高中数学导数典型例题
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高中数学导数典型例题
题型一:利用导数研究函数的单调性、极值、最值
1. 已知函数32()f x x ax bx c =+++ 过曲线()y f x =上的点(1,(1))P f 的切线方程为y=3x +1 。
(1)若函数2)(-=x x f 在处有极值,求)(x f 的表达式;
(2)在(1)的条件下,求函数)(x f y =在[-3,1]上的最大值;
(3)若函数)(x f y =在区间[-2,1]上单调递增,求实数b 的取值范围
2. 已知).(3232)(23R a x ax x x f ∈--=
(1)当4
1||≤ a 时, 求证:)x (f 在)1,1( -内是减函数; (2)若)x (f y =在)1,1( -内有且只有一个极值点, 求a 的取值范围.
题型二:利用导数解决恒成立的问题
例1:已知322()69f x x ax a x =-+(a ∈R ).
(Ⅰ)求函数()f x 的单调递减区间;
(Ⅱ)当0a >时,若对[]0,3x ∀∈有()4f x ≤恒成立,求实数a 的取值范围.
例2:已知函数222()2()21x x f x e t e x x t =-++++,1()()2
g x f x '=.
(1)证明:当t <时,()g x 在R 上是增函数;
(2)对于给定的闭区间[]a b ,,试说明存在实数 k ,当t k >时,()g x 在闭区间[]a b ,
上是减函数;
(3)证明:3()2
f x ≥
.
例3:已知3)(,ln )(2-+-==ax x x g x x x f
(1)求函数)(x f 在)0](2,[>+t t t 上的最小值
(2)对(0,),2()()x f x g x ∀∈+∞≥恒成立,求实数a 的取值范围
题型三:利用导数研究方程的根
例4:已知函数a
x ax x f 313)(23-+-=. (I)讨论函数)(x f 的单调性;
(Ⅱ)若曲线()f x 上两点A 、B 处的切线都与y 轴垂直,且线段AB 与x 轴有公共点,求实
数a 的取值范围.
例5:已知函数),(3)(2
3R b a x bx ax x f ∈-+=,在点))1(,1(f 处的切线方程为.02=+y
(1)若对于区间]2,2[-上任意两个自变量的值21,x x ,都有c x f x f ≤-|)()(|21,求实数c
的最小值。
(2)若过点)2)(,2(≠m m M ,可作曲线)(x f y =的三条切线,求实数m 的取值范围。
题型四:导数与不等式的综合
例6:已知函数ln 1()x f x x +=
当1x ≥时,求证:()1f x ≤
例7:(2009 辽宁)已知函数f(x)=12
x 2-ax+(a -1)lnx ,a>1. (I )讨论函数f(x)的单调性;
(II )证明:若a<5,则对任意x 1,x 2∈(0,+∞),x 1≠x 2,有f(x 1)-f(x 2)x 1-x 2
>-1.