圆锥曲线-椭圆

圆锥曲线概述圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。

其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。

当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。

圆锥曲线的由来两千多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并且获得了大量的成果。

古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。

用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。

阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。

事实上，阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。

定义几何观点用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为圆锥曲线。

通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线，但严格来讲，它还包括一些退化情形。

具体而言：1) 当平面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。

2) 当平面与圆锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。

3) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。

4) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。

5) 当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆锥顶点，结果退化为一个点。

6) 当平面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线的一支（另一支为此圆锥面的对顶圆锥面与平面的交线）。

7) 当平面与圆锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。

代数观点在笛卡尔平面上，二元二次方程ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0的图像是圆锥曲线。

根据判别式的不同，也包含了椭圆，双曲线，抛物线以及各种退化情形。

焦点-准线观点（严格来讲，这种观点下只能定义圆锥曲线的几种主要情形，因而不能算是圆锥曲线的定义。

但因其使用广泛，并能引导出许多圆锥曲线中重要的几何概念和性质。

圆锥曲线椭圆方程
圆锥曲线椭圆方程是一种圆周率表达形式，它是位于x-y坐标系中的一条椭圆，其端点坐标符合如下椭圆方程：
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
其中A、B、C、D、E、F为常数，A和C不能同时为零。

系数A，B，C来表示
该曲线的位置和形状，系数D和E可以控制该曲线所在位置所经历的变化，F则表
示椭圆长短轴的长度比。

椭圆方程的形式结构和表示规则是：它与y轴的偏移量以及x轴的偏移量均有关，若A=1且C=1，则椭圆方程一般写成：
x2 + 2Bxy + y2 + 2Dx + 2Ey + F = 0
此外，椭圆的位置通常都是可以改变的，因此可以对椭圆的位置进行调整，以
使椭圆更适合某种指定的实际应用。

这些位置改变由系数D，E控制，其中系数D
表示椭圆在x轴轴上平移的偏移量，E表示椭圆在y轴上平移的偏移量。

圆锥曲线椭圆方程不仅广泛应用于许多领域，如曲线图像、天文学图像、胶片
佳能及精密机械等，其精确数据处理能够尽可能按照椭圆方程定义的图形来描述椭圆，从而使用者能够更加精确的控制椭圆的位置和形状，满足特定的实际应用要求。

总之，圆锥曲线椭圆方程是一种确定特殊曲线的表达式形式，它有许多实际应用，主要用于控制椭圆形状和位置，来满足不同的实际要求。

圆锥曲线与椭圆方程圆锥曲线是二维数学中的一种重要曲线形式，它们的方程可以用来描述很多自然现象和工程问题。

其中，椭圆是圆锥曲线的一种特殊情况。

本文将介绍圆锥曲线的基本概念和椭圆方程的推导过程。

一、圆锥曲线的基本概念在解释圆锥曲线之前，我们先来了解一下圆锥体。

圆锥体是由一个顶点和一个平面曲线围成的立体。

当这个平面与圆锥体的侧面相交，且与底面平行时，所形成的曲线就是圆锥曲线。

圆锥曲线分为四种类型：椭圆、双曲线、抛物线和直线。

这些曲线可以通过平面截圆锥体的不同方式得到。

接下来，我们将重点介绍其中的椭圆。

二、椭圆的定义与性质椭圆是圆锥曲线中的一种，它是圆锥体与一个平面相交后形成的曲线。

具体而言，椭圆由一个定点F（焦点）和到焦点距离之和为常数2a的所有点P组成。

椭圆具有以下几个重要性质：1. 焦点焦距关系：根据焦点到定点的距离关系，即FP+PF' = 2a，我们可以判断一个点是否在椭圆上。

2. 长轴与短轴：椭圆的长轴是通过两个焦点的直线段，而短轴是通过长轴中点并且垂直于长轴的线段。

3. 离心率：椭圆的离心率e定义为焦距与长轴的比值，即e = c/a。

离心率可以用来描述椭圆的扁平程度，当e<1时，椭圆更加扁平。

4. 主轴与副轴：椭圆的主轴是长轴，副轴是短轴。

5. 焦点坐标计算：根据椭圆的焦距和离心率，我们可以求得焦点的坐标。

三、椭圆的方程推导现在，我们来推导椭圆的方程。

假设椭圆的焦点坐标为F：(c, 0)，离心率为e，距离焦点最远的点为A：(ae, 0)，离心率的定义为e = c/a。

在直角坐标系下，我们可以得到以下关系式：1. 点P到F的距离PF与点P到直线x = a的距离PA的关系：PA = dx - aPF = x + c根据焦点焦距关系，有 PF + PF' = 2a，即 x + c + (-x + c) = 2a，可得c= a-e2. 根据勾股定理，可得 PA² = AF² + PF²，展开计算，得到：(dx - a)² = (x - ae)² + (x + c)²将c代入上式，并整理化简，得到椭圆的方程：x²/a² + y²/(a²(1-e²)) = 1该方程即为椭圆的标准方程，通过调整参数a和e的值，我们可以获得不同形状和大小的椭圆。

圆锥曲线——椭圆①基础知识：一、 第一定义：平面内 的轨迹叫椭圆。

其中 叫做椭圆的焦点（F 1 F 2）。

叫做椭圆的焦距（|F 1 F 2|）。

★思考：|PF 1|+|PF 2|=|F1F2|时的轨迹是什么？|PF 1|+|PF 2|<|F1F2|时呢？二、 第二定义：平面内 的轨迹叫椭圆。

其中定直线为： 定点为： 定值为： 范围：(0＜e ＜1)。

三、标准方程。

椭圆的标准方程为： 或 （a>b>0）。

注意：标准方程说表示的椭圆及中心在坐标原点、长短轴在坐标轴上的椭圆。

如何判断焦点所在坐标轴：看分母、焦点在分母大的那一轴。

例如：x 24＋y 23＝1 ，两个分母分别为：4、3 。

∵4＞3 又∵4是X 项的分母 ∴焦点在X 轴上。

四、参数方程cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）四、椭圆的简单几何性质。

①、范围。

以焦点在X 轴的椭圆为例：∵ x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) ∴x 2a 2≤1 y 2b2≤1 ∴|x|≤a |y|≤b 即：-a ≤x ≤a -b ≤y ≤b②、对称性。

关于X 、Y 轴成轴对称。

关于原点成中心对称。

③、顶点。

坐标轴和椭圆的四个交点：A 1 、A 2 、B 1 、B 2。

长轴：|A 1A 2| 短轴：|B 1B 2|连接B 、F 。

构成RT △OBF |OB|=b |OF|=c |BF|=a ∴ a 2=b 2+c 2（重要的性质） ④、离心率。

椭圆的离心率：e=ca（0＜e ＜1） e 越大越扁 e 越小越近圆。

⑤、扩展。

通径：过焦点且垂直于长轴。

焦半径：椭圆上一点到椭圆焦点的连线。

焦半径公式：若M （x 0,y 0） |MF 1|=a+ex 0 |MF 2|=a-ex 0★规律及其解题方法提炼：1．椭圆中任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .2．过焦点弦的所有弦长中，垂直于长轴的弦是最短的弦，而且它的长为 把这个弦叫椭圆的通径．3．求椭圆离心率e 时，只要求出a ，b ，c 的一个齐次方程，再结合b 2＝a 2－c 2就可求得e (0＜e ＜1)．BOF4．从一焦点发出的光线，经过椭圆(面)的反射，反射光线必经过椭圆的另一焦点．5．过椭圆外一点求椭圆的切线，一般应用判别式Δ＝0求斜率，也可设切点后求导数(斜率)．6．求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：(1)中心是否在原点，(2)对称轴是否为坐标轴．★解题技巧①、求椭圆的标准方程。

椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。

定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。

说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。

②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。

2.3. 椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。

焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。

推导过程：由第二定义得11PF e d =（1d 为点P 到左准线的距离）， 则211000a PF ed e x ex a a ex c ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭；同理得20PF a ex =-。

简记为：左“＋”右“－”。

由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。

22221x y a b +=；若焦点在y 轴上，则为22221y x a b+=。

有时为了运算方便，设),0(122n m m ny mx ≠>=+。

双曲线的定义、方程和性质1． 定义（1）第一定义：平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于定长2a （小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。

说明：①||PF 1|-|PF 2||=2a （2a <|F 1F 2|）是双曲线；若2a=|F 1F 2|，轨迹是以F 1、F 2为端点的射线；2a >|F 1F 2|时无轨迹。

②设M 是双曲线上任意一点，若M 点在双曲线右边一支上，则|MF 1|>|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=2a ；若M 在双曲线的左支上，则|MF 1|<|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=-2a ，故|MF 1|-|MF 2|=±2a ，这是与椭圆不同的地方。

学生姓名 性别 年级 高三 学科 数学 授课教师上课时间2013年7 月 日第（ ）次课课时： 课时教学课题 圆锥曲线教学过程★知识网络★第1讲 椭圆★知识梳理★ 1. 椭圆定义：（1）第一定义：平面内与两个定点的距离之和为常数的动点的轨迹叫椭圆,其中两个定点叫椭圆的焦点. 当时, 的轨迹为椭圆 ; ; 当时, 的轨迹不存在; 当时,的轨迹为 以为端点的线段椭圆 双曲抛物定义 定义 定义 标准方程 标准方程 几何性质几何性质应用应用标准方程 几何性质应用圆锥曲线 直线与圆锥曲线 位置关系 相交 相切相离圆锥曲线的弦（2）椭圆的第二定义:平面内到定点与定直线(定点不在定直线上)的距离之比是常数()的点的轨迹为椭圆（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）.2.椭圆的方程与几何性质:标准方程性质参数关系焦点焦距范围顶点对称性关于x轴、y轴和原点对称离心率准线3.点与椭圆的位置关系:当时,点在椭圆外; 当时,点在椭圆内; 当时,点在椭圆上;★热点考点题型探析★考点1 椭圆定义及标准方程题型1:椭圆定义的运用1. (广雅中学2008—2009学年度上学期期中考)已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆上的点，则的最小值为（）A．5 B．7 C ．13 D．15[解析]B. 两圆心C、D恰为椭圆的焦点，，的最小值为10-1-2=7题型2 求椭圆的标准方程[例2 ]设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为－4，求此椭圆方程.【解题思路】将题中所给条件用关于参数的式子“描述”出来[解析]设椭圆的方程为或，则，解之得：，b=c＝4.则所求的椭圆的方程为或.【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数的数量关系．练习. 椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是，求这个椭圆方程.[解析] ，，所求方程为+=1或+=1.考点2 椭圆的几何性质题型1:求椭圆的离心率（或范围）[例3 ] 在中，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率．【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率[解析] ，，【名师指引】（1）离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的量，决定了椭圆的形状；反之，形状确定，离心率也随之确定（2）只要列出的齐次关系式，就能求出离心率（或范围）（3）“焦点三角形”应给予足够关注练习. （江苏盐城市三星级高中2009届第一协作片联考）已知m,n,m+n 成等差数列，m ，n ，mn 成等比数列，则椭圆的离心率为[解析]由，椭圆的离心率为题型2:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）[例4 ] 已知实数满足,求的最大值与最小值【解题思路】 把看作的函数[解析] 由得,当时,取得最小值,当时,取得最大值6【名师指引】注意曲线的范围，才能在求最值时不出差错练习.如图，把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=________________ ［解析］由椭圆的对称性知：352536271==+=+=+a F P F P F P F P F P F P ．考点3 椭圆的最值问题题型: 动点在椭圆上运动时涉及的距离、面积的最值[例5 ]椭圆191622=+y x 上的点到直线l:09=-+y x 的距离的最小值为___________．【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数[解析]在椭圆上任取一点P,设P(θθsin 3,cos 4). 那么点P 到直线l 的距离为：|9)sin(5|2211|12sin 3cos 4|22-+=+-+ϕθθθ.22≥【名师指引】也可以直接设点),(y x P ，用x 表示y 后，把动点到直线的距离表示为x 的函数，关键是要具有“函数思想”练习1.椭圆191622=+y x 的内接矩形的面积的最大值为[解析]设内接矩形的一个顶点为)sin 3,cos 4(θθ， 矩形的面积242sin 24cos sin 48≤==θθθS练习2. P 是椭圆12222=+b y a x 上一点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，求||||21PF PF⋅的最大值与最小值[解析]],[||,)|(||)|2(||||||12211121c a c a PF a a PF PF a PF PF PF +-∈+--=-=⋅ 当a PF =||1时，||||21PF PF⋅取得最大值2a ， 当c a PF±=||1时，||||21PF PF ⋅取得最小值2b 考点4 椭圆的综合应用题型：椭圆与向量、解三角形的交汇问题[例6 ] 如图，在Rt △ABC 中，∠CAB=90°，AB=2，AC=22。

圆锥曲线所有公式圆锥曲线是平面上的一类曲线，其形状类似于一个圆锥的截面。

圆锥曲线可以分为三类：椭圆、双曲线和抛物线。

每一类都有其独特的特征和数学公式。

1. 椭圆：椭圆是圆锥曲线中最简单的一类曲线。

它的定义是平面上到两个固定点F1和F2的距离之和等于常数2a的所有点构成的图形。

其中，F1和F2称为焦点，2a称为主轴长度。

椭圆的数学公式是：(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1其中，(h, k)是椭圆中心的坐标，a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴的长度。

2. 双曲线：双曲线是圆锥曲线中形状较为特殊的一类曲线。

它的定义是平面上到两个固定点F1和F2的距离之差的绝对值等于常数2a的所有点构成的图形。

双曲线的数学公式是：(x-h)^2/a^2 - (y-k)^2/b^2 = 1其中，(h, k)是双曲线中心的坐标，a和b分别是双曲线的半长轴和半短轴的长度。

3. 抛物线：抛物线是圆锥曲线中形状最特殊的一类曲线。

它的定义是平面上到一个固定点F的距离等于到直线l的距离的平方的所有点构成的图形。

抛物线的数学公式是：y = ax^2 + bx + c其中，a、b和c是抛物线的参数，控制着抛物线的开口方向和大小。

除了这些基本的数学公式，还有一些与圆锥曲线相关的重要公式和性质，例如焦点到顶点的距离、离心率、焦半径等。

这些公式和性质可以帮助我们更好地理解和分析圆锥曲线的特点和行为。

总之，圆锥曲线是一类十分重要的数学曲线，其公式与性质在数学和物理等领域有广泛的应用。

熟练掌握这些公式和性质可以帮助我们解决各种与圆锥曲线相关的问题。

圆锥曲线-椭圆一．解答题（共28小题）1．求椭圆16x2+25y2=400的长轴长、短轴的长、焦点坐标、离心率、顶点坐标．2．已知曲线9x2+y2=81（1）求其长轴长，焦点坐标，离心率（2）求与已知曲线共焦点且离心率为的双曲线方程．3．若过椭圆+=1（a＞b＞0）左焦点的直线与它的两个交点及其右焦点构成周长为16的三角形，此椭圆的离心率为0.5，求这个椭圆方程．4．求适合下列条件的椭圆的标准方程（1）焦点在x轴上，焦距为4，并且经过点P（3，）（2）焦距为8，离心率为0.8．5．已知椭圆C的两个焦点是F1（﹣2，0），F2（2，0），且椭圆C经过点A（0，）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过椭圆C的左焦点F1（﹣2，0）且斜率为1的直线l与椭圆C交于P、Q 两点，求线段PQ的长（提示：|PQ|=|x1﹣x2|）．6．在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左焦点为F（﹣1，0），左顶点为A，上、下顶点分别为B，C．（1）若直线BF经过AC中点M，求椭圆E的标准方程；（2）若直线BF的斜率为1，BF与椭圆的另一交点为D，求点D到椭圆E右准线的距离．7．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过F1的直线l交C于A、B两点，且△ABF2的周长是16，求椭圆C 的方程．8．已知中心在坐标原点的椭圆C，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，长轴长为6，离心率为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点P在椭圆C 上，且PF1=4，求点P到右准线的距离．9．已知椭圆C：+y2=1，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点．（Ⅰ）求椭圆C的长轴和短轴的长，离心率e，左焦点F1；（Ⅱ）已知P是椭圆上一点，且PF1⊥PF2，求△F1PF2的面积．10．已知椭圆的焦点在y轴上，长轴长为10，短轴长为8，F1、F2为椭圆的左、右焦点．（1）求椭圆的标准方程；（2）求椭圆的焦点坐标、离心率；（3）求以椭圆的焦点为顶点、顶点为焦点的双曲线的标准方程．11．已知定圆C1：（x+1）2+y2=36及定圆C2：（x﹣1）2+y2=4，动圆P与C1内切，与C2外切，求动圆圆心P的轨迹方程．12．椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为A（0，2），右焦点F与点的距离为2，（1）求椭圆的方程；（2）斜率k≠0的直线l：y=kx﹣2与椭圆相交于不同的两点M，N满足|AM|=|AN|，求直线l的方程．13．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，圆C的方程为（x+k）2+（y﹣2）2=25（k∈R）．（1）求椭圆G的焦点坐标与离心率；（2）求△CF1F2的面积．14．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为+y2=1，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）=4．（1）写出直线l的直角坐标方程和曲线C的参数方程；（2）设M（x，y）为椭圆C上任意一点，求|x﹣y﹣4|的最小值．15．求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程．（1）准线方程为x=﹣1的抛物线；（2）离心率为，准线方程为y=±4的椭圆；（3）焦点在y轴上，一条渐近线方程为，实轴长为12．16．已知椭圆与直线l：bx﹣ay=0都经过点．直线m与l平行，且与椭圆C交于A，B两点，直线MA，MB与x轴分别交于E，F两点．（1）求椭圆C的方程；（2）证明：△MEF为等腰三角形．17．已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，若直线MF1的斜率为1，且与椭圆的另一个交点为N，△F2MN的周长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点F1的直线l（直线l的斜率不为1）与椭圆交于P，Q两点，点P在点Q的上方，若，求直线l的斜率．18．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，设右焦点为F，过原点O的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AF的中点为M，线段BF的中点为N，且•=．（1）求弦AB的长；（2）当直线l 的斜率k=，且直线l′∥l 时，l′交椭圆于P，Q，若点A在第一象限，求证：直线AP，AQ与x轴围成一个等腰三角形．19．若A（x1，x2），B（y1，y2）是椭圆E：+y2=1上位于x轴上方两点，且x1+x2=2．（1）若y1+y2=1，求线段AB的垂直平分线的方程；（2）求直线AB在y轴上截距的最小值．20．已知椭圆的右焦点是抛物线Γ：y2=2px的焦点，直线l与Γ相交于不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2）．（1）求Γ的方程；（2）若直线l经过点P（2，0），求△OAB的面积的最小值（O为坐标原点）；（3）已知点C（1，2），直线l经过点Q（5，﹣2），D为线段AB的中点，求证：|AB|=2|CD|．21．已知椭圆．（1）若椭圆C的一个焦点为（1，0），且点在C上，求椭圆C的标准方程；（2）已知椭圆C上有两个动点A（x1，y1），B（x2，y2），O为坐标原点，且OA ⊥OB，求线段|AB|的最小值（用a，b表示）．22．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，若抛物线y2=4x的焦点与椭圆一个焦点重合．（1）求椭圆的标准方程．（2）若直线m椭圆左焦点F1且斜率为1，交椭圆于A、B两点，求弦长|AB|．23．已知椭圆，四点中恰有三点在椭圆上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A、B两点，若直线P2A与P2B直线的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．24．已知椭圆=1（a＞b＞0）经过点A（0，4），离心率为；（1）求椭圆C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．25．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为，离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）设直线L经过点M（0，1），且与椭圆C交于A，B两点，若，求直线L的方程．26．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（0，1）．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点A作两条互相垂直的直线分别交椭圆于M，N两点．求证：直线MN 恒过定点．27．已知椭圆C的中心在坐标原点，左焦点为F1（﹣，0），点M（，）在椭圆上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P（1，0）的直线l交椭圆C于两个不同的点A、B，若△AOB（O是坐标原点）的面积S=，求直线AB的方程．28．已知椭圆的长轴为，离心率为．（1）求C的方程；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，且，求证：直线l与圆E：x2+y2=2相切．圆锥曲线-椭圆参考答案与试题解析一．解答题（共28小题）1．求椭圆16x2+25y2=400的长轴长、短轴的长、焦点坐标、离心率、顶点坐标．【分析】把椭圆方程化为标准方程，然后求解长轴长、短轴的长、焦点坐标、离心率、顶点坐标．【解答】（本小题12分）解：把已知方程椭圆16x2+25y2=400化为标准方程：，这里a=5，b=4，所以c==3因此，椭圆的长轴和短轴长分别是2a=10，2b=8离心率e==．两个焦点分别是F1（﹣3，0），F2（3，0），四个顶点分别是A1（﹣5，0），A1（5，0），B1（0，﹣4），B1（0，4）．【点评】本题考查椭圆标准方程以及椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．2．已知曲线9x2+y2=81（1）求其长轴长，焦点坐标，离心率（2）求与已知曲线共焦点且离心率为的双曲线方程．【分析】（1）化椭圆方程为标准方程，然后求解其长轴长，焦点坐标，离心率．（2）利用焦点坐标，结合离心率求解双曲线方程即可．【解答】（10分）解：（1）曲线9x2+y2=81，的标准方程为：，可得a=9，b=3，c==6，所以长轴长为：18，焦点坐标（0，）．（2）与已知曲线共焦点，可得c=6，离心率为，则a=6，则b==6．所求的双曲线方程为：y2﹣x2=36．（5分）【点评】本题考查双曲线方程的求法，椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．3．若过椭圆+=1（a＞b＞0）左焦点的直线与它的两个交点及其右焦点构成周长为16的三角形，此椭圆的离心率为0.5，求这个椭圆方程．【分析】设左、右焦点分别为F，F'，两个交点为A，B，由椭圆的定义可得|AF|+|AF'|=|BF|+|BF'|=2a，则4a=16，运用离心率公式可得c=2，求得b，进而得到椭圆方程．【解答】解：设左、右焦点分别为F，F'，两个交点为A，B，由椭圆的定义可得|AF|+|AF'|=|BF|+|BF'|=2a，即有三角形的周长为4a=16，解得a=4，由e==，解得c=2，b==2，则椭圆的方程为+=1．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的定义和基本量的关系，考查运算能力，属于基础题．4．求适合下列条件的椭圆的标准方程（1）焦点在x轴上，焦距为4，并且经过点P（3，）（2）焦距为8，离心率为0.8．【分析】（1）设出椭圆方程，利用已知条件化简求解即可．（2）利用椭圆的性质转化求解椭圆方程即可．【解答】解：（1）焦点在x轴上，设椭圆的标准方程，焦距为4，可得a2﹣b2=4，…①，椭圆经过点P（3，），可得：…②，解①②，可以得到b2=32解：①②可得：a2=36，b2=32，所求椭圆方程为：．（2）焦距为8，离心率为0.8．可得c=4，a=5，则b=3，椭圆的标准方程为：或．【点评】本题考查椭圆的简单性质椭圆方程的求法，考查计算能力．5．已知椭圆C的两个焦点是F1（﹣2，0），F2（2，0），且椭圆C经过点A（0，）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过椭圆C的左焦点F1（﹣2，0）且斜率为1的直线l与椭圆C交于P、Q 两点，求线段PQ的长（提示：|PQ|=|x1﹣x2|）．【分析】（1）利用待定系数法求出椭圆方程；（2）联立方程组，利用根与系数的关系和弦长公式计算弦长．【解答】解：（1）由题意可知椭圆焦点在x轴上，设椭圆方程为（a ＞b＞0），由题意可知，∴a=3，b=．∴椭圆的标准方程为=1．（2）直线l的方程为y=x+2，联立方程组，得14x2+36x﹣9=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=﹣，∴|PQ|=|x1﹣x2|===．【点评】本题考查了椭圆的性质，弦长公式，属于基础题．6．在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左焦点为F（﹣1，0），左顶点为A，上、下顶点分别为B，C．（1）若直线BF经过AC中点M，求椭圆E的标准方程；（2）若直线BF的斜率为1，BF与椭圆的另一交点为D，求点D到椭圆E右准线的距离．【分析】（1）由题意可得A，B，C的坐标，写出直线BF的方程，再由AC的中点在直线BF上求得a，由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）由直线BF的斜率可得b，求出a，得到椭圆方程，联立直线方程和椭圆方程求得D的坐标，则点D到椭圆E右准线的距离可求．【解答】解：（1）由题意，A（﹣a，0），B（0，b），C（0，﹣b），又F（﹣1，0），∴c=1，直线BF：y=bx+b．∵M为AC的中点，∴，代入直线BF：y=bx+b，得a=3，由a2=b2+c2=b2+1，得b2=8，∴椭圆E的标准方程是；（2）∵直线BF的斜率为1，则，∴椭圆，又直线BF：y=x+1，联立，解得x=0（舍），或，∵右准线的方程为x=2，∴点D到右准线的距离为．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆标准方程的求法，是基础的计算题．7．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过F1的直线l交C于A、B两点，且△ABF2的周长是16，求椭圆C 的方程．【分析】画出图形，结合图形以及椭圆的定义与性质，求出a、b的值，即可写出椭圆的方程．【解答】解：如图所示，设椭圆的长轴是2a，短轴是2b，焦距是2c；则离心率e==，∴4a=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=16；∴a=4，∴c=×4=2，∴b2=a2﹣c2=42﹣=8；∴椭圆的方程是．【点评】本题考查了椭圆的定义与简单的几何性质的应用问题，解题时应结合图形进行解答问题，是基础题．8．已知中心在坐标原点的椭圆C，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，长轴长为6，离心率为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点P在椭圆C 上，且PF1=4，求点P到右准线的距离．【分析】（1）由已知可得a，再由离心率求得c，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）由题意定义结合已知求得PF2，再由椭圆的第二定义可得点P到右准线的距离．【解答】解：（1）根据题意：，解得，∴b2=a2﹣c2=4，∴椭圆C的标准方程为；（2）由椭圆的定义得：PF1+PF2=6，可得PF2=2，设点P到右准线的距离为d，根据第二定义，得，解得：．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆定义的应用，是基础题．9．已知椭圆C：+y2=1，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点．（Ⅰ）求椭圆C的长轴和短轴的长，离心率e，左焦点F1；（Ⅱ）已知P是椭圆上一点，且PF1⊥PF2，求△F1PF2的面积．【分析】（Ⅰ）由椭圆的方程及性质直接求解．（Ⅱ）由椭圆的定义知①，勾股定理，得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2②，①2﹣②，得|PF1|•|PF2|即可．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆知a2=2，b2=1，则，故c=1﹣﹣﹣（2分）所以椭圆C的长轴，短轴2b=2，离心率，左焦点F1（﹣1，0）．（6分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得，b=1，c=1．由椭圆的定义知①，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）在Rt△PF1F2中，由勾股定理，得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2②，①2﹣②，得2|PF1|•|PF2|=8﹣4=4，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∴|PF 1|•|PF2|=2，∴S=|PF1|•|PF2|=×2=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题考查了椭圆的方程及焦点三角形的面积，属于基础题．10．已知椭圆的焦点在y轴上，长轴长为10，短轴长为8，F1、F2为椭圆的左、右焦点．（1）求椭圆的标准方程；（2）求椭圆的焦点坐标、离心率；（3）求以椭圆的焦点为顶点、顶点为焦点的双曲线的标准方程．【分析】（1）由题意求得椭圆的长半轴和短半轴长，再由椭圆的焦点在y轴上可得椭圆的标准方程；（2）由隐含条件求得c，则椭圆的焦点坐标、离心率可求；（3）由题意求出双曲线的顶点坐标和焦点为坐标，进而得到双曲线的实半轴长和虚半轴长，则双曲线的标准方程可求．【解答】解：（1）由已知2a=10，2b=8，解得a=5，b=4，∵椭圆的焦点在y轴上，∴所求椭圆的标准方程为；（2）由c2=a2﹣b2=9，得c=3．因此椭圆的焦点坐标为F1（0，﹣3），F2（0，3），离心率；（3）由已知，所求双曲线的顶点坐标为（0，﹣3），（0，3），焦点为坐标为（0，﹣5），（0，5），∴双曲线的实半轴长a=3，半焦距c=5，则虚半轴长为b=．又双曲线的焦点在y轴上，∴双曲线的标准方程为．【点评】本题考查椭圆及双曲线的简单性质，考查了椭圆及双曲线标准方程的求法，是基础题．11．已知定圆C1：（x+1）2+y2=36及定圆C2：（x﹣1）2+y2=4，动圆P与C1内切，与C2外切，求动圆圆心P的轨迹方程．【分析】由题意分别表示出|PF1|=6﹣r，|PF2|=2+r，|PF1|+|PF2|=8＞2，可知P 的轨迹是以F1，F2为焦点，长轴长为8的椭圆，即可求得P的轨迹方程．【解答】解：设所求点P（x，y），F1（﹣1，0），F2（1，0），动圆半径为r，由题易得|PF1|=6﹣r，|PF2|=2+r，∴|PF1|+|PF2|=8＞2，由点P到两定点F1，F2距离之和为定长8，且大于|F1F2|=2c=2，满足椭圆定义，∴轨迹方程：．动圆圆心P的轨迹方程．【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查椭圆的定义，属于基础题．12．椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为A（0，2），右焦点F与点的距离为2，（1）求椭圆的方程；（2）斜率k≠0的直线l：y=kx﹣2与椭圆相交于不同的两点M，N满足|AM|=|AN|，求直线l的方程．【分析】（1）设出椭圆的标准方程，由题意得b=2，再由a、b、c之间的关系及|FB|=2，求出a2=12，从而得到椭圆的方程．（2）假设存在直线l，则点A在线段MN的垂直平分线上，把直线l的方程代入椭圆的方程，转化为关于x的一元二次方程，由题意知判别式大于0，设出M、N的坐标，利用一元二次方程根与系数的关系，用斜率表示MN的中点P的坐标，求出AP的斜率，由AP⊥MN，斜率之积等于﹣1，求出直线l的斜率【解答】解：（1）依题意，设椭圆方程=1 （a＞b＞0 ），则其右焦点坐标为F（c，0），c=，由|FB|=解得c=2，又∵b=2，∴a2=c2+b2=12，即椭圆方程为．（2）由|AM|=|AN|知点A在线段MN的垂直平分线上，把y=kx﹣2代入椭圆方程．消去y得x2+3（kx﹣2）2=12，即（1+3k2）x2﹣12kx=0由k≠0，得方程的△=（﹣12k）2=144k2＞0，即方程有两个不相等的实数根．设M（x1，y1）、N（x2，y2），线段MN的中点P（x0，y0），则x0=，∴y0=kx0﹣2=，即P（），∵k≠0，∴直线AP的斜率为k1=，由AP⊥MN，得．∴2+2+6k2=6，解得：k=．∴存在直线l满足题意，直线l的方程y=±x﹣2．【点评】本题考查用待定系数法求椭圆的标注方程，直线与圆锥曲线的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，两直线垂直的性质，以及直线的倾斜角与斜率的关系，属于压轴题．13．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，圆C的方程为（x+k）2+（y﹣2）2=25（k∈R）．（1）求椭圆G的焦点坐标与离心率；（2）求△CF1F2的面积．【分析】（1）由椭圆方程，求得a和b，则c2=a2﹣b2，求得c，求得焦点坐标，根据椭圆的离心率公式求得椭圆的离心率；（2）根据圆的方程，求得圆心，根据三角形的面积公式，即可求得△CF1F2的面积．【解答】解：（1）由题意可得：c2=a2﹣b2=16﹣4=12，c=2，…（2分）a=4，所以e==，…（4分）椭圆的焦点F1（﹣2，0），F2（2，0）；…（6分）（2）由（1）知丨F1F2丨=4，…（7分）圆C：（x+k）2+（y﹣2）2=25（k∈R）的圆心为点C（﹣k，2），…（8分）∴△CF1F2的面积为×2×丨F1F2丨=4．△CF1F2的面积4．…（10分）【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单性质，圆的标准方程，三角形的面积公式，考查计算能力，属于基础题．14．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为+y2=1，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）=4．（1）写出直线l的直角坐标方程和曲线C的参数方程；（2）设M（x，y）为椭圆C上任意一点，求|x﹣y﹣4|的最小值．【分析】（1）根据直线的参数方程，即可求得直线l的直角坐标公式，由椭圆C 的参数方程即可求得曲线C的参数方程；（2）由（1）可得丨x﹣y﹣4丨=丨2cosφ﹣sinφ﹣4丨，根据辅助角公式及正弦函数的性质，即可求得|x﹣y﹣4|的最小值．【解答】解：（1）由ρcos（θ+）=4，则ρcosθ﹣ρsinθ=4，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，即直线l的直角坐标方程为x﹣y﹣4=0，由题意可得：椭圆的参数方程（φ为参数），（2）因为点M在椭圆上，则M（2cosφ，sinφ），则丨x﹣y﹣4丨=丨2cosφ﹣sinφ﹣4丨，=丨cos（φ+α）﹣4丨=4﹣cos（φ+α）（tanα=），当cos（φ+α）=1时，|x﹣y﹣4|取最小值，最小值为4﹣，∴|x﹣y﹣4|的最小值为4﹣．【点评】本题考查直线的极坐标方程，椭圆的参数方程，辅助角公式及余弦函数的最值，考查转化思想，属于中档题．15．求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程．（1）准线方程为x=﹣1的抛物线；（2）离心率为，准线方程为y=±4的椭圆；（3）焦点在y轴上，一条渐近线方程为，实轴长为12．【分析】（1）利用抛物线的定义求解抛物线方程；（2）利用椭圆的性质列出方程求解a，b，然后得到椭圆方程．（3）利用双曲线的性质，求出双曲线的实半轴与虚半轴的长，得到双曲线方程．【解答】解：（1）准线方程为x=﹣1的抛物线；可得p=2，所求的抛物线方程为：y2=4x．（2）离心率为，准线方程为y=±4的椭圆；可得，解得a=2，c=1，则b=，所求椭圆方程为：．（3）焦点在y轴上，一条渐近线方程为，实轴长为12．可得a=6，，解得b=8，所求的双曲线方程为：．【点评】本题考查椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，三种曲线方程的求法，考查计算能力．16．已知椭圆与直线l：bx﹣ay=0都经过点．直线m与l平行，且与椭圆C交于A，B两点，直线MA，MB与x轴分别交于E，F两点．（1）求椭圆C的方程；（2）证明：△MEF为等腰三角形．【分析】（1）将点M分别直线方程及椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）设直线m的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式求得k MA+k MB=0，即可求得△MEF为等腰三角形．【解答】解：（1）由直线l：bx﹣ay=0都经过点，则a=2b，将代入椭圆方程：，解得：b2=4，a2=16，∴椭圆C的方程为；（2）证明：设直线m为：，A（x1，y1），B（x2，y2）联立：，整理得x2+2bx+2b2﹣8=0，∴x1+x2=﹣2b，x1x2=2b2﹣8，设直线MA，MB的斜率为k MA，k MB，要证△MEF为等腰三角形，只需k MA+k MB=0，由，==0，所以△MEF为等腰三角形．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．17．已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，若直线MF1的斜率为1，且与椭圆的另一个交点为N，△F2MN的周长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点F1的直线l（直线l的斜率不为1）与椭圆交于P，Q两点，点P在点Q的上方，若，求直线l的斜率．【分析】（1）根据题意，由椭圆的定义分析可得4a=4，又由直线的斜率分析可得b、c的值，将a、b的值代入椭圆方程即可得答案；（2）根据题意，联立直线与椭圆的方程，解可得N的坐标，由分析可得|QF1|=2|PF1|，按直线的斜率存在与否分2种情况讨论，分析求出m的值，综合即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，因为△F1MN的周长为，所以，即，由直线MF1的斜率1，得，因为a2=b2+c2，所以b=1，c=1，所以椭圆的标准方程为．（2）由题意可得直线MF1方程为y=x+1，联立得，解得，所以，因为，即，所以|QF1|=2|PF1|，当直线l的斜率为0时，不符合题意，故设直线l的方程为x=my﹣1，P（x1，y1），Q（x2，y2），由点P在点Q的上方，则y2=2y1，联立，所以（m2+2）y2﹣2my﹣1=0，所以，消去y2得，所以，得，又由画图可知不符合题意，所以，故直线l的斜率为．【点评】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，关键是求出椭圆的标准方程．18．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，设右焦点为F，过原点O 的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AF的中点为M，线段BF的中点为N，且•=．（1）求弦AB的长；（2）当直线l 的斜率k=，且直线l′∥l 时，l′交椭圆于P，Q，若点A在第一象限，求证：直线AP，AQ与x轴围成一个等腰三角形．【分析】（1）根据中点坐标公式及向量的坐标运算即可求得x02+y02=5，利用两点之间的距离公式即可求得丨AB丨的长．（2）根据题意求得直线AB的方程，根据x02+y02=5，即可求得A点坐标，代入即可求得a和b的值，求得椭圆的方程，要证直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形，只需证直线MA，MB的倾斜角互补即可，也即直线MA，MB的斜率互为相反数．可分别用A，B点坐标表示直线MA，MB的斜率，再计算k1+k2，消去参数，看结果是否为0．若是0，则问题得证．【解答】解：（1）由题意可知：2c=2，c=，设F（，0），A（x0，y0），B （﹣x0，﹣y0），则M（，），N（，﹣），由•==，则x02+y02=5，则丨AB丨=2=2，（2）由直线l的斜率k=时，且l′∥l，则l：y=x，设l′：y=x+m，y0=x0，由x02+y02=5，则A（2，1），由c=，代入椭圆方程解得：a=2，c=，∴椭圆的方程：，联立，整理得x2+2mx+2m2﹣4=0，设直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则k1=，k2=．由x2+2mx+2m2﹣4=0，可得x1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣4，k1+k2=•=====0．即k1+k2=0．直线AP，AQ与x轴围成一个等腰三角形．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查中点坐标公式及向量的坐标运算，韦达定理及直线斜率公式的应用，考查计算能力，属于中档题．19．若A（x1，x2），B（y1，y2）是椭圆E：+y2=1上位于x轴上方两点，且x1+x2=2．（1）若y1+y2=1，求线段AB的垂直平分线的方程；（2）求直线AB在y轴上截距的最小值．【分析】（1）设AB的中点为M，则M（1，），由，得=0，即可得k AB=﹣，线段AB的垂直平分线的斜率即可；（2）设直线AB：y=kx+m．由得（1+9k2）x2+18kmx+9m2﹣9=0，x1+x2=﹣=2．⇒9k2+9km+1=0…①；由A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆E上位于x轴上方两点，∴k＜0，m＞0…②结合①②得m=（﹣k）+，当且仅当k=﹣时，取等号．【解答】解：（1）设AB的中点为M，则M（1，）由，得=0∴⇒即k AB=﹣，∴线段AB的垂直平分线的斜率为．∴线段AB的垂直平分线的方程为y﹣=，即9x﹣2y﹣8=0为所求．（2）设直线AB：y=kx+m．由得（1+9k2）x2+18kmx+9m2﹣9=0，x1+x2=﹣=2．⇒9k2+9km+1=0…①∵A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆E：+y2=1上位于x轴上方两点，∴k＜0，m ＞0…②△=（18km）2﹣4（1+9k2）（9m2﹣9）＞0⇒9k2﹣m2+1＞0…③，结合①②得m=（﹣k）+，当且仅当k=﹣时，取等号．此时，k=﹣满足③．∴直线AB在y轴上截距的最小值为．【点评】本题考查了点差法，直线与椭圆的位置关系，考查了计算能力，属于中档题．20．已知椭圆的右焦点是抛物线Γ：y2=2px的焦点，直线l与Γ相交于不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2）．（1）求Γ的方程；（2）若直线l经过点P（2，0），求△OAB的面积的最小值（O为坐标原点）；（3）已知点C（1，2），直线l经过点Q（5，﹣2），D为线段AB的中点，求证：|AB|=2|CD|．【分析】（1）由题意方程求出右焦点坐标，即抛物线焦点坐标，进一步可得抛物线方程；（2）设出直线方程，与抛物线方程联立，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系求得|y1﹣y2|，代入三角形面积公式，利用二次函数求最值；（3）分直线AB的斜率存在与不存在，证明有，可得CA⊥CB，又D为线段AB的中点，则|AB|=2|CD|．【解答】（1）解：由椭圆，得a2=10，b2=9，则c=1．∴椭圆的右焦点，即抛物线Γ：y2=2px的焦点为（1，0），则，p=2，∴Γ的方程为y2=4x；（2）解：设直线l：x=my+2，联立，得y2﹣4my﹣8=0．则y1+y2=4m，y1y2=﹣8．∴==，即△OAB的面积的最小值为；（3）证明：当AB所在直线斜率存在时，设直线方程为y+2=k（x﹣5），即y=kx ﹣5k﹣2．联立，可得ky2﹣4y﹣20k﹣8=0．，．=．===．∵C（1，2），∴，，则=（x1﹣1）（x2﹣1）+（y1﹣2）（y2﹣2）=x1x2﹣（x1+x2）+1+y1y2﹣2（y1+y2）+4=，当AB所在直线斜率不存在时，直线方程为x=5，联立，可得A（5，﹣），B（5，2），，，有，∴CA⊥CB，又D为线段AB的中点，∴|AB|=2|CD|．【点评】本题考查椭圆与抛物线的简单性质，考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查向量垂直与数量积间的关系，是中档题．21．已知椭圆．（1）若椭圆C的一个焦点为（1，0），且点在C上，求椭圆C的标准方程；（2）已知椭圆C上有两个动点A（x1，y1），B（x2，y2），O为坐标原点，且OA ⊥OB，求线段|AB|的最小值（用a，b表示）．【分析】（1）利用椭圆的定义，即可求得a的值，则b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆的方程；（2）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求出椭圆的极坐标方程为ρ2（b2cos2θ+a2sin2θ）=a2b2，设A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+），运用三角函数的平方关系和诱导公式，以及基本不等式，即可得到．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的左焦点F1（﹣1，0），右焦点F2（1，0），则|PF1|+|PF2|=2a，则+=+=4=2a，则a=2，b2=a2﹣c2=3，∴椭圆C的标准方程为；（2）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为ρ2（b2cos2θ+a2sin2θ）=a2b2，设A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+），则|AB|2=|OA|2+|OB|2=ρ12+ρ22=+=+，=[（b2cos2θ+a2sin2θ）+（b2sin2θ+a2cos2θ）]（+）=（2++）≥，∴|AB|的最小值为．【点评】本题考查椭圆的方程的运用，考查椭圆的极坐标方程的应用，考查三角函数的化简及求值，考查基本不等式的运用，考查化简运算能力，属于中档题．22．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，若抛物线y2=4x的焦点与椭圆一个焦点重合．（1）求椭圆的标准方程．（2）若直线m椭圆左焦点F1且斜率为1，交椭圆于A、B两点，求弦长|AB|．【分析】（1）根据抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），求出c，再根据离心率求出a，再根据b2=a2﹣c2得：b2=4；问题得以解决，（2）求出直线方程，代入椭圆方程，根据韦达定理和弦长公式即可求出．【解答】解：（1）由题意，设所求椭圆标准方程为：，焦点距为2c∵抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），∴c=1，又离心率，则：再由b2=a2﹣c2得：b2=4；所求椭圆标准方程为：，（2）由（1）知，左焦点为F1（﹣1，0），直线m的方程为：y﹣0=1（x+1）即y=x+1联立：消去y得：9x2+10x﹣15=0，则，由弦长公式|AB|=•=•=【点评】本题考查了抛物线与椭圆的标准方程及其性质，弦长公式，直线的点斜式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．23．已知椭圆，四点中恰有三点在椭圆上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A、B两点，若直线P2A与P2B直线的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到P2，P3，P4三点在椭圆C上．把P2，P3代入椭圆C，求出a2=4，b2=1，由此能求出椭圆C的方程．（2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设l：y=kx+b，（b≠1），与椭圆方程联立，得（1+4k2）x2+8kbx+4b2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明直线l过定点（2，﹣1）．【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，得到P2，P3，P4三点在椭圆C上．把P2，P3代入椭圆C，得，得出a2=4，b2=1，由此椭圆C的方程为．证明：（2）①当斜率不存在时，设l：x=m，A（m，y A），B（m，﹣y A），∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，=﹣1解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设l：y=kx+b，（b≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理，得（1+4k2）x2+8kbx+4b2﹣4=0，…①∵直线P2A与P2B直线的斜率的和为﹣1，∴==…②①代入②得：又b≠1，∴b=﹣2k﹣1，此时△=﹣64k，存在k，使得△＞0成立，∴直线l的方程为y=kx﹣2k﹣1，当x=2时，y=﹣1，∴l过定点（2，﹣1）．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线方程位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．24．已知椭圆=1（a＞b＞0）经过点A（0，4），离心率为；（1）求椭圆C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．【分析】（1）由题意可知：b=4，根据椭圆离心率公式即可求得b的值，求得椭圆方程；（2）由点斜式方程求得直线AB方程，代入椭圆方程，求得A和B点坐标，利用中点坐标公式，即可求得AB的中点坐标．【解答】解：（1）由椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点A（0，4），则b=4，椭圆离心率为e===，则a=5，∴C的方程为+=1；（2）过点（3，0）且斜率为的直线方程为y=（x﹣3），设直线与C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程y=（x﹣3）代入C的方程，得x2﹣3x﹣8=0，解得：x1=，x2=，∴AB的中点M（x0，y0）坐标x0==，y0==（x1+x1﹣6）=﹣，即中点为（，﹣）．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．25．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为，离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）设直线L经过点M（0，1），且与椭圆C交于A，B两点，若，求直线L的方程．【分析】（1）根据椭圆的焦距为2，离心率为，求出a，b，即可求椭圆C 的方程；（2）设直线l方程为y=kx+1，代入椭圆方程，由若可得x1=﹣2x2，利用韦达定理，化简可得，求出k，即可求直线l的方程．。