圆锥曲线方程椭圆知识点归纳

椭圆知识点总结及经典习题练习第二部分圆锥曲线---椭圆知识点一：1、平面内与两个定点F）的点的1，F2的距离之和等于常数对称性：对于椭圆标准方程221(ab0)：说明：ab把x换成x、或把y换成y、或把x、y同时换成x、y、x2y2原方程都不变，所以椭圆221是以x轴、y轴为对称轴ab的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。

范围：椭圆上所有的点都位于直线xa和yb所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足xa，yb。

顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

x2y2 ②椭圆221(ab0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为abA1(a,0)，A2(a,0)，B1(0,b)，B2(0,b)③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，A1A22a,B1B22b。

a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作e2cc。

2aa②因为(ac0)，所以e的取值范围是(0e1)。

e越接近1，则c就越接近a，从而因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，ba2c2越小。

这时椭圆就越接近于圆。

当且仅当ab时，c0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为xya。

注意：22x2y2椭圆221的图像中线段的几何特征：ab(PF1(BF1A1F1PF22a)；PF1PM1PF2PM2e；(PM1PM22a2)；cBF2a)；(OF1OF2c)；A1BA2Ba2b2；A2F2ac；A1F2A2F1ac；acPF1ac；规律方法：1．如何确定椭圆的标准方程？任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。

当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。

此时，椭圆焦点在坐标轴上。

确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件a,b；一个定位条件焦点坐标，焦点坐标的形式确定标准方程的类型。

圆锥曲线与方程 知识要点一、椭圆方程. 1、椭圆的定义：平面内与两个定点F 1、F 2，点P 满足21212F F a PF PF >=+，则点P 的轨迹是 平面内与两个定点F 1、F 2，点P 满足21212F F a PF PF ==+，则点P 的轨迹是 平面内与两个定点F 1、F 2，点P 满足21212F F a PF PF <=+，则点P 的轨迹是 2若P 是椭圆：12222=+by a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ∆的面积为3、点与椭圆、直线与椭圆的位置关系(1)点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系：①点P 在椭圆上⇔ ；②点P 在椭圆内部⇔ ； ③点P 在椭圆外部⇔ .(2)直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的位置关系判断方法：先联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1.消y 得一个一元二次方程是：(3)弦长公式：设直线方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，直线与椭圆的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2， ∴|AB |＝（x 1－x 2）2＋（kx 1－kx 2）2＝1＋k 2·（x 1－x 2）2＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2， 或|AB |＝⎝⎛⎭⎫1ky 1－1k y 22＋（y 1－y 2）2＝1＋1k 2·（y 1－y 2）2＝1＋1k2×（y 1＋y 2）2－4y 1y 2. 其中，x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y 或x 后得到关于x 或y 的一元二次方程得到．（4）直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆：()012222>>=+b a by a x 的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦AB 的中点M （x 0，y 0），则k = (用x 0，y 0表示) 二、双曲线方程. 1、双曲线的定义：平面内与两个定点F 1、F 2，点P 满足21212F F a PF PF <=-，则点P 的轨迹是 平面内与两个定点F 1、F 2，点P 满足21212F F a PF PF >=-，则点P 的轨迹是 平面内与两个定点F 1、F 2，点P 满足21212F F a PF PF ==-，则点P 的轨迹是 2（1）等轴双曲线：双曲线a y x ±=-称为等轴双曲线，其渐近线方程为 ，离心率（2）共渐近线的双曲线系方程：)0(2222≠=-λλby a x 的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为0=±bya x 时，它的双曲线方程可设为 .（3）从双曲线一个焦点到一条渐近线的距离等于 . 3、直线与双曲线的位置关系(1)一般地，设直线l ：y ＝kx ＋m ……① 双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) ……②把①代入②得关于x 的一元二次方程为 . ①当b 2－a 2k 2＝0时，直线l 与双曲线的渐近线 ，直线与双曲线C ． ②当b 2－a 2k 2≠0时，Δ>0⇒直线与双曲线有 公共点，此时称直线与双曲线 ； Δ＝0⇒直线与双曲线有 公共点，此时称直线与双曲线 ； Δ<0⇒直线与双曲线 公共点，此时称直线与双曲线 ． 注意：直线和双曲线只有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点．（2）直线l ：y ＝kx ＋m 与双曲线：()0,012222>>=-b a by a x 的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦AB 的中点M （x 0，y 0），则k = (用x 0，y 0表示) 三、抛物线方程. 1、抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (不经过点F ) 的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的 ，直线l 叫做抛物线的 ．思考1：平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 经过点F )，点的轨迹是 2、抛物线的性质：3、抛物线的焦点弦的性质1．如图，AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的一条弦，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， AB 的中点M (x 0，y 0)，相应的准线为l .(1)以AB 为直径的圆必与准线l 的位置关系是 ； (2)|AB |＝ (焦点弦长用中点M 的坐标表示)； (3)若直线AB 的倾斜角为α，则|AB |＝ (焦点弦长用倾斜角为α表示)；如当α＝90°时，AB 叫抛物线的通径，是焦点弦中最短的；抛物线的通径等于 . (4)求证A 、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x 1·x 2＝ ，y 1·y 2＝ . 4、直线与抛物线的位置关系1．设直线l ：y ＝kx ＋m ，抛物线：y 2＝2px (p >0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成 关于x 的一元二次方程为 ，(1)若k ＝0，直线与抛物线有 个公共点，此时直线 于抛物线的对称轴或与对称轴 ． 因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的 条件． (2)若k ≠0， 当Δ>0时，直线与抛物线 ，有两个公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线 ，有一个公共点； 当Δ<0时，直线与抛物线 ，无公共点．2．直线l ：y ＝kx ＋m 与抛物线：y 2＝2px (p >0)的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦AB 的中点M （x 0，y 0），则k = (用p 和x 0，y 0表示)3．抛物线：y 2＝2px (p >0，y >0)在点A (x 0，02px )处的切线方程为 ，4．抛物线：x 2＝2py (p >0)在点A (x 0，px 220)处的切线方程为 ，。

圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）基础知识及常⽤结论圆锥曲线必背⼝诀(红字为⼝诀)-椭圆⼀、椭圆定义定点为焦点，定值为长轴.（定值=2a ）椭圆.定点为焦点，定直线为准线，定值为离⼼率.（定值=e ）定点为短轴顶点，定值为负值. （定值2k e 1=-）⼆、椭圆的性质定理长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理①准线⽅程准焦距，a ⽅、b ⽅除以c ②通径等于 2 ep ，切线⽅程⽤代替③焦三⾓形计⾯积，半⾓正切连乘b ④注解：1长轴2a =，短轴2b =，焦距2c =，则：222a b c =+2准线⽅程：2a x c= （a ⽅除以c ）3椭圆的通径d ：过焦点垂直于长轴的直线与椭圆的两交点之间的距离称为椭圆的通径.（通径22c b 2b 2a c ad 2ep =??==）过椭圆上00x y (,)点的切线⽅程，⽤00x y (,)等效代替椭圆⽅程得到.等效代替后的是切线⽅程是：0022x x y y1a b+=4、焦三⾓形计⾯积，半⾓正切连乘b焦三⾓形：以椭圆的两个焦点12F F ,为顶点，另⼀个顶点P 在椭圆上的三⾓形称为焦三⾓形.半⾓是指12F PF θ=∠的⼀半.则焦三⾓形的⾯积为：2S b 2tanθ=证明：设1PF m =，2PF n =，则m n 2a +=由余弦定理：222m n 2mn 4c cos θ+-?=22224a 4b m n 4b ()=-=+-即：22mn 2mn 4b cos θ-?=-，即：22b 1mn (cos )θ=+.即：2122b mn PF PF 1||||cos θ==+故：12F PF 1S m n 2sin θ=??△2212b b 211sin sin cos cos θθθθ=?=++⼜：22221222sin cossin tan cos cosθθθθθθ==+ 所以：椭圆的焦点三⾓形的⾯积为122F PF S b 2tan θ=. 三、椭圆的相关公式切线平分焦周⾓，称为弦切⾓定理①1F2FOxyPmn切点连线求⽅程，极线定理须牢记②弦与中线斜率积，准线去除准焦距③细看中点弦⽅程，恰似弦中点轨迹④注解：1弦切⾓定理：切线平分椭圆焦周⾓的外⾓，平分双曲线的焦周⾓. 焦周⾓是焦点三⾓形中，焦距所对应的⾓.弦切⾓是指椭圆的弦与其切线相交于椭圆上时它们的夹⾓，当弦为焦点弦时（过焦点的弦），那么切线是两个焦点弦的⾓平分线.2若000P x y (,)在椭圆2222x y 1a b+=外，则过0P 作椭圆的两条切线，切点为12P P ,，则点0P 和切点弦12P P ,分别称为椭圆的极点和极线.切点弦12P P 的直线⽅程即极线⽅程是0022x xy y1a b+=（称为极线定理）3弦指椭圆内的⼀弦AB .中线指弦AB 的中点M 与原点O 的连线，即OAB ?得中线.这两条直线的斜率的乘积，等于准线距离2c a x c=-去除准焦距2bp c=，其结果是：2AB OM2c p b k k x a==- 4中点弦AB 的⽅程：在椭圆中，若弦AB 的中点为00M x y (,)，弦AB 称为中点弦，则中点弦的⽅程就是2200002222x x y y x y a b a b+=+，是直线⽅程.弦中点M 的轨迹⽅程：在椭圆中，过椭圆内点000P x y (,)的弦AB ，其中点M 的⽅程就是22002222x x y y x y a b a b+=+，仍为椭圆.这两个⽅程有些相似，要擦亮眼睛，千万不要搞混了.圆锥曲线必背⼝诀(红字为⼝诀)-双曲线⼀、双曲线定义⼆、双曲线的性质定理基本同椭圆，有所区别：实轴虚轴与焦距，形似勾股弦定理①准线⽅程准焦距，a ⽅、b ⽅除以c ②通径等于 2 e p ，切线⽅程⽤代替③焦三⾓形计⾯积，半⾓余切连乘b ④注解：1实轴2a =，虚轴2b =，焦距2c =，则：222a b c +=2准线⽅程2a x c=± （a ⽅除以c ）准焦距p ：焦点到准线的距离：2b pc = （b ⽅除以c ）3通径等于2 e p ，切线⽅程⽤代替双曲线的通径d ：过焦点垂直于长轴的直线与双曲线的两交点之间的距离称为双曲线的通径.（通径22c b 2b 2a c ad 2ep =??==）过双曲线上000P x y (,)点的切线⽅程，⽤000P x y (,)等效代替双曲线⽅程得到，等效代替后的是切线⽅程是：0022x x y y1a b-=4焦三⾓形计⾯积，半⾓余切连乘b焦三⾓形：以双曲线的两个焦点12F F ,为顶点，另⼀个顶点P 在椭圆上的三⾓形称为焦三⾓形.半⾓是指12F PF γ=∠的⼀半.双曲线2222x y 1a b-=的左右焦点分别为12F F ,，点P 为双曲线上异于顶点任意⼀点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点三⾓形满⾜：2122b PF PF 1cos γ=- 其⾯积为；122F PF S b co 2t γ=.证明：设21PF m PF n ,==，则m n 2a -=在12F PF ?中，由余弦定理得：222121212PF PF 2PF PF F F cos γ+-=，即：222m n 2mn 4c cos γ+-?=22224a 4b m n 4b ()=+=-+ 即：2222m n 2mn m n 4b cos ()γ+-?=-+即：22mn 2mn 4b cos γ-?=，即：22b mn 1(cos )γ=-即：22b mn 1cos γ=-，即：2122bPF PF 1cos γ=-那么，焦点三⾓形的⾯积为：12F PF 1S mn 2sin γ?=?212b 21sin cos γγ=?-2222b 22b 122sin cossin cos sinγγγγγ==?-2b 2cot γ= 故：122F PF S b 2cot γ= 同时：12F PF 12P P 1S F F y c y 2?=?=?，故：2p b y c 2cot γ=±? 双曲线的焦点三⾓形的⾯积为：122F PF S b co 2t γ=.三、双曲线的相关公式切线平分焦周⾓，称为弦切⾓定理①切点连线求⽅程，极线定理须牢记②弦与中线斜率积，准线去除准焦距③细看中点弦⽅程，恰似弦中点轨迹④注解：1弦切⾓定理：切线平分椭圆焦周⾓的外⾓，平分双曲线的焦周⾓.焦周⾓是焦点三⾓形中，焦距所对应的⾓. 弦切⾓是指双曲线的弦与其切线相交于双曲线上时它们的夹⾓，当弦为焦点弦时（过焦点的弦），那么切线是两个焦点弦的⾓平分线.如图，12F PF ?是焦点三⾓形，12F PF ∠为焦周⾓，PT 为双曲线的切线. 则PT 平分12F PF ∠.2若000P x y (,)在双曲线2222x y 1a b-=外，以包含焦点的区域为内，不包含焦点的区域为外，则过0P 作双曲选的两条切线，切点为1P 、2P ，则点0P 和切点弦12P P 分别称为双曲线的极点和极线，切点弦12P P 的直线⽅程即极线⽅程是0022x xy y1a b-=（称为极线定理）3弦指双曲线内的⼀弦AB .中线指弦AB 的中点M 与原点O 的连线，即OAB ?得中线.这两条直线的斜率的乘积，等于准线距离2c a x c =去除准焦距2b p c=，其结果是：2AB OM2c p b k k x a==4中点弦AB 的⽅程：在双曲线中，若弦AB 的中点为00M x y (,)，称弦AB 为中点弦，则中点弦的⽅程就是：2200002222x x y y x y aba b-=-，它是直线⽅程. 弦中点M 的轨迹⽅程：在双曲线中，过双曲线外⼀点000P x y (,)的弦AB ，其AB 中点M 的⽅程就是22002222x x y y x y a b a b-=-，仍为双曲线.这两个⽅程有些相似，要擦亮眼睛，千万不要搞混了.圆锥曲线必背⼝诀(红字为⼝诀)-抛物线⼀、抛物线定义抛物线，有定义，定点定线等距离12⼆、抛物线性质焦点准线极点线①，两臂点乘积不变②焦弦切线成直⾓，切点就是两端点③端点投影在准线，连结焦点垂直线④焦弦垂直极焦线⑤，切线是⾓平分线⑥直⾓梯形对⾓线，交点就是本原点⑦焦弦三⾓计⾯积，半个p ⽅除正弦⑧注解：1抛物线的焦点和准线是⼀对极点和极线.抛物线⽅程：2y 2px =，焦点(,)p F 02，准线p p x 2=-(抛物线的顶点(,)O 00到定点(,)p F 02和定直线p p x 2=-距离相等) 焦弦：过焦点的直线与抛物线相交于两点A 和B ，则AB 称为焦弦.弦中点(,)M M M x y ，A B M x x x 2+=，A B M y yy 2+= 焦弦⽅程：()p y k x 2=-，k 为斜率. 2焦点三⾓形两边OA 和OB 的点乘积为定值，且夹⾓是钝⾓. 证明：焦弦AB 满⾜的条件()2y 2pxp y k x 2?=??=- ()22p k x 2px 2-=? ()22222k p k x k 2px 04-++=由韦达定理得：2A B px x 4=2A B py y 22p p 2==-=-?=-，即：2A B p x x 4=，2A B y y p =- ①且：2A A B B A B A B 3OA OB x y x y x x y y p 04(,)(,)?=?=+=-<. 故：焦点三⾓形两边之点乘积为定值.3即：焦弦两端点的切线互相垂直. 证明：如图，由抛物线⽅程：2y 2px =得到导数：yy p '=，即：py y'=故：AEA p k y =，BE Bp k y = 于是：2AE BEA B A Bp p p k k y y y y ?=?=将①式2A B y y p =-代⼊上式得：AE BE k k 1?=-即：AE BE ⊥，故焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直⾓三⾓形. 4即：焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直⾓三⾓形. 证明：坐标B p C y 2(,)-,A p D y 2(,)-则：B CF p y (,)=-，A DF p y (,)=- 于是：2A B CF DF p y y ?=+将①式2A B y y p =-代⼊上式得：CF DF 0?= 故：CF DF ⊥即：焦弦端点A B ,在准线的投影点D C ,，则CF DF ⊥，即：焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直⾓三⾓形.5若焦弦AB 对应的极点E ，则EF 为极焦线，于是EF AB ⊥⽤向量⽅法可证.由于M 是AB 的中点，AEB ?为直⾓三⾓形，计算可得E 是DC 的中点，故：ED EF EC == 由向量法可证EF AB 0?=即：焦弦AB 与极焦线EF 互相垂直. 6即：切线平分焦弦的倾⾓(或倾⾓的外⾓) 如图：因为ADE ?和AFE ?都是直⾓三⾓形，且由定义知：AF AD =，AE AE =故ADE AFE ??≌，则对应⾓相等. 即：AE 是DAF ∠的⾓平分线同理，BE 是CBF ∠的⾓平分线 7即：直⾓梯形ABCD 对⾓线相交于原点即：A O C ,,三点共线；B O D ,,三点共线. ⽤向量法证明：OA CO //，OB DO //证明：坐标2A A y A y 2p (,)，2B B y B y 2p (,)，B p C y 2(,)-，A pD y 2(,)-向量：2A A y OA y 2p (,)=，B pCO y 2(,)=-各分量之⽐：2A2x A 2xy OA y 2p p p CO 2()()==，2y A AB A B y OA y y y y y CO ()()==--将①式2A B y y p =-代⼊上式得：22yA A2A By OA y y y y p CO ()()==- 故：y x xyOA OA OACO CO CO()()()()==，即：OA CO // 同理：OB DO //.直⾓梯形ABCD 对⾓线相交于原点. 8即：焦弦三⾓形的⾯积为：sin 2 AOBp S 2α= （α为焦弦的倾⾓）证明：AB AF BF =+A B A B p p x x x x p 22=+ ++=++M p2x 2()=+2EM = 如图：GF 2OF p == 则：2EF GF 1pEM sin sinsin sin αααα==?= E于是：22pAB sin α= 故：AOB1S OF AB 2sin α?=221p 2p p 222sin sin sin ααα==附：圆锥曲线必背----极坐标圆锥曲线的极坐标以准焦距p 和离⼼率e 来表⽰常量，以极径ρ和极⾓θ来表⽰变量.0ρ≥，[,)o 0360θ∈以焦点(,)F 0θ为极点(原点O )，以椭圆长轴、抛物线对称轴、双曲线的实轴为极轴的建⽴极坐标系.故准线是到极点距离为准焦距p 、且垂直于极轴的直线L . 极坐标系与直⾓坐标系的换算关系是：ρ=，arctan y xθ= 或者：cos x ρθ=，sin y ρθ= 特别注意：极坐标系中，以焦点为极点(原点)，⽽直⾓坐标系中以对称点为原点得到标准⽅程. 如图，O 为极点，L 为准线，则依据定义，到定点(极点)和到定直线(准线)的距离之⽐为定值(定值e )的点的轨迹为圆锥曲线. 所以，对极坐标系，请记住：⑴极坐标系的极点O 是椭圆的左焦点、抛物线的焦点、双曲线的右焦点；⑵曲线上的点(,)Pρθ到焦点F的距离是ρ，到准线的距离是cospρθ+，根据定义：cosepρρθ=+即：cosep eρθρ+=，即：cosep eρρθ=-，即：1eρθ=-①这就是极坐标下，圆锥曲线的通式.⑶对应不同的e，呈现不同的曲线. 对双曲线，只是右边的⼀⽀；对抛物线，开⼝向右.将极轴旋转o180，α和θ分别对应变换前后的极⾓，即转⾓为o180θα=+，则极坐标⽅程变换前⽅程为：cosep1eρα=-变换后⽅程为：cosep1eρθ=+②此时的极坐标系下，此时有：⑵对应不同的e，呈现不同的曲线对双曲线，只是左边的⼀⽀；对抛物线，开⼝向左.⑴将极轴顺时针旋转o90，即：o 90θα=+，则情况如图.圆锥曲线的⽅程为：sin ep1e ρθ=- ③此时的极坐标系下：对应于直⾓坐标系下，焦点在y 轴的情况，且极点O 对应于椭圆下⽅的焦点，双曲线上⽅的焦点，抛物线的焦点.对双曲线，只是y 轴上边的⼀⽀；对抛物线，开⼝向上. ⑵如果将极轴逆时针旋转o 90，即：o 90θα=-，则情况如图. 圆锥曲线的⽅程为：sin ep1e ρα=+ ③此时的极坐标系下：对应于直⾓坐标系下，焦点在y 轴的情况，且对应于椭圆上⽅的焦点，双曲线下⽅的焦点，抛物线的焦点.对双曲线，只是y 轴下边的⼀⽀；对抛物线，开⼝向下.⑴在极坐标系中，圆锥曲线的通式为：=cos ep1e ρθ- ①即：cos e ep ρρθ-=，即：cos ep e ρρθ=+即：(cos )(cos )(cos )2222222ep e e p e 2e p ρρθρθρθ=+=++ ②将222x y ρ=+，cos x ρθ=代⼊②式得：2222222x y e p e x 2e px +=++即：()2222221e x 2e px y e p --+= ③当e 1≠时有：()[()]()()22222222222222--++=+---- 即：()()()22222 2222222e p e e p 1e x y e p 11e 1e 1e --+=+=--- 即：()()22222222222e px y 1e1e p e p1e 1e --+=-- ④⑴当e 1<时，令()22222e p a 1e =-，2222e p b 1e=-，22e p c 1e=-则：()222222222e p e p a b 1e 1e-=---[()]()()2222e p e p 11e 1e 1e =--=--⽽：()()2422222222e p e p c a b 1e 1e ===--- 代⼊④式得：()2222x c y 1ab-+= ⑤这是标准的椭圆⽅程. ⑵当e 1>时，令()222 22e p a e 1=-，2222e p b e 1=-，22e p c e 1=-则：()222222222e p e p a b e 1e 1+=+--[()]()()2242e p e p 1e 1e 1e 1=+-=-- ⽽：()()2422222222e p e p c a b e 1e 1===+-- 代⼊④式得：()2222x c y 1ab+-= ⑥这是标准的双曲线⽅程.⑶当e 1=时，由③式()2222221e x 2e px y e p --+=得：222px y p -+=即：()22p y 2px p 2p x 2=+=+ 即：()2p y 2p x 2=+ ⑦这是标准的抛物线⽅程.。

圆锥曲线——椭圆①基础知识：一、 第一定义：平面内 的轨迹叫椭圆。

其中 叫做椭圆的焦点（F 1 F 2）。

叫做椭圆的焦距（|F 1 F 2|）。

★思考：|PF 1|+|PF 2|=|F1F2|时的轨迹是什么？|PF 1|+|PF 2|<|F1F2|时呢？二、 第二定义：平面内 的轨迹叫椭圆。

其中定直线为： 定点为： 定值为： 范围：(0＜e ＜1)。

三、标准方程。

椭圆的标准方程为： 或 （a>b>0）。

注意：标准方程说表示的椭圆及中心在坐标原点、长短轴在坐标轴上的椭圆。

如何判断焦点所在坐标轴：看分母、焦点在分母大的那一轴。

例如：x 24＋y 23＝1 ，两个分母分别为：4、3 。

∵4＞3 又∵4是X 项的分母 ∴焦点在X 轴上。

四、参数方程cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）四、椭圆的简单几何性质。

①、范围。

以焦点在X 轴的椭圆为例：∵ x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) ∴x 2a 2≤1 y 2b2≤1 ∴|x|≤a |y|≤b 即：-a ≤x ≤a -b ≤y ≤b②、对称性。

关于X 、Y 轴成轴对称。

关于原点成中心对称。

③、顶点。

坐标轴和椭圆的四个交点：A 1 、A 2 、B 1 、B 2。

长轴：|A 1A 2| 短轴：|B 1B 2|连接B 、F 。

构成RT △OBF |OB|=b |OF|=c |BF|=a ∴ a 2=b 2+c 2（重要的性质） ④、离心率。

椭圆的离心率：e=ca（0＜e ＜1） e 越大越扁 e 越小越近圆。

⑤、扩展。

通径：过焦点且垂直于长轴。

焦半径：椭圆上一点到椭圆焦点的连线。

焦半径公式：若M （x 0,y 0） |MF 1|=a+ex 0 |MF 2|=a-ex 0★规律及其解题方法提炼：1．椭圆中任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .2．过焦点弦的所有弦长中，垂直于长轴的弦是最短的弦，而且它的长为 把这个弦叫椭圆的通径．3．求椭圆离心率e 时，只要求出a ，b ，c 的一个齐次方程，再结合b 2＝a 2－c 2就可求得e (0＜e ＜1)．BOF4．从一焦点发出的光线，经过椭圆(面)的反射，反射光线必经过椭圆的另一焦点．5．过椭圆外一点求椭圆的切线，一般应用判别式Δ＝0求斜率，也可设切点后求导数(斜率)．6．求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：(1)中心是否在原点，(2)对称轴是否为坐标轴．★解题技巧①、求椭圆的标准方程。

椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。

定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。

说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。

②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。

2.3. 椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。

焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。

推导过程：由第二定义得11PF e d =（1d 为点P 到左准线的距离）， 则211000a PF ed e x ex a a ex c ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭；同理得20PF a ex =-。

简记为：左“＋”右“－”。

由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。

22221x y a b +=；若焦点在y 轴上，则为22221y x a b+=。

有时为了运算方便，设),0(122n m m ny mx ≠>=+。

双曲线的定义、方程和性质1． 定义（1）第一定义：平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于定长2a （小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。

说明：①||PF 1|-|PF 2||=2a （2a <|F 1F 2|）是双曲线；若2a=|F 1F 2|，轨迹是以F 1、F 2为端点的射线；2a >|F 1F 2|时无轨迹。

②设M 是双曲线上任意一点，若M 点在双曲线右边一支上，则|MF 1|>|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=2a ；若M 在双曲线的左支上，则|MF 1|<|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=-2a ，故|MF 1|-|MF 2|=±2a ，这是与椭圆不同的地方。

圆锥曲线公式及知识点总结圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的商是常数e的点的轨迹。

数学里有很多公式，为了帮助大家更好的学习数学，小编特地为大家整理了圆锥曲线公式及知识点总结，希望对大家的数学学习有帮助。

圆锥曲线公式：椭圆1、中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：其中x²/a²+y²/b²=1,其中a>b>0,c²=a²-b²2、中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：y²/a²+x²/b²=1,其中a>b>0,c²=a²-b²参数方程：x=acosθ;y=bsinθ(θ为参数，0≤θ≤2π)圆锥曲线公式：双曲线1、中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程：x²/a-y²/b²=1,其中a>0，b>0，c²=a²+b².2、中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程：y²/a²-x²/b²=1,其中a>0，b>0，c²=a²+b².参数方程：x=asecθ;y=btanθ(θ为参数)圆锥曲线公式：抛物线参数方程:x=2pt²；y=2pt(t为参数)t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率)特别地，t可等于0直角坐标:y=ax²+bx+c(开口方向为y轴，a≠0)x=ay²+by+c(开口方向为x轴，a≠0)离心率椭圆，双曲线，抛物线这些圆锥曲线有统一的定义：平面上，到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。

且当01时为双曲线。

圆锥曲线公式知识点总结圆锥曲线椭圆双曲线抛物线标准方程x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)y²=2px(p>0)范围x∈[-a,a]x∈(-∞，-a]∪[a,+∞)x∈[0,+∞)y∈[-b,b]y∈Ry∈R对称性关于x轴，y轴，原点对称关于x轴，y轴，原点对称关于x轴对称顶点(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)(a,0),(-a,0)(0,0)焦点(c,0),(-c,0)(c,0),(-c,0) (p/2,0)【其中c²=a²-b²】【其中c²=a²+b²】准线x=±a²/cx=±a²/cx=-p/2渐近线——————y=±(b/a)x—————离心率。

圆锥曲线知识点总结第一篇：圆锥曲线基础知识圆锥曲线是一类重要的几何图形，它由一固定点（焦点）和一条直线（直母线）确定。

圆锥曲线包括椭圆、双曲线、抛物线和圆。

1. 椭圆椭圆是所有圆锥曲线中最简单的一种。

当一个圆锥截面与其直母线平行时，得到的图形就是一个椭圆。

椭圆具有如下性质：(1) 椭圆中心：椭圆的中心是其两个焦点的中垂线的交点。

(2) 焦点：椭圆上有两个焦点，它们在椭圆的长轴上，且到椭圆中心的距离相等。

(3) 长轴和短轴：椭圆上的两个焦点和中心共线，中心到焦点的距离称为焦距，长轴是椭圆上离焦点最远的两个点之间的距离，短轴是椭圆上离焦点最近的两个点之间的距离，长轴和短轴的长度之间的比值称为离心率。

(4) 方程：椭圆的标准方程为(x/a)^2+(y/b)^2=1, 其中a和b分别为长轴和短轴的一半。

(5) 旋转：如果椭圆不是以坐标轴为轴旋转的，则称其为斜椭圆，斜椭圆可以通过平移和旋转把它转变为标准方程的椭圆。

2. 双曲线双曲线是圆锥曲线中另一个重要的图形，当一个圆锥截面与其直母线的夹角小于圆锥的母线夹角时，得到的图形就是双曲线。

双曲线具有如下性质：(1) 中心：双曲线的中心是对称轴与渐近线的交点。

(2) 焦点：双曲线有两个焦点，它们位于对称轴上，且到中心的距离相等。

(3) 渐近线：一条直线是双曲线的渐近线，当直线与双曲线的距离接近于零时，该直线就称为双曲线的渐近线。

(4) 方程：双曲线的标准方程为(x/a)^2-(y/b)^2=1，其中a和b分别为双曲线上的两个焦点之间的距离的一半和中心到直线y=0的距离。

(5) 分类：双曲线可以分为右开口和左开口的两种，短轴在x轴的正半轴上的为右开口，反之为左开口。

3. 抛物线抛物线是圆锥曲线中另一种重要的图形，当一个圆锥截面与其直母线垂直时，得到的图形就是抛物线。

抛物线具有如下性质：(1) 焦点和直线：抛物线有一个焦点F和一条直线L，直线L称为准线。

对于抛物线上的任意一点P，它到焦点F的距离等于它到准线L的距离。

完整版)圆锥曲线知识点归纳总结1.圆锥曲线的定义和构造圆锥曲线是在平面上由一个固定点（焦点）和一个固定直线（准线）决定的点集。

三种经典的圆锥曲线分别为椭圆、抛物线和双曲线。

构造圆锥曲线需要确定焦点和准线的位置以及确定参数值。

2.椭圆的特性椭圆是圆锥曲线中最常见的一种形式，由两个焦点和一个大于等于焦距的参数决定。

椭圆的离心率小于1，且离心率等于焦点到准线的距离除以准线长度。

椭圆的焦缩比为焦点到椭圆上某一点的距离与该点到准线的距离的比值。

重要公式：椭圆的标准方程为(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1；焦缩比为e = c/a，其中c^2 = a^2 – b^2.3.抛物线的特性抛物线是圆锥曲线中的一种形式，由一个焦点和一个参数决定。

抛物线的离心率为1，焦缩比为1.抛物线的轴是准线，顶点是焦点和准线的交点。

重要公式：抛物线的标准方程为(x^2/4a) = y。

4.双曲线的特性双曲线是圆锥曲线中的一种形式，由两个焦点和一个焦距决定。

双曲线的离心率大于1，离心率等于焦点到准线的距离除以准线长度。

双曲线的焦缩比为c^2 = a^2 + b^2.重要公式：双曲线的标准方程为(x^2/a^2) – (y^2/b^2) = 1.5.圆锥曲线的应用圆锥曲线在数学和物理学中都有广泛的应用。

椭圆的应用包括轨道运动、天体力学以及密码学等领域。

抛物线的应用包括抛物面反射器、人工卫星的轨道设计等。

双曲线的应用包括电磁波的传播、双曲线钟的标定等。

6.圆锥曲线的性质圆锥曲线有许多共同的性质，如对称性、切线性质和焦点性质等。

对称性：椭圆和双曲线关于x轴和y轴都有对称性，抛物线关于y轴有对称性。

切线性质：圆锥曲线上任意一点的切线与焦点到该点的连线垂直。

焦点性质：圆锥曲线上的任意一点到焦点的距离与焦缩比成正比。

此文档总结了圆锥曲线的定义、特性、应用和性质等重要知识点，并提供了相关公式和图示。

熟悉了这些知识后，我们可以更加深入地理解和应用圆锥曲线的概念。

圆锥曲线方程知识点总结一、圆锥曲线的基本方程椭圆的标准方程如下：$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1. (a > b > 0)$$其中椭圆的长轴为$2a$，短轴为$2b$，焦距为$\sqrt{a^2 - b^2}$，离心率为$c/a$。

双曲线的标准方程如下：$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1. (a > 0, b > 0)$$其中双曲线的两个分支的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 + b^2}$。

抛物线的标准方程如下：$$x^2 = 4ay. (a > 0)$$其中抛物线的焦点为$(0, a)$，顶点为$(0, 0)$。

二、圆锥曲线的参数方程圆锥曲线还可以用参数方程表示。

以椭圆为例，其参数方程为：$$\begin{cases}x = a \cos \theta, \\y = b \sin \theta. \\\end{cases}$$其中$\theta$的取值范围为$[0, 2\pi]$。

双曲线和抛物线的参数方程也可以类似地表示。

三、圆锥曲线的极坐标方程圆锥曲线还可以用极坐标方程表示。

以椭圆为例，其极坐标方程为：$$r = \frac{ab}{\sqrt{a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta}}.$$其中$r$为极径，$\theta$为极角。

双曲线和抛物线的极坐标方程也可以类似地表示。

四、圆锥曲线的性质1. 圆锥曲线关于坐标轴的对称性：- 椭圆关于$x$轴和$y$轴都对称；- 双曲线关于$x$轴和$y$轴都对称；- 抛物线关于$y$轴对称。

2. 圆锥曲线的焦点、直径、离心率等：- 椭圆的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 - b^2}$，离心率为$e = c/a$；- 双曲线的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 + b^2}$，离心率为$e = c/a$；- 抛物线的焦点到中心的距离为$c = a$，离心率为$e = 1$。

圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是平面上的一类重要的几何曲线，由易知，它们具有各种各样的性质和特点，广泛应用于数学、物理、工程等领域。

下面将对圆锥曲线的基本概念、方程及其性质进行简要总结。

一、圆锥曲线的基本概念圆锥曲线是由平面和圆锥交于一条封闭曲线形成的曲线。

根据圆锥和平面的位置关系，可以分为椭圆、抛物线和双曲线三类。

（一）椭圆当切割平面与圆锥的两部分相交时，形成椭圆。

椭圆有两个焦点，与这两个焦点的距离之和是常数。

椭圆的方程常用标准方程表示为：(x/a)² + (y/b)² = 1，其中a和b分别表示椭圆的长轴和短轴长度。

（二）抛物线当切割平面与圆锥的一部分相交时，形成抛物线。

抛物线是一条对称曲线，其开口方向由切割平面的位置决定。

抛物线的方程常用标准方程表示为：y = ax²，其中a为常数。

（三）双曲线当切割平面与圆锥的两部分不相交时，形成双曲线。

双曲线有两个焦点，与这两个焦点的距离之差是常数。

双曲线的方程常用标准方程表示为：(x/a)² - (y/b)² = 1，其中a和b分别表示双曲线的长轴和短轴长度。

二、圆锥曲线的方程（一）椭圆的一般方程椭圆的一般方程为：Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E和F为常数。

（二）抛物线的一般方程抛物线的一般方程为：Ay² + Bx + C = 0，其中A、B和C为常数。

（三）双曲线的一般方程双曲线的一般方程为：Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E和F为常数，且B² - 4AC > 0。

三、圆锥曲线的性质（一）椭圆的性质1. 椭圆是一个闭合曲线，对称于x轴和y轴。

2. 椭圆的长轴和短轴分别与x轴和y轴平行。

3. 椭圆有两个焦点，对称于椭圆的长轴上。

圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是二维平面上的几何图形，由直角圆锥与一个平面相交而产生。

它在数学、物理、工程和计算机图形等领域具有广泛的应用。

本文将对圆锥曲线的基本概念、方程、性质和应用进行总结。

一、基本概念1. 定义：圆锥曲线可以分为三种类型，即椭圆、抛物线和双曲线。

它们的定义分别是：- 椭圆：平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的集合。

- 抛物线：平面上到一个定点的距离等于定直线的距离的点的集合。

- 双曲线：平面上到两个定点的距离之差等于常数的点的集合。

2. 方程形式：圆锥曲线可以以各种形式的方程表示。

常见的方程形式包括标准方程、参数方程和极坐标方程。

二、椭圆1. 基本性质：椭圆是一个闭合的曲线，两个焦点之间的距离是常数，而离心率小于1。

椭圆对称于两个坐标轴，并且具有两个主轴和两个焦点。

2. 椭圆的方程：椭圆的标准方程是(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是两个半轴的长度。

3. 参数方程：椭圆的参数方程是x = h + a*cos(t)，y = k + b*sin(t)，其中t是参数的角度。

4. 极坐标方程：椭圆的极坐标方程是r = (a*b) / sqrt((b*cos(t))² + (a*sin(t))²)，其中r是极径，t是极角。

5. 应用：椭圆在日常生活中有多种应用，例如天体运动的轨道、水平仪和椭圆形浴缸等。

三、抛物线1. 基本性质：抛物线是一个开放的曲线，焦点和直线称为准线。

抛物线对称于准线，并且具有一个顶点。

2. 抛物线的方程：抛物线的标准方程是y = a*x² + b*x + c，其中a、b和c是常数。

3. 参数方程：抛物线的参数方程是x = t，y = a*t² + b*t + c，其中t是参数。

4. 极坐标方程：抛物线没有显式的极坐标方程。

5. 应用：抛物线在物理学、工程学和天文学中有多种应用，例如抛物线反射器、天体运动的近似模型和喷泉水流的轨迹等。

圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是解析几何中的重要内容，由平面与一个双曲面、椭圆面或者抛物线面相交而得到。

在高中数学课程中，学习圆锥曲线是必不可少的。

本文将对圆锥曲线的定义、基本方程、性质和应用进行总结。

一、圆锥曲线的定义圆锥曲线就是平面与一个双曲面、椭圆面或者抛物线面相交而得到的曲线，在平面上的图像可以呈现出不同的形状。

二、圆锥曲线的基本方程1. 双曲线：双曲线的基本方程为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$。

其中，a和b分别为椭圆的两个半轴。

2. 椭圆：椭圆的基本方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$。

其中，a和b分别为椭圆的两个半轴。

3. 抛物线：抛物线的基本方程为：$y^2=2px$。

其中，p为抛物线的焦距。

三、圆锥曲线的性质1. 双曲线的性质：双曲线的两个分支镜像对称于原点，焦点到曲线的距离之差为常数。

双曲线还具有渐近线，即曲线趋近于两根直线。

2. 椭圆的性质：椭圆的两个焦点在椭圆的长轴上，且焦点到任意点的距离之和为常数。

此外，椭圆也具有主轴、短轴和焦距等重要概念。

3. 抛物线的性质：抛物线的焦点位于抛物线的顶点上，且焦点到抛物线上任意点的距离等于焦点到该点的法线距离。

四、圆锥曲线的应用1. 双曲线的应用：双曲线在电磁学中有广泛的应用，例如电磁波的传播、天线的辐射以及电磁场分布等方面。

2. 椭圆的应用：椭圆在力学、天文学和导航等领域有着重要的应用。

例如椭圆轨道运动的物体、天体运动规律的研究以及导航系统中的卫星轨道等。

3. 抛物线的应用：抛物线在物理学和工程学中有着广泛的应用。

例如自由落体运动、射击运动以及卫星的发射轨道等。

综上所述，圆锥曲线是解析几何中的重要内容，通过本文的总结，我们了解了圆锥曲线的定义、基本方程、性质和应用。

在学习过程中，我们需要深入理解每个曲线的特点和应用领域，为解决实际问题提供有力的数学工具。

希望本文对你对圆锥曲线的学习有所帮助。

圆锥曲线知识点全归纳（精华版）圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。

其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。

当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。

一、圆锥曲线的方程和性质：1）椭圆文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个小于1的正常数e。

定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。

标准方程：1.中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.2.中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：(x^2/b^2)+(y^2/a^2)=1其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.参数方程：X=acosθY=bsinθ(θ为参数，设横坐标为acosθ，是由于圆锥曲线的考虑，椭圆伸缩变换后可为圆此时c=0，圆的acosθ=r)2）双曲线文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e。

定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。

标准方程：1.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.2.中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程：(y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1.其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.参数方程：x=asecθy=btanθ(θ为参数 )3）抛物线标准方程：1.顶点在原点,焦点在x轴上开口向右的抛物线标准方程：y^2=2px 其中 p>02.顶点在原点,焦点在x轴上开口向左的抛物线标准方程：y^2=-2px 其中 p>03.顶点在原点,焦点在y轴上开口向上的抛物线标准方程：x^2=2py 其中 p>04.顶点在原点,焦点在y轴上开口向下的抛物线标准方程：x^2=-2py 其中 p>0参数方程x=2pt^2 y=2pt (t为参数) t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率）特别地，t 可等于0直角坐标y=ax^2+bx+c (开口方向为y轴, a<>0 ） x=ay^2+by+c （开口方向为x轴, a<>0 )圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为ρ=ep/(1-e×cosθ)其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。

课程星级：★★★★★【椭圆】 一、椭圆的定义1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ，这个动点P 的轨迹叫椭圆。

这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。

注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形。

二、椭圆的方程1、椭圆的标准方程（端点为a 、b ，焦点为c ）（1）当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -=；（2）当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b x a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；2、两种标准方程可用一般形式表示：221x y m n += 或者 mx 2+ny 2=1 三、椭圆的性质（以12222=+by a x )0(>>b a 为例）知能梳理1、对称性：对于椭圆标准方程12222=+by a x )0(>>b a ：是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形；并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。

2、范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。

3、顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

②椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B 。

③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=，b B B 221=。

a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

圆锥曲线知识点归纳总结圆锥曲线知识点归纳总结一、基本概念圆锥曲线是由一个平面与一个双曲面、抛物面或圆锥相交而得到的曲线。

它包括四种类型：椭圆、双曲线、抛物线和直线。

二、椭圆1. 椭圆的定义：平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a （a>0）的所有点P的轨迹称为椭圆。

2. 椭圆的性质：（1）椭圆的中心为坐标原点。

（2）椭圆的两个焦点在x轴上，距离为2c，满足c^2=a^2-b^2。

（3）椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b，满足a>b>0。

（4）离心率e=c/a，0<e<1。

（5）对于任意一条过中心点O且与坐标轴夹角为θ的直线，其与椭圆交点到O的距离之和等于常数2a*cosθ。

三、双曲线1. 双曲线的定义：平面上到两个定点F1和F2距离之差等于常数2a （a>0）的所有点P的轨迹称为双曲线。

2. 双曲线的性质：（1）双曲线的中心为坐标原点。

（2）双曲线的两个焦点在x轴上，距离为2c，满足c^2=a^2+b^2。

（3）双曲线有两条渐近线，即横坐标趋近于正无穷或负无穷时，纵坐标趋近于两条直线y=±b/a*x。

（4）离心率e=c/a，e>1。

（5）对于任意一条过中心点O且与坐标轴夹角为θ的直线，其与双曲线交点到O的距离之差等于常数2a*cosθ。

四、抛物线1. 抛物线的定义：平面上到定点F与定直线L距离相等的所有点P的轨迹称为抛物线。

2. 抛物线的性质：（1）抛物线的中心为定直线L上方向原点最近的那个点。

（2）抛物线与定直线L垂直，并以其为对称轴。

（3）焦距等于顶点到焦点或顶点到准直径之间的距离。

（4）顶点为抛物线的最高点，即其纵坐标为最大值。

（5）离心率e=1。

五、直线1. 直线的定义：平面上所有点的轨迹都是直线。

2. 直线的性质：（1）直线可以表示为y=kx+b的形式，其中k是斜率，b是截距。

（2）两条不重合的直线相交于一点。

（3）两条平行的直线永远不会相交。

圆锥曲线知识点公式大全圆锥曲线是平面上的一类曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。

它们都可以由一个动点（焦点）和一条定点到动点距离与到一条给定直线距离之比（离心率）确定。

1.椭圆的定义方程：(x/a)² + (y/b)² = 1，其中a和b分别是椭圆的两条半轴的长度。

2.长轴和短轴：长轴的长度是2a，短轴的长度是2b。

焦距是c，满足c² = a² - b²。

3.离心率：离心率用e表示，e² = 1 - (b²/a²)。

离心率是一个衡量椭圆形状的指标，e=0表示圆。

4.双曲线的定义方程：(x/a)² - (y/b)² = 1或(y/b)² - (x/a)² = 1，其中a和b分别是双曲线的两条半轴的长度。

5.双曲线的焦点和离心率：双曲线有两个焦点和两条渐近线，焦点到双曲线上的任意一点的距离与焦距之差的绝对值恒等于离心率。

6.抛物线的定义方程：y² = 4ax或x² = 4ay，其中a是抛物线的焦点到准线的垂直距离。

7.抛物线的焦点和准线：焦点是抛物线上的一个特殊点，准线是与焦点对称的一条直线。

以上是圆锥曲线的基本知识点和公式。

除此之外，还有一些拓展的知识点：-增量曲线：当焦点和准线都在y轴上时，圆锥曲线的公式可以表达为任意形式的增量曲线，如二次抛物线、双曲线等。

-参数方程：圆锥曲线也可以用参数方程表示，其中x = x(t)和y = y(t)是关于参数t的函数，通常t的取值范围是一个区间。

-极坐标方程：圆锥曲线也可以用极坐标方程表示，其中r = r(θ)是关于极角θ的函数。

-高斯曲率：圆锥曲线在不同点处的曲率有所不同，而高斯曲率是描述曲面曲率性质的一个指标。

对于圆锥曲线来说，高斯曲率恒为常数。

希望以上信息能对你有所帮助！如果您还有其他问题，请随时提问。

椭圆典例剖析知识点一 椭圆定义的应用方程x 225－m ＋y 216＋m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是________．解析：因为焦点在y 轴上，所以16＋m >25－m ，即m >92，又因为b 2＝25－m >0，故m <25，所以m 的取值范围为92<m <25.答案：92<m <25知识点二 求椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)．(2)经过点A (13，13)，B (0，－12)．(1)解 方法一 椭圆的焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆定义知：2a ＝(5＋4)2＋(5－4)2＝10，所以a ＝5.又c ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.故椭圆标准方程为x 225＋y 29＝1.方法二 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，因为c ＝4，所以a 2－b 2＝c 2＝16.又椭圆经过点(5,0)，所以25a 2＋0b2＝1，所以a 2＝25，所以b 2＝25－16＝9，所以椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)方法一 ①当椭圆焦点在x 轴上时，设标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(13)2a 2＋(13)2b 2＝1，0a 2＋(－12)2b 2＝1.解得⎩⎨⎧a 2＝15，b 2＝14.又因为a >b ，所以该方程组无解．②当椭圆焦点在y 轴上时，设标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(13)2a 2＋(13)2b2＝1，(－12)2a 2＋0b 2＝1.解得⎩⎨⎧a 2＝14，b 2＝15.所以方程为y 214＋x 215＝1.综上知，所求椭圆的标准方程为：y 214＋x 215＝1.方法二 设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，依题意有⎩⎨⎧19m ＋19n ＝1，14n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，n ＝4，所以所求椭圆的方程为5x 2＋4y 2＝1，即其标准方程为y 214＋x 215＝1.练习：过点(－3,2)且与椭圆x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的标准方程是________．解析：因为c 2＝9－4＝5，所以设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1.由点(－3,2)在椭圆上知9a 2＋4a 2－5＝1，所以a 2＝15.所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 210＝1.答案：x 215＋y 210＝1知识点三 根据方程研究几何性质求椭圆25x 2＋16y 2＝400的长轴、短轴、离心率、焦点坐标和顶点坐标．解 将方程变形为y 225＋x 216＝1，得a ＝5，b ＝4，所以c ＝3.故椭圆的长轴和短轴的长分别为2a ＝10,2b ＝8，离心率e ＝c a ＝35，焦点坐标为(0，－3)，(0,3)，顶点坐标为(0，－5)，(0,5)，(－4,0)，(4,0)．知识点四 根据几何性质求方程求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长是6，离心率是23.(2)在x 轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 解 (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)． 由已知得2a ＝6，a ＝3.e ＝c a ＝23，∴c ＝2.∴b 2＝a 2－c 2＝9－4＝5.∴椭圆方程为x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1.(2)设椭圆方程为22221x y a b+= (a>b>0)．如图所示，△A 1FA 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|=c ，|A 1A 2|=2b ，∴c=b=3，∴a 2=b 2+c 2=18，故所求椭圆的方程为221189x y +=, 知识点五 求椭圆的离心率如图所示，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．解 方法一 设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a ，b ，c.则焦点为F 1 (-c,0)，F 2 (c,0)，M 点的坐标为(c ，32b)，则△MF1F2为直角三角形．在Rt △M F 1F 2中： |F 1F 2|2+|MF 2|2=|MF 1|2， 即4c 2+94b 2=|MF 1|2.而|MF 1|+| MF 2|=224242,93c b b a +=整理得3c 2=3a 2 -2 ab.又c 2=a 2 -b 2，所以3b=2a.所以2249b a =，所以2222222251,9c a b b e a a a -===-=所以e=35知识点六 直线与椭圆的位置关系问题当m 取何值时，直线l ：y ＝x ＋m 与椭圆9x 2＋16y 2＝144相切、相交、相离．解 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ， ①9x 2＋16y 2＝144. ②①代入②，得9x 2＋16(x ＋m )2＝144，化简，整理，得25x 2＋32mx ＋16m 2－144＝0， Δ＝(32m )2－4×25×(16m 2－144)＝－576m 2＋14 400. 当Δ＝0时，得m ＝±5，直线l 与椭圆相切． Δ>0时，得－5<m <5，直线l 与椭圆相交．当Δ<0时，得m <－5，或m >5，直线l 与椭圆相离．知识点七 中点弦问题已知点P (4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，求l 的方程．解 设l 与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎨⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y229＝1.两式相减，得k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－9(x 1＋x 2)36(y 1＋y 2)＝－2×44×2×2＝－12.∴l 的方程为：y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.考题赏析1．(江西高考)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx－c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)( )A ．必在圆x 2＋y 2＝2内B ．必在圆x 2＋y 2＝2上C ．必在圆x 2＋y 2＝2外D ．以上三种情形都有可能解析 ∵x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝－ca.∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝b 2a 2＋2c a ＝b 2＋2ac a 2. ∵e ＝c a ＝12，∴c ＝12a ，∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－⎝⎛⎭⎫12a 2＝34a 2.∴x 21＋x 22＝34a 2＋2a ×12a a 2＝74<2. ∴P (x 1，x 2)在圆x 2＋y 2＝2内．答案 A2．(浙江高考)如图所示，AB 是平面α的斜线段，A 为斜足．若点P 在平面α内运动，使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．一条直线D ．两条平行直线解析 由题意可知P 点在空间中的轨迹应是以AB 为旋转轴的圆柱面，又P 点在平面α内，所以P 点的轨迹应是该圆柱面被平面α所截出的椭圆． 答案 B1．设F 1，F 2是椭圆x 225＋y 29＝1的焦点，P 为椭圆上一点，则△PF 1F 2的周长为( )A ．16B ．18C ．20D ．不确定 答案 B解析 △PF 1F 2的周长为|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|＝2a ＋2c .因2a ＝10，c ＝25－9＝4，周长为10＋8＝18.2．a ＝6，c ＝1的椭圆的标准方程是( ) A.x 236＋y 235＝1 B.y 236＋x 235＝1 C.x 236＋y25＝1 D ．以上都不对 答案 D解析 因焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，故标准方程有两种可能．故选D.3．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )A.x 281＋y 272＝1B.x 281＋y 29＝1 C.x 281＋y 245＝1 D.x 281＋y 236＝1 答案 A解析 由题意2a ＝18,2c ＝13×2a ＝6∴a ＝9，c ＝3，b 2＝81－9＝72.4．已知F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率为( )A.33B.23C.22 D.32 答案 A解析 |AF 1|＝b 2a ，故有tan60°＝|F 1F 2||AF 1|∴2c ＝3×b 2a ∴(2ac )2＝3(a 2－c 2)2解得e ＝c a ＝33.5．设椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 的值是( )A ．3 B.163C.163或3 D ．2或163 答案 C 解析 当m >4时，此时有m －4m＝12，所以m ＝163； 当0<m <4时，4－m 2＝12，所以m ＝3.6．直线y ＝22x 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个交点在x 轴上的射影恰为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率为________．答案 22解析 当x ＝c 时，y ＝±b 2a ，∴b 2a ＝22c即a 2－c 2a ＝22c ∴e 2＋22e －1＝0，解得e ＝22.7．倾斜角为π4的直线交椭圆x24＋y 2＝1于A ，B 两点，则线段AB 中点的轨迹方程是________．答案 x ＋4y ＝0(－455<x <455)解析 设中点坐标为(x ，y )，A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线方程为y ＝x ＋b ，代入椭圆方程，整理，得5x 2＋8bx ＋4(b 2－1)＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x22＝－45b ，y ＝b 5，所以x ＋4y ＝0.由Δ＝64b 2－4×5×4(b 2－1)>0，得－5<b <5， 故－455<x <455.8．求过点A (2,0)，且与圆x 2＋4x ＋y 2－32＝0内切的圆的圆心的轨迹方程．解 将圆的方程化为标准形式(x ＋2)2＋y 2＝62，这时，已知圆的圆心坐标为B (－2,0)，半径为6，如图所示．设动圆圆心M 的坐标为(x ，y)，由于动圆与已知圆相内切，设切点为C. ∴已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离． ∴即|BC| -|MC|=|BM|. 而|BC|=6， ∴|BM|+|CM|=6. 又|CM|=|AM|， ∴|BM|+|AM|=6.根据椭圆的定义知点M 的轨迹是以点B(-2,0)和点A(2,0)为焦点， 线段AB 的中点(0,0)为中心的椭圆． ∴a=3，c=2，225a c -=∴所求圆心的轨迹方程为22223(5)x , x 29＋y 25＝1 9．求满足下列各条件的椭圆的标准方程． (1)长轴是短轴的3倍且经过点A (3,0)；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为3； (3)经过点P (－23，1)，Q (3，－2)两点；(4)与椭圆x 24＋y 23＝1有相同离心率，焦点在x 轴上，且经过点(2，－3)．解 (1)若椭圆的焦点在x 轴上，设方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， ∵椭圆过点A (3,0)， ∴9a 2＝1，a ＝3， ∵2a ＝3·2b ，∴b ＝1，∴方程为x 29＋y 2＝1.若椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，∵椭圆过点A (3,0)， ∴02a 2＋9b 2＝1， ∴b ＝3,2a ＝3·2b ，∴a ＝9，∴方程为y 281＋x 29＝1.综上所述，椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.(2)由已知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2ca －c ＝3∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23c ＝3 从而b 2＝9∴所求椭圆的标准方程为 x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1. (3)设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )， 点P (－23，1)，Q (3，－2)在椭圆上，代入上述方程得⎩⎪⎨⎪⎧12m ＋n ＝13m ＋4n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝115n ＝15，∴椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.(4)由题意，设所求椭圆的方程为x 24＋y 23＝t (t >0)，因为椭圆过点(2，－3)，所以t ＝224＋(－3)23＝2，故所求椭圆标准方程为x 28＋y 26＝1.10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，短轴一个端点到右焦点的距离为 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为32，求△AOB 面积的最大值．解 (1)设椭圆的半焦距为c ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝63，a ＝3，∴b ＝1，∴所求椭圆方程为x 23＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ①当AB ⊥x 轴时，|AB |＝ 3.②当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m . 由已知|m |1＋k 2＝32，得m 2＝34(k 2＋1)．把y ＝kx ＋m 代入椭圆方程，整理得(3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0，∴x 1＋x 2＝－6km3k 2＋1，x 1x 2＝3(m 2－1)3k 2＋1.∴|AB |2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤36 k 2m 2(3k 2＋1)2－12(m 2－1)3k 2＋1 ＝12(k 2＋1)(3k 2＋1－m 2)(3k 2＋1)2＝3(k 2＋1)(9k 2＋1)(3k 2＋1)2＝3＋12k 29k 4＋6k 2＋1＝3＋129k 2＋1k2＋6(k ≠0)≤3＋122×3＋6＝4.当且仅当9k 2＝1k 2，即k ＝±33时等号成立．当k ＝0时，|AB |＝3， 综上所述|AB |max ＝2.∴当|AB |最大时，△AOB 面积取最大值．S ＝12×|AB |max ×32＝32. 11.已知F 1、F 2是椭圆x 2100＋y 264＝1的两个焦点，P 是椭圆上任意一点．(1)若∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积；(2)求PF 1·PF 2的最大值．解：(1)设PF 1＝m ，PF 2＝n (m >0，n >0)．根据椭圆的定义得m ＋n ＝20.在△F 1PF 2中，由余弦定理得PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2·cos ∠F 1PF 2＝F 1F 22，即m 2＋n 2－2mn ·cos π3＝122.∴m 2＋n 2－mn ＝144，即(m ＋n )2－3mn ＝144.∴202－3mn ＝144，即mn ＝2563.又∵S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2·sin ∠F 1PF 2＝12mn ·sin π3，∴S △F 1PF 2＝12×2563×32＝6433.(2)∵a ＝10，∴根据椭圆的定义得PF 1＋PF 2＝20.∵PF 1＋PF 2≥2PF 1·PF 2，∴PF 1·PF 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫PF 1＋PF 222＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2022＝100，当且仅当PF 1＝PF 2＝10时，等号成立．∴PF 1·PF 2的最大值是100.讲练学部分2．2.1 椭圆及其标准方程(一)对点讲练知识点一 椭圆定义的应用平面内一动点M 到两定点F 1、F 2距离之和为常数2a ，则点M 的轨迹为( )A ．椭圆B ．圆C ．无轨迹D ．椭圆或线段或无轨迹 答案 D解析 当2a >|F 1F 2|时是椭圆，当2a ＝|F 1F 2|时，是线段，当2a <|F 1F 2|时无轨迹，所以选D.【反思感悟】 并不是动点到两定点距离之和为常数的点的轨迹就一定是椭圆，只有当距离之和大于两定点之间的距离时得到的轨迹才是椭圆．命题甲：动点P 到两定点A 、B 的距离之和|P A |＋|PB |＝2a (a >0且a 为常数)；命题乙：点P 的轨迹是椭圆，且A 、B 是椭圆的焦点，则命题甲是命题乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 B知识点二 由椭圆方程求参数的范围若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示椭圆，求k 的取值范围．解 由椭圆的标准方程知⎩⎪⎨⎪⎧5－k >0，k －3>0，5－k ≠k －3.解得3<k <5，且k ≠4.【反思感悟】 5－k ≠k －3包括了焦点在x 轴、y 轴两种情况的椭圆．方程x 22m －1＋y 23－2m ＝1表示焦点在y 轴的椭圆，求m 的范围．解 由题意得3－2m >2m －1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2m －1>0，3－2m >2m －1. 解得：12<m <1.知识点三 求椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2,0)，(2,0)，并且经过点⎝⎛⎭⎫52，－32，求它的标准方程．(2)焦点在坐标轴上，且经过A (3，－2)和B (－23，1)两点．(1)解 方法一 因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)． 由椭圆的定义知 2a ＝⎝⎛⎭⎫52＋22＋⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫52－22＋⎝⎛⎭⎫－322 ＝210，所以a ＝10.又因为c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝10－4＝6.因此，所求椭圆的标准方程为x 210＋y 26＝1.方法二 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2a 2－4＝1，因点⎝⎛⎭⎫52，－32在椭圆上，代入椭圆方程得： 254a 2＋94a 2－16＝1， 解得：a 2＝10.∴所求方程为x 210＋y 26＝1.(2)解 方法一 ①当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．根据题意有，⎩⎪⎨⎪⎧(3)2a 2＋(－2)2b2＝1，(－23)2a2＋1b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝5.所以椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.②当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2a 2＋(3)2b 2＝1，1a 2＋(－23)2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝15.因为a <b ，所以方程无解． 综上①②知，所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.方法二 设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，且m ≠n )，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋4n ＝1，12m ＋n ＝1.解得⎩⎨⎧m ＝115，n ＝15，所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.【反思感悟】 求椭圆的标准方程通常利用待定系数法，如果不能确定焦点是在x 轴上还是在y 轴上，要分两种情况求解，当然也可以按(2)中的方法二设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，且m ≠n )，这样就可避免分情况讨论了．求焦点在x 轴上，焦距等于4，并且经过点P (3，－26)的椭圆的标准方程．解 ∵2c ＝4，∴c ＝2.由题意可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2a 2－4＝1.代入P (3，－26)， 得9a 2＋24a 2－4＝1. a 2＝1或a 2＝36，∵a >c ，∴方程为x 236＋y 232＝1.课堂小结：1.椭圆的定义中只有当距离之和2a>|F 1F 2|时，轨迹才是椭圆；2a=| F 1F 2|时，轨迹是线段 F 1F 2；2a<| F 1F 2|时没有轨迹.2.判断椭圆的焦点在x 、y 轴上的依据是标准方程中的分母，焦点在分母大的对应轴上.3.求椭圆的标准方程常用待定系数法，要恰当地选择方程的形式，如果不能确定焦点的位置，那么有两种方法来解决问题，一是分类讨论全面考虑问题；二是设椭圆方程一般式，也就是：（1）如果明确焦点在x 轴上，那么设所求的椭圆的方程为22221y x a b +=(a>b>0).(2)如果明确焦点在y 轴上，那么设所求的椭圆的方程为22221y x a b+=(a>b>0).（3）如果中心在原点，但焦点的位置不能明确是在x 轴上还是在y 轴上，那么方程可以设为mx 2 + ny 2=1(m>0,n>0，m ≠n)，进而求解.课时作业一、选择题1．椭圆的对称轴为坐标轴，若长、短轴之和为18，焦距为6，那么椭圆的方程为( ) A.x 29＋y 216＝1 B.x 225＋y 216＝1 C.x 216＋y 225＝1 D.x 225＋y 216＝1或x 216＋y 225＝1 答案 D解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋2b ＝182c ＝6⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝9c ＝3⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝9a 2－b 2＝9⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝9a －b ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5b ＝4.2．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边BC 上，则△ABC 的周长为( )A ．2 3B ．4 3C ．6D ．16 答案 B解析 由题意知，三角形的周长为B 点到椭圆两焦点距离之和加上C 点到椭圆两焦点距离之和，因此周长为4 3.3．当直线y ＝kx ＋2的倾斜角大于45°小于90°时，它和曲线2x 2＋3y 2＝6的公共点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．不能确定 答案 C解析 由题意知k >1，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，2x 2＋3y 2＝6.(2＋3k 2)x 2＋12kx ＋6＝0，Δ＝(12k )2－4×(2＋3k 2)×6＝72k 2－48>0.∴该直线与曲线公共点的个数为2.4．椭圆x 2＋y 2k＝1的一个焦点是(0，5)，那么k 等于( )A ．－6B ．6 C.5＋1 D ．1－ 5 答案 B解析 由题意a 2＝k ，b 2＝1，∴k －1＝(5)2⇒k ＝6. 二、填空题5．△ABC 中，已知B 、C 的坐标分别为(－3,0)和(3,0)，且△ABC 的周长等于16，则顶点A 的轨迹方程为________．答案 x 225＋y 216＝1(y ≠0)6．“神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地面n 千米，远地点距地面m 千米，地球半径为R ，那么这个椭圆的焦距为________千米．答案 m －n解析 设a ，c 分别是椭圆的长半轴长和半焦距，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝m ＋R a －c ＝n ＋R，则2c ＝m －n . 7．P 是椭圆x 24＋y 23＝1上的点，F 1和F 2是该椭圆的焦点，则k ＝|PF 1|·|PF 2|的最大值是__________；最小值是__________．答案 4 3解析 设|PF 1|＝x ，则k ＝x (2a －x ) 因a －c ≤|PF 1|≤a ＋c ，即1≤x ≤3. ∴k ＝－x 2＋2ax ＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4∴k max ＝4，k min ＝3. 三、解答题8．△ABC 的三边a 、b 、c 成等差数列，A 、C 两点的坐标分别是(－1,0)，(1,0)，求顶点B 的轨迹方程．解 由题意得2b ＝a ＋c ，即a ＋c ＝4. ∴|BC |＋|BA |＝4>|AC |＝2. ∴B 点的轨迹为椭圆∴方程为x 24＋y 23＝1.因B 点是△ABC 的顶点，不在x 轴上，所以所求的轨迹方程为x 24＋y 23＝1 (x ≠±2)．9．已知经过椭圆x 225＋y 216＝1的右焦点F 2作垂直于x 轴的直线AB ，交椭圆于A 、B 两点，F 1是椭圆的左焦点．(1)求△AF 1B 的周长；(2)如果AB 不垂直于x 轴，△AF 1B 的周长有变化吗？为什么？解 由已知，a ＝5，b ＝4，所以c ＝a 2－b 2＝3.(1)△AF 1B 的周长＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|.由椭圆的定义，得 |AF 1|＋|AF 2|＝2a ，① |BF 1|＋|BF 2|＝2a ，②所以，△AF 1B 的周长为4a ＝20.(2)如果AB 不垂直于x 轴，△AF 1B 的周长不变化． 这是因为①②两式仍然成立，△AF 1B 的周长为20，这是定值．10．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是(－3,0)，(3,0)，椭圆经过点(5,0)；(2)两个焦点坐标分别为(0,5)，(0，－5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26. 解 (1)∵椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，∵2a ＝(5＋3)2＋0＋(5－3)2＋0＝10，2c ＝6，∴a ＝5，c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝52－32＝16，∴所求椭圆的方程为x 225＋y 216＝1.(2)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为 y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a >b >0)． ∵2a ＝26,2c ＝10，∴a ＝13，c ＝5，∴b 2＝a 2－c 2＝144，∴所求椭圆的方程为y 2169＋x 2144＝1.2．2.1 椭圆及其标准方程(二)对点讲练知识点一 与椭圆有关的轨迹方程已知点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上，MP ′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P ′，并且M 为线段PP ′的中点，求P 点的轨迹方程．分析 因点P 与点M 的坐标间存在一定关系，故可用P 点坐标表示M 点坐标，并代入M 点坐标所满足的方程，整理即得所求轨迹方程．解 设P 点的坐标为(x ，y )，M 点的坐标为(x 0，y 0)．∵点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上，∴x 2036＋y 209＝1.∵M 是线段PP ′的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝x ，y 0＝y 2， 把⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝xy 0＝y 2， 代入x 2036＋y 209＝1，得x 236＋y 236＝1，即x 2＋y 2＝36.∴P 点的轨迹方程为x 2＋y 2＝36.【反思感悟】 本例中动点P 与曲线上的点M 称为相关点(有关系的两点)，这种求轨迹方程的方法称为相关点求轨迹方程法．其基本步骤就是先求出M 点与P 点的坐标关系式并用P 点的坐标表示M 点坐标，然后代入M 点坐标所满足的方程，整理后即得所求．如图所示在圆x2+y2=4上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？为什么？解 设点M 的坐标为(x ，y)，点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x=x 0，y=2y 0. 因为点P(x 0，y 0)在圆x 2+y 2=4上， 所以x 02＋4y 02＝4.①把x 0＝x ，y 0＝2y 代入方程①，得x 2＋4y 2＝4，即x 24＋y 2＝1.所以点M 的轨迹是一个椭圆．知识点二 应用椭圆定义求轨迹方程已知圆B ：(x ＋1)2＋y 2＝16及点A (1,0)，C 为圆B 上任意一点，求AC 的垂直平分线l 与线段CB 的交点P 的轨迹方程．分析 由图可知点P 到B 点和A 点的距离的和为定值，可借助椭圆定义来求． 解如图所示，连结AP ， ∵l 垂直平分AC ， ∴|AP|=|CP|，∴|PB|+|PA|=|BP|+|PC|=4，∴P 点的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆．∵2a ＝4,2c ＝|AB |＝2， ∴a ＝2，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3.∴点P 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.【反思感悟】 求动点的轨迹方程时，应首先充分挖掘图形的几何性质，看能否确定轨迹的类型，而不要起步就代入坐标，以致陷入繁琐的化简运算之中．已知两定点A 、B ，且|AB |＝8，M 是平面上一动点，且|AM |＝10，线段BM的垂直平分线交AM 于P 点，P 点的轨迹是什么图形？解 如右图所示|PB|=|PM|，|PA|+|PB| =|PA|+|PM|=10，|AB|=8， 所以|PA|+|PB|>|AB|， 所以P 点轨迹是椭圆．知识点三 椭圆定义的综合应用设M 是椭圆x 225＋y 216＝1上一点，F 1、F 2为焦点，∠F 1MF 2＝π6，求△MF 1F 2的面积．分析 在△MF 1F 2中，已知|F 1F 2|和∠F 1MF 2＝π6，况且|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10，可根据余弦定理求得|MF 1|和|MF 2|的长，再利用面积公式可求．解 椭圆x 225＋y 216＝1中，a 2＝25，b 2＝16，∴c 2＝a 2－b 2＝9.∴a ＝5，b ＝4，c ＝3. ∴|F 1F 2|＝2c ＝6,2a ＝10. 设|MF 1|＝r 1，|MF 2|＝r 2.在△MF 1F 2中，由余弦定理，得：r 21＋r 22－|F 1F 2|2＝2r 1r 2·cos π6. 即(r 1＋r 2)2－2r 1r 2－36＝3r 1r 2. 根据椭圆的定义，有r 1＋r 2＝10.∴r 1r 2＝642＋3＝64(2－3)，∴S △MF 1F 2＝12r 1r 2·sin π6＝32－16 3.【反思感悟】 椭圆中，△MF 1F 2往往称为焦点三角形．在△MF 1F 2中，|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，求解有关问题时，注意正、余弦定理的运用．如图△ABC 中底边BC ＝12，其它两边AB 和AC 上中线的和为30，求此三角形重心G 的轨迹方程，并求顶点A 的轨迹方程．解 以BC 所在直线为x 轴，BC 边中点为原点，建立如图所示坐标系，则B (6,0)，C (－6,0)，CE 、BD 为AB 、AC 边上的中线，则|BD |＋|CE |＝30.由重心性质可知|GB |＋|GC |＝23(|BD |＋|CE |)＝20.∵B 、C 是两个定点，G 点到B 、C 距离和等于定值20，且20>12， ∴G 点轨迹是椭圆，B 、C 是椭圆焦点． 2c=|BC|=12，c=6,2a=20，a=10， b 2=a 2-c 2=102-62=64，故G 点轨迹方程为22110064x y +=,，去掉(10,0)、(-10,0)两点． 又设G(x ′，y ′)，A(x ，y)，则有22''110064x y += 又∵20',1220',12x x y y +⨯⎧=⎪⎪+⎨+⨯⎪=⎪⎩+∴',3',3x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故A 点的轨迹方程为22()()33110064x y +=， 221900576x y +=去掉(-30,0)、(30,0)两点.课堂小结：1.椭圆的标准方程是指当椭圆在标准位置时的方程，所谓标准位置，就是指椭圆的中心在坐标原点，椭圆的对称轴为坐标轴 椭圆的标准方程有两种形式：（1）22221x y a b+=(a>b>0),焦点在x 轴上，焦点坐标为(±c,0)，焦距2c ；（2）22221x y a b+=(a>b>0)，焦点在y 轴上，焦点坐标为(0,±c)，焦距2c.椭圆的焦点在x 轴上标准方程中x 2项的分母较大；椭圆的焦点在y 轴上标准方程中y 2项的分母较大.这是判断椭圆焦点所在坐标轴的重要方法. 2.在与圆有关的求轨迹方程的问题中要注意挖掘几何中的等量关系.课时作业一、选择题1．椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆的两个焦点F 1、F 2的连线互相垂直，则△PF 1F 2的面积为( )A ．20B ．22C ．28D ．24 答案 D 解析 由|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝100，得2|PF 1|·|PF 2|＝142－100＝96.又因PF 1⊥PF 2，所以S ＝12|PF 1|·|PF 2|＝24.2．一动圆与已知圆O 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆O 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，则动圆圆心的轨迹方程为( )A.x 225＋y 216＝1B.x 216＋y 225＝1 C.x 225＋y 29＝1 D.x 29＋y 225＝1 答案 A解析 两定圆的圆心和半径分别为O 1(－3,0)，r 1＝1；O 2(3,0)，r 2＝9，设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ，则由题设条件可得|MO 1|＝1＋R ，|MO 2|＝9－R .所以|MO 1|＋|MO 2|＝10.由椭圆的定义知：M 在以O 1、O 2为焦点的椭圆上，且a ＝5，c ＝3.所以b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16.故动圆圆心的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.所以选A.3．椭圆x 225＋y 29＝1上的一点M 到左焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于( )A ．2B ．4C ．8 D.32答案 B解析 因为|MF 1|＋|MF 2|＝10，|ON |＝12|MF 2|，因为|MF 2|＝8，所以|ON |＝4.4．椭圆x 212＋y 23＝1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是( )A ．±34B ．±32C ．±24D ．±34答案 A解析 因为线段PF 1的中点在y 轴上， 所以PF 2⊥x 轴，F 2为另一焦点， 所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎫±3，±32.M 是PF 1的中点，M 的纵坐标是±34.二、填空题 5．已知椭圆的两个焦点是F 1，F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是__________．答案 圆 解析如图所示，因为P 是椭圆上的一个动点，所以由椭圆的定义可知： |PF 1|+|PF 2|=2a 为常数； 又因为|PQ|=|PF 2|，所以|PF 1|+|PQ|=2a ，即|QF 1|=2a 为常数．即动点Q 到定点F 1的距离为定值，所以动点Q 的轨迹是以F 1为圆心，以2a 为半径的圆．故Q 的轨迹为圆．6．椭圆x 29＋y 225＝1上到两个焦点F 1，F 2距离之积最大的点的坐标是______________．答案 (±3,0)解析 设椭圆上的动点为P ，由椭圆的定义可知： |PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10， 所以|PF 1|×|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝⎝⎛⎭⎫1022＝25， 当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号；由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝10|PF 1|＝|PF 2|， 解得：|PF 1|＝|PF 2|＝5＝a ，此时点P 恰好是椭圆短轴的两端点，即P (±3,0)．7．点A ，B 的坐标分别是(－1,0)，(1,0)，直线AM ，BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的商是2，点M 的轨迹方程为______________________．答案 x ＝－3 (y ≠0)解析 设点M 的坐标为(x ，y )，由已知，得直线AM 的斜率k AM ＝yx ＋1(x ≠－1)； 直线BM 的斜率k BM ＝yx －1(x ≠1)． 由题意，得k AMk BM ＝2，所以，y x ＋1＝2×yx －1(x ≠±1，y ≠0)．化简，得x ＝－3(y ≠0)．因此，点M 的轨迹是直线x ＝－3，并去掉点(－3,0)．三、解答题8．已知一直线与椭圆4x 2＋9y 2＝36相交于A 、B 两点，弦AB 的中点坐标为M (1,1)，求直线AB 的方程．解 方法一 由题意直线AB 的斜率存在，设通过点M (1,1)的直线AB 的方程为y ＝k (x －1)＋1代入椭圆方程，整理得(9k 2＋4)x 2＋18k (1－k )x ＋9(1－k )2－36＝0. 设A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2， 则x 1＋x 22＝－18k (1－k )2(9k 2＋4)＝1， 解得k ＝－49，故AB 的方程为y ＝－49(x －1)＋1，所以所求方程为4x ＋9y －13＝0.方法二 设A (x 1，y 1)，因为AB 中点为M (1,1)， 所以B 点坐标是(2－x 1,2－y 1)． 将A 、B 点坐标代入方程4x 2＋9y 2＝36，得4x 21＋9y 21－36＝0，①及4(2－x 1)2＋9(2－y 1)2＝36，化简为4x 21＋9y 21－16x 1－36y 1＋16＝0.②①式－②式得16x 1＋36y 1－52＝0， 化简为4x 1＋9y 1－13＝0. 同理可推出4x 2＋9y 2－13＝0.因为A (x 1，y 1)与B (x 2，y 2)都满足方程4x ＋9y －13＝0，所以4x ＋9y －13＝0即为所求．9．设x 、y ∈R ，i 、j 分别为直角坐标平面内x 轴、y 轴正方向上的单位向量，a ＝x i ＋(y ＋2)j ，b ＝x i ＋(y －2)j ，且|a |＋|b |＝8.(1)求点M (x ，y )的轨迹方程． （2）过点（0，3）作直线l 与曲线C （为（1）问中点M 的轨迹）交于A 、B 两点，＝OA →＋OB →，是否存在这样的直线l 使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求l 的方程；若不存在，说明理由．解 (1)由|a |＋|b |＝8， 得x 2＋(y ＋2)2＋x 2＋(y －2)2＝8，即点M (x ，y )到两定点F 1(0，－2)，F 2(0,2)的距离和为定值8，且|F 1F 2|<8.所以点M 的轨迹是椭圆，其方程为y 216＋x 212＝1.(2)设l 的斜率为k ，l 的方程为y ＝kx ＋3，代入椭圆方程得 (kx ＋3)216＋x 212＝1，即(3k 2＋4)x 2＋18kx －21＝0. 设A 、B 坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，x 1＋x 2＝－18k 3k 2＋4，x 1x 2＝－213k 2＋4，＝OA →＋OB →，四边形OAPB 是平行四边形． 要使其是矩形只需OA ⊥OB 即可，即x 1x 2＋y 1y 2＝0. y 1y 2＝(kx 1＋3)(kx 2＋3)＝k 2x 1x 2＋3k (x 1＋x 2)＋9， 所以(1＋k 2)x 1x 2＋3k (x 1＋x 2)＋9＝0，－21(1＋k 2)3k 2＋4＋－54k 23k 2＋4＋9＝0，解得k 2＝516，即k ＝±54.所以l 存在，其方程为y ＝±54x ＋3.AM →＝2AP →，NP →·AM →＝0，点N 的轨迹为曲线E . (1)求曲线E 的方程；(2)求过点Q (2,1)的弦的中点的轨迹方程．（1）∵AM →＝2AP →，NP →·AM →＝0 ∴NP 为AM 的中垂线，|NA |＝|NM |又因为|CN |＋|NM |＝10，所以|CN |＋|NA |＝10>6所以动点N 的轨迹是以点C (－3,0)和A (3,0)为焦点的椭圆，且2a ＝10，所以曲线E 的方程为：x 225＋y 216＝1；(2)设直线与椭圆交与G (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)两点， 中点为S (x ，y )由点差法可得：弦的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－16(x 1＋x 2)25(y 1＋y 2)＝－16x 25y.由S (x ，y )，Q (2,1)两点可得弦的斜率为k ＝y －1x －2，所以k ＝y －1x －2＝－16x25y ，化简可得中点的轨迹方程为：16x 2＋25y 2－32x －25y ＝0.2．2.2 椭圆的简单几何性质.对点讲练知识点一 由椭圆方程研究其几何性质设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点的距离为4(2－1)，求此椭圆方程及它的离心率、焦点坐标、顶点坐标．分析 设出椭圆方程，再依据椭圆几何性质建立参数关系式确定椭圆方程，进而可使其他问题解决．解 设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x2b2＝1(a >b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，a －c ＝4(2－1)，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝42，b ＝4，c ＝4.所以所求的椭圆方程为x 232＋y 216＝1，或y 232＋x 216＝1.离心率e ＝c a ＝22，当焦点在x 轴上时，焦点为(－4,0)，(4,0)， 顶点(－42，0)，(42，0)，(0，－4)，(0,4)， 当焦点在y 轴上时，焦点为(0，－4)，(0,4)， 顶点(－4,0)，(4,0)，(0，－42)，(0,42)．【反思感悟】 解决这类问题关键是将所给方程正确地化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a ，b ，c 之间的关系求椭圆的几何性质．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m 的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．解 椭圆方程可化为x 2m ＋y 2mm ＋3＝1，∴m >0.又m －mm ＋3＝m (m ＋2)m ＋3>0，∴m >m m ＋3，∴a 2＝m ，b 2＝mm ＋3，c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3. ∵e ＝c a ＝32，∴m ＋2m ＋3＝32∴m ＝1∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，焦点坐标为(±32，0)顶点坐标为(1,0)(－1,0)，(0，12)(0，－12)．知识点二 由椭圆的几何性质求椭圆方程例2. 已知F 1、F 2是椭圆22221x y a b+=(a>b>0),的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，若1AF ·21F F =0，椭圆的离心率等于22，△AOF 2的面积为22，求椭圆的方程.解 ∵1AF ·21F F =0∴AF 2⊥F 1F 2，因为椭圆的离心率e ＝c a ＝22，则b 2＝12a 2，设A (x ，y )(x >0，y >0)，由AF 2⊥F 1F 2知x ＝c ，∴A(c ，y)，代入椭圆方程得22221x y a b +=, ∴22b y a=∵△AOF 2的面积为22，∴S △AOF 2=21x ×y=22， 即 21c ·2b a = 22,∵a c =22，∴b 2=8，∴a 2=2b 2=16， 故椭圆的方程为221168x y += 【反思感悟】 由椭圆的几何性质，求椭圆标准方程的一般步骤是：(1)构造方程求出a 、b 的值；(2)确定焦点所在的坐标轴；(3)写出标准方程．. 已知F 1、F 2是椭圆22221x y a b+= (a>b>0)的左、右两个焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，点B 也在椭圆上，且满足OA ＋OB →＝0(O 是坐标原点)，AF 2⊥F 1F 2.若椭圆的离心率等于22，△ABF 2的面积等于42，求椭圆的方程． 解 由OA ＋OB →＝0知，直线AB 经过原点，∵e ＝c a ＝22，∴b 2＝12a 2，设A (x ，y )，由AF 2⊥F 1F 2知x ＝c ，∴A (c ，y )，代入椭圆方程得c 2a 2＋y 2b2＝1，∴y ＝b2a，连结AF 1，BF 1，AF 2，BF 2，由椭圆的对称性可知S △ABF 2＝S △ABF 1＝S △AF 1F 2，所以12·2c ·12a ＝42，又由c ＝22a ，解得a 2＝16，b 2＝12×16＝8，故椭圆方程为x 216＋y 28＝1.知识点三 求椭圆的离心率已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.(1)求椭圆离心率的取值范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．解 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，(1)在△PF 1F 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|，即cos60°＝(m ＋n )2－2mn －4c 22mn ＝4a 2－4c 22mn －1≥2(a 2－c 2)(m ＋n2)2－1＝2(a 2－c 2)a 2－1＝1－2(c a )2＝1－2e 2(当且仅当m ＝n 时取“＝”号)所以e 2≥14，又e ∈(0,1)，所以e ∈[12，1)(2)证明 在△PF 1F 2中，由余弦定理可知|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 2||PF 1|·cos ∠F 1PF 2＝|F 1F 2|2，即cos60°＝12＝m 2＋n 2－4c22mn因为m 2＋n 2＝(m ＋n )2－2mn＝4a 2－2mn所以(4a 2－2mn )－4c 2mn＝1，所以mn ＝43b 2，所以S △PF 1F 2＝12mn sin60°＝33b 2，即△F 1PF 2的面积只与短轴长有关．【反思感悟】 椭圆的离心率是椭圆固有的性质，与椭圆的位置无关．求椭圆的离心率e ，即求比值ca ，而在椭圆方程中a 2＝b 2＋c 2，所以求离心率只需寻求a ，b ，c 三者或者其中两者之间的关系式．注意椭圆离心率0<e <1.已知F 1为椭圆的左焦点，A ，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB (O 为椭圆中心)时，求椭圆的离心率．解 方法一 由已知可设椭圆的方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，c 2＝a 2－b 2，F 1(－c,0)，因为PF 1⊥F 1A,所以P ( -c , 221c b a)即P (-c , 2b a),∵AB ∥PO,∴k AB = k OP ,∴b=c,∴a2 = 2c2,∴e =a c= 22, 方法二 由方法一知P (-c , 2b a),又△PF 1O ∽△BOA,∴BO PF 1 = OA OF 1 , ∴a b =c a ， 即b=c,∴a 2=2c 2, ∴e =.c a= 22，课堂小结：1.椭圆的范围实质就是椭圆上点的横坐标和纵坐标的取值范围，在求解一些存在性和判断性问题中有着重要的应用.2.椭圆既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形.椭圆的对称性在解决直线与椭圆的位置关系以及一些有关面积的计算问题时，往往能起到化繁为简的作用.3.椭圆的离心率是反映椭圆的扁平程度的一个量，其取值范围是0<e<1.离心率越大，椭圆越扁；离心率越小，椭圆越接近于圆.离心率的求解问题是本单元的一个重点，也是高考的热点内容.在求解有关椭圆离心率的问题时，一般并不直接求出a 和c 的值去计算，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建立关于参数c,a,b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围.课时作业一、选择题1．椭圆长轴上两端点为A 1(－3,0)，A 2(3,0)，两焦点恰好把长轴三等分，则该椭圆的标准方程是( )A.x 29＋y 28＝1B.x 29＋y 2＝1 C.x 236＋y 232＝1 D.x 236＋y 2＝1 答案 A解析 由题意知a ＝3,2c ＝13×6＝2，∴c ＝1，∴b ＝a 2－c 2＝9－1＝22， 故椭圆的方程为x 29＋y 28＝1.2．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值是( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4 答案 A解析 由题意可得21m ＝2×2，解得m ＝14. 3．P 是长轴在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y2b2＝1上的点，F 1、F 2分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c ，则|PF 1|·|PF 2|的最大值与最小值之差一定是( )A ．1B ．a 2C ．b 2D ．c 2 答案 D解析 由椭圆的几何性质得|PF 1|∈[a －c ，a ＋c ]，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， 所以|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝a 2， 当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号． |PF 1|·|PF 2|＝|PF 1|(2a －|PF 1|)＝－|PF 1|2＋2a |PF 1|＝－(|PF 1|－a )2＋a 2 ≥－c 2＋a 2＝b 2，所以|PF 1|·|PF 2|最大值与最小值之差为a 2－b 2＝c 2.4. 已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点.满足1MF ·2MF = 0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 ( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎝⎛⎭⎫0，22 D.⎣⎡⎭⎫22，1答案 C解析 ∵1MF ·MF 2→＝ 0，∴M 点轨迹方程为x 2＋y 2＝c 2，其中F 1F 2为直径， 由题意知椭圆上的点在圆x 2＋y 2＝c 2外部， 设点P 为椭圆上任意一点，则|OP |>c 恒成立， 由椭圆性质知|OP |≥b ，其中b 为椭圆短半轴长， ∴b >c ，∴c 2<b 2＝a 2－c 2，∴a 2>2c 2， ∴⎝⎛⎭⎫c a 2<12，∴e ＝c a <22.又∵0<e <1，∴0<e <22. 5．设0<k <9，则椭圆x 29－k ＋y 225－k＝1与x 225＋y 29＝1具有相同的( )A ．顶点B ．长轴与短轴C ．离心率D ．焦距 答案 D解析 由0<k <9，知0<9－k <25－k ，椭圆x 29－k ＋y 225－k＝1焦点在y 轴上，焦距为8.而椭圆x 225＋y 29＝1的焦点在x 轴上，焦距也为8. 二、填空题6．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为______．答案 53解析 椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点为F (1,0)，。

圆锥曲线——椭圆1.椭圆的两个定义：第一定义中要重视“括号”内的限制条件：（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ．421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF ；（2）设定点F 1（0，－3）、F 2（0，3），动点P 满足条件)0(921>+=+a aa PF PF ，则点P 的轨迹 A ．椭圆 B ．线段 C ．椭圆或线段 D ．不存在2.椭圆的标准方程与参数方程（1）已知方程12322=-++ky k x 表示椭圆，则k 的取值范围为 ；（2）若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，22y x +的最小值是 3.椭圆焦点位置的判断：（1）已知方程12122=-+-my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 （2）若090α︒<<︒，方程22sin cos 1x y αα+=表示焦点在y 轴上的椭圆，则α适合的条件是 A. ()0,45︒︒ B. (]0,45︒︒ C. ()45,90︒︒ D. [)45,90︒︒4.圆锥曲线的几何性质：（1）若椭圆1522=+m y x 的离心率510=e ，则m 的值是 （2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为（3）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 A.54 B.53 C. 52D. 51（4）椭圆191522=+y x 与115922=-+-my m x 的关系是（ ） A 有相等的长短轴 B 有相等的焦距 C 焦点相同 D 准线相同（5）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 （ ）A ．(0,1)B ．1(0,]2C ．2(0,)2D ．2[,1)2 （6）已知F 1为椭圆的左焦点，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB （O 为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.5．直线与椭圆的位置关系：（1）直线y ―kx ―1=0与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则m 的取值范围是 ; （2）求椭圆284722=+y x 上的点到直线01623=--y x 的最短距离 ；6.焦点三角形（1）短轴长为5，离心率32=e 的椭圆的两焦点为1F 、2F ，过1F 作直线交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ∆的周长为（2）在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC △顶点(4,0)A -和(4,0)C ，顶点B 在椭圆221259x y +=上，则sin sin sin A C B+=7.弦长公式：22212121211()4L kx x k x x x x =+-=++-(1）设AB 是过椭圆22154x y +=的一个左焦点F 的弦，且直线AB 的倾斜角为60︒，求弦AB 的长(2）已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆相交于点P 和点Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=210，求椭圆方程.8.椭圆的中点弦问题：（1）如果椭圆221369x y +=弦被点A （4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 ； （2）已知直线y=－x+1与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在直线L ：x －2y=0上，则此椭圆的离心率为_______；（3）试确定m 的取值范围，使得椭圆13422=+y x 上有不同的两点关于直线m x y +=4对称；特别提醒：因为0∆>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0∆>！9.动点轨迹方程：掌握并熟练求动点轨迹的几种常用方法：（1）定义法；（2）直接法；（3）转移法（代入法、相关点法）；（4）参数法；（5）几何法；（6）交轨法。