3．1 多项式的因式分解
1．理解因式分解的概念；(重点)
2．会判断一个变形是否是因式分解．(难点)
一、情境导入
学校有一个长方形植物园，面积为a2－b2，如果长为a＋b，那么宽是多少？
二、合作探究
探究点一：因式分解定义的理解
下列从左到右的变形中是因式分解的有()
①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)．
A．1个B．2个C．3个D．4个
解析：①没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故①不是因式分解；③是整式的乘法，故③不是因式分解；②④是因式分解；故选B.
方法总结：因式分解与整式的乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．
探究点二：因式分解与整式乘法的关系
【类型一】检验因式分解是否正确
检验下列因式分解是否正确．
(1)x3＋x2＝x2(x＋1)；
(2)a2－2a－3＝(a－1)(a－3)；
(3)9a2－12ab＋4b2＝(3a－2b)2.
解析：分别计算等式右边的几个多项式的乘积，再与左边的多项式相比较看是否相等．
解：(1)因为x2(x＋1)＝x3＋x2，所以因式分解x3＋x2＝x2(x＋1)正确；
(2)因为(a－1)(a－3)＝a2－4a＋3≠a2－2a－3，所以因式分解不正确；
(3)因为(3a－2b)2＝9a2－12ab＋4b2，所以因式分解9a2－12ab＋4b2＝(3a－2b)2正确．
方法总结：检验因式分解是否正确，只要看等式右边的几个多项式的乘积与等式左边的多项式是否相等．
变式【类型二】 求字母的值
已知三次四项式2x 3－5x 2－6x ＋k 分解因式后有一个因式是x －3，试求k 的值及另一个因式．
解析：此题可设此三次四项式的另一个因式为(2x 2－mx －k 3
)，将两因式的乘积展开与原三次四项式比较就可求出k 的值．
解：设另一个因式为2x 2－mx －k 3，∴(x －3)(2x 2－mx －k 3)＝2x 3－5x 2－6x ＋k ，2x 3－mx 2－k 3
x －6x 2＋3mx ＋k ＝2x 3－5x 2－6x ＋k ，2x 3－(m ＋6)x 2－(k 3－3m )x ＋k ＝2x 3－5x 2－6x ＋k ，∴m ＋6＝5，k 3
－3m ＝6，解得m ＝－1，k ＝9，∴另一个因式为2x 2＋x －3.
方法总结：因为整式的乘法和分解因式互为逆运算，所以分解因式后的两个因式的乘积一定等于原来的多项式．
三、板书设计
多项式的因式分解⎩⎪⎨⎪⎧因式的概念因式分解的概念因式分解与整式乘法的关系
本节课从生活中的实例出发，引导出因式分解这一课题，让学生认识到因式分解与整式乘法是互逆的变形，因此可以利用整式乘法来检验因式分解是否正确．本节课重在通过因式分解概念的学习，激发学生的学习兴趣，为本章后继学习奠定坚实的基础
