衡水中学2017届高三四调考数学(文)

i ，则复数 z 的共轭复数 z 在复平面内对应的点在（, 1 ⎫A ． ，⎪B ． 0， ⎪⎭ D ． 0， ⎪⎛ 3 ⎫ ⎛ 3 ⎫ ⎛ 1 ⎫ ⎛⎝ 12 ,0 ⎪4 ⎭C ． 2B ． -8B ．x 2 + a 的图象可能是（河北省衡水中学 2017 届高三上学期四调数学（文科）试卷一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数 z = -2i + 3 - i）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设 A ， B 是全集 I = {1,2,3,4 }的子集， A = {1,2}，则满足 A ⊆ B 的 B 的个数是（A ．5B ．4C ．3D ．23．抛物线 y = 3x 2的焦点坐标是（）0 ⎝ 4 ⎭⎝ ⎝ 12 ⎭4．设向量 a = (-1,2 ) ， b = (m ,1) ，若向量 a + 2b 与 2a - b 平行，则 m = （））A ． - 71 2 C ． 3 2 D ．525．圆 x 2 + y 2 = 1 与直线 y = kx - 3 有公共点的充分不必要条件是（）A ． k ≤ -2 2或k ≥ -2 2B ． k ≤ -2 2C ． k ≥ 2D ． k ≤ -2 2或k ≥ 26．设等比数列 {a n }的前 n 项和为 Sn，若 a = 3 ，且 a32016+ a2017= 0 ，则 S 等于（101）A ．3B ．303C ．﹣3D ．﹣303 7．阅读如图所示程序框图，运行相应程序，则输出的 S 值为（）A ． - 11 8 C ．1 16D ． 1328．函数 f (x ) = x）1 25555:1A ．(1)(3)B ．(1)(2)(4)C ．(2)(3)(4)D ．(1)(2)(3)(4)9．在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 是正方形， P A ⊥ 底面 ABCD ， P A = AB = 4 ， E ， F ， Q 分别是棱 PB ， BC ， PD 的中点，则过 E ， F ， H 的平面截四棱锥 P ﹣ABCD 所得截面面积为（）A ． 2 6B ． 4 6C ． 5 6D ． 2 3 + 4 610．设 F ，F 是椭圆 E 的两个焦点，P 为椭圆 E 上的点，以 PF 为直径的圆经过 F ，若 tan ∠PF F =12 1 2则椭圆 E 的离心率为（）A ．B ．C ．D ．6 5 4 32 5 15，11．四棱锥 P - ABCD 的三视图如图所示，四棱锥 P - ABCD 的五个顶点都在一个球面上， E 、 F 分别是棱 AB ， CD 的中点，直线 EF 被球面所截得的线段长为 2 2 ，则该球表面积为（）A ．12 πB ． 24πC ． 36πD ． 48π12．已知抛物线C ：y 2 = 4x 的焦点为 F ，定点 A (0,- 2 )，若射线 F A 与抛物线 C 交于点 M ，与抛物线C 的准线交于点 N ，则 MN : FN 的值是（）A ．( 5 - 2)5 B ． 2 : 5 C ．1: 2 5D ． 5 : ( + 5 )）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13．已知直线 l : (m + 1)x + 2 y + 2m - 2 = 0 ， l : 2 x + (m - 2 ) y + 2 = 0 ，若直线 l ∥l ，则 m = ________．121214．在 △ABC 中，角 A 、 B 、C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且 A = 3C ，c = 6 ，(2a - c )cosB - b cosC = 0 ，则 △ABC 的面积是________．y ≥ 0 15．若不等式组 ⎨表示的平面区域是一个四边形，则实数 a 的取值范围是________． 1] ），且 S = 2n 2 + n ， n ∈ N * ，数列 {b }满足 a = 4log b n + 3 ， n ∈ N * ．18．设 f (x ) = 4sin 2 x - ⎪+ 3 ．(1)求 f (x ) 在 ⎢0, ⎥ 上的最大值和最小值； = 1(a > b > 0)的短轴长为 2，离心率为 ，直线 l 过点 (-1,0 ) 交椭圆 E 于 A 、 B ⎧ x ≥ 1 ⎪ ⎪⎪2 x + y ≤ 6 ⎪⎩ x + y ≤ a16．已知函数 f (x ) = e x + ae x， (a ∈ R ) 在区间 [0，上单调递增，则实数 a 的取值范围是________．三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}的 n 项和为 S nn n n 2(1)求 a ， b ；nn (2)求数列 {a b nn}的前 n 项和 T n．⎛ π ⎫ ⎝2 ⎭⎡ π ⎤ ⎣ 2 ⎦(2)把 y = f (x )的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再把得到的图像向左平移2π 3个单位，得到函数 y = y = f (x )的图像，求 y = f (x ) 的单调减区间．19．如图所示的几何体 Q PABCD 为一简单组合体，在底面 ABCD 中，∠DAB = 60︒ ，AD ⊥ DC ，AB ⊥ BC ，QD ⊥ 平面 ABCD ， P A ∥QD ， P A = 1 ， AD = AB = QD = 2 ．(1)求证：平面 PAB ⊥ 平面 QBC ； (2)求该组合体 QPABCD 的体积．20．已知椭圆 E : x 2 y 2 6 +a 2b 2 3两点， O 为坐标原点．(1)求椭圆 E 的方程；(2)求 △OAB 面积的最大值．21．已知函数 f (x ) = ln x - a 2 x 2 = ax ， a ∈ R ，且 a ≠ 0 ．极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为 ρ = 2cos θ - ⎪ ．(2)若直线 l 与曲线 C 交于 A ， B 两点，设点 P  0， ⎪⎪ ，求 P A + PB ．⎫(1)若函数 f (x ) 在区间[1，+∞）上是减函数，求实数 a 的取值范围；(2)设函数 g (x ) = (3a +1)x - (a 2 + a )x 2 ，当 x > 1 时， f (x ) < g (x ) 恒成立，求 a 的取值范围．[选修 4-4：坐标系与参数方程]⎧ ⎪22．已知直线 l 的参数方程为 ⎨ ⎪ y = ⎩ x = t 2+ 3t 2 （ t 为参数），若以直角坐标系 xOy 的 O 点为极点， Ox 方向为⎛π ⎝4 ⎭(1)求直线 l 的倾斜角和曲线 C 的直角坐标方程；⎛ 2 ⎫ ⎝ 2 ⎭[选修 4-5：不等式选讲]23．设函数 f (x ) = 2 x + 1 - x - 2 ．(1)求不等式 f (x ) > 2 的解集；(2) ∀x ∈ R ，使 f (x ) ≥ t 2 - 11t ，求实数 t 的取值范围．2）⎥⎦ = = (4n - 1) 2n - ⎡⎣3 + 4 2n - 2 ⎤⎦ = (4n - 5) 2n + 5河北省衡水中学 2017 届高三上学期四调数学（文科）试卷答 案一、 选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．1~5．BBDBB6~10．ABCCD 11~12．AD二、 填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13．﹣214．18 3 15．（3，5）16． a ∈ [-1,1]三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（Ⅰ）由 S = 2n 2 + n 可得，当 n = 1 时， a = S = 3n11当 n ≥ 2 时， a = S - Snnn -1= 2n 2+ n - 2 (n - 1)2 - (n - 1) = 4n - 1而 n = 1 ， a = 4 - 1 = 3 适合上式，1故 a = 4n - 1 ，n又∵ a = 4log b n + 3 = 4n - 1n2∴ b = 2n -1n（Ⅱ）由（Ⅰ）知， a b = (4n - 1) 2n -1n nT = 3 ⨯ 20 + 7 ⨯ 2 +n2T = 3 ⨯ 2 + 7 ⨯ 22 +n+ (4n - 1) 2n -1+ (4n - 5) 2n∴ T n = (4n - 1) 2n - ⎡⎣3 + 4(2 + 22 + + 2n -1)⎤⎦⎡= (4n - 1) 2n - ⎢3 + 4⎢⎣2 (1 - 2n -1 )⎤ ⎥ 1 - 2()18．解：(1) f (x ) = 4sin 2 x - ⎪+ 3 ．sin 2x - ⎪ = 1 时， f (x ) 取得最大值 4 + 3 ； sin 2x -⎪ = -1 时，函数 f (x ) 取得最小值 4 - 3 ． (2)把 y = f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），得到 y = 4sin x - ⎪ + 3 的π ⎫ 3 ⎭ 个单位，得到 y = 4sin x + ⎪ + 3 的图象． g (x )= 4sin x + ⎪ + 3 ． 由 2k π + π7π ⎤( ) ∴ g (x) 的单调减区间是 ⎢2k π + ,2 k π + ⎥ k ∈ Z ．⎛ π ⎫ ⎝3 ⎭⎛ ⎛ π ⎫ ⎝ ⎝3 ⎭⎛ π ⎫ ⎝3 ⎭图象．再把得到的图象向左平移 2π⎛ π ⎫3 ⎝ 3 ⎭∴⎛ π ⎫ ⎝ 3 ⎭π 3π π 7π≤ x + ≤ 2k π + ⇒ 2k π + ≤ x ≤ 2k π + ． 2 3 2 6 6⎡π ⎣66 ⎦19．证明：(1)∵ QD ⊥ 平面 ABCD ， P A QD ，∴ P A ⊥ 平面 ABCD ，又∵ BC ⊂ 平面 ABCD ，∴ P A ⊥ BC ，又 BC ⊥ AB ， P A ⊂ 平面 PAB ⊥ ， AB ⊂ 平面 PAB ⊥ ， P A∴ BC ⊥ 平面 PAB ，又∵ BC ⊂ 平面 QBC ， 解：(2)连接 BD ，过 B 作 BO ⊥ AD 于 O ，∵ P A ⊥ 平面 ABCD ， BO ⊂ 平面 ABCD ，AB=A，又BO⊥AD，AD⊂AD平面P ADQ，P A⊂平面P ADQ，P A AB=A，∴BO⊥平面P ADQ，∵AD=AB=2，∠DAB=60，∴ABC是等边三角形，∴BO=3．∴VB-P ADQ1=S3梯形P ADQ1132∵∠ADC=∠ABC=90∴∠CBD=∠CDB=30︒，又BD=AB=2，∴BC=CD=233，6/22BO=⨯⨯(1+2)⨯2⨯3=3．= ⨯ 2 ⨯ ⨯ sin30︒ ．= ． ⎩ + y = 2mm 2 + 3 m 2 + 323= -3 - ⎪ + ， 1 1 6 1 -2a 2 x + ax + 1 - (2ax + 1)(ax - 1)①当 a = 0 时， f '(x ) = > 0 ，∴ SBCD 1 2 32 3∵ QD ⊥ 平面 ABCD ，∴ V Q -BCD 1 = S 3 BCD 1 3 2 3QD = ⨯ ⨯ 2 =3 3 9 ．∴该组合体的体积V = V Q -BCD+ V 11 39⎧ c 6 ⎪ =20．解：(1)由题意得 b = 1 ，由 ⎨ a 3 得 a = 3 ， c = 2 ， b = 1 ，⎪a 2 = 1 + c 2x 2∴椭圆 E 的方程为 + y 2 = 1 ；3(2)依题意设直线 l 的方程为 x = my - 1 ， 联立椭圆方程，得 (m 2 + 3)y 2 - 2my - 2 = 0 ，设 A (x , y )， B (x , y1122)，则 y1 ， y y =-2 1 2 2，S△AOB 1= ⨯1⨯ y - y =1 2 3m 2 + 6(m 2+ 3)，设 m 2 + 3 = t (t ≥ 3)，则△SAOB⎛ 1 1 ⎫23 ⎝ t 2 ⎭ 41 1∵ t ≥ 3 ，∴ 0 < ≤ t 3，∴当 = ，即 t = 3 时， OAB 面积取得最大值为 ，此时 m = 0 ．t 3 321．解：(1)∵ f (x ) = ln x - a 2 x 2 = ax ，其定义域为（0，+∞），∴ f '(x ) = - 2a 2 x + a = =x x x1 x∴ f (x ) 在区间（0，+∞）上为增函数，不合题意．．a．此时f(x)的单调递减区间为 ，∞⎪．⎛1⎫⎪≤1此时f(x)的单调递减区间为⎝2a,+∞⎪．2a≤1解之，得a≤-1⎩1⎤[综上所述，实数a的取值范围是 -∞,-⎥1,+∞)．()x-1<0h′x）=②当a>0时，f'(x)<0(x>0)等价于(2ax+1)(ax-1)>0(x>0)，即x>1+⎝a⎭⎧1依题意，得⎨a⎪⎩a>0解之，得a≥1．③当a<0时，f'(x)<0(x>0)等价于(2ax+1)(ax-1)>0(x>0)，即x>-1 2a⎛1⎫⎭．⎧1⎪-依题意，得⎨⎪a<02．⎛⎝2⎦(2)∵g(x)=(3a+1)x-a2+a x2，∴f(x)-g(x)=ln x-(2a+1)x+ax2<0，即ln x-x<2ax-ax2，在[1,+∞)恒成立，设h(x)=ln x-x，则h'(x)=1（1x﹣1＜0恒成立，∴h(x)在(1,+∞)为减函数，∴h(x)<h(1)=-1，∴ax2-2ax-1<0，在(1,+∞)上恒成立，设ϕ(x)=ax2-2ax-1当a=0时，-1<0，符合题意，当a>0时，显然不满足题意，当a<0，由于对称轴x=1，则ϕ(1)<0，即a-2a-1<0，解得-1<a<0，综上所述，a的取值范围为(-1,0]．由曲线 C 的极坐标方程得到： ρ 2 = 2ρcos θ - ⎪ ，利用 ρ 2 = x 2 + y 2 ，得到曲线 C 的直角坐标方程为x - + y - 2 ⎪⎭ 2 ⎪⎭(2)点 P  0， ⎪⎪ 在直线 l 上且在圆 C 内部，所以 P A + PB = AB ， ⎪⎪ 到直线 l 的距离 d = 6 ．所以 AB = 10 ，即 P A + PB = 10 所以圆心 - x - 3, x < - 2 23．解：(1) f (x ) = ⎨3x - 1,- ≤ x < 2 2{ }= - ，若 ∀x ∈ R ， f (x ) ≥ t 2 -22．解 (1)直线的斜率为 3 ，直线 l 倾斜角为π3⎛ π ⎫ ⎝4 ⎭⎛ 2 ⎫2 ⎛ 2 ⎫2= 1⎝⎝⎛ 2 ⎫ ⎝ 2 ⎭直线 l 的直角坐标方程为 y = 2 2+ 3x⎛ 2 2 ⎫ ⎝ 2 2 ⎭4 2 2⎧1 ⎪ ⎪⎪1⎪⎪ x + 3, x ≥ 2 ⎪ ⎩当 x <- 1 2， - x - 3 > 2 ， x < -5 ，∴ x < -5当 - 1 2≤ x < 2 ， 3x - 1 > 2 ， x > 1 ，∴1 < x < 2当 x ≥ 2 ， x + 3 > 2 ， x > -1 ，∴ x ≥ 2综上所述 x x > 1或x < -5 ．(2)由(1)得 f (x ) min5 2 11 2t 恒成立，则只需 f (x ) min 5 11 1= - ≥ t 2 - t ⇒ 2t 2 - 11t + 5 ≤ 0 ⇒ ≤ t ≤ 5 ，2 2 2综上所述 1 2≤ t ≤ 5 ．河北省衡水中学2017届高三上学期四调数学（文科）试卷解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．1．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．【解答】解：复数z=﹣2i+=﹣2i+=﹣2i﹣3i﹣1=﹣1﹣5i，则复数z的共轭复数=﹣1+5i在复平面内对应的点（﹣1，5）在第二象限．故选：B．2．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】由题意可知：集合B中至少含有元素1，2，即可得出．【解答】解：A，B是全集I={1，2，3，4}的子集，A={l，2}，则满足A B的B为：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}．故选：B．3．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先把方程化为标准方程，可知焦点在y轴上，进一步可以确定焦点坐标．【解答】解：化为标准方程为x，∴2p=，∴=，∴焦点坐标是（0，）．故选D4．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据题意，由向量、的坐标计算可得与2的坐标，进而由向量平行的坐标计算公式可得（﹣2﹣m）×4=3×（﹣1+2m），解可得m的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，向量=（﹣1，2），=（m，1），则若向量=（﹣1+2m，4），2与2=（﹣2﹣m，3），平行，则有（﹣2﹣m）×4=3×（﹣1+2m），解可得 m=﹣ ；故选：B ．5．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先求出圆 x 2+y 2=1 与直线 y=kx ﹣3 有公共点的等价条件，然后根据充分不必要条件的定义进行判断．【解答】解：若直线与圆有公共点，则圆心到直线 kx ﹣y ﹣3=0 的距离 d=，即，∴k 2+1≥9，即 k 2≥8，∴k或 k ，∴圆 x 2+y 2=1 与直线 y=kx ﹣3 有公共点的充分不必要条件是 k，故选：B ．6．【考点】等比数列的前 n 项和；等比数列的通项公式．【分析】由等比数列的通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出 S 101．【解答】解：∵等比数列{a n }的前 n 项和为 S n ，a 3=3，且 a 2016+a 2017=0，∴，解得 a 1=3，q=﹣1，∴a 101==3×（﹣1）100=3．故选：A ．7．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次进行循环体后，S=cos ，n=1 不满足输出的条件，则 n=2，S=cos•cos ；当 n=2，S=cos•cos 时，不满足输出的条件，则 n=3，S=cos •cos•cos；当 n=3，S=cos•cos•cos 时，满足输出的条件，故 S=cos•cos•cos=sin= = =sinsinsin•cos•cos•cos•cos÷sin•cos•cos÷sin÷sin÷sin=故选：B8．【考点】函数的图象．【分析】分别令a=0，a＞0，a＜0，根据导数和函数的单调性即可判断．【解答】解：f（x）=，可取a=0，f（x）==，故(4)正确；∴f′（x）=，当a＜0时，函数f′（x）＜0恒成立，x2+a=0，解得x=±故函数f（x）在（﹣∞，﹣），（﹣，），（，+∞）上单调递减，故(3)正确；取a＞0，f′（x）=0，解得x=±当f′（x）＞0，即x∈（﹣，当f′（x）＜0，即x∈（﹣∞，﹣，）时，函数单调递增，），（，+∞）时，函数单调递减，故(2)正确函数f（x）=的图象可能是(2)，(3)，(4)，故选：C9．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面的基本性质及推论．【分析】取CD的中点G，PA的四等分点I，顺次连接E，F，G，H，I，则平面EFGHI即为过E，F，H 的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面，求其面积，可得答案．【解答】解：取CD的中点G，PA的四等分点I，顺次连接E，F，G，H，I，则平面EFGHI即为过E，F，H的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面，如图所示：∵四棱锥 P ﹣ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，PA ⊥底面 ABCD ，P A=AB=4，∴EF=HG= PC=2EH=FG= BD=2且 EF ∥HG ∥PC ，且 EH ∥FG ∥BD ，故四边形 EFGH 为矩形，面积是 4 ，△EIH 中，EI=HI=故△EIH 的面积为，故 EH 上的高 IJ=，，即平面 EFGHI 的面积为 5，故选：C ．10.【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意画出图形，结合已知及椭圆定义把|PF 1|、|PF 2|用 a ，c 表示，再由勾股定理求得答案．【解答】解：如图，∵以 PF 1 为直径的圆经过 F 2，∴PF 2⊥F 1F 2，又 tan ∠PF 1F 2= ，∴，则由|PF 1|+|PF 2|=2a ，得|PF 1|=，，在 △Rt PF 2F 1 中，得 ，即 ，解得：或（舍）．∴椭圆 E 的离心率为．故选：D．11．【考点】球内接多面体；由三视图还原实物图．【分析】将三视图还原为直观图，得四棱锥P﹣ABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球．由此结合题意，可得正文体的棱长为2，算出外接球半径R，再结合球的表面积公式，即可得到该球表面积．【解答】解：将三视图还原为直观图如右图，可得四棱锥P﹣ABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球．且该正方体的棱长为a设外接球的球心为O，则O也是正方体的中心，设EF中点为G，连接OG，OA，AG，即正方体面对角线长也是2，根据题意，直线EF被球面所截得的线段长为2∴得AG==a，所以正方体棱长a=2∴△Rt OGA中，OG=a=1，AO=，即外接球半径R=，得外接球表面积为4πR2=12π．故选A．12．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率k=2．过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|．△Rt MPN中，根据tan∠NMP=k=2，从而得到|PN|=2|PM|，进而算出|MN|=|PM|，再求得|FN|=|MN|+|MF|=|MN|+|PM|=（）|PM|，则答案可求．【解答】解：∵抛物线 C ：y 2=4x 的焦点为 F （1，0），点 A 坐标为（0，﹣2），∴抛物线的准线方程为 l ：x=1，直线 AF 的斜率为 k=2，过 M 作 MP ⊥l 于 P ，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|，∵△Rt MPN 中，tan ∠NMP=k=2，∴得|MN|=，可得|PN|=2|PM|，|PM|，而|FN|=|MN|+|MF|=|MN|+|PM|=（）|PM|，∴|MN|：|FN|=：（1+ ），故选：D ．二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13． 【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】根据直线的平行关系得到关于 m 的方程，解出即可．【解答】解：直线 l 1：（m+1）x+2y+2m ﹣2=0，l 2：2x+（m ﹣2）y +2=0，m=2 时，l 1：3x+2y+2=0，l 2：x+1=0，不合题意，m≠2 时，若直线 l 1∥l 2，则= ≠ ，即（m+1）（m ﹣2）=4，解得：m=3（舍）或 m=﹣2，故答案为：﹣2．14．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据 sinA不为 0 求出 cosB 的值，即可确定出 B 的度数，利用三角形内角和定理可求 A ，C ，进而利用正弦定理可求a ，利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：已知等式（2a ﹣c ）cosB ﹣bcosC=0，利用正弦定理化简得：（2sinA ﹣sinC ）cosB=sinBcosC ，整理得：2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin （B+C ）=sinA ，∵sinA≠0，∴cosB=，则B=60°．∵A=3C，c=6，可得：C=30°，A=90°，∴a===12，∴S△ABC=故答案为：acsinB=．=．15．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据平面区域是四边形，即可确定a的取值范围．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，当直线x+y=a经过点A（3，0）时，对应的平面区域是三角形，此时a=3，当经过点B时，对应的平面区域是三角形，由，解得，即B（1，4），此时a=1+4=5，∴要使对应的平面区域是平行四边形，则3＜a＜5，故答案为：（3，5）16．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系进行求解，注意要对a进行讨论．【解答】当a＞0时，f（x）=|e x+|=e x+，则函数的导数f′（x）=e x﹣=，且f（x）＞0恒成立，由f′（x）＞0解得e2x＞a，即x＞lna，此时函数单调递增，）由 f′（x ）＜0 解得 e 2x ＜a ，即 x ＜ lna ，此时函数单调递减，若 f （x ）在区间[0，1]上单调递增，则 lna≤0，解得 0＜a≤1，即 a ∈（0，1]当 a=0 时，f （x ）=|e x + |=e x 在区间[0，1]上单调递增，满足条件．当 a ＜0 时，y=e x + 在 R 单调递增，令 y=e x +=0，则 x=ln，则 f （x ）=|e x + |在（0，ln]为减函数，在[ln ，+∞）上为增函数则 ln≤0，解得 a≥﹣1综上，实数 a 的取值范围是[﹣1，1]故答案为：a ∈[﹣1，1]三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【考点】数列的求和；等差关系的确定；等比关系的确定．【分析】（Ⅰ）由 S n =2n 2+n 可得，当 n=1 时，可求 a 1=3，当 n≥2 时，由 a n =s n ﹣s n ﹣1 可求通项，进而可求 b n（Ⅱ）由（Ⅰ）知，【解答】解：（Ⅰ）由 S n =2n 2+n 可得，当 n=1 时，a 1=s 1=3 当 n≥2 时，a n =s n ﹣s n ﹣1=2n 2+n ﹣2（n ﹣1）2﹣（n ﹣1）=4n ﹣1 而 n=1，a 1=4﹣1=3 适合上式， 故 a n =4n ﹣1，又∵a n =4log 2b n +3=4n ﹣1∴（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，利用错位相减可求数列的和2T n =3×2+7×22+…+（4n ﹣5）•2n ﹣1+（4n ﹣1）•2n∴，=（4n ﹣1）•2n=（4n ﹣1）•2n ﹣[3+4（2n ﹣2）]=（4n ﹣5）•2n +518．【考点】函数 y=Asin （ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．【分析】(1)利用三角函数的单调性与值域即可得出．(2)利用坐标变换得到 性即可得出．【解答】解：(1)f （x ）=4sin （2x ﹣的图象．可得 ．再利用三角函数的单调）+ ．sin （2x ﹣ ）=1 时，f （x ）取得最大值 4+；sin （2x ﹣ ）=﹣1 时，函数 f （x ）取得最小值 4﹣ ．(2)把 y=f （x ）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变） 得到象．的图再把得到的图象向左平移∴由个单位，得到．的图象．．∴g （x ）的单调减区间是．19．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】(1)推导出 PA ⊥BC ，BC ⊥AB ，从而 BC ⊥平面 PAB ，由此能证明平面 PAB ⊥平面 QBC ．(2)连接 BD ，过 B 作 BO ⊥AD 于 O ，该组合体的体积 V=V B ﹣P ADQ +V Q ﹣BCD ．由此能求出结果．【解答】证明：(1)∵OD ⊥平面 ABCD ，PA ∥QD ，∴PA ⊥平面 ABCD ，又∵BC ⊂平面 ABCD ，∴PA ⊥BC ，又 BC ⊥AB ，PA ⊂平面 PAB ，AB ⊂平面 PAB ，PA∩AB=A ，∴BC ⊥平面 PAB ，又∵BC ⊂平面 QBC ，∴平面 PAB ⊥平面 QBC ．解：(2)连接 BD ，过 B 作 BO ⊥AD 于 O ，∵PA ⊥平面 ABCD ，BO ⊂平面 ABCD ，∴PA ⊥BO ，又BO⊥AD，AD⊂平面P ADQ，PA⊂平面P ADQ，PA∩AD=A，∴BO⊥平面P ADQ，∵AD=AB=2，∠DAB=60°，∴△ABD是等邊三角形，∴．∴．∵∠ADC=∠ABC=90°，∴∠CBD=∠CDB=30°，又BD=AB=2，∴，∴．∴∵QD⊥平面ABCD，．∴该组合体的体积．20．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】(1)由题意得b=1，由得a=，c=，b=1求得椭圆方程；(2)设直线l的方程为x=my﹣1，将直线方程代入椭圆方程，消去x，根据韦达定理代入三角形面积公式即可求得△AOB的面积，再换元配方即可得出结论．【解答】解：(1)由题意得b=1，由得a=，c=，b=1，∴椭圆E的方程为+y2=1；(2)依题意设直线 l 的方程为 x=my ﹣1，联立椭圆方程，得（m 2+3）y 2﹣2my ﹣2=0， 设 A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则 y 1+y 2= ，y 1y 2=﹣，S △AOB = |y 1﹣y 2|= ，设 m 2+3=t （t≥3），则 S △AOB =，∵t≥3，∴0＜ ≤ ，∴当 = ，即 t=3 时，△OAB 面积取得最大值为，此时 m=0.21．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】(1)先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性的关系即可求出 a 的取值范围，(2)当 x ＞1 时，f （x ）＜g （x ）恒成立，转化为 lnx ﹣x ＜2ax ﹣ax 2，在（1，+∞）恒成立，构造函数 h （x ）=lnx ﹣x ，利用导数求出函数最值，得到 ax 2﹣2ax ﹣1＜0，在（1，+∞）上恒成立，再分类讨论，根据二次函数的性质即可求出 a 的取值范围．【解答】解：(1)∵f （x ）=lnx ﹣a 2x 2+ax ，其定义域为（0，+∞），∴f′（x ）= ﹣2a 2x+a= = ．①当 a=0 时，f′（x ）=＞0，∴f （x ）在区间（0，+∞）上为增函数，不合题意．②当 a ＞0 时，f′（x ）＜0（x ＞0）等价于（2ax+1）（ax ﹣1）＞0（x ＞0），即 x ＞此时 f （x ）的单调递减区间为（，+∞）．依题意，得解之，得 a≥1．．③当 a ＜0 时，f′（x ）＜0（x ＞0）等价于（2ax+1）（ax ﹣1）＞0（x ＞0），即 x ＞﹣此时 f （x ）的单调递减区间为（，+∞）．依题意，得解之，得 a≤﹣ ．．20 / 22．所以|AB|=综上所述，实数 a 的取值范围是（﹣∞，﹣ ]∪[1，+∞）．(2)∵g （x ）=（3a+1）x ﹣（a 2+a ）x 2， ∴f （x ）﹣g （x ）=lnx ﹣（2a+1）x+ax 2＜0，即 lnx ﹣x ＜2ax ﹣ax 2，在（1，+∞）恒成立，设 h （x ）=lnx ﹣x ，则 h′（x ）= ﹣1＜0 恒成立，∴h （x ）在（1，+∞）为减函数，∴h （x ）＜h(1)=﹣1，∴ax 2﹣2ax ﹣1＜0，在（1，+∞）上恒成立，设 φ（x ）=ax 2﹣2ax ﹣1当 a=0 时，﹣1＜0，符合题意，当 a ＞0 时，显然不满足题意，当 a ＜0，由于对称轴 x=1，则 φ(1)＜0，即 a ﹣2a ﹣1＜0，解得﹣1＜a ＜0，综上所述，a 的取值范围为（﹣1，0]．[选修 4-4：坐标系与参数方程]22． 【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】(1)直线 l 的参数方程为 （t 为参数），消去参数 t 化为普通方程可得，进而得到倾斜角．由曲线 C 的极坐标方程得到：ρ2=2ρcos （θ﹣ ），利用 ρ2=x 2+y 2，即可化为直角坐标方程．(2)将|P A|+|PB|转化为求|AB|来解答．【解答】解 (1)直线的斜率为 ，直线 l 倾斜角为 …由曲线 C 的极坐标方程得到：ρ2=2ρcos （θ﹣2+（y ﹣ ）2=1…），利用 ρ2=x 2+y 2，得到曲线 C 的直角坐标方程为（x ﹣）(2)点 P （0，）在直线 l 上且在圆 C 内部，所以|PA|+|PB|=|AB|…直线 l 的直角坐标方程为 y=x+ …所以圆心（， ）到直线 l 的距离 d= ，即|P A|+|PB|=…21 / 22[选修4-5：不等式选讲]23．【考点】一元二次不等式的应用；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最值及其几何意义．【分析】(1)根据绝对值的代数意义，去掉函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|中的绝对值符号，求解不等式f（x）＞2，(2)由(1)得出函数f（x）的最小值，若∀x∈R，可，求出实数t的取值范围．【解答】解：(1)恒成立，只须即当当当x≥2，x+3＞2，x＞﹣1，∴x≥2综上所述{x|x＞1或x＜﹣5}．，∴x＜﹣5，∴1＜x＜2(2)由(1)得，若∀x∈R，恒成立，则只需综上所述．，22/22。

河北省衡水中学2017届高三上学期四调考试理科数学试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合错误！未找到引用源。

，集合错误！未找到引用源。

中至少有3个元素，则（）A．错误！未找到引用源。

B．错误！未找到引用源。

C．错误！未找到引用源。

D．错误！未找到引用源。

【答案】C考点：1.集合的运算；2.对数函数的性质.2. 若错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

等于（）A．1 B．错误！未找到引用源。

C．错误！未找到引用源。

D．错误！未找到引用源。

【答案】C【解析】试题分析：由错误！未找到引用源。

得错误！未找到引用源。

，所以错误！未找到引用源。

，故选C.考点：1.复数相关的概念；2.复数的运算.3. 在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？（）A．5 B．6 C．4 D．3【答案】D【解析】试题分析：由题意可知，每层悬挂的灯数从上到下依次构成比差数列，公比为错误！未找到引用源。

，设顶层的灯数为错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

，解之得错误！未找到引用源。

，故选D.考点：1.数学文化；2.等比数列的性质与求和.4. 已知双曲线错误！未找到引用源。

的离心率为错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

的渐近线方程为（）A．错误！未找到引用源。

B．错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D．错误！未找到引用源。

【答案】C考点：双曲线的标准议程与几何性质.5. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．4 B．9 C.7 D．5【答案】B【解析】试题分析：模拟算法，开始：输入错误！未找到引用源。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}21log A x N x k =∈<<，集合A 中至少有3个元素，则（ ） A ．8k > B ．8k ≥ C ．16k > D ．16k ≥ 【答案】C考点：1.集合的运算；2.对数函数的性质. 2. 若()1z i i +=，则z 等于（ ）A ．1BCD ．12【答案】C 【解析】试题分析：由()1z i i +=得()()()11111122i i i z i i i i -===+++-，所以2z ==，故选C. 考点：1.复数相关的概念；2.复数的运算.3. 在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？（ ） A ．5 B ．6 C ．4 D ．3 【答案】D 【解析】试题分析：由题意可知，每层悬挂的灯数从上到下依次构成比差数列，公比为2，设顶层的灯数为1a ，则77111(12)(2112738112a a a -==-－）＝，解之得13a =，故选D.考点：1.数学文化；2.等比数列的性质与求和.4. 已知双曲线()2222:10 0x y C a b a b-=>>，，则C 的渐近线方程为（ ） A ．14y x =± B ．13y x =± C.12y x =± D ．y x =±【答案】C考点：双曲线的标准议程与几何性质.5. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．4B ．9 C.7 D ．5 【答案】B 【解析】试题分析：模拟算法，开始：输入0,0,1T S n ===；2,9(11)18,123,T S n T S ==+==+=≥不成立； 328,9(31)36,325,T S n T S ===+==+=≥不成立； 5232,9(51)54,527,T S n T S ===+==+=≥不成立； 72128,9(71)63,729,T S n T S ===+==+=≥成立；输出9n =，结束得算法.故选B.考点：程序框图.6. 已知函数()()()cos 0f x A x ωϕω=+>的部分图象如图所示，下面结论错误的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为23πB ．函数()f x 的图象可由()()cos g x A x ω=的图象向右平移12π个单位得到 C.函数()f x 的图象关于直线12x π=对称D ．函数()f x 在区间 42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增【答案】D考点：三角函数的图象和性质.7. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数() 1 0 x f x x ⎧=⎨⎩，为有理数，为无理数，称为狄利克雷函数，则关于函数()f x 有以下四个命题： ①()()1f f x =； ②函数()f x 是偶函数；③任意一个非零有理数T ，()()f x T f x +=对任意x R ∈恒成立；④存在三个点()()()()()()112233 A x f x B x f x C x f x ，，，，，，使得ABC △为等边三角形. 其中真命题的个数是（ ）A ．4B ．3 C.2 D ．1 【答案】A考点：1.函数的奇偶性；2.函数的周期性；3.分段函数的表示与求值. 8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．10B ．20 C.40 D ．60 【答案】B 【解析】试题分析：由三视图可知该几何体的直观图如下图所示，且三角形ABC 是以角A 为直角的直角三角形，4,3AB AC ==,从而5BC =,又5BD =，且BD ⊥平面ABC ，故四边形BCED 中边长为5的正方形，过A 作AH BC ⊥于H ，由易知AH ⊥平面BCED ，在直角三角形ABC 中可求得125AH =，从而ABCD 11125520335A BCED V V S AH -==⨯⨯=⨯⨯⨯=正方形,故选B.考点：1.三视图；2.多面体和体积.9. 已知A 、B 是椭圆()222210x y a b a b +=>>长轴的两个端点，M 、N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM 、BN 的斜率分别为()1212 0k k k k≠，，则12k k +的最小值为（ ）A ．1 BD【答案】A10. 在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是BC 的中点，点P 是面11DCC D 所在的平面内的动点，且满足APD MPC ∠=∠，则三棱锥P BCD -的体积最大值是（ ）A ．36B ．C.24 D ． 【答案】A考点：1.线面垂直的判定与性质；2.轨迹方程的求法；3.多面体的体积.11. 已知函数()()()3ln 1 01 1 0x x f x x x -<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，，，若()f x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．20 3⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．30 4⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.[]0 1， D ．30 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】B 【解析】试题分析：在同一坐标系内作出函数()()()3ln 1 01 1 0x x f x x x -<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，，与函数y ax =和图象，通过图象可知，当直线y ax =绕着原点从x 轴旋转到与图中直线l 重合时，符合题意，当0x >时，2()3(1)f x x '=-，设直线l与函数()y f x =的切点为00(,)P x y ，则3200000(1)3(1)y x x x x --==，解之得032x =，所以直线l 的斜率2333(1)24k =⨯-=，所以a 的取值范围为30 4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，故选B.考点：1.函数与不等式；2.导数的几何意义.【名师点睛】本题考查函数与不等式、导数的几何意义，属中档题；导数的几何意义是每年高考的必考内容，利用导数解决不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的范围；或参变分离，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题；或通过数列结合解题.12. 已知过抛物线()2:20G y px p =>焦点F 的直线l 与抛物线G 交于M 、N 两点（M 在x 轴上方），满足3MF FN =，163MN =，则以M 为圆心且与抛物线准线相切的圆的标准方程为（ ）A ．2211633x y ⎛⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭ B ．2211633x y ⎛⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭C.()(22316x y -+-= D ．()(22316x y -+=【答案】C考点：1.抛物线的标准方程与几何性质；2.直线与抛物线的位置关系；2.圆的标准方程.【名师点睛】本题考查抛物线的标准方程与几何性质、直线与抛物线的位置关系、圆的标准方程，属难题；在解抛物线有关问题时，凡涉及抛物线上的点到焦点的距离时，一般要运用定义转化为到准线的距离处理；抛物线的焦点弦一直是高考的热点，对于焦点弦的性质应牢固掌握.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若x、y满足约束条件1040xx yx y-≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则1yx-的最大值为．【答案】2考点：线性规划.14. 在ABC △中， 3 5AB AC ==，，若O 为ABC △外接圆的圆心（即满足OA OB OC ==），则AO BC ⋅的值为 ． 【答案】8考点：数量积的几何运算.【名师点睛】本题考查数量积的几何运算，属中档题；平面向量的数量积有两种运算，一是依据长度与夹角，即数量积的几何意义运算，一是利用坐标运算，本题充分利用向量线性运算的几何意义与数量积的几何意义进行运算，运算量不大，考查子学生逻辑思维能力，体现了数形结合的数学思想. 15. 已知数列{}n a 的各项均为正数，11142 n n n n a a a a a ++=-=+，，若数列11n n a a -⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为5，则n = ．【答案】120 【解析】试题分析：数列11n n a a -⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为321121211223111154444n n n a a a a a a a a a a a a a a +-----+++=++==+++，所以122n a +=， 又114 n n n na a a a ++-=+，所以221 4n n a a +-=，由此可得22211444,2244,120n a a n n n n +=+=+∴=+=，即应填120.考点：1.数列求和；2.累和法求数列通项.【名师点睛】本题考查数列求和，累和法求数列通项，属中档题；由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为a n ＋1＝a n ＋f (n )或a n ＋1＝f (n )·a n ，则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式，数列求和的常用方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法，分组求和法，并项求和法等，可根据通项特点进行选用.16. 过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线的准线的的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若 48AF FB BA BC =⋅=，，则抛物线的方程为 ． 【答案】24y x =考点：1.抛物线的标准方程与几何性质；2.向量数量积的几何意义.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在ABC △中，内角A 、B 、C 所对的边分别为 a b c ，，，已知 4 6 2b c C B ===，，. （1）求cos B 的值； （2）求ABC △的面积.【答案】（1）34；（2.考点：1.正弦定理；2.三角恒等变换；3.三角形内角和与三角形面积公式.【名师点睛】本题考查正弦定理、三角恒等变换、三角形内角和与三角形面积公式，属中档题. 正、余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用正弦定理解决一类已知三角形两边及一角对边求其它元素，或已知两边及一边对角求其它元素的问题，这时要讨论三角形解的个数问题；利用余弦定理可以快捷求第三边直接运用余弦定理解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题；知道两边和其中一边的对角，利用余弦定理可以快捷求第三边. 18. （本小题满分12分）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA B B 为正方形，11BB C C 为菱形，1160BB C ∠=︒，平面11AA B B ⊥平面11BB C C .（1）求证：11B C AC ⊥；（2）设点E 、F 分别是1B C ，1AA 的中点，试判断直线EF 与平面ABC 的位置关系，并说明理由； （3）求二面角1B AC C --的余弦值.【答案】(1)见解析；(2) EF ∥平面ABC ；.（3）在平面11BB C C 内过点B 作1Bz BB ，考点：1.面面垂直的判定与性质；2.线面平行、垂直的判定与性质；3.空间向量的应用.【名师点睛】本题考查.面面垂直的判定与性质、线面平行、垂直的判定与性质及空间向量的应用，属中档题；解答空间几何体中的平行、垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间的平行、垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；求二面角，则通过求两个半平面的法向量的夹角间接求解.此时建立恰当的空间直角坐标系以及正确求出各点的坐标是解题的关键所在.19. （本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知()00 R x y ，是椭圆22:12412x y C +=上的一点，从原点O 向圆()()2200:8R x x y y -+-=作两条切线，分别交椭圆于P ，Q.（1）若R 点在第一象限，且直线OP ，OQ 互相垂直，求圆R 的方程； （2）若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为12 k k ，，求12k k 的值； （3）试问22OP OQ +是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由. 【答案】（1）((228x y -+-=；（2）12-；（3）36. =20122088y k k x -⋅=-，因为点()00R x y ，在椭圆C 上，所以220012412x y +=，即22001122y x =-，所以201220141228x k k x -==--． （3）方法一（1）当直线OP 、OQ 不落在坐标轴上时，设()11 P x y ，，()22 Q x y ，， 由（2）知12210k k +=，所以121221y y x x =，故2222121214y y x x =，因为()11 P x y ，，()22 Q x y ，，在椭圆C 上，所以221112412x y +=，222212412x y +=， 即22111122y x =-，22221122y x =-，所以222212121111212224x x x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得221224x x +=，所以222212121112121222y y x x ⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()22222222221122121236OP OQ x y x y x x y y +=+++=+++=.考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.圆的标准方程；3.直线与圆的位置关系. 20. （本小题满分12分）设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为A ，过A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于Q 点，且12220F F F Q +=.（1）求椭圆C 的离心率；（2）若过A 、Q 、2F 三点的圆恰好与直线30x --=相切，求椭圆C 的方程；（3）过2F 的直线l 与（2）中椭圆交于不同的两点M 、N ，则1F MN △的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)12；(2) 22143x y +=；（3）1F MN △的内切圆的面积的最大值为916π，此时直线l 的方程为1x =.考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.直线与圆的位置关系. 21. （本小题满分12分） 已知0t >，设函数()()3231312t f x x x tx +=-++.（1）存在()00 2x ∈，，使得()0f x 是()f x 在[]0 2，上的最大值，求t 的取值范围； （2）()2x f x xe m ≤-+对任意[0 )x ∈+∞，恒成立时，m 的最大值为1，求t 的取值范围.【答案】(1)5[ )3+∞，；(2) 1(0 ]3，.【解析】试题分析：(1)求函数()f x 的导数得()()()()2'331331f x x t x t x x t =-++=--，分别讨论01,1,12,2t t t t <<=<<≥时函数()f x 在区间[]0 2，的最大值点是否符合题意即可；（2）()32313122x t x x tx xe m +-++≤-+对任意[0 )x ∈+∞，恒成立， 即()()3223131313122x x t t m xe x x tx x e x x t ++⎛⎫≤-+-+=-+-+ ⎪⎝⎭对任意[0 )x ∈+∞，恒成立，令()()23132x t g x e x x t +=-+-，[0 )x ∈+∞，，根据题意，可以知道m 的最大值为1，则 ()()231302x t g x e x x t +=-+-≥恒成立，由于()0130g t =-≥，则103t <≤，当103t <≤时，()()31'22x t g x e x +=-+，则()''2x g x e =-，若()''20x g x e =-=，则()'g x 在()0 ln 2，上递减，在()ln 2 +∞，上递增，则()()()max 3'ln 2212ln 202g x g t ==++->，∴()g x 在[0 )+∞，上是递增的函数.∴()()0130g x g t ≥=-≥，满足条件，∴t 的取值范围是1(0 ]3，.考点：1.导数与函数的单调性、极值，最值；2.函数与不等式.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知圆锥曲线2cos :x C y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）和定点(0 A ，1F 、2F 是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线2AF 的直角坐标方程；（2）经过点1F 且与直线2AF 垂直的直线l 交此圆锥曲线于M 、N 两点，求12MF NF -的值.【答案】0y +-=；（2.考点：1.参数方程与普通方程的互化；2.直线参数方程的应用.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设()34f x x x=-+-.（1）解不等式()2f x≤；（2）若存在实数x满足()1f x ax≤-，试求实数a的取值范围.【答案】(1)5922⎡⎤⎢⎥⎣⎦，；（2）()12[)2-∞-+∞，，考点：1.含绝对值不等式的解法；2.分段函数的表示与作图；3.函数与不等式.。

2017学年度上学期高二年级四调考试文科数学试卷第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、如果椭圆22110036x y +=上一点P 到焦点1F 的距离定于6，那么点P 到另一焦点2F 的距离是（ ）A ．4B ．6C ．14D ．16 2、函数1()2x x y e e -=+的导数是（ ）A ．1()2x x e e -- B ．1()2x x e e -+ C ．x x e e -- D ．x x e e -+3、命题“存在实数x ，使1x >”的否定是（ ）A ．对任意实数x ，使1x >B ．不存在实数x ，使1x ≤C ．对任意实数x ，使1x ≤D ．存在实数x ，使1x ≤ 4、若双曲线22221x y a b -=的离心率为，则其渐近线方程为（ ）A ．2y x =± B ．y = C ．12y x =± D ．y x = 5、若抛物线22y px =上一点0(2,)P y 到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为（ ）A ．24y x =B ．26y x =C ．28y x =D ．210y x =6、椭圆22:143x y C +=的左右顶点分别为12,A A ，点P 在C 上且直线2PA 斜率的取值范围是[]2,1--，那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ）A ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦7、若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，过期左焦点F作x轴的垂线交双曲线于,M N 两点，且0MA NA ⋅>，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ）A ．()2,+∞B ．()1,2C ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭8、已知直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++切于点()1,3，则b 的值为（ ）A ．3B ．-3C ．5D ．-59、设曲线21y x =+上任一点(,)x y 处的切线的斜率为()g x ，则函数()cos y g x x =的部分图象可以为（ ）11、给出下列命题：①若函数()221f x x =+，图象上点(1,3)P 及邻近点(1,3)Q x y +∆+∆，则42y x x∆=+∆∆；②加速度是动点位移函数()S t 对时间t 的导数； ③1(3)()lim()3h f a h f a f a h→∞+-'=； 其中正确的命题有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 11、设抛物线28y x =-的焦点为F ，准线为,l P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足，如果直线AF PF =( )A ．．．8 D ．16 12函数()()sin 2(),3f x x xf f x π''=+为()f x 的导函数，令31,log 22a b =-=，则下列关系正确的是（ ）A ．()()f a f b >B ．()()f a f b <C ．()()f a f b =D ．()()f a f b <第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

数学试卷（理科）第Ⅰ卷（选择题共 60分）一、选择题：本大题共 12 个小题 ,每题 5 分,共 60 分.在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的 .1.已知会合 A x N 1 x log 2k ，会合 A 中起码有 3 个元素，则（ ）A ． k 8B ． k 8C ． k 16D ． k 162.若 z 1 i i ，则 z 等于（）A ． 1B ．3C ．2D ．122 23.在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣： “远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？ ”这首古诗描绘的这个宝塔其古称 浮屠，此题说它一共有 7 层，每层悬挂的红灯数是上一层的 2 倍，共有 381 盏灯， 问塔顶有几盏灯？（ ）A ． 5B ．6C ．4D ．3225，则 C 的渐近线方程为（4.已知双曲线 C :x y，b 0 的离心率为）a 2b21 a 021B ． y1 C. y1 D ． y xA ． y xxx4325.履行以下图的程序框图，则输出的结果为（）A． 4B．9 C.7D．56.已知函数f x A cos x0的部分图象以下图，下边结论错误的选项是（）A．函数f x的最小正周期为23B．函数f x的图象可由g x A cos x 的图象向右平移个单位获得12C.函数f x的图象对于直线x对称12D．函数f x在区间，上单一递加427.德国有名数学家狄利克雷在数学领域成就明显，以其名命名的函数1，为有理数，称为狄利克雷函数，则对于函数 f x 有以下四个命题：f x0，x为无理数① f f x1 ；②函数 f x 是偶函数；③随意一个非零有理数T ，f x T f x 对随意x R 恒成立；④存在三个点 A x1，f x1，B x2，f x2，C x3，f x3，使得△ABC为等边三角形.此中真命题的个数是（）A． 4B．3 C.2D．18.某几何体的三视图以下图，则该几何体的体积为（）A ． 10B ．20C.40D ．609.已知 A 、 B 是椭圆x 2y 21 ab 0长轴的两个端点，M 、 N 是椭圆上对于 x 轴对a 2b 2称的两点，直线AM 、 BN 的斜率分别为k 1k 2 的最小值为（）k 1 ，k 2 k 1k 2 0 ，若椭圆的离心率为3，则2A ． 1B ． 2C.3D ． 3210.在棱长为 6 的正方体 ABCDA 1B 1C 1D 1 中， M 是 BC 的中点，点 P 是面 DCC 1 D 1 所在的平面内的动点，且知足APDMPC ，则三棱锥 P BCD 的体积最大值是（）A ． 36B ． 123C. 24D ． 183ln 1 x ， 011.已知函数 fxx ，若 f x ax 恒成立，则实数 a 的取值范围是（）x 131，x 0A ． 0，2B ． 0，3C. 0，1D ． 0，334212.已知过抛物线 G : y 22 px p焦点 F 的直线 l 与抛物线 G 交于 M 、N 两点（ M 在 xuuuuruuur ， MN 16，则以 M 为圆心且与抛物线准线相切的圆的标轴上方），知足 MF3FN3准方程为（）1 22 32161 2216 yy3A ． x33B ． x333322162216C. x 3y 2 3D ． x 3y3第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）x 1013.若x、y知足拘束条件x y0，则y 1的最大值为．xx y4014.在△ABC中，AB 3，AC 5 ，若 O 为△ABC外接圆的圆心（即知足 OA OB OC ），uuur uuur则 AO BC 的值为．15.已知数列a n的各项均为正数， a1 2 ，a n 1 a n4，若数列1的前 n 项a na n 1a n 1 a n和为 5，则n．16.过抛物线y2 2 px p 0的焦点 F 的直线 l 与抛物线在第一象限的交点为 A ，与抛物线的准线的的交点为 B ，点 A 在抛物线的准线上的射影为 C ，若uuur uuur uuur uuur48 ，则抛物线的方程为．AF FB ，BA BC三、解答题（本大题共 6 小题，共70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）17.（本小题满分 12 分）在△ ABC 中，内角A、B、C所对的边分别为 a ，b ，c ，已知 b 4 ，c 6 ，C 2B .（1）求cosB的值；（2）求△ABC的面积 .18.（本小题满分 12 分）以下图，在三棱柱 ABC A1 B1C1中， AA1 B1 B 为正方形， BB1C1C 为菱形，BB1C1 60 ，平面 AA1 B1B 平面 BB1C1C .（1）求证：B1C AC1；（2）设点 E 、 F 分别是 B 1C ， AA 1 的中点，试判断直线EF 与平面 ABC 的地点关系，并说明原因；（ 3）求二面角 B AC 1 C 的余弦值 .19. （本小题满分 12 分）如图，在平面直角坐标系x 2 y 2 xOy 中，已知 R x 0 ，y 0 是椭圆 C :1 上的一点，从原241222作两条切线，分别交椭圆于 P， Q .点 O 向圆 R : x x 0y y 08（ 1）若 R 点在第一象限，且直线 OP ， OQ 相互垂直，求圆 R 的方程； （ 2）若直线 OP ， OQ 的斜率存在，并记为 k 1 ，k 2 ，求 k 1 ，k 2 的值；（ 3）试问 OP 2 OQ 2 能否为定值？假如，求出该值；若不是，说明原因 .20.（本小题满分 12 分）x 2 y 21 a b 0的左、右焦点分别为 F 1 、 F 2 ，上极点为 A ，过 A 与 AF 2 垂设椭圆 C: 2 2a b直的直线交 x 轴负半轴于uuuur uuuur0 .Q 点，且 2F 1F 2F 2Q（1）求椭圆 C 的离心率；（2）若过 A 、 Q 、 F 2 三点的圆恰巧与直线x3y 3 0 相切，求椭圆 C 的方程；（ 3）过 F 2 的直线 l 与（2）中椭圆交于不一样的两点 M 、 N ，则 △ F 1MN 的内切圆的面积能否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明原因 .21.（本小题满分 12 分）已知 t 0 ，设函数 f x x33t 1 x 2 3tx 1 .2 （1）存在 x 0 ，2 ，使得 f x 是 f x 在 0 ，2 上的最大值，求 t 的取值范围；（2）f x xe x m 2 对随意 x [0 ，) 恒成即刻， m 的最大值为1，求t的取值范围 .请考生在 22、23 两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程x2cos已知圆锥曲线 C :（为参数）和定点 A 0 ， 3 ， F1、 F2是此圆锥曲线的y3sin左、右焦点，以原点O 为极点，以x轴的正半轴为极轴成立极坐标系.（1）求直线AF2的直角坐标方程；（2）经过点F1且与直线AF2垂直的直线l交此圆锥曲线于M、N两点，求MF1NF2的值 .23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲设 f x x 3 x 4 .（1）解不等式 f x 2；（2）若存在实数x知足f x ax 1，试务实数a的取值范围 .2016-2017 学年度高三上学期四调考试高三年级数学试卷（理科）一、选择题1-5：CCDCB6-10:DABAA 11、12：BC二、填空题13.214.815.12016. y 24x三、解答题【答案】（ ） 3；（2） 15 7 .17. 1 4 4试题分析：（1）在 △ ABC 中，bc，因为 b4 ，c 6 ，C 2B ，所以46 ，sin Bsin C sin Bsin 2 B即4 6，又 sin B 0 ，∴ cos B3 .sin B 2sin B cos B4（2）由（ 1）知 cos B3，进而 sin B7.44所以 sin Csin 2B 2sin B cos B3 7， cosC cos2 B2cos 2B 11.所以88sin A sinB C sin BCsin B cosCcos B sin C7 1 3 3 7 5 7 ，48 4816所以 △ ABC 的面积为14 657 15 7.216418.证明：（1）连结 BC 1 ，在正方形ABB 1 A 1 中， AB BB 1 ，B 1C平面 ABC 1 ，因为 AC 1 平面 ABC 1 ，所以 B 1C AC 1 .（2） EF ∥平面 ABC ，原因以下：取 BC 的中点 G ，连结 GE 、 GA ，因为 E 是 B 1C 的中点，所以 GE ∥ BB 1 ，且 GE1 ，BB 12因为 F 是AA 1 的中点，所以 AF1AA 1.2在正方形 ABB 1 A 1 中， AA 1 ∥ BB 1 ，AA 1 BB 1 ，所以 GE ∥ AF ，且 GE AF .∴四边形 GEFA 为平行四边形，所以 EF ∥ GA . 因为 EF 平面 ABC ， GA 平面 ABC ，所以 EF ∥平面 ABC .（3）在平面 BB 1C 1C 内过点 B 作 Bz BB 1 ，由（1）可知： AB平面 BB 1C 1C ，以点 B 为坐标原点， 分别以 BA 、BB 1 所在的直线为 x 、y 轴，成立以下图的空间直角坐标系Bxyz ，设 A 2，0，0 ，则 B 1 0，2 ，0 .在菱形 BB 1C 1C 中， BB 1C 1 60 ，所以 C 0 ， 1， 3 ，C 10，1， 3 .设平面 ACC 1 的一个法向量为nx ，y ，1 .n uuur 0 x ， ， 2 ， 1 ， 3因为AC即 y 1，uuuurn CC 1 0x ， ，， ，y 1 0 2 0 0所以x3即 n 3， ，20 1 ，y2uuur由（ 1）可知： CB 1 是平面 ABC 1 的一个法向量 .uuur3 ， ， 1， ，3uuur3n CB 127，所以 cos n ，CB 1uuur 37n CB 11 934所以二面角 BAC 1 C 的余弦值为7 .719.【答案】（1）x 2 2 2 y 2228 ；（2）1；（3）36.2试题分析：（1）由圆 R 的方程知圆 R 的半径 r 22 ，因为直线 OP ， OQ 相互垂直，且和圆 R 相切，所以 OR2r4 ，即 x 02 y 02 16①22又点 R 在椭圆 C 上，所以 x 0y 0 1 ②2412联立①②，解得x 0 2 2，所以，所求圆 R 的方程为 x 2 22y 2 228 ．y 02 2（2）因为直线 OP : yk 1 x 和 OQ : yk 2 x 都与圆 R 相切，所以k 1x 0y 0 22 ，1 k 12k 2 x 0 y 0，化简得1228，因为点， 022k y 0R x在椭圆 C 上，所以x 0y 0，1 k 222 2kx 028 y24 12 1即1x 024 1 x 02 1 ． y 0212，所以 k 1 k 22 82x 022（3）方法一（ 1）当直线 OP 、 OQ 不落在座标轴上时，设 P x 1 ，y 1 ， Q x 2 ，y 2 ，由（ 2）知 2k 1k 2 10 ，所以2 y 1 y 2 12 2122x 1 ，y 1， Q x 2 ，y 2 ，在椭x 1 x 2 ，故 y 1 y 2x 1 x 2 ，因为 P4圆 C 上，所以 x 12y 12 1 ， x 22y 22 1 ，2412 24 12即 y 1212 1 x 12 ， y 22 12 1 x 22，所以 12 1 x 12 121 x 221 x 12 x 22，2 22 2 4整理得x 12x 2224 ，所以y 12y 22121x 12121x 2212 ，22所以 OP 2OQ 2 x 12 y 12 x 22 y 22 x 12 x 22 y 12 y 2236 .方法（二）（1）当直线 OP ， OQ 不落在座标轴上时，设 P x 1 ，y 1 ， Qx 2 ，y 2，y kx224 12联立 x2y2，解得 x 1224 2，y 1224k 1 2 ，所以 x 12y 12k 1112.12k12k 2k 124 1211同理，得 x 22y 2224 1k 222，由（ 2） 2k 1 k 21 0 ，得 k 1k 21 .1 2k 22所以 OP 2OQ2x 12y 12x 22y 2224 1k 1224 1 k 22121 22k 12k 21 224 124 1k 2 2k 1 362172k 1 36.1 2k 21 21 2k 211 212 k 1（ 2）当直线 OP 、 OQ 落在座标轴上时，明显有 OP 2 OQ 2 36 .综上： OP 2OQ 236 .20.试题分析：（1）由题 A 0 ，b ，F 1 为 QF 2 的中点 .设 F 1c ，0 ，F 2 c ，0 ，则 Q 3c ，0 ，uuuruuuuruuur uuuur uuur uuuur3c 2 b 20 ，AQ3c ， b ， AF 2 c ， b ，由题 AQAF 2 ，即 AQ AF 2∴ 3c 2a 2 c 20 即 a 24c 2 ，∴ ec 1 .a 2（ 2）由题 Rt △QAF 2 外接圆圆心为斜边 QF 2 的中点 F 1 c ，0 ，半径 r 2c ，∵由题 Rt △QAF 2 外接圆与直线 x3y30 相切，∴ d r ，即c 32c ，即 c 34c ，2∴ c， 2c2 ， b3 ，故所求的椭圆 C的方程为 x 2y 2 .1 a413（3）设 M x 1，y 1 ， N x 2 ，y 2 ，由题 y 1 ，y 2 异号，设 △ F 1MN 的内切圆的半径为 R ，则 △ F 1 MN 的周长为 4a8 ，S △ F 1MN1 MN F 1M F 1N R 4R ，2所以要使 △ F 1 MN 内切圆的面积最大，只要 R 最大，此时 S△ F 1MN也最大，S △ F 1 MN1y 1 y 2y 1 y 2 ，F 1F 22由题知，直线 l 的斜率不为零，可设直线 l 的方程为 xmy 1 ，xmy 1由 x 2 y 2 得 3m 24 y 2 6my9 0 ，4 3 1由韦达定理得 y 1y 26m， y 1 y 23m 29 ，（0 ? m R ）3m 244S△FMNy 1y 2y 1y 2 4 y 1 y 22，212 m 13m 2令 t m 21 ，则 t 1， S △ F 1 MN 12t 12，3t 2 1 t 13t 1t当 t 1时， S △F 1MN 4R 有最大值 3，此时， m 0 ， R max 3 ， 4 故 △ F 1MN 的内切圆的面积的最大值为 9 ，此时直线 l 的方程为 x 1. 1621.分析：（1） f ' x 3x 2 3 t 1 x 3t 3 x 1 x t ， ①当 时， f x 在 0 ，t 上单一递加，在 t ，1 单一递减，在1 ，2 单一递加，0 t 1∴ f t f 2 ，由 f tf 2 ，得 t 3 3t 2 4 在 0 t 1时无解，②当 t 1时，不合题意；③当 1 t 2 时， f x 在 0 ，1 单一递加，在 1 ，t 递减，在 t ，2 单一递加， ∴ f 1 f 2 即 1 3 2 2 t 3，∴ 5 t 2 ， 1 t 2 1 t 2 3 ④当 t 2 时， f x 在 0 ，1 单一递加，在 1 ，2 单一递减，知足条件， 综上所述： t [ 5 ， ) 时，存在 x 0 0 ，2 ，使得 f x 0 是 f x 在 0 ，2 上的最大值 . 3（2） x 3 3 t 1 x 2 3tx 1 xe x m 2 对随意 x [0 ， ) 恒成立， 2 即 m xe x x 3 3 t 1 x 2 3tx 1 x e x x 23 t 1 x 3t 1 对随意 x [0 ， ) 恒成立，令 2 2 g x e x x 2 3 t 1 x 3t ， x [0 ， ) ，依据题意，能够知道 m 的最大值为 1，则 2 g x e x x 2 3 t 1 x 3t 0 恒成立， 2 因为 g 0 1 3t 0 ，则 0 t 1 ， 3 当 0 t 1 时，g ' x x 2x 3 t 1 ，则 g '' x e x 2 ，若 g '' x x2 0 ，则 g ' x 在 0 ， ln 2e 2 e 3 上递减，在 ln 2 ，上递加，则 g ' x max g ln 2 2 32ln 2 0 ，∴ g x 在 [0 ，)t 1 2 上是递加的函数 .∴ g x g 0 1 3t0，知足条件，∴ t 的取值范围是 (0 ，1 ] . 322.解：（1）曲线x2cos可化为x2y2 1 ，C :y 3 sin43其轨迹为椭圆，焦点为F1 1，0，F2 1，0.经过A0， 3和F2 1 ，0的直线方程为xy 1 ，即 3x y3 0 . 13（2）由（1）知，直线AF2的斜率为 3 ，因为 l AF2，所以l的斜率为 3 ，倾斜角3为30 ，x3t 1所以 l 的参数方程为2( t为参数 ).1y t2代入椭圆 C 的方程中，得13t 2123t360 .因为M ，N在点F1的双侧，所以MF111212 3.NF t t1323.解：（1）f x x 3 x472x，x313x 4，，2 x 7，x4作函数 y f x 的图象，它与直线 y 2 交点的横坐标为5和9，由图象知不等式22f x 2 的解集为5，9 .22（2）函数y ax 1 的图象是过点0 ， 1 的直线，当且仅当函数y f x 与直线 y ax 1有公共点时，存在题设的x .由图象知， a 的取值范围为， 2 U [ 1，) .2。

2016-2017学年度上学期高二年级四调考试理数试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.0121834521C C C C ++++…的值等于（ ） A ．7351 B ．7355 C ．7513D ．73152.已知椭圆2241mx y +=，则实数m 等于（ ） A ．2B ．2或83C ．2或6D ．2或83.某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m n +的值是（ ）A ．10B ．11C ．12D ．134.A 、B 、C 、D 、E 、F 6个同学和1个数学老师站成一排合影留念，数学老师穿白色文化衫，A ，B 和C ，D 同学分别穿着白色和黑色文化衫，E 和F 分别穿着红色和橙色的文化衫，若老师站中间，穿着白色文化衫的不相邻，则不同的站法种数为（ ） A ．72B ．112C ．160D ．1925.以椭圆22195x y +=的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C ，其左、右焦点分别是1F ，2F ，已知点M 坐标为(2,1)，双曲线C 上点P 在第一象限，满足11211121||||PF MF F F MF PF F F ⋅⋅=，则12PMF PMF S S ∆∆-=（ ）A ．2B ．4C ．1D ．1-6.将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这3所大学就读，则每所大学至少保送1人的不同保送方法数为（ ） A ．150种B ．180种C ．240种D ．540种7.若m ，n 均为非负整数，在做m n +的加法时各位均不进位（例如，134********+=），则称(,)m n 为“简单的”有序对，而m n +称为有序数对(,)m n 的值，那么值为1942的“简单的”有序对的个数是（ ） A ．100B ．150C ．200D ．3008.如图，在ABC ∆中，30CBA CAB ∠=∠=︒，AC 、BC 边上的高分别为BD 、AE ，则以A 、B 为焦点，且过点D 、E 的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为（ ）A B ．1C ．D ．29.我国古代数学名著《续古摘奇算法》（杨辉）一书中有关于三阶幻方的问题：将1,2,3,4,5,6,7,8,9分别填入33⨯的方格中，使得每一行，每一列及对角线上的三个数的和都相等，我们规定：只要两个幻方的对应位置（如每行第一列的方格）中的数字不全相同，就称为不同的幻方，那么所有不同的三阶幻方的个数是（ ）A ．9B ．8C ．6D ．410.某中学早上8点开始上课，若学生小典与小方均在早上7:40至8:00之间到校，且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小典比小方至少早5分钟到校的概率为（ ） A ．932B ．12C ．364D ．56411.自圆C ：22(3)(4)4x y -++=外一点(,)P x y 引该圆的一条切线，切点为Q ，切线的长度等于点P 到原点O 的长，则||PQ 的最小值为（ ） A ．1310B ．3C ．4D ．211012.设双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A ，B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若OP OA OB λμ=+（λ，R μ∈），316λμ=，则该双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．5 C ．2D ．98第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知命题p ：0x R ∃∈，2020mx +≤，命题q ：x R ∀∈，2210x mx -+>，若“p q ∨”为假命题，则实数m 的取值范围为 ．14.设集合{}{}12345(,,,,)|1,0,1,1,2,3,4,5i A x x x x x x i =∈-=，那么集合A 中满足条件“123451||||||||||3x x x x x ≤++++≤”的元素个数为 ．15.我校有4名青年教师参加说课比赛，共有4道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，则恰有1道题没有被这4位选中的情况共 种．16.在直角坐标系xOy 中，抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，点P 是准线l 上任一点，准线PF 交抛物线于A ，B 两点，若4FP FA =，则AOB ∆的面积S = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（Ⅰ）解不等式2886x x A A -<； （Ⅱ）求值1171010r r C C +-+． 18.已知动圆C 与定圆221x y +=内切，与直线3x =相切. （Ⅰ）求动圆圆心C 的轨迹方程；（Ⅱ）若Q 是上述轨迹上一点，求Q 到点(,0)P m 距离的最小值．19.在直角坐标系xOy 中，曲线C ：24x y =与直线y kx a =+（0a >）交于M ，N 两点．（Ⅰ）当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由． 20.已知抛物线24y x =，F 是焦点，直线l 是经过点F 的任意直线．（Ⅰ）若直线l 与抛物线交于A 、B 两点，且OM AB ⊥（O 是坐标原点，M 是垂足），求动点M 的轨迹方程；（Ⅱ）若C 、D 两点在抛物线24y x =上，且满足4OC OD ⋅=-，求证：直线CD 必过定点，并求出定点的坐标．21.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过点(1,0)K -的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ．（Ⅰ）判断点F 是否在直线BD 上，并给出证明； （Ⅱ）设89FA FB ⋅=，求BDK ∆的内切圆M 的方程．22.已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的两个焦点为1F ，2F A ，B 在椭圆上，1F 在线段AB 上，且2ABF ∆的周长等于（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过圆O ：224x y +=上任意一点P 作椭圆C 的两条切线PM 和PN 与圆O 交于点M ，N ，求PMN ∆面积的最大值．2016-2017学年度上学期高二年级四调考试理数试卷答案一、选择题1-5:DDCDA 6-10:ADABA 11、12：DA二、填空题13.[1,)+∞ 三、解答题17.解：（Ⅰ）原不等式可化为8!8!6(8)!(10)!x x =⋅--，∴(10)(9)6x x --<，即219840x x -+<， ∴712x <<，又∵8x ≤且20x -≥，∴28x ≤≤，∴78x <≤， 又*x N ∈，∴8x =． （Ⅱ）由组合数的定义知0110,01710,r r ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩∴79r ≤≤．又*r N ∈，∴7r =，8，9，当7r =时，原式810101046C C =+=； 当8r =时，原式99101020C C =+=； 当9r =时，原式108101046C C =+=．18.解：（Ⅰ）设动圆C 的圆心(,)C x y ，∵动圆C 与定圆221x y +=内切，与直线3x =相切，∴31x -=，化简得244y x =-．（Ⅱ）设(,)Q x y ，则244y x =-，∴2222||()()44PQ x m y x m x =-+=-+-[]2(2)4x m m =-+-．当1m >-时，1x =时上式取得最小值2(1)m -，即||PQ 取得最小值|1|m -； 当1m ≤-时，2x m =+时上式取得最小值4m -，即||PQ取得最小值∴min |1|,1,|| 1.m m PQ m ->-⎧⎪=⎨≤-⎪⎩19.解：（Ⅰ）由题意可设)M a，()N a - 设过点M的切线方程是'(y a k x -=-， 代入曲线C，得24'840x k x k a -+=． 由0∆=，即2('0k =，得'k =即曲线C在点)M a处的切线方程为y a x -=-0y a --=． 同理，曲线C在点()N a -处的切线方程为y a x -=+，即0y a ++=，0y a --=0y a ++=． （Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下： 设(0,)P b ，11(,)M x y ，22(,)N x y ， 直线PM ，PN 的斜率分别为1k ，2k ，将y kx a =+代入曲线C ，得2440x kx a --=， ∴124x x k +=，124x x a =-， ∴121212y b y b k k x x --+=+1212122()()()kx x a b x x k a b x x a+-++==． 当b a =-时，有120k k +=，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，故OPM OPN ∠=∠， ∴(0,)P a -符合题意．20.解：（Ⅰ）设动点M 的坐标为(,)x y .∵抛物线24y x =的焦点是(1,0)F ，直线恒过点F ，且与抛物线交于两点A 、B ， 又OM AB ⊥，∴OM FM ⊥，即0OM FM ⋅=， ∴(,)(1,)0x y x y ⋅-=，即220x y x +-=，又当M 与原点重合时，直线l 与x 轴重合，故0x ≠． ∴动点M 的轨迹方程是220x y x +-=（0x ≠）． （Ⅱ）设点C ，D 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ， ∵点C 、D 在抛物线24y x =上， ∴2114y x =，2224y x =，即2212124y y x x ++=，22121216y y x x =，又4OC OD ⋅=-，∴12124x x y y +=-，即221212416y y y y +=-， 解得128y y =-．设直线CD 的方程为x my t =+，由24,,y x x my t ⎧=⎨=+⎩得2440y my t --=． 则0∆>，即20m t +>，124y y t =-，又128y y =-，∴2t =．∴直线CD 恒过定点，且定点坐标为(2,0)．21.解：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，11(,)D x y -，l 的方程为1x my =-（0m ≠）． （Ⅰ）将1x my =-代入24y x =并整理，得2440y my -+=，由216160m ∆=->， 得21m >，且124y y m +=，124y y =，直线BD 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--，即222214()4y y y x y y -=⋅--.令0y =，得1214y y x ==， ∴点(1,0)F 在直线BD 上．（Ⅱ）由（Ⅰ），知21212(1)(1)42x x my my m +=-+-=-，1212(1)(1)1x x my my =--=，因为11(1,)FA x y =-，22(1,)FB x y =-，所以1212(1)(1)FA FB x x y y ⋅=--+21212()1484x x x x m =-+++=-， 故28849m -=，解得43m =±． 所以直线l 的方程为3430x y ++=，3430x y -+=，又由（Ⅰ）知，213y y -==±， 故直线BD的斜率为214y y =- 因而直线BD的方程为330x -=，330x -=．因为KF 为BKD ∠的平分线，故可设圆心(,0)M t （11t -<<），(,0)M t 到直线l 及BD 的距离分别为3|1|5t +，3|1|4t -， 由3|1|3|1|54t t +-=，得19t =，或9t =（舍去）， 故圆M 的半径3|1|253t r +==， 所以圆M 的方程为2214()99x y -+=．22.解：（Ⅰ）由2ABF ∆的周长为得4a =，a =由离心率3c e a ==，得c = 又2221b a c =-=，所以椭圆的标准方程为2213x y +=． （Ⅱ）设(,)P P P x y ，则224P P x y +=． （i ）若两切线中有一条切线的斜率不存在，则P x =1P y =±，另一切线的斜率为0，从而PM PN ⊥，此时11||||222PMN S PM PN ∆=⋅=⨯⨯=． （ii）若切线的斜率均存在，则P x ≠ 设过点P 的椭圆的切线方程诶()P P y y k x x -=-，代入椭圆方程，消y 并整理得222(31)6()3()30P P P P k x k y kx x y kx ++-+--=， 依题意0∆=，即222(3)210P P P P x k x y k y -++-=． 设切线PM ，PN 的斜率分别为1k ，2k ，从而22122213133P P P Py x k k x x --===---，即PM PN ⊥， 即线段MN 为圆O 的直径，||4MN =， ∴222111||||(||||)||4244PMN S PM PN PM PN MN ∆=⋅≤+==，当且仅当||||PM PN == 所以PMN ∆面积的最大值为4．。

河北省衡水中学2015届高三上学期四调考试数学文试题本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间为120分钟。

第I卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合的范围是2．已知空间直线L不在平面a内，则“直线L上有两个点到平面口的距离相等”是的A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为C．200 D．2404．已知函数，则下列结论中正确的是A．函数的最小正周期为B．函数的最大值为1C．将函数的图像向右平移的图像D．将函数的图像向左平移的图像5．直线分割成的两段圆弧长之比为A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：46．已知的最小值是A．4 B．3 C．2 D．17．椭圆的一个焦点为F1若椭圆上存在一个点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF，相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为8．已知等差数列项和为时为递增数列，则实数A的取值范围为9．已知双曲线的一条渐近线与函数的图像相切，则双曲线的离心率等于10．已知实数x、y满足不等式组的取值范围是11．抛物线的焦点为F，M足抛物线C上的点，若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为的值为A．2 B．4 C．6 D．812．定义在成立，则第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．函数的所有零点之和为____．14．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…其中从第三个数起，每一个数都等于他前面两个数的和．该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性，比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0．6180339887．人们称该数列为“斐波那契数列”，若把该数列的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列，在数列中第2014项的值是。

河北省衡水中学2017届上学期高三年级四调考试数学（理科）本试卷分共4页，23题（含选考题）。

第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

全卷满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21log A x N x k =∈<<，集合A 中至少有2个元素，则（ ）A ．），（∞+8B ．),8[+∞C ．),16(+∞D ．),16[+∞2.若()1z i i +=，则z 等于（ ）A ．12B C D ．13.在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．64.已知双曲线()2222:10 0x y C a b a b -=>>，，则C 的渐近线方程为（ ）A ．14y x =±B ．13y x =± C.12y x =± D ．y x =±5.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．4B ．5 C.7 D ．96.已知函数()()()cos 0f x A x ωϕω=+>的部分图象如图所示，下面结论错误的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为23πB ．函数()f x 的图象可由()()cos g x A x ω=的图象 向右平移12π个单位得到C. 函数()f x 在区间 42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增D ．函数()f x 的图象关于直线12x π=对称7.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数() 1 0 x f x x ⎧=⎨⎩，为有理数，为无理数，称为狄利克雷函数，则关于函数()f x 有以下四个命题： ①()()1f f x =； ②函数()f x 是偶函数；③任意一个非零有理数T ，()()f x T f x +=对任意x R ∈恒成立；④存在三个点()()()()()()112233 A x f x B x f x C x f x ，，，，，，使得ABC △为等边三角形. 其中真命题的个数是（ ）A ．1B ．2 C.3 D ．48.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．10B ．20 C.40 D ．609.已知A 、B 是椭圆()222210x y a b a b+=>>长轴的两个端点，M 、N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM 、BN 的斜率分别为()1212 0k k k k ≠，，若椭圆的离，则12k k +的最小值为（ ） ABC. 1 D10.在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是BC 的中点，点P 是面11DCC D 所在的平面内的动点，且满足APD MPC ∠=∠，则三棱锥P BCD -的体积最大值是（ ） A ．36 B ．24 C.D．11.已知函数()()()3ln 1 01 1 0x x f x x x -<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，，，若()f x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．20 3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．30 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.[]0 1， D ．30 4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12.已知过抛物线()2:20G y px p =>焦点F 的直线l 与抛物线G 交于M 、N 两点（M 在x 轴上方），满足3MF FN = ，163MN =，则以M 为圆心且与抛物线准线相切的圆的标准方程为（ ）A ．()(22316x y -+-= B ．()(22316x y -+=C. 2211633x y ⎛⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝ D．2211633x y ⎛⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若x 、y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则1y x -的最大值为 ．14.在ABC △中， 3 5AB AC ==，，若O 为ABC △外接圆的圆心（即满足OA OB OC ==），则AO BC ⋅的值为 ．15.已知数列{}n a 的各项均为正数，11142 n n n n a a a a a ++=-=+，，若数列11n n a a -⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为5，则n = ．16.过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线的准线的的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若 48AF FB BA BC =⋅=，，则抛物线的方程为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在ABC △中，内角A 、B 、C 所对的边分别为 a b c ，，，已知 4 6 2b c C B ===，，. （1）求cos B 的值； （2）求ABC △的面积.18. （本小题满分12分）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA B B 为正方形，11BB C C 为菱形，1160BB C ∠=︒，平面11AA B B ⊥平面11BB C C .（1）求证：11B C AC ⊥；（2）设点E 、F 分别是1B C ，1AA 的中点，试判断直线 EF 与平面ABC 的位置关系，并说明理由；（3）求二面角1B AC C --的余弦值.19. （本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知()00 R x y ，是椭圆22:12412x y C +=上的一点，从原点O 向圆()()2200:8R x x y y -+-=作两条切线，分别交椭圆于P ，Q .（1）若R 点在第一象限，且直线OP ，OQ 互相垂直，求圆R 的方程； （2）若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为12 k k ，，求12 k k ，的值； （3）试问22OP OQ +是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由. 20.（本小题满分12分）设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为A ，过A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于Q 点，且12220F F F Q +=. （1）求椭圆C 的离心率；（2）若过A 、Q 、2F 三点的圆恰好与直线30x --=相切，求椭圆C 的方程；（3）过2F 的直线l 与（2）中椭圆交于不同的两点M 、N ，则1F MN △的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由. 21.（本小题满分12分） 已知0t >，设函数()()3231312t f x x x tx +=-++.（1）存在()00 2x ∈，，使得()0f x 是()f x 在[]0 2，上的最大值，求t 的取值范围； （2）()2x f x xe m ≤-+对任意[0 )x ∈+∞，恒成立时，m 的最大值为1，求t 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知圆锥曲线2cos :x C y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）和定点(0 A ，1F 、2F 是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线2AF 的直角坐标方程；（2）经过点1F 且与直线2AF 垂直的直线l 交此圆锥曲线于M 、N 两点，求12MF NF -的值. 23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设()34f x x x =-+-. （1）解不等式()2f x ≤；（2）若存在实数x 满足()1f x ax ≤-，试求实数a 的取值范围.数学（理科）参考答案一、选择题1-5：ABACD 6-10:CDBCC 11、12：DA 二、填空题13.2 14.8 15.120 16.24y x = 三、解答题17.【答案】（1）34；（2.试题解析：（1）在ABC △中，sin sin b c B C =，因为 4 6 2b c C B ===，，，所以46sin sin 2B B=，即 46sin 2sin cos B B B =，又sin 0B ≠，∴3cos 4B =.（2）由（1）知3cos 4B =，从而sin B =.因此sin sin 22sin cos C B B B ===，21cos cos 22cos 18C B B ==-=.所以()()13sin sin sin sin cos cos sin 84A B C B C B C B C π=--=+=+=+=，所以ABC △的面积为1462⨯⨯=18.证明：（1）连接1BC ，在正方形11ABB A 中，1AB BB ⊥，1B C ⊥平面1ABC ，因为1AC ⊥平面1ABC ，所以11B C AC ⊥.（2）EF ∥平面ABC ，理由如下：取BC 的中点G ，连接GE 、GA ，因为E 是1B C 的中点，所以1GE BB ∥，且112GE BB =，因为F 是 1AA 的中点，所以112AF AA =. 在正方形11ABB A 中，1111 AA BB AA BB =∥，，所以GE AF ∥，且GE AF =. ∴四边形GEFA 为平行四边形，所以EF GA ∥. 因为EF ABC ⊄平面，GA ABC ⊂平面，所以EF ABC ∥平面.（3）在平面11BB C C 内过点B 作1Bz BB ⊥，由（1）可知：11AB BB C C ⊥平面，以点B 为坐标原点，分别以BA 、1BB 所在的直线为x 、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，设()2 0 0A ，，，则()10 2 0B ，，. 在菱形11BB C C 中，1160BB C ∠=︒，所以(0 1 C -，，(10 1 C ，.设平面1ACC 的一个法向量为() 1x y =n ，，. 因为100n AC n CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即()(()() 1 2 1 0 10 2 00x y x y ⎧⋅--=⎪⎨⋅=⎪⎩，，，，，，，，所以0x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩0 1n ⎫=⎪⎪⎭，，， 由（1）可知：1CB是平面1ABC 的一个法向量.所以1110 10 3 cos n CB n CB n CB ⎫⋅⋅<>===⋅ ，，，，，，所以二面角1B AC C --. 19.【答案】（1）((228x y -+-=；（2）12-；（3）36. 试题解析：（1）由圆R 的方程知圆R 的半径r =，因为直线OP ，OQ 互相垂直，且和圆R 相切，所以4OR ==，即22016x y += ① 又点R 在椭圆C 上，所以220012412x y += ②联立①②，解得00x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩R的方程为((228x y -+-=．（2）因为直线1:OP y k x =和2:OQ y k x =都与圆R，，化简得20122088y k k x -⋅=-，因为点()00R x y ，在椭圆C 上，所以220012412x y +=，即22001122y x =-，所以21220141228x k k x -==--． （3）方法一（1）当直线OP 、OQ 不落在坐标轴上时，设()11 P x y ，，()22 Q x y ，， 由（2）知12210k k +=，所以121221y y x x =，故2222121214y y x x =，因为()11 P x y ，，()22 Q x y ，，在椭圆C 上，所以221112412x y +=，222212412x y +=，即22111122y x =-，22221122y x =-，所以222212121111212224x x x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得221224x x +=，所以222212121112121222y y x x ⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()22222222221122121236OP OQ x y x y x x y y +=+++=+++=. 方法（二）（1）当直线OP ，OQ 不落在坐标轴上时，设()11 P x y ，，()22 Q x y ，， 联立2212412y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得22211122112424 1212k x y k k ==++，，所以()2122112124112k x y k ++=+. 同理，得()2222222224112k x y k++=+，由（2）12210k k +=，得1212k k =-.所以()()2212222222112222122412411212k k OP OQ x y x y k k +++=+++=+++()2221112221111241224136723612121122k k k k k k ⎡⎤⎛⎫⎢⎥+- ⎪+⎢⎥⎝⎭+⎣⎦=+==++⎛⎫+- ⎪⎝⎭. （2）当直线OP 、OQ 落在坐标轴上时，显然有2236OP OQ +=. 综上：2236OP OQ +=.20.试题解析：（1）由题()0 A b ，，1F 为2QF 的中点.设()()12 0 0F c F c -，，，，则()3 0Q c -，， ()3 AQ c b =-- ，，()2 AF c b =-，，由题2AQ AF ⊥ ，即22230AQ AF c b ⋅=-+= ，∴()22230c a c -+-=即224a c =，∴12c e a ==. （2）由题2Rt QAF △外接圆圆心为斜边2QF 的中点()1 0F c -，，半径2r c =， ∵由题2Rt QAF △外接圆与直线30x -=相切，∴d r =，即322c c --=，即34c c +=，∴1c =，22a c ==，b =，故所求的椭圆C 的方程为22143x y +=. （3）设()11 M x y ，，()22 N x y ，，由题12 y y ，异号，设1F MN △的内切圆的半径为R ，则1F MN △的周长为48a =， ()111142F MN S MN F M F N R R =++=△， 因此要使1F MN △内切圆的面积最大，只需R 最大，此时1F MN S △也最大， 112121212F MN S F F y y y y =⋅-=-△， 由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+，由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690m y my ++-=，由韦达定理得122634m y y m -+=+，122934y y m -=+，（0m R ∆>∈⇒）112F MN S y y =-==△令t =1t ≥，()12121211313F MN t S t t t t==≥-+△， 当1t =时，14F MN S R =△有最大值3，此时，0m =，max 34R =， 故1F MN △的内切圆的面积的最大值为916π，此时直线l 的方程为1x =. 21.解析：（1）()()()()2'331331f x x t x t x x t =-++=--，①当01t <<时，()f x 在()0 t ，上单调递增，在() 1t ，单调递减，在()1 2，单调递增，∴()()2f t f ≥，由()()2f t f ≥，得3234t t -+≥在01t <<时无解， ②当1t =时，不合题意；③当12t <<时，()f x 在()0 1，单调递增，在()1 t ，递减，在() 2t ，单调递增， ∴()()1212f f t ⎧≥⎪⎨<<⎪⎩即1332212t t ⎧+≥⎪⎨⎪<<⎩，∴523t ≤<，④当2t ≥时，()f x 在()0 1，单调递增，在()1 2，单调递减，满足条件， 综上所述：5[ )3t ∈+∞，时，存在()00 2x ∈，，使得()0f x 是()f x 在[]0 2，上的最大值. （2）()32313122x t x x tx xe m +-++≤-+对任意[0 )x ∈+∞，恒成立，即()()3223131313122x x t t m xe x x tx x e x x t ++⎛⎫≤-+-+=-+-+ ⎪⎝⎭对任意[0 )x ∈+∞，恒成立，令()()23132x t g x e x x t +=-+-，[0 )x ∈+∞，，根据题意，可以知道m 的最大值为1，则 ()()231302x t g x e x x t +=-+-≥恒成立，由于()0130g t =-≥，则103t <≤，当103t <≤时，()()31'22x t g x e x +=-+，则()''2x g x e =-，若()''20x g x e =-=，则()'g x 在()0 ln 2，上递减，在()ln 2 +∞，上递增，则()()()max 3'ln 2212ln 202g x g t ==++->，∴()g x 在[0 )+∞，上是递增的函数.∴()()0130g x g t ≥=-≥，满足条件，∴t 的取值范围是1(0 ]3，.22.解：（1）曲线2cos :x C y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩可化为22143x y +=， 其轨迹为椭圆，焦点为()1 1 0F -，，()21 0F ，.经过(0 A 和()21 0F ，的直线方程为11x +=0y +=. （2）由（1）知，直线2AF的斜率为2l AF ⊥，所以l，倾斜角为30︒， 所以l的参数方程为112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).代入椭圆C的方程中，得213360t --=. 因为 M N ，在点1F的两侧，所以1112MF NF t t -=+=23.解：（1）()72 334 1 3427 4x x f x x x x x x -<⎧⎪=-+-=≤≤⎨⎪->⎩，，，，作函数()y f x =的图象，它与直线2y =交点的横坐标为52和92，由图象知不等式()2f x ≤的 解集为59 22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.（2）函数1y ax =-的图象是过点()0 1-，的直线， 当且仅当函数()y f x =与直线1y ax =-有公共点时，存在题设的x . 由图象知，a 的取值范围为()12[ )2-∞-+∞ ，，.。

)112n -()1412n n -++- ()452n n ++-)()211234222n n -⎡⎤-++++⎣⎦)()121223412n n-⎡⎤-⎢⎥-+-⎢⎥⎣⎦)()()1234224525n nn n ⎡⎤-+-=-+⎣⎦PA QD ，∴⊂平面PAB PA AB A =，QBC ， PA AB A =，60，∴ABC 是等边三角形，∴3=．1132PADQ BO =⨯⨯90 ∴CBD CDB ∠=∠BCDS=QD ⊥平面13BCDSQD =⨯∴该组合体的体积Q BCD V -时，OAB 面积取得最大值为22a x ax -+[)1,⎤+∞⎥⎦．河北省衡水中学2017届高三上学期四调数学（文科）试卷解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．1．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．【解答】解：复数z=﹣2i+=﹣2i+=﹣2i﹣3i﹣1=﹣1﹣5i，则复数z的共轭复数=﹣1+5i在复平面内对应的点（﹣1，5）在第二象限．故选：B．2．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】由题意可知：集合B中至少含有元素1，2，即可得出．【解答】解：A，B是全集I={1，2，3，4}的子集，A={l，2}，则满足A⊆B的B为：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}．故选：B．3．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先把方程化为标准方程，可知焦点在y轴上，进一步可以确定焦点坐标．【解答】解：化为标准方程为x，∴2p=，∴=，∴焦点坐标是（0，）．故选D4．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据题意，由向量、的坐标计算可得与2的坐标，进而由向量平行的坐标计算公式可得（﹣2﹣m）×4=3×（﹣1+2m），解可得m的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，向量=（﹣1，2），=（m，1），则=（﹣1+2m，4），2=（﹣2﹣m，3），若向量与2平行，则有（﹣2﹣m）×4=3×（﹣1+2m），解可得m=﹣；故选：B．5．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先求出圆x2+y2=1与直线y=kx﹣3有公共点的等价条件，然后根据充分不必要条件的定义进行判断．【解答】解：若直线与圆有公共点，则圆心到直线kx﹣y﹣3=0的距离d=，即，∴k2+1≥9，即k2≥8，∴k或k，∴圆x2+y2=1与直线y=kx﹣3有公共点的充分不必要条件是k，故选：B．6．【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．【分析】由等比数列的通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出S101．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，且a2016+a2017=0，∴，解得a1=3，q=﹣1，∴a101==3×（﹣1）100=3．故选：A．7．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次进行循环体后，S=cos，n=1不满足输出的条件，则n=2，S=cos•cos；当n=2，S=cos•cos时，不满足输出的条件，则n=3，S=cos•cos•cos；当n=3，S=cos•cos•cos时，满足输出的条件，故S=cos•cos•cos=sin•cos•cos•cos÷sin=sin•cos•cos÷sin=sin•cos÷sin=sin÷sin=故选：B8．【考点】函数的图象．【分析】分别令a=0，a＞0，a＜0，根据导数和函数的单调性即可判断．【解答】解：f（x）=，可取a=0，f（x）==，故(4)正确；∴f′（x）=，当a＜0时，函数f′（x）＜0恒成立，x2+a=0，解得x=±故函数f（x）在（﹣∞，﹣），（﹣，），（，+∞）上单调递减，故(3)正确；取a＞0，f′（x）=0，解得x=±，当f′（x）＞0，即x∈（﹣，）时，函数单调递增，当f′（x）＜0，即x∈（﹣∞，﹣），（，+∞）时，函数单调递减，故(2)正确函数f（x）=的图象可能是(2)，(3)，(4)，故选：C9．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面的基本性质及推论．【分析】取CD的中点G，PA的四等分点I，顺次连接E，F，G，H，I，则平面EFGHI即为过E，F，H的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面，求其面积，可得答案．【解答】解：取CD的中点G，PA的四等分点I，顺次连接E，F，G，H，I，则平面EFGHI即为过E，F，H的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面，如图所示：∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=4，∴EF=HG=PC=2且EF∥HG∥PC，EH=FG=BD=2且EH∥FG∥BD，故四边形EFGH为矩形，面积是4，△EIH中，EI=HI=，故EH上的高IJ=，故△EIH的面积为，即平面EFGHI的面积为5，故选：C．10.【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意画出图形，结合已知及椭圆定义把|PF1|、|PF2|用a，c表示，再由勾股定理求得答案．【解答】解：如图，∵以PF1为直径的圆经过F2，∴PF2⊥F1F2，又tan∠PF1F2=，∴，则，由|PF1|+|PF2|=2a，得|PF1|=，在Rt△PF2F1中，得，即，解得：或（舍）．∴椭圆E的离心率为．故选：D．11．【考点】球内接多面体；由三视图还原实物图．【分析】将三视图还原为直观图，得四棱锥P﹣ABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球．由此结合题意，可得正文体的棱长为2，算出外接球半径R，再结合球的表面积公式，即可得到该球表面积．【解答】解：将三视图还原为直观图如右图，可得四棱锥P﹣ABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球．且该正方体的棱长为a设外接球的球心为O，则O也是正方体的中心，设EF中点为G，连接OG，OA，AG根据题意，直线EF被球面所截得的线段长为2，即正方体面对角线长也是2，∴得AG==a，所以正方体棱长a=2∴Rt△OGA中，OG=a=1，AO=，即外接球半径R=，得外接球表面积为4πR2=12π．故选A．12．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率k=2．过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|．Rt△MPN中，根据tan∠NMP=k=2，从而得到|PN|=2|PM|，进而算出|MN|=|PM|，再求得|FN|=|MN|+|MF|=|MN|+|PM|=（）|PM|，则答案可求．【解答】解：∵抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），点A坐标为（0，﹣2），∴抛物线的准线方程为l：x=1，直线AF的斜率为k=2，过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|，∵Rt△MPN中，tan∠NMP=k=2，∴，可得|PN|=2|PM|，得|MN|=|PM|，而|FN|=|MN|+|MF|=|MN|+|PM|=（）|PM|，∴|MN|：|FN|=：（1+），故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】根据直线的平行关系得到关于m的方程，解出即可．【解答】解：直线l1：（m+1）x+2y+2m﹣2=0，l2：2x+（m﹣2）y+2=0，m=2时，l1：3x+2y+2=0，l2：x+1=0，不合题意，m≠2时，若直线l1∥l2，则=≠，即（m+1）（m﹣2）=4，解得：m=3（舍）或m=﹣2，故答案为：﹣2．14．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA不为0求出cosB的值，即可确定出B的度数，利用三角形内角和定理可求A，C，进而利用正弦定理可求a，利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：已知等式（2a﹣c）cosB﹣bcosC=0，利用正弦定理化简得：（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，整理得：2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，∵sinA≠0，∴cosB=，则B=60°．∵A=3C，c=6，可得：C=30°，A=90°，∴a===12，∴S△ABC=acsinB==．故答案为：．15．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据平面区域是四边形，即可确定a的取值范围．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，当直线x+y=a经过点A（3，0）时，对应的平面区域是三角形，此时a=3，当经过点B时，对应的平面区域是三角形，由，解得，即B（1，4），此时a=1+4=5，∴要使对应的平面区域是平行四边形，则3＜a＜5，故答案为：（3，5）16．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系进行求解，注意要对a进行讨论．【解答】当a＞0时，f（x）=|e x+|=e x+，则函数的导数f′（x）=e x﹣=，且f（x）＞0恒成立，由f′（x）＞0解得e2x＞a，即x＞lna，此时函数单调递增，由f′（x）＜0解得e2x＜a，即x＜lna，此时函数单调递减，若f（x）在区间[0，1]上单调递增，则lna≤0，解得0＜a≤1，即a∈（0，1]当a=0时，f（x）=|e x+|=e x在区间[0，1]上单调递增，满足条件．当a＜0时，y=e x+在R单调递增，令y=e x+=0，则x=ln，则f（x）=|e x+|在（0，ln]为减函数，在[ln，+∞）上为增函数则ln≤0，解得a≥﹣1综上，实数a的取值范围是[﹣1，1]故答案为：a∈[﹣1，1]三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．【考点】数列的求和；等差关系的确定；等比关系的确定．【分析】（Ⅰ）由S n=2n2+n可得，当n=1时，可求a1=3，当n≥2时，由a n=s n﹣s n﹣1可求通项，进而可求b n（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，利用错位相减可求数列的和【解答】解：（Ⅰ）由S n=2n2+n可得，当n=1时，a1=s1=3当n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=2n2+n﹣2（n﹣1）2﹣（n﹣1）=4n﹣1而n=1，a1=4﹣1=3适合上式，故a n=4n﹣1，又∵a n=4log2b n+3=4n﹣1∴（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2T n=3×2+7×22+…+（4n﹣5）•2n﹣1+（4n﹣1）•2n∴=（4n﹣1）•2n=（4n﹣1）•2n﹣[3+4（2n﹣2）]=（4n﹣5）•2n+518．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．【分析】(1)利用三角函数的单调性与值域即可得出．(2)利用坐标变换得到的图象．可得．再利用三角函数的单调性即可得出．【解答】解：(1)f（x）=4sin（2x﹣）+．sin（2x﹣）=1时，f（x）取得最大值4+；sin（2x﹣）=﹣1时，函数f（x）取得最小值4﹣．(2)把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象．再把得到的图象向左平移个单位，得到的图象．∴．由．∴g（x）的单调减区间是．19．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】(1)推导出PA⊥BC，BC⊥AB，从而BC⊥平面PAB，由此能证明平面PAB⊥平面QBC．(2)连接BD，过B作BO⊥AD于O，该组合体的体积V=V B﹣PADQ+V Q﹣BCD．由此能求出结果．【解答】证明：(1)∵OD⊥平面ABCD，PA∥QD，∴PA⊥平面ABCD，又∵BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，又∵BC⊂平面QBC，∴平面PAB⊥平面QBC．解：(2)连接BD，过B作BO⊥AD于O，∵PA⊥平面ABCD，BO⊂平面ABCD，∴PA⊥BO，又BO⊥AD，AD⊂平面PADQ，PA⊂平面PADQ，PA∩AD=A，∴BO⊥平面PADQ，∵AD=AB=2，∠DAB=60°，∴△ABD是等邊三角形，∴．∴．∵∠ADC=∠ABC=90°，∴∠CBD=∠CDB=30°，又BD=AB=2，∴，∴．∵QD⊥平面ABCD，∴．∴该组合体的体积．20．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】(1)由题意得b=1，由得a=，c=，b=1求得椭圆方程；(2)设直线l的方程为x=my﹣1，将直线方程代入椭圆方程，消去x，根据韦达定理代入三角形面积公式即可求得△AOB的面积，再换元配方即可得出结论．【解答】解：(1)由题意得b=1，由得a=，c=，b=1，∴椭圆E的方程为+y2=1；(2)依题意设直线l的方程为x=my﹣1，联立椭圆方程，得（m2+3）y2﹣2my﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=﹣，S△AOB=|y1﹣y2|=，设m2+3=t（t≥3），则S△AOB=，∵t≥3，∴0＜≤，∴当=，即t=3时，△OAB面积取得最大值为，此时m=0.21．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】(1)先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性的关系即可求出a的取值范围，(2)当x＞1时，f（x）＜g（x）恒成立，转化为lnx﹣x＜2ax﹣ax2，在（1，+∞）恒成立，构造函数h（x）=lnx﹣x，利用导数求出函数最值，得到ax2﹣2ax﹣1＜0，在（1，+∞）上恒成立，再分类讨论，根据二次函数的性质即可求出a的取值范围．【解答】解：(1)∵f（x）=lnx﹣a2x2+ax，其定义域为（0，+∞），∴f′（x）=﹣2a2x+a==．①当a=0时，f′（x）=＞0，∴f（x）在区间（0，+∞）上为增函数，不合题意．②当a＞0时，f′（x）＜0（x＞0）等价于（2ax+1）（ax﹣1）＞0（x＞0），即x＞．此时f（x）的单调递减区间为（，+∞）．依题意，得解之，得a≥1．③当a＜0时，f′（x）＜0（x＞0）等价于（2ax+1）（ax﹣1）＞0（x＞0），即x＞﹣．此时f（x）的单调递减区间为（，+∞）．依题意，得解之，得a≤﹣．综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[1，+∞）．(2)∵g（x）=（3a+1）x﹣（a2+a）x2，∴f（x）﹣g（x）=lnx﹣（2a+1）x+ax2＜0，即lnx﹣x＜2ax﹣ax2，在（1，+∞）恒成立，设h（x）=lnx﹣x，则h′（x）=﹣1＜0恒成立，∴h（x）在（1，+∞）为减函数，∴h（x）＜h(1)=﹣1，∴ax2﹣2ax﹣1＜0，在（1，+∞）上恒成立，设φ（x）=ax2﹣2ax﹣1当a=0时，﹣1＜0，符合题意，当a＞0时，显然不满足题意，当a＜0，由于对称轴x=1，则φ(1)＜0，即a﹣2a﹣1＜0，解得﹣1＜a＜0，综上所述，a的取值范围为（﹣1，0]．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】(1)直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t化为普通方程可得，进而得到倾斜角．由曲线C的极坐标方程得到：ρ2=2ρcos（θ﹣），利用ρ2=x2+y2，即可化为直角坐标方程．(2)将|PA|+|PB|转化为求|AB|来解答．【解答】解(1)直线的斜率为，直线l倾斜角为…由曲线C的极坐标方程得到：ρ2=2ρcos（θ﹣），利用ρ2=x2+y2，得到曲线C的直角坐标方程为（x﹣）2+（y﹣）2=1…(2)点P（0，）在直线l上且在圆C内部，所以|PA|+|PB|=|AB|…直线l的直角坐标方程为y=x+…所以圆心（，）到直线l的距离d=．所以|AB|=，即|PA|+|PB|=…[选修4-5：不等式选讲]23．【考点】一元二次不等式的应用；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最值及其几何意义．【分析】(1)根据绝对值的代数意义，去掉函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|中的绝对值符号，求解不等式f（x）＞2，(2)由(1)得出函数f（x）的最小值，若∀x∈R，恒成立，只须即可，求出实数t的取值范围．【解答】解：(1)当，∴x＜﹣5当，∴1＜x＜2当x≥2，x+3＞2，x＞﹣1，∴x≥2综上所述{x|x＞1或x＜﹣5}．(2)由(1)得，若∀x∈R，恒成立，则只需，综上所述．。