高中数学空间角的求法教案

2014年高考数学第二轮复习专题立体几何---空间角【考点审视】立体几何高考命题及考查重点、难点稳定：高考始终把空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的性质与判定、线面间的角与距离的计算作为考查的重点，尤其是以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证，更是年年反复进行考查，在难度上也始终以中等偏难为主。

空间的角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量分析的一个重要概念，空间角高考中每年必考，复习时必须高度重视。

对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用．考试要求考点1：掌握空间两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角、二面角的平面角等概念；考点2：能熟练地在图形中找出相关的角并证明；考点3：能用向量方法和非向量方法进行计算；考点4：通过空间角的计算和应用进一步考察运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力．【高考链接】1.空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间的角主要研究射影以及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等．解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决．2． 三种空间角，即异面直线所成角、直线与平面所成角、平面与平面所成二面角。

它们的求法一般化归为求两条相交直线的夹角，通常“线线角抓平移，线面角找射影，面面角作平面角”而达到化归目的，有时二面角大小出通过cos θ=原射S S 来求。

3． 由于近年考题常立足于棱柱、棱锥和正方体，因此复习时应注意多面体的依托作用，熟练多面体性质的应用，才能发现隐蔽条件，利用隐含条件，达到快速准确解题的目的。

【复习回顾】（一）空间角三种角的定义异面直线所成的角(1)定义：,a b 是两条异面直线，经过空间任意一点o ，分别引直线//'a a ，//'b b ,则'a 和'b 所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 和b 所成的角.(2)取值范围：090θ≤≤. (3)求解方法①根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ； ②解含有θ的三角形，求出角θ的大小. 直线和平面所成的角(1)定义 和平面所成的角有三种：斜线和平面所成的角 这条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.垂线与平面所成的角 直线垂直于平面，则它们所成的角是直角. 一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0°的角. (2)取值范围090θ≤≤° (3)求解方法①作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ. ②解含θ的三角形，求出其大小. ③最小角定理斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角，亦可说，斜线和平面所成的角不大于斜线与平面内任何直线所成的角二面角及二面角的平面角 (1)半平面 (2)二面角.(3)二面角的平面角 二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角θ的取值范围是0°＜θ≤180°②二面角的平面角具有下列性质：二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面。

空间角的求法教案一、教学目标1. 让学生掌握空间角的概念，理解空间角的求法。

2. 培养学生运用空间角解决实际问题的能力。

3. 提高学生对空间几何的兴趣和认识。

二、教学内容1. 空间角的概念2. 空间角的求法3. 空间角的运用三、教学重点与难点1. 教学重点：空间角的概念，空间角的求法。

2. 教学难点：空间角的求法在实际问题中的应用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究空间角的求法。

2. 利用多媒体课件，直观展示空间角的求法过程。

3. 开展小组讨论，培养学生的合作意识。

五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引导学生了解空间角的概念。

2. 新课讲解：讲解空间角的定义，演示空间角的求法过程。

3. 案例分析：分析实际问题，运用空间角解决问题。

4. 小组讨论：学生分组讨论，分享各自的解题心得。

5. 总结与拓展：总结空间角的求法，提出拓展问题，激发学生的学习兴趣。

6. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。

教案内容请根据实际教学情况进行调整和补充。

六、教学评估1. 课堂问答：通过提问学生，了解他们对空间角概念和求法的掌握情况。

2. 练习题：布置课堂练习题，评估学生对空间角求法的运用能力。

3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，了解他们的合作能力和解决问题的能力。

七、教学反思1. 教师总结：反思教学过程中的优点和不足，为下一步教学做好准备。

2. 学生反馈：听取学生的意见和建议，改进教学方法。

3. 教学调整：根据教学反思，调整教学计划和内容。

八、课后作业1. 巩固空间角的概念和求法，完成相关练习题。

2. 思考空间角在实际问题中的应用，尝试解决相关问题。

3. 预习下一节课内容，为课堂学习做好准备。

九、拓展与延伸1. 研究空间角的其他求法，如利用向量、坐标等方法。

2. 探索空间角在立体几何中的应用，如对立体图形的分类、性质等方面进行研究。

3. 关注空间角在现实生活中的应用，举例说明空间角在工程、设计等领域的作用。

利用向量法求空间角一、教学目标1. 让学生掌握空间向量的基本概念和运算法则。

2. 培养学生利用向量法求空间角的能力。

3. 提高学生解决空间几何问题的综合素质。

二、教学内容1. 空间向量的概念及其表示方法。

2. 空间向量的线性运算：加法、减法、数乘、数量积（点积）、叉积。

3. 空间向量的坐标表示与运算。

4. 空间角的概念及求法。

5. 利用向量法求空间角的方法与步骤。

三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）空间向量的概念及其表示方法。

（2）空间向量的线性运算及坐标表示。

（3）空间角的概念及求法。

（4）利用向量法求空间角的方法与步骤。

2. 教学难点：（1）空间向量的坐标表示与运算。

（2）利用向量法求空间角的具体步骤。

四、教学方法与手段1. 采用讲授法、示范法、练习法、讨论法等教学方法。

2. 使用多媒体课件、黑板、教具等教学手段。

五、教学过程1. 导入新课：介绍空间向量的概念，引导学生回顾初中阶段所学的一维向量和二维向量，引出三维空间向量的概念。

2. 知识讲解：讲解空间向量的表示方法、线性运算（加法、减法、数乘）、数量积（点积）和叉积。

3. 实例演示：利用多媒体课件演示空间向量的坐标表示与运算，让学生直观地感受空间向量的运算过程。

4. 练习巩固：布置一些有关空间向量的练习题，让学生独立完成，检验学生对知识的理解和掌握程度。

5. 讲解空间角的概念及求法：讲解空间角的概念，引导学生理解空间角的大小与两个向量的夹角有关。

6. 方法讲解：讲解利用向量法求空间角的方法与步骤，让学生了解如何运用向量知识求解空间角。

7. 课堂小结：对本节课的主要内容进行总结，强调空间向量运算和空间角求解的方法。

8. 课后作业：布置一些有关利用向量法求空间角的练习题，让学生巩固所学知识。

六、教学拓展1. 引导学生思考空间向量在实际问题中的应用，例如物理学中的力、速度等问题。

2. 探讨空间向量与其他数学领域的联系，如代数、微积分等。

七、课堂练习1. 布置一些有关空间向量运算和空间角求解的练习题，让学生独立完成。

利用向量法求空间角-经典教案教案章节一：向量基础教学目标：1. 理解向量的概念及其表示方法。

2. 掌握向量的运算规则，包括加法、减法、数乘和点乘。

教学内容：1. 向量的定义及表示方法。

2. 向量的运算规则：a) 向量加法：三角形法则和平行四边形法则。

b) 向量减法：向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量。

c) 数乘：一个实数乘以一个向量，得到一个新的向量，其实数乘以原向量的模，新向量的方向与原向量相同。

d) 点乘：两个向量的点乘，得到一个实数，表示两个向量的夹角的余弦值。

教学活动：1. 通过实际操作，让学生直观地理解向量的概念和表示方法。

2. 通过例题，让学生掌握向量的运算规则。

教案章节二：空间向量教学目标：1. 理解空间向量的概念及其表示方法。

2. 掌握空间向量的运算规则，包括空间向量的加法、减法、数乘和点乘。

教学内容：1. 空间向量的定义及表示方法。

2. 空间向量的运算规则：a) 空间向量加法：三角形法则和平行四边形法则。

b) 空间向量减法：空间向量减去另一个空间向量等于加上这个空间向量的相反空间向量。

c) 空间向量的数乘：一个实数乘以一个空间向量，得到一个新的空间向量，其实数乘以原空间向量的模，新空间向量的方向与原空间向量相同。

d) 空间向量的点乘：两个空间向量的点乘，得到一个实数，表示两个空间向量的夹角的余弦值。

教学活动：1. 通过实际操作，让学生直观地理解空间向量的概念和表示方法。

2. 通过例题，让学生掌握空间向量的运算规则。

教案章节三：向量的投影教学目标：1. 理解向量的投影的概念及其计算方法。

2. 掌握向量的正交投影和斜投影的计算方法。

教学内容：1. 向量的投影的定义及计算方法。

2. 向量的正交投影和斜投影的计算方法：a) 向量的正交投影：将向量投影到垂直于某一平面的向量上，得到的投影向量与投影平面垂直。

b) 向量的斜投影：将向量投影到某一平面上，得到的投影向量与投影平面不垂直。

利用向量法求空间角-经典教案第一章：向量法概述1.1 向量的概念向量的定义向量的表示方法向量的几何性质1.2 向量的运算向量的加法向量的减法向量的数乘向量的点积向量的叉积1.3 向量法在空间角求解中的应用向量法求解空间角的基本思路向量法与传统解法的比较第二章：空间向量基本定理2.1 空间向量基本定理的定义空间向量基本定理的表述空间向量基本定理的意义2.2 空间向量基本定理的证明向量加法的平行性质向量数乘的分配性质向量点积的性质2.3 空间向量基本定理的应用利用空间向量基本定理求解空间角空间向量基本定理在其他几何问题中的应用第三章：空间向量的线性运算3.1 空间向量的线性组合线性组合的定义线性组合的运算规则3.2 空间向量空间的线性相关性线性相关的定义线性相关的判定条件3.3 空间向量空间的基底基底的概念基底的选取方法第四章：空间向量的内积与距离4.1 空间向量的内积内积的定义内积的运算规则4.2 空间向量的距离距离的定义距离的运算规则4.3 空间向量的内积与距离的应用利用内积与距离求解空间角内积与距离在其他几何问题中的应用第五章：空间向量的外积与向量积5.1 空间向量的外积外积的定义外积的运算规则5.2 空间向量积向量积的定义向量积的运算规则5.3 空间向量的外积与向量积的应用利用外积与向量积求解空间角外积与向量积在其他几何问题中的应用第六章：空间向量法求解空间角6.1 空间向量的加法与减法空间向量的加法运算空间向量的减法运算运算过程中的注意事项6.2 空间向量的数乘空间向量的数乘定义数乘对向量几何性质的影响6.3 空间向量的点积点积的定义与运算规则点积的性质与应用6.4 空间向量的叉积叉积的定义与运算规则叉积的性质与应用第七章：空间向量法在立体几何中的应用7.1 立体几何中的基本概念点、线、面的关系立体几何中的各类角度定义7.2 利用空间向量法求解立体几何问题求解空间角的步骤与方法向量法在立体几何中的应用案例7.3 空间向量法在立体几何教学中的意义提高学生的空间想象能力培养学生的逻辑思维能力第八章：空间向量法在现实生活中的应用8.1 空间向量在导航与定位中的应用导航与定位的基本原理空间向量在导航与定位中的应用案例8.2 空间向量在运动规划中的应用运动规划的基本概念空间向量在运动规划中的应用案例8.3 空间向量在其他现实生活中的应用建筑设计中的空间向量应用航空航天领域的空间向量应用第九章：空间向量法的拓展与延伸9.1 空间向量与线性代数的关系线性代数基本概念回顾空间向量与线性代数之间的联系9.2 空间向量法在其他学科中的应用物理学中的空间向量应用计算机科学中的空间向量应用9.3 空间向量法的进一步研究空间向量法的优化与发展空间向量法在未来的研究方向第十章：空间向量法教学实践与反思10.1 空间向量法教学设计教学目标与内容的安排教学方法与手段的选择10.2 空间向量法教学效果评估学生学习情况的分析教学方法的调整与改进10.3 空间向量法教学反思教学过程中的优点与不足对未来教学的展望与计划重点和难点解析重点一：向量的概念与表示方法向量是既有大小，又有方向的量，通常用箭头表示。

利用向量法求空间角一、教学目标1. 让学生掌握空间向量的基本概念和性质。

2. 让学生学会使用向量法求解空间角。

3. 培养学生解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 空间向量的基本概念和性质。

2. 向量法求解空间角的基本步骤。

3. 实际问题中的应用案例。

三、教学方法1. 采用讲授法，讲解空间向量的基本概念和性质。

2. 采用演示法，展示向量法求解空间角的步骤。

3. 采用案例教学法，分析实际问题中的应用。

四、教学步骤1. 引入空间向量的概念，讲解其基本性质。

2. 讲解向量法求解空间角的基本步骤。

3. 分析实际问题中的应用案例，引导学生运用向量法解决问题。

五、课后作业1. 复习本节课所学内容，整理笔记。

2. 完成课后练习题，巩固所学知识。

3. 选择一个实际问题，尝试运用向量法解决。

六、教学评价1. 课堂讲解：观察学生对空间向量概念和性质的理解程度。

2. 课后作业：检查学生对向量法求解空间角的掌握情况。

3. 实际问题解决：评估学生在实际问题中的应用能力。

七、教学资源1. 教案、PPT、教材等相关教学资料。

2. 计算机、投影仪等教学设备。

3. 实际问题案例库。

八、教学时间1课时（45分钟）九、教学重点与难点1. 空间向量的基本概念和性质。

2. 向量法求解空间角的基本步骤。

3. 实际问题中的应用案例。

十、教学PPT内容1. 空间向量的基本概念和性质。

2. 向量法求解空间角的基本步骤。

3. 实际问题中的应用案例。

十一、教学案例案例一：求解空间直角坐标系中两向量的夹角。

案例二：求解空间四边形的对角线夹角。

案例三：求解空间旋转体的主轴与旋转轴的夹角。

十二、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生对空间向量法的理解和应用能力。

十三、教学拓展1. 研究空间向量在几何中的应用。

2. 探索向量法在物理学、工程学等领域的应用。

十四、教学建议1. 注重学生空间想象能力的培养。

2. 鼓励学生积极参与课堂讨论，提高课堂氛围。

高中数学空间角度问题教案
学科：数学
年级：高中
课时安排：2课时
教学目标：
1. 理解空间角度的概念，能够准确描述和度量空间角度；
2. 能够运用空间角度的知识解决相关问题；
3. 培养学生的空间想象力和逻辑推理能力。

教学步骤：
第一课时：
1. 导入：通过展示一些真实生活中的空间角度问题，引导学生思考空间角度的概念及其重要性。

2. 讲解：介绍空间角度的定义和性质，分别讲解平面角度和空间角度的区别；
3. 案例分析：给出一些实际问题，让学生尝试计算空间角度，并讨论解决方法；
4. 练习：让学生在小组内进行练习，互相讨论并解答问题；
5. 总结：总结本节课所学内容，强调空间角度的重要性及运用。

第二课时：
1. 复习：通过解答一些简单空间角度问题，复习上节课的内容；
2. 练习：给出一些复杂的空间角度问题，让学生自主解答，并制定解题思路；
3. 探究：引导学生思考空间角度问题的不同解法和解题技巧；
4. 实践：让学生在实际情景中应用空间角度知识，解决一些具体问题；
5. 总结：总结本节课的内容，检查学生对空间角度问题的理解和掌握情况。

教学反思：
本节课以空间角度为主题，通过讲解和案例分析，引导学生掌握空间角度的计算方法和应用技巧，帮助他们在实际问题中运用空间角度知识进行思考和解决。

通过本节课的学习，
学生不仅提高了空间角度问题的解决能力，还培养了他们的空间想象力和逻辑推理能力。

希望学生能够在实际生活中运用所学知识，不断提升自己的数学素养。

利用向量法求空间角-经典教案教案章节：一、向量法求空间角的概念教学目标：1. 了解向量法求空间角的概念。

2. 掌握向量法求空间角的基本方法。

教学内容：1. 向量法求空间角的概念介绍。

2. 向量法求空间角的计算方法。

教学步骤：1. 引入向量法求空间角的概念，解释空间角的概念。

2. 讲解向量法求空间角的计算方法，通过示例进行演示。

3. 进行练习，让学生巩固向量法求空间角的方法。

教学评估：1. 通过课堂提问，检查学生对向量法求空间角概念的理解。

2. 通过练习题，检查学生对向量法求空间角计算方法的掌握。

二、向量法求空间角的计算方法教学目标：1. 掌握向量法求空间角的计算方法。

2. 能够应用向量法求解空间角的问题。

教学内容：1. 向量法求空间角的计算方法介绍。

2. 向量法求空间角的计算实例。

教学步骤：1. 复习向量法求空间角的概念，引入计算方法。

2. 讲解向量法求空间角的计算步骤，通过示例进行演示。

3. 进行练习，让学生巩固向量法求空间角的计算方法。

教学评估：1. 通过课堂提问，检查学生对向量法求空间角计算方法的理解。

2. 通过练习题，检查学生对向量法求解空间角问题的能力。

三、向量法求空间角的练习题教学目标：1. 巩固向量法求空间角的计算方法。

2. 提高学生应用向量法求解空间角问题的能力。

教学内容：1. 向量法求空间角的练习题。

教学步骤：1. 给出向量法求空间角的练习题，让学生独立完成。

2. 对学生的答案进行讲解和指导，解决学生在解题过程中遇到的问题。

3. 进行练习，让学生进一步巩固向量法求空间角的计算方法。

教学评估：1. 通过练习题，检查学生对向量法求解空间角问题的能力。

2. 通过学生的解题过程，了解学生对向量法求空间角计算方法的掌握情况。

四、向量法求空间角的拓展与应用教学目标：1. 了解向量法求空间角的拓展与应用。

2. 能够应用向量法解决实际问题中的空间角问题。

教学内容：1. 向量法求空间角的拓展与应用介绍。

,a b>；θ=<>；n)所成的角sin cos,a n⑶二面角：锐二面角θ：cos cos ,m n θ=<>，其中,m n 为两个面的法向量。

活动三：合作学习、探究新知（18分钟）利用向量知识求线线角，线面角，二面角的大小。

一、异面线所成角：例1、如图所示的正方体中，已知与为四等分点，求异面直线与的夹角的余弦值？方法小结：1、异面直线a 、b 所成的角：在空间中任取一点O ，过点O 分别引/a ∥a ，/b ∥b ，则/a ，/b 所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角。

两条异面直线所成角的范围：(0,]2π。

2、求法：①传统法：把两条异面直线中的一条放入一个平面，另一条与这个平面有交点，过这个交点在平面内作第一条的平行线，则这两条直线所成的角为两条异面直线所成的角。

然后解三角形得到。

②向量法：在直线a 上取两点A 、B ，在直线b 上取两点C 、D ，若直线a 与b 的夹角为θ，则cos |cos ,|AB CD θ=<>。

3、利用向量求异面直线所成的角的步骤为：（1）确定空间两条直线的方向向量；（2）求两个向量夹角的余弦值；（3）确定线线角与向量夹角的关系；当向量夹角为锐角时，即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角。

练习：中，，现将沿着平面的法向量平移到的位置，已知BC=CA=C,取、的中点、，求B与A所成的角的余弦值。

二、直线与平面所成的角：例2：如图，在正方体ABCD-中，求与平面所成的角。

方法小结：1、直线a 与平面α所成角：斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影所成的锐角。

直线与平面所成角的范围为：[0,]2π。

2、求法：①求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足，这时经常要用面面垂直来确定垂足的位置。

若垂足的位置难以确定，可考虑用三棱锥体积等量来求出斜线上一点到平面的距离。