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1．5.3 微积分基本定理[对应学生用书P28]已知函数f (x )＝2x ＋1，F (x )＝x 2＋x . 问题1：f (x ) 和F (x )有何关系？ 提示：F ′(x )＝f (x )．问题2：利用定积分的几何意义求⎠⎛20(2x ＋1)d x 的值．提示：⎠⎛20(2x ＋1)d x ＝6.问题3：求F (2)－F (0)的值． 提示：F (2)－F (0)＝4＋2＝6. 问题4：你得出什么结论？提示：⎠⎛20f (x )d x ＝F (2)－F (0)，且F ′(x )＝f (x )．问题5：已知f (x )＝x 3，F (x )＝14x 4，试探究⎠⎛10f (x )d x 与F (1)－F (0)的关系． 提示：因⎠⎛10f (x )d x ＝⎠⎛10x 3d x ＝14.F (1)－F (0)＝14，有⎠⎛10f (x )＝F (1)－F (0)且F ′(x )＝f (x )．微积分基本定理对于被积函数f (x )，如果F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ba f (x )d x ＝F (b )－F (a )，即⎠⎛ba F ′(x )d x＝F (b )－F (a )．1．微积分基本定理表明，计算定积分⎠⎛a bf (x )d x 的关键是找到满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )．通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F (x )．2．微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的内在联系，最重要的是它也提供了计算定积分的一种有效方法．[对应学生用书P29]求简单函数的定积分[例1] (1)⎠⎛21(x 2＋2x ＋3)d x ；(2)⎠⎛π0(sin x －cos x )d x ；(3)⎠⎛0－π(cos x －e x)d x . [思路点拨] 先求被积函数的原函数，然后利用微积分基本定理求解． [精解详析] (1)取F (x )＝x 33＋x 2＋3x ，则F ′(x )＝x 2＋2x ＋3，从而⎠⎛12(x 2＋2x ＋3)d x ＝⎠⎛12F ′(x )d x ＝F (2)－F (1)＝253. (2)取F (x )＝－cos x －sin x ， 则F ′(x )＝sin x －cos x ，从而⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝⎠⎛0πF ′(x )d x ＝F (π)－F (0)＝2.(3)取F (x )＝sin x －e x ，则F ′(x )＝cos x －e x，从而⎠⎛0－π(cos x －e x)d x ＝⎠⎛0－πF ′(x )d x ＝F (0)－F (－π)＝1e π－1. [一点通] 求简单的定积分关键注意两点：(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．1．(江西高考改编)若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝____________.解析：∵f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，∴⎠⎛01f (x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2x ⎠⎛01f (x )d x 10＝13＋2⎠⎛01f (x )d x . ∴⎠⎛01f (x )d x ＝－13. 答案：＝－132.⎠⎛0π(cos x ＋1)d x ＝________. 解析：∵(sin x ＋x )′＝cos x ＋1，∴⎠⎛π0(cos x ＋1)d x ＝(sin x ＋x )|π0 ＝(sin π＋π)－(sin 0＋0)＝π. 答案：π3．求下列定积分：(1)∫π20sin 2x 2d x ；(2)⎠⎛23(2－x 2)(3－x )d x .解：(1)sin 2x 2＝12－cos x 2，而⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12sin x ′＝12－12cos x ，所以∫π20sin 2x 2d x ＝∫π20⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12cos x d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12sin x |π20＝π4－12＝π－24. (2)原式＝⎠⎛32(6－2x －3x 2＋x 3)d x＝⎝⎛⎭⎪⎫6x －x 2－x 3＋14x 4|32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6×3－32－33＋14×34－⎝ ⎛⎭⎪⎫6×2－22－23＋14×24 ＝－74.求分段函数的定积分 [例2] (1)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤0，cos x －1，x >0.求⎠⎛1－1f (x )d x ； (2)求⎠⎛a－a x 2d x (a >0)． [思路点拨] 按照函数f (x )的分段标准，求出每一段上的积分，然后求和． [精解详析] (1)⎠⎛1－1f (x )d x ＝⎠⎛0－1x 2d x ＋⎠⎛01(cos x －1)d x ＝13x 3|0－1＋(sin x －x )|10＝sin 1－23.(2)由x2＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，得⎠⎛a －a x 2d x ＝⎠⎛a 0x d x ＋⎠⎛0－a (－x )d x ＝12x 2|a0－12x 2|0－a ＝a 2.[一点通] (1)分段函数在区间[a ，b ]上的积分可分成几段积分的和的形式． (2)分段的标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原函数分段的情况分即可，无需分得过细．4.⎠⎛3－4|x ＋2|d x ＝________. 解析：∵|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，(－2<x ≤3)－x －2，(－4≤x ≤－2)∴⎠⎛3－4|x ＋2|d x ＝⎠⎛3－2(x ＋2)d x ＋⎠⎛－4－2(－x －2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋2x |3－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2－2x |－2－4＝292.答案：2925．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ， x ＞0，x ＋∫a 0 3t 2d t ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝________.解析：显然f (1)＝lg 1＝0， 故f (0)＝0＋∫a 0 3t 2d t ＝t 3|a0＝1， 得a ＝1. 答案：1求图形的面积[例3] 求由曲线x 2x y x [思路点拨]在坐标系中作出图象→求曲线与直线的交点→利用定积分求面积.[精解详析] 画出草图，如图所示．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝x 2－2x ＋3，得A (0,3)，B (3,6)．所以S ＝⎠⎛30(x ＋3)d x －⎠⎛30(x 2－2x ＋3)d x ，取F (x )＝12x 2＋3x ，则F ′(x )＝x ＋3，取H (x )＝13x 3－x 2＋3x ，则H ′(x )＝x 2－2x ＋3，从而S ＝F (3)－F (0)－[H (3)－H (0)]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×32＋3×3－0－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13×33－32＋3×3－0 ＝92. [一点通] 利用定积分求曲线所围成的平面图形的面积的步骤： (1)根据题意画出图形；(2)找出范围，定出积分上、下限； (3)确定被积函数；(4)写出相应的定积分表达式，即把曲边梯形面积表示成若干个定积分的和或差； (5)用微积分基本定理及其运算性质计算定积分，求出结果．6．曲线y ＝ x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为________． 解析：所围成的图形如图阴影部分所示，点A (0，－2)，由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝x －2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2，所以B (4,2)，因此所围成的图形的面积为∫40()x －x ＋2d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2＋2x 40＝163.答案：1637．设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________. 解析：由已知得S ＝⎠⎛0ax d x ＝23x 32|a 0＝23a 32＝a 2，所以a 12＝23，所以a ＝49. 答案：491．求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)求被积函数是分段函数的定积分，应分段求定积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号后才能积分． 2．利用定积分求曲边梯形的面积(1)在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观地确定出被积函数以及积分的上、下限．(2)要把定积分和用定积分计算平面图形的面积这两个概念区分开，定积分是一种积分和的极限，可为正，也可为负或零；而平面图形的面积在一般意义下总为正，因此当f (x )≤0时要通过绝对值处理为正，一般情况下是借助定积分求出两个曲边梯形的面积，然后相加起来．[对应课时跟踪训练(十一)]一、填空题1.⎠⎛1e1x d x ＝________.解析：⎠⎛1e1xd x ＝ln x |e1＝ln e －ln 1＝1. 答案：12.⎠⎛0π(2sin x －3e x＋2)d x ＝________.解析：⎠⎛0π(2sin x －3e x ＋2)d x ＝(－2cos x －3e x ＋2x )|π0＝7＋2π－3e π.答案：7＋2π－3e π3．(江西高考改编)若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121xd x ， S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为________．解析：S 1＝13x 3⎪⎪⎪21＝83－13＝73，S 2＝ln x ⎪⎪⎪21＝ln 2<ln e ＝1，S 3＝e x⎪⎪⎪21＝e 2－e ≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2<S 1<S 3.答案：S 2<S 1<S 34．设f (x )＝错误!则错误!f (x )d x ＝________.解析：⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x＝13x 3|10＋(2x －12x 2)|21＝56.答案：565．(福建高考)如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．解析：因为函数y ＝e x与函数y ＝ln x 互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，又因为函数y ＝e x与直线y ＝e 的交点坐标为(1，e)，所以阴影部分的面积为2(e ×1－⎠⎛01e x d x )＝2e －2e x |10＝2e －(2e －2)＝2，由几何概型的概率计算公式， 得所求的概率P ＝S 阴影S 正方形＝2e 2. 答案：2e 2二、解答题6．f (x )是一次函数，且∫ 10f (x )d x ＝5，∫ 10xf (x )d x ＝176，求f (x )的解析式．解：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax 2＋bx |10＝12a ＋b ＝5. ⎠⎛01x (ax ＋b )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋12bx 2|10＝13a ＋12b ＝176，所以由⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b ＝5，13a ＋12b ＝176，解得a ＝4，b ＝3，故f (x )＝4x ＋3.7．求由曲线y ＝x 2与直线x ＋y ＝2围成的面积．解：如图，先求出抛物线与直线的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，x ＋y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，y 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝4，即两个交点为(1,1)，(－2,4)．直线为y ＝2－x ，则所求面积S 为： S ＝⎠⎛1－2[(2－x )－x 2]d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫2x －x 22－x 33|1－2＝92.8．设f (x )是二次函数，其图象过点(0,1)，且在点(－2，f (－2))处的切线方程为2x ＋y ＋3＝0.(1)求f (x )的表达式；(2)求f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积；(3)若直线x ＝－t (0＜t ＜1)把f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值．解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ， ∵其图象过点(0,1)，∴c ＝1，又∵在点(－2，f (－2))处的切线方程为2x ＋y ＋3＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)＝1，f ′(－2)＝－2.∵f ′(x )＝2ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ·(－2)2＋b ·(－2)＋1＝1，2a ·(－2)＋b ＝－2.∴a ＝1，b ＝2，故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)依题意，f (x )的图象与两坐标轴所围成的图形如图中阴影部分所示，故所求面积S ＝∫0－1(x 2＋2x ＋1)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2＋x 0－1＝13. (3)依题意，有12S ＝∫0－t (x 2＋2x ＋1)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2＋x 0－t ＝16，即13t3－t2＋t＝16，∴2t3－6t2＋6t－1＝0，∴2(t－1)3＝－1，∴t＝1－132.。
互动课堂疏导引导本课时的重点和难点是对定积分概念的进一步理解和应用.1.定积分的定义是由实际问题抽象概括出来的，它的解决过程充分体现了变量“由直到曲”“由近似到精确”“由有限到无限”的极限的思想方法，定积分是由实际问题中提出的，对定积分概念说明如下：(1)把闭区间［a ，b ］用n+1个分点(包括两个端点x 0=a ，x n =b)分成任意n 个小区间并非要求一定分成n 等份，只是在有的问题上，为了解题方便，才有n 等分的方法去布列分点. (2)在每个小区间Δx i 上点P 的取法是任意的，它可以取在小区间的中点，即P i =21-+i i x x .也可以取在小区间的两个端点，即P i =x i 或P i =x i -1还可以取在小区间的任何位置(i=1,2，…，n).(3)从几何意义上讲f(P 1)Δx i (i=1，2，…，n)表示以Δx i 为边，以f(P 1)为高的第i 个小矩形的面积，而不是第i 个小曲边梯形的面积，和式∑=ni 1f(P i )Δx i 表示n 个小矩形的面积的和，而不是真正的曲边梯形的面积，不过，和式∑=ni 1f(P i )Δx i 可以近似的表示曲边梯形的面积.一般来说，分法越细，近似程度也就越高. (4)总和∑=ni 1f(P i )Δx i 取极限时的极限过程为“Δx i →0”(n→∞)当分割无限变细，即n→∞时，不一定能保证和式∑=ni 1f(P i )·Δx i 的极限值就是曲边梯形的面积，只有在分点无限增多的同时，保证每个小区间的长度也无限地缩小，才是真正的曲边梯形的面积. (5)定积分是一个比较复杂的极限过程的极限值，定义⎰baf(x)dx=0→∆lin∑=ni 1f(P i )Δx i 实际上给出了定积分⎰baf(x)dx 的计算方法，在实际问题中，由于它太繁锁，故很少使用.2.定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即⎰baf(x)dx=⎰baf(u)du=⎰baf(t)dt=……(称为积分形式的不变性)，另外定积分⎰baf(x)dx 与积分式间［a ，b ］息息相关，不同的积分区间，定积分的积分限不同，所得值不同，例如⎰1(x 2+1)dx 与⎰3(x 2+1)dx 的值就不同.3.了解定积分的几何意义为了求曲边梯形的面积,我们引入了这样一种“和式的极限”，即引入了定积分的概念.同时,曲边梯形的面积给出定积分这一抽象概念的一种几何直观表示. 设函数f(x)在区间［a,b ］上连续.在［a,b ］上,当f(x)≥0时,定积分⎰baf(x)dx 在几何上表示由曲线y=f(x)以及直线x=a,x=b与x 轴围成的曲边梯形的面积.在［a,b ］上,当f(x)≤0时,由曲线y=f(x)及直线x=a 、x=b 与x 轴围成的曲边梯形位于x 轴下方〔对应f(ξi )≤0〕,定积分⎰baf(x)dx 在几何上表示上述曲边梯形面积的负值;在［a,b ］上当f(x)既取正值又取得负值时,曲线y=f(x)的某些部分在x 轴上方,而其他部分在x 轴下方.如果我们将面积赋予正、负号,在x 轴上方的图形的面积赋予正号,在x 轴下方的图形的面积赋予负号,那么在一般情形下,定积分⎰baf(x)dx 的几何意义是曲线y=f(x),两条直线x=a 、x=b 与x 轴所围成的各部分面积的代数和. 4.①定积分的性质其含义有两层,如性质(2).若定积分⎰baf(x)dx 、⎰bag(x)dx 存在,则定积分⎰ba(f(x)±g(x))dx 存在且⎰ba(f(x)±g(x))dx=⎰baf(x)dx±⎰bag(x)dx.②定积分性质(2)可推广到任意有限个函数的情况. 活学巧用1.利用定积分的定义，计算⎰1xdx 的值.解析：(1)分割：在区间［0，1］上等间隔地插入n-1个分点，把区间［0，1］等分成n 个小区间[n i 1-,n i ](i=1,2,…,n),每个小区间的长度为Δx=x i -x i -1=n i -n i 1-=n1.(2)近似代替、求和： 取ξi =ni(i=1,2, …,n),则 ⎰1xdx≈S n =∑=ni 1f(n i )·Δx=∑=ni 1n i ·n 1 =21n∑=ni 1i=21n·n n n n 212)1(+=+. (3)取极限：⎰1xdx=∞→n lim S n =∞→n limn n 21+=21. 2.证明⎰ba［f(x)+g(x)］dx=⎰baf(x)dx+⎰bag(x)dx.证明:⎰b a［f(x)+g(x)］dx=∞→n lim∑=ni 1［f(ξi )+g(ξi )］nab - =∞→n lim ［∑=ni 1f(ξi )n a b -+∑=n i 1g(ξi )n a b -］=∞→nlim∑=ni1f(ξi )nab-+∞→nlim∑=ni1g(ξi)nab-=⎰b a f(x)dx+⎰b a g(x)dx.3.利用积分的几何意义计算：⎰20dxx24-解析：由积分的几何意义知⎰20dxx24-等于以(0，0)点为圆心，r=2的圆的第一象限部分，所以⎰20dxx24-=41×π×22=π，即：⎰20dxx24-=π4.如图，由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及由y=0所围成的图形面积等于______________A.⎰c a f(x)dxB.⎰c a f(x)dx+⎰b c f(x)dxC.⎰c a f(x)dx-⎰b c f(x)dxD.⎰b c f(x)dx-⎰c a f(x)dx解析：S=⎰c a(0-f(x))dx+⎰b c f(x)dx=⎰c a f(x)dx+⎰b c f(x)dx答案：D5.计算椭圆2222byax+=1所围成的平面图形的面积A.解析：根据对称性，总面积等于第一象限部分面积的4倍.则有面积元素dA=ydx,于是A=4⎰a0ydx.现在已知上半椭圆的方程为y=22xaab-，所以A=4⎰a0dxxaab22-=axaxaxab]2arcsin221[4222+-=πab.当b=a时，A=πa2是半径a的圆的面积.如果椭圆是由参数方程x=acost，y=bsint给出的，对应于第一象限部分：当x=0时，t=2π;当x=a时，t=0,且dx=-asintdt，则A=4⎰a0ydx=-4⎰a2πabsin2tdt=4ab⎰20πsin2tdt=4ab×21×2π=πab.。
1.5.2定积分目的要求：（1）定积分的定义（2）利用定积分的定义求函数的积分，掌握步骤 （3）定积分的几何意义（4）会用定积分表示阴影部分的面积重点难点：定积分的定义是本节的重点，定积分的几何意义的应用是本节的难点。
教学内容：定积分：一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上有定义，将区间[,]a b 等分为n 个小区间，每个小区间的长度为x ∆（b ax n-∆=），在每个小区间上取一点，依次为123,,,n x x x x L 。
作和12()()()()n i n S f x x f x x f x x f x x =⋅∆+⋅∆++⋅∆++⋅∆L L ，如果x ∆无限趋近于0（亦即n 趋向于)+∞时，n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记为()baS f x dx =⎰其中，()f x 为被积函数，[,]a b 称为积分函数，a 称为积分下限， b 称为积分上限。
思考：按定积分的定义第1.5.1节曲边梯形的面积S 就是 ，即S =类似的，在第1.5.1节例1中，火箭发射的速度为()v t ，则S = 表示火箭在10s 内所行的距离在第1.5.1节例2中，移动电荷B 的过程中，库仑力所做的功可以表示为S = 。
例1． 计算定积分21(1)x dx +⎰思考：前面我们均假设被积函数()f x 在区间[,]a b 上非负，那么当()f x 在区间[,]a b 上可取负值时，定积分的几何意义是什么呢？()baf x dx =⎰定积分的几何意义：例2． 计算定积分5(24)x dx -⎰板演：计算下列定积分： （1）121(1)2x dx -+⎰ （2）01xdx -⎰ （3）3(1)x dx -⎰（4）20sin xdx π⎰例3．用定积分表示下列阴影部分的面积。
作业：1．求下列函数的定积分：（画图） （1）11(||1)x dx --=⎰（2）=⎰2．若3sin()0()33bx dx b πππ-+=≠-⎰，则b =。
