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§4.08由系统函数零、极点分布决定频响特性

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由系统函数的零极点决定时域特性

由系统函数的零极点决定时域特性

(3): 由因果关系决定：
完全解= z.i.r +z.s.r z.i.r: 没有外加的激励信号，只由起 始状态（起始时刻系统储能）所产生 的响应。 z.s.r: 不考虑起始时刻系统的储能（起 始状态为零），由系统外加激励信号产 生的响应。
*自由响应与强迫响应
R( s ) E ( s ).H ( s )
h ( t ) 2e
t t 3t
rzi (t ) c1e c2 e
例：求下列各系统函数的z-p点分布及h(t)的 波形。
s 1 1. H ( s ) 2 2 ( s 1) 2 s 2. H ( s ) 2 2 ( s 1) 2 ( s 1) 3. H ( s ) 2 2 ( s 1) 2
2.极-零图(见p209所示图) 二.零极点与时域波形的对应关系 1.左半开平面的极点(在负实轴上，一，二，m阶)； 不在负实轴上（复数共 轭成对。)
极 零图
a0 e t
a0 s

( 2)

a1 s a0 t [(a0 a1 )t a1 ]e ...... t 0 2 (s )
z-p点都受约束。 i1
4个转移函数：
u1

System
i2
u2

I 2 ( s) u 2 ( s) YT ( s) , Z T ( s) u1 ( s) I 1 ( s) u 2 ( s) I 2 ( s) k u ( s) , k i ( s) u1 ( s) I1 ( s)
极点影响小结：
• 极点落在左半平面— h(t) 逞衰减趋势 • 极点落在右半平面— h(t)逞增长趣势 • 极点落在虚轴上只有一阶极点— h(t) 等幅振荡，不能有重极点 • 极点落在原点— h(t)等于 u(t)

§4.8由系统函数零、极点分布决定频响特性

§4.8由系统函数零、极点分布决定频响特性
m 0
m
sin(ω 0 t )
⋅ H( s )
m
0 2 0
2
2 0
2
H(− jω) = H0 e− jϕ0 0
K − jω 0 = ( s + j ω 0 ) R ( s ) K
jω 0
=
K − jω 0 s + jω 0
+
K jω 0 s − jω 0
+
Kn K1 K2 + + ⋅⋅⋅+ s − p1 s − p2 s − pn
θ1
−
1
ψ1
O
1 RC
σ
0.5
π ϕ(ω) = −arctan CRω 2
0
2 1.5 1 0.5 0
π ω= 0 ϕ(ω) = 2 1 π ω= ϕ(ω) = RC 4 ω= ∞ ϕ(ω) = 0
0
2
4
6
8
10
0
2
4
6
8
10
返回
例4-8-2
研究下图所示RC低通滤波网络 研究下图所示RC低通滤波网络 + 的频响特性。 的频响特性。 v1(t ) V2(jω) H(jω) = − V (jω) 1 解: 写出网络转移函数表达式 V2(s) 1 1 H(s) = = ⋅ 1 V (s) RC 1 s+ RC
∏(s − P )
i =1 i
见 可 H(jω)的 性 零 点 位 有 。 特 与 极 的 置关
令分子中每一项 jω− z j = Nj e 分母中每一项
jψj
− ∏( jω p )
i =1 i
jω− P = Mi ejθi i

信号与系统讲义第四章5系统频率特性及稳定性汇总

信号与系统讲义第四章5系统频率特性及稳定性汇总
非最小相移函数＝最小相移函数×全通函数
（系统的串联）
2020/3/10
信号与系统
2020/3/10
信号与系统
4.11 线性系统的稳定性
1、稳定系统
有限（界）激励，产生有限（界）输出，稳定系统 有限（界）激励，产生无限（界）输出，为不稳定系统

r(t) h(t)*e(t) h( )e(t )d
4.8由系统函数零、极点分布分析频响特性
一、系统的频响特性
1、频响特性
在正弦信号激励下稳态响应随频率的变化
H( j) H( j) e j()
幅频特性 相频特性
2020/3/10
信号与系统
分析正弦信号e(t) Em sin 0t u(t)激励下系统的响应？
H (s)为稳定系统，极点在左半开平面,自由响应为暂态响应
➢ 系统的极零点图 ➢ 确定系统的时域响应特性、系统稳定性分析 ➢ 绘制系统的幅频响应和相频响应特性曲线，通频特性分析
2020/3/10
信号与系统
作业
4-39(a)(e) 4-42 (b) 4-45
自读4.9节内容 预习 4.12 4.13章节内容
2020/3/10
信号与系统
H ( j)
K

0
系统的零、极点分布→系统的频率响应特性 零、极点分布特点？？
2020/3/10
信号与系统
全通系统的零、极点分布
•极点在S左半平面，零点在右半平面 •极点数＝零点数，且与虚轴成镜像对称
2020/3/10
信号与系统
幅频特性： 相频特性：
2020/3/10
信号与系统
二、最小相移系统
e(t) Me

信号与系统4.7.8系统零极点分布决定时域和频域特性

信号与系统4.7.8系统零极点分布决定时域和频域特性
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
4.7 由系统函数零、极点分布决定时域特性
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
拉普拉斯变换将时域函数f(t)变换为S域函数F(S)；反 之，拉普拉斯逆变换将F(S)变换为相应的f(t) 。
由于f(t)与F(S)之间存在一定的对应关系，故可以从函 数的典型形式透视出内在性质。
而其零点位于
s 0 （一阶） s 1 j1 （一阶） s 1 j1 （一阶） s= （一阶）
（4.7-1）
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
将此系统函数的零、极 点图绘于图中的平面内， 用符号圆圈“o”表示零点， “x”表示极点。在同一位 置画两个相同的符号表示 为二阶，例如-1处有二阶极 点
h(t)
L1[H (s)]
n
L1[
i 1
Ki ] s pi
n
L1[
i 1
Hi (s)]
n i 1
hi (t)
n
h(t) Kie pit i 1
（4.7-3）
1）这里，Pi可以是实数，但一般情况下， Pi以成对的共轭复数形 式出现。
2）各项相应的幅值由系数Ki决定，而Ki则与零点分布情况有关。
如
L1[
(s
2
2s 2
)2
]
t
sin(t
)
这是幅度按线性增长的正弦振荡。
j
t sin(t)
t
j
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
几种典型情况
j
jω0
α
O
jω0
α
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
（单调增幅）形式。

零极点分布对系统频率响应的影响

零极点分布对系统频率响应的影响
实验报告
学院
年级、专业、班
姓名
学号
实验课程名称
数字信号处理实验
成绩
实验项目名称
实验四 极零点分布对系统频率响应的影响
指导老师
一、实验目的
学习用分析零极点分布的几何方法分析研究系统频率响应，理解零点、极点对系统频率响应的影响。二、实验原理
如果知道信号的Z变换以及系统的系统函数 ，可以得到它们的零极点分布，由零极点分布可以很方便地对它们的频率响应进行定性分析。
A=1; a=0.8;B=[1,a]; %设置系统函数系数向量A和B
subplot(2,2,1);
zplane(B,A); %绘制零极点分布图
[H,w]=freqz(B,A, 'whole'); %计算频率响应
subplot(2,2,2);
plot(w/pi,abs(H)); grid on; %绘制幅频响应曲线
实验内容第一小题验证了极点对系统频率响应的影响。极点主要影响频率响应的峰值，极点愈靠近单位圆，峰值愈尖锐。
2.由y(n)=x(n)+ax(n-1)可知:H[z]=B[z]/A[z]=(1-az^(-1))/1。系统极点z=0，零点z=a，取单位圆上一点B，可画出极点矢量和零点矢量，当B点从ω=0逆时针旋转时，在ω=0点，由于零点向量长度最长，幅度值最大，形成波峰；在ω=点，零点向量长度最短，幅度值最小，形成波谷；z=a处极点矢量长度始终保持为1，不影响相频响应。
峰值频率和谷值频率可以近似用响应的极点和零点的相角表示，例如极点 ，峰值频率近似为 ，极点愈靠近单位圆，估计法结果愈准确。
本实验借助计算机分析信号和系统的频率响应，目的是掌握用极、零点分布的几何分析法分析频率响应，实验时需要将 代入信号的Z变换和系统函数中，再在 之间，等间隔选择若干点，并计算它的频率响应。

拉普拉斯变换§4.08由系统函数零、极点分布决定频响特性

拉普拉斯变换§4.08由系统函数零、极点分布决定频响特性

jω z
m
jω p
i 1 i
j 1 n
令分子中每一项 j ω z j N j e
分母中每一项
jψ j
j ω Pi M i e jθi 将 j ω z j、 j ω - pi 都看作两矢量之差，将 矢量图画于复
t
频域：H(s)的全部极点落在s左半平面。 其收敛域包括虚轴： 拉氏变换 存在 傅里叶变换 存在
X
H(s)和频响特性的关系
设系统函数为 H s ，激励源e t Em sinω0t 系统的稳态响应 rmm t Em H0 sinω0 t 0
平面内。
X
画零极点图
零点 ： jω N j e z j
jω
jψ j
极点 ： j ω M i e jθi pi
jω
θi
Mi
pi
Nj
ψj
σ
O
Nj
zj
j
σ
O
zj
jω 是滑动矢量， jω 矢量变, 则N j、ψ j 和 M i、θ i 都 发生变化。
X
由矢量图确定频率响应特性
N1 e jψ1 N 2 e jψ2 N m e jψm H jω K M1 e jθ 1 M 2 e jθ 2 M n e jθ n
X
通带
O
阻带
c 截止频率
H j

O
c

带通滤波器
H j
带阻滤波器
O
c1
c 2

O
c1
c 2

X
三．根据H(s)零极图绘制系统的频响特性曲线
H jω H s s jω K

4.8由系统函数零、极点分布决定频响特性


j j z j ) N je j j ( j pi ) M ie ji
H(
j)
k
N1e j1 N2e j 2 M1e j1 M 2e j2
Nme j m M ne jn
k N N N e 1 2
m j[(1 2 m )(1 2 n )]
M1M 2 M n
e j0t
Em H 0e j0 2j
e j0t
n i 1
kie pit
rss (t)
Em H 0 2j
[e j(0t0 )
e ] j(0t0 )
Em H 0
sin( 0t
0 )
2
稳定系统 : H (s) 输入激励 : e(t) Em sin(0t)
稳态响应 : rss (t) Em H0 sin(0t 0 )
通带
阻带
截止频率
带通
高通 带阻
4
频响特性曲线的几何作图法
m
(s zj)
H (s) k
j 1 n
(s pi )
i 1
m
( j z j )
H ( j) k
j 1 n
( j pi )
i 1
M1
p1
N1
z1
j z1 N1e j1 j p1 M1e j1
5
m
( j z j )
H ( j) k
H ( j0 )
H (s) s j0
H ( j0 ) e j0
H0e j0
H ( j) H (s) H ( j) e j() s j
H ( j)为系统的频率响应特性,其幅度 H ( j) 称为幅频特性(或幅度特性); 其相位 ( )称为
相频特性(或相位特性).

信号与系统4.7.8系统零极点分布决定时域和频域特性


如
L1[
(s
2
2s 2
)2
]
t
sin(t
)
这是幅度按线性增长的正弦振荡。
j
t sin(t)
t
j
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
几种典型情况
j
jω0
α
O
jω0
α
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
结论：
若H(s)极点落于左半平面，则h(t)波形为衰减形式； 若H(s)极点落于右半平面，则h(t)增长； 落于虚轴上的一阶极点对应的h(t)成等幅振荡或阶跃； 而虚轴上的二阶极点将使h(t)呈增长形式。
在s域中，系统响应与激励信号、系统函数
之间满足
R(s) H (s)E(s)
（4-84）
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
系统响应的时域特性
r(t) L1[R(s)]
(4.7-4)
显然，R(s)的零、极点由H(s)与的E(s)零、极点所决定。 由前面可知，H(s)和E(s)可以分别写作以下形式：
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
为便于表征系统特性，定义系统行列式（特征方程） 的根为系统的“固有频率”（或称“自由频率”、“自 然频率”）。
由前节可看出，行列式△位于H(s)之分母，因而H(s) 的极点pi都是系统的固有频率，可以说， 自由响应的函 数形式应由系统的固有频率决定。
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
(1)位于s平面坐标原点的二阶或三阶极点分别给出时间
函数为t或t2/2。如H (S)
1 S2
j
h(t) t
t
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析

系统函数零极点分布决时域特性课件


总结词
零点位置影响系统瞬态响应的速度和幅 度，极点位置影响系统阻尼和振荡特性 。
VS
详细描述
零点位置影响系统输出的初始状态。如果 存在接近虚轴的零点，系统的输出会迅速 达到稳定值。极点位置影响系统的阻尼特 性和振荡频率，靠近虚轴的极点会导致系 统阻尼慢，振荡时间长。
零极点分布与系统稳态误差的关系
总结词
零点位置对系统稳态误差的影响
总结词
零点位置影响系统稳态误差，靠近虚轴的零点导致稳态误差 增大。
详细描述
系统函数的零点位置也会影响系统的稳态误差。如果零点靠 近虚轴，系统的稳态误差会增大。这是因为这些零点使得系 统的极点在复平面的右侧，导致系统的极点远离虚轴，从而 使得系统的稳态误差增大。
04
极点分布对时域特性的影响
极点位置远离虚轴
系统瞬态响应较慢，因为远离虚轴的 极点会导致系统具有较小的时间常数 ，从而减缓瞬态响应。
极点位置对系统稳态误差的影响
极点位置靠近虚轴
系统稳态误差较小，因为虚轴附近的极点会导致系统具有较大的增益，从而减 小稳态误差。
极点位置远离虚轴
系统稳态误差较大，因为远离虚轴的极点会导致系统具有较小的增益，从而增 大稳态误差。
零点位置对系统瞬态响应的影响
总结词
零点位置影响系统瞬态响应，靠近虚轴的零点导致瞬态响应速度变慢。
详细描述
系统函数的零点位置也会影响系统的瞬态响应特性。如果零点靠近虚轴，系统的瞬态响应速度 会变慢。这是因为这些零点使得系统的极点在复平面的右侧，导致系统的极点远离虚轴，从而 使得系统的动态响应速度变慢。
稳态误差
系统在输入信号的作用下，实际 输出与理想输出之间的偏差。
误差类型
包括静态误差和动态误差，静态误 差是指系统在稳态下的误差，动态 误差是指系统在过渡过程中产生的 误差。

系统函数零极点分布决定时域特性-推荐精选PPT

•定义系统行列式（特征方程）的根为系统的固有频率 （或称“自然频率”、“自由频率”）。 H(s)的极点都是系统的固有频率； H(s)零、极点相消时，某些固有频率将丢失。
•自由响应的极点只由系统本身的特性所决定，与激励
函数的形式无关，然而系数 A i,A k 与 H s,E s都有关。
9
暂态响应和稳态响应
5
第
一阶极点
页
H(s)1, s
p1 0在 原 点h ， (t)L 1[H (s) ]u (t)
H(s) 1 , sa
p1a
a0,在 左 实 , h(t轴 )ea上 u t(t)指 , 数 衰 减
a0,在 右 实 , h(t轴 )ea上 u t(t) ,a0,指 数 增 H(s)s2ω ω2, p1jω,在虚轴上 h(t)sinωtu(t)， 等 幅 振 荡
§4.7 由系统函数零、极点分布决 定时域特性
• 序言
• H(s)零、极点与h(t)波形特征
• H(s) 、E(s)的极点分布与自由响
应、强迫响应特性的对应
2
一．序言
第
页
冲激响应h(t)与系统函数H(s) 从时域和变换域两方 面表征了同一系统的本性。
在s域分析中，借助系统函数在s平面零点与极点 分布的研究，可以简明、直观地给出系统响应的许多 规律。系统的时域、频域特性集中地以其系统函数的
H(s)(sαω )2ω2, p1 αjω ,p2 αj,共 轭
当 α 0，极点在左半平面，衰减振荡 当 α0，极点在右半平面，增幅振荡
6
第
二阶极点
页
H(s) 1 ,极 点 在 原, 点h (t) t( u t)t , ,h (t) s2
H(s) 1 ,极点在实轴上， (s a)2
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H( jω) = H(s) s= jω = K
∏(s z j )
m
∏(s Pi )
i =1
j=1 n
s= jω
=K
∏( jω z j )
m
∏( jω pi )
i =1
j=1 n
H 有关。 可见 ( jω)的特性与零极点的位置 有关。
令分子中每一项 jω z j = N j e 分母中每一项
H( jω) =| H( jω) | e jφ (ω )
H( jω) ~ ω
幅频响应特性 相频响应特性
X
φ(ω) ~ ω
系统频响特性
H ( jω ) H ( jω )
0
H ( jω )
ωc
ω
0
H ( jω )
ωc
ω
低通滤波器
高通滤波器
0
ωc1
ωc 2
ω
0
ωc1
ωc 2
ω
带通滤波器
带堵滤波器
X
二．根据H(s)零极图绘制系统的频响特性曲线
全通网络
全通网络：幅频特性为常数的网络。 全通网络： 幅频特性为常数的网络。 特征： 特征： 零、极点分布以虚轴为界左右对称。 极点分布以虚轴为界左右对称。
θ1
M1 N1 N2 M2
jω
系统频率响应为
ψ1
N1 N 2 N 3 j(ψ1 +ψ 2 +ψ 3 ) (θ1 +θ2 +θ3 ) H ( jω ) = K e M1 M 2 M 3 =Ke
j (θ1 +θ2 + n ) θ
(ω) = (ψ1 +ψ2 + m ) (θ1 +θ2 + n ) ψ θ
当 ω 沿虚轴移动时，各复数因子(矢量)的模和幅角都 沿虚轴移动时，各复数因子(矢量) 随之改变，于是得出幅频特性曲线和相频特性曲线。 随之改变，于是得出幅频特性曲线和相频特性曲线。
X
N1N2 Nm H( jω) = K M1M2 Mn
j (ψ 1 +ψ 2 +ψ 3 ) (θ1 +θ 2 +θ3 )
θ2
ψ2
σ
M3
θ3
N3
ψ3
系统幅频特性为
H ( jω ) = K
X
最小相移网络
最小相移网络： 所有零点都位于S左半平面的网络 最小相移网络： 所有零点都位于 左半平面的网络。 左半平面的网络。
jω
σ
一般网络可以分解为全通网络与 最小相移网络的级连。 最小相移网络的级连。
(
)
系统完全响应为
r ( t ) = L1 R ( s )
= Em H 0 sin (ω0 t + 0 )
对于稳定系统， 对于稳定系统，其稳态响应为 rss ( t ) = Em H 0 sin (ω0 t + 0 ) 而
H 0e j0 = H ( jω0 ) = H ( s ) |s = jω0
jψ j
jω P = Mi e jθi i 都看作两矢量之差， 将jω z j、jω - pi 都看作两矢量之差，将矢量图画于复
平面内。 平面内。
X
画零极点图
零点 ： jω = N je
jψ j
+ zj
极点 ： jω = Mi e jθi + pi
θi
pi
Nj
jω
Nj
zj
jω
Mi
j
σ
0
zj
j
σ
0 0
X
……续
则
k jω0 = ( s + jω0 ) R ( s ) |s = jω0
Emω0 H ( jω0 ) Em H 0e j0 = = 2 jω0 2 j
k jω0 = ( s jω0 ) R ( s ) |s= jω0
Emω0 H ( jω0 ) Em H 0e j0 = = 2 jω0 2j
t →∞
频域：H(s)的全部极点落在 左半平面。 频域： 的全部极点落在s左半平面。 的全部极点落在 左半平面 其收敛域包括虚轴： 其收敛域包括虚轴： 拉氏变换………………存在 存在 拉氏变换 傅立叶变换……………存在 存在 傅立叶变换
X
H(s)和频响特性的关系
H( jω) = H(s) |s= jω
jω jω jω
σ
σ
σ
X
其中 H ( jω ) = H 0e j0
H ( -jω ) = H 0e
j 0
X
……续
所以ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
E m H 0 e j 0 e j0 + = + s + jω0 s jω0 2 j s + jω0 s jω0 K jω0 K + jω0
1
K + jω0 Em H 0 K jω0 逆变换 L + = e j0 e jω0t + e j0 e jω0t s + jω0 s jω0 2j
0
jω是滑动矢量，ω 矢量变则N j、 j 和 Mi、θ i 都 是滑动矢量， j , 发生变化。 发生变化。
X
由矢量图确定频率响应特性
H( jω) = K
=K
N1e jψ1 N2e jψ2 Nme jψm M1e jθ1 M2e jθ2 Mne jθn
M1M2 Mne
ψ N1N2 Nme j(ψ1 +ψ2 + m )
信号与系统
§4.8由系统函数零、极点分布决 4.8由系统函数零、极点分布决 定频响特性
北京化工大学信息科学与技术学院
X
主要内容
定义 根据H(s)零极图绘制系统的频响特性曲线 零极图绘制系统的频响特性曲线 根据
X
一．定义
所谓“频响特性”是指系统在正弦信号激励下稳态响 所谓“频响特性”是指系统在正弦信号激励下稳态响 随频率的变化情况。 应随频率的变化情况。 H( jω) 正弦信号激励
e ( t ) = Em sin (ω0 t )
Emω0 其拉氏变换为 E ( s ) = 2 2 s + ω0
则系统响应的拉氏变换为 Emω0 R ( s) = 2 H ( s) 2 s + ω0 K jω K jω Kn K1 K2 = + + + ++ s + jω0 s jω0 s P1 s P2 s Pn
X
= Em H 0 sin (ω0 t + 0 ) + K1e p1t + K 2 e p2t +iii + K ne pnt
几点说明
前提：稳定的因果系统。 前提：稳定的因果系统。 有实际意义的物理系统都是稳定的因果系统。 有实际意义的物理系统都是稳定的因果系统。
lim 时域： 时域： h(t ) = 0