高中数学导数精讲精练

5.1 导数的概念及其意义(精练)【题组一 平均变化率】1．(2021·全国高二课时练习)一物体的运动满足曲线方程s (t )＝4t 2＋2t －3，且s ′(5)＝42(m/s)，其实际意义是( )A ．物体5 s 内共走过42 mB ．物体每5 s 运动42 mC ．物体从开始运动到第5 s 运动的平均速度是42 m/sD ．物体以t ＝5 s 时的瞬时速度运动的话，每经过1 s ，物体运动的路程为42 m2．(2021·全国)汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图所示，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为123,,v v v ，则三者的大小关系为( )A ．123v v v >>B ．321v v v >>C ．213v v v >>D ．231v v v >>3．(2021·全国)函数f (x )=2x 2+5在x =1附近的平均变化率________在x =3附近的平均变化率(填“大于”“小于”或“等于”)．4．(2021·全国高一课时练习)函数2y x 在区间[1,2]上的平均变化率为___________.5．(2021·全国高二课时练习)一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h (单位：m)与时间t (单位：s)之间的函数关系为h ＝2t 2＋2t ，则： (1)前3 s 内球的平均速度为________m/s ；(2)在t ∈[2，3]这段时间内球的平均速度为________m/s.6．(2021·全国高二课时练习)一物体做直线运动，其路程与时间t 的关系是S ＝3t －t 2.(1)求此物体的初速度； (2)求t ＝0到t ＝1的平均速度．【题组二 瞬时速度】1．(2021·全国高二课时练习)函数y ＝x 2＋2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0的平均变化率为k 2，则( ) A ．k 1<k 2 B ．k 1>k 2 C ．k 1＝k 2 D ．不确定2．(2021·全国高二课时练习)已知函数()221y f x x ==+在0x x =处的瞬时变化率为8-，则()0f x =______．3．(2021·全国高二课时练习)若一个物体的运动规律如下(位移s 的单位：m ，时间t 的单位：s )()()2231,02233,2t s t t t t ⎧+<⎪=⎨+-≥≤⎪⎩，则此物体在1t =和3t =时的瞬时速度分别为______．4．(2021·全国高二课时练习)(1)以初速度v 0(v 0>0)垂直上抛的物体，t 秒时的高度为201()2s t v t gt =-，则物体在t 0时刻的瞬时速度为__________.(2)某物体的运动方程为s =2t 3，则物体在第t =1时的瞬时速度是__________.5．(2021·全国高二课时练习)已知函数f (x )＝221x +. (1)求函数f (x )在区间[00,x x x +∆]上的平均变化率；(2)求函数f (x )在区间[2，2.01]上的平均变化率； (3)求函数f (x )在x ＝2处的瞬时变化率．【题组三 某处的导数】1．(2021·重庆市万州清泉中学)已知函数()y f x =在0x x =处的导数为1，则()()000lim 3x f x x f x x∆→+∆-=∆( )A ．0B ．13C ．1D ．22．(2021·四川省绵阳江油中学高二期中(理))设()f x 在0x 可导，则000(4)()lim x f x x f x x∆→+∆-∆等于( )A ．04()f x '-B ．0()f x 'C ．01()4f x ' D ．04()f x '3．(2021·合肥市第六中学高二期中(文))已知Δ0(1)(1)lim 3x f f x x→-+∆=∆，则()f x 在1x =处的导数(1)f '=( )A ．1-B ．1C ．3-D ．34．(2021·陕西阎良·高二期末(理))设函数()f x 的导函数为()'f x ，若()02f x '=-，则()000l m 2i 1k f x k f x k→⎛⎫-- ⎪⎝⎭等于( ) A ．-2 B ．-1C ．2D ．15．(2021·厦门海沧实验中学高二期中)已知()03f x '=，则000(2)()limx f x x f x x→-∆-=∆_______.6．(2021·重庆市两江中学校高二月考)如图所示，函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程为25y x =-+，则()()22f f '+=_____．7．(2021·全国高二课前预习)设f (x )＝2x ＋1，则f ′(1)＝________.8．(2021·全国高二课时练习)已知函数f (x )满足f (1)＝3，f ′(1)＝－3，则下列关于f (x )的图象描述正确的是________．(1)f (x )的图象在x ＝1处的切线斜率大于0； (2)f (x )的图象在x ＝1处的切线斜率小于0； (3)f (x )的图象在x ＝1处位于x 轴上方； (4)f (x )的图象在x ＝1处位于x 轴下方．9．(2021·全国)已知f (x )＝1x，g (x )＝mx ，且()12(2)g f '='，则m ＝________．10．(2021·全国高二课时练习)若02)(=f x '，则00Δ0()(Δ)lim 2Δx f x f x x x→-+=________.11．(2021·全国高二课时练习)已知()23f x x =+.(1)求f (x )在x =1处的导数；(2)求f (x )在x =a 处的导数.12．(2021·全国高二课时练习)已知f (x )在x 0处的导数f ′(x 0)＝k ，求下列各式的值：(1)0lim x ∆→ 00()()2f x f x x x--∆∆；(2)000l m ()i ()x f x x f x x x∆→∆--∆∆+【题组四 导数的几何意义及应用】1．(2021·全国高二课前预习)函数f (x )的图象如图所示，则( )A ．f ′(1)>f ′(2)>f ′(3)B ．f ′(2)>f ′(1)>f ′(3)C ．f ′(3)>f ′(2)>f ′(1)D ．f ′(3)>f ′(1)>f ′(2)2．(2021·全国高二课前预习)曲线y ＝1x在点(1，1)处切线的斜率为( )A ．1B ．－1C ．12 D ．－123．(2021·全国)若抛物线f (x )＝4x 2在点(x 0，f (x 0))处切线的斜率为8，则x 0＝________.4．(2021·全国高二课时练习)设()y f x =为可导函数，且满足条件0(1)(1)lim22x f f x x→--=-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率是________.5．(2021·全国高二课时练习)(多选)下列说法正确的是( )A ．若()0f x '不存在，则曲线()y f x =在点()()00,x f x 处也可能有切线B ．若曲线()y f x =在点()()00,x f x 处有切线，则()0f x '必存在C ．若()0f x '不存在，则曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线斜率不存在D ．若曲线()y f x =在点()()00,x f x 处没有切线，则()0f x '有可能存在6．(2021·全国)在曲线y ＝f (x )＝21x 上求一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°.。

专题25:导数的运算精讲温故知新（1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式： ①'0()C C =为常数；②1()'nn x nx-=；11()'()'n n n x nx x---==-；1()'()'m mn n n m m x x x n -== ③(sin )'cos x x=； ④(cos )'sin x x=-⑤()'x xe e = ⑥()'ln (0,1)x x a a a a a =>≠且；⑦1(ln )'x x =； ⑧1(log )'(0,1)ln a x a a x a=>≠且 法则1：[()()]''()'()f x g x f x g x ±=±；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差). 法则2：[()()]''()()()'()f x g x f x g x f x g x ⋅=⋅+⋅(口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号) 法则3：2()'()()()'()[]'(()0)()[()]f x f x g x f x g x g x g x g x ⋅-⋅=≠ (口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号)（2）复合函数(())y f g x =的导数求法：①换元，令()u g x =，则()y f u =②分别求导再相乘[][]'()'()'y g x f u =⋅③回代()u g x = 题型一：基本初等函数的导数例1：（2022·北京·人大附中模拟考试）已知函数()ln f x x =，则()f x '=（ ） A ．14xB ．12x C ．2xD ．1x举一反三1.（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校高二期中）下列求导运算正确的是（ ）A ．cos sin 33ππ'⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B ．()1e ln e ln x x x x x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭C ．()1ln x x'=D ．()33x x '=2.（2022·全国·模拟预测（文））若直线l 与曲线2y x 和2249x y +=都相切，则l 的斜率为______．题型二：导数的加减运算例2：（2011·江西·高考真题（理））若,则的解集为A ．(0,)B ．(-1,0)(2,)C ．(2,)D ．(-1,0)举一反三1.（2022·贵州遵义·三模（文））已知函数()ln f x x x =+，()f x '为()f x 的导函数，则()e f '=_________．2.（2022·福建省福州格致中学模拟预测）已知函数()()()()20e 01x f x f x f x '=+--，则函数()f x =___________. 题型三：导数的乘除运算例3：（2018·天津·高考真题（文））已知函数f (x )=exlnx ，()'f x 为f (x )的导函数，则()'1f 的值为__________． 举一反三1（2022·河南·南阳中学模拟预测（文））函数cos ()e xxf x =的图象在0x =处切线的倾斜角为______．题型四：简单复合函数的导数例4：（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））若函数()f x 过点(0,2)，其导函数()cos(2)0,02f x A x A πϕϕ⎛⎫'=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f π=（ ）A ．0B ．12C 2D 2 举一反三1．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知函数2()3(ln )=-+f x x ax ，若21,e x ⎡⎤∈⎣⎦时，()f x 在1x =处取得最大值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．26,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(,0]-∞C ．260,e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．266,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭2．（2022·江苏淮安·模拟预测）已知函数()cos2(0,πf x x x =∈，）在0x x =处的切线斜率为85，则00co sin s x x -=（ ）A ．35B ．35C ．D 题型六：求某点处的导数值 例6：（2022·全国·高考真题（理））当1x =时，函数()ln bf x a x x=+取得最大值2-，则(2)f '=（ ） A ．1- B ．12-C ．12D ．1举一反三1.（2015·天津·高考真题（文））已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞，其中a 为实数，()f x '为()f x 的导函数，若()13f '=，则a 的值为_________．2．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知函数2()(0)e e x x f x f -'=-，则(0)f =__________.精练巩固提升一、单选题1．（2022·四川内江·模拟预测（理））若()cos f x x x =，则π2f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭（ ）A ．π2B ．1C ．π2-D ．1-2．（2022·北京·北师大实验中学高二阶段练习）函数πsin 34y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的导数为（ ）A ．πcos 34x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B ．π3cos 34x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．πcos 34x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭D ．π3sin 34x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3．（2022·全国·模拟预测（理））曲线12sin()2x y e x π-=-在点(1,1)-处的切线方程为（ ）A ．0x y -=B ．10ex y e --+=4．（2022·河南平顶山·一模（文））若2()24f x x x lnx =--，则()0f x '>的解集为( )A ．(0,)+∞B ．()()1,02,-⋃+∞C ．(2,)+∞D ．(1,0)-5．（2008·福建·高考真题（理））函数f (x )=cos x (x ∈R )的图象按向量(m ,0)平移后，得到函数()y f x '=-的图象，则m 的值可以为（ ）A ．2π B ．π C ．－πD ．－2π 6．（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））曲线22x ay x +=+在点()1,b 处的切线方程为60kx y -+=，则k 的值为（ ）A ．1-B ．23-C ．12D ．17．（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()21ln f x xf x '=+，则()1f '=（ ）A ．1B ．12-C ．-1D ．e8．（2022·全国·模拟预测）若存在函数()229f x x x =++，想求解出()f x 的图象与直线2x =，3x =和x 轴围成的面积，我们可以将()f x 转化为“()32193F x x x x a =+++”（其中a 为任意常数），用“()()32F F -”表示“()f x 的图象与直线2x =，3x =和x 轴围成的面积”.不难发现“()()F x f x '=”，我们称()F x 为()f x 的“面积函数”.那么函数()()2e 3104x g x x x =++的图象与直线2x =，3x =和x 轴围成的面积是（ ） A ．3239e 20e -B ．3261e 36e -C ．3257e 32e -D ．219e9．（2022·新疆·一模（理））若函数()f x 的导函数是奇函数，则()f x 的解析式可以是（ ） A ．()sin f x x x =+ B ．()32f x x x =+ C ．()1cos f x x =+D ．()2ln f x x x =+10．（2022·浙江·模拟预测）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对任意,()0x ∈+∞，都有()2()log 20f f x x -=．现已知()()17f a f a +'=，那么（ ）A ．(1,1.5)a ∈B ．(1.5,2)a ∈C ．(2,2.5)a ∈D ．(2.5,3)a ∈二、多选题11．（2022·辽宁·高二期中）下列函数中，求导正确的是（ ） A ．()1f x x =，()21f x x'=- B ．()ln f x x x =，()1ln f x x x'=+C ．()1=+x f x x ，()()211f x x '=+ D ．()()22e x f x x x =+，()()242e xf x x x '=++12．（2022·湖北·安陆第一高中高二期中）设函数()y f x =在区间(),a b 上的导函数为()f x ，()f x 在区间(),a b 上的导函数为()f x ''，若区间(),a b 上()0f x ''<，则称函数()f x 在区间(),a b 上为“凸函数”．已知()5421122012f x x mx x =--在()1,2上为“凸函数”则实数m 的取值范围的一个必要不充分条件为（ ） A ．1m >- B ．m 1≥ C ．1m D ．0m >三、填空题13．（2021·全国·高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数():f x _______． ①()()()1212f x x f x f x =；②当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>；③()'f x 是奇函数． 14．（2020·全国·高考真题（文））设函数e ()xf x x a=+．若(1)4e f '=，则a =_________．15．（2022·全国·高考真题）若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________．16．（2014·安徽·高考真题（文））若直线与曲线满足下列两个条件： 直线在点处与曲线相切；曲线在附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线.下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号) ①直线在点处“切过”曲线：3y x =②直线在点处“切过”曲线：③直线在点处“切过”曲线： ④直线在点处“切过”曲线：⑤直线在点处“切过”曲线：专题25:导数的运算精讲温故知新（1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：①'0()C C =为常数；②1()'nn x nx-=；11()'()'n n n x nx x---==-1()'m mn n m x x n -== ③(sin )'cos x x=； ④(cos )'sin x x=-⑤()'x xe e = ⑥()'ln (0,1)x x a a a a a =>≠且；⑦1(ln )'x x =； ⑧1(log )'(0,1)ln a x a a x a=>≠且 法则1：[()()]''()'()f x g x f x g x ±=±；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差). 法则2：[()()]''()()()'()f x g x f x g x f x g x ⋅=⋅+⋅(口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号) 法则3：2()'()()()'()[]'(()0)()[()]f x f x g x f x g x g x g x g x ⋅-⋅=≠ (口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号)（2）复合函数(())y f g x =的导数求法：①换元，令()u g x =，则()y f u =②分别求导再相乘[][]'()'()'y g x f u =⋅③回代()u g x = 题型一：基本初等函数的导数例1：（2022·北京·人大附中模拟考试）已知函数()ln f x x =，则()f x '=（ ） A ．14xB ．12x C ．2xD ．1x【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用求导公式直接计算作答. 【详解】因函数()ln f x x =，所以()1f x x'=. 故选：D 举一反三1.（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校高二期中）下列求导运算正确的是（ ）A ．cos sin 33ππ'⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B ．()1e ln e ln x x x x x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭C ．()1ln x x'=D ．()33x x '=【答案】C 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得； 【详解】解：对于A ：cos 03π'⎛⎫= ⎪⎝⎭，故A 错误； 对于B ：()()()1e ln e ln +e ln e ln x x x x x x x x x ⎛⎫'''==+ ⎪⎝⎭，故B 错误；对于C ：()1ln x x'=，故C 正确；对于D ：()33ln 3x x '=，故D 错误； 故选：C2.（2022·全国·模拟预测（文））若直线l 与曲线2y x 和2249x y +=都相切，则l 的斜率为______．【答案】±【解析】 【分析】 设出2yx 的切点坐标()2,m m ，求导，利用导数几何意义表达出切线斜率，写出切线方程，根据圆心到半径距离为半径列出方程，求出m =. 【详解】 设2yx 的切点为()2,m m ，()2f x x '=，故()2f m m '=，则切线方程为：()22y m m x m -=-，即220mx y m --=圆心到圆的距离为2323=，解得：22m =或29-（舍去）所以m =l 的斜率为2m =±故答案为：22± 题型二：导数的加减运算例2：（2011·江西·高考真题（理））若,则的解集为A ．(0,)B ．(-1,0)(2,)C ．(2,)D ．(-1,0)【答案】C 【解析】 【详解】()242'220,0,x x f x x x x--=-->>()()0,210,2x x x x >∴-+>∴>举一反三1.（2022·贵州遵义·三模（文））已知函数()ln f x x x =+，()f x '为()f x 的导函数，则()e f '=_________．【答案】11e+【解析】 【分析】先求()f x '，再代入x =e 即可计算． 【详解】∵()ln f x x x =+，∴()11f x x '=+，∴()1e 1ef '=+． 故答案为：11e+．2.（2022·福建省福州格致中学模拟预测）已知函数()()()()20e 01x f x f x f x '=+--，则函数()f x =___________. 【答案】2e x x + 【解析】【分析】由导数的运算法则与赋值法求解 【详解】由题意得()()00f f '=，且()()()()0e 201xf x f x f ''=+--，令0x =，得(0)1f =，故()2e xf x x =+故答案为：2e x x + 题型三：导数的乘除运算例3：（2018·天津·高考真题（文））已知函数f (x )=exlnx ，()'f x 为f (x )的导函数，则()'1f 的值为__________． 【答案】e 【解析】 【分析】首先求导函数，然后结合导函数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 【详解】由函数的解析式可得：11()ln ln x x x f x e x e e x x x '⎛⎫=⨯+⨯=+ ⎪⎝⎭， 则11(1)ln11f e e '⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，即()'1f 的值为e ，故答案为e .点睛：本题主要考查导数的运算法则，基本初等函数的导数公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 举一反三1（2022·河南·南阳中学模拟预测（文））函数cos ()e xxf x =的图象在0x =处切线的倾斜角为______． 【答案】34π 【解析】 【分析】求出函数()f x 的导数，利用导数的几何意义，结合倾斜角的定义求解作答. 【详解】由cos ()e x x f x =求导得：sin cos ()e xx xf x --'=，则(0)1f '=-，所以函数cos ()e x x f x =的图象在0x =处切线斜率为-1，倾斜角为34π. 故答案为：34π 题型四：简单复合函数的导数例4：（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））若函数()f x 过点，其导函数()cos(2)0,02f x A x A πϕϕ⎛⎫'=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f π=（ ）A ．0B ．12C 2D 2 【答案】D 【解析】 【分析】由导函数过点,08π⎛⎫⎪⎝⎭和2)可以求出导函数解析式()2cos(2)4f x x π'=+，设()sin 24f x x h π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据函数()f x 过点2)，求出h ，再分析求解即可.【详解】因为导函数过点,08π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以cos 04A πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭220ϕϕ=，即tan 1ϕ=，又02πϕ<<，所以4πϕ=，所以()cos(2)4f x A x π'=+，根据图像易知()f x '过点2)，代入得2A =，所以()2cos(2)4f x x π'=+，所以设()sin 24f x x h π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为函数()f x 过点2)，所以sin 24h π+=所以22h =，所以2()sin 242f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以2()sin 242f ππ=+= D.举一反三1．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知函数2()3(ln )=-+f x x ax ，若21,e x ⎡⎤∈⎣⎦时，()f x 在1x =处取得最大值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．26,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(,0]-∞C ．260,e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．266,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】根据题意()(1)f x f ≤当21,e x ⎡⎤∈⎣⎦时恒成立，整理得()213(ln )a x x -≤，当21,e x ⎡⎤∈⎣⎦时，()1y a x =-在()23(ln )g x x =图像的下方，结合图像分析处理．【详解】根据题意得()(1)f x f ≤当21,e x ⎡⎤∈⎣⎦时恒成立则23(ln )x ax a -+≤，即()213(ln )a x x -≤∴当21,e x ⎡⎤∈⎣⎦时，()1y a x =-在()23(ln )g x x =图像的下方()6ln xg x x'=，则()10g '=，则0a ≤ 故选：B ．2．（2022·江苏淮安·模拟预测）已知函数()cos2(0,πf x x x =∈，）在0x x =处的切线斜率为85，则00co sin s x x -=（ ）A ．35B ．35C ．35D 35【答案】D 【解析】 【分析】由导数的几何意义与三角恒等变换公式求解 【详解】由题意得()2sin 2(0,πf x x x '=-∈，），则082sin 25x -=，04sin 25x =-0205()49cos 1si )n (5x x -=--=，而0(0,π)x ∈，故00sin 0,cos 0x x ><，0035cos sin x x -=故选：D题型六：求某点处的导数值例6：（2022·全国·高考真题（理））当1x =时，函数()ln bf x a x x=+取得最大值2-，则(2)f '=（ ） A ．1- B ．12-C ．12D ．1【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意可知12f ，()10f '=即可解得,a b ，再根据()f x '即可解出．【详解】因为函数()f x 定义域为()0,∞+，所以依题可知，12f ，()10f '=，而()2a b f x x x '=-，所以2,0b a b =--=，即2,2a b =-=-，所以()222f x x x'=-+，因此函数()f x 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减，1x =时取最大值，满足题意，即有()112122f '=-+=-． 故选：B. 举一反三1.（2015·天津·高考真题（文））已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞，其中a 为实数，()f x '为()f x 的导函数，若()13f '=，则a 的值为_________．【答案】3【解析】 【详解】试题分析：'()ln f x a x a =+，所以'(1)3f a ==． 考点：导数的运算．【名师点睛】(1)在解答过程中常见的错误有： ①商的求导中，符号判定错误． ②不能正确运用求导公式和求导法则． (2)求函数的导数应注意：①求导之前利用代数或三角变换先进行化简，减少运算量． ②根式形式，先化为分数指数幂，再求导．③复合函数求导先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理．2．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知函数2()(0)e e x x f x f -'=-，则(0)f =__________. 【答案】-2 【解析】 【分析】利用复合函数求导法则求导，求出函数()f x ，再求函数值作答. 【详解】由函数2()(0)e e x x f x f -'=-求导得：2()2(0)e e x x f x f -''=+，当0x =时，(0)2(0)1f f ''=+，解得(0)1f '=-，因此，2()e e x x f x -=--，所以(0)2f =-. 故答案为：-2精练巩固提升一、单选题1．（2022·四川内江·模拟预测（理））若()cos f x x x =，则π2f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭（ ）A ．π2B ．1C ．π2-D ．1-【答案】C【解析】利用导数公式直接计算求值. 【详解】因为()cos sin f x x x x '=-，所以ππ22f ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭.故选：C2．（2022·北京·北师大实验中学高二阶段练习）函数πsin 34y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的导数为（ ）A ．πcos 34x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B ．π3cos 34x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．πcos 34x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭D ．π3sin 34x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】根据复合函数求导链式法则x x y y μμ'''=，代入运算．【详解】 令π34x μ=+，则()πsin 3cos 34y x μμ⎛⎫'''==+ ⎪⎝⎭故选：B ．3．（2022·全国·模拟预测（理））曲线12sin()2x y e x π-=-在点(1,1)-处的切线方程为（ ）A ．0x y -=B ．10ex y e --+=C ．10ex y e ---=D ．20x y --=【答案】D 【解析】 【分析】根据切点和斜率求得切线方程. 【详解】 因为12sin()2x y ex π-=-，所以1cos()2x y e x ππ-'=-，当1x =时，1y '=，所以曲线12sin()2x y e x π-=-在点(1,1)-处的切线的斜率1k =，所以所求切线方程为11y x +=-，即20x y --=.故选：D4．（2022·河南平顶山·一模（文））若2()24f x x x lnx =--，则()0f x '>的解集为( ) A ．(0,)+∞ B ．()()1,02,-⋃+∞ C ．(2,)+∞ D ．(1,0)-【答案】C 【解析】 【分析】由题意，可先求出函数的定义域及函数的导数，再解出不等式()0f x '>的解集与函数的定义域取交集，即可选出正确选项． 【详解】解：由题，()f x 的定义域为(0,)+∞，4()22f x x x'=--，令4220x x-->，整理得220x x -->，解得2x >或1x <-， 结合函数的定义域知，()0f x '>的解集为(2,)+∞． 故选：C ．5．（2008·福建·高考真题（理））函数f (x )=cos x (x ∈R )的图象按向量(m ,0)平移后，得到函数()y f x '=-的图象，则m 的值可以为（ ） A ．2πB ．πC ．－πD ．－2π 【答案】A 【解析】 【分析】根据求导公式求出()'f x ，由三角函数图象的平移变换可得cos()y x m =-，结合诱导公式即可得出结果. 【详解】()sin y f x x ='=-，而f (x )=cos x (x ∈R )的图象按向量(m ,0)平移后得到cos()y x m =-， 所以cos()sin x m x -=， 故m 可以为2π．故选：A 6．（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））曲线22x ay x +=+在点()1,b 处的切线方程为60kx y -+=，则k 的值为（ ）A ．1-B ．23-C ．12D ．1【答案】A 【解析】 【分析】依据题意列出关于a b k 、、的方程组，即可求得k 的值 【详解】由切点()1,b 在曲线上，得23ab +=①； 由切点()1,b 在切线上，得60k b -+=②； 对曲线求导得()242ay x -'=+，∴2143x ay k ='-==，即49a k -=③，联立①②③236049a b k b a k+⎧=⎪⎪-+=⎨⎪-=⎪⎩，解之得1351a b k =⎧⎪=⎨⎪=-⎩故选：A.7．（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()21ln f x xf x '=+，则()1f '=（ ）A ．1B ．12-C ．-1D ．e【答案】C 【解析】 【分析】求得()f x '，令1x =，即可求得结果. 【详解】因为()()21ln f x xf x '=+，所以()()121f x f x''=+，所以()()1211f f ''=+，解得()11f '=-．故选：C .8．（2022·全国·模拟预测）若存在函数()229f x x x =++，想求解出()f x 的图象与直线2x =，3x =和x 轴围成的面积，我们可以将()f x 转化为“()32193F x x x x a =+++”（其中a 为任意常数），用“()()32F F -”表示“()f x 的图象与直线2x =，3x =和x 轴围成的面积”.不难发现“()()F x f x '=”，我们称()F x 为()f x 的“面积函数”.那么函数()()2e 3104x g x x x =++的图象与直线2x =，3x =和x 轴围成的面积是（ ） A ．3239e 20e - B ．3261e 36e - C ．3257e 32e - D ．219e【答案】A 【解析】 【分析】由导数的运算法则及新定义下的面积计算公式即可求解. 【详解】解：由题意，不妨设()()2e x G x ax bx c =++，其中()()()2e 3104x G x g x x x '==++，则()()2e 2x G x ax b a x c b '⎡⎤=++++⎣⎦，∴32104a b a c b =⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得340a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴()()2e 34x G x x x =+，∴()()323239e 20e G G -=-，即函数()()2e 3104x g x x x =++的图象与直线2x =，3x =和x轴围成的面积是3239e 20e -， 故选：A.9．（2022·新疆·一模（理））若函数()f x 的导函数是奇函数，则()f x 的解析式可以是（ ） A ．()sin f x x x =+ B ．()32f x x x =+C ．()1cos f x x =+D ．()2ln f x x x =+【答案】C 【解析】 【分析】分别对四个选项中的函数求导，再利用函数奇偶性的定义判断即可得正确选项. 【详解】对于A ：由()sin f x x x =+，得()1cos f x x '=+定义域为R 关于原点对称，()()1cos f x x f x ''-=+=，所以()1cos f x x '=+是偶函数，故选项A 不正确；对于B ：由()32f x x x =+，得()232f x x x '=+，定义域为R 关于原点对称，()232f x x x '-=-，()()11f f '-≠'，()()11f f -≠'-'，所以()232f x x x '=+既不是奇函数也不是偶函数，故选项B 不正确；对于C ：由()1cos f x x =+，得()sin f x x '=-是奇函数，故选项C 正确；对于D ：由()2ln f x x x =+，得()12f x x x'=+，定义域为{}0x x >不关于原点对称，()12f x x x '=+既不是奇函数也不是偶函数，故选项D 不正确；故选：C.10．（2022·浙江·模拟预测）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对任意,()0x ∈+∞，都有()2()log 20f f x x -=．现已知()()17f a f a +'=，那么（ ）A ．(1,1.5)a ∈B ．(1.5,2)a ∈C ．(2,2.5)a ∈D ．(2.5,3)a ∈【答案】D 【解析】 【分析】先由()2()log 20f f x x -=求出2()16log f x x =+，再由()()17f a f a +'=得到21log 10ln 2a a --=，结合单调性和零点存在定理进行判断即可. 【详解】不妨设2()log f x x m -=，则()20f m =，所以2log 2016m m m +=⇒=，得2()16log f x x =+，1()ln 2f x x '=， 因为()()17f a f a +'=，所以21log 10ln 2a a --=．令21()log 1ln 2g a a a =--，易得()g a 在(0,)+∞上单调递增，因为227ln118(3)log 3103ln 23ln 2g -=--=>，52531255ln 2ln 25ln 21ln 42410244(2.5)log 2.5102.5ln 25ln 25ln 25ln 25ln 2g ⎛⎫--- ⎪-⎝⎭=--===<<， 由零点存在定理知：(2.5,3)a ∈. 故选：D ． 二、多选题11．（2022·辽宁·高二期中）下列函数中，求导正确的是（ ） A ．()1f x x =，()21f x x'=- B ．()ln f x x x =，()1ln f x x x'=+C ．()1=+x f x x ，()()211f x x '=+ D ．()()22e x f x x x =+，()()242e xf x x x '=++【答案】ACD【解析】 【分析】根据基本初等函数的求导公式及运算法则即可求解. 【详解】解：对于A ，()1f x x =，()21f x x'=-，则A 正确； 对于B ，()ln f x x x =，()1ln ln 1f x x x x x'=+⋅=+，则B 错误； 对于C ，()1=+x f x x ，()()()221111x x f x x x +-'==++，则C 正确； 对于D ，()()22e x f x x x =+，()()()()2222e 2e 42e x x xf x x x x x x '=+++++=，则D 正确．故选：ACD.12．（2022·湖北·安陆第一高中高二期中）设函数()y f x =在区间(),a b 上的导函数为()f x ，()f x 在区间(),a b 上的导函数为()f x ''，若区间(),a b 上()0f x ''<，则称函数()f x 在区间(),a b 上为“凸函数”．已知()5421122012f x x mx x =--在()1,2上为“凸函数”则实数m 的取值范围的一个必要不充分条件为（ ） A ．1m >- B ．m 1≥ C ．1m D ．0m >【答案】AD 【解析】 【分析】先求出函数()f x 的二阶导函数，由“凸函数”的定义可得()0f x ''<在()1,2上成立，整理不等式，可将问题转化为2max 4m x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭在()1,2上成立，再构造函数()24g x x x=-，利用导函数判断()g x 在()1,2x ∈的取值范围，即可得到充要条件，进而根据必要不充分条件与充要条件的关系得到答案. 【详解】 由题，()4311443f x x mx x '=--，()324f x x mx ''=--， 若()f x 在()1,2上为“凸函数”，则()3240f x x mx ''=--<在()1,2上成立，即2max 4m x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，()1,2x ∈，令()24g x x x =-，()1,2x ∈，则()381g x x '=+>0，所以()g x 在()1,2上单调递增， 所以()()21g x g <=， 所以m 1≥，为充要条件，由选项可知，必要不充分条件可以是：1m >-或0m >， 故选：AD. 三、填空题13．（2021·全国·高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数():f x _______．①()()()1212f x x f x f x =；②当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>；③()'f x 是奇函数．【答案】()4f x x =（答案不唯一，()()2*n x N f n x =∈均满足）【解析】 【分析】根据幂函数的性质可得所求的()f x . 【详解】取()4f x x =，则()()()()44421121122x f x f x x x x f x x ===，满足①， ()34f x x '=，0x >时有()0f x '>，满足②， ()34f x x '=的定义域为R ，又()()34f x x f x ''-=-=-，故()f x '是奇函数，满足③.故答案为：()4f x x =（答案不唯一，()()2*n x N f n x =∈均满足）14．（2020·全国·高考真题（文））设函数e ()xf x x a=+．若(1)4e f '=，则a =_________．【答案】1 【解析】 【分析】由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a 的方程，解方程即可确定实数a 的值 【详解】由函数的解析式可得：()()()()()221x xx e x a e e x a f x x a x a +-+-'==++，则：()()()()12211111e a aef a a ⨯+-'==++，据此可得：()241aee a =+，整理可得：2210a a -+=，解得：1a =. 故答案为：1. 【点睛】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等题. 15．（2022·全国·高考真题）若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________． 【答案】()(),40,∞∞--⋃+ 【解析】 【分析】设出切点横坐标0x ，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于0x 的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得a 的取值范围. 【详解】∵()e x y x a =+，∴(1)e x y x a '=++，设切点为()00,x y ,则()000e x y x a =+,切线斜率()001e x k x a =++, 切线方程为：()()()00000e 1e x xy x a x a x x -+=++-, ∵切线过原点，∴()()()00000e 1e x xx a x a x -+=++-,整理得：2000x ax a +-=,∵切线有两条，∴240a a ∆=+>,解得4a 或0a >,∴a 的取值范围是()(),40,-∞-+∞,故答案为：()(),40,-∞-+∞16．（2014·安徽·高考真题（文））若直线与曲线满足下列两个条件： 直线在点处与曲线相切；曲线在附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线.下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号) ①直线在点处“切过”曲线：3y x = ②直线在点处“切过”曲线：③直线在点处“切过”曲线： ④直线在点处“切过”曲线： ⑤直线在点处“切过”曲线：【答案】①③④【解析】 【详解】试题分析：由题意，①3y x =上在处的切线方程为0x =，曲线在附近位于切线的两侧，满足条件；②上在()1,0P -处的切线方程为0x =，曲线在附近位于切线的同侧，不满足条件；③上在处的切线方程为y x =，曲线在附近位于切线的两侧，满足条件；④上在处的切线方程为y x =，曲线在附近位于切线的两侧，满足条件；⑤上在1,0P 处的切线方程为1y x =-，曲线在附近位于切线的同侧，不满足条件.故选①③④.如下图：考点：1.函数的切线方程；2.对定义的理解.。

专题26：函数的单调性和导数精讲温故知新函数的单调性：设函数()y f x =在某个区间内可导，（1）'()0f x >⇒()f x 该区间内为增函数； （2）'()0f x <⇒()f x 该区间内为减函数；注意：当'()f x 在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，()f x 在这个区间上仍是递增（或递减）的。

（3）()f x 在该区间内单调递增⇒'()0f x ≥在该区间内恒成立； （4）()f x 在该区间内单调递减⇒'()0f x ≤在该区间内恒成立； 1、利用导数证明（或判断）函数f (x)在某一区间上单调性：步骤： （1）求导数 )(x f y '='(2)判断导函数)(x f y '='在区间上的符号 (3)下结论①'()0f x >⇒()f x 该区间内为增函数； ②'()0f x <⇒()f x 该区间内为减函数；2、利用导数求单调区间求函数)(x f y =单调区间的步骤为：（1）分析 )(x f y =的定义域； （2）求导数 )(x f y '=' （3）解不等式0)(>'x f ，解集在定义域内的部分为增区间 （4）解不等式0)(<'x f ，解集在定义域内的部分为减区间 3、利用单调性求参数的取值（转化为恒成立问题）思路一.（1）()f x 在该区间内单调递增⇒'()0f x ≥在该区间内恒成立；（2）()f x 在该区间内单调递减⇒'()0f x ≤在该区间内恒成立；思路二.先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或减区间的子集。

题型一：利用导数判断或证明函数的单调性例1：（2021·浙江·高考真题）已知函数21(),()sin 4f x xg x x =+=，则图象为如图的函数可能是（ ）A ．1()()4y f x g x =+-B ．1()()4y f x g x =--C ．()()y f x g x =D ．()()g x y f x =【答案】D 【解析】【分析】由函数的奇偶性可排除A 、B ，结合导数判断函数的单调性可判断C ，即可得解. 【详解】对于A ，()()21sin 4y f x g x x x =+-=+，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A ； 对于B ，()()21sin 4y f x g x x x =--=-，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B ； 对于C ，()()21sin 4y f x g x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，则212sin cos 4y x x x x ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭，当4x π=时，2102164y ππ⎛⎫'=++> ⎪⎝⎭，与图象不符，排除C. 故选：D. 举一反三（2022·河北邯郸·二模）已知函数()1ln f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且23a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，45b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，c f=，则（ ）. A ．a b c >> B ．c a b >> C ．a c b >> D ．c b a >>【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的性质判断函数的单调性，结合函数的单调性进行判断即可. 【详解】由()()22111ln ln (1)(1)f x x x f x x x x x ⎛⎫'=-⇒=++- ⎪⎝⎭，当(0,1)x ∈时，()0,()f x f x '<单调递减，因为12ff ==，所以c f =， 因为240135<<<<，所以24()()35f f f >>，故c a b >>，故选：B 【点睛】关键点睛：得到ff =是解题的关键.题型二：利用导数求函数的单调区间例2：（2021·全国·高考真题）已知函数()()1ln f x x x =-. （1）讨论()f x 的单调性；【详解】(1)()f x 的定义域为()0,∞+．由()()1ln f x x x =-得，()ln f x x '=-，当1x =时，()0f x '=；当()0,1x ∈时()0f x >′；当()1,x ∈+∞时，()'0f x <． 故()f x 在区间(]0,1内为增函数，在区间[)1,+∞内为减函数， 举一反三（2022·湖北·模拟预测）已知定义域为R 的函数()f x ，有()()f x f x -=且0x ≥，()e e sin 2x x f x x -=--，则()π4f x f ⎛⎫> ⎪⎝⎭的解集为___________． 【答案】ππ,,44∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】 【分析】利用导数结合基本不等式0x ≥时()'0f x ≥，则()f x 在[)0,∞+为增函数，结合偶函数理解得π4x >． 【详解】0x ≥，()()e e 2cos 2e e 2cos 21cos 0x x x x f x x x x --=+-≥⨯-=-≥' ()f x 在[)0,∞+为增函数，又()f x 为偶函数，∴()π4f x f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则π4x >，得π4x <-或π4x >，解集为ππ,,44∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：ππ,,44∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．题型三：由函数的单调区间求参数例3：（2014·全国·高考真题（文））若函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞上单调递增，则实数k 的取值范围是A ．(],2-∞-B ．(],1-∞-C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞【答案】D 【解析】 【详解】 试题分析：，∵函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞单调递增，∴在区间()1,+∞上恒成立．∴，而在区间()1,+∞上单调递减，∴．∴的取值范围是[)1,+∞．故选D ．考点：利用导数研究函数的单调性. 举一反三1.（2014·全国·高考真题（理））若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ内是减函数，则实数a 的取值范围是_______. 【答案】2a ≤ 【解析】 【详解】试题分析：()()2sin 2cos 4sin cos cos cos 4sin .,62f x x a x x x a x x x a x ππ⎛⎫=-+=-+=-+∈ ⎪⎝'⎭时，()f x 是减函数，又cos 0x >，∴由()0f x '≤得4sin 0,4sin x a a x -+≤∴≤在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，()min 4sin ,,262a x x a ππ⎛⎫⎛⎫∴≤∈∴≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．考点：1.三角函数的单调性；2.导数的应用．2.（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（理））已知函数()sin 2cos f x a x x =+在ππ,34x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上单调递增，则a 的取值范围为（ ） A ．0a ≥ B ．22a -≤≤ C ．2a ≥- D ．0a ≥或2a ≤-【答案】C 【解析】 【分析】根据函数单调递增转化为导数不小于0恒成立，分离参数求解即可.【详解】 因为函数()sin 2cos f x a x x =+在ππ,34x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()cos 2sin 0f x a x x '=-≥在ππ,34x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上恒成立，即2tan a x ≥在ππ,34x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上恒成立，由2tan y x =在π(,0)2-上单调递增知，max π2tan()24y =-=-，所以2a ≥-， 故选：C题型四：由函数的单调性求参数例4：（2022·江西宜春·模拟预测（文））已知函数()()1e xf x x mx =--在区间[]2,4上存在单调减区间，则实数m 的取值范围为（ ）A ．()22e ,+∞B ．(),e -∞C ．()20,2eD ．()0,e【答案】A 【解析】 【分析】由题意转化为存在[]2,4x ∈，使得()0f x '<，即存在[]2,4x ∈，使得e x m x >，利用导数求()e x g x x =在[]2,4x ∈上的最小值即可.【详解】因为()()1e x f x x mx =--，所以()e xf x x m '=-，因为()f x 在区间[]2,4上存在单调递减区间，所以存在[]2,4x ∈，使得()0f x '<，即e x m x >，令()e xg x x =，[]2,4x ∈，则()()1e 0x g x x '=+>恒成立， 所以()e xg x x =在[]2,4上单调递增，所以()()2min 22e g x g ==，所以22e m >. 故选：A 举一反三（2019·北京·高考真题（理））设函数f （x ）=e x +a e −x （a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________． 【答案】 -1; (],0-∞. 【解析】 【分析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用导函数的解析式可得a 的取值范围. 【详解】若函数()x x f x e ae -=+为奇函数,则()()(),x x x xf x f x e ae e ae ---=-+=-+，()()1 0x x a e e -++=对任意的x 恒成立.若函数()x x f x e ae -=+是R 上的增函数,则()' 0x xf x e ae -=-≥恒成立,2,0x a e a ≤≤.即实数a 的取值范围是(],0-∞ 【点睛】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中,需利用转化与化归思想,转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查. 题型五：函数与导数图像之间的关系例5：（2017·浙江·高考真题）函数y ()y ()f x f x ==，的导函数的图象如图所示，则函数y ()f x =的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】 【详解】原函数先减再增，再减再增，且0x =位于增区间内，因此选D ．【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x 轴的交点为0x ，且图象在0x 两侧附近连续分布于x 轴上下方，则0x 为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数'()f x 的正负，得出原函数()f x 的单调区间． 举一反三（2022·全国·哈师大附中模拟预测（理））已知()21cos 4f x x x =+，()f x '为()f x 的导函数，则()y f x '=的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】对函数()f x 求导得()1sin 2f x x x '=-，易知()f x '为奇函数，排除A 、D 选项； 又对()f x '求导，易得()f x '在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭是递减，即可求解. 【详解】 1()sin 2f x x x '=-，()'f x 为奇函数，则函数()f x '的图像关于原点对称，排除选项A 、D ，令()()g x f x '=，1()cos 2g x x '=-，当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0g x '<，()g x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭递减，故选B ．题型六：含参分类讨论函数单调区间例6：（2021·全国·高考真题）已知函数2()(1)x f x x e ax b =--+． （1）讨论()f x 的单调性；【详解】(1)由函数的解析式可得：()()'2xf x x e a =-，当0a ≤时，若(),0x ∈-∞，则()()'0,f x f x <单调递减， 若()0,x ∈+∞，则()()'0,f x f x >单调递增；当102a <<时，若()(),ln 2x a ∈-∞，则()()'0,f x f x >单调递增， 若()()ln 2,0x a ∈，则()()'0,f x f x <单调递减，若()0,x ∈+∞，则()()'0,f x f x >单调递增； 当12a =时，()()'0,f x f x ≥在R 上单调递增； 当12a >时，若(),0x ∈-∞，则()()'0,f x f x >单调递增， 若()()0,ln 2x a ∈，则()()'0,f x f x <单调递减， 若()()ln 2,x a ∈+∞，则()()'0,f x f x >单调递增； 举一反三（2022·湖北·模拟预测）已知()()1ln af x a x x x=-++(1)若0a <，讨论函数()f x 的单调性； (1)()f x 定义域为()0,∞+()()()()()222211111x a x a x a x a f x a x x x x +--+-'=-+-==ⅰ）01a <-<即10a -<<时， ()01f x a x '<⇒-<<，()00f x x a '>⇒<<-或1x >ⅱ）1a -=即1a =-时，()0,x ∈+∞，()0f x '≥恒成立ⅲ）1a ->即1a <-，()01f x x a '<⇒<<-，()001f x x '>⇒<<或x a >- 综上：10a -<<时，(),1x a ∈-，()f x 单调递减；()0,a -、()1,+∞，()f x 单调递增 1a =-时，()0,x ∈+∞，()f x 单调递增1a <-时，()1,x a ∈-，()f x 单调递减；()0,1、(),a -+∞，()f x 单调递增精练巩固提升一、单选题1．（2012·辽宁·高考真题（文））函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为 A ．（-1,1] B ．（0,1]C ．[1，+∞）D ．（0，+∞）【答案】B 【解析】 【详解】对函数21ln 2y x x =-求导，得211x y x x x='-=-（x>0）,令210{0x x x -≤>解得(0,1]x ∈，因此函数21ln 2y x x =-的单调减区间为(0,1]，故选B 考点定位：本小题考查导数问题，意在考查考生利用导数求函数单调区间，注意函数本身隐含的定义域2．（2022·陕西·汉台中学模拟预测（文））设函数()f x 在定义域内可导，()f x 的图象如图所示，则其导函数()'f x 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】根据函数的单调性与导函数的关系判断即可； 【详解】解：由()f x 的图象可知，当(),0x ∈-∞时函数单调递增，则()0f x '≥，故排除C 、D ； 当()0,x ∈+∞时()f x 先递减、再递增最后递减，所以所对应的导数值应该先小于0，再大于0，最后小于0，故排除B ； 故选：A3．（2022·甘肃酒泉·模拟预测（文））函数()()22x x f x x -=-，则（ ）A ．()f x 为偶函数，且在()0,∞+上单调递增B ．()f x 为偶函数，且在()0,∞+上单调递减C ．()f x 为奇函数，且在R 上单调递增D ．()f x 为奇函数，且在R 上单调递减 【答案】A 【解析】 【分析】先用定义法判断函数的奇偶性，再求导得到函数的单调性，进而选出答案.【详解】函数()()22x xf x x -=-定义域为R ，且()()()()()2222x x x xf x x x f x ---=--=-=，所以()f x 为偶函数，故排除选项C ，D ；又当0x >时，()()()2ln 22ln 2220x x x xf x x --+'=+->，则()f x 在()0,∞+上单调递增，故选项A 正确，选项B 错误， 故选：A ．4．（2013·全国·高考真题（理））若函数21()f x x ax x =++在1(,)2+∞是增函数，则a 的取值范围是 A ．[1,0]- B ．[1,)-+∞ C ．[0,3] D ．[3,)+∞【答案】D 【解析】【详解】试题分析：由条件知()2120f x x a x -'=+≥在1,+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭上恒成立，即212a x x ≥-在1,+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭上恒成立． ∵函数212y x x =-在1,+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭上为减函数，∴max21123212y <-⨯=⎛⎫⎪⎝⎭, ∴．故选D ．考点：函数的单调性与导数的关系．5．（2015·陕西·高考真题（文））设()sin f x x x =-，则()f x = A ．既是奇函数又是减函数 B ．既是奇函数又是增函数 C ．是有零点的减函数 D ．是没有零点的奇函数【答案】B 【解析】 【详解】 试题分析：函数的定义域为，关于原点对称，，因此函数是奇函数，不恒等于0，函数是增函数，故答案为B ．考点：函数的奇偶性和单调性．6．（2022·河南安阳·模拟预测（文））“0x >”是“2cos 10+->x x ”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】令()2cos 1f x x x =+-，利用导数说明函数的单调性，即可得到当0x >时()0f x >，即可判断；【详解】解：令()2cos 1f x x x =+-，则()2sin 0f x x '=->，所以()f x 在R 上单调递增， 又()00f =，所以当0x >时()0f x >，即2cos 10+->x x ， 故“0x >”是“2cos 10+->x x ”的充分必要条件； 故选：A7．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（文））已知函数()3ln 2f x x x =--，则不等式()()2325f x f x ->-的解集为（ ）A ．()4,2-B ．()2,2-C ．()(),22,∞∞--⋃+D ．()(),42,-∞-+∞【答案】D 【解析】 【分析】利用导数判断函数的单调性，根据单调性解不等式即可得解. 【详解】()f x 的定义域为(,)-∞+∞，因为2()ln 23f x x '=--0<，所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，所以不等式()()2325f x f x ->-等价于2325x x -<-，解得4x <-或2x >， 所以不等式()()2325f x f x ->-的解集为()(),42,-∞-+∞.故选：D8．（2022·全国·高考真题（理））已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则（ ） A ．c b a >> B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >>【答案】A 【解析】 【分析】 由14tan 4c b =结合三角函数的性质可得c b >；构造函数21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞，利用导数可得b a >，即可得解.【详解】 因为14tan 4c b =,因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭所以11tan44>,即1cb >,所以c b >；设21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞， ()sin 0f x x x '=-+>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，则1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,所以131cos 0432->， 所以b a >,所以c b a >>， 故选：A 二、多选题9．（2022·山东·泰安市基础教育教学研究室模拟预测）定义在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的函数()f x ，()'f x 是()f x 的导函数，且()'tan ()f x x f x <-⋅恒成立，则（ ）A ．64f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 63f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．63f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 64ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】CD 【解析】 【分析】构造函数()()cos f x F x x=，结合已知条件判断()F x 的单调性，由此确定正确答案.【详解】 依题意02x π<<，由()'tan ()f x x f x <-⋅，得()()()''sin (),sin cos 0cos xf x f x x f x x f x x<-⋅⋅+⋅<. 构造函数()()0cos 2f x F x x x π⎛⎫=<< ⎪⎝⎭， ()()()''2cos sin 0cos x f x x f x F x x⋅+⋅=<， 所以()F x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减.643F F F πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，643cos cos cos643f f f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭>>，3f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫>> ⎪⎝⎭，所以63f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭64ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：CD10．（2022·海南·模拟预测）已知函数2()||sin f x x x =+，设12,x x ∈R ，则()()12f x f x >成立的一个充分条件是（ ） A ．12x x >B ．120x x +>C ．2212x x >D ．121x x >【答案】CD 【解析】 【分析】根据函数的单调性和奇偶性可知函数()f x 为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，结合()()12f x f x >可得2212x x >，举例说明即可判断选项A 、B ，将选项C 、D 变形即可判断. 【详解】函数()f x 的定义域为R ，则函数22()sin )sin =()(f x x x x x f x -=-+=+-，所以函数()f x 是偶函数， 当0x >时，2()sin f x x x =+，2()12sin cos (sin cos )0f x x x x x '=+=+，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以()f x 在(,0)-∞上单调递减.若()()12f x f x >，则12x x >，即2212x x >.A ：若1212x x ==-，，满足12x x >，但(1)(2)(2)f f f <-=，故A 错误；B ：若1245x x ==，，满足120x x +>，但(4)(5)f f <，故B 错误；C ：由()()12f x f x >可得12x x >，即2212x x >，故C 正确；D ：由222111222211x x x x x x >⇒>⇒>，故D 正确.故选：CD 三、填空题11．（2022·全国·模拟预测（文））已知函数()x xf x e e e -=--（e 为自然对数的底数），则关于x 的不等式()()12f x f x +>-的解集为______. 【答案】1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】由题得函数()f x 为R 上的增函数，再利用函数的单调性解不等式即得解. 【详解】所以()+0x xf x e e -'=>所以函数()f x 为R 上的增函数， 12x x ∴+>-，13x ∴>-.所以不等式的解集为1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.故答案为：1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12．（2022·湖北·黄冈中学二模）函数()f x 的图象如图所示，记1()A f x '=、2()B f x '=、3()C f x '=，则A 、B 、C 最大的是________.【答案】A【解析】 【分析】根据导数的几何意义结合()f x 的图象分析判断即可 【详解】根据导数的几何意义，()1f x '、()2f x '、()3f x '分别为123,,x x x 处的切线斜率，又1x 与3x 处的切线单调递增，2x 处的切线单调递减，且1x 处的切线比3x 处的切线更陡峭， ∴()()()2310f x f x f x '''<<<， 故最大为()1f x '. 故答案为：A13．（2022·山西运城·模拟预测（理））若命题3:[1,1],2p x x a x ∀∈-≥-为假命题，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】(3,)-+∞ 【解析】 【分析】写出0:[1,1]p x ⌝∃∈-，3002x a x <-为真命题，参变分离后求解函数最小值，求出实数a 的取值范围. 【详解】由题得0:[1,1]p x ⌝∃∈-，3002x a x <-为真命题，所以当0[1,1]x ∈-时，3002a x x >+有解，令3()2,[1,1]f x x x x =+∈-，2()320f x x '=+>，所以()f x 在区间[1,1]-上单调递增， 所以min ()(1)3f x f =-=-，所以只需3a >-，即实数a 的取值范围是(3,)-+∞. 故答案为：(3,)-+∞14．（2022·江西萍乡·二模（文））已知函数()f x 是R 上的奇函数，且()33f x x x =+，若非零正实数,m n 满足()()20f m mn f n -+=，则11m n+的小值是_______． 【答案】2 【解析】 【分析】由函数()f x 为奇函数，得到()2()f m mn f n -=-，结合函数的单调性，得到2m mn n -=-，得到111111()()(2)22n mm n m n m n m n+=⋅++=⋅++，利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为函数()f x 为奇函数，可得()()f x f x -=-，由()()20f m mn f n -+=，可得()()2()f m mn f n f n -=-=-，又因为()33f x x x =+，可得()2330f x x '=+>，所以函数()f x 为单调递增函数，所以2m mn n -=-，即2m n mn +=，即112m n+=，则1111111()()(2)(22222n m m n m n m n m n +=⋅++=⋅++≥⋅+=， 当且仅当n mm n=，即1m n ==时，等号成立，所以11m n+的小值是2. 故答案为：2 四、解答题15．（2022·北京工业大学附属中学三模）已知函数()ln R kf x x k k x=--∈， (1)讨论函数()f x 在区间(1,e)内的单调性； 【解析】 (1)()ln kf x x k k R x=--∈，，(1,e)x ∈221()k x k f x x x x +'∴=--=-（Ⅰ）当1k -≤，即1k ≥-时，10x k x +≥-> ()0f x '∴< ，()f x ∴在(1,e)单调递减（Ⅱ）当e k -≥，即e k ≤-时，e 0x k x +≤-<()0f x '∴> ，()f x ∴在(1,e)单调递增（Ⅲ）当1e k <-<，即e 1k -<<时，当1x k <<-时，()0f x '> ，()f x 单调递增；当e k x -<<时，()0f x '<，()f x 单调递减综上所述，（Ⅰ）当1k ≥-时，()f x 在(1,e)单调递减 （Ⅱ）当e k ≤-时，()f x 在(1,e)单调递增（Ⅲ）当e 1k -<<-时，()f x 在(1,)k -单调递增，在(,e)k -单调递减16．（2021·黑龙江·模拟预测（文））函数()321f x x x x =+-+，直线l 是()y f x =在()()0,0f 处的切线.(1)确定()f x 的单调性；(2)求直线l 的方程及直线l 与()y f x =的图象的交点.【答案】(1)()f x 在(,1)-∞-和1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，在11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递减(2)1y x =-+，交点坐标为()0,1、()1,2- 【解析】 【分析】（1）求出导函数，分别解()0f x '>和()0f x '<即可求出结果；（2）结合导数的几何意义即可求出切线的方程，然后与函数方程联立即可求出交点坐标. (1)（1）()(31)(1)f x x x '=-+令()01f x x '>⇒<-或13x >，()1013f x x '<⇒-<<，所以()f x 在(,1)-∞-和1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，在11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递减.(2)因为()321f x x x x =+-+，则()32000011f =+-+=， 而()2321f x x x '=+-，则()20302011k f '==⨯+⨯-=-，所以10y x ，即10x y +-=，所以直线l 的方程为10x y +-=.联立32101x y y x x x +-=⎧⎨=+-+⎩得01x y =⎧⎨=⎩或12x y =-⎧⎨=⎩， 故直线l 与()y f x =的图象的交点坐标为()0,1、()1,2-.。

导数考点精讲1．导数的概念一般地，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000.()()limlim x x f x x f x yx x ∆→∆→+∆−∆=∆∆，称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0x x y ='，即00000.()()()limlim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆−∆'==∆∆．2．导函数从求函数()f x 在0x x =处导数的过程可以看出，当0x x =时，0()f x '是一个确定的数．这样，当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数（简称导数）．()y f x =的导函数有时也记作y '，即0()()()lim x f x x f x f x y x∆→+∆−''==∆．3．基本初等函数的导数公式（1）若()f x c =（c 为常数），则()0f x '=；（2）若*()()f x x αα=∈Q ，则1()f x x αα−'=； （3）若()sin f x x =，则()cos f x x '=； （4）若()cos f x x =，则()sin f x x '=−；（5）若()x f x a =，则()ln x f x a a '=； （6）若()e x f x =，则()e x f x '=； （7）若()log a f x x =，则1()ln f x x a'=； （8）若()ln f x x =，则1()f x x'=．4．导数运算法则（1）[()()]()()f x g x f x g x '''±=±．（2）[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+．（3）2()()()()()(()0)()[()]f x f x g x f x g x g x g x g x '''⎡⎤−=≠⎢⎥⎣⎦． 5．复合函数的导数一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u y ，可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作(())y f g x =．复合函数(())y f g x =的导数和函数()()y f u u g x ==，的导数间的关系为xu x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．6．导数的几何意义函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在00(())x f x ，处的切线PT 的斜率k ，即0000.()()lim()x f x x f x k f x x∆→+∆−'==∆．7. 求在某点处的切线方程（1）求出函数()f x 在0x x =处的导数，即曲线()y f x =在00(())x f x ，处切线的斜率；（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()+'()()y f x f x x x =− 8. 求过某点处的切线方程 （1）设出切点坐标00(())x f x ，；（2）利用切点坐标写出切线方程：000()+'()()y f x f x x x =−；（3）将已知调价代入（2）中的切线方程求解.9．函数单调性的判断一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间()a b ，内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减． 10．求函数单调区间的步骤（1）确定()y f x =的定义域．（2）求导数()f x '，求出()0f x '=的根．（3）函数的无定义点和()0f x '=的根将()f x 的定义域分成若干区间，列表确定这若干区间内()f x '的符号．（4）由()f x '的符号确定()f x 的单调区间．11．在区间单调与存在单调区间问题(1)若函数f (x )在(a ，b )上单调递增，则x ∈(a ，b )时，f ′(x )≥0恒成立；若函数f (x )在(a ，b )上单调递减，则x ∈(a ，b )时，f ′(x )≤0恒成立．(2)若函数f (x )在(a ，b )上存在单调递增区间，则x ∈(a ，b )时，f ′(x )>0有解；若函数f (x )在(a ，b )上存在单调递减区间，则x ∈(a ，b )时，f ′(x )<0有解． 12．极值的相关概念如图，函数()y f x =在点x a =的函数值()f a 比它在点x a =附近其他点的函数值都小，()0f a '=；而且在点x a =附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>．类似地，函数()y f x =在点x b =的函数值()f b 比它在点x b =附近其他点的函数值都大，()0f b '=；而且在点x b =附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<．我们把点a 叫做函数()y f x =的极小值点，()f a 叫做函数()y f x =的极小值；点b 叫做函数()y f x =的极大值点，()f b 叫做函数()y f x =的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 13．最大值和最小值的存在性一般地，如果在区间[]a b ，上函数()y f x =的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． 14．求函数()y f x =在[]a b ，上的最大（小）值的步骤（1）求函数()y f x =在()a b ，内的极值．（2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()()f a f b ，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．。

高考构造函数十三种题型精讲精练目录一、十三种题型精讲【题型一】利用x n f（x）构造型【题型二】利用f（x）/x n构造型【题型三】利用e nx f（x）构造型【题型四】用f（x）/e nx构造型【题型五】利用sin x与f（x）构造型【题型六】利用cos x与f（x）构造型【题型七】复杂型：e n与af（x）+bg(x)等构造型【题型八】复杂型：（kx+b）与f（x）型【题型九】复杂型：与ln（kx+b）结合型【题型十】复杂型：基础型添加因式型【题型十一】复杂型：二次构造【题型十二】综合构造【题型十三】技巧计算型构造二、最新模拟试题精练【题型一】利用x n f （x ）构造型【典例分析】函数()f x 是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为A. B.C.D.【详解】设，则，由已知当时，，是增函数，不等式等价于，所以020165x <+<，解得.方法技巧：本题考查导数的综合应用，解题关键是构造新函数，从而可以利用已知的不等式关系判断其导数的正负，以确定新函数的单调性，在构造新函数时，下列构造经常用：，，()()x g x e f x =，，构造新函数时可结合所要求的问题确定新函数的形式.【提分秘籍】基本规律1.x ()+()0 0g x =x f x f x f x '>< 对于（），构造（）（），2.k x ()k ()0 0g x =x f x f x f x '+>< 对于（），构造（）（）【变式演练】1.已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是A.B.C.D.【分析】构造函数，利用已知条件确定的正负，从而得其单调性.【详解】设，则，∵，即，∴当时，，当时，，递增.又()f x 是奇函数，∴是偶函数，∴，，∵，∴，即.故选C.2.已知()f x的定义域为，为()f x 的导函数，且满足，则不等式的解集是（）A. B. C.D.【分析】根据题意，构造函数，结合函数的单调性解不等式，即可求解.【详解】根据题意，构造函数，，则，所以函数的图象在上单调递减.又因为，所以，所以，解得或（舍）.所以不等式的解集是.故选：B.3.设函数()f x在R 上可导，其导函数为，且.则下列不等式在R 上恒成立的是（）A.()0f x ≥ B.()0f x ≤ C.D.【分析】根据给定不等式构造函数，利用导数探讨的性质即可判断作答.【详解】依题意，令函数，则，因，于是得时，时，从而有在上单调递减，在上单调递增，因此得：，而，即f (x )不恒为0，所以()0f x ≥恒成立.故选：A【题型二】利用f （x ）/x n 构造型【典例分析】函数在定义域内恒满足：①，②，其中为的导函数，则A.B.C.D.【详解】令，，，∵，，∴，，∴函数在上单调递增，∴，即，，令，，，∵，，，∴函数在上单调递减，∴，即，，故选D.【提分秘籍】基本规律1.()-()0 0f x x f x f x g x x '><= （）对于（），构造（），2.()-()0 0k f x x f x kf x g x x '><= （）对于（），构造（）【变式演练】1.已知定义在上的偶函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是（）A. B.C.D.【分析】根据题目中信息其导函数为，若可知，需构造函数，利用导函数判断函数的单调性，利用函数的单调性、奇偶性来解题，当时，即，，当时，即，.【详解】构造函数，，当时，，故，在上单调递增，又为偶函数，21y x =为偶函数，所以为偶函数，在单调递减.，则(3)1f =，；，当时，即，，所以；当时，即，，所以.综上所述，.故选：A2.已知定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【分析】由，可得，令，对其求导可得，可得函数在上单调递增，可得，可得原不等式的解集.【详解】因为，所以，即.令，则，所以函数在上单调递增.又因为，不等式，可变形为，即，所以，即不等式的解集为.故选：C.【题型三】利用e nx f （x ）构造型【典例分析】已知函数在上可导，其导函数为，若满足：当时，>0，，则下列判断一定正确的是A.B.C.D.【分析】构造函数，结合导函数，判定的单调性，得对称轴，对选项判断即可.【详解】构造函数，计算导函数得到=，由>0，得当，>0当时，<0.所以在单调递增，在单调递减，而，所以关于对称，故，得到，故选：D.【提分秘籍】基本规律1.()()0 0x f x f x g x e f x '+><= 对于（），构造（）（），2.()()0 0kx f x kf x g x e f x '+><= 对于（），构造（）（）【变式演练】1.已知是上可导的图象不间断的偶函数，导函数为，且当时，满足，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【分析】构造函数，根据，结合题意可知函数是偶函数，且在上是增函数，由此根据结论，构造出的不等式即可.【详解】由题意：不等式可化为：，两边同乘以得：，令，易知该函数为偶函数，因为，，所以所以在上是单调增函数，又因为为偶函数，故，解得：.故选：B.2.设函数()f x的定义域为，是其导函数，若，，则不等式的解集是（）A.B.C.D.【分析】构造函数，通过求导判断函数的单调性，利用函数的单调性解不等式即可.【详解】令，则，因为，所以，化简可得，即，所以函数在上单调递增，因为，化简得，因为，，所以，解得，所以不等式的解集是.故选：A3.已知定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【分析】由，可得，令，对其求导可得，可得函数在上单调递增，可得，可得原不等式的解集.【详解】因为，所以，即.令，则，所以函数在上单调递增.又因为，不等式，可变形为，即，所以，即不等式的解集为.故选：C.【题型四】用f（x）/e nx构造型【典例分析】已知函数是定义在上的可导函数，且对于，均有，则有A.B.C.D.【分析】通过构造函数，研究函数的单调性进而判断出大小关系.【详解】因为.所以<0，即构造函数，所以，即在R 上为单调递减函数所以，化简得.同理，化简得所以选D【提分秘籍】基本规律1.()-()0 0x f x f x f x g x e '><=（）对于（），构造（），2.()-()0 0kx f x f x kf x g x e '><=（）对于（），构造（）【变式演练】1.已知是定义在上的偶函数，当时，（其中为的导函数），若，则的解集为（）A.B.C.D.【分析】由，结合已知条件有偶函数在上单调减，上单调增，再由即可求解集.【详解】由，而知：在上单调减，而，即，又知：，∴在上有，又是定义在上的偶函数，则在上为偶函数，∴在上单调增，即，可得，综上，有，故选：A2.已知函数是定义在上的可导函数，且对于，均有，则有A.B.C.D.【分析】通过构造函数，研究函数的单调性进而判断出大小关系.【详解】因为.所以<0，即构造函数，所以，即在R 上为单调递减函数所以，化简得.同理，化简得所以选D3.已知定义在上的可导函数()f x满足：，则与的大小关系是A.B.C.D.不确定【详解】令()()x g x e f x =，则，所以函数在上单调递减.因为，所以，选A.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造()()x g x e f x =，构造，构造等【分析】构造函数，由已知可得出在上为增函数，再根据函数的奇偶性的定义得出为偶函数，由此逐一判断选项可得答案.【详解】构造函数，由在上恒有，，在上为增函数，又由，为偶函数，，，，，故A 错误.偶函数在上为增函数，在上为减函数，，，，，故B 正确；，，，，故C 错误；，，，，故D 错误.故选：B.2.已知偶函数()f x是定义在上的可导函数，当时，，若，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【分析】构造函数，可得是偶函数，求导可得出在上单调递增，在(0,1]上单调递减，由可得，列出不等式即可求解.【详解】令，，则当时，，所以函数是定义在上的偶函数.当时，，所以函数在上单调递增，在(0,1]上单调递减.又，，所以由，可得，即，所以，所以，解得，所以实数的取值范围为，故选：C.3.设是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【分析】令，易得是定义在上的偶函数，因为，可知在上单调递减，在上单调递增，从而可以根据函数的单调性，确定不等式的解.【详解】令，∵是定义在上的奇函数，∴是定义在上的偶函数.当时，，由，得，∴，则在上单调递减.将化为，即，则.又是定义在上的偶函数.∴在上单调递增，且.当时，，将化为，即，则.综上，所求不等式的解集为.故选：B【题型六】利用cos x与f（x）构造型【典例分析】已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于x的不等式的解集为（）A. B. C. D.【分析】令，根据题设条件，求得，得到函数在内的单调递减函数，再把不等式化为，结合单调性和定义域，即可求解.【详解】由题意，函数满足，令，则函数是定义域内的单调递减函数，由于，关于的不等式可化为，即，所以且，解得，不等式的解集为.故选：B【提分秘籍】基本规律1.cos ()-sin ()0 0cos x f x x f x g x f x x '><= 对于（），构造（）（），2.cos ()sin ()0 0cos f x x f x x f x g x x'+><= （）对于（），构造（）3.对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型【变式演练】1.已知偶函数()f x 的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于x 的不等式的解集为（）A. B.C.D.【分析】由题意，设，利用导数求得在上单调递减，且为偶函数，再把不等式，转化为，结合单调性，即可求解.【详解】由题意，设，则，当时，因为，则有，所以在上单调递减，又因为()f x 在上是偶函数，可得，所以是偶函数，由，可得，即，即又由为偶函数，且在上为减函数，且定义域为，则有，解得或，即不等式的解集为，故选：B.2.已知函数()f x的定义域为，其导函数为.若，且，则下列结论正确的是A.()f x 是增函数B.()f x 是减函数C.()f x 有极大值D.()f x 有极小值【分析】对化简可得，即为，设函数，研究函数的性质，从而得到的单调性与极值，从而得到答案.【详解】设函数因为化简可得，即为，故，因为所以恒成立，所以在上单调递增，又因为，所以，所以当时，，当时，，，当时，，，，，故恒成立；当时，，，，，故恒成立；所以在上恒成立，故在上单调递增，故函数没有极值，不可能单调递减.所以选A.【题型七】复杂型：e n与af（x）+bg(x)等构造型【典例分析】设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（）A. B.-∞， D.C.()0【分析】根据条件构造函数，分析的单调性并计算的值，将转化为，由此求解出不等式的解集.【详解】设，所以，因为，所以，所以在上单调递减，且，又因为等价于，所以解集为，故选：C.【提分秘籍】基本规律()()()-() 0x g x e f x k f x f x k =-⎡⎤⎣⎦'><对于（），构造【变式演练】1.函数()f x是定义在上的可导函数，为其导函数，若且，则不等式的解集为__________.【分析】构造函数，由题知得到在的最小值为0，得到在单增，在上，等价于，利用单调性可解.【详解】构造函数，在上，等价于，，，得，在上单增，在上单减，在上，恒成立，又，则又在上，等价于，即，则不等式的解集为故答案为：2.函数()f x是定义在上的可导函数，为其导函数，若，且，则的解集为（）A.B.C.D.【分析】设，则，，故，即，解不等式得到答案.【详解】设，则，，故，故，即，，即，，故.故选：.3.设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为A. B.C. D.【分析】构造函数，则可判断，故是上的增函数，结合即可得出答案.【详解】设，则，∵，，∴，∴是上的增函数，又，∴的解集为，即不等式的解集为.故选A.【题型八】复杂型：（kx+b）与f（x）型【典例分析】已知函数的定义域为，其图象关于点中心对称，其导函数，当时，，则不等式的解集为A. B. C. D.【详解】由题意设，则，当时，，当时，，则在上递增，函数的定义域为，其图象关于点中心对称，函数的图象关于点中心对称，则函数是奇函数，令是上的偶函数，且在递增，由偶函数的性质得：函数在上递减，不等式化为：，即，解得，不等式解集是，故选C.【提分秘籍】基本规律授课时，可以让学生写出y=kx+b与y=f(x)的加、减、乘、除各种【变式演练】1.设函数在上存在导函数，对任意实数，都有，当时，，若，则实数的最小值是（）A. B. C. D.【分析】构造函数，根据等式可得出函数为偶函数，利用导数得知函数在上单调递减，由偶函数的性质得出该函数在上单调递增，由，得出，利用函数的单调性和偶函数的性质解出该不等式即可.【详解】构造函数，对任意实数，都有，则，所以，函数为偶函数，.当时，，则函数在上单调递减，由偶函数的性质得出函数在上单调递增，，即，即，则有，由于函数在上单调递增，，即，解得，因此，实数的最小值为，故选A.2.已知定义域为的函数满足，其中为的导函数，则当时，不等式的解集为（）A. B.C. D.【分析】构造函数，由已知，所以在上单调递增，利用二倍角余弦公式化简变形，有，即，利用单调性即可求解.【详解】令，因为，所以，所以在上单调递增，因为，所以，不等式，即，所以，即，所以，又，所以，故选：D.3.已知是奇函数的导函数，当时，，则不等式的解集为A. B. C. D.【分析】构造函数，可得为奇函数且在上单调递增，根据奇偶性可得在上单调递增，原不等式化为，从而可得结果.【详解】令，当时，，在上单调递增，为奇函数，也是奇函数，且在上单调递增，由化为.得，，的解集为，故选B.【题型九】复杂型：与ln （kx +b ）结合型【典例分析】设函数()f x 是定义在上的连续函数，且在处存在导数，若函数()f x 及其导函数满足，则函数()f xA.既有极大值又有极小值B.有极大值，无极小值C.有极小值，无极大值D.既无极大值也无极小值【分析】本题首先可以根据构造函数，然后利用函数()f x 在处存在导数即可求出的值并求出函数()f x 的解析式，然后通过求导即可判断出函数()f x 的极值.【详解】由题意可知，，即，所以，令，则，因为函数()f x 在处存在导数，所以为定值，，，所以，令，当时，，构建函数，则有，所以函数在上单调递增，当，，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，因为，，所以当时函数必有一解，令这一解为，，则当时，当时，综上所述，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，所以有极小值，无极大值.【提分秘籍】基本规律1.()()l ()ln x 0 xn x f 0x f f g x x x '+><= （）对于（），构造2.授课时，可以让学生写出y =ln （kx +b ）与y =f (x )的加、减、乘、除各种结果【变式演练】1..已知()f x是定义在上的奇函数，是()f x 的导函数，且满足：则不等式(1)()0x f x -⋅<的解集为（）A.B.C.D.【分析】根据给定含导数的不等式构造函数，由此探求出()f x 在上恒负，在上恒正，再解给定不等式即可.【详解】令，，则，在上单调递减，而，因此，由得，而，则，由得，而，则，又(1)0f <，于是得在上，，而()f x 是上的奇函数，则在上，，由(1)()0x f x -⋅<得：或，即或，解得或，所以不等式(1)()0x f x -⋅<的解集为.故选：D2.设定义在上的函数恒成立，其导函数为，若，则（）A. B.C.D.【分析】由题设构造，易知上，即单调递减，进而可比较、的大小.【详解】由题意，在上的函数恒成立，若，则，∵上，即，∴在上单调递减，而，故∴，可得.故选：B3.已知定义在上的连续奇函数的导函数为，已知，且当时有成立，则使成立的的取值范围是（）A. B.C.D.【分析】根据题意，设，对求导，利用导数与函数单调性的关系分析可得在上单调递减，分析的特殊值，结合函数单调性分析可得在区间和上，都有，结合函数的奇偶性可得在区间和上，都有，进而将不等式变形转化，解得的取值范围，即可得到答案.【详解】令，则，因为当时有成立，所以当时，恒成立，所以在上单调递减，所以当时，，所以，又，所以，当时，()(1)0g x g <=，所以，又，所以，在是连续的函数，且，所以(1)0f <，时，，又由()f x 为奇函数，时，，所以或，解得或，则的取值范围是.故选：B.【题型十】复杂型：基础型添加因式型【典例分析】已知函数()f x 的导函数为，对任意的实数都有，，则不等式的解集是（）A.B.C.D.【分析】由已知条件构造函数，再根据，求，不等式转化为，结合函数的单调性和奇偶性，解抽象不等式.【详解】由题意得，则，由，解得：，故，（2），当时，，，，在上恒成立，即()f x 在上单调递增，又，故()f x 为上的偶函数，其图象关于轴对称，()f x 在上单调递减，故，故，故选：C.【提分秘籍】基本规律在本专题一、二、三、四等基础上，变形或者添加因式，增加复杂度【变式演练】1.定义在上的函数的导函数满足，则下列不等式中，一定成立的是A. B.C.D.【详解】设，则，故函数在上递减，所以，所以，即，故选择A.2.已知定义在上的函数的导函数为，且满足，则关于不等式的解集为（）A.B.C. D.【分析】构造新函数，利用已知不等式可得的单调性，从而可解不等式.【详解】涉及函数定义域为，设，则，∵，∴，∴在上单调递增，不等式可化为，即，所以，，又，得，∴原不等式的解为.故选：A.3.已知函数()f x为上的可导函数，其导函数为，且满足恒成立，，则不等式的解集为A. B. C. D.【分析】由，构造函数，求导，可得在R上单调递减，结合单调性，可求出不等式的解集.【详解】由题意知，，则构造函数，则，所以在R是单调递减.又因为，则.所求不等式可变形为，即，又在R是单调递减，所以，故选A【题型十一】复杂型：二次构造【典例分析】已知是函数()f x的导函数，且对于任意实数都有，，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【分析】本题解题关键在于根据已知构造出合适的函数，，再通过逆用求导公式得到，根据已知条件求得m 的值，从而将抽象不等式转化为一元二次不等式，进而得解.【详解】因为，所以，即，亦即，又，所以，即有.原不等式可等价于，即，解得的取值范围是.故选：A.【提分秘籍】基本规律二次构造：n f x r(x)g x r(x)=x e ,sin ,cos nx x x ⨯÷±（）（），其中，等授课时，可以适当的借助例题，分析这类题的结构特征.【变式演练】1.已知定义域为的函数()f x满足（为函数()f x 的导函数），则不等式的解集为（）A. B.(0,1]C.D.【分析】构造函数，由题意可知在上单调递增，再对分情况讨论，利用函数的单调性即可求出不等式的解集.【详解】由，当时，可得，即，即，构造函数，所以函数递增，则，此时，即满足；当时，可得，由函数递增，则，此时或，即满足；当时，，即满足.综上，.故选：C.2.已知函数的导函数为，且对任意的实数都有(是自然对数的底数)，且，若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【分析】由题意得即求出解析式，利用导数研究其单调性和极值与最值，结合图象即可求解.【详解】即，所以，则，所以，因为，所以，所以，，由得，此时单调递增，由得或，此时单调递减，所以时，取得极大值为，当时，取得极小值，又因为，，，且时，，的解集中恰有两个整数等价于在下方的图象只有2个横坐标为整数的点，结合函数图象可得：则，解得，所以时，的解集中恰有两个整数，故实数的取值范围是故选：C3.已知定义域为的函数的导函数为，且，若，则函数的零点个数为（）A.1B.2C.3D.4【分析】采用构造函数法，同乘得，变形得，即，由此可得表达式，将求出具体解析式，再结合导数研究增减性，画出大致图象，即可求解.【详解】依题意，，故，则，即，故，令，则，解得，故，故；令，则，当时，，当，，故，故当时，，当时，；作出函数的大致图象如图所示；观察可知，与有2个交点，即函数有2个零点，故选：B.【题型十二】综合构造【典例分析】f x的导函数为，且成立，则下列各式一定义在上的连续函数()定成立的是（）A. B.C.()0f π> D.【分析】设，由条件可得，即在上单调递减，且，由此卡判断选项A ，B ，C ，将2x π=代入条件可得，可判断选项D.【详解】由题可得，所以，设则，所以在上单调递减，且由可得，所以，()0f π>，所以选项A ､B 错误，选项C 正确.把2x π=代入，可得，所以选项D 错误，故选：C.【提分秘籍】基本规律结合式子，寻找各种综合构造规律，如，或者f （x ）+r （x ）（r （x ）为常见函数）可以借助本小节授课，培养这类观察和构造的思维【变式演练】1.已知函数的导函数为，对任意的实数都有，，则不等式的解集是（）A.B.C.D.【分析】先求出的解析式，然后再探究其奇偶性和单调性，最后将原不等式转化，进而求出结果.【详解】由可得，即，所以（其中为常数），因此，，由可得，故.显然，是上的偶函数.当时，，所以，在上是增函数.故故选：C.2.定义在上的函数的导函数为，当时，且，.则下列说法一定正确的是（）A. B.C. D.【分析】构造函数，分析出函数为奇函数，利用导数分析出函数在上为增函数，由此可得出该函数在上为增函数，再利用函数的单调性可判断各选项的正误.【详解】令，，，所以，，，所以，函数为上的奇函数，，当时，，即，，所以，在上单调递增，由奇函数的性质可知，函数在上单调递增，所以，函数在上单调递增.对于A 选项，，则，即，A 选项错误；对于B 选项，，，即，B 选项正确；对于C 选项，，，即，C 选项错误；对于D 选项，，，即，D 选项错误.故选：B.3.已知函数()f x 的定义域为R ，且是偶函数，（为()f x 的导函数）.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B.C.D.【分析】设函数，求得时，()0p x '>，得到当时，()0f x '>，得到函数()f x的单调性，把任意的，恒成立，转化为，即可求解.【详解】由为偶函数，得函数的图象关于直线对称.设函数，则，当时，()0p x '>，函数在上单调递增，可得当时，，所以当时，()0f x '>，f x在上单调递增，在上单调递减.所以函数()设函数，则当时，因为，所以由对任意的，恒成立，可得，即，解得或，即实数的取值范围是.【题型十三】技巧计算型构造【典例分析】f x的导函数为，若，且，则定义在上的函数()A. B.C. D.【分析】由得，构造函数：，求导判单调性得，进而得则可求【详解】因为，所以.构造函数：，所以.所以函数在上单调递增，所以，即，即.故选C【提分秘籍】基本规律授课时，可以让学生写出y =kx +b 与y =f (x )的加、减、乘、除各种【变式演练】1.已知()f x是定义在上的奇函数，记()f x 的导函数为，当时，满足.若使不等式成立，则实数的最小值为A.B.C.D.【分析】由题意构造函数，借助单调性问题转化为e x （x 3﹣3x +3）﹣ae x ﹣x ≤0在上有解，变量分离求最值即可.【详解】由是定义在上的奇函数，当时，满足.可设故为上的增函数，又∴e x （x 3﹣3x +3）﹣ae x ﹣x ≤0在上有解，∴a ≥x 3﹣3x +3﹣，令g （x ）=x 3﹣3x +3﹣，g ′（x ）=3x 2﹣3+=（x ﹣1）（3x +3+），故当x ∈（﹣2，1）时，g ′（x ）＜0，当x ∈（1，+∞）时，g ′（x ）＞0，故g （x ）在（﹣2，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；故g min （x ）=g （1）=1﹣3+3﹣=1﹣；故选D.2.定义在上的函数()f x 满足：是()f x 的导函数，则不等式的解集为A. B. C. D.【分析】设，得到函数，即函数为单调递增函数，不等式转化为，即可不等式的解集.【详解】设，则，又由，则，所以，所以函数为单调递增函数，又由，所以，由不等式，即，即，所以不等式的解集为，故选A.3.已知函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上处处可导，若[op −′(p]tan −op <0，则（）A.oln 32)sin(l 32)一定小于0.6oln 52)sin(l 52)B.oln 32)sin(l 32)一定大于0.6oln 52)sin(l 52)C.oln 32)sin(l 32)可能大于0.6oln 52)sin(l 52)D.oln 32)sin(l 32)可能等于0.6oln 52)sin(l 52)【解析】∵[op −′(p]tan −op <0∴[op −′(p]sincos −op <0，即opsin −′(psin <opcos ⇒opsin <′opsin ′即opsin ′−opsin >0，设op =opsin，则′(p=opsin=−，即函数op =opsin在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，而0<ln 32<ln 52<2，所以)sin ln32<)sin ln 52⇒)sin 32<)sin 52⇒oln 32)sin ln<35oln 52)sin A二、最新模拟试题精练1.已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()0f x f x <'<，则（）A.()()()()e 21,2e 1f f f f >>B.()()()()e 21,2e 1f f f f ><C.()()()()e 21,2e 1f f f f <>D.()()()()e 21,2e 1f f f f <<【分析】根据题意以及选项对比可知，本题需要构造()e ()x h x f x =和()()e xf xg x =，求导后判断其单调性得出(2)(1)h h <和(2)(1)g g >的结论代入化简即可.【详解】由题意可知，函数()f x 在R 上单调递减.()()0f x f x '+<,()()0f x f x '->.构造()e ()x h x f x =，定义域为R ，则()()()e ()e e [()]0x x xh x f x f x f x f x '''=+=+<，所以()h x 在R上单调递减，所以(2)(1)h h <，即2e (2)e (1),e (2)(1)f f f f <<，故A,B 错误.构造()()e x f x g x =，定义域为R ，则()()()()2e e ()0(e )e x x x xf x f x f x f xg x ''⋅-⋅-'==>，所以()g x 在R 上单调递增，所以(2)(1)g g >，即2(2)(1),(2)e (1)e ef f f f >>，故B,D 错误.故选:C【方法点评】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.2.定义在()0,∞+上的函数()y f x =有不等式()()()23f x xf x f x '<<恒成立，其中()y f x '=为函数()y f x =的导函数，则（）A.()()24161f f << B.()()2481f f << C.()()2341f f << D.()()2241f f <<【分析】根据已知条件可以得到()()2f xg x x=，()()3f x h x x=在(0,+∞)上的单调性，从而分别得到()()()()21,21g g h h ><,进而得到结论.【详解】()()2f x xf x '<，即()()20f x x f x '⋅->，因为()y f x =定义在()0,∞+上，∴()()220f x x xf x '⋅->，令()()2f xg x x =则()()241f f >，()()()242g 0f x x xf x x x '⋅-'=>，则函数()g x 在()0,∞+上单调递增.由()()21g g >得，()()222121f f >即，()24(1)f f >；同理令()()3f x h x x =，()()()()()3264330f x x x f x f x x f x h x xx''⋅-⋅-'==<，则函数()h x 在()0,∞+上单调递减.由()()21h g <得，()()332121f f <，即()()281f f <.综上，()()2481f f <<.故选：B.【方法点评】本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性和单调性在比较大小中的应用，涉及根据已知导函数满足的关系构造可判定导数正负的函数，是难题.()()20f x x f x '⋅->，从中间是减号，联想到除法的求导法则，从系数2，联想到要有2x 的导数产。

第01讲导数的概念及运算 (精讲+精练）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：导数的概念高频考点二：导数的运算高频考点三：导数的几何意义①求切线方程（在型）②求切线方程（过型）③已知切线方程（或斜率）求参数④导数与函数图象⑤共切点的公切线问题⑥不同切点的公切线问题⑦与切线有关的转化问题第四部分：高考真题感悟第五部分：第01讲导数的概念及运算（精练）1、平均变化率（1）变化率事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。

如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值. （2）平均变化率一般地，函数()f x 在区间[]21,x x 上的平均变化率为：2121()()f x f x x x --.（3）如何求函数的平均变化率求函数的平均变化率通常用“两步”法：①作差：求出21()()y f x f x ∆=-和21x x x ∆=-②作商：对所求得的差作商，即2121()()f x f x y x x x -∆=∆-. 2、导数的概念（1）定义：函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是()()xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆0000limlim，我们称它为函数()x f y =在0x x =处的导数,记作()　或0x f '即　0x x y ='()()()xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆'→∆→∆00000limlim ＝. （2）定义法求导数步骤：① 求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-； ② 求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ③ 求极限，得导数：00000()()'()limlim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆==∆∆.3、导数的几何意义函数()y f x =在点0x x =处的导数的几何意义，就是曲线()y f x =在点00(,)P x y 处的切线的斜率k ，即0()k f x '=.4、基本初等函数的导数公式5若()f x '，()g x '存在，则有 （1）[()()]()()f x g x f x g x '''±=±（2）[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=⋅+⋅ （3）2()()()()()[]()()f x f xg x f x g x g x g x ''⋅-⋅'= 6、复合函数求导复合函数(())y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．7、曲线的切线问题（1）在型求切线方程已知：函数)(x f 的解析式.计算：函数)(x f 在0x x =或者))(,(00x f x 处的切线方程.步骤：第一步：计算切点的纵坐标)(0x f （方法：把0x x =代入原函数)(x f 中），切点))(,(00x f x . 第二步：计算切线斜率'()k f x =.第三步：计算切线方程.切线过切点))(,(00x f x ，切线斜率)('0x f k =。

专题3.1 导数以及运算试题 文【三年高考】1. 【2016高考四川文科】设直线l 1，l 2分别是函数f (x )= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是( ) (A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞) 【答案】A2．[2016高考新课标Ⅲ文数]已知()f x 为偶函数，当0x ≤ 时，1()x f x e x --=-，则曲线()y f x =在(1,2)处的切线方程式_____________________________. 【答案】2y x =【解析】当0x >时，0x -<，则1()x f x e x --=+．又因为()f x 为偶函数，所以1()()x f x f x e x -=-=+，所以1()1x f x e-'=+，则切线斜率为(1)2f '=，所以切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =．3．【2016高考新课标2文数】已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--. （I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程； （Ⅱ）若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围.4．【2016高考北京文数】（本小题13分） 设函数()32.f x x ax bx c =+++（I ）求曲线().y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（II ）设4a b ==，若函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围； （III ）求证：230a b -＞是().f x 有三个不同零点的必要而不充分条件.【解析】（I ）由()32f x x ax bx c =+++，得()232f x x ax b '=++．因为()0f c =，()0f b '=，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y bx c =+．（II ）当4a b ==时，()3244f x x x x c =+++，所以()2384f x x x '=++．令()0f x '=，得23840x x ++=，解得2x =-或23x =-．()f x 与()f x '在区间(),-∞+∞上的情况如下：x(),2-∞-2-22,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭23-2,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭()f x '+-0 +()f xc3227c -所以，当0c >且32027c -<时，存在()14,2x ∈--，222,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，32,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()()()1230f x f x f x ===．由()f x 的单调性知，当且仅当320,27c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()3244f x x x x c =+++有三个不同零点．5．【2015高考天津，文11】已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞ ,其中a 为实数,()f x '为()f x 的导函数,若()13f '= ,则a 的值为 ． 【答案】3【解析】因为()()1ln f x a x '=+ ,所以()13f a '==.6. 【2015高考新课标1，文14】已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7，则 a = . 【答案】1【解析】∵2()31f x ax '=+，∴(1)31f a '=+，即切线斜率31k a =+，又∵(1)2f a =+，∴切点为（1，2a +），∵切线过（2,7），∴273112a a +-=+-，解得a =1.7.【2015高考陕西，文15】函数xy xe =在其极值点处的切线方程为____________.【答案】1y e=-8.【2015高考广东，文21】设a 为实数，函数()()()21f x x a x a a a =-+---．（1）若()01f ≤，求a 的取值范围； （2）讨论()f x 的单调性； （3）当2a ≥时，讨论()4f x x+在区间()0,+∞内的零点个数． 【解析】（1）22(0)f a a a a a a =+-+=+，因为()01f ≤，所以1≤+a a ， 当0≤a 时，10≤，显然成立；当0>a ，则有12≤a ，所以21≤a .所以210≤<a . 综上所述，a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.（2）()⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥--=ax a x a x a x x a x x f ,2)12(,12)(22,对于()x a x u 1221--=，其对称轴为a a a x <-=-=21212，开口向上，所以)(x f 在),(+∞a 上单调递增；对于()a x a x u 21221++-=，其对称轴为a a a x >+=+=21212，开口向上，所以)(x f 在),(a -∞上单调递减.综上所述，)(x f 在),(+∞a 上单调递增，在),(a -∞上单调递减.（3）由（2）得)(x f 在),(+∞a 上单调递增，在),0(a 上单调递减，所以2min )()(a a a f x f -==.(ii)当2>a 时，2min )()(a a a f x f -==，当),0(a x ∈时，42)0(>=a f ，2)(a a a f -=，而xy 4-=在),0(a x ∈上单调递增，当a x =时，a y 4-=.下面比较2)(a a a f -=与a4-的大小,因为0)2)(2()4()4(2232<++--=---=---a a a a a a a a a a ,所以aa a a f 4)(2-<-=结合图象不难得当2>a 时，)(x f y =与x y 4-=有两个交点. 综上所述，当2=a 时，()4f x x+有一个零点2x =；当2>a 时，()4f x x+有两个零点. 9.【2015高考重庆，文19】已知函数32()f x ax x =+（a R ∈）在x=43-处取得极值. (Ⅰ)确定a 的值，(Ⅱ)若()()xg x f x e =，讨论的单调性.【解析】略10. 【2014高考安徽卷文第15题】若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：)(i 直线l 在点()00,y x P 处与曲线C 相切；)(ii 曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号) ①直线0:=y l 在点()0,0P 处“切过”曲线C ：3yx =②直线1:-=x l 在点()0,1-P 处“切过”曲线C ：2)1(+=x y ③直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y sin = ④直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y tan = ⑤直线1:-=x y l 在点()0,1P 处“切过”曲线C ：x y ln = 【答案】①③④11. 【2014高考湖南卷文第9题】若1201x x <<<，则（ ）A.2121ln ln xxe e x x ->- B.2121ln ln xxe e x x -<- C.1221xxx e x e > D.1221xxx e x e <【答案】C12. 【2014高考重庆文第19题】已知函数23ln 4)(--+=x x a x x f ，其中R a ∈，且曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线垂直于x y 21=. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数)(x f 的单调区间与极值. 【解析】（Ⅰ）对()f x 求导得()2114a f x x x '=--，由()f x 在点()()1,1f 处切线垂直于直线12y x =知()32,4f x a '=--=-解得54a =；【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 导数及运算是高考的热点，年年都出题，作为导数应用时求导中用到,一般不单独命题,导数的几何意义有时作为选择题,填空题单独命题，有时作为解答题的第一问，难度中档左右． 【2017年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式, 导数重点考查一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，与三角函数等的求导公式，导数运算重点是高次多项式函数，分式函数，指数型，对数型函数，以及初等基本函数的和、差、积、商的运算方法，试题的命制往往与导数的应用结合，解决单调性，极值，最值，切线，方程的根，参数的范围等问题，它只作为解题的一部分，难度不大，只需会运用公式求导即可．因此在2017年高考备考中应狠下功夫,掌握求导公式,会灵活应用求导法则,理解导数的几何意义即可.在2016年高考考查了导数的运算，新课标1卷没有对导数的几何意义进行考查, 预测2017年可能会对导数的几何意义进行考查,对函数与其它函数积与商的导数运算是必考．【2017年高考考点定位】高考对导数的运算，导数的几何意义的考查，一般不单独出题，特别是导数的运算，往往和导数的几何意义，导数的应用结合起来，作为第一步求导来进一步研究导数其它应用. 考点一、导数的基本运算【备考知识梳理】1．常见函数的导出公式． （１）0)(='C （C 为常数）；（２）1)(-⋅='n nxn x ；（３）x x cos )(sin ='；（４）x x sin )(cos -='；（5）()'ln xxaaa =；（6）()'x xe e =；（7）()1log '(0ln a x a x a =>且1)a ≠；（8）()1ln 'x x=． 2．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： (.)'''v u v u ±=±法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uv v u uv +=若C 为常数,则'''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：.)(''Cu Cu =法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：⎪⎭⎫⎝⎛v u ‘=2''v uv v u -（v ≠0）． 3.形如y=f [x (ϕ])的函数称为复合函数．复合函数求导步骤：分解——求导——回代．法则：y ＇|X = y ＇|U ·u＇|X 【规律方法技巧】(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量；(3)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导． 【考点针对训练】 （1）求)11(32x x x x y ++=的导数；（2）求)11)(1(-+=xx y 的导数； （3）求2cos 2sin x x x y -=的导数；（4）求y=x x sin 2的导数；（5）求y ＝xx x x x 9532-+-的导数【解析】（1）2311xx y ++= ,.2332'x x y -=∴ （2）先化简,2121111-+-=-+-⋅=xx xx xx y ，∴.112121212321'⎪⎭⎫⎝⎛+-=--=--x x x x y考点二、导数的几何意义【备考知识梳理】函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0）） 处的切线的斜率．也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）．相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）．【规律方法技巧】求曲线切线方程的步骤：（1）求出函数()y f x =在0x x =的导数，即曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线的斜率；（2）在已知切点()()00,P x f x 和斜率的条件下，求得切线方程()()()000y f x f x x x '-=-特别地，当曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处的切线平行于y 轴时（此时导数不存在），可由切线的定义知切线方程为0x x =；当切点未知时，可以先设出切点坐标，再求解. 【考点针对训练】1. 【2016年河南郑州高三二模】曲线3)(3+-=x x x f 在点P 处的切线平行于直线12-=x y ，则P 点的坐标为（ ）A ．)3,1(B ．)3,1(-C ．)3,1(和)3,1(-D ．)3,1(- 【答案】C.【解析】因2'()31f x x =-，令'()2f x =，故23121x x -=⇒=或1-，所以(1,3)P 或(1,3)-，经检验，点(1,3)，(1,3)-均不在直线21y x =-上，故选C ．2. 【河南八市2016年4月高三质检卷】.已知曲线x ay e +=与2(1)y x =-恰好存在两条公切线，则实数a 的取值范围为________ 【答案】223ln -∞-（，）．【应试技巧点拨】1. 利用导数求切线问题中的“在”与“过”在解决曲线的切线问题时，利用导数求切线的斜率是非常重要的一类方法.在求解过程中特别注意：曲线在某点处的切线若有则只有一条，曲线过某点的要切线往往不止一条；切线与曲线的公共点不一定只有一个.因此在审题时应首先判断是“在”还是“过”.若“在”，利用该点出的导数为直线的斜率，便可直接求解；若“过”，解决问题关键是设切点，利用“待定切点法”,即：设点A （x 0,y 0）是曲线y=f(x)上的一点，则以A 为切点的切线方程为y －y 0=f ))((00/x x x -,再根据题意求出切点.2.函数切线的相关问题的解决，抓住两个关键点：其一，切点是交点；其二，在切点处的导数是切线的斜率．因此，解决此类问题，一般要设出切点，建立关系——方程(组)．其三，求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异．过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上；在点P 处的切线，点P 是切点．二年模拟1. 【2016届海南省农垦中学高三考前押题】曲线21cos sin sin -+=x x x y在点)0,4(πM 处的切线的倾斜角为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．65π【答案】A【解析】由已知得x x x x x x x x x y 2sin 11)cos (sin )sin (cos sin )cos (sin cos 2+=+--+='在点)0,4(πM 处的斜率21=k ，则倾斜角为6π,故选A.2. 【2016届吉林大学附中高三第二次模拟】已知a b ，为正实数，直线y x a =-与曲线ln()y x b =+相切，则22a b+的取值范围（ ） （A ）1(0)2， （B ）(01)， （C ）(0)+∞， （D ）[1)+∞，【答案】A3. 【2016年河南省商丘市高三第三模】 曲线)0(>=a x a y 与曲线x y ln =有公共点，且在公共点处的切线相同，则a 的值为（ ）A ．eB ．2e C ．2-e D ．1-e【答案】D【解析】设公共切点横坐标为0x ,1''21211222y ax y x x -===,依题意有00001ln 2122x x x x ⎧=⎪⎪⎨=,两式相除得200002ln ,x x x x e ==,故01a ex ==． 4. 【2016届重庆一中高三5月模拟考试】设曲线11x y x +=-在点(3,2)处的切线与直线30ax y ++=有相同的方向向量,则a 等于（ ） A ．-12 B ．12C. -2 D ．2 【答案】B【解析】因为()12111x y f x x x +===+--，()()22'1f x x =--，在点()3,2处的切线与直线30ax y ++=有相同的方向向量，所以()()2221'34231f a =-=-=-=--，12a =，故选B.5. 【2016届重庆一中高三5月模拟考试】设函数32()f x ax bx cx d =+++有两个极值点12,x x ，若点11(,())P x f x 为坐标原点，点22(,())Q x f x 在圆22:(2)(3)1C x y -+-=上运动时，则函数()f x 图象的切线斜率的最大值为（ ） A.32+B.23+C. 22+D. 33+【答案】D6. 【2016届海南省华侨中学高三考前模拟】已知函数()32f x x ax bx c =+++在定义域[]2,2x ∈-上表示的曲线过原点，且在1x =±处的切线斜率均为1-．有以下命题：①()f x 是奇函数；②若()f x 在[],s t内递减，则t s -的最大值为4；③若()f x 的最大值为M ，最小值为m ，则0m M +=；④若对[]2,2x ∀∈-，()k f x '≤恒成立，则k 的最大值为2．其中正确命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B【解析】由题意得函数过原点，则0c =．又()232f x x ax b '=++．则必有()()13211321f a b f a b '=++=-⎧⎪⎨'-=-+=-⎪⎩，解得04a b =⎧⎨=-⎩，所以()34f x x x =-．令()2340f x x '=-=得233x =±．则函数在[]2,2-上的最小值是负数．由此得函数图象大致如图：得出结论是：①③正确；②④错误．故选B ．7. 【2016江西师大附中高三上学期期末】已知函数()y f x =的图象在点()()2,2M f 处的切线方程是4y x =+，则()()22f f '+=． 【答案】7【解析】由函数在某点的导数等于函数在该点的切线的斜率可知1)2(='f ，有点M 必在切线上，代入切线方程4y x =+，可得6)2(=f ，所以有7)2()2(=+'f f ．8. 【2016届重庆一中高三下高考适应性考试】一条斜率为1的直线与曲线：xy e =和曲线：24y x =分别相切于不同两点，则这两点间的距离等于 ． 29.【2016届辽宁省大连师大附中高三模拟】已知函数321()2,()()3x f x x x ax b g x e cx d =+++=+，且函数()f x 的导函数为()f x '，若曲线()f x 和曲线()g x 都过点A （0,2），且在点A 处有相同的切线42y x =+．（1）求,,,a b c d 的值；（2）若2x -≥时，()()2,mg x f x '-≥求实数m 的取值范围.10. 【2016届贵州省贵阳六中高三5月高考模拟】已知函数()223=+-x f x e x x . （1）求曲线()=y f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）求证函数()f x 在区间[)0,1上存在唯一的极值点，并利用二分法求函数取得极值时相应x 的近似值（误差不超过0.2）；（参考数据.0.32.7, 1.6, 1.3≈≈≈e e e ）.【解析】（1） ()'43=+-x f x e x ，则()11=-f e ，∴曲线()=y f x 在点()()1,1f 处的切线方程为()()111-+=+-y e e x ，即：()120+--=e x y .（2）∵()()0'0320,'110=-=-<=+>f e f e ，∴()()'0'10⋅<f f ，令()()'43==+-x h x f x e x ，则()()'40,'=+>x h x e f x 在[]0,1上单调递增，∴()'f x 在[]0,1上存在唯一零点，()f x 在[]0,1上存在唯一的极值点.取区间[]0,1作为起始区间，用二分法逐次计算如下由上表可知区间[]0.3,0.6的长度为0.3，所以该区间的中点20.45x =，到区间端点的距离小于0.2，因此可作为误差不超过0.2一个极值点的相应x 的值，∴函数()=y f x 取得极值时，相应0.45≈x .11. 【河南省开封市2015届高三上学期定位考试】函数()ln f x x ax =+存在与直线20x y -=平行的切线，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],2-∞B ．(),2-∞C ．()2,+∞D ．()0,+∞ 【答案】B12. 【湖北省重点中学2015届高三上学期第三次月考试题】已知函数()f x 的导数为()f x '，且满足关系式2()3(2)ln f x x xf x '=++，则(2)f '的值等于 （ ）A.2-B.2C.94- D. 94【答案】C.【解析】因为2()3(2)ln f x x xf x '=++，所以x f x x f 1)2(32)(''++=，所以21)2(322)2(''++⨯=f f ，解之得49)2('-=f .故应选C. 13.【河南许昌平顶山新乡三市2015届10月高三第一次调研】设()x f 是定义在R 上的奇函数，且()02=-f ，当0>x 时，有()()02>-'x x f x f x 恒成立，则不等式()0>x xf 的解集是A 、()()+∞-,20,2B 、()()2,00,2 -C 、()()2,02, -∞-D 、()()+∞-∞-,22, 【答案】D14.【2015届山东省青岛市高三下学期第二次模拟】已知函数1()1ln a f x x x=-+（a 为实数）． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的图象在点11(,())22f 处的切线方程；（Ⅱ）设函数2()32h a a a λ=-（其中λ为常数），若函数()f x 在区间(0,2)上不存在极值，且存在a 满足()≥h a 18+λ，求λ的取值范围．【解析】（Ⅰ）当1a =时，11()1ln f x x x =-+，211()f x x x '=-，则1()4222f '=-=，1()12ln 2ln 212f =-+=-，∴函数()f x 的图象在点11(,())22f 的切线方程为：1(ln 21)2()2y x --=-， 即2ln 220x y -+-= ；（Ⅱ）221()a a xf x x x x-'=-=，由()0f x '=x a ⇒=，由于函数()f x 在区间(0,2)上不存在极值，所以0≤a 或2≥a ，由于存在a 满足()≥h a 18+λ，所以max ()≥h a 18+λ，对于函数2()32h a a a λ=-，对称轴34a λ=，①当304λ≤或324λ≥，即0λ≤或83λ≥时，2max 39()()48h a h λλ==，由max ()≥h a 18+λ29188⇒≥+λλ，结合0λ≤或83λ≥可得：19≤-λ或83λ≥，②当3014λ<≤，即403λ<≤时，max ()(0)0h a h ==，由max ()≥h a 18+λ108⇒≥+λ，结合403λ<≤可知：λ不存在；③当3124λ<<，即4833λ<<时，max ()(2)68h a h λ==-；由max ()≥h a 18+λ1688⇒-≥+λλ，结合4833λ<<可知：13883≤<λ ，综上可知：19≤-λ 或138≥λ ．15.【2015届北京市东城区5月综合练习】已知函数325()2f x x x ax b =+++ ,327()ln 2g x x x x b =+++，（a ，b 为常数）．（Ⅰ）若()g x 在1x =处的切线过点(0,5)-，求b 的值；（Ⅱ）设函数()f x 的导函数为()f x '，若关于x 的方程()()f x x xf x '-=有唯一解，求实数b 的取值范围； （Ⅲ）令()()()F x f x g x =-，若函数()F x 存在极值，且所有极值之和大于5ln 2+，求实数a 的取值范围．（Ⅲ）2()ln ,F x ax x x =--所以221'()x ax F x x-+=-．因为()F x 存在极值，所以221'()0x ax F x x-+=-=在),0(+∞上有根，即方程0122=+-ax x在),0(+∞上有根，则有2=80a ∆-≥．显然当=0∆时，()F x 无极值，不合题意；所以方程必有两个不等正根．记方程0122=+-ax x 的两根为21,x x ，则12121022x x a x x ⎧=>⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，2212121212()()()()(ln ln )F x F x a x x x x x x +=+-+-+21ln 14222-+-=a a >15ln 2- , 解得162>a ，满足0∆>．又1202ax x +=>，即0a >，故所求a 的取值范围是),4(+∞．拓展试题以及解析 1. 已知函数()2115πsin()42f x x x =--，()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的图象是（ ）【答案】A【入选理由】本题主要考查诱导公式、基本初等函数的求导法则、函数的图象等知识，意在考查学生的识图能力、逻辑思维能力.此题难度不大，出题角度较新，故选此题． 2．函数21()ln 2f x xx ax 存在与直线03=-y x 平行的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A. ),0(+∞ B. )2,(-∞ C. ),2(+∞ D. ]1,(-∞【答案】D【解析】因为1()fx x a x'=++，直线的03=-y x 的斜率为3，由题意知方程13x a x ++=（0x ）有解，因为12xx，所以1a ，故选D ．【入选理由】本题考查导数的几何意义、基本不等式等基础知识，意在考查转化与化归的思想和基本运算能力．本题导数的几何意义巧妙地与基本不等式结合起来，出题方式新颖，试题难度不大，同时对导数运算的深层次考查，体现灵活运用导数知识解决问题能力；故选此题.3.已知函数1,0,()2,0x x a x f x x a x ⎧++>⎪=⎨⎪+≤⎩，若方程()f x x =-有且仅有一解，则实数a 的取值范围为_______. 【答案】[1,){22}-+∞-【入选理由】本题考查函数图象，函数单调性，利用导数求切线等基础知识，意在考查分析问题的能力、基本运算能力及推理能力．本题比较综合，出题方式新颖，试题难度不大，故选此题. 4.已知函数2ln ()xf x x bx a=++(a,b R)∈，若(x)f 在点(1,f(1))的切线为1y x =+，则a b += . 【答案】0【解析】切点(1,f(1))代入切线1y x =+得，(1)112f =+=，故(1)012f b =++=，求得b=1，求导得1'()21f x x ax =++，切线斜率1'(1)212,1k f a a==++=∴=-,0a b ∴+=. 【入选理由】本题考查导数与函数、切线方程，结合转化思想和和函数思想求切线方程问题,意在考查分析问题的能力、基本运算能力及推理能力．本题比较常规，是高考经常考的题型,故选此题.5.已知函数()4ln f x x x ，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为_____． 【答案】310x y 【解析】易得1()4f x x，则(1)3f ，又因为(1)4f ，所以切线方程为43(1)y x ，即310x y ．【入选理由】本题考查导数的几何意义等基础知识，意在考查基本运算能力.本题比较常规，是高考经常考的题型,故选此题.6.已知函数32()f x ax bx =+，()ln g x k x =，若()f x 在3x =处的切线平行于直线122270x y +-=，且()10f '=.(Ⅰ)求函数()f x 的解析式；(Ⅱ)若对任意的[1,)x ∈+∞，()()f x g x '≤恒成立，求实数k 的取值范围.【入选理由】本题考查利用导数研究曲线上在某点处的切线方程,函数解析式的求解及常用方法,利用导数研究函数的最大值、最小值问题等基础知识，意在考查综合分析问题、解决问题的能力和基本运算能力．本题比较综合，特别是第二问恒成立问题是高考常考题型，故选此题.7. 已知函数()ln .a f x x ax x =-+ (Ⅰ) 若函数()f x 在1x =处的切线过点(0,)a ，求a 的值；（Ⅱ）若01a <<，求证：2()02a f >； （Ⅲ）若()f x 恰有三个不同的零点，求a 的取值范围．【解析】(Ⅰ)因为21()a f x a x x'=--，所以(1)12f a k '=-=，又(1)10f a k a -==--，所以12, 1.a a a -=-= （Ⅱ）因为223322()ln 2ln ln 22222a a a a f a a a =-+=-+-，所以令32()2ln ln 22a g a a a=-+-，则242223234(1)()22a a a g a a a a -+-'=--=．因为01a <<，所以()0g a '<，从而1()(1)2ln 202g a g >=-->，即2()02a f >.【入选理由】本题考查导数几何意义、利用导数证明不等式、利用导数研究函数零点等基础知识，意在考查学生转化与化归能力、综合分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力．本题比较综合，特别是第二问证明不等式问题是高考常考题型，故选此题.8.已知函数()x f x e =，2()1(,)g x ax bx a b R =++∈（1）若0a ≠，则a ，b 满足什么条件时，曲线()y f x =与()y g x =在0x =处总有相同的切线？（2）当1a =时，求函数()()()g x h x f x =的单调减区间； （3）当0a =时，若()()f x g x ≥对任意的x R ∈恒成立，求b 的取值的集合.【解析】（1）()x f x e '=，∴(0)1f '=，又(0)1f =，∴()y f x =在0x =处的切线方程为1y x =+，又()2g x ax b '=+，∴(0)g b '=，又(0)1g =，∴()y g x =在0x =处的切线方程为1y bx =+， 所以当0,a a R ≠∈且1b =时，曲线()y f x =与()y g x =在0x =处总有相同的切线.（2）由1a =，21()x x bx h x e ++=，∴2(2)1()xx b x b h x e -+-+-'=，∴2(2)1(1)((1))()x x x b x b x x b h x e e-+-+----'==-，由()0h x '=，得11x =，21x b =-， ∴当0b >时，函数()y h x =的减区间为(,1)b -∞-，(1,)+∞；当0b =时，函数()y h x =的减区间为(,)-∞+∞；当0b <时，函数()y h x =的减区间为(,1)-∞，(1,)b -+∞.【入选理由】本小题主要考查利用导数求切线方程，利用导数求单调区间及最值，不等式恒成立等基础知识，考查学生转化与化归能力、综合分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力．本题比较综合，本题比较综合，出题方式新颖，故选此题.。

5.2 导数的运算(精练)【题组一 基本函数的求导】1(2021·全国)给出下列结论：①若y ＝31x ，则y ′＝－43x ；①若y ，则y ′＝13；①若f (x )＝3x ，则f ′(1)＝3.其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0【答案】B【解析】对于①，y ′＝(x －3)′＝43x -，正确； 对于①，121'331133y x x --==，不正确；对于①，f ′(x )＝3，故f ′(1)＝3，正确． 故选：B2．(2021·全国高二课时练习)下列结论中，不正确的是( )A ．若31y x =，则43y x '=- B ．若y =y 'C ．若21y x=，则32y x -'=- D ．若()3f x x =，则()13f '=【答案】B【解析】对于A ，()3434133y x x x x --'⎛⎫''===-=- ⎪⎝⎭，A 正确；对于B ，112212y x x -'⎛⎫''=== ⎪⎝⎭，B 错误； 对于C ，()23212y x x x --'⎛⎫''===- ⎪⎝⎭，C 正确；对于D ，()3f x '=，()13f '∴=，D 正确. 故选：B.3．(2021·全国高二课时练习)已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( ) A ．4 B ．－4 C ．5 D ．－5【答案】A【解析】①()1a f x ax -'=，()()1114a f a -'∴-=⨯-=-，解得a ＝4.故选：A.4．(2021·全国高二课时练习)函数f (x )f ′(3)等于( )AB ．0CD 【答案】A【解析】①()f x '=①()3f '==故选：A. 5．(2021·全国高二专题练习)f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ①N ，则f 2 017(x )＝( ) A ．sin x B ．－sin x C ．cos x D ．－cos x【答案】C【解析】因为1()(sin )cos f x x x '==，2()(cos )sin f x x x '==-，3()(sin )cos f x x x '=-=-，4()(cos )sin f x x x '=-= 5()(sin )cos f x x x '==，所以循环周期为4，因此20171()()cos f x f x x ==.故选：C.【题组二 导数的运算法则】1．(2021·全国高二课时练习)求下列函数的导数.(1)y ＝(x 2＋1)(x －1)；(2)y ＝3x＋lg x ；(3)y ＝x 2＋tan x ；(4)y ＝1xe x +.【答案】(1)'2321y x x =-+；(2)'13ln 3ln10x y x =⋅+；(3)'212cos y x x =+；(4)()'21x xe y x =+.【解析】(1)()()'22211321y x x x x x =-++=-+.(2)'13ln 3ln10x y x =⋅+. (3)222'22sin cos sin 1,22cos cos cos x x x y x y x x x x x +=+=+=+. (4)()()()'22111x xxe x e xe y x x +-==++.2．(2021·全国高二课时练习)求下列函数的导数：(1) y (2)y ＝41x ；(3)y ＝22sin (12cos )24x x -⋅-；(4)y ＝log 2x 2－log 2x .【答案】(1)2535x -；(2)54x -；(3)cos x ；(4)1ln 2x .【解析】(1)33215553355y x x x --'⎛⎫'==== ⎪⎝⎭'；(2)()4415451444y x x x x x ----'⎛⎫'==='-=-=- ⎪⎝⎭； (3)222sin 12cos 2sin 2cos 12sin cos sin 242422x x x x x xy x ⎛⎫⎛⎫=--=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()sin cos y x x ''∴==.(4)①2222log log log y x x x =-=，()21log ln 2y x x ''∴==. 3(2021·全国)求下列函数的导函数．(1)y =(2)y =；(3)222log log y x x =-；(4)22sin 12cos 24x x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．【答案】(1)y '=(2)y '=(3)1ln 2y x '=；(4)cos y x '=．【解析】((1)(3312232y x x -'⎛⎫''==== ⎪⎝⎭(2)33215553355x x y x --'⎛⎫===''=⎪⎝⎭=(3)①2222log log log y x x x =-=， ①()21log ln 2y x x ''==． (4)①222sin 12cos 2sin 2cos 12sin cos sin 242422x x x xx x y x ⎛⎫⎛⎫=--=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，①()sin cos y x x ''==． 【题组三 复合函数的求导】1．(2021·全国高二课时练习)求下列函数的导数．(1)f (x )＝(－2x ＋1)2；(2)f (x )＝ln (4x －1)；(3)f (x )＝23x ＋2；(4)f (x )(5)f (x )＝sin (3)6x π+；(6)f (x )＝cos 2x .【答案】(1)y ′＝－4(－2x ＋1)＝8x －4；(2)y ′＝441x -；(3)y ′＝3ln 2·23x ＋2；(4)y ′= (5)y ′＝3cos 36x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭；(6)f ′(x )＝－sin 2x .【解析】((1)设y ＝u 2，u ＝－2x ＋1，则y ′＝y u ′·u x ′＝2u ·(－2)＝－4(－2x ＋1)＝8x －4. (2)设y ＝ln u ，u ＝4x －1，则y ′＝y u ′·u x ′＝1u ·4＝441x -.(3)设y ＝2u ，u ＝3x ＋2，则y ′＝y u ′·u x ′＝2u ln 2·3＝3ln 2·23x ＋2.(4)设y u ＝5x ＋4，则y ′＝y u ′·u x ′·5.(5)设y ＝sin u ，u ＝3x ＋6π，则y ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·3＝3cos 36x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭.(6)法一：设y ＝u 2，u ＝cos x ，则y ′＝y u ′·u x ′＝2u ·(－sin x )＝－2cos x ·sin x ＝－sin 2x ； 法二：①f (x )＝cos 2x ＝1cos22x +＝12＋12cos 2x ，所以f ′(x )＝11cos 222x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭′＝0＋12·(－sin 2x )·2＝－sin 2x . 2．(2021·全国高二课时练习)求下列函数的导数．(1)y ＝41(13)x -；(2)y ＝cos x 2；(3)y ＝ sin(2x －3π)；(4)y 【答案】(1)512(13)x -；(2)－2x sin x 2；(3)2cos(2x －3π)； 【解析】((1)令u ＝1－3x ，则y ＝41u ＝4u-，①y ′u ＝－4u －5，u ′x ＝－3.①y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝12u －5＝512(13)x -. (2)令u ＝x 2，则y ＝cos u ，①y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝－sin u ·2x ＝－2x sin x 2. (3)令u ＝2x －3π，则y ＝sin u ，①y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝cos u ·2＝2cos(2x －3π)． (4)令u ＝1＋x 2，则y ＝12u ，①y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1122122u x x u --⋅=⋅= 3．(2021·全国高二课时练习)写出下列各函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则，求出函数的导数． (1)y ＝41(34)x -；(2)cos 2008+()8y x ＝；(3)132x y －＝；(4)ln 8()+6y x ＝． 【答案】(1)中间变量：()34u x x ϕ＝＝－ 函数的导数：'516(34)y x -=(2)中间变量：()20088u x x ϕ+＝＝ 函数的导数：'2008sin 2008()8y x =-+(3)中间变量：()13u x x ϕ-＝＝函数的导数：1'33ln22x y ⋅=－－ (4)中间变量：()86u x x ϕ+＝＝ 函数的导数：'443y x =+ 【解析】((1)引入中间变量()34u x x ϕ＝＝－． 则函数41(34)y x =-是由函数441()f u u u-==与()34u x x ϕ＝＝－复合而成的． 查导数公式表可得()5544u u f u '=-－＝－，()4x ϕ'＝－． 根据复合函数求导法则可得()()()5'55'4116(34)(3)64414y f u x u u x x ϕ⎡⎤==''⎢⎥--⎣⎦=-⋅-==．(2)引入中间变量()20088u x x ϕ+＝＝，则函数cos 2008)8(y x ＝＋是由函数()f u cosu ＝与()2008+8u x x ϕ＝＝复合而成的，查导数公式表可得()sin f u u '＝－，()2008x ϕ'＝．根据复合函数求导法则可得()()20088sin 2008[c 2008sin 20os()]()()08sin 20088x f u x u u x ϕ'''-⨯+＋＝＝＝-＝- (3)引入中间变量()13u x x ϕ-＝＝， 则函数132x y －＝是由函数()2uf u ＝与()13u x x ϕ＝＝－复合而成的， 查导数公式表得()2 2uf u ln '＝，()3x ϕ'＝－，根据复合函数求导法则可得()()1313232ln 23()()2ln 232ln2x u u x f u x ϕ'''⨯⨯⨯－－＝＝－＝－＝－．(4)引入中间变量()86u x x ϕ+＝＝，则函数ln 8()6y x +＝是由函数()ln f u u ＝与()86u x x ϕ+＝＝复合而成的. 查导数公式表可得()1f u u'=，()8x ϕ'＝． 根据复合函数求导法则可得()()88486?86[ln()]43x f u x u x x ϕ+'''==++＝＝．4．(2021·全国高二专题练习)求下列函数的导数：(1)y (2)y ＝e 2x ＋1；(3)y ＝ln(3x －1)；(4)y ＝sin (2)3x π+；(5)y ＝e sin(ax ＋b )；(6)y ＝5log 2(2x ＋1).【答案】(2)2e 2x ＋1；(3)331x -；(4)2cos 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭；(5)()sin cos()ax b a ax b e ++⋅ ；(6)10(21)ln 2x +.【解析】((1)设y =23u x x =-，则(32)x u x y y u x '''=⋅=-= (2)设,21,u y e u x ==+则2122u x x u x y y u e e '''+=⋅=⋅=.(3)设ln ,31y u u x ==-，则(ln )(31)x u x y y u u x '''''=⋅=⋅-13331u x =⋅=-(4)设sin ,23y u u x π==+，则(sin )23x u x y y u u x π''''⎛⎫=⋅=⋅+ ⎪⎝⎭cos 22cos 23u x π⎛⎫=⋅=+ ⎪⎝⎭(5)设,sin ,u y e u v v ax b ===+，则()sin cos cos()b v ax u xu x y y u v e v a a ax b e +''''=⋅⋅=⋅⋅=+⋅；(6)设25log ,21y u u x ==+，则()210105log (21)ln 2(21)ln 2y u x u x '''=⋅+==+【题组四 求导数值】1．(2021·全国高二课时练习)已知f (x )＝2x ，g (x )＝ln x ，则方程f (x )＋1＝()'g x 的解为( ) A ．1 B ．12C ．－1或12D ．－1【答案】B【解析】(由g (x )＝ln x ，得x ＞0，且1()g x x '=.故2x ＋1＝1x，即2x 2＋x －1＝0，解得x ＝12或x ＝－1. 又因x ＞0，故x ＝12(x ＝－1舍去)故选：B.2(2021·全国高二课时练习)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e )＋ln x ，则f ′(e )＝( ) A ．e －1 B ．－1 C ．－e －1 D ．－e【答案】C【解析】(①f (x )＝2xf ′(e )＋ln x ，①''1()2()f x f e x =+， ①''1()2()f e f e e =+，解得'1()f e e=-，故选：C.3．(2021·河南高三月考(文))已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()32121f x x x f x '=++-，则()2f '=( ) A ．1 B ．9- C ．6- D ．4【答案】C【解析】(因为()()32121f x x x f x '=++-，所以()()23212f x x xf ''=++，把1x =代入()'f x ，得()()2213121f f ''=⨯++，解得：()15f '=-，所以()23102f x x x '=-+，所以()26f '=-.故选：C.4．(2021·全国高二课前预习)设f (x )＝cos 2x －3x ，则f ′()2π＝( )A ．－5B ．－3C ．－4D ．－32π 【答案】B【解析】(f ′(x )＝－2sin 2x －3，f ′()2π＝－2sin π－3＝－3.故选：B.5．(2021·全国高二课时练习)设函数()()320202019f x x -=，则()1f '=( )A ．6057B ．6057-C ．2019D ．2019-【答案】B 【解析】(()2()3(2019)20202019f x x '=⨯--则()2(1)3(2019)2020201916057f -⨯=-'=⨯-.故选：B6．(2021·全国高二课时练习)已知函数()()221sin 1x xf x x ++=+，其导函数记为()f x '，则()()()()389389389389f f f f ''++---=( )A ．2B ．2-C ．3D ．3-【答案】A【解析】(由已知得()22sin 11x xf x x +=++，则()()()()()2222cos 12sin 21x x x x xxf x ++-+'+=⋅，显然()f x '为偶函数.令()()22sin 11x xg x f x x +=-=+，显然()g x 为奇函数.又()f x '为偶函数，所以()()3893890f f ''--=，()()()()389389389138912f f g g +-=++-+=， 所以()()()()3893893893892f f f f ''++---=. 故选：A.【题组五切线方程】1．(2021·全国高二课时练习)设函数()()2f xg x x =+，曲线()y g x =在点1,1g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为( ) A ．4 B ．14-C ．2D ．12-【答案】A【解析】因为()()2f xg x x =+，所以()()2f x g x x ''=+．又曲线()y g x =在点1,1g 处的切线方程为21y x =+，所以()12g '=，所以()()11214f g ''=+⨯=，即曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为4．故选：A.2．(2021·韩城市西庄中学(理))曲线31233y x x =-+在点41,3⎛⎫⎪⎝⎭处的切线的倾斜角α为( )A ．π4B ．π3C ．2π3D ．3π4【答案】D【解析】由31233y x x =-+得22y x '=-，于是当1x =时，1y '=-，由导数的几何意义知，曲线31233y x x =-+在点41,3⎛⎫⎪⎝⎭处的切线斜率tan 1k α==-，而切线的倾斜角[)0,απ∈，所以3π4α=.故选：D 3(2021·江苏扬州·高二期中)曲线2x y x e x =⋅+在0x =处的切线方程为( ) A ．1y x =+ B ．2y x =C ．y x =D ．31y x【答案】C【解析】由题意知0x =时，02000y e =⨯+=，所以切点为()0,0，而()12x y x e x '=++，所以切线的斜率为()010201e +⨯+⨯=，则所求的切线方程为y x =， 故选：C.4．(2021·全国高二课时练习)函数()ln 23y x =+的导数为y '=______，其函数图象在点1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线的倾斜角为______． 【答案】223x + π4【解析】令23u x =+，则ln y u =，()()12ln 23223y u x u x '''=⋅+=⋅=+．当12x =-时，2131y '==-，所以函数()ln 23y x =+的图象在点1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线的斜率为1，所以倾斜角为π4．故答案为：223x + π45．(2021·浙江路桥中学高二开学考试)已知函数()cos f x x x =，则()f x '=________________，曲线()y f x =在点()0,0处的切线的倾斜角是_________． 【答案】cos sin x x x - 45【解析】可得()()cos sin cos sin f x x x x x x x '=+-=-；由导数的几何意义可得曲线()y f x =在点()0,0处的切线斜率为()0cos001f '=-=， 设切线的倾斜角为α，则0180α≤<， 因为tan 1α=，所以45α=， 故答案为：cos sin x x x -；45.6．(2021·全国高二课时练习)与直线2x －y －4＝0平行且与曲线y ＝ln x 相切的直线方程是________． 【答案】2x －y －1－ln2＝0【解析】①直线2x －y －4＝0的斜率为k ＝2， 又①y ′＝(ln x )′＝1x ，①1x＝2，解得x ＝12. ①切点的坐标为1(,ln 2)2-. 故切线方程为y ＋ln 2＝21()2x -.即2x －y －1－ln 2＝0. 故答案为：2x －y －1－ln 2＝07(2021·全国高二课时练习)曲线y ＝1x 在点M 1(3,)3处的切线方程是________.【答案】x ＋9y －6＝0 【解析】①y ′＝－21x ，①在点M 1(3,)3处的斜率k ＝－19，①在点1(3,)3的斜率为－19的切线方程为：y －13＝－19(x －3)，即x ＋9y －6＝0.故答案：x ＋9y －6＝0.8(2021·全国高二课时练习)曲线()ln f x x x =在点()()1,1f 处的切线的方程为________. 【答案】10x y --=【解析】()()()''10,ln 1,11f f x x f ==+=，所以切线方程为110y x x y =-⇒--=. 故答案为：10x y --=9．(2021·东城·北京一七一中高二月考)函数()sin x f x e x =的图象在点()()0,0f 处切线的方程为___________. 【答案】0x y -= 【解析】切点为()0,0，()()()''sin cos ,01x f x x x e f =+⋅=，故切线方程为y x =，即0x y -=. 故答案为：0x y -=10．(2021·全国高二课时练习)已知点M 是曲线3212313y x x x =-++上任意一点，求曲线在点M 处的斜率最小的切线方程．【答案】33110x y +-=．【解析】①()224321y x x x '=-+=--， ①当2x =时，min1y '=-，此时53y =， ①斜率最小的切线过点2,3⎛⎫⎪⎝⎭5，且斜率1k =-，①所求切线方程为33110x y +-=． 【题组六 已知切线方程求参数】1．(2021·曲靖市沾益区第四中学高二月考(理))若存在过点()0,0的直线与曲线2y x x =+和1e x y ax -=+都相切，则a =( ) A ．0 B ．1- C ．1 D ．e【答案】A【解析】设切线方程为y kx =，与2y x x =+联立，得()210x k x +-=，所以()210k ∆=-=，解得1k =，所以切线方程为y x =．设y x =与1e x y ax -=+的图像相切于点()11,x y ，1ex y a -'=+，则111111e 1,e ,x x a ax x --⎧+=⎨+=⎩解得0a =．2．(2021·全国高二课时练习)若曲线y ＝x 3＋ax 在(0，0)处的切线方程为2x －y ＝0，则实数a 的值为__________. 【答案】2【解析】曲线y ＝x 3＋ax 的切线斜率k ＝y ′＝3x 2＋a ， 又曲线在坐标原点处的切线方程为2x －y ＝0， ①3×02＋a ＝2，可得a ＝2. 故答案为：23．(2021·全国高二课时练习)已知函数f (x )＝ln +xk xe (k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，则k 的值为__________. 【答案】1【解析】由题设，1l (n )xkx x x x f xe --'=，x ①(0,＋∞). 又y ＝f (x )在点(1,f (1))处的切线与x 轴平行，①f ′(1)＝1k e-=0，可得k ＝1. 故答案为：14(2021·全国高二单元测试)设曲线y ＝ax 3+x 在(1，a )处的切线与直线2x ﹣y ﹣6＝0平行，则实数a 的值为______. 【答案】13【解析】解：根据题意，曲线y ＝ax 3+x ，其导函数y ′＝3ax 2+1，则有y ′|x ＝1＝3a +1，若曲线y ＝ax 3+x 在(1，a )处的切线与直线2x ﹣y ﹣6＝0平行，则有3a +1＝2，解可得：a ＝13； 故答案为：135(2021·全国高二课时练习)已知函数()()2ln 1f x x ax bx =+-+，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为322ln 23x y -+-0=，则a b +=______．【答案】2【解析】由题知：()121f x a bx x'=-++． 又因为直线322ln 230x y -+-=的斜率为32，且过点()1,ln 2， ①()()1ln 2312f f ⎧='⎪⎨=⎪⎩，即021b a b a -=⎧⎨-=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，①2a b +=． 故答案为：2.6．(2021·全国高二课时练习)已知曲线C ：()3f x x ax a =-+，若过曲线C 外一点1,0A 引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则实数a 的值为______． 【答案】278【解析】设切点坐标为()3,t t at a -+．由题意，知()23f x x a '=-，切线的斜率为23k t a =-①，所以切线的方程为()()()323y t at a t a x t --+=--①．将点()1,0代入①式，得()()()3231t at a t a t --+=--，解得0t =或32t =．分别将0t =和32t =代入①式，得k a =-和274k a =-．由题意，得274a a ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，得278a =． 故答案为：278. 7．(2021·浙江海曙·效实中学高二期中)已知直线21y x =-与曲线ln(3)y x t =+相切，则实数t 的值为__________． 【答案】33ln 22- 【解析】依题意，设切点坐标为00(,ln(3))x x t +，由ln(3)y x t =+求导得：33y x t'=+， 于是得000323ln(3)21x t x t x ⎧=⎪+⎨⎪+=-⎩，即00332321ln 2x t x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得：33ln 22t =-， 所以实数t 的值为33ln 22-. 故答案为：33ln 22- 8．(2021·全国高二课时练习)已知函数f (x )＝2ax x b+，且f (x )的图象在x ＝1处与直线y ＝2相切. (1)求函数f (x )的解析式； (2)若P (x 0，y 0)为f (x )图象上的任意一点，直线l 与f (x )的图象切于P 点，求直线l 的斜率k 的取值范围.【答案】(1)()241x f x x =+；(2)1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【解析】(1)()()()()22'22222a x b x axax ab f x x b x b +-⋅-+==++，依题意可知()()'12,10f f ==，所以()()()2101121a ab f b a f b -+⎧==⎪+⎪⎨⎪==+⎩'⎪，解得 4,1a b ==. 所以()241x f x x =+ (2)()()()()()22'2222222418448141111x x f x x x x x -++-+===-++++221118142x ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭， 由于(]22111,0,11x x +≥∈+， 221111814,8004242⎛⎫⎛⎫--=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以2211118,41422x ⎛⎫⎡⎤--∈- ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦， 所以切线l 的斜率的取值范围是1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 9．(2021·全国高二课时练习)已知函数f (x )=ax 2+ln x 的导数为()'f x ，(1)求(1)(1)'+f f ；(2)若曲线y =f (x )存在垂直于y 轴的切线，求实数a 的取值范围．【答案】(1)3a ＋1；(2)(,0)-∞.【解析】(1)依题意，f (x )=ax 2+ln x 的定义域为(0，+∞)，由f (x )=ax 2+ln x 求导得：1()2f x ax x '=+， 于是得(1)21f a '=+，而(1)f a =，所以(1()1)31f f a '+=+；(2)因曲线y =f (x )存在垂直于y 轴的切线，则此时切线斜率为0，由导数的几何意义知，方程()0f x '=在(0,)+∞内有解， 于是得方程120ax x +=，即212a x=-在(0,)+∞内有解，则0a <， 所以实数a 的取值范围是(,0)-∞.。