多项式的因式分解复习学案

因式分解学案：用完全平方公式进行因式分解学案导语因式分解是数学中的重要内容之一，它有助于我们研究多项式的性质和解决实际问题。

在因式分解中，完全平方公式是一项非常有用的工具。

本学案将重点介绍如何使用完全平方公式进行因式分解，并结合一些实际例子来帮助学生更好地理解和掌握。

一、什么是完全平方公式完全平方公式是一种用于因式分解的工具，它能够将一个二次多项式分解为两个完全平方的乘积。

完全平方公式的一般形式为：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$其中，$a$和$b$为任意实数。

二、应用完全平方公式进行因式分解的步骤使用完全平方公式进行因式分解的步骤如下：1. 首先，观察多项式是否符合完全平方公式的形式。

即判断多项式中是否存在两个项的和的平方。

2. 如果存在两个项的和的平方，将多项式化简为完全平方形式。

3. 将多项式因式分解为两个完全平方的乘积。

下面通过具体的例子来详细说明应用完全平方公式进行因式分解的步骤。

例子1：将多项式$x^2+6x+9$进行因式分解。

解：观察多项式，我们发现其中的三项的和构成了一个完全平方。

$x^2+6x+9$可以化简为$(x+3)^2$。

因此，多项式$x^2+6x+9$的因式分解为$(x+3)(x+3)$。

例子2：将多项式$x^2-10x+25$进行因式分解。

解：观察多项式，我们发现其中的三项的和构成了一个完全平方。

$x^2-10x+25$可以化简为$(x-5)^2$。

因此，多项式$x^2-10x+25$的因式分解为$(x-5)(x-5)$。

通过以上两个例子，我们可以发现，完全平方公式能够帮助我们将一个二次多项式分解为两个完全平方的乘积，从而简化计算和分析的过程。

三、完全平方公式在实际问题中的应用完全平方公式不仅仅是一种数学工具，它也有着广泛的应用。

下面通过一个实际问题来展示完全平方公式的应用。

问题：一块长方形的草坪，长为$x+5$米，宽为$x$米。

假设整个草坪是用来修剪的，修剪时只修剪草坪周边的一段宽度为$x$米的土地。

课题：.9.5多项式的因式分解复习【学习目标】能利用提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法进行因式分解。

【重点难点】重点：能利用提取公因式法、公式法进行因式分解。

难点：能利用十字相乘法、分组分解法进行因式分解。

【知识梳理】1.ab+ac+ad=a( )2.)(22b a b a +=-（ ）3.=+±222b ab a （ ）24.=+++ab x b a x )(2（ ）( )【基础练习】1.在下列等式中，属于因式分解的是 （ ）A ．29)3)(3(x x x -=+-B ．a 2－2ab ＋b 2＋1=(a －b) 2＋1C ．232236xy xy y x ⋅=D ．－4a 2＋9b 2＝(－2a ＋3b)(2a ＋3b)2. 下列分解因式正确的是 （ ）A ．3x 2-6x=x （3x-6）B ．4x 2-2xy+y 2=（2x-y ）2C ．4x 2-y 2=（4x+y ）（4x-y ）D ．-a 2+b 2=（b+a ）（b-a ）3. 下列多项式能用平方差公式分解因式的是（ ）A ．4x 2+y 2B ．-4x 2-y 2C ．-4x 2+y 2D ．-4x+y 24.直接写出因式分解的结果：（1）ab a 622-= ； （2）924x -= 。

（3）2961a a -+=； （4）2xy －x 2－y 2 = 。

（5）t 2－2t －3= ； （6）1+m+n+mn= 。

5.若x-y=5,xy=6，则x 2y-xy 2=_____ ___。

6.若2294y axy x ++是一个完全平方式，则a= ．【例题教学】例 1 因式分解：（1）14-a （2）2464x -（3）2(3)(3)aa a -+- （4）1222+-+n m m例 2 （1）若0)12()1(22=-++y x ，则x= ,y= 。

（2）若01044622=+-++y y x x ，则x= ,y= 。

《多项式的因式分解》作业设计方案（第一课时）一、作业目标通过本次作业，学生应掌握多项式因式分解的基本概念和常用方法，能够熟练运用因式分解法将多项式化为几个因式的乘积形式，并理解因式分解在解决实际问题中的应用。

二、作业内容（一）复习巩固1. 回顾之前学过的整式、单项式、多项式等基本概念。

2. 复习因式分解的基本概念和意义。

（二）知识学习1. 学习多项式因式分解的定义和常用方法，如提公因式法、平方差公式法、完全平方公式法等。

2. 掌握因式分解的步骤和注意事项，理解因式分解的实质是将一个多项式转化为几个整式的乘积。

（三）实践操作1. 完成课本上的因式分解练习题，包括基本题型和变式题型。

2. 尝试将实际生活中的问题转化为多项式因式分解的问题，并解决这些问题。

三、作业要求1. 学生应认真完成作业，按照课堂学习的知识进行因式分解，并注意解题步骤的规范性。

2. 在完成作业过程中，学生应注重理解因式分解的实质，掌握各种因式分解方法的应用场景。

3. 学生在完成练习题后，应自我检查答案，并尝试用不同的方法进行因式分解，以加深对知识的理解。

4. 学生在解决实际问题时，应先认真分析问题的实质，将其转化为多项式因式分解的问题，再运用所学知识进行解决。

四、作业评价1. 教师将对每位学生的作业进行批改，评价其完成情况和正确性。

2. 教师将根据学生的作业情况，给予相应的反馈和建议，帮助学生更好地掌握因式分解的方法和技巧。

3. 教师将根据学生的表现，对表现优秀的学生进行表扬和鼓励，激励其继续努力。

五、作业反馈1. 针对学生在作业中出现的错误和不足，教师将在课堂上进行讲解和指导，帮助学生改正错误，提高能力。

2. 教师将根据学生的作业情况，调整教学进度和教学方法，以满足学生的需求。

3. 学生应根据教师的反馈和建议，认真总结自己的不足之处，制定改进计划，并在后续的学习中加以实施。

作业设计方案（第二课时）一、作业目标本次作业旨在加深学生对多项式因式分解的理解和掌握，提高学生运用因式分解解决实际问题的能力，培养学生的数学思维和解题技巧。

初中数学复习多项式的运算与因式分解初中数学复习多项式的运算与因式分解多项式是数学中常见的一种表达形式，包含有代数项及其运算符号。

在数学中，多项式的运算和因式分解是非常重要的基础知识。

本文将详细介绍多项式的运算和因式分解的相关概念及方法。

一、多项式的基本概念多项式是由若干个代数项相加（或相减）得到，每个代数项又由若干个字母的乘积及其系数构成。

例如，3x²+5xy-2y³就是一个多项式，其中的3x²、5xy、-2y³是代数项。

二、多项式的运算多项式的运算主要包括加法、减法、乘法和除法。

1. 多项式的加法和减法多项式的加法和减法都是将对应的代数项相加（或相减）。

例如，将3x²+5xy-2y³与2x²-3xy+4y³进行相加，结果为5x²+2xy+2y³。

2. 多项式的乘法多项式的乘法是将每个代数项相乘，并将乘积进行相加。

例如，将3x²+5xy-2y³乘以2x²-3xy+4y³，结果为6x⁴-9x³y+12x²y³+10x³y-15xy²+20y⁴-4xy³+6y⁴。

3. 多项式的除法多项式的除法是将一个多项式除以另一个多项式，得到一个商式和余式。

例如，将5x³+2x²-3x+4除以x+2，商式为5x²-8x+13，余式为26。

三、多项式的因式分解因式分解是将一个多项式表示为若干个不可再分解的因式的乘积。

下面介绍两种常见的因式分解方法。

1. 提取公因式法提取公因式法是将一个多项式中的公因式提取出来，形成一个公因式和其他部分的乘积。

例如，将2x³-4x²+6x的公因式2x提取出来，得到2x(x²-2x+3)。

2. 公式法公式法是基于平方差公式、立方差公式等进行因式分解。

17.4.1二次三项式的因式分解-学案(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--二次三项式的因式分解一、课前练习1.将下列二次多项式分解因式:;4)1(2-x ;14)2(2-x .49)3(2-x2.将下列二次三项式分解因式:;403)1(2--x x ;276)2(2-+x x ;2012)3(2++x x;189)4(2+-x x .642)5(2-+x x二、阅读理解1.阅读教材P43～45.2.二次三项式的因式分解:(1)当m 、n 为正数时,))((2n x m n x m n mx -+=-.(2)若一元二次方程02=++c bx ax 有两个实数根21,x x , 那么在实数范围内分解因式:c bx ax ++2= .想一想 对于二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)进行因式分解,为什么可以通过求一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根来解决?3.阅读中遇到的问题有三、新课探索1.请在实数范围内分解下列各式:(1);592-x (2).232-x2.将下列二次三项式分解因式:(1)232--x x ; (2)3422-+x x .例题1 分解因式:.1842-+x x例题2 把2232y xy x --分解因式.四、课内练习1.因式分解:;14)1(2++x x ;132)2(2-+x x;163)3(2+-x x .336)4(2-+x x2.在实数范围内分解因式:;2)1(22a ax x -- .582)2(22y xy x +-（1）一元二次方程的应用一、填空题1、方程05722=++x x 的两个根为25-，1-，则多项式5722++x x 可以分解为2、二次三项式322-+x ax 在 实数范围内能分解因式，那a 的取值范围是 __3、在实数范围内分解因式：542-x =4、在实数范围内分解因式：3424+-x x =二、在实数范围内分解因式 1、142--a a 2、11242+-y y3、222a ax x --4、2225y xy x ++-5、510322+-xy y x6、22322m mx x --三、若多项式12862-+-k x x 在实数范围内不能分解因式，则k 能取的最小整数值是多少？。

因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）a 2-b 2=(a+b)(a -b)；(2) a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)．(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6) a 3±3a 2b+3ab 2±b 3=(a±b)3．例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

第十讲 多项式的因式分解（二）一、公式分解因式1.请补上项，使下列多项式成为完全平方式：（1）4m 2＋ ＋n2 ＝(2m ＋ )2；（2）x 2 － ＋16y 2＝( )2； （3）4a 2＋9b 2＋ ＝( )2；（4） ＋2pq ＋1＝( )2.思考：以上从左到右的变形属于因式分解吗？完全平方式：________＝(a ＋b)2 ；________＝(a －b)完全平方式的特点：左边：①项数必须有_______项；②其中有两项是________________________________；③另一项是____________________________________；右边：_________________________________________.例1．填空：（1）a 2＋6a ＋9＝a 2＋2×（ ）× （ ）＋( )2＝( )2（2）a 2－6a ＋9＝a 2－2× （ ）× （ ）＋( )2＝( )2（3）+2a （ ）+=24b ⋅+22a （ ）. （ ）+( )2＝( )2 （4）+-a a 82（ ）=-a 2.（ ）.（ ）+( )2＝( )2 例2.把下列各式分解因式；（1）25102++x x （2）2281364b ab a +- （3）1102524++a a （4）4)(4)(2++-+n m n m（5）xy 4y 4x 22+-- （6）49x 2＋y 2－43xy （7）9m 2－6mn ＋n 2 （8）a 2－12ab ＋36b 2当堂反馈1.下列多项式能写成一个整式平方的形式吗？如果能，可以分解成什么式子？如果不能，说明为什么．（1）442+-x x（2）2161a +（3）1442-+x x （4）22y xy x ++（5）2441x x --（6）1442++-x x （7）1242++x x（8）12++x x（9）412-+-x x（10）412++-x x （11）xy y x -+22412.把下列各式分解因式：（1）122++x x （2）1442++a a （3）2961y y +-（4）412m m ++ （5）2216121b ab a ++ （6）229124y xy x +-（7）221025q pq p ++ （8）22329n mn m ++ （9）224914b ab a +-（10）25)(10)(2++-+y x y x （11）222y x xy --- （12）181624+-m m反馈练习1．下列各式中能用完全平方公式分解的是 （ ）①442+-x x ②1362++x x ③1442+-x x ④2224y xy x ++ ⑤2216209y xy x +-A .①③B .①②C .②③D .①⑤2.已知a ，b ，c 是ABC ∆三条边的长，且有22b 2abc 2ac +=+成立，则ABC ∆为 三角形.3.把下列各式分解因式：（1）2161211m m +- （2）－49a 2＋112ab －64b 2（3）a 2－4a +4 （4）4a 2+2ab +14b 24.已知221x 2x xy y 04-+-+=，求x ，y 的值.【知识运用】例3.把下列各式分解因式：（1）1102524++x x ；（2）xy y x 4422+--（3）2293025y xy x ---（4）16－24(a －b )＋ 9(a －b )2（5）(x ＋y )2－18(x ＋y )＋81练习2.把下列各式分解因式：（1）222116y xy x +-（2）2294864b ab a +-（3）()()1442+-+-y x y x ；（4）222168c abc b a +-（5）()()122++++y x y x（6）()()y x y x +-++202542例4.把下列各式分解因式：（1）22363y xy x ++ （2）()xy y x 42+-（3）42242b b a a +-【拓展延伸】1.填空（1）如果2249100y kxy x ++可以分解成()2y 7x 10-，则k 的值为 。