高一实验班空间角及其求法

学习必备欢迎下载空间角，能比较集中反映空间想象能力的要求，历来为高考命题者垂青，几乎年年必考。

空间角是异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角总称。

空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。

空间角的求法一般是：一找、二证、三计算。

一、异面直线所成角的求法异面直线所成的角的范围：0 90（一）平移法【例1】已知四边形ABCD 为直角梯形，AD//BC，ABC 90 ，PA 平面 AC ，且 BC 2 ，PAADAB1 ，求异面直线PC 与 BD 所成角的余弦值的大小。

【解】过点 C 作 CE // BD 交 AD 的延长线于E ，连结 PE ，则 PC 与 BD 所成的角为PCE 或它的补角。

CE BD 2，且PE PA2 AE2 10P由余弦定理得 c o s PCE PC 2 CE 2 PE 2 32PC CE 6A 3PC 与 BD 所成角的余弦值为 DC6 B（二）补形法【变式练习】已知正三棱柱ABC A1 B1C1的底面边长为8，侧棱长为 6，D为AC中点。

求异面直线AB1与 BC1所成角的余弦值。

A 1 C1 【答案】125 B 1DCAB二、直线与平面所成角直线与平面所成角的范围：90方法：射影转化法（关键是作垂线，找射影）【例 2】如图，在三棱锥 P ABC 中，APB 90， PAB 60 ，AB BC CA ，点 P 在平面 ABC内的射影 O 在 AB 上，求直线 PC 与平面 ABC 所成的角的大小。

P【解】连接 OC ，由已知，OCP 为直线 PC 与平面 ABC 所成角C设 AB 的中点为 D ，连接 PD ,CD 。

AB BC CA ，所以 CDABABAPB 90 , PAB60 ，所以 PAD 为等边三角形。

不妨设 PA2 ，则 OD 1,OP3, AB4CD 2 3, OCOD 2 CD 213 在 RtOCP 中， tan OCP OP 3 39OC1313【变式练习 1】如图，四棱锥S ABCD 中， AB // CD ， BC CD ，侧面 SAB 为等边三角形。

nPMdab2图npMdα1图MdP nβα4图MdP nα3图怎样求空间角、 空间距离求空间角、 空间距离高考的重点热点之一，属必考内容，同时也是最重要的得分点。

既是必考，就须反复操练，烂熟于心。

一、求空间距离方法方法一：用定义法做出相应的距离，转化为两点间的距离问题求解（通常转化为解三角形问题，有时也用等面积、等体积法求之）方法二： 向量坐标法 则d=||||n MP n ⋅（公式一）1、点P 到平面α的距离.如图1（M 为α内的点，n 为平面的法向量）2、异面直线a 与b 的距离如图2（P 为a 上一点，M 为b 上一点，n 为与两异面直线都垂直的向量）3、平行于平面α的直线l 到平面α的距离如图3（P 为线上一点，M 为面α内一点，n 为平面的法向量）4、平行平面α 、β间的距离如图4（P 为α内一点，M 为β内一点，n 为平面的法向量）二、求空间角的方法方法一：用定义法作角，转化为相交直线所成的角，然后求解. 1、异面直线a 与b 所成的角θ在一条直线上找一点作另一直线的平行线，构成三角形，或在具体图形中找另一点，过此点作两直线的平行线，构成三角形. 2、直线l 与平面α所成的角ϕ斜线上选点P ，过P 作PM ⊥α于M ，连 AM, ϕ=AMP ∠为所求;利用公式cos θb nam5图mαMPn6图=cos 1θ cos ϕ （θ为斜外角，1θ为面平角）3、二面角ϕ过二面角棱上一点分别在两个半平面内做垂线，从而得到所求的二面角（通常利用特殊图形法 、两垂一连法既三垂线定理去做）也可用射影面积公式求之 S ′=S cos ϕ方法二：向量法利用公式cos θ =||||||n m n m ⋅（公式二）求出θ= arccos||||||n m n m ⋅1、异面直线a 与b 所成的角θ如图5分别求出两条直线a 与b 的方向向量m 、n，利用公式二求出θ= arccos||||||n m n m ⋅2、直线l 与平面α所成的角ϕ如图6求与l 的方向向量m ,再求平面α的法向量n , m 与n 所在直线所成的角为θ，利用公式二求出θ= arccos||||||n m n m ⋅则ϕ＝2π－θ 3、求二面角ϕ如图7、8求两平面的法向量m 与n 或如图9、10找分别与两半平面平行且都垂直于棱的两向量m 与n .利用公式二求出θ= arccos||||||n m n m ⋅，当ϕ为锐角时如图7、9ϕ=θ， 当ϕ为钝角时如图8、10 ϕ= π－θ三.、用向量求角，求距离典型例题分析（对我们而言，不能求出角和距离许多时候是因为我们不能找到或作出角和距离。

关于求空间的角的问题 重难点归纳空间角的计算步骤 一作、二证、三算1 异面直线所成的角 范围 0°＜θ≤90° 方法 ①平移法；②补形法2 直线与平面所成的角 范围 0°≤θ≤90°方法 关键是作垂线，找射影3 二面角方法 ①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法注1 二面角的计算也可利用射影面积公式S ′=S cos θ来计算注2 借助空间向量计算各类角会起到事半功倍的效果 4．三种空间角的向量法计算公式：⑴异面直线,a b 所成的角θ：cos cos ,a b θ=<>；⑵直线a 与平面α(法向量n)所成的角θ：sin cos ,a n θ=<> ； ⑶锐二面角θ：cos cos ,m n θ=<> ，其中,m n为两个面的法向量。

典型题例示范讲解例1在棱长为a 的正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，E 、F 分别是BC 、A ′D ′的中点(1)求证 四边形B ′EDF 是菱形； (2)求直线A ′C 与DE 所成的角；(3)求直线AD 与平面B ′EDF 所成的角； (4)求面B ′EDF 与面ABCD 所成的角命题意图 本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，综合性较强知识依托 平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角错解分析 对于第(1)问，若仅由B ′E =ED =DF =FB ′就断定B ′EDF 是菱形是错误的，因为存在着四边相等的空间四边形，必须证明B ′、E 、D 、F 四点共面技巧与方法 求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法 求二面角的大小也可应用面积射影法(1)证明 如上图所示，由勾股定理，得B ′E =ED =DF =FB ′=25a ,下证B ′、E 、D 、F 四点共面，取AD 中点G ，连结A ′G 、EG ，由EG AB A ′B ′知，B ′EGA ′是平行四边形∴B ′E ∥A ′G ,又A ′F DG ,∴A ′GDF 为平行四边形∴A ′G ∥FD ，∴B ′、E 、D 、F 四点共面 故四边形B ′EDF 是菱形(2)解 如图所示，在平面ABCD 内，过C 作CP ∥DE ，交直线AD 于P ，则∠A ′CP (或补角)为异面直线A ′C 与DE 所成的角在△A ′CP 中，G FD'C'A'DA易得A ′C =3a ，CP =DE =25a ,A ′P =213a由余弦定理得cos A ′CP =1515故A ′C 与DE 所成角为15另法（向量法） 如图建立坐标系，则(0,0,),(,,0),(0,,0),(,,0)2a A a C a a D a E a '(,,),(,,0)2aA C a a a D E a '⇒=-=-15cos ,15||||A C D E A C D E A C D E ''⇒<>=='故A ′C 与DE 所成角为15(3)解 ∵∠ADE =∠ADF ,∴AD 在平面B ′EDF 内的射影在∠EDF 的平分线上 如下图所示又∵B ′EDF 为菱形，∴DB ′为∠EDF 的平分线，故直线AD 与平面B ′EDF 所成的角为∠ADB ′在Rt △B ′AD 中，AD =2a ，AB ′=2a ,B ′D =2a 则cos ADB ′=33故AD 与平面B ′EDF 所成的角是3另法（向量法）∵∠ADE =∠ADF ,∴AD 在平面B ′EDF 内的射影在∠EDF 的平分线上 如下图所示 又∵B ′EDF 为菱形，∴DB ′为∠EDF 的平分线， 故直线AD 与平面B ′EDF 所成的角为∠ADB ′，如图建立坐标系，则(0,0,0),(,0,),(0,,0)A B a a D a ' (0,,0),(,,)D A a D B a a a '⇒=-=-3cos ,3||||D A D B D A D B D A D B ''⇒<>=='， 故AD 与平面B ′EDF 所成的角是3(4)解 如图，连结EF 、B ′D ，交于O 点，显然O 为B ′D 的中点，从而O 为正方形ABCD —A ′B ′C ′D 的中心作OH ⊥平面ABCD ，则H 为正方形ABCD 的中心， 再作HM ⊥DE ，垂足为M ，连结OM ，则OM ⊥DE ，PD'C'B'A'DCB AFC'A'DBAED'C'B'A'DCBAozyFED'C'B'A'DCBAxyz故∠OMH 为二面角B ′—DE ′—A 的平面角在Rt △DOE 中，OE =22a ,OD =23a ,斜边DE =25a ,则由面积关系得OM =1030=⋅DEOE OD a 在Rt △OHM 中，sin OMH =630=OMOH故面B ′EDF 与面ABCD 所成的角为30另法（向量法） 如图建立坐标系，则(0,0,0),(0,0,),(,0,),(0,,0),(,,0)2a A A a B a a D a E a ''，所以面ABCD 的法向量为 (0,0,),m A A a '==下面求面B ′EDF 的法向量n设(1,,)n y z =，由(,,0),(0,,),22a a E D a E B a '=-=-00221002a a y n ED y a z n ED y az ⎧-+=⎪⎧==⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨==⎩⎪⎪⎩-+=⎪⎩ ∴(1,2,1)n =∴6cos ,||||n m n m n m <>==故面B ′EDF 与面ABCD 所成的角为6arccos例2如下图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧棱AA 1长为b ,且AA 1与AB 、AD 的夹角都是120°求 (1)AC 1的长；(2)直线BD 1与AC 所成的角的余弦值命题意图 本题主要考查利用向量法来解决立体几何问题知识依托 向量的加、减及向量的数量积错解分析 注意＜1,AA AB ＞=＜1AA ,AD＞=120°而不是60°,＜,A B A D＞=90°技巧与方法 数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用D 1C 111DCBAH OM FC'A'DBA FED'C'B'A'DCBAxyz21111111222111:(1)||()()()()||||||222AC AC AC AA AC AA AC AA AB AD AA AB AD AA AB AD AA AB AA AD AB AD=⋅=++=++++=+++⋅+⋅+⋅解22222111112221:||,||||,,120,,9011cos120,cos120,0,22||2AA b AB AD a AA AB AA AD AB AD AA AB b a ab AA AD b a ab AB AD AC a b ===<>=<>=︒<>=︒∴⋅=⋅︒=-⋅=⋅︒=-⋅=∴=+-由已知得2212,||22.ab AC a b ab ∴=+-11112211(2),||2,()()AC a AC AB AD BD AD BA AA AD AB AC BD AB AD AA AD AB AB AA AD AA AB AD AD AB ==+=+=+-∴⋅=++-=⋅+⋅+⋅+-依题意得21111122222111||()()||||||2222AB AD ab BD BD BD AA AD AB AA AD AB AA AD AB AA AD AB AD AA AB a b -⋅=-=⋅=+-+-=+++⋅-⋅-⋅=+2212||b a BD +=∴11221cos ,||||42BD ACBD AC BD AC a b⋅<>==+∴BD 1与AC 2224ba +例3如图，l αβ--为60°的二面角，等腰直角三角形MPN 的直角顶点P 在l 上，M ∈α,N ∈β,且MP 与β所成的角等于NP 与α所成的角(1)求证 MN 分别与α、β所成角相等；(2)求MN 与β所成角(1)证明 作NA ⊥α于A ，MB ⊥β于B ,连接AP 、PB 、BN 、AM ，再作AC ⊥l 于C ，BD⊥l 于D ，连接NC 、MD600CDA600βαNP BMβαNP M∵NA ⊥α,MB ⊥β,∴∠MPB 、∠NPA 分别是MP 与β所成角及NP 与α所成角，∠MNB ，∠NMA 分别是MN 与β,α所成角，∴∠MPB =∠NPA在Rt △MPB 与Rt △NPA 中，PM =PN ，∠MPB =∠NPA ，∴△MPB ≌△NPA ，∴MB =NA 在Rt △MNB 与Rt △NMA 中，MB =NA ，MN 是公共边，∴△MNB ≌△NMA ，∴∠MNB =∠NMA ，即(1)结论成立(2)解 设∠MNB =θ,MN =2a ,则PB =PN =a ,MB =NA =2a sin θ，NB =2a cos θ ,∵MB ⊥β,BD ⊥l ,∴MD ⊥l ,∴∠MDB 是二面角α—l —β的平面角，∴∠MDB =60°，同理∠NCA =60°,∴BD =AC =3633=MB a sin θ,CN =DM =63260sin 6=︒MB a sin θ,∵MB ⊥β，MP ⊥PN ，∴BP ⊥PN∵∠BPN =90°,∠DPB =∠CNP ,∴△BPD ∽△PNC ,∴PBBD PNPC =2222a CNDB aBN a-=-即222226(sin )6sin 33(2cos )a a aa aθθθ-∴=-整理得，16sin 4θ－16sin 2θ+3=0 解得sin 2θ=4341或,sin θ=2321或，当sin θ=23时，CN =632a sin θ=2a ＞PN 不合理，舍去∴sin θ=21,∴MN 与β所成角为30°另法（向量法） 如图设α的法向量为n ，β的法向量为m，模均为1，由题意0,60n m <>= ，,,n PN m PM <>=<> ，0,90,P N P M <>= 设||||PN PM a ==，则，12n m =，n PN m PM n PN m PM == 或－，0,P N P M =且0m PN n PM ==cos ,||||||||||M N n M N n PN n PM n PN nM N n M N n M N M N M N -<>====cos ,||||||||||M N m M N m PN m PM m PM mM N m M N m M N M N M N --<>====所以cos ,M N n <> ＝cos ,M N m <>或cos ,M N n <> ＝－cos ,M N m <>所以，MN 分别与α、β所成角相等学生巩固练习1 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，O 为底面ABCD 的中心，P 为棱A 1B 1上任意一点，则直线OP 与直线AM 所成的角是( )A6πB4πC3πD2π2 设△ABC 和△DBC 所在两平面互相垂直，且AB =BC =BD =a ,∠CBA =∠CBD =120°,则AD 与平面BCD 所成的角为( )A 30°B 45°C 60°D 75°3 已知∠AOB =90°,过O 点引∠AOB 所在平面的斜线OC ，与OA 、OB 分别成45°、60°，则以OC 为棱的二面角A —OC —B 的余弦值等于______4 正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为2∶3,则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为_________5 已知四边形ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠ABC =90°,PA ⊥平面AC ，且PA =AD =AB =1,BC =2(1)求PC 的长；(2)求异面直线PC 与BD 所成角的余弦值的大小； (3)求证 二面角B —PC —D 为直二面角6 设△ABC 和△DBC 所在的两个平面互相垂直，且AB =BC =BD ，∠ABC =∠DBC =120°，求(1)直线AD 与平面BCD 所成角的大小； (2)异面直线AD 与BC 所成的角； (3)二面角A —BD —C 的大小7一副三角板拼成一个四边形ABCD ，如图，然后将它沿BC 折成直二面角(1)求证 平面ABD ⊥平面ACD ； (2)求AD 与BC 所成的角；(3)求二面角A —BD —C 的大小参考答案1 解析 (特殊位置法）将P 点取为A 1，作OE ⊥AD 于E ，连结A 1E ，则A 1E 为OA 1的射影，又AM ⊥A 1E ，∴AM ⊥OA 1，即AM 与OP 成90°角答案 D2 解析 作AO ⊥CB 的延长线，连OD ，则OD 即为AD 在平面BCD 上的射影，∵AO =OD =23a ,∴∠ADO =45°答案 B3 解析 在OC 上取一点C ，使OC =1，过C 分别作CA ⊥OC 交OA 于A ，CB ⊥OC交OB 于B ，则AC =1，，OA =2，BC =3，OB =2，Rt △AOB 中，AB 2=6，△ABC 中，由P A DDBAABCABC余弦定理，得cos ACB =3答案 －334 解析 设一个侧面面积为S 1，底面面积为S ，则这个侧面在底面上射影的面积为3S ，由题设得321=S S ，设侧面与底面所成二面角为θ,则cos θ=2133111==S S S S,∴θ=60°答案 60°5 (1)解 因为PA ⊥平面AC ，AB ⊥BC ,∴PB ⊥BC ,即∠PBC =90°,由勾股定理得PB =222=+AB PA∴PC =622=+PCPB(2)解 如图，过点C 作CE ∥BD 交AD 的延长线于E ，连结PE ，则PC 与BD 所成的角为∠PCE 或它的补角∵CE =BD =2，且PE =1022=+AE PA∴由余弦定理得 cos PCE =632222-=⋅-+CEPC PECE PC∴PC 与BD 3(3）证明 设PB 、PC 中点分别为G 、F ，连结FG 、AG 、DF ，则GF ∥BC ∥AD ，且GF =21BC =1=AD ，从而四边形ADFG 为平行四边形， 又AD ⊥平面PAB ，∴AD ⊥AG ， 即ADFG 为矩形，DF ⊥FG在△PCD 中，PD =2，CD =2，F 为BC 中点， ∴DF ⊥PC从而DF ⊥平面PBC ，故平面PDC ⊥平面PBC ， 即二面角B —PC —D 为直二面角 另法（向量法） (略)PA BCDoxzyF G P A DEPAC D6 解 (1)如图，在平面ABC 内，过A 作AH ⊥BC ，垂足为H ，则AH ⊥平面DBC ，∴∠ADH 即为直线AD 与平面BCD 所成的角 由题设知△AHB ≌△AHD ，则DH ⊥BH ，AH =DH ，∴∠ADH =45°(2)∵BC ⊥DH ，且DH 为AD 在平面BCD 上的射影，∴BC ⊥AD ，故AD 与BC 所成的角为90°(3)过H 作HR ⊥BD ，垂足为R ，连结AR ，则由三垂线定理知，AR ⊥BD ，故∠ARH 为二面角A —BD —C 的平面角的补角 设BC =a ,则由题设知，AH =DH =2,23a BH a =,在△HDB 中，HR =43a ，∴tan ARH =HRAH =2故二面角A —BD —C 大小为π－arctan2另法（向量法） (略)R H ABCDzy7 (1)证明 取BC 中点E ，连结AE ，∵AB =AC ，∴AE ⊥BC∵平面ABC ⊥平面BCD ，∴AE ⊥平面BCD ， ∵BC ⊥CD ，由三垂线定理知AB ⊥CD又∵AB ⊥AC ，∴AB ⊥平面BCD ，∵AB ⊂平面ABD ∴平面ABD ⊥平面ACD(2)解 在面BCD 内，过D 作DF ∥BC ，过E 作EF ⊥DF ，交DF 于F ，由三垂线定理知A F ⊥DF ，∠ADF 为AD 与BC 所成的角设AB =m ，则BC =2m ，CE =DF =22m ,CD =EF =36m321arctan,321tan 22=∠∴=+==∴ADF DFEFAEDFAF ADF即AD 与BC 所成的角为arctan321(3)解 ∵AE ⊥面BCD ，过E 作EG ⊥BD 于G ，连结AG ，由三垂线定理知AG ⊥BD ，∴∠AGE 为二面角A —BD —C 的平面角 ∵∠EBG =30°，BE =22m ,∴EG =42m又AE =22m ,∴tan AGE =GEAE =2,∴∠AGE =arctan2即二面角A —BD —C 的大小为arctan2 另法（向量法） (略)G GEF ECBAABCDR HAB CFEF EDC BAABCo xzy课前后备注。

空间角的几何求法一、 异面直线所成角（线线角）范围：(0,]2πθ∈先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得。

【典例分析】例1. 已知多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，AC = AD = CD = DE = 2，AB = 1，F 为CD 的中点. （1）求证：AF ⊥平面CDE ； （2）求异面直线AC ，BE 所成角余弦值；【变式】在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为。

二、直线与平面所成角（线面角）范围：[0,]2πθ∈【典例分析】例1.如图，已知多面体ABCA 1B 1C 1，A 1A ，B 1B ，C 1C 均垂直于平面ABC ，∠ABC =120°，A 1A =4，C 1C =1，AB =BC =B 1B =2．（1）证明：AB 1⊥平面A 1B 1C 1；（2）求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值．【变式】如图，四边形ABCD 是正方形，PB ⊥平面ABCD ，MA//PB ，PB=AB=2MA ， （1）证明：AC//平面PMD ；（2）求直线BD 与平面PCD 所成的角的大小；1111ABCD A B C D -1AB BC ==13AA =1AD 1DB例2. 如图所示，四棱锥P —ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，PA ⊥底面ABCD ，PA=AD=CD=2AB=2， M 为PC 的中点。

(1)求证：BM∥平面PAD ；(2)在侧面PAD 内找一点N ，使MN ⊥平面PBD ； (3)求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦。

【变式】如图，在三棱锥V ABC -中，VC ABC ⊥底面，AC BC ⊥，D 是AB 的中点，且AC BC a ==，π02VDC θθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭∠．（1）求证：平面VAB ⊥平面VCD ；（2）试确定角θ的值，使得直线BC 与平面VAB 所成的角为π6．三、平面与平面所成角（面面角）范围：[0,]θπ∈（1）定义法：当点A 在二面角α- -β的棱 上时，可过A 分别在α、β内作棱 的垂线，AB 、AC ，由定义可知∠BAC 即为二面角α- -β的平面角。

立体几何专题：空间角第一节：异面直线所成的角一、基础知识1.定义： 直线a 、b 是异面直线，经过空间一交o ，分别a ΄//a ，b ΄//b ，相交直线a ΄b ΄所成的锐角（或直角）叫做。

2.范围： ⎥⎦⎤⎝⎛∈2,0πθ3.方法： 平移法、问量法、三线角公式（1）平移法：在图中选一个恰当的点（通常是线段端点或中点）作a 、b 的平行线，构造一个三角形，并解三角形求角。

（2）向量法：可适当选取异面直线上的方向向量，利用公式ba b a b a ⋅=><=,cos cos θ求出来方法1：利用向量计算。

选取一组基向量，分别算出 b a ⋅，a ，b 代入上式 方法2：利用向量坐标计算，建系，确定直线上某两点坐标进而求出方向向量),,(111z y x a =),,(222z y x b =222222212121212121cos z y x z y x z z y y x x ++++++=∴θ（3）三线角公式 用于求线面角和线线角 斜线和平面内的直线与斜线的射影所成角的余弦之积等于斜线和平面内的直线所成角的余弦 即：θθθcos cos cos 21= 二、例题讲练例1、（2007年全国高考）如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中， 12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为 例2、在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知AB=a ，BC=)(b a b >,AA 1=c ，求异面直线D 1B 和AC 所成的角的余弦值。

方法一：过B 点作 AC 的平行线（补形平移法） 方法二：过AC 的中点作BD1平行线方法三：（向量法）例3、 已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD ，且12PA AD DC ===，1AB =，M 是PB 的中点（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；例4、 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，3AB =，1BC =，2PA =， E 为PD 的中点求直线AC 与PB 所成角的余弦值；AB1B 1A 1D 1CCDOBB1A1AC1D CD1ϕ2ϕ1c b aθPαO AB1.正方体的12条棱和12条 面对角线中，互相异面的两条线成的角大小构成的集合是。