第二宇宙速度经典的推导

三个宇宙速度1．三个宇宙速度的推算及其意义⑴ 三个宇宙速度的推算①第一宇宙速度（即环绕速度）计算第一宇宙速度是地球卫星的最小发射速度，也是地球卫星在近地轨道上运行时的速度．由mg R v m RMm G ==22得s m gR R GM v /109.73⨯===．例1． 已知地球与月球质量比为8：1，半径之比为3.8：1，在地球表面上发射卫星，至少需要7.9km/s 的速度，求在月球上发射一颗环绕月球表面运行的飞行物需要多大的速度？分析：地球上卫星需要的向心力来自地球的引力，月球上的飞行物需要的向心力是月球对它的引力.解答：发射环绕地球表面运行的飞行物时，有2R GmM 地地=m地地R v 2发射环绕月球表面运行的飞行物时，只有2R GmM 月月= m月月R v 2由此即可得：v 月=月地地月R R M M ⋅·v 地=8.31181⨯×7.9×103m/s =1.71×103m/s②第二宇宙速度（即脱离速度）的推算如果人造卫星进入地面附近的轨道速度等于或大于1l.2km ／s ，就会脱离地球的引力，这个速度称为第二宇宙速度．为了用初等数学方法计算第二宇宙速度，设想从地球表面至无穷远处的距离分成无数小段ab 、bc 、… ，等分点对应的半径为r 1、r 2 ……，如图所示．由于每一小段ab 、bc 、cd … 极小，这一小段上的引力可以认为不变．因此把卫星从地表a 送到b 时，外力克服引力做功)11()()(111121r R GMm R r r R Mm G R r R Mm GW -=-⋅=-= 同理，卫星从地表移到无穷远过程中，各小段上外力做的功分别为)11(212r r GMm W -=)11(323r r GMm W -= …)11(1n n n r r GMm W -=-)11(∞∞-=r r GMm W n把卫星送至无穷远处所做的总功 RMm G W W W W W W n =+++++=∞ 321为了挣脱地球的引力卫星必须具有的动能为RMm G W mv ==2221所以s km gR RGMv /2.11222===例2．已知物体从地球上的逃逸速度（第二宇宙速度）v 2=RGm2,其中G 、m 、R 分别是引力常量、地球的质量和半径.已知G =6.67×10-11N·m 2/kg 2,c =2.9979×108 m/s.求下列问题：（1）逃逸速度大于真空中光速的天体叫作黑洞，设某黑洞的质量等于太阳的质量m =1.98×1030 kg ，求它的可能最大半径；（2）在目前天文观测范围内，物质的平均密度为10-27 kg/m 3，如果认为我们的宇宙是这样一个均匀大球体，其密度使得它的逃逸速度大于光在真空中的速度c ，因此任何物体都不能脱离宇宙，问宇宙的半径至少多大？解答：（1）由题目所提供的信息可知，任何天体均存在其所对应的逃逸速度v 2=RGm2，其中m 、R 为天体的质量和半径．对于黑洞模型来说，其逃逸速度大于真空中的光速 ，即 v 2＞c所以R ＜22c Gm =283011)109979.2(1098.1107.62⨯⨯⨯⨯⨯-m=2.94×103 m即质量为1.98×1030kg 的黑洞的最大半径为2.94×103m.（2）把宇宙视为普通天体，则其质量m =ρ·V =ρ·34πR 3①其中R 为宇宙的半径，ρ为宇宙的密度，则宇宙的逃逸速度为v 2=RGm2 ②由于宇宙密度使得其逃逸速度大于光速c ，即v 2＞c③则由以上三式可得R ＞Gc πρ832=4.01×1026 m ，即宇宙的半径至少为4.24×1010光年．③第三宇宙速度（即逃逸速度）的推算脱离太阳引力的速度称为第三宇宙速度．因为地球绕太阳运行的速度为s km v /30=地，根据推导第二宇宙速度得到的脱离引力束缚的速度等于在引力作用下环绕速度的2倍，即s km s km v /4.42/3022=⨯=地因为人造天体是在地球上，所以只要沿地球运动轨道的方向增加s km v /4.12=∆即可，即需增加动能2)(21v m ∆．所以人造天体需具有的总能量为2322221)(2121mv v m mv E =∆+= 得第三宇宙速度s km v /7.163=⑵ 宇宙速度的意义当发射速度v 与宇宙速度分别有如下关系时，被发射物体的运动情况将有所不同①当v ＜v 1时，被发射物体最终仍将落回地面；②当v 1≤v ＜v 2时，被发射物体将环绕地球运动，成为地球卫星；③当v 2≤v ＜v 3时，被发射物体将脱离地球束缚，成为环绕太阳运动的“人造行星”；④当v ≥v 3时，被发射物体将从太阳系中逃逸。

三大宇宙速度的推导公式
1.逃逸速度
逃逸速度是指物体在天体表面所具有的最小速度，使得物体能够完全
逃离天体的引力束缚，不再被天体所吸引。

逃逸速度的推导公式如下：逃逸速度v_e=√(2GM/r)
其中，G是引力常数，M是天体的质量，r是距离天体中心的距离。

2.第一宇宙速度
第一宇宙速度是指物体在距离天体表面一定距离的地方所具有的最小
速度，使得物体能够绕天体运动。

第一宇宙速度的推导公式如下：第一宇宙速度v_1=√(GM/r)
其中，G是引力常数，M是天体的质量，r是距离天体中心的距离。

3.第二宇宙速度
第二宇宙速度是指物体在距离天体表面一定距离的地方所具有的速度，使得物体能够克服天体引力的束缚，无限远离天体。

第二宇宙速度的推导
公式如下：
第二宇宙速度v_2=√(2GM/R)
其中，G是引力常数，M是天体的质量，R是天体的半径。

这三个宇宙速度的推导公式都基于引力定律和运动力学原理。

在推导
过程中，我们假设天体是质点，不考虑天体的自转和形状对速度的影响。

同时，我们也忽略了其他天体和物体之间的相互作用。

以上是三大宇宙速度的推导公式，它们在宇宙探索和天体运动研究中具有重要意义。

这些公式用于计算和预测宇宙飞行器的运动轨迹以及模拟天体间的相互作用。

正确计算第二宇宙速度论文：正确计算第二宇宙速度
在天体运动规律的教学中，宇宙速度是个非常重要的物理量。

在现行的人教社高一物理教材中给出了三个宇宙速度的定义和数值：第一宇宙速度相对简单，且给出了简单的计算，但是对于第二和第三宇宙速度，教材中仅仅给出了其定义和数值。

学生常常问：这两个宇宙速度到底是怎么计算出来的呢？能够掌握第二宇宙速度的计算对于学生正确理解宇宙速度的本质有很大的帮助。

根据第二宇宙速度的定义：地面上发射的航天器能够脱离地球的引力，不再绕地球运行的最小速度叫做第二宇宙速度（人民教育出版社全日制普通高级中学教科书必修第103页）。

由于物体在离开地球引力场的过程中，所受的引力是在不断变化的，如果直接从动力学的角度分析，高中学生由于数学知识不足的原因在理解上有一定的难度。

如果利用功能关系进行推导，就显得简单易行。

这样，要计算第二宇宙速度，就必须求出在地球引力场中，移动物体时克服引力所做的功。

很显然，物体上升得越高，需要做的功也就越多。

本文正是从第二宇宙速度的定义出发，从便于学生理解的角度，利用功能关系对其大小进行了推导。

详细推导过程如下：
如图所示，设物体m从地球e的引力场中从p0处移动到p1处。

因各处的引力不等，我们可把p0，pn间的距离分
成许多极小的等分δx（此处包含有微分的思想）。

p0，p1，p2，…pn-1，pn和地球中心的距离分别为r0，r1，r2，rn-1，rn；先求出每一等分中的平均引力，然后求出通过每一等分时物体克服地球引力所做的功，这些功的总和，就是物体从p0移动到pn克服地球引力所做的功。

宇宙速度的推导①推导第一宇宙速度：第一宇宙速度是卫星在地面附近环绕地球运行的速度，是卫星的最大的轨道速度。

根据 R v m R Mm G 22=，可得第一宇宙速度 s 9km 7s m 104061089510676624111/./...R GM v ≈⨯⨯⨯⨯==-。

第一宇宙速度也可根据R v m mg 2=，求得 s 9km 7s m 104068961/./..gR v ≈⨯⨯==。

②推导第二宇宙速度：若取无穷远处为引力势能的零点，则地球上的物体所具有的引力势能为：RMm G E p -= (式中M 、m 分别表示地球和物体的质量，R 表示地球半径)。

要使物体克服地球引力的束缚，即物体能到达无穷远处，由能量守恒定律得E k ＋E p =0，即02122=-+）（R Mm G mv ，得第二宇宙速度 s 2km 11s km 9722212/./.v R GM v ≈⨯===。

③推导第三宇宙速度：地球以约30km/s 的速度绕太阳运动，地球上的物体也随着地球以这个速度绕太阳运动。

正像物体挣脱地球引力所需的最小速度等于它绕地球运动的速度的2倍那样，物体克服太阳引力的束缚所需的最小速度应等于它绕太阳运动的速度的2倍，即s 4km 42s km 302/./≈⨯。

由于物体已有绕太阳运动的速度30km/s ，所以只要使它沿地球运动轨道方向增加12.4km/s 的速度就行。

但要物体获得这个速度，首先必须使它挣脱地球引力的作用。

因此，除了给予物体221mv 的动能外（其中m 表示物体的质量，v 表示增加的速度12.4km/s ），还需给予它2221mv 的动能（v 2表示第二宇宙速度）。

用v 3表示第三宇宙速度（以地球为参考系），则物体应具有的动能为 22223212121mv mv mv +=。

所以， s 7km 16s km 211412222223/./..v v v ≈+=+=。

注：要求掌握v 1和v 2的推导方法，v 3的推导方法仅供欣赏。

第二宇宙速度的求解方法方法1，把一物体从地球表面发射的无穷远处，则它的初动能至少要有发射过程中，克服地球引力做功W 那样大。

即：21211R R R R GMm GMm W Fdr dr GMm r dr GMm dr GMm r R R ∞∞∞∞-⎡⎤====-=-=⎢⎥∞⎣⎦⎰⎰⎰⎰ 如果物体具有的动能足以达到以上数值，便可脱离地球引力的控制，飞到太阳系中绕太阳运动。

即221111.22GMm mv v km s R =∴===： 方法2，微元法如图,设地球的质量为M,将一质量为 m 的人造天体沿地球某一半径方向从距地心R i 处的A 点移到距地心R i+1 处的B 点,并设R i 与R i + 1相距很近,在这个小区间R ∆内，引力基本相同,即当0R ∆→时,2211i i i i i GMm GMm GMm F R R R R ++≈≈≈ 则把m 从A 到B 外力做功为：111()i i i i i i i i GMm GMm GMm W F R R R R R R R +++∆=∆=-=- 设地球的半径为R ，则把m 从R 移至无穷远处，外力所做的功W 。

11211()()...()...()i i i GMm GMm GMm GMm GMm GMm GMm GMm GMm GMm GMm W W R R R R R R R R R R R +∞-∞∞=∆=-+-++-++-=-=∑ 根据能量转换和守恒定律,要使人造天体摆脱地球的引力, 把它从地球表面移到无穷远处,外力所做的功就是人造天体发射时所必须具有的动能,这时人造天体所具有的速度就是第二宇宙速度v 2，即：2212GMm mv R=211.2v km s == 方法3，能量守恒法以地球为惯性参考系，从m 离开地球，直到脱离地球引力过程中，若不计空气阻力，也不考虑其他星体的影响，符合机械能守恒条件，以无穷远处为引力势能零点，则m 在地球表面处的引力势能为GMm R -，当质点从地面以v 2抛出时，质点远离地球，不断克服引力做功，摆脱地球引力时达到无穷远，动能消耗殆尽，引力势能达到最大值（等于零），有：2210011.220GMm mv v km s r Rv ≥-=∴=→∞= 方法4。

第一第二宇宙速度解读人类要发射人造地球卫星或发射完成星际航行的飞行器，就要摆脱地球强大的引力，那如何离开地球呢，这就要使运载飞行器或人造地球卫星的航天飞机或运载火箭的速度要达到宇宙速度，那什么是宇宙速度呢？所谓宇宙速度就是从地球表面发射飞行器，飞行器环绕地球、脱离地球和飞出太阳系所需要的最小速度，分别称为第一、第二、第三宇宙速度。

假设地球是一个圆环，周围也没有大气，物体能环绕地球运动的最低的轨道就是半径与地球半径相同的圆轨道。

这时物体具有的速度是第一宇宙速度，大约为7.9千米/秒。

也称为环绕速度。

物体在获得这一水平方向的速度以后，不需要再加动力就可以环绕地球运动。

地球上的物体要脱离地球引力成为环绕太阳运动的人造行星，需要的最小速度是第二宇宙速度，也称为逃逸速度。

第二宇宙速度为11.2千米/秒，是第一宇宙速度的2倍。

地面物体获得这样的速度即能沿一条抛物线轨道脱离地球。

地球上物体飞出太阳系相对地心最小速度称为第三宇宙速度。

它的大小为16.6千米/秒。

地面上的物体在充分利用地球公转速度情况下再获得这一速度后可沿双曲线轨道飞离地球。

当它到达距地心93万公里处，便被认为已经脱离地球引力，以后就在太阳引力作用下运动。

这个物体相对太阳的轨道是一条抛物线，最后会脱离太阳引力场飞出太阳系。

第一第二宇宙速度怎么求到的呢？一、第一宇宙速度如果忽略空气阻力，被发射的人造卫星质量为m ，地球的质量为M,人造卫星到地心的距离为r ，人造卫星沿圆轨道绕地球飞行的速度为v ，由于这时人造卫星做圆周运动的向心力就是地球对它的万有引力，所以r mv r GMm 22= 由此解得rGM v = 对于靠近地面运行的人造卫星，可以认为此时的r 近似等于地球的半径R,所以RGM v = s m /1037.61098.51067.662411⨯⨯⨯⨯=- s km /9.7=对于靠近地面运行的人造卫星，它所受的万有引力又等于地球表面它所受的重力，又可以表示成 Rv m mg 2= gR v =61037.68.9⨯⨯=s km /9.7=从rGM v =可以知道，卫星距地心越远，它运行的速度越小，对于靠近地面运行的人造卫星它的r 最小，速度最大，所以第一宇宙速度是人造卫星绕地球转动的最大速度。

对宇宙速度推导方法的研究宇宙速度:第一宇宙速度，第二宇宙速度，第三宇宙速度，第四宇宙速度，第五宇宙速度一、 第一宇宙速度1 、 方法一设地球半径为E R ，质量为E m ，在地面上有一质量为m 的抛体，以速度v 射出并且绕地球作圆周运动，则v 可称为第一宇宙环绕速度。

当抛体环绕地球作圆周运动时，由地球对抛出物体的引力提供抛体作圆周运动的向心力即 22E E E mm v G m R R =v =由代换公式 22E E E E mm mg G gR Gm R ==7.9()km v s===2 、 方法二仍设地球半径为E R ，质量为E m ，在地面上有一质量为m 的抛体，以初速度1v 竖直向 上发射，到达距地面高度为h 时，以速度v 绕地球作匀速率圆周运动，把抛体与地球作为一个系统，由于只有保守内力作用在这个系统上，系统的机械能守恒。

有 2211122E E E E Gmm Gmm E mv mv R R h =-=-+ 22122E E E EGm Gm v v R h R =-++ 而()22E E E Gmm v m R h R h =++ （向心力=万有引力）1v =由代换公式 E E gR Gm =1v = 对于地球表面附近的人造地球卫星，有 ()17.9E kmR hv s==方法二中若E R h 也得出方法一中的结果，说明方法一是在忽略h 的条件下推出的。

3 、 方法三设从高山上水平抛出一个物体，要想使这个抛体不落回地面，必使物体运动轨迹的弯曲程度与地球表面的弯曲程度相同，即至少使物体绕地球运转的轨迹与地球表面相似，且二者为同心圆，这样物体就不会落回地面了．如图1所示为地球的部分断面，现在把物体从山顶上A 点以水平速度抛射出去，如果没有地球的引力作用则1s 后物体将到达B 点，如图2，但由于地球的引力，物体在1s 时实际到达位置C ．设地球为均匀球体，其表面重力加速度为g ，故由自由落体运动可知21 4.92BC gt m =≈．倘若物体到达C 点时距地面的高度与A 点处距地面的高度相同，则物体就会沿着与地 图1 球同心的圆做圆周运动而不再落回地面上．图1中t AB v =，6370AD km =。

三个宇宙速度的理论推导（大庆师范大学物理与电气信息工程系，10级物理学一班，黄忠宇，201001071475）摘要：宇宙速度是指物体达到11.2千米/秒的运动速度时能摆脱地球引力束缚的一种速度。

在摆脱地球束缚的过程中，在地球引力的作用下它并不是直线飞离地球，而是按抛物线飞行。

脱离地球引力后在太阳引力作用下绕太阳运行。

若要摆脱太阳引力的束缚飞出太阳系，物体的运动速度必须达到16.7千米/秒。

那时将按双曲线轨迹飞离地球，而相对太阳来说它将沿抛物线飞离太阳。

关键词：地球引力束缚，环绕速度，逃逸速度，时空作者简介：黄忠宇（1990-），男，广西桂平人，黑龙江省大庆师范学院物理与电气信息工程系学生0引言第一宇宙速度（又称环绕速度）：是指物体紧贴地球表面作圆周运动的速度(也是人造地球卫星的最小发射速度)。

大小为7.9km/s ——计算方法是V=√(gR)，即是 V= sqrt(gR) (g是重力加速度，R是星球半径)第二宇宙速度（又称脱离速度）：是指物体完全摆脱地球引力束缚，飞离地球的所需要的最小初始速度。

大小为11.2km/s第三宇宙速度（又称逃逸速度）：是指在地球上发射的物体摆脱太阳引力束缚，飞出太阳系所需的最小初始速度。

其大小为16.7km/s。

环绕速度和逃逸速度也可应用于其他天体。

例如计算火星的环绕速度和逃逸速度，只需要把公式中的M,R,g换成火星的质量、半径、表面重力加速度即可。

第四宇宙速度1第一宇宙速度理论推导在地面上向远处发射炮弹，炮弹速度越高飞行距离越远，当炮弹的速度达到“7.9千米/秒”时，炮弹不再落回地面（不考虑大气作用），而环绕地球作圆周飞行，这就是第一宇宙速度。

第一宇宙速度第一宇宙速度也是人造卫星在地面附近绕地球做“匀速圆周运动”所必须具有的速度。

但是随着高度的增加，地球引力下降，环绕地球飞行所需要的飞行速度也降低，所有航天器都是在距地面很高的大气层外飞行，所以它们的飞行速度都比第一宇宙速度低。

宇宙速度的计算方法第一宇宙速度的计算方法第一宇宙速度〔V 1〕：航天器沿地球外表作圆周运动时必须具备的速度，也叫环绕速度。

按照力学理论可以计算出V 1＝7.9km/s 。

航天器在距离地面外表数百公里以上的高空运行，地面对航天器引力比在地面时要小，故其速度也略小于V 1第二宇宙速度的计算方法1.第二宇宙速度〔V 2〕： 当航天器超过第一宇宙速度V 1到达一定值时，它就会脱离地球的引力场而成为围绕太阳运行的人造行星，这个速度就叫做第二宇宙速度，亦称逃逸速度。

按照力学理论可以计算出第二宇宙速度V 2＝11.2 km/s 。

2.求第二宇宙速度：物体从地面到无限远处，机械能守恒：第三宇宙速度的计算方法第三宇宙速度〔V 3〕=从地球外表发射航天器，飞出太阳系，到浩瀚的银河系中漫游所需要的最小速度，就叫做第三宇宙速度。

按照力学理论可以计算出第三宇宙速度V 3＝16.7公里／秒。

需要注意的是，这是选择航天器入轨速度与地球公转速度方向一致时计算出的V 3值；如果方向不一致，所需速度就要大于16.7公里／秒了。

可以说，航天器的速度是挣脱地球乃至太阳引力的惟一要素，目前只有火箭才能突破宇宙速度。

设物体以第三宇宙速度抛出时具有的动能为1232E mV k =，这局部动能应该包括两局部：即脱离地球引力的动能E k1和脱离太阳引力的动能E k2。

即：E k ＝E k1+E k2。

易知：12122E mV k =，V 2为地球第二宇宙速度。

下面再求E k2：有两点说明：①因为地球绕太阳公转的椭圆轨道的离心率很小，可以当作圆来处理。

②发射时个行星对物体的引力很小，可以忽略不计。

基于这两点简化，发射过程可以应用机械能守恒定律解题。

物体随地球绕太阳的公转速率等于/s 。

其2倍应该为物体挣脱太阳引力所需的速度，即：'29.842.2/2V km s =〔以太阳为参照物〕。

如果准备飞出太阳系的物体在地球上的发射方向与地球绕太阳公转方向相同，便可以充分利用地球公转速度，这样物体在离开地球时只需要有相对地球的速度V ’＝42.2-29.8=/s 的速率便可以脱离太阳系。