数学必修
4
一.选择题： 1.
3
π
的正弦值等于 （ ） （A ）
23 （B ）21 （C ）23- （D ）2
1- 2．215°是 （ ）
（A ）第一象限角 （B ）第二象限角 （C ）第三象限角
（D ）第四象限角
3．角α的终边过点P （4，－3），则αcos 的值为
（ ）
（A ）4
（B ）－3
（C ）
5
4
（D ）5
3
-
4．若sin α<0，则角α的终边在
（ ）
（A ）第一、二象限
（B ）第二、三象限
（C ）第二、四象限 （D ）第三、四象限 5．函数y=cos2x 的最小正周期是
（ ）
（A ）π
（B ）
2
π （C ）
4
π
（D ）π2
6．给出下面四个命题：① 0=+BA AB ；②AC C =+B AB ；③BC AC =－AB ；
④00=⋅AB 。其中正确的个数为 （ ）
（A ）1个
（B ）2个
（C ）3个
（D ）4个 7．向量)2,1(-=a ，)1,2(=b ，则
（ ）
（A ）a ∥b
（B ）a ⊥b
（C ）a 与b 的夹角为60°
（D ）a 与b 的夹角为30°
8. ( ) （A ）cos160︒ （B ）cos160-︒ （C ）cos160±︒ （D ）cos160±︒
9． 函数2)cos[2()]y x x ππ=-+是 （ ）
（A ） 周期为
4π的奇函数 （B ） 周期为4π
的偶函数 （C ） 周期为2π的奇函数 （D ） 周期为2π
的偶函数
10．函数)sin(ϕω+=x A y 在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为 （ ） （A ）)3
22sin(2π+
=x y （B ）)3
2sin(2π
+
=x y
（C ）)3
2sin(2π
-=x y
（D ）)3
2sin(2π
-=x y
二.填空题
11．已知点A （2，－4），B （－6,2），则AB 的中点M 的坐标为 ； 12．若)3,2(=a 与),4(y b -=共线，则y ＝ ；
13．若21tan =
α，则α
αα
αcos 3sin 2cos sin -+= ； 1421==b a ，a 与b 的夹角为3
π
b a b a -+= 。
15．函数x x y sin 2sin 2-=的值域是∈y ；
三．解答题
16．(1)已知4
cos
5
，且为第三象限角，求sin 的值 (2)已知3tan =α，计算 α
αα
αsin 3cos 5cos 2sin 4+- 的值.
17．已知向量a , b 的夹角为60, 且||2a =, ||1b =,
(1) 求 a b ; (2) 求 ||a b +.
18. 已知(1,2)a =,)2,3(-=b ,当k 为何值时，
(1) ka b +与3a b -垂直？
(2) ka b +与3a b -平行？平行时它们是同向还是反向？
19．设)1,3(=OA ，)2,1(-=OB ，OB OC ⊥，BC ∥OA ，试求满足
OC OA OD =+的OD 的坐标（O 为坐标原点）。
20.某港口的水深y （米）是时间t （024t ≤≤，单位：小时）的函数，下面是每
天时间与水深的关系表：
经过长期观测， ()y f t =可近似的看成是函数sin y A t b ω=+ （1）根据以上数据，求出()y f t =的解析式
（2）若船舶航行时，水深至少要11.5米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港？
21. 已知(3sin ,cos )a x m x =+，(cos ,cos )b x m x =-+, 且()f x a b =
(1) 求函数()f x 的解析式;
(2) 当,63x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
时, ()f x 的最小值是－4 , 求此时函数()f x 的最大值, 并
求出相应的x 的值.
答案
一．选择题：ACCDABBBCA 二．填空题：
11. （－2，－1） 12. －6 13. －3 14. 21 15. [－1,3]
三.解答题:
16.解：（1）∵22cos sin 1αα+=，α为第三象限角
∴
3sin 5
α===-
（2）显然cos 0α≠
∴ 4sin 2cos 4sin 2cos 4tan 24325cos 5cos 3sin 5cos 3sin 53tan 5337
cos αα
αααααααααα
---⨯-====++++⨯
17.解：（1）17.解： (1) 1
||||cos602112
a b a b ==⨯⨯=
(2) 22||()a b a b +=+
22
242113
a a
b b
=-+=-⨯+=
所以||3a b +=
18.(1,2)(3,2)(3,22)ka b k k k +=+-=-+
3(1,2)3(3,2)(10,4)a b -=--=-
（1）()ka b +⊥(3)a b -，
得()ka b +(3)10(3)4(22)2380,19a b k k k k -=--+=-==
（2）()//ka b +(3)a b -，得1
4(3)10(22),3
k k k --=+=-
此时1041
(,)(10,4)333ka b +=-=--，所以方向相反。
19. 解：设),(y x OC =，由题意得：⎩⎨
⎧=--=-⋅⇒⎪⎩⎪⎨⎧==⋅)1,3()2,1(),(0
)2.1(),(0λλy x y x OA
BC OB OC )7,14(7142312=⇒⎩⎨⎧==⇒⎪⎩
⎪
⎨⎧=-=+=⇒OC y x y x y
x λ
λ
)6,11(=-=OA OC OD
20. 解：（1）由表中数据可以看到：水深最大值为13，最小值为7，137
102
h +=
=，137
32
A -=
= 且相隔9小时达到一次最大值说明周期为9，因此29T π
ω
==，29
πω=
， 故2()3sin
109
f t t π
=+ (024)t ≤≤ （2）要想船舶安全，必须深度()11.5f t ≥，即23sin 1011.59
t π
+≥ ∴21sin 92t π≥ 2522696
k t k πππππ+≤≤+ 解得：3159944k t k +≤≤+ k Z ∈
又 024t ≤≤
