备战2017广东天河地区高考高三数学(理科)一轮复习试题精选：函数02

导数与函数0220．函数y ＝f (x )的图像与函数g (x )＝log 2x (x ＞0)的图像关于原点对称，则f (x )的表达式为(A )f (x )＝1log 2x (x ＞0) (B )f (x )＝log 2(－x )(x ＜0)(C )f (x )＝－log 2x (x ＞0) (D )f (x )＝－log 2(－x )(x ＜0)21．函数ln 1(0)y x x =+>的反函数为（A ）1()x y e x R +=∈ （B ）1()x y e x R -=∈（C ）1(1)x y ex +=> （D ）1(1)x y e x -=>解析：函数ln 1(0)y x x =+>解得1y x e -=（y∈R），∴ 反函数为1()x y ex R -=∈，选B.22.如果函数()y f x =的图像与函数32y x '=-的图像关于坐标原点对称，则()y f x =的表达式为（A ）23y x =- （B ）23y x =+ （C ）23y x =-+ （D ）23y x =--23．函数f (x )＝∑i ＝119|x －n |的最小值为（A ）190 （B ）171 （C ）90 （D ）45 解析:191()12319n f x x n x x x x ==-=-+-+-+-∑表示数轴上一点到1,2,3…19的距离之和,可知x 在1—19最中间时f(x)取最小值.即x=10时f(x)有最小值90,故选C本题主要考察求和符号的意义和绝对值的几何意义,难度稍大,且求和符号不在高中要求范围内,只在线性回归中简单提到过.24.函数y=1+a x(0<a<1)的反函数的图象大致是25.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为(A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2解：因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，又f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），故函数，f（x）的周期为4，所以f（6）＝f（2）＝－f（0）＝0，选B26.设1232,2()((2))log(1) 2.xe xf x f fx x-⎧⎪=⎨-≥⎪⎩＜，则的值为，(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解：f（f（2））＝f（1）＝2，选C27.设函数f(x)=log a(x+b)(a>0,a≠1)的图象过点(2,1),其反函数的图像过点(2,8),则a+b等于( )A.6B.5C.4D.328.函数f(x)=11+x2(x∈R)的值域是( )A.(0,1)B.(0,1]C.[0,1)D.[0,1]解析：函数f (x )=11+x 2 (x ∈R )，∴ 21x +≥1，所以原函数的值域是(0，1] ，选B .29.设函数f(x)=log a (x+b)(a>0,a≠1)的图象过点(0, 0),其反函数的图像过点(1,2),则a+b 等于( )A.6B.5C.4D.330.函数()()()ln 1,1f x x x =->的反函数是（A ）()()11x f x e x R -=+∈ （B ）()()1101x f x x R -=+∈ （C ）()()11011x fx x -=+> （D ）()()111x f x e x -=+>解析：函数()()()ln 1,1f x x x =->，解得1yx e =+(y∈R)，所以原函数的反函数是()()11x f x e x R -=+∈，选A.31.已知函数)(x f y =的图象与函数xa y =（0>a 且1≠a ）的图象关于直线x y =对称，记]1)2(2)()[()(-+=f x f x f x g ．若)(x g y =在区间]2,21[上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．),2[+∞B ．)2,1()1,0(C ．)1,21[D ．]21,0( 32.设2log 3P =，3log 2Q =，23log (log 2)R =，则（ ）Ａ．R Q P << Ｂ．P R Q << Ｃ．Q R P << Ｄ．R P Q <<解析：2323log 31,0log 21,log (log 2)0,P Q R =><=<=< 则R Q P <<，选A.33.函数1(0)y x =<的反函数是（ ）Ａ．0)y x =< Ｂ．0)y x =<Ｃ．2)y x =>Ｄ．2)y x =>34.如果函数2()(31)(01)xxf x a a a a a =-->≠且在区间[)0+，∞上是增函数，那么实数a的取值范围是（ ）Ａ．203⎛⎤ ⎥⎝⎦，Ｂ．31⎫⎪⎪⎣⎭Ｃ．(3， Ｄ．32⎡⎫+⎪⎢⎣⎭，∞35.已知0log log ,10<<<<n m a a a ，则(A)1＜n ＜m (B) 1＜m ＜n (C)m ＜n ＜1 (D) n ＜m ＜1 【考点分析】本题考查对数函数的性质，基础题。

函数的奇偶性与周期性02基础热身1．若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x，则g (x )＝( )A ．e x －e －xB.12(e x ＋e －x )C.12(e －x －e x )D.12(e x －e －x )2．函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1的图像( ) A ．关于点(1,0)对称 B ．关于点(0,1)对称C ．关于点(－1,0)对称D ．关于点(0，－1)对称 3．设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )的图像可能是( )4．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x)(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________．能力提升5．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的任意不恒为零的函数，则下列判断：①f (|x |)为偶函数；②f (x )＋f (－x )为非奇非偶函数；③f (x )－f (－x )为奇函数；④[f (x )]2为偶函数．其中正确判断的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．设偶函数f (x )满足f (x )＝2x－4(x ≥0)，则{x |f (x －2)＞0}＝( ) A ．{x |x ＜－2或x ＞4} B ．{x |x ＜0或x ＞4} C ．{x |x ＜0或x ＞6} D ．{x |x ＜－2或x ＞2}7．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2009)＋f (2011)的值为( )A ．－1B ．1C ．0D ．无法计算8．已知函数f (x ＋1)是偶函数，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)>0恒成立，设a ＝f －12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b <a <cB ．c <b <aC ．b <c <aD ．a <b <c9．偶函数f (x )(x ∈R )满足：f (－4)＝f (1)＝0，且在区间[0,3]与[3，＋∞)上分别递减和递增，则不等式xf (x )<0的解集为________．10．设a 为常数，f (x )＝x 2－4x ＋3，若函数f (x ＋a )为偶函数，则a ＝________；f [f (a )]＝________.11． 设f (x )是偶函数，且当x >0时是单调函数，则满足f (2x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋4的所有x 之和为________．12．(13分)设函数f (x )＝ax 2＋1bx ＋c是奇函数(a ，b ，c 都是整数)，且f (1)＝2，f (2)<3，f (x )在(1，＋∞)上单调递增．(1) 求a ，b ，c 的值；(2)当x <0时，f (x )的单调性如何？证明你的结论．难点突破13．(12分)已知定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )满足：①任意x ，y ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (x ·y )＝f (x )＋f (y )；②当x >1时，f (x )>0，且f (2)＝1.(1)试判断函数f (x )的奇偶性；(2) 判断函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性；(3) 求函数f (x )在区间[－4,0)∪(0,4]上的最大值；(4)求不等式f (3x －2)＋f (x )≥4的解集． 答案解析【基础热身】1．D [解析] 因为函数f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，所以f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e －x .又因为f (x )＋g (x )＝e x，所以g (x )＝e x －e －x 2.2．B [解析] 令g (x )＝f (x )－1＝x 3＋sin x ，则g (x )为奇函数，所以g (x )的图像关于原点(0,0)对称，当x ＝0时，有f (0)－1＝0，此时f (0)＝1，所以对称中心为(0,1)．3．B [解析] 由f (－x )＝f (x )可知函数为偶函数，其图像关于y 轴对称，可以结合选项排除A 、C ，再利用f (x ＋2)＝f (x )，可知函数为周期函数，且T ＝2，必满足f (4)＝f (2)，排除D ，故只能选B.4．－1 [解析] 设g (x )＝x ，h (x )＝e x ＋a e －x ，因为函数g (x )＝x 是奇函数，则由题意知，函数h (x )＝e x ＋a e －x为奇函数．又函数f (x )的定义域为R ，∴h (0)＝0，解得a ＝－1.【能力提升】5．B [解析] 对于①，用－x 代替x ，得f (|－x |)＝f (|x |)，所以①正确；对于②，用－x 代替x ，得f (－x )＋f (x )＝f (x )＋f (－x )，所以②错误；对于③，用－x 代替x ，得f (－x )－f (x )＝－[f (x )－f (－x )]，所以③正确；易知④错误．6．B [解析] ∵f (x )＝2x－4(x ≥0)，∴令f (x )＞0，得x ＞2.又f (x )为偶函数且f (x －2)＞0，∴f (|x －2|)＞0，∴|x －2|＞2，解得x ＞4或x ＜0，∴{x |x ＜0或x ＞4}．7．C [解析] 由题意得g (－x )＝f (－x －1)，又因为f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，f (－x )＝f (x )，∴f (x －1)＝－f (x ＋1)，∴f (x )＝－f (x ＋2)，∴f (x )＝f (x ＋4)，∴f (x )的周期为4，∴f (2009)＝f (1)，f (2011)＝f (3)＝f (－1)，又∵f (1)＝f (－1)＝g (0)＝0，∴f (2009)＋f (2011)＝0.8．A [解析] ∵f (x ＋1)是偶函数，∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，∴a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52. 当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)>0， ∴x 2－x 1>0时，f (x 2)－f (x 1)>0，∴f (x )在(1，＋∞)上是增函数，∴f (3)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>f (2)， ∴c >a >b .即b <a <c . 9．(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4) [解析] 通过f (x )(x ∈R )图像的草图得知函数f (x )(x ∈R )在(－∞，－4)，(－1,1)，(4，＋∞)上都为正，在(－4，－1)，(1,4)上为负，故不等式xf (x )<0的解集为(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4)．10．2 8 [解析] 由题意得f (x ＋a )＝(x ＋a )2－4(x ＋a )＋3＝x 2＋(2a －4)x ＋a 2－4a ＋3，因为f (x ＋a )为偶函数，所以2a －4＝0，a ＝2.f [f (a )]＝f [f (2)]＝f (－1)＝8.11．－8 [解析] ∵f (x )是偶函数，f (2x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋4，∴f (|2x |)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＋4，又∵f (x )在(0，＋∞)上为单调函数，∴|2x |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＋4，即2x ＝x ＋1x ＋4或2x ＝－x ＋1x ＋4，整理得2x 2＋7x －1＝0或2x 2＋9x ＋1＝0，设方程2x 2＋7x －1＝0的两根为x 1，x 2，方程2x 2＋9x ＋1＝0的两根为x 3，x 4.则(x 1＋x 2)＋(x 3＋x 4)＝－72＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝－8.12．[解答] (1)由f (1)＝2，得a ＋1b ＋c ＝2，由f (2)<3，得4a ＋12b ＋c<3.∵函数f (x )是奇函数，∴函数f (x )的定义域关于原点对称．又函数f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠－cb ， 则－c b ＝0，∴c ＝0，于是得f (x )＝ax b ＋1bx ，且a ＋1b ＝2，4a ＋12b <3，∴8b －32b <3，即0<b <32.又b ∈Z ，∴b ＝1，则a ＝1.a ＝1，b ＝1，c ＝0符合f (x )在(1，＋∞)上单调递增．(2)由(1)知f (x )＝x ＋1x.已知函数f (x )是奇函数，且在(1，＋∞)上单调递增，根据奇函数的对称性，可知f (x )在(－∞，－1)上单调递增；以下讨论f (x )在区间[－1,0)上的单调性．当－1≤x 1<x 2<0时，f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)·⎝⎛⎭⎪⎫1－1x 1x 2，显然x 1－x 2<0,0<x 1x 2<1,1－1x 1x 2<0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴函数f (x )在[－1,0)上为减函数．综上所述，函数f (x )在(－∞，－1)上是增函数，在[－1,0)上是减函数． 【难点突破】13．[解答] (1)令x ＝y ＝1，则f (1×1)＝f (1)＋f (1)，得f (1)＝0；再令x ＝y ＝－1，则f [(－1)·(－1)]＝f (－1)＋f (－1)，得f (－1)＝0.对于条件f (x ·y )＝f (x )＋f (y )，令y ＝－1，则f (－x )＝f (x )＋f (－1)，所以f (－x )＝f (x )．又函数f (x )的定义域关于原点对称，所以函数f (x )为偶函数．(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则有x 2x 1>1.又∵当x >1时，f (x )>0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1>0.又f (x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1·x 2x 1＝f (x 1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1>f (x 1)，∴函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (3)∵f (4)＝f (2×2)＝f (2)＋f (2)，又f (2)＝1，∴f (4)＝2.又由(1)(2)知函数f (x )在区间[－4,0)∪(0,4]上是偶函数且在(0,4]上是增函数，∴函数f (x )在区间[－4,0)∪(0,4]上的最大值为f (4)＝f (－4)＝2.(4)∵f (3x －2)＋f (x )＝f [x (3x －2)]，4＝2＋2＝f (4)＋f (4)＝f (16)，∴原不等式等价于f [x (3x －2)]≥f (16)．又函数f (x )为偶函数，且函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴原不等式又等价于|x (3x －2)|≥16，即x (3x －2)≥16或x (3x －2)≤－16，解得x ≤－2或x ≥83，∴不等式f (3x －2)＋f (x )≥4的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－2或x ≥83.。

三角函数0220.若锐角,αβ满足(1)(1)4αβ=，则αβ+=_______________【答案】3π【解析】因为(1)(1)4αβ=，所以1tan )3tan tan 4αβαβ++=，tan )33tan tan =3(1tan tan )αβαβαβ+=--，即tan tan tan tan )αβαβ+-，又tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-3παβ+=。

21.已知α为第二象限角，则cos sin =____________【答案】0【解析】原式cos sin = 11cos sin cos sin αααα=+，因为α是第二象限，所以sin 0cos 0αα><，，所以11cos sin 110cos sin αααα+=-+=，即原式等于0. 22. 把函数x y 2sin =的图象沿 x 轴向左平移6π个单位,纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数)(x f y =图象,对于函数)(x f y =有以下四个判断： ①该函数的解析式为)6sin(2x 2y π+=； ②该函数图象关于点)0,3(π对称； ③该函数在]6,0[π上是增函数；④函数a x f y +=)(在]2,0[π上的最小值为3,则32=a ．其中，正确判断的序号是________________________ 【答案】②④【解析】将函数向左平移6π得到=sin 2()sin(2)63y x x ππ+=+，然后纵坐标伸长到原来的2倍得到2sin(2)3y x π=+，即()2s i n (2)3y f x x π==+。

所以①不正确。

()2sin(2)2sin 0333y f ππππ==⨯+==，所以函数图象关于点(,0)3π对称，所以②正确。

由222,232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，得5,1212k x k k Z πππ-+≤≤+∈，即函数的单调增区间为5[,],1212k k k Z πππ-++∈，当0k =时，增区间为5[,]1212π-，所以③不正确。

广东省天河地区高考数学一轮复习试题精选三角函数02文三角函数0220.（满分12分）已知函数f某in2某2co2某1.（1）求函数f某的最小正周期和最大值；（2）求函数f某在区间3,上的最大值与最小值.44【答案】（Ⅰ）因为f某in2某2co2某1，所以f某in2某co2某所以其最小正周期为T又因为1in2某2in2某.………………………..3分42……………..5分21，所以2f某2.4所以函数f某的最小正周期是；最大值是2.…………..7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知f某所以当2某3372某，所以.2in2某.因为某4444443，即某时，函数f某有最大值是1；44435当2某，即某时，函数f某有最小值是2.428所以函数f某在区间3,上的最大值是1，最小值是2.…..12分441，ABC三个内角A,B,C 的221.（本小题满分13分）已知函数f(某)3in某co某co2某对边分别为a,b,c,且f(A)1.（I）求角A的大小；（Ⅱ）若a7，b5，求c的值.【答案】解：（I）因为f(某)3in某co某co2某31in2某co2某2212-1-πin(2某)……………6分6π又f(A)in(2A)1，A(0,)，………………7分6ππ7ππππ所以2A(,)，2A,A………………9分666623（Ⅱ）由余弦定理a2b2c22bccoA得到4925c225ccoπ，所以c25c240………………11分3解得c3（舍）或c8………………13分所以c822.（本题共13分）如图，在平面直角坐标系中，角和角的终边分别与单位圆交于A，ByBAO某两点．（Ⅰ）若点A的横坐标是（Ⅱ）若∣AB∣=312，点B的纵坐标是，求in()的值；5133,求OAOB的值.2【答案】解：（Ⅰ）根据三角函数的定义得，co312，in，……………………………………………………2分5134．……………………………………3分55∵的终边在第二象限，∴co．………………………………4分134531216∴in()=incocoin=()+=．………7分2∵的终边在第一象限，∴in又∵|OBOA|2OBOA2OAOB22OAOB，…………11分∴22OAOB229．4-2-∴OAOB．……………………………………………………………13分18|OA|2|OB|2|AB|21方法（2）∵coAOB，………………10分2|OA||OB|81．…………………………………13分82某in某．23.（本题满分13分）已知函数f(某)2co2∴OAOB=|OA||OB|coAOB（Ⅰ）求f(某)的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）求f(某)在区间[0,]上的最大值与最小值．【答案】解：（Ⅰ）由已知可得f(某)2co2某in某2co某1in某2in(某)1．……………………4分4f某的最小正周期是2．……………………5分由2k得2k某2k,kZ，2423某2k,443,2k],kZ．………7分44所以函数f(某)的单调递增区间为[2k（Ⅱ）由（Ⅰ）f某2in(某)1．45某，444π时，f(某)取得最大值21；4因为某[0,]，所以当in(某)1时，即某4当in(某)42，即某π时，f(某)取得最小值0．………………13分224.（本小题共13分）已知函数f(某)3in某co某co2某．（Ⅰ）求f(某)的最小正周期；（Ⅱ）求f(某)在区间[,]上的最大值和最小值．63-3-【答案】解：（Ⅰ）f(某)in(2某31co2某in2某221).…………………………………………………4分62所以T．……………………………………………………………………6分某，635所以2某．6661所以in(2某)1．………………………………………………………10分26当某时，函数f(某)的最小值是0，63当某时，函数f(某)的最大值是．…………………………………………13分62某某2某1.25.（本小题满分13分）已知函数f(某)incoco222（Ⅱ）因为（Ⅰ）求函数f(某)的最小正周期及单调递减区间；]上的最小值.某某1co某1【答案】解：（Ⅰ）f(某)inco222111in某co某…………………………………………2分222（Ⅱ）求函数f(某)在[,21……………………………………………4分in(某).242所以函数f(某)的最小正周期为2.…………………………………………6分35某2k，kZ，则2k某2k.242445]，kZ.………………9分则函数f(某)单调减区间是[2k,2k447(Ⅱ)由某，得某.………………………………………11分244由2k则当某26.（本小题满分13分）已知函数3521，即某时，f(某)取得最小值.…………………13分4242f(某)(23in某2co某)co某1.-4-（Ⅰ）求f(某)的最小正周期；（Ⅱ）求f(某)在区间[,42]上的最值.【答案】解：（Ⅰ）因为f(某)(23in某2co某)co某13in2某co2某2in(2某π6).………………………………5分所以f(某)的最小正周期T2π2π．…………………7分（II）由某挝[,],2某[2,],2某-6[3,5426],…………..9分当2某656,即某2时,f(某)取得最小值1，…………….11分当2某62,即某3时,f(某)取得最大值2.……………….13分in()tan(3)27.(本题12分)（1）化简f()2)co(2tan()in(．2)（2）若tg3，求4in2co5co3in的值。

导数与函数的极值、最值01基础热身1．下列命题中正确的是( ) A ．导数为0的点一定是极值点B ．如果在点x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0且f ′(x 0)＝0，那么f (x 0)是极大值C ．如果在点x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0且f ′(x 0)＝0，那么f (x 0)是极小值D ．如果在点x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0且f ′(x 0)＝0，那么f (x 0)是最小值2．函数y ＝x ＋1x的极值情况是( )A ．既无极小值，也无极大值B ．当x ＝1时，极小值为2，但无极大值C ．当x ＝－1时，极大值为－2，但无极小值D ．当x ＝1时，极小值为2，当x ＝－1时，极大值为－23．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3处取得极值，则a ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．54．已知函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图像如图K15－1，则( )图K15－1A ．函数f (x )有1个极大值点，1个极小值点B ．函数f (x )有2个极大值点，2个极小值点C ．函数f (x )有3个极大值点，1个极小值点D ．函数f (x )有1个极大值点，3个极小值点能力提升5．设a ∈R ，若函数y ＝e x＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则( ) A ．a ＜－1 B ．a ＞－1C ．a ＞－1eD ．a ＜－1e6．设函数f (x )＝2x ＋1x－1(x <0)，则f (x )( )A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数7．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．98．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥32B ．m >32C ．m ≤32D ．m <329．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若x ＝－1为函数f (x )e x的一个极值点，则下列图像不可能．．．为y ＝f (x )的图像是( )图K15－210．函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为________．11．已知函数f (x )＝x 3＋3mx 2＋nx ＋m 2在x ＝－1时有极值0，则m ＋n ＝________.12．已知函数y ＝f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图像在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )的极大值与极小值之差为________．13．已知函数f (x )＝13x 3－bx 2＋c (b ，c 为常数)．当x ＝2时，函数f (x )取得极值，若函数f (x )只有三个零点，则实数c 的取值范围为________．14．(10分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b 的图像在点P (1，f (1))处的切线为3x ＋y －3＝0. (1)求函数f (x )的解析式及单调区间；(2)求函数在区间[0，t ](t >0)上的最值．15．(13分)已知f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2.(1)若f (x )在x ＝1时有极值－1，求b 、c 的值；(2)在(1)的条件下，若函数y ＝f (x )的图像与函数y ＝k 的图像恰有三个不同的交点，求实数k 的取值范围．难点突破16．(12分)已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)．(1)求证：函数f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数；(2)当a ＝25时，求函数在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，2上的最值；(3)函数f (x )在[1,2]上恒有f (x )≥3成立，求a 的取值范围．答案解析【基础热身】1．B [解析] 根据可导函数极值的判别方法，如果在点x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值，反之是极小值，而导数为0的点不一定是极值点．2．D [解析] 函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y ′＝1－1x 2＝x 2－1x2，令y ′＝0，3．D [解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由题意得f ′(－3)＝0，解得a ＝5.4．A [解析] x 1、x 4是导函数的不变号零点，因此它们不是极值点，而x 2与x 3是变号零点，因此它们是极值点，且x 2是极大值点，x 3是极小值点．【能力提升】5．A [解析] y ′＝e x ＋a ＝0，e x＝－a ，x ＝ln(－a )，∵x ＞0，∴ln(－a )＞0且a ＜0. ∴－a ＞1，即a ＜－1.6．A [解析] 由题意可得f ′(x )＝2－1x 2(x <0)，令f ′(x )＝0得x ＝－22(舍正)，列表如下：f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－22单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0单调递减，故选A. 7．D [解析] f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ， ∵f (x )在x ＝1处有极值，∴f ′(1)＝0，即12－2a －2b ＝0，化简得 a ＋b ＝6， ∵a >0，b >0，∴ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时，ab 有最大值，最大值为9，故选D. 8．A [解析] 因为函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，所以f ′(x )＝2x 3－6x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝3，经检验知x ＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f (3)＝3m －272，不等式f (x )＋9≥0恒成立，即f (x )≥－9恒成立，所以3m －272≥－9，解得m ≥32.9．D [解析] 设F (x )＝f (x )e x，∴F ′(x )＝e x f ′(x )＋e x f (x )＝e x (2ax ＋b ＋ax 2＋bx ＋c )，又∵x ＝－1为f (x )e x的一个极值点，∴F ′(－1)＝e －1(－a ＋c )＝0，即a ＝c ，∴Δ＝b 2－4ac ＝b 2－4a 2，当Δ＝0时，b ＝±2a ，即对称轴所在直线方程为x ＝±1；当Δ>0时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2a >1，即对称轴在直线x ＝－1的左边或在直线x ＝1的右边．又f (－1)＝a －b ＋c ＝2a －b ＜0，故D 错，选D. 10.12[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧f ′ x ＝x －1x >0，x >0，得x >1.由⎩⎪⎨⎪⎧f ′ x ＝x －1x <0，x >0，得0<x <1，∴f (x )在x ＝1时，取得最小值f (1)＝12－ln1＝12.11．11 [解析] f ′(x )＝3x 2＋6mx ＋n，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧f －1 ＝0，f ′ －1 ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋3m －n －1＝0，－6m ＋n ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝9或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3，检验知当⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3时，函数没有极值．所以m ＋n ＝11.12．4 [解析] ∵y ′＝3x 2＋6ax ＋3b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3×22＋6a ×2＋3b ＝0，3×12＋6a ×1＋3b ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0. ∴y ′＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，则x ＝0或x ＝2，∴f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4.13.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43 [解析] ∵f (x )＝13x 3－bx 2＋c ，∴f ′(x )＝x 2－2bx .∵x ＝2时，f (x )取得极值，∴22－2b ×2＝0，解得b ＝1.∴当x ∈(0,2)时，f (x )单调递减，当x ∈(－∞，0)或x ∈(2，＋∞)时，f (x )单调递增．若f (x )＝0有3个实根，则⎩⎪⎨⎪⎧f 0 ＝c >0，f 2 ＝13×23－22＋c <0，解得0＜c ＜43.14．[解答] (1)由P 点在切线上得f (1)＝0，即点P (1,0)，又P (1,0)在y ＝f (x )上，得a ＋b ＝－1，又f ′(1)＝－3⇒2a ＝－6，所以a ＝－3，b ＝2.故f (x )＝x 3－3x 2＋2.f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )>0，解得x >2或x <0，∴f (x )的增区间是(－∞，0)，(2，＋∞)，减区间是(0,2)．(2)当0<t ≤2时，f (x )max ＝f (0)＝2，f (x )min ＝f (t )＝t 3－3t 2＋2； 当2<t ≤3时，f (x )max ＝f (0)＝f (3)＝2，f (x )min ＝f (2)＝－2，当t >3时，f (x )max ＝f (t )＝t 3－3t 2＋2，f (x )min ＝f (2)＝－2.15．[解答] (1)∵f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，∴f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由已知得f ′(1)＝0，f (1)＝－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3＋2b ＋c ＝0，1＋b ＋c ＋2＝－1， 解得b ＝1，c ＝－5.经验证，b ＝1，c ＝－5符合题意．(2)由(1)知f (x )＝x 3＋x 2－5x ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2x －5.由f ′(x )＝0得x 1＝－53，x 2＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：根据上表，当x ＝－3时函数取得极大值且极大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＝27，当x ＝1时函数取得极小值且极小值为f (1)＝－1.根据题意结合上图可知k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－1，22927. 【难点突破】16．[解答] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f (x )的导数f ′(x )＝1＋ln x .令f ′(x )>0，解得x >1e ；令f ′(x )<0，解得0<x <1e.从而f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞单调递增． 所以，当x ＝1e 时，f (x )取得最小值－1e.(2)法一：令g (x )＝f (x )－(ax －1)，则g ′(x )＝f ′(x )－a ＝1－a ＋ln x ， ①若a ≤1，当x >1时，g ′(x )＝1－a ＋ln x >1－a ≥0，故g (x )在(1，＋∞)上为增函数，所以，x ≥1时，g (x )≥g (1)＝1－a ≥0，即f (x )≥ax －1.②若a >1，方程g ′(x )＝0的根为x 0＝e a －1，此时，若x ∈(1，x 0)，则g ′(x )<0，故g (x )在该区间为减函数． 所以x ∈(1，x 0)时，g (x )<g (1)＝1－a <0， 即f (x )<ax －1，与题设f (x )≥ax －1相矛盾． 综上，满足条件的a 的取值范围是(－∞，1]．法二：依题意，得f (x )≥ax －1在[1，＋∞)上恒成立，即不等式a ≤ln x ＋1x对于x ∈[1，＋∞)恒成立．令g (x )＝ln x ＋1x ，则g ′(x )＝1x －1x 2＝1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x .当x >1时，因为g ′(x )＝1x ⎝⎛⎭⎪⎫1－1x >0，故g (x )是(1，＋∞)上的增函数，所以g (x )的最小值是g (1)＝1， 所以a 的取值范围是(－∞，1]．。

合情推理与演绎推理基础热身1．在等差数列{a n}中，若a n>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b n>0，公比q>1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是() A．b4＋b8>b5＋b7B．b4＋b8<b5＋b7C．b4＋b7>b5＋b8D．b4＋b7<b5＋b82．规定一机器狗每秒钟只能前进或后退一步，现程序设计师让机器狗以“前进3步，然后再退2步”的规律移动．如果将此机器狗放在数轴原点，面向正方向，以1步的距离为1个单位长度移动，令P(n)表示第n秒时机器狗所在的位置坐标，且P(0)＝0，则下列结论中错误的是()A．P(2007)＝403B．P(2008)＝404C．P(2009)＝403D．P(2010)＝4043．已知命题：若数列{a n}为等差数列，且a m＝a，a n＝b(m≠n，m、n∈N*)，则a m＋n＝bn－amn－m；现已知等比数列{b n}(b n>0，n∈N*)，b m＝a，b n＝b(m≠n，m、n∈N*)，若类比上述结论，则可得到b m＋n＝()A.m－n b ma n B.n－m b na mC.n－mb n a m D.n－mb m a n4．有下列推理：①A，B为定点，动点P满足|P A|＋|PB|＝2a>|AB|，则P的轨迹为椭圆；②由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式；③由圆x2＋y2＝r2的面积S＝πr2，猜想出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S＝πab；④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．以上推理不是归纳推理的序号是________．(把所有你认为正确的序号都填上)能力提升5．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )，n ∈N ，则f 2013(x )＝( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x6．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，由此若∠A ，∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人数超过50人C ．由平面正三角形的性质，推测空间四面体的性质D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式7．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A (－3,4)，且法向量为n ＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x ＋3)＋(－2)×(y －4)＝0，化简得x －2y ＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A (1,2,3)且法向量为n ＝(－1，－2,1)的平面的方程为( )A ．x ＋2y －z －2＝0B ．x －2y －z －2＝0C ．x ＋2y ＋z －2＝0D ．x ＋2y ＋z ＋2＝08．“因为指数函数y ＝a x 是增函数(大前提)，而y ＝⎝⎛⎭⎫13x是指数函数(小前提)，所以y ＝⎝⎛⎭⎫13x 是增函数(结论)”，上面推理的错误是( ) A ．大前提错导致结论错 B ．小前提错导致结论错 C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提错都导致结论错9．把正整数按一定的规则排成了如图K67－1所示的三角形数表．设a ij (i ，j ∈N *)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如a 42＝8.若a ij ＝2009，则i 与j 的和为( )12 43 5 76 8 10 129 11 13 15 1714 16 18 20 22 24图K67－1A ．105B ．106C ．107D ．10810．对于命题：若O 是线段AB 上一点，则有|OB →|·OA →＋|OA →|·OB →＝0. 将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，则有S △OBC ·OA →＋S △OCA ·OB →＋S △OAB ·OC →＝0. 将它类比到空间的情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有________．11．半径为r 的圆的面积S (r )＝πr 2，周长C (r )＝2πr ，若将r 看做(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)′＝2πr ①，①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看做(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子：________________②，②式可以用语言叙述为：________________.12．在计算“11×2＋12×3＋…＋1n n ＋1 (n ∈N *)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项：1k k ＋1 ＝1k －1k ＋1，由此得11×2＝11－12，12×3＝12－13，…，1n n ＋1 ＝1n －1n ＋1， 相加，得11×2＋12×3＋…＋1n n ＋1 ＝1－1n ＋1＝n n ＋1.类比上述方法，请你计算“11×2×3＋12×3×4＋…＋1n n ＋1 n ＋2(n ∈N *)”，其结果为________．13．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图K67－2为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形，则f (n )的表达式为____________(n ∈N *)．图K67－214．(10分)蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图K67－3为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数．(1)试给出f(4)，f(5)的值，并求f(n)的表达式(不要求证明)；(2)证明：1f 1 ＋1f 2 ＋1f 3 ＋…＋1f n <43.图K67－315．(13分)如图K67－4所示，点P为斜三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱BB1上一点，PM ⊥BB1交AA1于点M，PN⊥BB1交CC1于点N.(1)求证：CC1⊥MN；(2)在任意△DEF中有余弦定理：DE2＝DF2＋EF2－2DF·EF·cos∠DFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．图K67－4难点突破16．(12分)规定C mx ＝x · x －1 ·…· x －m ＋1 m ！，其中x ∈R ，m 是正整数，且C 0x ＝1，这是组合数C m n (m ，n 是正整数，且m ≤n 的一种推广)．(1)求C 5－15的值；(2)组合数的两个性质：①C m n ＝C n －mn.②C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1.是否都能推广到C mx (x ∈R ，m 是正整然)的情形？若能推广，请写出推广的形式，并给出证明；若不能，则说明理由．(3)已知组合数C m n 是正整数，证明：当x ∈Z ，m 是正整数时，C mx ∈Z.答案解析【基础热身】1．A [解析] 在等差数列{a n }中，由于4＋6＝3＋7时有a 4·a 6>a 3·a 7，所以在等比数列{b n }中，由于4＋8＝5＋7，所以应有b 4＋b 8>b 5＋b 7或b 4＋b 8<b 5＋b 7.∵b 4＝b 1q 3，b 5＝b 1q 4，b 7＝b 1q 6，b 8＝b 1q 7 ∴(b 4＋b 8)－(b 5＋b 7)＝(b 1q 3＋b 1q 7)－(b 1q 4＋b 1q 6) ＝b 1q 6·(q －1)－b 1q 3(q －1)＝(b 1q 6－b 1q 3)(q －1)＝b1q3(q3－1)(q－1)．∵q>1，b n>0，∴b4＋b8>b5＋b7.故选A.2．D[解析] 显然每5秒前进一个单位，且P(1)＝1，P(2)＝2，P(3)＝3，P(4)＝2，P(5)＝1，∴P(2007)＝P(5×401＋2)＝401＋2＝403，P(2008)＝404，P(2009)＝403，P(2010)＝402，故选D.3．B[解析] 等差数列中的bn和am可以类比等比数列中的b n和a m，等差数列中的bn－am可以类比等比数列中的b na m，等差数列中的bn－amn－m可以类比等比数列中的n－m b na m.故b m＋n＝n－m b na m.4．①③④[解析] ①为演绎推理，②为归纳推理，③④为类比推理．【能力提升】5．C[解析] f1(x)＝(sin x)′＝cos x，f2(x)＝(cos x)′＝－sin x，f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f4(x)＝(－cos x)′＝sin x，f5(x)＝(sin x)′＝cos x＝f1(x)，f6(x)＝(cos x)′＝－sin x＝f2(x)，f n＋4(x)＝…＝…＝f n(x)，故可猜测f n(x)以4为周期，有f4n＋1(x)＝f1(x)＝cos x，f4n＋2(x)＝f2(x)＝－sin x，f4n＋3(x)＝f3(x)＝－cos x，f4n＋4(x)＝f4(x)＝sin x，所以f2013(x)＝f503×4＋1(x)＝f1(x)＝cos x，故选C.6．A[解析] 两条直线平行，同旁内角互补——大前提，∠A，∠B是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角——小前提，∠A＋∠B＝180°——结论．故A是演绎推理，而B、D是归纳推理，C是类比推理．故选A.7．A[解析] 类比直线方程求法得平面方程为(－1)×(x－1)＋(－2)×(y－2)＋1×(z－3)＝0即x＋2y－z－2＝0.8．A[解析] y＝a x是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错．9．C[解析] 由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2009＝2×1005－1，所以2009为第1005个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1024，故2009在第32个奇数行内，所以i＝63，因为第63行的第一个数为2×962－1＝1923,2009＝1923＋2(m －1)，所以m ＝44，即j ＝44，所以i ＋j ＝107.10．V O －BCD ·OA →＋V O －ACD ·OB →＋V O －ABD ·OC →＋V O －ABC ·OD →＝0 [解析] 平面上的线段长度类比到平面上就是图形的面积，类比到空间就是几何体的体积．11.⎝⎛⎭⎫43πR 3′＝4πR 2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数 12.n 2＋3n4 n ＋1 n ＋2[解析]∵1k k ＋1 k ＋2＝12⎣⎡⎦⎤1k k ＋1 －1 k ＋1 k ＋2 ，依次裂项，求和得n 2＋3n 4 n ＋1 n ＋2. 13．f (n )＝2n 2－2n ＋1 [解析] 由f (1)＝1，f (2)＝1＋3＋1，f (3)＝1＋3＋5＋3＋1，f (4)＝1＋3＋5＋7＋5＋3＋1，可得f (n )＝1＋3＋5＋…＋2n －1＋…＋3＋1，∴f (n )＝2× n －1 [1＋ 2n －3 ]2＋(2n －1)＝2n 2－2n ＋1.14．[解答] (1)f (4)＝37，f (5)＝61.由于f (2)－f (1)＝7－1＝6，f (3)－f (2)＝19－7＝2×6，f (4)－f (3)＝37－19＝3×6，f (5)－f (4)＝61－37＝4×6，…因此，当n ≥2时，有f (n )－f (n －1)＝6(n －1)，所以f (n )＝[f (n )－f (n －1)]＋[f (n －1)－f (n －2)]＋…＋[f (2)－f (1)]＋f (1) ＝6[(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1]＋1＝3n 2－3n ＋1. 又f (1)＝1＝3×12－3×1＋1，所以f (n )＝3n 2－3n ＋1.(2)证明：当k ≥2时，1f k ＝13k 2－3k ＋1<13k 2－3k ＝13⎝⎛⎭⎫1k －1－1k .所以1f 1 ＋1f 2 ＋1f 3 ＋…＋1f n <1＋13⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝1＋13⎝⎛⎭⎫1－1n <1＋13＝43. 15．[解答] (1)证明：∵PM ⊥BB 1，PN ⊥BB 1，PM ∩PN ＝P ， ∴BB 1⊥平面PMN ，∴BB 1⊥MN . 又CC 1∥BB 1，∴CC 1⊥MN . (2)在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有S 2平面ABB 1A 1＝S 2平面BCC 1B 1＋S 2平面ACC 1A 1－ 2S 平面BCC 1B 1S 平面ACC 1A 1cos α.其中α为平面BCC 1B 1与平面ACC 1A 1所成的二面角的大小． 证明：∵CC 1⊥平面PMN ， ∴上述的二面角的平面角为∠MNP .在△PMN 中，∵PM 2＝PN 2＋MN 2－2PN ·MN cos ∠MNP ，∴PM 2·CC 21＝PN 2·CC 21＋MN 2·CC 21－2(PN ·CC 1)·(MN ·CC 1)cos ∠MNP ， 由于S 平面BCC 1B 1＝PN ·CC 1，S 平面ACC 1A 1＝MN ·CC 1， S 平面ABB 1A 1＝PM ·BB 1＝PM ·CC 1，∴S 2平面ABB 1A 1＝S 2平面BCC 1B 1＋S 2平面ACC 1A 1－2S 平面BCC 1B 1·S 平面ACC 1A 1·cos α.【难点突破】16．[解答] (1)根据新规定直接进行演算即可C5－15＝－15 －16 －17 －18 －195！＝－11628.(2)性质①不能推广．反例：当x ＝2，m ＝1时，C 12有意义，但C2－12无意义．性质②能推广，且推广形式不变：C m x ＋C m －1x ＝C m x ＋1(x ∈R ，m 是正整数)．证明如下：Cm x＋Cm －1x＝x x －1 x －2 … x －m ＋1m ！＋x x －1 x －2 … x －m ＋2m －1 ！＝x x －1 x －2 … x －m ＋2 m ！·(x ＋1)＝1m ！·(x ＋1)[(x ＋1)－1][(x ＋1)－2]…[(x ＋1)－m ＋1]＝C m x ＋1.(3)需要就x 与m 的大小做出逻辑划分并进行严密的论证． 当x ≥m 时，x ，m 都是正整数，C m n 就是组合数，结论显然成立；当0≤x <m 时，C m x＝x x －1 x －2 …0… x －m ＋1m ！＝0∈Z ，结论也成立； 当x <0时，C m x＝x x －1 x －2 … x －m ＋1m ！＝(－1)m 1m ！(－x ＋m －1)(－x ＋m －2)…(－x ＋1)(－x )＝(－1)m C m－x ＋m －1 ∵－x ＋m －1>0，∴C m －x ＋m －1是正整数，故C m x ＝(－1)m C m －x ＋m －1∈Z.综上所述，当x ∈Z ，m 是正整数时，C m x ∈Z.。

数学证明基础热身1．在用反证法证明命题“已知a 、b 、c ∈(0,2)，求证a (2－b )、b (2－c )、c (2－a )不可能都大于1”时，反证时假设正确的是( )A ．假设a (2－b )、b (2－c )、c (2－a )都小于1B ．假设a (2－b )、b (2－c )、c (2－a )都大于1C ．假设a (2－b )、b (2－c )、c (2－a )都不大于1D ．以上都不对2．在△ABC 中，已知sin A ＋cos A ＝12，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定3．设a ，b ，c 均为正实数，那么a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( )A ．都不大于2B ．都不小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于24．已知a ，b 是不相等的正数，x ＝a ＋b2，y ＝a ＋b ，则x ，y 的大小关系是________．能力提升5．一个质点从A 出发依次沿图中线段到达B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、I 、J 各点，最后又回到A (如图K68－1所示)，其中：AB ⊥BC ，AB ∥CD ∥EF ∥HG ∥IJ ，BC ∥DE ∥FG ∥HI ∥JA .欲知此质点所走路程，至少需要测量n 条线段的长度，则n ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．56． 已知⎪⎪⎪⎪a c b d ＝ad －bc ，则⎪⎪⎪⎪48 610＋⎪⎪⎪⎪1216 1418＋…＋⎪⎪⎪⎪20042008 20062010＝( )A ．－2008B ．2008C ．2010D ．－20107．△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a 、b 、c 成等比数列，cos A 、cos B 、cos C 成等差数列，则△ABC 为( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形8．已知关于x 的不等式ax －5x 2－a<0的解集为M ，且3∈M,5∉M ，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53∪(9,25) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，53∪(9,25] C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53∪[9,25) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，53∪[9,25]9．若a ，b ，c 是不全相等的正数，给出下列判断：①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a >b 与a <b 及a ＝b 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立． 其中判断正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．310．观察下表： 12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10……则第________行的各数之和等于20092.11．如图K68－2所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n (n >1，n ∈N )个点，每个图形总的点数记为a n ，则9a 2a 3＋9a 3a 4＋9a 4a 5＋…＋9a 2010a 2011＝________.12．若直线ax ＋2by －2＝0(a >0，b >0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b的最小值为________．13．如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，都有f x 1＋f x 2＋…＋f x n n≤f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n.若y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．14．(10分)已知a ，b ，c ∈(0,1)．求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能同时大于14.15. (13分)试比较n n ＋1与(n ＋1)n(n ∈N *)的大小．当n ＝1时，有n n ＋1________(n ＋1)n(填＞、＝或＜)当n ＝2时，有n n ＋1________(n ＋1)n(填＞、＝或＜)当n ＝3时，有n n ＋1________(n ＋1)n(填＞、＝或＜)当n ＝4时，有n n ＋1________(n ＋1)n(填＞、＝或＜) 猜想一个一般性结论，并加以证明．难点突破16．(12分)数列{a n }(n ∈N *)中，a 1＝0，a n ＋1是函数f n (x )＝13x 3－12(3a n ＋n 2)x 2＋3n 2a n x 的极小值点，求通项a n .答案解析【基础热身】1．B [解析] “不可能都大于1”的否定是“都大于1”，故选B.2．C [解析] 由sin A ＋cos A ＝12，得，(sin A ＋cos A )2＝1＋2sin A cos A ＝14，∴sin A cos A <0.∵A ∈(0，π)，∴sin A >0，cos A <0，∴A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.故选C. 3．D [解析] 因为a ＋1b＋b ＋1c＋c ＋1a≥6，故选D.4．x <y [解析] x 2－y 2＝a ＋b ＋2ab2－(a ＋b )＝－a ＋b －2ab2＝－a －b22.∵a ，b 是不相等的正数，∴a ≠b ，∴(a －b )2>0，∴－a －b22<0，∴x 2<y 2.又∵x >0，y >0，∴x <y .【能力提升】5．B [解析] 只需测量AB ，BC ，GH 这3条线段的长．6．A [解析] ∵⎪⎪⎪⎪48 610＝－8，⎪⎪⎪⎪1216 1418＝－8，…，⎪⎪⎪⎪20042008 20062010＝－8，区间[4,2010]中共有1004个偶数，若每四个偶数为一组，共有251组，∴⎪⎪⎪⎪48 610＋⎪⎪⎪⎪1216 1418＋…＋⎪⎪⎪⎪20042008 20062010＝(－8)＋(－8)＋…＋(－8251个＝－8×251＝－2008，故选A.7．A [解析] ∵cos A ，cos B ，cos C 成等差数列，∴2cos B ＝cos A ＋cos C ＝2cos A ＋C 2cos A －C2＝2sin B 2cos A －C 2，∴cos(A －C )＝2cos 2A －C 2－1＝2cos 2B sin2B 2－1.①∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac ，∴sin 2B ＝sin A sinC ，∴2sin 2B ＝cos(A －C )＋cos B ，∴cos(A －C )＝2sin 2B －cos B ，② 将①代入②整理得：(2cos B －1)(cos B －3)(cos B ＋1)＝0.∵0<B <π，∴cos B ＝12，∴B ＝π3，∴cos(A －C )＝1，∵－π<A －C <π，∴A ＝C ，∴A ＝B ＝C ＝π3，从而△ABC 为等边三角形，故选A.8．B [解析] (1)当a ≠25时，⎩⎪⎨⎪⎧3∈M ，5∉M ⇒⎩⎪⎨⎪⎧3a －59－a <0，5a －525－a ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >9或a <53，1≤a <25⇒a∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，53∪(9,25)．(2)当a ＝25时，不等式为25x －5x 2－25<0，解之得M ＝(－∞，－5)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，5，则3∈M 且5∉M ， ∴a ＝25满足条件，综上可得a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，53∪(9,25]． 9．C [解析] ①②正确；③中a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 可能同时成立，如a ＝1，b ＝2，c ＝3.选C.10．1005 [解析] 由题意归纳出第n 行的各数之和为(2n －1)2,2n －1＝2009，n ＝1005. 11.20092010[解析] a n ＝3(n －1)，a n a n ＋1＝9n (n －1)，裂项求和即可． 12．3＋2 2 [解析] 由题知直线经过圆心(2,1)，则有a ＋b ＝1，所以1a ＋2b＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a＋2a b ≥3＋2 2.13.332 [解析] sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin A ＋B ＋C 3＝3sin π3＝332.14．[解答] 证明：假设三式同时大于14，即(1－a )b >14，(1－b )c >14，(1－c )a >14，三式同向相乘，得(1－a )a (1－b )b (1－c )c >164.①又(1－a )a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a ＋a 22＝14，(1－b )b ≤14，(1－c )c ≤14.所以(1－a )a (1－b )b (1－c )c ≤164，与①式矛盾，即假设不成立，故结论正确． 15．[解答] < < > >结论：当n ≥3时，n n ＋1>(n ＋1)n (n ∈N *)恒成立．证明：①当n ＝3时，34＝81>64＝43成立；②假设当n ＝k (k ≥3)时成立，即k k ＋1>(k ＋1)k成立，即k k ＋1k ＋k>1，则当n ＝k ＋1时，∵k ＋k ＋2k ＋k ＋1＝(k ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k ＋2k ＋1>(k ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫k k ＋1k ＋1＝k k ＋1k ＋k>1，∴(k ＋1)k ＋2>(k ＋2)k ＋1，即当n ＝k ＋1时也成立．∴当n ≥3时，n n ＋1>(n ＋1)n (n ∈N *)恒成立．【难点突破】16．[解答] 易知f ′n (x )＝x 2－(3a n ＋n 2)x ＋3n 2a n ＝(x －3a n )(x －n 2)，令f ′n (x )＝0，得x ＝3a n 或x ＝n 2，(1)若3a n <n 2，当x <3a n 时，f ′n (x )>0，f n (x )单调递增；当3a n <x <n 2时，f ′n (x )<0，f n (x )单调递减；当x >n 2时，f ′n (x )>0，f n (x )单调递增，故f n (x )在x ＝n 2时，取得极小值．(2)若3a n >n 2，仿(1)可得，f n (x )在x ＝3a n 时取得极小值．(3)若3a n ＝n 2，f ′n (x )≥0，f n (x )无极值．因a 1＝0，则3a 1<12，由(1)知，a 2＝12＝1.因3a 2＝3<22，由(1)知a 3＝22＝4，因3a 3＝12>32，由(2)知a 4＝3a 3＝3×4，因3a 4＝36>42，由(2)知a 5＝3a 4＝32×4，由此猜想：当n ≥3时，a n ＝4×3n －3.下面用数学归纳法证明：当n ≥3时，3a n >n 2. 事实上，当n ＝3时，由前面的讨论知结论成立．假设当n ＝k (k ≥3)时，3a k >k 2成立，则由(2)知a k ＋1＝3a k >k 2，从而3a k ＋1－(k ＋1)2>3k 2－(k ＋1)2＝2k (k －2)＋2k －1>0，所以3a k ＋1>(k ＋1)2.故当n ≥3时，a n ＝4×3n －3，于是由(2)知，当n ≥3时，a n ＋1＝3a n ，而a 3＝4，因此a n ＝4×3n －3，综上所述，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＝，n ＝，4×3n －3n。

双曲线02基础热身1．下列双曲线中，离心率为62的是( ) A.x 22－y 23＝1 B.x 23－y 26＝1 C ．－x 22＋y 24＝1 D ．－x 22＋y 26＝12．双曲线x 2m －y 23m＝1的一个焦点是(0,2)，则实数m 的值是( )A ．1B ．－1C ．－105 D.1053．若k ∈R ，则“k >5”是“方程x 2k －5－y 2k ＋2＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若椭圆C 的焦点和顶点分别是双曲线x 25－y 24＝1的顶点和焦点，则椭圆C 的方程是________．能力提升5．与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是( )A.x 24－y 2＝1 B.x 22－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝16．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.3＋12D.5＋127．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→·PF 2→的最小值为( )A ．－2B ．－8116C ．1D ．08．双曲线x 216－y 29＝1上到定点(5,0)的距离是9的点的个数是( )A ．0B ．2C ．3D ．49．双曲线2x 2－3y 2＝1的渐近线方程是________．10．在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为(5,0)，e 1＝(2,1)、e 2＝(2，－1)分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点P ，若OP →＝a e 1＋b e 2(a 、b ∈R )，则a 、b 满足的一个等式是________．11．已知点P 为双曲线x 2－y 28＝1的右支上一点，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF 1F 2的内心，若S △IPF 1＝SIPF 2＋λS △IF 1F 2成立，则λ的值为________．12．(13分)点M (x ，y )到定点F (5,0)距离和它到定直线l ：x ＝95的距离的比是53.(1)求点M 的轨迹方程；(2)设(1)中所求方程为C ，在C 上求点P ，使|OP |＝34(O 为坐标系原点)．难点突破13．(12分)已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点F (－2,0)． (1)求双曲线方程；(2)设Q 是双曲线上一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M ，若|MQ →|＝2|QF →|，求直线l 的方程．答案解析【基础热身】1．C [解析] 计算知，选项C 正确，故选C.2．B [解析] 由焦点坐标知，焦点在y 轴上，m <0，∴双曲线的标准方程为y 2－3m －1－m＝1，∴－m －3m ＝4，∴m ＝－1.3．A [解析] 当k >5时，方程表示双曲线；反之，方程表示双曲线时，有k >5或k <－2.故选A.4.x 29＋y 24＝1 [解析] 由题意可知，双曲线x 25－y 24＝1的一个焦点和一个顶点的坐标分别为(3,0)、(5，0)．设椭圆C 的方程是x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则a ＝3，c ＝5，b ＝2，所以椭圆C的方程为x 29＋y 24＝1.【能力提升】5．B [解析] 椭圆的焦点坐标为(±3，0)，四个选项中，只有x 22－y 2＝1的焦点为(±3，0)，且经过点P (2,1)．故选B.6．D [解析] 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，设F (c,0)，B (0，b )，直线FB 的斜率为－bc，与其垂直的渐近线的斜率为b a ，所以有－b 2ac ＝－1，即b 2＝ac ，所以c 2－a 2＝ac ，两边同时除以a 2可得e 2－e －1＝0，解得e ＝1＋52. 7．A [解析] 由已知可得A 1(－1,0)，F 2(2,0)，设点P 的坐标为(x ，y )，则PA 1→·PF 2→＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－x －2＋y 2，因为x 2－y 23＝1(x ≥1)，所以PA 1→·PF 2→＝4x 2－x －5，当x ＝1时，PA 1→·PF 2→有最小值－2.故选A.8．C [解析] (5,0)是双曲线的右焦点，它到双曲线左顶点的距离为9，所以以(5,0)为圆心，以9为半径作圆，该圆与双曲线的右支有两个交点，所以共有3个这样的点．9．y ＝±63x [解析] 双曲线2x 2－3y 2＝1的渐近线方程为2x ±3y ＝0，即y ＝±63x .10．4ab ＝1 [解析] 易知双曲线Γ的方程为x 24－y 2＝1，设P (x 0，y 0)，又e 1＝(2,1)，e 2＝(2，－1)，由OP →＝a e 1＋b e 2，得(x 0，y 0)＝a (2，1)＋b (2，－1)，即(x 0，y 0)＝(2a ＋2b ，a －b )， ∴x 0＝2a ＋2b ，y 0＝a －b ， 代入x 24－y 2＝1整理得4ab ＝1.11.13[解析] I 为△PF 1F 2的内心，所以其到三角形三边的距离d 相等．由S △IPF 1＝SIPF 2＋λS △IF 1F 2，得12|PF 1|·d ＝12|PF 2|·d ＋12λ|F 1F 2|·d ，即|PF 1|－|PF 2|＝λ×2c ，得2＝λ×2×3，λ＝13. 12．[解答] (1)|MF |＝x －2＋y 2，点M 到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －95， 依题意，有x －2＋y2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －95＝53， 去分母，得3x －2＋y 2＝|5x －9|，平方整理得x 29－y 216＝1，即为点M 的轨迹方程．(2)设点P 坐标为P (x ，y )，由|OP |＝34得x 2＋y 2＝34，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 29－y 216＝1，x 2＋y 2＝34，得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝4或⎩⎨⎧x ＝－32，y ＝－4或⎩⎨⎧x ＝－32，y ＝4或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝－4，∴点P 为(32，4)或(－32，－4)或(－32，4)或(32，－4)． 【难点突破】13．[解答] (1)由题意可设所求的双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则有e ＝ca＝2，c ＝2，所以a ＝1，则b ＝3，所以所求的双曲线方程为x 2－y 23＝1.(2)因为直线l 与y 轴相交于M 且过焦点F (－2,0)， 所以l 的斜率一定存在，设为k ，则l ：y ＝k (x ＋2)， 令x ＝0，得M (0,2k )，因为|MQ →|＝2|QF →|且M 、Q 、F 共线于l ，所以MQ →＝2QF →或MQ →＝－2QF →.当MQ →＝2QF →时，x Q ＝－43，y Q ＝23k ，所以Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，23k ， 因为Q 在双曲线x 2－y 23＝1上，所以169－4k 227＝1，所以k ＝±212，所以直线l 的方程为y ＝±212(x ＋2)，当MQ →＝－2QF →时，同理求得Q (－4，－2k )代入双曲线方程得，16－4k 23＝1，所以k ＝±352，所以直线l 的方程为y ＝±352(x ＋2)．综上：所求的直线l 的方程为y ＝±212(x ＋2)或y ＝±352(x ＋2)．。

导数与函数的极值、最值02基础热身1．已知f ′(x )是函数f (x )的导数，y ＝f ′(x )的图像如图K15－3所示，则y ＝f (x )的图像最有可能是下图中的( )图K15－2．函数f (x )＝x 3＋3x 2＋4x －a 的极值点的个数是( ) A ．2 B ．1C ．0D ．由a 决定3．已知α、β是三次函数f (x )＝13x 3＋12ax 2＋2bx (a ，b ∈R )的两个极值点，且α∈(0,1)，β∈(1,2)，则b －2a －1的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12 4．f (x )＝ax ln x的极大值为－2e ，则a ＝________.能力提升5．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图像与x 轴切于点(1,0)，则f (x )的极值为( )A ．极大值为427，极小值为0B ．极大值为0，极小值为－427C ．极小值为－527，极大值为0D ．极小值为0，极大值为5276．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( )A ．－1<a <2B ．a <－3或a >6C ．－3<a <6D ．a <－1或a >27．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为( )A ．－5B ．－11C ．－29D ．－378．对任意的x ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋7ax 不存在极值点的充要条件是( ) A ．0≤a ≤21 B．a ＝0或a ＝7 C ．a <0或a >21 D ．a ＝0或a ＝219．函数y ＝f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，且函数y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线为l ：y ＝g (x )＝f ′(x 0)(x －x 0)＋f (x 0)，F (x )＝f (x )－g (x )，如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图像如图K15－5所示，且a <x 0<图K15－5A ．F ′(x 0)＝0，x ＝x 0是F (x )的极大值点B ．F ′(x 0)＝0，x ＝x 0是F (x )的极小值点C ．F ′(x 0)≠0，x ＝x 0不是F (x )的极值点D ．F ′(x 0)≠0，x ＝x 0是F (x )的极值点10．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值．11．图K15－6是函数y ＝f (x )的导函数的图像，给出下面四个判断．①f (x )在区间[－2，－1]上是增函数； ②x ＝－1是f (x )的极小值点；③f (x )在区间[－1,2]上是增函数，在区间[2,4]上是减函数； ④x ＝3是f (x )的极小值点．其中，所有正确判断的序号是________．12．已知关于x 的函数f (x )＝－13x 3＋bx 2＋cx ＋bc ，如果函数f (x )在x ＝1处取极值－43，则b ＝________，c ＝________.13．设a ∈R ，函数f (x )＝ax 3－3x 2，若函数g (x )＝f (x )＋f ′(x )，x ∈[0,2]在x ＝0处取得最大值，则a 的取值范围是________．14．(10分)已知函数f (x )＝(x －k )e x. (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值．15．(13分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线l 不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l 的距离为1010，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值．难点突破16．(12分)已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝12x 2－x ＋a .(1)当a ＝2时，求函数y ＝g (x )在[0,3]上的值域；(2)求函数f (x )在[t ，t ＋2](t >0)上的最小值；(3)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有x ln x >g x ＋1e x－2e成立．答案解析【基础热身】1．B [解析] 根据导数值的正负与函数单调性的关系可以判断选项B 正确． 2．C [解析] f ′(x )＝3x 2＋6x ＋4＝3(x ＋1)2＋1>0，则f (x )在R 上是增函数，故不存在极值点．3．A 【解析】 1<α＋β<3,0<αβ<2，f ′(x )＝x 2＋ax ＋2b ，依题意有－a ＝α＋β，αβ＝2b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－3<a <－1，0<b <1，当M 坐标为(－1,0)时，b －2a －1＝1；当M 坐标为(－3,1)时，b －2a －1＝14.故选A.4．2 [解析] 函数的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，f ′(x )＝－ax ＋x 2ln 2x，令f ′(x )＝0，得x ＝1，当a >0时，列表如下：当x ＝e 时，函数f (x )有极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＝1e ln 1e＝－a e ，故－a e ＝－2e ，解得a ＝2；【能力提升】5．A [解析] 由题设知：⎩⎪⎨⎪⎧ f ＝0，f ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1，所以f (x )＝x 3－2x 2＋x ，进而可求得f (1)是极小值，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13是极大值，故选A. 6．B [解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)，因为函数有极大值和极小值，所以f ′(x )＝0有两个不相等的实数根，所以判别式Δ＝4a 2－4×3(a ＋6)>0，解得a <－3或a >6.7．D [解析] 由f ′(x )＝6x 2－12x >0得x <0或x >2，由f ′(x )<0得0<x <2，∴f (x )在[－2,0]上为增函数，在[0,2]上为减函数．∴x ＝0时，f (x )max ＝m ＝3.又f (－2)＝－37，f (2)＝－5.∴f (x )min ＝－37.8．A [解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋7a ，令f ′(x )＝0，当Δ＝4a 2－84a ≤0，即0≤a ≤21时，f ′(x )≥0恒成立，函数不存在极值点．9．B [解析] F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )，∴F ′(x 0)＝f ′(x 0)－g ′(x 0)＝f ′(x 0)－f ′(x 0)＝0，且x <x 0时，F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0)<0，x >x 0时，F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0)>0，故x ＝x 0是F (x )的极小值点，选B.10．2 [解析] f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0，当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，显然当x ＝2时f (x )取极小值．11．②③ [解析] 由函数y ＝f (x )的导函数的图像可知：(1)f (x )在区间[－2，－1]上是减函数，在[－1,2]上为增函数，在[2,4]上为减函数；(2)f (x )在x ＝－1处取得极小值，在x ＝2处取得极大值．故②③正确．12．－1 3 [解析] f ′(x )＝－x 2＋2bx ＋c ，由f (x )在x ＝1处取极值－43，可得⎩⎪⎨⎪⎧f ＝－1＋2b ＋c ＝0，f ＝－13＋b ＋c ＋bc ＝－43，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝3.若b ＝1，c ＝－1，则f ′(x )＝－x 2＋2x －1＝－(x －1)2≤0，此时f (x )没有极值；若b ＝－1，c ＝3，则f ′(x )＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋3)(x －1)， 当－3<x <1时，f ′(x )>0，当x >1时，f ′(x )<0，∴当x ＝1时，f (x )有极大值－43.故b ＝－1，c ＝3即为所求．13.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，65 [解析] g (x )＝ax 3－3x 2＋3ax 2－6x ＝ax 2(x ＋3)－3x (x ＋2)．当g (x )在区间[0,2]上的最大值为g (0)时，g (0)≥g (2)，即0≥20a －24，得a ≤65.反之，当a ≤65时，对任意x ∈[0,2]，g (x )≤65x 2(x ＋3)－3x (x ＋2)＝3x 5(2x 2＋x －10)＝3x5(2x ＋5)(x －2)≤0， 而g (0)＝0，故g (x )在区间[0,2]上的最大值为g (0)．综上，a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，65. 14．[解答] (1)f ′(x )＝(x －k ＋1)e x. 令f ′(x )＝0，得x ＝k －1.x 与f (x )、f ′(x )的变化情况如下：所以，f (．(2)当k －1≤0，即k ≤1时，函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ；当0<k －1<1，即1<k <2时，由(1)知f (x )在[0，k －1)上单调递减，在(k －1,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1；当k －1≥1，即k ≥2时，函数f (x )在[0,1]上单调递减． 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.15．[解答] (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 当x ＝1时，切线l 的斜率为3，可得2a ＋b ＝0.①当x ＝23时，y ＝f (x )有极值，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝0，可得 4a ＋3b ＋4＝0.②由①②解得a ＝2，b ＝－4.设切线l 的方程为y ＝3x ＋m .由原点到切线l 的距离为1010，得|m |32＋1＝1010，解得m ＝±1.∵切线l 不过第四象限，∴m ＝1.由于切点的横坐标为x ＝1，∴f (1)＝4. ∴1＋a ＋b ＋c ＝4， ∴c ＝5.(2)由(1)可得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，∴f ′(x )＝3x 2＋4x －4.令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝23.∴f (x )在x ＝－2处取得极大值f (－2)＝13，在x ＝3处取得极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＝27，又f (－3)＝8，f (1)＝4，∴f (x )在[－3,1]上的最大值为13，最小值为9527.【难点突破】16．[解答] (1)∵g (x )＝12(x －1)2＋32，x ∈[0,3]，当x ＝1时，g (x )min ＝g (1)＝32；当x ＝3时，g (x )max ＝g (3)＝72.故当a ＝2时，g (x )在[0,3]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，72. (2)f ′(x )＝ln x ＋1，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞，f ′(x )>0，f (x )单调递增．①0<t <t ＋2<1e ，t 无解；②0<t <1e <t ＋2，即0<t <1e 时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e ； ③1e ≤t <t ＋2，即t ≥1e时，f (x )在[t ，t ＋2]上单调递增，f (x )min ＝f (t )＝t ln t ； 所以f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧－1e ，0<t <1e ，t ln t ，t ≥1e.(3)g ′(x )＋1＝x ，所以问题等价于证明x ln x >x e x －2e(x ∈(0，＋∞))，由(2)可知f (x )＝x ln x (x ∈(0，＋∞))的最小值是－1e ，当且仅当x ＝1e时取到．设m (x )＝x e x －2e (x ∈(0，＋∞))，则m ′(x )＝1－x e x ，易得m (x )max ＝m (1)＝－1e，当且仅当x ＝1时取到，从而对一切x ∈(0，＋∞)，都有x ln x >g x ＋1e x－2e成立．。

函数0218.已知函数2()f x ax bx c =++,且,0a b c a b c >>++=，则 (A) ()0,1,x ∀∈都有f(x)>0 (B) ()0,1,x ∀∈都有f(x)<0 (C) ()00,1,x ∃∈使得f(x 0)=0 (D) ()00,1,x ∃∈使得f(x 0)>0 【答案】B【解析】由,0a b c a b c >>++=可知0,0a c ><，抛物线开口向上。

因为(0)0f c =<，(1)0f a b c =++=，即1是方程20ax bx c ++=的一个根，所以()0,1,x ∀∈都有()0f x <，选B.19.已知函数()()af x ax a x=-∈R ，下列说法正确的是（ ） A ．a ∀∈R ，()f x 在(0,)+∞上是增函数 B ．a ∀∈R ，()f x 在(,0)-∞上是减函数 C ．a ∃∈R ，()f x 是R 上的常函数 D ．a ∃∈R ，()f x 是(0,)+∞上的单调函数 【答案】D【解析】函数的定义域为{0}x x ≠。

当0a =时，()0,(0)f x x =≠。

当0a ≠时，函数()f x 为奇函数。

21'()(1)f x a x=+，若0a >，则'()0f x >，所以函数在区间(,0)-∞和(0,)+∞上，函数()f x 递增。

若0a <，则'()0f x <，所以函数在区间(,0)-∞和(0,)+∞上，函数()f x 递减。

所以D 正确，选D.20.已知函数sin , sin cos ,()cos , sin cos ,x x x f x x x x ≥⎧=⎨<⎩则下面结论中正确的是A. ()f x 是奇函数B. ()f x 的值域是[1,1]-C. ()f x 是偶函数D. ()f x 的值域是[2-【答案】D【解析】在坐标系中，做出函数()f x 的图象如图，由图象可知选D.21.（ ）【答案】C【解析】令1。