2019-2020学年高一数学苏教版必修4同步练习：2.3 向量的坐标表示 Word版含答案

．已知边长为的正方形，若点与坐标原点重合，边，分别落在轴，轴的正方向上，则向量的坐标为．
．设向量＝(，－)，＝(－)，若表示向量－，的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量为．
．设，是平面直角坐标系内轴，轴正方向上的单位向量，且＝＋，＝＋，则△的面积等于．
．已知()和()两点，若点在直线上，且，又点是线段的中点，则的坐标是．．()已知向量＝()，＝()，＝()，且＝λ＋λ，则λ＋λ的值为．
()已知＝(－)，＝(，－)，＝(，－)，用，作基底可将表示为＝＋，则实数，的值分别为．
.如图，已知△，()，()，()，，，分别是，，的中点，且与交于点，则的坐标为．
. 如图，已知(－)，()，连结，并延长至，使＝，求点的坐标．
．已知点()，()，()，若(λ∈)，试求λ为何值时，点在第三象限内？
.已知()，()，()，()，求与交点的坐标．
参考答案
.答案：()
解析：由题意知，，坐标分别为()，()，()，
∴，，．
∴．
.答案：(，－)解析：由题知＝(，－)，－＝(－)－(，－)＝(－)，由＋(－)＋＝，知＝(，－)．
.答案：
解析：如图，作出向量＝＋，＝＋，则△的面积为.
.答案：()
解析：由已知，得，
∵，
∴.
∴，．
∴点坐标为()．
.答案：() (),
解析：()∵＝λ＋λ，则有()＝λ()＋λ()＝(λ＋λλ＋λ)，
∴解得
∴λ＋λ＝－＋＝.
()∵＝＋.
∴(，－)＝(－)＋(，－)＝(－＋－)
∴解得
.答案：()
解析：由已知，，
又∵是的中点，∴.又∵，分别为，的中点，
∴为的中点．。

高中苏教数学④2.3向量的坐标表示测试题一、选择题1．若(34)AB = ，，点A 的坐标为(21)--，，则点B 的坐标为（ ） Ａ．(55)， Ｂ．(55)--， Ｃ．(13)， Ｄ．(55)-，答案：Ｃ2．已知(21)(13)=-=，，，a b ，则23-+a b 等于（ ）Ａ．(111)--， Ｂ．(111)-， Ｃ．(111)-， Ｄ．(111)，答案：Ｂ3．已知向量()x y =，a ，向量∥b a ，=b a ，且≠b a ，则b 的坐标为（ ） Ａ．()x y -， Ｂ．()x y --，Ｃ．()y x --， Ｄ．()x y -，答案：Ｂ4．设A B C D ，，，四点的坐标依次为(10)(02)(43)(31)-，，，，，，，，则四边形ABCD 是（ ） Ａ．正方形 Ｂ．矩形 Ｃ．菱形 Ｄ．平行四边形答案：Ｄ5．设，a b 为不共线的非零向量，23AB =+ a b ，82BC =-- a b ，64CD =-- a b ，那么（ ）Ａ．AD 与BC 同向，且AD BC >Ｂ．AD 与BC 同向，且AD BC <Ｃ．AD 与BC 反向，且AD BC >Ｄ．AD 与BC 反向，且AD BC <答案：Ａ6．如图1，设O 是平行四边形ABCD 的两条对角线AC BD ，的交点，下列向量组：①AD 与AB ； ②DA 与BC ；③CA 与DC ； ④OD 与OB ．其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是（ ）Ａ．①② Ｂ．③④ Ｃ．①③ Ｄ．①④答案：Ｃ二、填空题7．已知1111(00)2323A B C ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，则向量AC AB + 的坐标是 ．答案：(00)，8．已知(13)(33)+=-=-，，，a b a b ，则=a =b ．答案：(20)(13)-，；9．已知向量(12)(45)(10)OA k OB OC k ===- ，，，，，，且A B C ，，三点共线，则k = ． 答案：23-10．若给定向量(12)(10)(46)==-=，，，，，a b c ，试用，a b 表示c ，则=c ．答案：3-a b三、解答题11．已知点(23)(41)A B --，，，，延长AB 至P ，使3AP PB =，求P 点的坐标． 解：如图所示，设()P x y ，，3AP PB =∵，P 是AB 的外分点，3AP PBλ==- ∴． 2(3)471(3)x -+-⨯==+-∴，3(3)131(3)y -+-⨯==+-． P ∴点的坐标为(73)，．12．．如图2，点L M N ，，分别为ABC △三边BC CA AB ，，上的点，且BL l BC =，CM m CA =，AN n AB=，若A L B M C N ++=0 ，求证：l m n ==． 证明：设BC CA ==，a b 为基底，由已知得BL l CM m == ，a b ，AB AC CB =+=-- ∵a b ，AN nAB n n ==-- ∴a b ，(1)AL AB BL l =+=-- ∴a b ①BM BC CM m =+=+ a b ②(1)CN CA AN n n =+=-+- a b ③将①②③代入AL BM CN ++=0 ，得()()0l n m n -+-=a b ，l m n ==∴．13．在平行四边形ABCD 中，(11)(71)(46)A B D ，，，，，，点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD交于点P ，求点P 的坐标．解：∵在平行四边形ABCD 中，点M 是线段AB 的中点，MPB CPD ∴△△，12MB PB DC DP ==∴． 23DP DB =∴，23DP DB = ∴．设()P x y ，(46)x y --，，而(35)DB =- ，． (45)x y --，，∴．解得863x y ==，． ∴点P 的坐标为863⎛⎫ ⎪⎝⎭，．14．已知点(23)(54)(108)A B C ，，，，，，若()AP AB AC λλ=+∈R ，求当点P 在第二象限时，λ的取值范围．解：设点P 的坐标为()x y ，，则(23)AP x y =-- ，，(5243)(10283)AB AC λλ+=--+-- ，，(31)(85)(3815)λλλ=+=++，，，． AP AB AC λ=+ ∵，(23)(3815)x y λλ--=++，，∴． 即238315x y λλ-=+⎧⎨-=+⎩，．解得580450λλ+<⎧⎨+>⎩，． 即当4558λ-<<-时，点P 在第二象限内．。

2.3 向量的坐标表示（数学苏教版必修4）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、填空题（每小题5分，共30分）1.若三点P(1，1)，A(2，-4)，B(x,-9)共线，则x= .2.已知向量a=(3，4)，b=(si nα,c os α)，且a∥b,则t anα= .3. 设向量a=(1,-3),b=(-2,4)，c=(-1,-2),若表示向量4a、4b-2c、2(a-c)、d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d= .4. 已知向量a=(4,2),向量b=(x,3),且a∥b,则x= .5. 已知a =（1，1），b =（1，-1），c =（-1，2），则向量c可用向量a 、b表示为.6.已知向量a=(3,1),b=(1,3),c=(k,7)，若（a-c）∥b,则k= .二、解答题(共70分)7.（15分）已知点A(-1，2)、B(2，8)，AC=13 AB，DA=-13BA，求向量CD的坐标.8.（20分）已知a=AB，B(1，0)，b=(-3,4),c=(-1,1)，且a=3b-2c，求A的坐标.9. （15分）已知向量a=(x+3,x2-3x-4)与AB相等，其中A(1，2)、B(3，2)，求x. 10. （20分）已知a=(-1，2)，b=(1，x)，若2a-b 与a+2b平行，求实数x的值.2.3 向量的坐标表示（数学苏教版必修4）答题纸得分：一、填空题1． 2． 3． 4． 5． 6．二、解答题7.8.9.10.2.3 向量的坐标表示（数学苏教版必修4）答案一、填空题1. 3 解析：因为PA=(1，-5)，PB=(x-1,-10),依题意有-5×(x-1)-1×(-10)=0，解得x=3.2. 34 解析：根据两个向量平行的条件得3c os α-4si nα=0,则t anα=sincosαα=34.3. (-2,-6) 解析：设d=(x,y),由题意知4a+(4b-2c)+2(a-c)+ d=0，即4(1，-3)+［4(-2,4)-2(-1,-2)］+2［(1,-3)-(-1,-2)］+(x,y)=(0,0)，解之得x=-2,y=-6,即d=(-2,-6).4. 6 解析：由向量的平行条件有4×3-2x=0,解得x=6.5. c =12a-32b解析：设c =λa+μb，则（-1，2）=（λ+μ，λ-μ），∴λ=12，μ=-32，故c =12a-32b，故答案为c =12a-32b．6. 5 解析：a-c=(3-k,-6),b=(1,3). ∵(a-c)∥b,∴3(3-k)-(-6)×1=0k=5.二、解答题7.解：由向量的减法知，CD=AD-AC=13BA-13AB=23BA=23(-1-2，2-8)=(-2，-4).8.解：因为b=(-3,4),c=(-1,1),所以a=3b-2c=3(-3,4)-2(-1,1)=(-7,10), 即AB=(-7，10).又因为B(1，0)，设A(x,y),则AB=(1-x,-y)=(-7,10),所以1710xy-=-⎧⎨-=⎩，，解得810xy=⎧⎨=-⎩，，即A(8,-10).9.解：因为A(1，2)、B(3，2)，所以AB=(2,0). 又因为a=AB,所以(x+3,x2-3x-4)=(2,0).所以232340x x x +=⎧⎨--=⎩，，解得x =-1.10.解法1：由已知得2a -b =(-3,4-x ),a +2b =(1,2+2x ). 由2a -b 与a +2b 平行，知-3(2+2x )-(4-x )=0,解得x =-2. 解法2：∵ 2a -b 与a +2b 平行，∴ 2a -b =λ (a +2b ),∴ (-3,4-x )= λ (1,2+2x ), ∴ 34(22)x x λλ=-⎧⎨-=+⎩，，解得x =-2.解法3：设m =2a -b ,n =a +2b , 则可得a =25m +15n ,b =-15m +25n .∵ m ∥n ,∴ a ∥b .又∵ a =(-1,2),b =(1,x ),∴ -x-2=0,∴ x =-2.。

2019年 高中数学必修4 平面向量的坐标表示 同步练习一、选择题（本大题共12小题）1.已知向量a=(3,-1),b=(-1,2),c=(2,1)，若a=xb+yc(x,y ∈R),则x+y=（ ）A.2B.1C.0D.0.5 2.已知向量a=(1,2),a-b=(4,5),c=(x,3)，若(2a+b)//c ，则x=( )A.-1B.-2C.-3D.-4 3.已知向量a ，b 的夹角为，且a=(3,-4)，|b|=2，则|2a+b|=（ ）A.B.2C.D.4.已知向量a=(-2,0),a-b=(-3,-1)，则下列结论正确的是（ ）A.a ∙b=2B.a//bC.|a|=|b|D.b ⊥(a+b) 5.已知向量a=(2,1),b=(-1,3)，则（ ）A.a//bB.a ⊥bC.a ⊥(a-b)D.a//(a-b) 6.已知向量a,b 满足|a|=|b|=2，a ∙(b-a)=-2，则|2a-b|=( )A.2B.C.4D.87.在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB.若CB →=a ，CA →=b ，|a |=1，|b |=2，则CD →=( ).A.31a ＋32b B.32a ＋31b C.53a ＋54b D.54a ＋53b 8.若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( ).A.e 1－e 2，e 2－e 1B.2e 1－e 2，e 1－21e 2 C.2e 2－3e 1,6e 1－4e 2 D.e 1＋e 2，e 1－e 2 9.已知a ，b 为非零不共线向量，向量8a-kb 与-ka+b 共线，则k=（ ）A.B.C.D.810.已知a,b 满足：|a|=3,|b|=2,|a+b|=4,则|a-b|=( )A.B.C.D.311.已知a=(3,4),b=(2,-1)且(a+xb)⊥(a-b),则x 等于（ ）A.23B.11.5C.D.12.已知向量，.若向量满足，，则（ ） A.B.C.D.二、填空题（本大题共6小题） 13.已知是夹角为60°的两个单位向量，若向量，则________.14.已知向量a=(1,2)，b=(－3,2)，若ka ＋b 与b 平行，则k= .15.若非零向量a,b 满足|a|=3|b|=|a+2b|，则a 与b 的夹角余弦值为 . 16.已知向量a=(2,3)，b=(-1,2)，若μa+b 与a-2b 平行，则μ等于__________. 17.已知平面向量a=(2,-1),b=(1,1),c=(-5,1).若(a+kb)∥c,则实数k 的值为 . 18.向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c=λa ＋μb(λ，μ∈R)，则μλ=______.三、解答题（本大题共5小题） 19.已知|a|=4,b=(-1,3).（1）若a//b ，求a 的坐标；（2）若a 与b 的夹角为120°，求|a-b|.20.已知向量a=(2,3),b=(-1,2).（1）求(a-b)(a+2b)；（2）若向量a+λb 与2a-b 平行，求λ的值.21.已知向量a=（1，2），b=（x ，1）.（1）若a//b ，求x 的值；（2）若＜a ，b ＞为锐角，求λ的范围； （3）当（a+2b ）⊥（2a-b ）时，求x 的值.22.如图，ABCD 中，,E F 分别是,BC DC 的中点，G 为交点，若AB =a ，=b ，试以a ，b 为基底表示、BF 、CG ．23.设，)2cos ,sin 2(x x =，x ，)1cos (-=其中x ∈[0，2π]、 (1)求f(x)=·的最大值和最小值； (2)当 OA ⊥OB ，求|AB |参考答案1.答案为：C ；2.答案为：C ；3.答案为：C ；4.答案为：D ；5.答案为：C ；6.答案为：B ；7.答案为：B ；8.答案为：D ； 9.答案为：C ； 10.答案为：C ； 11.答案为：C ； 12.答案为：D ； 13.答案为：19. 14.答案为：0. 15.答案为：-1/3. 16.答案为：-0.5. 17.答案为：21; 解析:由题意知,a+kb=(2,-1)+k(1,1)=(k+2,k-1),由(a+kb)∥c,得-5(k-1)=k+2,解得k=21. 18.答案为：4;解析：以向量a 的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为1，则a=(－1,1)，b=(6,2)，c=(－1，－3).由c=λa ＋ μb ，即(－1，－3)=λ(－1,1)＋μ(6,2)，得－λ＋6μ=－1，λ＋2μ=－3，故λ=－2，μ=－0.5，则μλ=4.19.解：20.解：21.解：22.解：1122DE AE AD AB BE AD a b b a b =-=+-=+-=- 1122BF AF AB AD DF AB b a a b a =-=+-=+-=-G 是△CBD 的重心，111()333CG CA AC a b ==-=-+23.解：⑴f(x)=·= -2sinxcosx+cos2x=)42cos(2π+x 、∵0≤x ≤2π ， ∴4π≤2x+4π≤45π、∴当2x+4π=4π，即x=0时，f(x)max =1；当2x+4π=π，即x=83π时，f(x)min = -2、⑵⊥即f(x)=0，2x+4π=2π，∴x=8π、此时||22)12(cos )cos sin 2(-++=x x x=222)12(cos cos sin 4cos sin 4-+++x x x x x=x x x 2cos 2sin 22cos 27272++- =4cos 4sin 24cos 27272πππ++-=231621-、。

2.3.2 平面向量的坐标运算一、填空题1．下列说法正确的有________．(1)向量的坐标即此向量终点的坐标；(2)位置不同的向量其坐标可能相同；(3)一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标；(4)相等的向量坐标一定相同．【解析】 我们所学的向量是自由向量，位置不同，可能是相同的向量，同时相等的向量坐标一定相同．故正确的说法是(2)(4)．【答案】 (2)(4)2．若向量a ＝(3,2)，b ＝(0，－1)，则向量2b ＋a 的坐标是________．【解析】 2b ＋a ＝2(0，－1)＋(3,2)＝(0，－2)＋(3,2)＝(3,0)．【答案】 (3,0)3．已知a ＝(－1，x)与b ＝(－x,2)共线，且方向相同，则实数x ＝________.【解析】 设a ＝λb ，则(－1，x)＝(－λx,2λ)，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ －1＝－λx ，x ＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，λ＝22或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，λ＝－22. 又a 与b 方向相同，则λ＞0，所以λ＝22，x ＝ 2. 【答案】 2 4．已知点M(3，－2)，N(－6,1)，且MP →＝2PN →，点P 的坐标为________．【解析】 设P(x ，y)，则MP →＝(x －3，y ＋2)，PN →＝(－6－x,1－y)，∴由MP →＝2PN →得⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝－12－2x ，y ＋2＝2－2y ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝0，∴点P 的坐标为(－3,0)． 【答案】 (－3,0)5．设m ＝(a ，b)，n ＝(c ，d)，规定两向量之间的一个运算为m ⊗n ＝(ac －bd ，ad ＋bc)，若已知p ＝(1,2)，p ⊗q ＝(－4，－3)，则q ＝________.【解析】 设q ＝(x ，y)，则由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝－4，y ＋2x ＝－3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，所以q ＝(－2,1)． 【答案】 (－2,1)6．已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k)，若A ，B ，C 三点共线，则实数k＝________.【解析】 由题意得AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，BC →＝OC →－OB →＝(6，k －5)，∵AB →与BC →共线．∴(4－k)×(k －5)－6×(－7)＝0，解得k ＝－2或11.【答案】 －2或117．下列说法正确的有______________．(1)存在向量a 与任何向量都是平行向量；(2)如果向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a ∥b ，则x 1y 1＝x 2y 2； (3)如果向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a ∥b ，则x 1y 2－x 2y 1＝0；(4)如果向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且x 1y 1＝x 2y 2，则a ∥b. 【解析】 (1)当a 是零向量时，零向量与任何向量都是平行向量；(2)不正确，当y 1＝0或y 2＝0时，显然不能用x 1y 1＝x 2y 2来表示；(3)(4)正确． 【答案】 (1)(3)(4)8．已知向量m ＝(2,3)，n ＝(－1,2)，若am ＋bn 与m －2n 共线，则a b等于________． 【解析】 am ＋bn ＝(2a,3a)＋(－b,2b)＝(2a －b,3a ＋2b)，m －2n ＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)，∵am ＋bn 与m －2n 共线，∴b －2a －12a －8b ＝0，∴a b ＝－12. 【答案】 －12二、解答题9．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b ，(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ；(3)求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．【解】 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb ＋nc ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1. (3)设O 为坐标原点，∵CM →＝OM →－OC →＝3c ，∴OM →＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，∴M(0,20)．又∵CN →＝ON →－OC →＝－2b ，∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2) ，∴N(9,2)．∴MN →＝(9，－18)．10．已知O(0,0)，A(1,2)，B(4,5) 及OP →＝OA →＋tAB →，求：(1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？(2)四边形OABP 能否为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．【解】 (1)设P(x ，y)，AB →＝(3,3)，由OP →＝OA →＋tAB →得(x ，y)＝(1,2)＋t(3,3)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t ，y ＝2＋3t. 若P 在x 轴上，则y P ＝0，即2＋3t ＝0，∴t ＝－23. 若P 在y 轴上，则x P ＝0，即1＋3t ＝0，∴t ＝－13. 若P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＞0， ∴－23＜t ＜－13. (2)四边形OABP 不能为平行四边形．因为若四边形OABP 能构成平行四边形，则OP →＝AB →，即(1＋3t,2＋3t)＝(3,3)．∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＝3，2＋3t ＝3， t 无解，故四边形OABP 不能为平行四边形． 11．已知a ＝(1,2)，b ＝(－2,1)，x ＝a ＋(t 2＋1)b ，y ＝－1k a ＋1tb ，是否存在正实数k ，t 使得x ∥y ？若存在，求出取值范围；若不存在，请说明理由．【解】 不存在．理由：依题意，x ＝a ＋(t 2＋1)b＝(1,2)＋(t 2＋1)(－2,1)＝(－2t 2－1，t 2＋3)．y ＝－1k a ＋1tb ＝－1k (1,2)＋1t(－2,1) ＝(－1k －2t ，－2k ＋1t)． 假设存在正实数k ，t ，使x ∥y ，则(－2t 2－1)(－2k ＋1t )－(t 2＋3)·(－1k －2t)＝0， 化简得t 2＋1k ＋1t＝0， 即t 3＋t ＋k ＝0.∵k ，t 为正实数，∴满足上式的k ，t 不存在，∴不存在这样的正实数k ，t ，使x ∥y.。

向量的坐标表示单元练习一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在题后的相应位置上．1．若AB →＝(3,4)，点A 的坐标为(－2，－1)，则点B 的坐标为________． 2．已知A (x,2)，B (5，y －2)，若AB →＝(4,6)，则x ，y 值分别为________． 3．已知向量OM →＝(3，－2)，ON →＝(－5，－1)，则12MN →等于________．4．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝________.5．若向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等，其中A (1,2)，B (3,2)，则x ＝________. 6. 已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当实数k ＝________，k a ＋2b 与2a －4b 平行． 7．已知M (3，－2)，N (－5，－2)，且MP →＝12MN →，则P 点坐标为________．8．已知a ＝(1,2)，b ＝(－4,4)，c ＝(－3，－6)，且c ＝x a ＋y b (x ，y ∈R )，则x ＋y ＝________. 9．平行四边形ABCD 的对角线交于点O ，且AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,1)，则OB →的坐标是________．10．设a ＝⎝⎛⎭⎫32，22，b ＝⎝⎛⎭⎫sin α，13，且a ∥b ，则锐角α＝________. 11．若三点A (2,2)、B (a,0)、C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b＝________.12．已知A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2,0)，D (x ，y )，且AC →＝2BD →，则x ＋y ＝________.13．已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，若A 、B 、C 三点共线，实数k ________. 14．已知两点A (4,1)，B (7，－3)，则与向量AB →同向的单位向量是________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知A (－2,4)、B (3，－1)、C (－3，－4)且CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，求点M 、N 及MN →的坐标．16．已知点A (2,3)，B (5,4)，C (10,8)，若AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R )，求当点P 在第二象限时，λ的取值范围．17．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )． (1)若A 、B 、C 三点共线，求a 、b 的关系式； (2)若AC →＝－2AB →，求点C 的坐标．18．已知两点A (3，－4)，B (－9,2)，在直线AB 上求一点P ，使|AP →|＝13|AB →|.19．已知点A (1,0)，B (0,2)，C (－1，－2)，求以A 、B 、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标．20. 已知在△AOB 中，O (0,0)，A (0,5)，B (4,3)，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 交于M 点，求点M 的坐标．参考答案1. (1,3)2. 1,10题 解析 AB →＝(5－x ，y －4)＝(4,6)，∴⎩⎪⎨⎪⎧5－x ＝4，y －4＝6.∴x ＝1，y ＝10.3. (－4，12) 解析 MN →＝ON →－OM →＝(－5，－1)－(3，－2)＝(－8,1)，12MN →＝⎝⎛⎭⎫－4，12. 4. (－1,2) 解析 12a －32b ＝⎝⎛⎭⎫12，12－⎝⎛⎭⎫32，－32＝(－1,2)． 5. －1 解析 AB →＝(2,0)，AB →＝a ，即(2,0)＝(x ＋3，x 2－3x －4) ∴x ＝－1.6. －1 解析 ∵a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，∴k a ＋2b ＝(k －6,2k ＋4)，2a －4b ＝(14，－4)，∵k a ＋2b 与2a －4b 平行，∴－4(k －6)＝14(2k ＋4)，∴k ＝－1.7. (－1，－2) 解析 设P (x ，y )，则MP →＝(x －3，y ＋2)，又∵MN →＝(－8,0)，且MP →＝12MN →，∴(x －3，y ＋2)＝(－4,0)，∴x ＝－1，y ＝－2，∴P (－1，－2)． 8. －3 解析 由已知得c ＝x a ＋y b ＝(x －4y,2x ＋4y )＝(－3，－6)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＝－3，2x ＋4y ＝－6，解得x ＝－3，y ＝0，故x ＋y ＝－3. 9. ⎝⎛⎭⎫－52，－3 解析 DB →＝AB →－AD →＝(－2,1)－(3,7)＝(－5，－6)．∴OB →＝12DB →＝⎝⎛⎭⎫－52，－3.10. 45° 解析 ∵a ∥b ，∴32×13－22sin α＝0，得到sin α＝22，而α为锐角，∴α＝45°.11. 12 解析 由已知得，AB →＝(a －2，－2)与AC →＝(－2，b －2)共线，所以(a －2)(b －2)－2×2＝0，整理为ab －2a －2b ＝0，各项同除以2ab 得，12－1b －1a ＝0，故1a ＋1b ＝12.12. 112 解析 AC →＝(－1,2)，BD →＝(x －2，y －3)，AC →＝2BD → ∴(－1,2)＝2(x －2，y－3) ∴x ＝32，y ＝4，∴x ＋y ＝112.13. －2或11 解析 ∵AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， BC →＝OC →－OB →＝(6，k －5)，∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →与BC →共线．∴(4－k )(k －5)－6×(－7)＝0，解得k ＝－2或11.14. ⎝⎛⎭⎫35，－45 15. 解 ∵A (－2,4)、B (3，－1)、C (－3，－4)，∴CA →＝(1,8)，CB →＝(6,3)， ∴CM →＝3CA →＝(3,24)，CN →＝2CB →＝(12,6)．设M (x ，y )，则有CM →＝(x ＋3，y ＋4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝3，y ＋4＝24，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝20，∴M 点的坐标为(0,20)．同理可求得N (9,2)，因此MN →＝(9，－18)，故所求点M 、N 的坐标分别为(0,20)、(9,2)，MN →的坐标为(9，－18)．16. 解 设点P 的坐标为(x ，y )，则AP →＝(x －2，y －3)， AB →＋λAC →＝(5－2,4－3)＋λ(10－2,8－3)＝(3,1)＋λ(8,5)＝(3＋8λ，1＋5λ)．∵AP →＝AB →＋λAC →，∴(x －2，y －3)＝(3＋8λ，1＋5λ)．即⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3＋8λ，y －3＝1＋5λ. 解得⎩⎪⎨⎪⎧5＋8λ<0，4＋5λ>0.即当－45<λ<－58时，点P 在第二象限内．17. 解 (1)因为AB →＝(2，－2)、AC →＝(a －1，b －1)，于是由A 、B 、C 三点共线可得，2(b －1)－(－2)·(a －1)＝0，整理得a ＋b －2＝0；(2)因为AC →＝－2AB →，所以(a －1，b －1)＝－2(2，－2)，解得a ＝－3，b ＝5，所以C (－3,5)．18. 解 设P (x ，y )，∴AP →＝(x －3，y ＋4)，AB →＝(－12,6)∴(x －3，y ＋4)＝13(－12,6)＝(－4,2)或(x －3，y ＋4)＝－13(－12,6)＝(4，－2)．即⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝－4y ＋4＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝4y ＋4＝－2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1y ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7y ＝－6. ∴ P (－1,2)或P (7，－6)． 19. 解 设D 的坐标为(x ，y )，(1)若是▱ABCD ，则由AB →＝DC →得(0,2)－(1,0)＝(－1，－2)－(x ，y )，即(－1,2)＝(－1－x ，－2－y )∴⎩⎪⎨⎪⎧－1－x ＝－1，－2－y ＝2，∴x ＝0，y ＝－4，∴D 点的坐标为(0，－4)(如图中的D 1)．(2)若是▱ADBC ，则由AD →＝CB →得(x ，y )－(1,0)＝(0,2)－(－1，－2)，即(x －1，y )＝(1,4)．解得x ＝2，y ＝4. ∴D 点的坐标为(2,4)(如图中的D 2)．(3)若是▱ABDC ，则由AB →＝CD →得，(0,2)－(1,0)＝(x ，y )－(－1，－2)，即(－1,2)＝(x ＋1，y ＋2)，解得x ＝－2，y ＝0. ∴D 点的坐标为(－2,0)(如图中的D 3)，综上所述，以A 、B 、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标为(0，－4)或(2,4)或(－2,0)．20.解 ∵点O (0,0)，A (0,5)，B (4,3)，∴OA →＝(0,5)，OB →＝(4,3)．令OC →＝(x C ，y C )＝14OA →＝⎝⎛⎭⎫0，54. ∴点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，54.同理可得点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫2，32. 设点M (x ，y )，则AM →＝(x ，y －5)，而AD →＝⎝⎛⎭⎫2－0，32－5＝⎝⎛⎭⎫2，－72. ∵A 、M 、D 共线，∴AM →与AD →共线．∴－72x －2(y －5)＝0，即7x ＋4y ＝20.①而CM →＝⎝⎛⎭⎫x ，y －54，CB →＝⎝⎛⎭⎫4－0，3－54＝⎝⎛⎭⎫4，74. ∵C 、M 、B 共线，∴CM →与CB →平行． ∴74x －4⎝⎛⎭⎫y －54＝0，即7x －16y ＝－20.② 联立式①②解得x ＝127，y ＝2. 故点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫127，2.。

高中苏教数学④2.3向量的坐标表示测试题一、选择题1．若(34)AB = ，，点A 的坐标为(21)--，，则点B 的坐标为（ ） Ａ．(55)， Ｂ．(55)--， Ｃ．(13)， Ｄ．(55)-，答案：Ｃ2．已知(21)(13)=-=，，，a b ，则23-+a b 等于（ ）Ａ．(111)--， Ｂ．(111)-， Ｃ．(111)-， Ｄ．(111)，答案：Ｂ3．已知向量()x y =，a ，向量∥b a ，=b a ，且≠b a ，则b 的坐标为（ ） Ａ．()x y -， Ｂ．()x y --，Ｃ．()y x --， Ｄ．()x y -，答案：Ｂ4．设A B C D ，，，四点的坐标依次为(10)(02)(43)(31)-，，，，，，，，则四边形ABCD 是（ ） Ａ．正方形 Ｂ．矩形 Ｃ．菱形 Ｄ．平行四边形答案：Ｄ5．设，a b 为不共线的非零向量，23AB =+ a b ，82BC =-- a b ，64CD =-- a b ，那么（ ）Ａ．AD 与BC 同向，且AD BC >Ｂ．AD 与BC 同向，且AD BC <Ｃ．AD 与BC 反向，且AD BC >Ｄ．AD 与BC 反向，且AD BC <答案：Ａ6．如图1，设O 是平行四边形ABCD 的两条对角线AC BD ，的交点，下列向量组：①AD 与AB ； ②DA 与BC ；③CA 与DC ； ④OD 与OB ．其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是（ ） Ａ．①② Ｂ．③④ Ｃ．①③ Ｄ．①④答案：Ｃ二、填空题7．已知1111(00)2323A B C ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，则向量AC AB + 的坐标是 ．答案：(00)，8．已知(13)(33)+=-=-，，，a b a b ，则=a =b ．答案：(20)(13)-，；9．已知向量(12)(45)(10)OA k OB OC k ===- ，，，，，，且A B C ，，三点共线，则k = ． 答案：23-10．若给定向量(12)(10)(46)==-=，，，，，a b c ，试用，a b 表示c ，则=c ．答案：3-a b三、解答题11．已知点(23)(41)A B --，，，，延长AB 至P ，使3AP PB =，求P 点的坐标． 解：如图所示，设()P x y ，，3AP PB =∵，P 是AB 的外分点，3AP PBλ==- ∴． 2(3)471(3)x -+-⨯==+-∴，3(3)131(3)y -+-⨯==+-． P ∴点的坐标为(73)，．12．．如图2，点L M N ，，分别为ABC △三边BC CA AB ，，上的点，且BL l BC =，CM m CA =，AN n AB=，若A L B M C N ++=0 ，求证：l m n ==． 证明：设BC CA == ，a b 为基底，由已知得BL l CM m == ，a b ，AB AC CB =+=-- ∵a b ，AN nAB n n ==-- ∴a b ，(1)AL AB BL l =+=-- ∴a b ①BM BC CM m =+=+ a b ②(1)CN CA AN n n =+=-+- a b ③将①②③代入AL BM CN ++=0 ，得()()0l n m n -+-=a b ，l m n ==∴．13．在平行四边形ABCD 中，(11)(71)(46)A B D ，，，，，，点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD交于点P ，求点P 的坐标．解：∵在平行四边形ABCD 中，点M 是线段AB 的中点，MPB CPD ∴△△，12MB PB DC DP ==∴． 23DP DB =∴，23DP DB = ∴． 设()P x y ，，∴DP (46)x y =--，，而(35)DB =- ，． 2(46)(35)3x y --=-，，∴．解得863x y ==，． ∴点P 的坐标为863⎛⎫ ⎪⎝⎭，．14．已知点(23)(54)(108)A B C ，，，，，，若()AP AB AC λλ=+∈R ，求当点P 在第二象限时，λ的取值范围．解：设点P 的坐标为()x y ，，则(23)AP x y =-- ，，(5243)(10283)AB AC λλ+=--+-- ，，(31)(85)(3815)λλλ=+=++，，，． AP AB AC λ=+ ∵，(23)(3815)x y λλ--=++，，∴． 即238315x y λλ-=+⎧⎨-=+⎩，．解得580450λλ+<⎧⎨+>⎩，． 即当4558λ-<<-时，点P 在第二象限内．。

向量的坐标表示一、要点解读1.平面向量基本定理如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．解读：（1）平面向量的基本定理说明了只要选定一个平面内的两个不共线的向量，那么这个平面内的任何向量都可以用这两个向量表示出来.这两个不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底，1e 、2e 叫做基向量，平面的基底不是唯一的，关键是两个基向量不能共线.如果一个基底的两个基向量互相垂直，那么这个基底叫做正交基底.特别地，当一个正交基底的两个基向量都是单位向量时，这个基底叫做单位正交基底，这就为向量的坐标表示提供了理论依据.（2）由定理可知平面内的任一向量a 在给出的基底1e 、2e 的条件下都可以进行分解，基底给定时，分解的形式是惟一的，即1λ、2λ是被1e 、2e 唯一确定的一对实数.如图1-1，1e 、2e 是平面向量的一个基底，a 是这个平面内的一个向量，怎样确定1λ、2λ的值，使1122a e e λλ=+呢？为了确定1λ、2λ的值，我们设向量1e 、2e 、a 的起点都是O ，终点分别是A 、B 、C ．然后分别过点C 作直线CD ∥OB 交直线OA 于点D ，直线CE ∥OA 交直线OB 于点E ，则线段OD 、OA 的比值OD OA 就是1λ，线段OE 、OB 的比值OE OB就是2λ. 2.向量的坐标表示的定义分别选取与x 轴、y 轴方向相同的单位向量i ，j 作为基底，对于任一向量a ，a xi y j =+，（,x y R ∈），实数对(,)x y 叫向量a 的坐标，记作(,)a x y =．其中x 叫向量a 在x 轴上的坐标，y 叫向量a 在y 轴上的坐标.解读：在这个定义下，对于坐标平面内的任意一个向量a ，有且仅有一对实数(,)x y 与之对应；向量a 的坐标与表示该向量的有向线段的起始点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关.从原点引出的向量OP 的坐标(,)x y 就是点P 的坐标. 向量AB 的坐标是终点的坐标减去始点的对应坐标，向量AB 的坐标与向量BA 的坐标可能不同.两个向量不论它们的起始点坐标是否相同，只要这两个向量的坐标相同，那么它们就是相等向量.两个向量如果是相等的，那么它们的坐标也应该是相同的.从原点引出的向量OP 的坐标(,)x y 就是点P 的坐标.3.用坐标表示向量的运算与相关定理若a =(x 1,y 2)、b =(x 2,y 2)，则（1）a ＋b =(x 1＋x 2,y 1＋y 2)，a －b =(x 1－x 2,y 1－y 2)，a λ＝（λx 1,λy 2）；（2）a ∥b ⇔x 1y 2-x 2y 1=0.解读：向量平行的坐标表示，也可以与解析几何中两条直线平行，斜率相等结合起来理解记忆.平面向量用坐标表示以后，平面向量的运算就可以脱离图形而独立进行，从而建立起数与形的对应关系.这样很多的几何问题的证明，就可以转化为我们熟悉的数量的运算来完成了.二、解题指导1. 证明三点共线例1 如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AC 、BC 的中点，M 是DE 的中点，N 为线段AB 的中点，求证：C 、M 、N 三点共线.分析：选择不共线的两个向量作为基底，利用平面向量的基本定理，将向量CN 、CM 都用基地表示出来.证明：设b BC a AB ==,，取向量a 、b 作为平面的一个基底.N 为线段AB 的中点，∴1122AN AB a ==， 又D 、E 分别是AC 、BC 的中点，∴1122DE AB a ==， ∴12CN CA AN CB BA a =+=++11()22a b a a b =-++=--，111()222CM CD DM CA DM BA BC DE =+=+=-+1142a b =--， ∴CM 2=，即C 、M 、N 三点共线.点评：用向量法解平面几何问题，实质上是将平面几何问题的代数化处理，在解题中应注意进行向量语言与图形语言的互译.证明三点共线就是证明这三点构成的向量平行，判断两个向量是否平行，最行之有效的方法就是将这两个向量用同一个基底表示出来，然后看其中一个向量是不是另一个向量的倍数.2. 坐标与待定系数法的灵活运用利用平面向量的基本定理与坐标表示，构造关于基底的系数的实数方程组，即利用“12a xe ye =+，得到关于x 、y 的实系数方程组”，从而避免向量问题通过繁杂的作图而进行的计算. 例2 已知＝（1，－1），b ＝（－1，3），c ＝（3，5），试用向量a 、b 表示c ．分析：根据向量坐标运算和待定系数法，用方程思想求解即可．解：设c ＝ x a ＋y （x 、y ∈R ），则x ＋y b ＝x （1，－1）＋y （－1，3）＝（x －y ，－x ＋3y ），又c ＝（3，5）， ∴（x －y ，－x ＋3y ）＝（3，5）∴ x －y ＝3且－x ＋3y ＝5解之得 x ＝7 且y ＝4.点评：在向量的坐标运算中经常要用到待定系数法与方程组的思想，确定有关的值．例3 设O 在△ABC 的内部且满足230OA OB OC ++=，则△ABC 的面积与△AOC 的面积之比为 （ ）A. 2B. 32C. 3D. 53分析：建立直角坐标系，将向量的问题转化为数的运算问题.解：建立如图所示的直角坐标系，设A （0，0），B （a ，b ），C （c ，0），O （x ，y ），则OA ＝（－x ，－y ），OB ＝（a －x ，b －y ），OC ＝（c －x ，－y ）.因为230OA OB OC ++=，即（－x ，－y ）＋2（a －x ，b －y ）＋3（c －x ，－y ）＝（0，0），（2a ＋3c －6x ，2b －6y ）＝（0，0）.所以2360260a c xb y +-=⎧⎨-=⎩，b ＝3y.所以从而ABCAOC S S ∆∆＝1212AC b AC y ＝b y ＝3.所以选择C. 点评：如何利用已知条件230OA OB OC ++=是解题的关键，通过坐标将230OA OB OC ++=转化为两个三角形的四个顶点坐标之间的关系，使得求解过程轻松、自然.4.运用构造思想构造某一个向量在同一基底下的两种不同的表达形式，即用“若12,e e 为基底，a ＝11x e ＋12y e ＝2122x e y e +，则1212x x y y =⎧⎨=⎩”来求解. 利4 利用向量证明三角形的三条中线共点.分析：设△ABC 的中线AD 、BE 交于点1G ，中线AD 、CF 交于点2G ，选择△ABC 中不共线的两个向量CB 、CA 作为平面的一组基底，利用平面向量的基本定理证明1G 、2G 重合.B 证明：设E 、F 、D 分别是△ABC 的三边AC 、AB 、BC 的中点，=，=. 则AB a b =-，CB AC AD 21+=＝－b ＋21a ，21+=＝－＋21，设AD 与BE 交于点1G ，并设AG λ=1，BG μ=1， 则AG λλ211+-=，BG μμ211+-=， 又因为11BG AG +=＝)121()1(-+-μμ. 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-μλμλ121121 解得23λμ==，即 123AG AD =。

2.3 向量的坐标表示1、如图，AB 是圆O 的一条直径，C D 、是半圆弧的两个三等分点，则AB =（ ）A.AC AD -B.22AC AD -C.AD AC -D.22AD AC -2、在等腰梯形ABCD 中，2AB CD =-，M 为BC 的中点，则AM =( ) A. 3142AB AD + B.1122AB AD + C. 3144AB AD + D. 1324AB AD +3、在直角坐标系中,||22a =,a 的方向相对于x 轴正向的转角为135︒,则a 的坐标为( )A.(2,2)--B.(2,2)-C.(2,2)D.(2,2)-4、如图，ABC △中，,,AD DB AE EC CD ==与BF 交于,F 设,,AB a AC b AF xa yb ===+，则(,)x y 为 ( )A.11(,)22B.22(,)33C.11(,)33D.21(,)325、在四边形ABCD 中，2AB a b =+，43BC a b =--，55CD a b =--，那么四边形ABCD 的形状是( )A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．以上都不对6、设O 为ABC △内部的一点，且230OA OB OC ++=，则AOC △的面积与BOC △的面积之比为( )A.3:2B.5:3C.2:1D.3:17、已知向量()1,1a =,(0,2)b =,则下列结论正确的是( )A. //a bB. (2)a b b -⊥C. a b =D. 3a b ⋅=8、在ABC △中,已知D 是AB 边上的一点,若,12,3AD DB CD CA CB λ==+,则λ=( )A.23B.13C.13- D.23- 9、若{2,3,5}a ∈,{1,3,5}b ∈,则向量(,)m a b =与(1,1)n =共线的概率是( )A.29B.13C.14D.2310、如图所示,点,,A B C 是圆O 上不重合的三点,线段OC 与线段AB 交于圆内一点P .若2OC mOA mOB =+,AP AB λ=,则λ=( )A.56B.45C.34D.2311、如图,在ABC △中,已知D 是BC 上的点,且2CD BD =.设AB a =,AC b =,则AD =_____(用,a b 表示).12、在ABC △中，D 是边BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得BM AB AC λμ=+，则λμ+= ．13、已知向量(1,1),(2,),a b x ==若a b +与3a b -平行,则实数x 的值是__________. 14、若三点()2,2A ,(),0B a ,()0,C b ()0ab ≠共线,则11a b+的值为_____________.15、已知(1,0),(2,1)a b ==1.当k 为何值时, ka b -与2a b +共线;2. 若23AB a b =+,BC a m b =+⋅且A 、B 、 C 三点共线,求m 的值答案以及解析1答案及解析：答案：D解析：因为CD 是半圆弧的两个三等分点，所以//CD AB ，且2AB CD =，所以22()22AB CD AD AC AD AC ==-=-.2答案及解析：答案：A解析：3答案及解析：答案：B解析：因为||cos1352a ⎛︒==- ⎝⎭,||sin1352a ︒==,所以a 的坐标为(2,2)-.4答案及解析：答案：C解析：5答案及解析：答案：C6答案及解析：答案：C解析：设AC 的中点为,D BC 的中点为E ，则()(22)240OA OC OB OC OD OE +++=+=,所以2OD OE =-,即,,O D E 三点共线.所以2OCD OCE S S =△△,所以2AOC BOC S S =△△.所以:2:1AOC BOC S S =△△.7答案及解析：答案：B解析：对于A,因为210120⨯-⨯=≠，所以向量,a b 不平行,A 错误;对于B,因为2(2,0)a b -=,所以(2)20020a b b -⋅=⨯+⨯=,则(2)a b b -⊥,B 正确;对于C,||11a =+=2||022b =+=,C 错误;对于D, 10122a b ⋅=⨯+⨯=,C 错误;对于D, 10122a b ⋅=⨯+⨯=,D 错误.故选B.8答案及解析：答案：A解析：9答案及解析：答案：A解析：若向量(,)m a b 与(1,1)n =共线,则11a b ⨯=⨯,即a b =.由列举法可知(,)a b 可能为(1,2),(2,3),(2,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5),共9种,满足条件a b =得有(3,3),(5,5),共2种,故所求概率29P =.故选A.10答案及解析：答案：D解析：由题意,设OP nOC =.因为()AP OP OA OB OA λ=-=-,故()mOC OA OB OA λ-=-,(2)()n mOA mOB OA OB OA λ+-=-,即(1)(2)0mn OA mn OB λλ+-+-=.而OA 与OB 不共线,故有10,2,mn mn λλ+-=⎧⎨-⎩解得23λ=.故选 D.11答案及解析： 答案：2133a b + 解析：()1133AD AB BD AB BC AB AC AB =+=+=+-()121333a b a a b =+-=+.12答案及解析： 答案：12- 解析：13答案及解析：答案：2解析：由题意，(3,1),3(1,3),a b x a b x +=+-=- 因为a b +与3a b -平行，所以3(3)1,x x -=+解得 2.x =14答案及解析： 答案：12解析：(2,2)AB a =-,(2,2)AC b =--.因为//AB AC ,所以(2)(2)40a b ---=,所以2()0ab a b -+=.该等式两边同时除以ab ,可得2()0ab a b ab-+=. 所以1112()0a b -+=.所以1112a b +=.15答案及解析：答案：1. 12k =-2. 32解析：1.()()()1,02,12,1,ka b k k -=-=-- ()()()21,022,15,2.a b +=+=∵ka b -与2a b +共线,∴()()22150,k ---⨯=即2450k -+=,得1.2k =-2.∵,,A B C 三点共线,,,AB BC R λλ∴=∈ 即()23a b a mb λ+=+,∴解得3.2m =由Ruize收集整理。

苏教版数学必修4第2章平面向量2.3 向量的坐标表示同步测验共 21 题一、选择题1、向量 =（1，2）， =（x ， 1），，，若，则实数x的值等于（）A. B.C. D.2、若，则等于（）.A.-+B.-C.-D.-+3、如图，设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点，下列向量组：①与；②与；③与；④与．其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是（）．A.①②B.③④C.①③D.①④4、己知向量 =（2，1）， =（﹣3，4），则﹣ =（）A.（5，﹣3）B.（1，﹣3）C.（5，3）D.（﹣5，3）5、设向量、，满足| |=| |=1， • =﹣，则| +2 |=（）A. B.C. D.6、在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若，，则 =（）A.（﹣2，﹣4）B.（﹣3，﹣5）C.（3，5）D.（2，4）7、若A（2，﹣1）、B（﹣1，3），则向量的坐标是（）A.（1，2）B.（﹣3，4）C.（3，﹣4）D.（﹣2，﹣3）8、已知平面向量 =（1，2）， =（﹣2，m），且∥，则 =（）A.（﹣5，﹣10）B.（﹣4，﹣8）C.（﹣3，﹣6）D.（﹣2，﹣4）9、平面向量与的夹角为120°， =（2，0），| |=1，则| +2 |=（）A.4B.3C.2D.10、若向量a=（3，m），b=（2，﹣1），a•b=0，则实数m的值为（）A. B.C.2D.611、已知向量=(1-sin， 1），=（， 1+sin），且平行于，则锐角θ等于（）A.30°B.45°C.60°D.75°12、已知四边形OABC中，，则 =（）A. B.C. D.13、已知点A（2008，5，12），B（14，2，8），将向量按向量 =（2009，4，27）平移，所得到的向量坐标是（）A.（1994，3，4）B.（﹣1994，﹣3，﹣4）C.（15，1，23）D.（4003，7，31）14、如图，设P，Q为△ABC内的两点，且，，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为（）A. B.C. D.15、设A，B，C，D四点的坐标依次为（﹣1，0），（0，2），（4，3），（3，1），则四边形ABCD是（）A.正方形B.矩形C.菱形D.平行四边形二、填空题16、向量按平移所扫过平面部分的面积等于________．17、已知单位向量，的夹角为60°，则|2 ﹣ |=________．18、如图，，则 x+y=________．19、已知平面向量α，β，|α|=1，|β|=2，α⊥（α﹣2β），则|2a+β|的值是________．20、已知 =（1，1）， =（1，﹣1）， =（﹣1，2），则向量可用向量、表示为________．三、解答题21、已知向量 =（a，cos2x）， =（1+sin2x ，），x∈R，记f（x）= • ．若y=f（x）的图象经过点（，2 ）．(1)求实数a的值；(2)设x∈[﹣， ]，求f（x）的最大值和最小值；(3)将y=f（x）的图象向右平移，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到y=g（x）的图象，求y=g（x）的单调递减区间．参考答案一、选择题1、 【答案】A 【解析】解答：∵ =（1，2）， =（x ， 1）， ，∴ =（2+x ， 5）， =（2﹣x ， 3）∵ ，∴3（2+x ）﹣5（2﹣x ）=0∴x=故选A分析：先根据向量 的坐标求向量 的坐标，再根据 ，用向量平行的充要条件计算即可．2、 【答案】B 【解析】【解答】∵ ，∴ ，∴（﹣1，2）=m （1，1）+n （1，﹣1）=（m+n ，m ﹣n ）∴m+n=﹣1，m ﹣n=2，∴m= ，n=﹣ ，∴ =-故选B ．【分析】以 和 为基底表示 ，设出系数，用坐标形式表示出两个向量相等的形式，根据横标和纵标分别相等，得到关于系数的二元一次方程组，解方程组即可．3、 【答案】C【解析】【解答】平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，① 与 不共线，可作为基底；② 与 为共线向量，不可作为基底；③ 与 是两个不共线的向量，可作为基底；④ 与 在同一条直线上，是共线向量，不可作为基底．综上，只有①③中的向量可以作为基底，故选 C ．【分析】利用基底的定义，平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，故需判断各个选项中的两个向量是否共线．4、 【答案】A【解析】解答：故选A分析：利用向量的差的坐标等于第一个向量的坐标减去第二个向量的坐标，计算可得答案．5、 【答案】B【解析】解答： =3∴故选B分析：利用向量模的平方等于向量的平方，求出模的平方，再开方即可．解答：∵，故选B．分析：根据平行四边形法则，可以求出，再根据平行四边形法则可以求出结果，在运算过程中要先看清各向量的关系，理清思路以后再用坐标表示出结果．7、【答案】B【解析】【解答】∵A（2，﹣1）、B（﹣1，3），∴ =（﹣1，3）﹣（2，﹣1）=（﹣1﹣2，3+1）=（﹣3，4），故选B．【分析】的坐标等于中点B坐标减去起点A的坐标，再根据向量的坐标表示即可．8、【答案】B【解析】【解答】排除法：横坐标为2+（﹣6）=﹣4，故选B．【分析】向量平行的充要条件的应用一种做法是根据平行求出向量的坐标，然后用向量线性运算得到结果；另一种做法是针对选择题的特殊做法，即排除法．9、【答案】C【解析】解答：由题意得| |=2， =| |•| |cos120°=2×1×（﹣）=﹣1，| +2 |= = = =2，故选C．分析：利用两个向量的数量积的定义求出的值，再利用| +2 |= = ，求出| +2|的值．10、【答案】D【解析】【解答】a•b=6﹣m=0，∴m=6．故选D【分析】根据两个向量的数量积为零，写出坐标形式的公式，得到关于变量的方程，解方程可得．11、【答案】B【解析】【解答】∵平行于∴∴cosθ=又因为θ为锐角∴θ=45°故选B．【分析】根据向量平行的坐标表示出两者的关系，再由θ为锐角最终确定范围．12、【答案】C【解析】解答：∵ = ﹣ = ，∴ = + = + ，∴ = ﹣ = + ﹣ = ﹣，故选 C．分析：先由 = ﹣ = ，求出的解析式，再把的解析式代入 = ﹣进行运算．解答：∵A（2008，5，12），B（14，2，8），∴ =（﹣1994，﹣3，﹣4），又∵按向量平移后不发生变化∴平移后 =（﹣1994，﹣3，﹣4），故选B分析：由已知中始点坐标A（2008，5，12），终点坐标B（14，2，8），根据向量坐标等于终点坐标减始点坐标，可以求出向量的坐标，进而根据向量按向量平移后不发生变化，得到答案．14、【答案】C【解析】解答：设则由平行四边形法则知NP∥AB所以同理故故选C．分析：利用向量的运算法则：平行四边形法则作出P，利用同底的三角形的面积等于高的比求出，同理求出，两个式子比求出△ABP的面积与△ABQ的面积之比．15、【答案】D【解析】解答：∵，，∴，四边形为平行四边形，∵，，∴不垂直，所以四边形不是矩形，故选D．分析：利用向量的坐标公式求出三个边对应的向量，利用向量共线的充要条件及向量垂直的充要条件判断出四边形的形状．二、填空题16、【答案】【第1空】【解析】【解答】，平移所扫过平面部分是一个边长为1菱形，其锐角为600，∴面积S=故答案：【分析】由向量按平移，是将向量向左平移一个单位，分析其扫过的平面部分的形状，代入面积公式即可求出答案．【第1空】【解析】【解答】 ===5﹣4cos60°=3∴故答案为【分析】利用向量模的平方等于向量的平方，将已知等式平方，利用向量的数量积公式及将已知条件代入，求出模．18、【答案】【第1空】1【解析】【解答】过E分别作AB，AD的平行线与AD，AB分别交于N，M点如下图．∴EM∥AD，EN∥AB∴四边形AMEN为平行四边形∴利用向量加法的平行四边形法则可得又∵∴又∵与，与共线∴又∵EM∥AD，EN∥AB∴，∴x+y= = =1故答案为1【分析】利用向量加法的平行四边形法则可过E分别作AB，AD的平行线与AD，AB分别交于N，M点则可得，即，而由图形可得与，与共线故即，再结合EM∥AD，EN∥AB根据平行线分线段成比例性质代入化简即可得解．19、【答案】【第1空】【解析】【解答】由题意可知α•（α﹣2β）=0，结合|α|2=1，|β|2=4，解得，所以|2a+β|2=4α2+4α•β+β2=8+2=10，开方可知|2a+β|=故答案为．【分析】先由α⊥（α﹣2β）可知α•（α﹣2β）=0求出，再根据|2a+β|2=4α2+4α•β+β2可得答案．【第1空】【解析】【解答】设 =λ +μ ，则（﹣1，2）=（λ+μ，λ﹣μ ），∴λ= ，μ=﹣，故，故答案为：【分析】设 =λ +μ ，则可得（﹣1，2）=（λ+μ，λ﹣μ ），解得 λ= ，μ=﹣，可得即为所求．三、解答题21、【答案】(1). 解：∵f（x）= • =a（1+sin2x）+ cos2x 经过点（，2 ）．∴f（）=2∴a=1；(2). 解：∵a=1∴f（x）=sin2x+ cos2x+1=2sin（2x+ ）+1∵x∈[﹣， ]∴2x+∈[,]∴f（x）min=0，f（x）max=3(3). 解：∵将y=f（x）的图象向右平移可得 y=2sin（2x+）+1将y=f（x）的图象横坐标伸长到原来的4倍可得：y=2sin（x+）+1可求出故函数g（x）的单调递减区间为：【解析】【分析】（1）表示出函数f（x）后将点代入即可求出a的值．（2）将a的值代入函数f（x），由x的取值区间可求出最值．（3）先将函数f（x）平移变换得到函数ɡ（x），再求其单调区间．。