 的高空，使得人类对宇宙中星体的观测与研究有了极大的进展．假设哈勃望远镜沿圆轨道绕地球运行．已知地球半径为6.4×106 m ，利用地球同步卫星与地球表面的距离为3.6×107m 这一事实可得到哈勃望远镜绕地球运行的周期．以下数据中，最接近其运行周期的是[2008年高考·四川理综卷]( )A ．0.6小时B ．1.6小时C ．4.0小时D ．24小时【解析】由开普勒行星运动定律可知，R 3T 2＝恒量，所以(r ＋h 1)3t 12＝(r ＋h 2)3t 22，其中r 为地球的半径，h 1，t 1，h 2，t 2分别表示望远镜到地表的距离、望远镜的周期、同步卫星距地表的距离、同步卫星的周期(24 h)，代入解得：t 1＝1.6 h ．[答案] B【点评】高考对星体航天问题的考查以圆周运动的动力学方程为主，具体常涉及求密度值、同步卫星的参量、变轨的能量变化等．在具体解题时要注意运用好几个常用的代换．3．我国发射的嫦娥一号探月卫星沿近似于圆形的轨道绕月飞行．为了获得月球表面全貌的信息，让卫星轨道平面缓慢变化，卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球．设地球和月球的质量分别为M 和m ，地球和月球的半径分别为R 和R 1，月球绕地球的轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为r 和r 1，月球绕地球转动的周期为T ．假定在卫星绕月运行的一个周期内卫星轨道平面与地月连心线共面，求在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间．(用M 、m 、R 、R 1、r 、r 1和T 表示，忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影响)．[2008年高考·全国理综卷Ⅱ]【解析】如图所示，设O 和O ′分别表示地球和月球的中心．在卫星轨道平面上，A 是地月连心线OO ′与地月球表面的公切线ACD 的交点，D 、C 和B 分别是该公切线与地球表面、月球表面和卫星轨道的交点．过A 点在另一侧作地月球面的公切线，交卫星轨道于E 点．卫星在圆弧BE 上运动时发出的信号被遮挡．设探月卫星的质量为m 0，引力常量为G ，根据万有引力定律有： G Mm r 2＝m (2πT )2r G mm 0r 12＝m 0(2πT 1)2r 1(其中T 1表示探月卫星绕月球转动的周期) 由以上两式可得：(T 1T )2＝M m (r 1r)3设卫星的微波信号被遮挡的时间为t ，则由于卫星绕月球做匀速圆周运动，有： t T 1＝α－βπ，其中α＝∠CO ′A ，β＝∠CO ′B 由几何关系得：r cos α＝R －R 1，r 1cos β＝R 1联立解得：t ＝T πMr 13mr 3(arccos R －R 1r －arccos R 1r 1)． [答案] T πMr 13mr 3(arccos R －R 1r －arccos R 1r 1) 【点评】航体星体问题有时在高考中也以计算题出现，解答的关键仍是做圆周运动的动力学方程．另外，还需要同学们具有丰富的想象力，描绘情境图、难图化易、化整为零等能力．六．能力演练4.2005年12月11日，有着“送子女神”之称的小行星“婚神”(Juno)冲日，在此后十多天的时间里，国内外天文爱好者凭借双筒望远镜可观测到它的“倩影”．在太阳系中除了八大行星以外，还有成千上万颗肉眼看不见的小天体，沿着椭圆轨道不停地围绕太阳公转．这些小天体就是太阳系中的小行星．冲日是观测小行星难得的机遇．此时，小行星、太阳、地球几乎成一条直线，且和地球位于太阳的同一侧．“婚神”星冲日的虚拟图如图所示，则( )A ．2005年12月11日，“婚神”星的线速度大于地球的线速度B ．2005年12月11日，“婚神”星的加速度小于地球的加速度C ．2006年12月11日，必将发生下一次“婚神”星冲日D ．下一次“婚神”星冲日必将在2006年12月11日之后的某天发生【解析】由G Mm r 2＝m v 2r 得v 2∝1r ，“婚神”的线速度小于地球的线速度，由a ＝F m ＝G Mr2知，“婚神”的加速度小于地球的加速度，地球的公转周期为一年，“婚神”的公转周期大于一年，C 错误，D 正确．[答案] BD5.2007年11月5日，嫦娥一号探月卫星沿地月转移轨道到达月球附近，在距月球表面200 km 的P 点进行第一次“刹车制动”后被月球俘获，进入椭圆轨道 Ⅰ 绕月飞行，如图所示．之后，卫星在P 点经过几次“刹车制动”，最终在距月球表面200 km 、周期127 min 的圆形轨道 Ⅲ 上绕月球做匀速圆周运动．若已知月球的半径R 月和引力常量G ，忽略地球对嫦娥一号的引力作用，则由上述条件( )A ．可估算月球的质量B ．可估算月球表面附近的重力加速度C ．可知卫星沿轨道Ⅰ经过P 点的速度小于沿轨道Ⅲ经过P 点的速度D ．可知卫星沿轨道Ⅰ经过P 点的加速度大于沿轨道Ⅱ经过P 点的加速度【解析】由G Mm (R 月＋h )2＝m (R 月＋h )4π2T 2可得：月球的质量M ＝4π2(R 月＋h )3GT 2，选项A 正确．月球表面附近的重力加速度为：g 月＝G M R 月2＝4π2(R 月＋h )3R 月2T 2，选项B 正确．卫星沿轨道Ⅰ经过P 点时有： m v P Ⅰ2R 月＋h >G Mm (R 月＋h )2沿轨道Ⅲ经过P 点时：m v P Ⅲ2(R 月＋h )＝G Mm(R 月＋h )2可见v P Ⅲ<v P Ⅰ，选项C 错误．加速度a P ＝F m ＝G M(R 月＋h )2，与轨迹无关，选项D 错误．[答案] AB6．假设太阳系中天体的密度不变，天体的直径和天体之间的距离都缩小到原来的 12，地球绕太阳公转近似为匀速圆周运动，则下列物理量变化正确的是( )A ．地球绕太阳公转的向心力变为缩小前的 12B ．地球绕太阳公转的向心力变为缩小前的 116C ．地球绕太阳公转的周期与缩小前的相同D ．地球绕太阳公转的周期变为缩小前的 12【解析】天体的质量M ＝ρ43πR 3，各天体质量变为M ′＝18M ，变化后的向心力F ′＝G 164Mm (r 2)2＝116F ，B 正确．又由G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得T ′＝T ．[答案] BC 7．假设有一载人宇宙飞船在距地面高度为4200 km 的赤道上空绕地球做匀速圆周运动，地球半径约为6400 km ，地球同步卫星距地面高为36000 km ，宇宙飞船和一地球同步卫星绕地球同向运动，每当两者相距最近时．宇宙飞船就向同步卫星发射信号，然后再由同步卫星将信号发送到地面接收站，某时刻两者相距最远，从此刻开始，在一昼夜的时间内，接收站共接收到信号的次数为( )A ．4次B ．6次C ．7次D ．8次 【解析】设宇宙飞船的周期为T 有：T 2242＝(6400＋42006400＋36000)3 解得：T ＝3 h设两者由相隔最远至第一次相隔最近的时间为t 1，有： (2πT －2πT 0)·t 1＝π 解得t 1＝127h再设两者相邻两次相距最近的时间间隔为t 2，有： (2πT －2πT 0)·t 2＝2π 解得：t 2＝247 h由n ＝24－t 1t 2＝6.5(次)知，接收站接收信号的次数为7次．[答案] C8．图示为全球定位系统(GPS)．有24颗卫星分布在绕地球的6个轨道上运行，它们距地面的高度都为2万千米．已知地球同步卫星离地面的高度为3.6万千米，地球半径约为6400 km ，则全球定位系统的这些卫星的运行速度约为()A ．3.1 km/sB ．3.9 km/sC ．7.9 km/sD ．11.2 km/s 【解析】同步卫星的速度v 1＝2πT r ＝3.08 km/s ．又由v 2∝1r，得定位系统的卫星的运行速度v 2＝3.9 km/s ．[答案] B9．均匀分布在地球赤道平面上空的三颗同步通信卫星够实现除地球南北极等少数地区外的全球通信．已知地球的半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，地球的自转周期为T ．下列关于三颗同步卫星中，任意两颗卫星间距离s 的表达式中，正确的是( )A ．3RB ．23RC ．334π2gR 2T 2 D ．33gR 2T 24π2【解析】设同步卫星的轨道半径为r ，则由万有引力提供向心力可得：G Mm r 2＝m 4π2T 2r解得：r ＝3gR 2T 24π2由题意知，三颗同步卫星对称地分布在半径为r 的圆周上，故s ＝2r cos 30°＝33gR 2T 24π2，选项D 正确．[答案] D10.发射通信卫星的常用方法是，先用火箭将卫星送入一近地椭圆轨道运行；然后再适时开动星载火箭，将其送上与地球自转同步运行的轨道．则( )A ．变轨后瞬间与变轨前瞬间相比，卫星的机械能增大，动能增大B ．变轨后瞬间与变轨前瞬间相比，卫星的机械能增大，动能减小C ．变轨后卫星运行速度一定比变轨前卫星在椭圆轨道上运行时的最大速度要大D ．变轨后卫星运行速度一定比变轨前卫星在椭圆轨道上运行时的最大速度要小【解析】火箭是在椭圆轨道的远地点加速进入同步运行轨道的，故动能增大，机械能增大，A 正确．设卫星在同步轨道上的速度为v 1，在椭圆轨道的近地点的速度为v 2，再设椭圆轨道近地点所在的圆形轨道的卫星的速度为v 3．由G Mmr 2＝m v 2r，知v 3>v 1；又由向心力与万有引力的关系知v 2>v 3．故v 1<v 2．选项C 错误，D 正确．[答案] AD11．(10分)火星和地球绕太阳的运动可以近似看做是同一平面内同方向的匀速圆周运动．已知火星公转轨道半径大约是地球公转轨道半径的32．从火星、地球于某一次处于距离最近的位置开始计时，试估算它们再次处于距离最近的位置至少需多少地球年．[计算结果保留两位有效数字，⎝⎛⎭⎫3232＝1.85]【解析】由G Mm r 2＝m 4π2T2r 可知，行星环绕太阳运行的周期与行星到太阳的距离的二分之三次方成正比，即T ∝r 32所以地球与火星绕太阳运行的周期之比为： T 火T 地＝(r 火r 地)32＝(32)32＝1.85 (3分) 设从上一次火星、地球处于距离最近的位置到再一次处于距离最近的位置，火星公转的圆心角为θ，则地球公转的圆心角必为2π＋θ，它们公转的圆心角与它们运行的周期之间应有此关系：θ＝2πt T 火，θ＋2π＝2πtT 地 (3分)得：2π＋2πt T 火＝2πtT 地(2分)最后得：t ＝T 火T 地T 火－T 地＝1.850.85T 地≈2.2年 (2分)[答案] 2.212．(11分)若宇航员完成了对火星表面的科学考察任务，乘坐返回舱返回围绕火星做圆周运动的轨道舱，如图所示． 为了安全，返回舱与轨道舱对接时，必须具有相同的速度． 已知：该过程宇航员乘坐的返回舱至少需要获得的总能量为E (可看做是返回舱的初动能)，返回舱与人的总质量为m ，火星表面重力加速度为g ，火星半径为R ，轨道舱到火星中心的距离为r ，不计火星表面大气对返回舱的阻力和火星自转的影响． 问：(1)返回舱与轨道舱对接时，返回舱与人共具有的动能为多少？(2)返回舱在返回轨道舱的过程中，返回舱与人共需要克服火星引力做多少功？【解析】(1)在火星表面有：GM R 2＝g (2分) 设轨道舱的质量为m 0，速度大小为v ，则有 ：G Mm 0r 2＝m 0v 2r(2分) 返回舱和人应具有的动能E k ＝12m v 2 (1分) 联立解得E k ＝mgR 22r． (1分) (2)对返回舱在返回过程中，由动能定理知：W ＝E k －E (2分)联立解得：火星引力对返回舱做的功W ＝mgR 22r－E (2分) 故克服引力做的功为：－W ＝E －mgR 22r． (1分) [答案] (1)mgR 22r (2)E －mgR 22r13．(11分)中国首个月球探测计划嫦娥工程预计在2017年送机器人上月球，实地采样送回地球，为载人登月及月球基地选址做准备．设想机器人随嫦娥号登月飞船绕月球飞行，飞船上备有以下实验仪器：A ．计时表一只；B ．弹簧秤一把；C ．已知质量为m 的物体一个；D ．天平一台(附砝码一盒)．在飞船贴近月球表面时可近似看成绕月球做匀速圆周运动，机器人测量出飞船在靠近月球表面的圆形轨道绕行N 圈所用的时间为t ．飞船的登月舱在月球上着陆后，遥控机器人利用所携带的仪器又进行了第二次测量，利用上述两次测量的物理量可出推导出月球的半径和质量．(已知引力常量为G )，要求：(1)说明机器人是如何进行第二次测量的．(2)试推导用上述测量的物理量表示的月球半径和质量的表达式．【解析】(1)机器人在月球上用弹簧秤竖直悬挂物体，静止时读出弹簧秤的示数F ，即为物体在月球上所受重力的大小． (3分)(2)在月球上忽略月球的自转可知：mg 月＝F (1分)G Mm R 2＝mg 月 (1分) 飞船在绕月球运行时，因为是靠近月球表面，故近似认为其轨道半径为月球的半径R ，由万有引力提供物体做圆周运动的向心力可知：G Mm R 2＝mR 4π2T 2，又T ＝t N(2分) 联立可得：月球的半径R ＝FT 24π2m ＝Ft 24π2N 2m (2分) 月球的质量M ＝F 3t 416π4GN 4m 3． (2分) [答案] (1)机器人在月球上用弹簧秤竖直悬挂物体，静止时读出弹簧秤的示数F ，即为。