最新高一下学期期末考试(数学)资料

高2026届高一（下）期末考试数学试卷（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试卷上作答无效．3．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存．满分150分，考试用时120分钟．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，若π1,3a b A ===，则B =（）A.π3B.π2C.π6 D.π4【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理结合b a <进行求解即可.【详解】由正弦定理得：31sin sin A B=，则1sin 2B ==，由b a <得B A <，所以π6B =，故选：C ．2.某校高一年级有四个班共有学生200人，其中1班60人，2班50人，3班50人，4班40人．该校要了解高一学生对食堂菜品的看法，准备从高一年级学生中随机抽取40人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按班级来分层，则高一2班应抽取的人数是（）A.12B.10C.8D.20【答案】B 【解析】【分析】由分层抽样的概念求解．【详解】解：依题意高一2班应抽取的人数为504010200⨯=人，故选：B ．3.已知平面四边形OABC 用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正方形O A B C ''''，则原图形OABC 中的AB =（）A.B. C.3 D.2【答案】C 【解析】【分析】根据斜二测画法规则结合勾股定理即可求解.【详解】根据斜二测画法规则， 1,2OA O A OB O B ''''====OA OB ⊥，则3AB ==，故选：C ．4.已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（）A.若αβ∥，m β∥，则m α∥B.若,m n αα⊥⊥，则m n ∥C.若m α∥，m β∥，则αβ∥D.若,m n m α⊥⊂，则n α⊥【答案】B 【解析】【分析】根据线线，线面，面面的平行关系，垂直关系，判断选项.【详解】A 中m 可能在α内，错误；B 中由线面垂直的性质显然正确；C 中α与β可能相交，错误；D 中n 可能在α内，可能平行于α，可能与α斜交，错误.故选：B5.甲、乙、丙3人独立参加一项挑战，已知甲、乙、丙能完成挑战的概率分别为13、13、14，则甲、乙、丙中有人完成挑战的概率为（）A.15B.13C.25D.23【答案】D 【解析】【分析】由独立乘法公式以及对立事件概率公式即可求解.【详解】由题意，甲、乙、丙三人都没完成挑战的概率11111113343P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再由对立事件关系，则甲、乙、丙中有人完成挑战的概率12133P =-=，故选：D ．6.平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，11π3A AD A AB ∠=∠=，11AA AB ==，E 为11CD 的中点，则异面直线BE 和DC 所成角的余弦值为（）A.0B.2C.12D.4【答案】A 【解析】【分析】由11·2BE DC AA AD AB AB ⎛⎫⋅=+- ⎪⎝⎭求解即可．【详解】解：由题意，11π111cos 32AA AB AA AD ==⨯⨯= ，·0AB AD =，又D C A B =，1111112BE AE AB AA A D D E AB AA AD AB =-=++-=+- ，所以1111·00222BE DC AA AD AB AB ⎛⎫⋅=+-=+-= ⎪⎝⎭，即有BE DC ⊥u u r u u u r ，故选：A ．7.甲在A 处收到乙在航行中发出的求救信号后，立即测出乙在方位角（是从某点的正北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角）为45°、距离A 处为10n mile 的C 处，并测得乙正沿方位角为105°的方向，以6n mile/h 的速度航行，甲立即以14n mile/h 的速度前去营救，甲最少需要（）小时才能靠近乙．A.1B.2C.1.5D.1.2【答案】A 【解析】【分析】设甲乙相遇在点B 处，需要的时间为t 小时，则6,14BC t AB t ==，在△ABC 中，由余弦定理求解．【详解】解：设甲乙相遇在点B 处，需要的时间为t 小时，则6,14BC t AB t ==，又4575120,10ACB AC ∠=︒+︒=︒=，在△ABC 中，由余弦定理得：222(14)10(6)210(6)cos120t t t =+-⨯⨯⨯︒，则28350t t --=，即()()8510t t +-=，解得1t =或58t =-（舍去），故选：A ．8.已知向量,OA OB 满足1,2==OA OB uu r uu u r ，且向量OB 在OA 方向上的投影向量为OA．若动点C 满足12OC = ，则CA CB的最小值为（）A.12-B.4263- C.172D.574-【答案】D 【解析】【分析】应用数形结合及极化恒等式，化221·4CB CA CM AB =- ，求解即可．【详解】解：如图，根据投影向量，OA AB ⊥，则60AOB ∠=︒，且3AB =，因为12OC = ，所以点C 在以O 为圆心，半径12r =的圆上运动．设M 是AB 的中点，由极化恒等式得：22213·44CB CA CM AB CM =-=- ，因为min712CMOM r -=-=，此时2382735274444CM ---=-= ，即CA CB 的最小值为5274-，故选：D ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设复数z 的共轭复数为z ，i 为虚数单位，若()2i 1i z +=+，则（）A.复数z 的虚部为1- B.2z =C.z 在复平面内对应的点在第一象限 D.816z =【答案】AD 【解析】【分析】由题意，1i21i iz +=-=--，再依次判断．【详解】解：由题意，1i21i iz +=-=--，则虚部为1-，()()22112z =-+-=，则A 正确，B 错误；1i z =-+在复平面内对应的点()1,1-在第二象限，C 错误；()221i 2i z =--=，()()22422i 4z z ===-，()()2284416z z ==-=，D 正确，故选：AD ．10.一个袋子中有大小相同，标号分别为1，2，3，4的4个小球．采用不放回方式从中任意摸球两次，一次摸一个小球．设事件A =“第一次摸出球的标号小于3”，事件B =“第二次摸出球的标号小于3”，事件C =“两次摸出球的标号都是偶数”，则（）A.()()P A P B =B.()16P AB =C.()23P A B ⋃= D.()112P AC =【答案】ABD 【解析】【分析】写出样本空间以及各个事件所包含的基本事件，再结合古典概型概率计算公式逐一验算即可求解.【详解】由题意，摸球两次的样本空间()()()()()()()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4,3,1,3,2,3,4,4,1,4,2,4,3Ω=，事件()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4A =，事件()()()()()(){}1,2,2,1,3,1,3,2,4,1,4,2B =，事件()(){}2,4,4,2C =，所以()(){}1,2,2,1AB =，(){}2,4AC =，()()()()()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4,3,1,3,2,4,1,4,2A B = ，利用古典概型计算公式，()()61122P A P B ===，()21126P AB ==，()105126P A B == ，()112P AC =，故选：ABD ．11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为线段1CC 上的动点，O 为正方体内一点，则以下命题正确的是（）A.1B M DM +取得最小值B.当M 为线段1CC 中点时，平面1BMD 截正方体所得的截面为平行四边形C.四面体ABMD 的外接球的表面积为5π时，1CM =D.若1,2AO CO A O ==，则点O 【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，将平面11BB C C 沿1C C 翻折到与平面11DD C C 为同一平面，结合勾股定理以及三角形三边关系即可判断；对于B ，设N 是1A A 的中点，得出四边形1NBMD 是菱形即可判断；对于C ，当1CM =时，验算四面体ABMD 的外接球的表面积即可判断；对于D ，找出点O 的轨迹即可验算求解.【详解】选项A 中，将平面11BB C C 沿1C C 翻折到与平面11DD C C 为同一平面，则11B M DM B D +≥==，当D ，M ，1B 三点共线时，等号成立，故A 正确；选项B 中，设N 是1A A 的中点，连接1D N ，NB ，而正方体的棱长为2，且,M N 分别为11,CC AA 的中点，所以11NB BM MD D N ====所以四边形1NBMD 是菱形，所以平面1BMD 就是平面1BMD N ，此截面是平行四边形，故B 正确；选项C 中，当1CM =时，因为CM ，AD ，AB 两两垂直，所以四面体ABMD 的外接球的直径23R ==，则32R =，此时外接球表面积24π9πR =，故C 错误；选项D 中，由AO CO =，所以点O 在AC 的中垂面11D DBB 上，设11B D 的中点为H ，则1A H =，因为1DD ⊥平面1111D C B A ，1A H ⊂平面1111D C B A ，所以11A H DD ⊥，又因为111A H B D ⊥，1111B D DD D = ，11B D ⊂平面1111D C B A ，1DD ⊂平面1111D C B A ，所以1A H ⊥平面11D DBB ，则HO ==所以点O 在以H 为圆心，r =的半圆上运动，点O ，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】关键点点睛：判断D 选项的关键的得出点O 首先在面11D DBB 上，进一步得出HO ==O 的轨迹，由此即可顺利得解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量()()1,1,,2a b m ==-，若()//a a b + ，则m =______．【答案】2-【解析】【分析】首先求出a b +的坐标，再由向量共线的坐标表示计算可得.【详解】因为()()1,1,,2a b m ==- ，所以()()()1,1,21,1a b m m +=+-=+-，又因为()//a a b +，所以()()1111m ⨯+=⨯-，所以2m =-.故答案为：2-．13.已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为______.【答案】2π【解析】【分析】由轴截面得到圆锥的底面半径和母线，利用侧面积公式求出答案.【详解】由题意得，圆锥的底面半径为1r =，母线长为2l =，故圆锥的侧面积为ππ122πrl =⨯⨯=.故答案为：2π14.记△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin sin cos cos a A c C a C c A +=+，若△ABC 的面积()20S tb t =>，则t 的最大值为______．【答案】14##0.25【解析】【分析】利用正弦定理将已知式子统一成角的形式，化简得22sin sin sin A C B +=，然后由已知得221sin 2ab C S t b b==，化简后利用正弦定理统一成角的形式，再利用基本不等式可求得结果.【详解】因为sin sin cos cos a A c C a C c A +=+所以由正弦定理得()22sin sin sin sin A C A C B +=+=，由()20S tb t =>得：22221sin sin sin sin sin 122sin 4sin 4ab C S A C A C t b b B B +===≤=，当且仅当sin sin A C =，即45A C ==︒，90B =︒时等号成立，故答案为：14．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.为调查外地游客对洪崖洞景区的满意程度，某调查部门随机抽取了100位游客，现统计参与调查的游客年龄层次，将这100人按年龄（岁）（年龄最大不超过65岁，最小不低于15岁的整数）分为5组，依次为[)[)[)[)[]15,25,25,35,35,45,45,55,55,65，并得到频率分布直方图如下：（1）求实数a 的值；（2）估计这100人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（3）估计这100人年龄的第80百分位数．（结果保留一位有效数字，四舍五入）【答案】（1）0.035a =；（2）41.5（3）51.7【解析】【分析】（1）根据频率之和为1得到方程，求出实数a 的值；（2）利用平均数的定义进行求解；（3）先确定年龄的第80百分位在[)45,55之内，设第80百分位数为x ，得到方程，求出答案.【小问1详解】由题知，()100.010.0150.030.011a ⨯++++=，则0.035a =；【小问2详解】由图样本平均数200.1300.15400.35500.3600.141.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；【小问3详解】由题知，年龄在[)15,55的频率为0.9，年龄在[)15,45的频率为0.6，则年龄的第80百分位在[)45,55之内，设第80百分位数为x ，则()0.6450.030.8x +-⨯=，解得51.7x ≈．16.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是一个菱形，60,DAB ∠=︒，点P 为1BC 上的动点．（1）证明：DP ∥平面11AB D ；（2）试确定点P 的位置，使得BC DP ⊥．【答案】（1）证明见解析（2）点P 为1BC 中点【解析】【分析】（1）由11BD B D ∥得到BD ∥平面11AB D ，同理得到1BC ∥面11AB D ，得到面面平行，进而得到线面平行；（2）作出辅助线，得到DE BC ⊥，结合BC EP ⊥，得到线面垂直，故BC EP ⊥，结合1BC CC ⊥，EP ⊂平面1BCC ，所以1EP CC ∥，证明出结论.【小问1详解】由题知，由1111,BB DD BB DD =∥，则四边形11BB D D 为平行四边形，所以11BD B D ∥，因为11B D ⊂平面11AB D ，BD ⊄平面11AB D ，所以BD ∥平面11AB D ，同理可证1BC ∥面11AB D ，由BD ⊂面1BDC ，1BC ⊂面1BDC ，1BD BC B = ，所以平面1BDC ∥平面11AB D ，又PD ⊂面1BDC ，所以DP ∥面11AB D ；【小问2详解】取BC 中点E ，连接DE ，PE ．在△BDC 中，π,3BC DC BCD =∠=，则△BDC 为正三角形，所以DE BC ⊥，又BC DP ⊥，DE BC E ⋂=，,DE BC ⊂平面EDP ，所以BC ⊥面EDP ，因为EP ⊂平面EDP ，所以BC EP ⊥．在面1BCC 中，1BC CC ⊥，EP ⊂平面1BCC ，所以1EP CC ∥，在1BCC 中，E 为BC 中点，所以EP 为中位线，则点P 为1BC 中点．17.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos cos 2sin sin A B c a A B b ⎫=+=⎪⎭．（1）求A 的大小；（2）已知233AB AC AD =+ ，若A 为钝角，求ABD △面积的取值范围．【答案】（1）π3或2π3；（2）0,9⎛ ⎝⎦【解析】【分析】（1）由正弦定理和正弦和角公式得到3sin 2A =，求出π3A =或2π3；（2）由233AB AC AD =+ 得到2BD DC = ，故36ABD S bc =△，以由（1）知，2π3A =，且2a =，由余弦定理224b c bc ++=，由基本不等式得43bc ≤，求出403bc <≤，得到ABD △面积的取值范围.【小问1详解】cos cos 2sin cos cos sin 2sin sin sin sin sin sin A B c B A B A C A B bA B B +⎫+=⇒=⎪⎭，()sin 2sin sin 2sin sin sin sin sin sin sin B A C C C A B B A B B+=⇒=，因为在△ABC 中，()sin sin 0,sin 0B A C B +=>>，所以化简得：sin 2A =，又0πA <<，解得：π3A =或2π3；【小问2详解】由233AB AC AD =+ 得：()322AD AB AC AD DB AD DC =+=+++ ，则2BD DC = ，从而2213sin 3326ABD ABC S S bc A bc ==⨯=△△，因为A 为钝角，所以由（1）知，2π3A =，且2a =，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得：224b c bc ++=，因为222b c bc +≥，所以42bc bc ≥+，所以43bc ≤，当且仅当3b c ==时等号成立，又b ，c 可以无限接近0，所以403bc <≤，从而0,69ABD S bc ⎛=∈ ⎝⎦△，故△ABD 面积的取值范围为0,9⎛ ⎝⎦．18.已知三棱台111ABC A B C -中，△ABC 为正三角形，1111112A B AA BB AB ====，点E 为线段AB 的中点．（1）证明：1A E ∥平面11B BCC ；（2）延长111,,AA BB CC 交于点P ，求三棱锥P -ABC 的体积最大值；（3）若二面角1A CC B --的余弦值为13，求直线1BB 与平面11ACC A 所成线面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）1（3）33【解析】【分析】（1）设F 是BC 的中点，连接EF ，1C F ，则利用三角形中位线定理结合已知可证得四边形11A EFC 是平行四边形，则11A E C F ∥，再由线面平行的判定定理可证得结论；（2）由题意可得当平面PAB ⊥平面ABC 时，该三棱锥的体积最大，由已知可得△PAB 是边长2的正三角形，从而可求出三棱锥的体积；（3）由题意可得二面角1A CC B --的平面角是1AC B ∠，利用余弦定可求出其余弦值，作1BO AC ⊥于点O ，连接PO ，则可得∠BPO 为直线1BB 与平面11ACC A 所成角，然后在BPO △中可求得结果.【小问1详解】证明：如图，设F 是BC 的中点，连接EF ，1C F ，在三棱台111ABC A B C -中，因为1112A B AB =，所以1112A C AC =，且11A C AC ∥，因为E ，F 分别是AB ，BC 的中点，所以EF AC ∥，12EF AC =，所以11A C ∥EF ，11A C EF =，所以四边形11A EFC 是平行四边形，所以11A E C F ∥，又1A E ⊄平面11B BCC ，1C F ⊂平面11B BCC ，所以1A E ∥平面11B BCC ；【小问2详解】因为2AB =，又122sin 602ABC S =⨯⨯⨯︒=△为定值，所以当平面PAB ⊥平面ABC 时，该三棱锥的体积最大．因为11A B ∥AB ，1112A B AB =，所以11,A B 分别是PA ，PB 的中点，所以2PA PB AB ===，因此△PAB 是边长2的正三角形，因为PE AB ⊥，因为平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，PE ⊂平面PAB ，所以PE ⊥平面ABC ，又PE =，则1133P ABC ABC V PE S -== △；则三棱锥P -ABC 的体积最大值为1．【小问3详解】如图，2PA AC PB BC ====，1C 是PC 的中点，则11,AC PC BC PC ⊥⊥，所以二面角1A CC B --的平面角是1AC B ∠，又11AC BC =，由余弦定理得：222111111cos 23AC BC AB AC B AC BC +-∠== ，解得113AC BC ==作1BO AC ⊥于点O ，连接PO ，因为PC ⊥平面1AC B ，所以PC BO ⊥，又11AC PC C = ，1,AC PC ⊂平面11ACC A ，所以BO ⊥平面11ACC A ，则∠BPO 为直线1BB 与平面11ACC A 所成角，由262,33PB BO ==，则22233PO PB BO =-，从而3cos 3PO BPO PB ∠==，所以直线1BB 与平面11ACC A 所成线面角的余弦值为33．19.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O 的半径为R ．A 、B 、C 为球面上三点，劣弧BC 的弧长记为a ，设0O 表示以O 为圆心，且过B 、C 的圆，同理，圆32,O O 的劣弧AC 、AB 的弧长分别记为b ，c ，曲面ABC （阴影部分）叫做球面三角形．若设二面角,,C OA B A OB C B OC A ------分别为α，β，γ，则球面三角形的面积为()2πABC S R αβγ=++- 球面．（1）若平面OAB 、平面OAC 、平面OBC 两两垂直，求球面三角形ABC 的面积；（2）若平面三角形ABC 为直角三角形，ACBC ⊥，设123,,AOC BOC AOB θθθ∠=∠=∠=．则：①求证：123cos cos cos 1θθθ+-=；②延长AO 与球O 交于点D ，若直线DA ，DC 与平面ABC 所成的角分别为ππ,43，(],0,1BE BD λλ=∈ ，S 为AC 中点，T 为BC 中点，设平面OBC 与平面EST 的夹角为θ，求sin θ的最小值，及此时平面AEC 截球O 的面积．【答案】（1）2π2R （2）①证明见解析；②sin 5θ=，253π78R 【解析】【分析】（1）根据题意结合相应公式分析求解即可；（2）①根据题意结合余弦定理分析证明；②建系，利用空间向量求线面夹角，利用基本不等式分析可知点E ，再利用空间向量求球心O 到平面AEC 距离，结合球的性质分析求解.【小问1详解】若平面OAB ，OAC ，OBC 两两垂直，有π2αβγ===，所以球面三角形ABC 面积为()22ππ2ABC S R R αβγ=++-=球面.【小问2详解】①证明：由余弦定理有：222212222222223222AC R R R cos BC R R R cos AB R R R cos θθθ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩，且222AC BC AB +=，消掉2R ，可得123cos cos cos 1θθθ+-=；②由AD 是球的直径，则,AB BD AC CD ⊥⊥，且AC BC ⊥，CD BC C ⋂=，,CD BC ⊂平面BCD ，所以AC ⊥平面BCD ，且BD ⊂平面BCD ，则AC BD ⊥，且AB AC A ⋂=，,AB AC ⊂平面ABC ，可得BD ⊥平面ABC ，由直线DA ，DC 与平面ABC 所成的角分别为ππ,43，所以ππ,43DAB DCB ∠=∠=，不妨先令R =2AD AB BD BC AC =====，由AC BC ⊥，AC BD ⊥，BC BD ⊥，以C 为坐标原点，以CB ，CA 所在直线为x ，y 轴，过点C 作BD 的平行线为z 轴，建立如图空间直角坐标系，设(,BE t t =∈，则())()0,2,0,,0,0,0,A BC D ，可得()0,1,0,,0,02S T ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，),,1,22E t O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则),22CB CO ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，,1,0,22ST TE t ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设平面OBC 法向量()111,,m x y z =，则11110022m CB m CO x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，取12z =-，则110y x ==，可得()2m =- ，设平面EST 法向量()222,,n x y z =，则22220202n ST x y n TE x tz ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，取2x =，则22,1y t z ==-，可得),,1n t =- ，要使sin θ取最小值时，则cos θ取最大值，因为cos cos,m nm nm nθ⋅======，令(]1,1,13m m=+∈，则()2218mt t-==，可得()2221888293129621218m mt m mm mm+===≤=+-+--+-+，当且仅当3,m t==取等．则cosθ10sin5θ==为最小值，此时点E，可得CE=，()0,2,0CA=，设平面AEC中的法向量(),,k x y z=，则20k CE zk CA y⎧⋅==⎪⎨⎪⋅==⎩，取1x=，则0,y z==-，可得(1,0,k=-，可得球心O到平面AEC距离为AO kdk⋅==设平面AEC截球O圆半径为r，则2225326r R d=-=，所以截面圆面积为225353πππ2678r R==.【点睛】方法点睛：1.利用空间向量求线面角的思路直线与平面所成的角θ主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角ϕ求得，即sin cosθϕ=；2.利用空间向量求点到平面距离的方法设A为平面α内的一点，B为平面α外的一点，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离AB ndn⋅=.。

高一下学期数学期末考试试题(带答案)高一下学期数学期末考试试题（带答案）一、选择题（每题4分，共40分）1. 设函数f(x) = 2x + 3，那么f(-1)等于（）A. -5B. -1C. 1D. 5【答案】A2. 已知等差数列的首项为2，公差为3，那么第10项等于（）A. 29B. 30C. 31D. 32【答案】A3. 下列四个选项中，哪个选项不是函数（）A. y = 2x + 3B. y = |x|C. y = x²D. x = 2y + 3【答案】D4. 设函数f(x) = x² - 4x + 3，那么f(2)等于（）A. -1B. 1C. 3D. 5【答案】C5. 已知函数f(x) = 3x² - 2x + 1，那么f(-1)等于（）A. -2B. -1C. 1D. 2【答案】D6. 下列四个选项中，哪个选项是等比数列（）A. 2, 4, 6, 8B. 2, 4, 8, 16C. 1, 3, 9, 27D. 1, 2, 4, 8【答案】C7. 设函数f(x) = x³ - 6x² + 9x - 1，那么f'(x)等于（）A. 3x² - 12x + 9B. 3x² - 6x + 9C. 3x² + 6x - 9D. 3x² - 6x - 9【答案】A8. 已知等比数列的首项为2，公比为3，那么第5项等于（）A. 16B. 48C. 12D. 8【答案】B9. 下列四个选项中，哪个选项是正确的三角形全等的条件（）A. SASB. SSSC. ASAD. AAS【答案】B10. 在直角坐标系中，点A(2,3)关于y轴的对称点坐标是（）A. (-2,3)B. (-2,-3)C. (2,-3)D. (-3,3)【答案】A二、填空题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x) = 2x + 3的图象经过点(0, 5)，则实数m的值为____。

保密★启用前2024年赤峰市高一年级学年联考试卷数学（答案在最后）2024.7考试范围：必修第一册，必修第二册第六章第七章第八章本试卷共22题，共150分，共8页，考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴条形码区域内.2.选择题答案必须使用2B 铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚.3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破､弄皱，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合(){}21log 1,,12xA xy x B y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==+==>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭∣，则A B ⋂=（）A.112y y ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B.102y y ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C.112yy ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D.∅2.冰嘎别名冰尜，是东北民间少年儿童游艺品，俗称“陀螺”，通常以木木镟之，大小不一，一般径寸余，下端为圆柱形，上端为锥形（如图①）.如图②所示的是一个陀螺立体结构图，已知B ，C 分别是上､下底面圆的圆心，8,3AC AB ==，底面圆的半径为2，则该陀螺的体积为（）A.24πB.32πC.56π3D.9π3.已知,αβ是两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知()()11lg ,,,354f x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则（）A.a b c <<B.b c a <<C.c a b<< D.c b a<<5.数学家泰勒给出如下公式：357sin 3!5!7!x x x x x =-+-+ ，246cos 12!4!6!x x x x =-+-+ ，其中()()!1221n n n n =⋅-⋅-⋅ .这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性.若根据以上公式估算5πsin 0.12⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，则以下数值中最精确的是（）A.0.952B.0.994C.0.995D.0.9966.若平面向量,,a b c两两的夹角相等，且2,2,3a b c === ，则a b c ++= （）A.1C.1或7D.1或7.设M 是ABC 内一点，且30AB AC BAC ∠⋅==，定义()(),,f M m n p =，其中,,m n p 分别是,,MBC MCA MAB 的面积，若()1,,2f M x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则14x y +的最小值是（）A.)91B.9C.16D.188.已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()()12,12f x f y f x y f x y f =++-=.有下列四个结论：①()02f =②()f x 为偶函数③()()6f x f x =+④()f x 在区间[]0,4上单调递减其中所有正确结论的序号为（）A.①③B.②③C.②④D.①④二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.如图是函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象，则（）A.5π6x =是函数()y f x =的一条对称轴B.()f x 的最小正周期为πC.若π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()3,2f x ⎤∈⎦D.将函数()y f x =的图象向右平移π3个单位后，得到的函数为奇函数10.下列说法正确的是（）A.已知方程e 82xx=-的解在()(),1k k k +∈Z 内，则1k =B.函数()26f x x x =--的零点是()()3,0,2,0-C.函数22x y x =-有两个不同的零点D.用二分法求函数()338xf x x =+-在区间()1,2内零点近似值的过程中得到()()()10, 1.50, 1.250f f f <><，则零点近似值在区间()1.25,1.5上11.已知O 是ABC 所在平面内一点，2π3,5,3AB AC A ===，则下列命题是真命题的是（）A.ABC 外接圆的半径为733B.ABC 3C.BC 边上中线长为192D.若O 为ABC 的外心，则BO 在BC 上的投影向量为12BC12.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12,,,,AB AA E F G H ==分别为111111,,,BB CC A B AC 的中点则下列说法正确的是（）A.,,,E F G H 四点共面B.FH 与BC 所成角的余弦值为4C.正三棱柱111ABC A B C -的外接球表面积为16π3D.点N 在四边形11ABB A 内及其边界上运动，若CN ∥平面1AGC ，则动点N 的轨迹长度为三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写到答题卡对应的位置上.13.若复数z 满足()1i 23i z -=+（其中i 是虚数单位），则z =__________.14.设平面向量()(sin ,1,cos ,a b θθ== ，若,a b不能组成平面上的一个基底，则=__________.15.已知函数()()2ln e1xf x kx =+-为偶函数，则实数k =__________.16.在边长为3的正方形ABCD 中，E 为线段CD 的三等分点，1,2CE DE BE BA BC λμ==+ ，则λμ+=__________；F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG ⋅的最小值为__________.四､解答题：本题共6小题共70分.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程.17.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中.（1）证明：1CD ∥平面1A BD ；（2）证明：BD ⊥平面1A AC ：（3）求直线1A B 与面1A AC 所成角的余弦值.18.已知()()2228(0xf x a a a b a =--⋅+->且1)a ≠是指数函数.（1）求,a b ；（2）求关于x 的不等式()()0.5log 23f x a b a -+->的解集；（3）求函数()()()242F x f x f x =--在区间[)0,3上的值域.19.已知)()()13sin ,cos ,cos ,cos ,2m x x n x x f x m n ==-=⋅-.（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若ABC 中内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且()7,0,2sin 3sin b f B A C ===，求,a c 的值及ABC 的面积.20.如图所示，在半径为2的球O 的内接八面体PABCDQ 中，顶点,P Q 分別在平面ABCD 两侧，四棱锥P ABCD -与Q ABCD -都是正四棱锥，且P 到平面ABCD 的距离为1.设二面角P AB Q --的平面角的大小为θ.（1）求该内接八面体PABCDQ 的体积；（2）求tan θ的值.21.如图，已知OPQ 是半径为2，圆心角为π3的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形.记POC ∠α=.（1）用α分別表示,OB AB 的长度：（2）当α为何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积.22.已知函数()f x 和()g x 的定义域分别为1D 和2D ，若对任意01x D ∈，恰好存在n 个不同的实数122,,n x x x D ∈ ，使得()()0i g x f x =（其中*1,2,,,i n n =⋯∈N ），则称()g x 为()f x 的“n 重覆盖函数”.（1）试判断()()2211g x xx =--≤≤是否为()()cos 1f x x x =-∈R 的“2重覆盖函数”？请说明理由；（2）若2(2)1,12()2,2ax a x x g x x x ⎧+-+-≤≤=⎨->⎩()0a ≥为()22(0)1xf x x x =>+的“2重覆盖函数”，求实数a 的取值范围：（3）函数[]x 表示不超过x 的最大整数，如][][1.21,22, 1.22⎡⎤==-=-⎣⎦.若()[][),0,1h x ax ax x =-∈为()10,4f x x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦的“2024重覆盖函数”，求正实数a 的取值范围.赤峰市高一年级学年联考数学试题数学答案2024.07一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案BABDCCDB二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.题号9101112答案BCADACDABD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分.13.214.215.116.43，52-四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）（1）在正方体111111,ABCD A B C D A D -∥BC 且11A D BC=11A BCD ∴为平行四边形，1A B ∴∥1CD ，1CD ⊄ 平面11,A BD A B ⊂平面1A BD ，1CD ∴∥平面1A BD ；（2）1111ABCD A B C D - 是正方体，1AA ∴⊥底面ABCD又BD ⊂ 底面ABCD ，1A BD ∴⊥，ABCD 是正方形，AC BD ∴⊥，又1AA ⊂ 平面1,A AC AC ⊂平面11,A AC AA AC A ⋂=，BD ∴⊥平面1A AC ；（3）设AC 与BD 交于点O ，连接1A O ，由（2）知BD ⊥平面1A AC ，所以1BAO ∠是直线1A B 与面1A AC 所成的角不妨令12AA =，在直角1AOB 中，11A O BA ==所以13cos 2BAO ∠==所以直线1A B 与面1A AC 所成角的余弦值为218.（12分）解：（1）由指数函数定义，得222180a a b ⎧--=⎨-=⎩，而且0a >且1a ≠，解得3,8a b ==，则()3xf x =；（2）不等式()()0.5log 23f x a b a -+->，即()()()0.5log 321f x f -+>，而函数()3xf x =在R 上递增，因此()0.5log 321x -+>，即()0.5log 31x ->-，则032x <-<，解得35x <<，所以原不等式的解集为()3,5.（3）()()()()2224234323432x x xx F x f x f x =--=-⋅-=-⋅-，当[)0,3x ∈，令()3,xt y F x ==，则[)1,27t ∈，所以[)242,1,27y t t t =--∈，由二次函数的性质可知， ()F t 在[)1,2上单调递减，在()2,27上单调递增，()()()min 26,276191y y y y ==-=>，函数()F x 在区间[)0,3上的值域为[)6,619-.19.（12分）解：（1）因为)(),cos ,cos ,cos m x x n x x ==-，所以()12f x m n =⋅-21cos cos 2x x x =--1cos21sin2222x x +=--1sin2cos2122x x =--πsin 216x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以()πsin 216f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由ππ3π2π22π,262k x k k +≤-≤+∈Z ，得π5πππ,36k x k k +≤≤+∈Z ，所以()f x 的单调递减区间为()π5ππ,π36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）由()0f B =，得()ππsin 210,sin 2166f B B B ⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，因为0πB <<，所以ππ11π2666B -<-<，所以ππ262B -=，得π3B =，因为2sin 3sin AC =，所以由正弦定理得23a c =，所以由余弦定理得2222229714cos 232c c a c b B ac c +-+-===，解得2c =，所以3a =.所以11sin 322222ABC S ac B ==⨯⨯⨯=.20.（12分）解：（1）设PQ 与面ABCD 交于E 因为P 到平面ABCD 的距离为1所以BE ==.BD AB ==.则1146833PABCDQ ABCD V PQ S =⋅⋅=⋅⋅=.（2）设二面角P AB C --的大小为α，二面角Q AB C --的大小为β，则二面角P AB Q --的平面角θαβ=+.设PQ 与平面ABCD 的交点为E ，取AB 中点为M ，连接,,PM QM EM ，如图所示.则,,PM AB QM AB ME AB ⊥⊥⊥，所以,PME QME ∠α∠β==.6tan 32PE ME α===，tan QE MEβ===，()6tan tan 3tan tan 1tan tan 3αβθαβαβ++=+==--.21.（12分）解析：（1）在直角三角形OBC 中，2sin BC α=，2cos OB α=在直角三角形OAD 中2sin AD BC α==，所以sin 3OA α=，2cos sin 3AB OB OA αα=-=-（2）设矩形ABCD 的面积为S 所以()232cos sin 2sin 3S AB BC ααα⎛⎫=⨯=- ⎪⎪⎝⎭2434sin cos 3S ααα=-()12sin21cos232S αα=--2sin233S αα=+-1sin2cos23223S αα⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭πsin 2363S α⎛⎫=+- ⎪⎝⎭因为π03α<<所以ππ5π2666α<+<所以当ππ262α+=，即π6α=时，max 3S =22.（12分）解析：（1）由1cos 1x -≤≤，可知()20f x -≤≤.当0x =时，()0cos010f =-=，当()0g x =时，解得0x =，此时在[]1,1-中只存在一个10x =，使()()100g x f ==，所以()g x 不是()f x 的“2重覆盖函数”；（2）由题意可得()221x f x x =+的定义域为()0,∞+，即对任意0x ∈R ，存在2个不同的实数[12,1,x x ∞∈-+），使得()()0i g x f x =（其中1,2i =），当0x >时，()0f x >且()222111x f x x x x ==≤=++，当且仅当1x =时取等号，所以()01f x <≤.即对任意()01,k g x k <≤=有2个不同实根，当2x >时，()2g x x k =-=已有一个根，故只需12x -≤≤时，()g x k =仅有1个根.当0a =时，()21g x x =-+，符合题意；当0a >时，发现()()01,131g g =-=>，则只需满足()()242210g a a =+-⨯+≤，解得102a <≤，综上得a 的取值范围为：10,2⎡⎤⎢⎣⎦.（3）因为()10,4f x x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，所以()10,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则对于任意()[)10,,,0,12m h x m x ⎡⎤∈=∈⎢⎥⎣⎦要有2024个根，()[]1,0,121,,,232,,ax x a ax x h x ax ax a a ax x a a ⎧⎡⎫∈⎪⎪⎢⎣⎭⎪⎪⎡⎫-∈⎪⎪⎢=-=⎣⎭⎨⎪⎡⎫⎪-∈⎪⎢⎪⎣⎭⎪⋯⎩作出函数的图象（部分），如图：要使()[),0,1h x m x =∈有2024个根，则4047202412a a <≤，又0a >，则404720242a <≤，故正实数a 的取值范围4047,20242⎛⎤ ⎥⎝⎦.。

泸州市高2023级高一学年末统一考试数学（答案在最后）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．共150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑．3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.若集合{}{}2Z 25,4A x x B x x x=∈-<<=<，则A B = （）A.(0,4)B.{1,2,3}C.{}1- D.(2,4)-2.设复数z 满足3(1i)3i z -=-，则z =（）A.2i+ B.2i- C.12i - D.12i+3.设 1.30.4118,,lg 23a b c -⎫⎛=== ⎪⎝⎭，则（）A.a c b <<B.a b c<< C.c b a<< D.c<a<b4.已知2tan 2α=，则cos2α=（）A.14 B.13C.12D.235.平面α与平面β平行的充分条件可以是（）A.α内有无穷多条直线都与β平行B.直线,m m αβ⊄⊄，且//,//m m αβC.直线m α⊂，直线n β⊂，且//,//m n βαD.α内的任何一条直线都与β平行6.如图，AOB 为直角三角形，1OA =，2OB =，C 为斜边AB 的中点，P 为线段OC 的中点，则AP OP ⋅＝（）A .1B.116C.14D.12-7.若圆台侧面展开图扇环的圆心角为180,︒其母线长为2，下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍，则该圆台的高为（）A.B.C.D.8.已知函数41,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x k =有4个不同的根1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则3412x x x x --的值为（）A.3B.0C.2D.6二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.任意向量a ，b ，若a b > 且a 与b同向，则a b> B.若向量PA PB PC λμ=+，且1(01)λμλ+=<<，则,,A B C 三点共线C.若0a b ⋅>，则a 与b 的夹角是锐角D.已知|6a = ，b 为单位向量，且3,π4a b = ，则a 在b上的投影向量为-10.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，满足ππ33f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()ππ2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的图象关于π2x =对称 B.1sinφ2=-C.()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D.()f x 的图象关于点13π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称11.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，已知平面1AC α⊥，则关于平面α截正方体所得截面的判断正确的是（）A.截面形状可能为正三角形B.平面α与平面ABCD 所成二面角的正弦值为3C.截面形状可能为正六边形D.截面面积的最大值为第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．12.已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当01x <<时，()2xf x =，则72f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为____________．13.计算：1sin10cos10-=︒︒__________.14.已知三棱锥S ABC -的底面是边长为3的等边三角形，且SA AB SB ==，当该三棱锥的体积取得最大值时，其外接球的表面积为____________．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量()1,1,a b =-= ，且()3a b b +⋅=．（1）求向量a 与b的夹角．（2）若向量ka b + 与a kb -互相垂直，求k 的值．16.已知函数π()sin()(0,0,||2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如下图所示．（1）求函数()f x 的解析式．（2）若将函数()f x 的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的14倍，再将其图象沿x 轴向左平移π6个单位得到函数()g x 的图象，求不等式()1g x >的解集．17.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2cos 2b C a c =+．（1）求B ；（2）若b =，且1sin sin 4A C =，求a c +．18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，,E F 分别为,PB PC 的中点，G 为线段AC 上一动点，PD⊥平面ABCD ．（1）证明：平面⊥BDF 平面A E G ；（2）当3CG AG =时，证明：//EG 平面BDF ；（3）若2AD PD =，四面体BGEF 的体积等于四棱锥P ABCD -体积的332，求GC AC的值．19.对于三个实数,,a b k ，若()()()()22111a b k a b ab --≥--成立，则称,a b 具有“性质k ”（1）写出一个数a 使之与2具有“性质1”，并说明理由；（2）若22x x --具有“性质0”，求x 的取值范围；（3）若ππ42x ≤≤，且sin x ，cos x 具有“性质k ”，求实数k 的最大值．泸州市高2023级高一学年末统一考试数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．共150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑．3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.若集合{}{}2Z 25,4A x x B x x x=∈-<<=<，则A B = （）A.(0,4)B.{1,2,3}C.{}1- D.(2,4)-【答案】B 【解析】【分析】先求出,A B ，再根据交集的定义即可得解.【详解】{}{}Z 251,0,1,2,3,4A x x =∈-<<=-，{}{}2404B x x x x x =<=<<，所以{1,2,3}A B ⋂=.故选：B.2.设复数z 满足3(1i)3i z -=-，则z =（）A.2i +B.2i- C.12i- D.12i+【答案】C 【解析】【分析】先根据复数的除法计算复数，再结合共轭复数定义即可.【详解】因为()()()()323i 1i 3i 3i 33i i+i 24i12i 1i 1i 1i 1i 22z ++-++++======+---+,所以12i z =-.故选：C.3.设 1.30.4118,,lg 23a b c -⎫⎛=== ⎪⎝⎭，则（）A.a c b <<B.a b c<< C.c b a<< D.c<a<b【答案】D 【解析】【分析】分别利用指数函数和对数函数的单调性进行比较，借助于中间值“0”即可判断三个值的大小.【详解】因为函数2x y =在R 上单调递增，所以. 1..130.31422220182b a -⎛⎫== ⎪=>=>⎝>⎭，又因为函数lg y x =在(0,)+∞上单调递增，所以1lg lg103c =<=，所以c<a<b .故选：D.4.已知tan 2α=，则cos2α=（）A.14 B.13C.12D.23【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用二倍角公式，结合正余弦齐次式法求值.【详解】依题意，222222222111cos sin 1tan 122cos2cos sin 1cos sin 1tan 3122ααααααααα----=-===+++.故选：B5.平面α与平面β平行的充分条件可以是（）A.α内有无穷多条直线都与β平行B.直线,m m αβ⊄⊄，且//,//m m αβC.直线m α⊂，直线n β⊂，且//,//m n βαD.α内的任何一条直线都与β平行【答案】D 【解析】【分析】由直线与平面、平面与平面的位置关系结合充分条件的概念依次判断即可.【详解】对于A ，若α内有无穷多条直线都与β平行，则,αβ平行或相交，故充分性不成立，故A 错误；对于B ，如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//C D 平面ABCD ，11//C D 平面11ABB A ，而平面11ABB A 平面ABCD AB =，故充分性不成立，故B 错误；对于C ，如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//A B 平面ABCD ，//CD 平面11ABB A ，而平面11ABB A 平面ABCD AB =，故充分性不成立，故C 错误；对于D ，由面面平行的定义知能推出平面α与平面β平行，故充分性成立，故D 正确.故选：D .6.如图，AOB 为直角三角形，1OA =，2OB =，C 为斜边AB 的中点，P 为线段OC 的中点，则AP OP⋅ ＝（）A.1B.116C.14D.12-【答案】B 【解析】【分析】利用数量积的定义、运算律以及向量的线性运算即可求解.【详解】因为()()1111111122222224PQ PO PA CO PA CO AO AC CA BA ⎛⎫⎡⎤=+=+=-+== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以2211512444PQ BA ==+ ，取AO 中点Q ，连接PQ ，144AP OP PA PO PA PO⋅=⋅=⋅⋅()()22221511416416PA PO PA PO PQ AQ ⎡⎤=+--=-=-⎢⎥⎣⎦.故选：B.7.若圆台侧面展开图扇环的圆心角为180,︒其母线长为2，下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍，则该圆台的高为（）A.23B.132C.3D.332【答案】C 【解析】【分析】设圆台的上底面的圆心为H ，下底面的圆心为O ，圆台的母线交于点S ，由已知易求得圆锥的母线4SB =，进而可求得上下底面的半径，利用直角梯形的性质可求圆台的高.【详解】设圆台的上底面的圆心为H ，下底面的圆心为O ，设圆台的母线交于点S ，AB 为圆台的母线，且2AB =，下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍，所以12SA HA SB OB ==，所以2SA =，所以4SB =，由圆台侧面展开图扇环的圆心角为180︒,所以下底面圆的周长为4π，所以2π4πOB = ，所以2,1OB HA ==，在直角梯形HABO 中，易求得22213OH =-=.故选：C.8.已知函数41,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x k =有4个不同的根1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则3412x x x x --的值为（）A.3 B.0C.2D.6【答案】A 【解析】【分析】作出函数图象，由对称性可知，122x x +=-，4344log log x x =，计算得341x x =，再计算3412x x x x --的结果；【详解】作出函数41,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩的图象如下由对称性可知，122x x +=-，因为4344log log x x =，由图可知3401x x <<<，所以43444344log 0,log 0log log x x x x ⇒-=则43434log 0,1x x x x =∴=，34121(2)3x x x x ---=-=，故选：A .二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.任意向量a ，b ，若a b > 且a 与b 同向，则a b> B.若向量PA PB PC λμ=+，且1(01)λμλ+=<<，则,,A B C 三点共线C.若0a b ⋅>，则a 与b 的夹角是锐角D.已知|6a =，b 为单位向量，且3,π4a b = ，则a 在b 上的投影向量为-【答案】BD 【解析】【分析】举反例判断A ，C ，利用向量共线定理判断B ，利用投影向量的定义判断D 即可.【详解】对于A ，向量不能比较大小，故A 错误，对于B ，向量PA PB PC λμ=+且1(01)λμλ+=<<时，由向量共线定理的推论，知,,A B C 三点共线，故B 正确，对于C ，当,a b 同向共线时，0a b a b ⋅=⋅>，此时夹角不是锐角，故C 错误，对于D ，由题意得1b = ，由投影向量定义得投影向量为3πcos 4b a b⋅=-，故D 正确.故选：BD10.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，满足ππ33f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()ππ2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的图象关于π2x =对称 B.1sinφ2=-C.()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D.()f x 的图象关于点13π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】BD 【解析】【分析】由已知结合正弦函数的对称性与单调性可先求出ϕ，即可判断A ，B ；然后结合正弦函数的对称性及单调性检验选项C ，D 即可判断．【详解】因为函数函数()sin(2)f x x ϕ=+，满足ππ33f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()sin(2)f x x ϕ=+的图象关于π3x =对称，故A 错误；所以πsin(2)13ϕ⨯+=±，所以2πππ,Z 32k k ϕ+=+∈，所以ππ,Z 6k k ϕ=-∈，因为()ππ2f f ⎛⎫>⎪⎝⎭，()()sin πsin 2πϕϕ+>+，即sin 0ϕ<，所以2,Z k n n =∈，所以1sin 2ϕ=-，故B 正确；则π()sin(2)6f x x =-，由π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得π5π11π(,)2666x ∈-，所以()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故C 错误；由1313ππππ0i 1212()sin(2)s n 26f =⨯==-，所以()f x 的图象关于点13π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称，故D 正确．故选：BD ．11.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，已知平面1AC α⊥，则关于平面α截正方体所得截面的判断正确的是（）A.截面形状可能为正三角形B.平面α与平面ABCD 所成二面角的正弦值为3C.截面形状可能为正六边形D.截面面积的最大值为【答案】ACD 【解析】【分析】借助正方体，画出截面图形，再对选项进行一一判断．【详解】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，连接11,,,B A D BD AC A，因为1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，则1AA BD ⊥，因为四边形ABCD 为正方形，则BD AC ⊥，又因为1AA AC A = ，1,AA AC ⊂平面11AA C C ，所以，BD ⊥平面11AA C C ，因为1AC ⊂平面11AA C C ，则1BD AC ⊥，同理可证11A B AC ⊥，因为1A B BD B ⋂=，1,A B BD ⊂平面1A BD ，则1AC ⊥平面1A BD ，所以平面α与平面1A BD 平行或重合，所以平面1A BD 与正方体的截面形状可以是正三角形，故A 正确；平面α与平面ABCD 所成二面角的正弦值为即为平面1A BD 与平面ABCD 所成的角，设AC 与BD 交于O ，连接1OA ，因为四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，又1AA ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以1AA BD ⊥，又1AA AC A = ，1,AA AC ⊂平面1AA O ，又1A O ⊂平面1AA O ，所以1BD AA ⊥，所以1AOA ∠是平面平面1A BD 与平面ABCD 所成二面角的平面角，由题意可得12A A =，进而可得12AO AC ==1A O ==，所以111sin 3AA AOA A O ∠===，所以平面α与平面ABCD 所成二面角的正弦值为3，故B 错误；当,,,,,E F N M G H 分别为对应棱的中点时，截面EFNMGH 为正六边形，因为,E H 分别为111,BB A B 的中点，则1EHA B ，因为EH ⊄平面1A BD ，1A B ⊂平面1A BD ，则//EH 平面1A BD ，同理可得//EF 平面1A BD ，又因为EH EF E =I ，,EH EF ⊂平面EFNMGH ，则平面//EFNMGH 平面1A BD ，所以，1AC ⊥平面EFNMGH ，此时截面为正六边形，故C 正确；如图设截面为多边形GMEFNH ，设1A G x =，则02x ≤≤，则,),GH ME NF MG HN EF x MN ======-=，所以多边形GMEFNH 的面积为两个等腰梯形的面积和，所以1211()()22S GH MN h MN EF h =+++ ，因为1h ==2h ==，所以11)22S x =++-=11)22S x =+-221)x =++=-+，当1x =时，max S =，故D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查空间几何体的截面问题，求解时要注意从动态的角度进行分析问题和求解问题，结合函数思想求解最值.第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．12.已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当01x <<时，()2xf x =，则72f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为____________．【答案】##122-【解析】【分析】根据周期性和奇函数的性质可得7122f f ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而可以求值.【详解】根据题意，()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，所以127111422222f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：13.计算：1sin10cos10-=︒︒__________.【答案】4【解析】【详解】()2sin 3010141sin10cos10sin202︒-︒-==︒︒︒14.已知三棱锥S ABC -的底面是边长为3的等边三角形，且SA AB SB ==，当该三棱锥的体积取得最大值时，其外接球的表面积为____________．【答案】15π【解析】【分析】先分析得三棱锥的体积取得最大值时，有平面SAB ⊥平面ABC ，分别求得ABC ，SAB △的外接圆的半径，进而可求外接球的半径，由此得解.【详解】依题意，三棱锥S ABC -的底面ABC 面积是个定值，侧面SAB 是等边三角形，顶点S 到边AB 的距离也是一个定值，所以当该三棱锥的体积取得最大值时，平面SAB ⊥平面ABC ，取AB 的中点，连接,SH CH ，,N M 分别为正三角形SAB ，ABC 的中心，所以,SH AB CH AB ⊥⊥，所以SHC ∠为二面角S AB C --的平面角，可得SH CH ⊥，过,N M 分别作平面SAB ，平面ABC 的垂线,NO MO ，两垂线交于O ，则O 为外接球的球心，由正三角形的性质可求得332SH CH ==，进而可得32NH HM ==，SN CM ==易得四边形OMHN 是正方形，所以2OM =，由勾股定理可得2OC ==，其外接球的表面积为24π15π2⎛= ⎝⎭.故答案为：15π.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量()1,1,a b =-= ，且()3a b b +⋅=．（1）求向量a 与b的夹角．（2）若向量ka b + 与a kb -互相垂直，求k 的值．【答案】（1）π3（2）1k =或1k =-【解析】【分析】（1）由向量模的坐标运算得出||a =，再根据向量数量积的定义及运算律求解即可；（2）由已知得()()·0ka b a kb +-=，根据向量数量积的运算律及已知条件代入求解即可．【小问1详解】由()1,1a =-，得||a ==a 与b的夹角为[0,π]θ∈，由()3a b b +⋅= ，23a b b ⋅+= ，又b = ，所以1a b ⋅= ，所以||||cos 1a b θ⋅= ，解得1cos 2θ=，所以向量a 与b 的夹角为π3．【小问2详解】由向量向量ka b + 与a kb - 互相垂直，得()()·0ka b a kb +-=，所以2220ka k a b a b kb -+-= ，即22120k k k -+-=，解得1k =或1k =-．16.已知函数π()sin()(0,0,||2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如下图所示．（1）求函数()f x 的解析式．（2）若将函数()f x 的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的14倍，再将其图象沿x 轴向左平移π6个单位得到函数()g x 的图象，求不等式()1g x >的解集．【答案】（1）1π()2sin(26f x x =+（2）ππ(π,πZ 66k k k -+∈【解析】【分析】（1）由图象求出A ，ω和ϕ的值即可求出函数的解析式．（2）根据函数图象变换求出()g x 的解析式，进而解不等式()1g x >即可.【小问1详解】由图象知2A =，18π2π2π233T =-=，即4πT =，又0ω>，所以2π4πω=，所以12ω=，则1()2sin()2f x x ϕ=+又函数过点2π(,2)3，所以2π12π()2sin()2323f ϕ=⨯+=，所以πsin()13ϕ+=，所以ππ2π,Z 32k k ϕ+=+∈，解得πZ π2,6k k ϕ=+∈.又π||2ϕ<，所以π6ϕ=，即1π()2sin()26f x x =+．【小问2详解】将函数()f x 的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的14倍，可得函数()1ππ42sin(4)2sin(2)266f x x x =⨯+=+，再将其图象沿x 轴向左平移π6个单位得到函数()g x 的图象，所以()ππ2sin[2()]2cos 266g x x x =++=，由()1g x >，可得2cos 21x >，所以1cos 22x >，所以ππ2π22π,Z 33k x k k -<<+∈，所以ππππ,Z 66k x k k -<<+∈，所以不等式()1g x >的解集为ππ(π,πZ 66k k k -+∈．17.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2cos 2b C a c =+．（1）求B ；（2）若b =，且1sin sin 4A C =，求a c +．【答案】（1）2π3（2）2【解析】【分析】（1）利用余弦定理定理化简等式，再根据余弦定理的推论和角的范围解出答案；（2）利用正弦定理公式结合已知条件求出1ac =，再由余弦定理求出答案.【小问1详解】因为余弦定理可得222222a b c b a c ab+-⨯=+，所以222a b c ac -+=-，因为2221cos ,(0,π)22a cb B B ac +-==-∈，所以2π3B =.【小问2详解】因为正弦定理得2sin sin sin 2a b c A B C====，所以sin ,sin ,22a cA C ==又1sin sin 4A C =，所以1224a c ⨯=，即1ac =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即221322a c ac ⎛⎫=+-⨯-⎪⎝⎭，222233()4()a c ac ac a c a c =++⇒+=+⇒=+因为,0a c >，所以2a c +=.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，,E F 分别为,PB PC 的中点，G 为线段AC 上一动点，PD⊥平面ABCD．（1）证明：平面⊥BDF 平面A E G ；（2）当3CG AG =时，证明：//EG 平面BDF ；（3）若2AD PD =，四面体BGEF 的体积等于四棱锥P ABCD -体积的332，求GCAC的值．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）34【解析】【分析】（1）设AC 与BD 交于O ，连接OE ，易得AC BD ⊥，由已知可证PD BD ⊥，进而可证OE BD ⊥，利用线面垂直的判定定可证BD ⊥平面A E G ，可证结论成立；（2）连接CE 交BF 于点M ，连接EF ，连接OM ，则O 为AC 的中点，利用相似比证明//OM GE ，再根据线面平行的判定定理即可得证；（3）由题意可得34A BEF G BEF V V --=，可求得GCAC的值.【小问1详解】设AC 与BD 交于O ，连接OE ，因为四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，且O 为BD 的中点，又PD⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以PD BD ⊥，因为E 是PB 的中点，所以//PD OE ，所以OE BD ⊥，又OE AC O ⋂=，,OE AC ⊂平面A E G ，所以BD ⊥平面A E G ，又BD ⊂平面BDF ，所以平面⊥BDF 平面A E G ；【小问2详解】连接CE 交BF 于点M ，连接EF ，连接OM ，则O 为AC 的中点，因为3CG AG =，所以12OG OC =，因为,E F 分别为,PB PC 的中点，所以M 为PBC 的重心，所以12ME MC =，所以ME OGMC OC=，所以//OM GE ，又OM ⊂平面BDF ，EG ⊄平面BDF ，所以//EG 平面BDF ；【小问3详解】由PD⊥平面ABCD ，可得22P ABCD P ABC A PBC V V V ---==，因为,E F 分别为,PB PC 的中点，所以14BEF PEF PBC S S S ==，所以4A PBC A BEF V V --=，所以228P ABCD P ABC A PBC A BEF V V V V ----===又四面体BGEF 的体积等于四棱锥P ABCD -体积的332，所以34A BEF G BEF V V --=，所以点,G A 平面BEF 的距离之比为34，所以34GC AC =.19.对于三个实数,,a b k ，若()()()()22111a b k a b ab --≥--成立，则称,a b 具有“性质k ”（1）写出一个数a 使之与2具有“性质1”，并说明理由；（2）若22x x --具有“性质0”，求x 的取值范围；（3）若ππ42x ≤≤，且sin x ，cos x 具有“性质k ”，求实数k 的最大值．【答案】（1）2a =（答案不唯一），理由见解析.（2）443535log log 22x x x ⎧-+⎪≤≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭或（3）0【解析】【分析】（1）2a =代入a 与2具有“性质1”的不等式进行验证；（2）根据题意得不等式()()2222110x x-⎡⎤---≥⎢⎥⎣⎦，化简得4403x x -+-≥，解不等式求出x 的取值范围；（3）根据题意条件列出不等式进行化简分离变量()()22cos sin sin cos 1sin cos x xk x x x x ≤--，令[]t=sin cos ,0,1x x t -∈，变形得2224321()12222112t t t k t t t t --+≤=+⎛⎫--⎪⎝⎭，构造新函数43212,22t t y t t++-=利用导数求得新函数的最小值，从而得到实数k 的最大值；【小问1详解】2a =与2具有“性质1”.当2a =时，()()()()222121122122--≥⨯--⨯，即90>，则2与2具有“性质1”【小问2详解】若22x x --具有“性质0”，所以()()2222110x x -⎡⎤---≥⎢⎥⎣⎦，即()22210442104430x x x x x x -----≥⇒+--≥⇒+-≥，令4,0xt t =>，所以2131300t t t t t -++-≥⇒≥，所以2310t t -+≥，解得302t -<≤或32t ≥即3042x <≤或342x +≥所以43log 2x -≤或43log 2x ≥因此x 的取值范围443535log log 22x x x ⎧+⎪≤≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭或【小问3详解】若ππ42x ≤≤，且sin x ，cos x 具有“性质k ”，所以()()()()22sin 1cos 1sin cos 1sin cos x x k x x x x --≥--，因为ππ42x ≤≤，所以sin x >cos x ，cos 0,1cos 0sin sin x x x x ->->，化简得()()()()2222cos sin cos sin sin cos 1sin cos sin cos 1sin cos x x x x k x x x x k x x x x ≥--⇒≤--，令[]t=sin cos ,0,1x x t -∈，两边平方得212t sinxcosx -=，2224321()12222112t t t k t t t t --+≤=+⎛⎫-- ⎪⎝⎭令43212,22t t y t t ++-=求导得()()()()()()3324264222322442212265512221t t t t t t t t t t y t t t t -++--+++--=+'=+，令462551()h t t t t =+--，求导得534220102(3105)()6h t t t t t t t '=+-=+-令()0h t '=，解得0,1t t ==，当()0,()t h t h t '=<在上单调递减；当()0,()t h t h t '=>在上单调递增；又因为(0)1,(1)0,h h =-=所以()0h t <，因此0'<y ，即y 在[]0,1单调递减，当1t =时，y 取最小值为0，进而得到0k ≤，实数k 的最大值为0.【点睛】含参不等式恒成立问题1.对参数分类讨论2.函数恒等变形和不等式放缩法相结合解题3.参变分离和函数导数结合解题。

高一下学期期末考试数学试题第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}A |2,x x x R =≤∈，集合B 为函数y lg(1)x =-的定义域，则B A I （ ） A ．(1,2) B ．[1,2] C ．[1,2) D ．(1,2]2.已知20.5log a =，0.52b =，20.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．c b a <<3.一个单位有职工800人，其中高级职称160人，中级职称300人，初级职称240人，其余人员100人，为了解职工收入情况，现采取分层抽样的方法抽取容量为40的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别为（ ）A ．15,24,15,19B ．9,12,12,7C ．8,15,12,5D ．8,16,10,6 4.已知某程序框图如图所示，若输入实数x 为3，则输出的实数x 为（ ）A ．15B ．31 C.42 D ．63 5.为了得到函数4sin(2)5y x π=+，x R ∈的图像，只需把函数2sin()5y x π=+，x R ∈的图像上所有的点（ ）A ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍．B ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标伸长到原来的2倍．C ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标缩短到原来的12倍． D ．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标伸长到原来的2倍．6.函数()1ln f x x x=-的零点所在的区间是（ ）A ．(0,1)B ．(1,2) C.(2,3) D ．(3,4)7.下面茎叶图记录了在某项体育比赛中，九位裁判为一名选手打出的分数情况，则去掉一个最高分和最低分后，所剩数据的方差为（ ）A ．327 B ．5 C.307D ．4 8.已知函数()222cos 2sin 1f x x x =-+，则（ ）A ．()f x 的最正周期为2π，最大值为3．B ．()f x 的最正周期为2π，最大值为1． C.()f x 的最正周期为π，最大值为3． D ．()f x 的最正周期为π，最大值为1．9.平面向量a r 与b r 的夹角为23π，(3,0)a =r ，||2b =r ，则|2|a b +=r r （ ）A C.7 D ．3 10.已知函数2log (),0()(5),0x x f x f x x -<⎧=⎨-≥⎩，则()2018f 等于（ ）A ．1-B ．2 C.()f x D ．111.设点E 、F 分别为直角ABC ∆的斜边BC 上的三等分点，已知3AB =，6AC =，则AE AF ⋅u u u r u u u r（ ）A ．10B ．9 C. 8 D ．712.气象学院用32万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启动的第一天连续使用，第n 天的维修保养费为446(n )n N *+∈元，使用它直至“报废最合算”（所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少）为止，一共使用了（ ）A ．300天B ．400天 C.600天 D ．800天第Ⅱ卷 非选择题二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知θ为锐角且4tan 3θ=，则sin()2πθ-= ． 14.A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点B ，连接A 、B 两点，它是一条弦，它的长度不小于半径的概率为 ．15.若变量x ，y 满足2425()00x y x y f x x y +≤⎧⎪+≤⎪=⎨≥⎪⎪≥⎩，则32z x y =+的最大值是 ．16.关于x 的不等式232x ax >+（a为实数）的解集为，则乘积ab 的值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在ABC ∆中，角A ，B C ，所对应的边分别为a ，b ，c ，且5a =，3A π=，cos B =（1）求b 的值； （2）求sin C 的值．18. 已知数列{}n a 中，前n 项和和n S 满足22n S n n =+，n N *∈．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 19. 如图，在ABC ∆中，点P 在BC 边上，AC AP >，60PAC ∠=︒，PC =10AP AC +=．（1）求sin ACP ∠的值；（2）若APB ∆的面积是，求AB 的长．20. 已知等差数列{}n a 的首项13a =，公差0d >．且1a 、2a 、3a 分别是等比数列{}n b 的第2、3、4项． （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足2 (n 1)(n 2)n n na c ab =⎧=⎨⋅≥⎩，求122018c c c +++L 的值（结果保留指数形式）．21.为响应党中央“扶贫攻坚”的号召，某单位知道一贫困村通过种植紫甘薯来提高经济收入．紫甘薯对环境温度要求较高，根据以往的经验，随着温度的升高，其死亡株数成增长的趋势．下表给出了2018年种植的一批试验紫甘薯在不同温度时6组死亡株数：经计算：615705i i i x y ==∑，6214140ii x ==∑，62110464i i y ==∑≈0.00174．其中i x ，i y 分别为试验数据中的温度和死亡株数，1,2,3,4,5,6.i =（1）y 与x 是否有较强的线性相关性？请计算相关系数r （精确到0.01）说明．（2）求y 与x 的回归方程ˆˆˆ+a y bx =（ˆb 和ˆa 都精确到0.01）；（3）用（2）中的线性回归模型预测温度为35C ︒时该批紫甘薯死亡株数（结果取整数）． 附：对于一组数据11(,v )u ，22(,v )u ，L L ，(,v )n n u ，①线性相关系数ni i u v nu vr -=∑，通常情况下当|r |大于0.8时，认为两个变量具有很强的线性相关性．②其回归直线ˆˆv u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 1221ˆni i i nii u v nu vunu β==-=-∑∑，ˆˆˆav u β=-；22.已知函数()2lg(a)1f x x =+-，a R ∈． （1）若函数()f x 是奇函数，求实数a 的值；（2）在在（1）的条件下，判断函数()y f x =与函数lg(2)xy =的图像公共点各数，并说明理由；（3）当[1,2)x ∈时，函数lg(2)x y =的图像始终在函数lg(42)xy =-的图象上方，求实数a 的取值范围．答案一、选择题答案9. 【解析】方法1： (1,b =-,2(1,a b +=±,|2|13a b +=。

遵义市2023~2024学年度第二学期期末质量监测高一数学（答案在最后）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,2,3,4A =，{}3,4,5,6B =，则()U A B =ð（）A.{}1,3,5 B.{}2,4,6 C.{}1,2,5,6 D.{}3,5,62.在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若10a =，14b =，23B π=，则sin A =（）A. B.514C.514-D.143.如图，向量AB a =，BD b =，DC c = ，则AC 向量可以表示为（）A.a b c++r r rB.a b c+-r r rC.a b c -+r r rD.a b c--4.已知3sin 4α=，且π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 2α=（）A.8-B.378C.9714-D.97145.某中学高一年级甲、乙两班参加了物理科的调研考试，其中甲班40人，乙班35人，甲班的平均成绩为82分，乙班的平均成绩为85分，那么甲、乙两班全部75名学生的平均成绩是多少分（）A.82.4B.82.7C.83.4D.83.56.已知()1,2A ，()2,3B ，()2,5C -，则三角形ABC 的面积为（）A.3B.5C.7D.87.遵义市正安县被誉为“中国吉他之乡”，正安县地标性建筑“大吉他”位于正安县吉他广场的中心，现某中学数学兴趣小组准备在吉他广场上对正安“大吉他”建筑的高度进行测量，采用了如图所示的方式来进行测量：在地面选取相距30米的C 、D 两观测点，且C 、D 与“大吉他”建筑的底部B 在同一水平面上，在C 、D 两观测点处测得“大吉他”建筑顶部A 的仰角分别为45︒，30︒，测得30CBD ∠=︒，则“大吉他”建筑AB 的估计高度为多少米（）A.米B.34米C.米D.30米8.已知函数()f x 的定义域为R ，()()()2f x y f x f y +=+-，则（）A.()00f = B.函数()2f x -是奇函数C.若()22f =，则()20242f =- D.函数()f x 在()0,∞+单调递减二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数23i z =+（i 是虚数单位），则下列正确的是（）A.z =B.z 的虚部是3C.若i z t +是实数，则0=t D.复数z 的共轭复数为23iz =-+10.已知事件A 、B 发生的概率分别为()13P A =，()14P B =，则下列说法正确的是（）A.若A 与B 相互独立，则()12P A B = B.若()14P AB =，则事件A 与B 相互独立C.若A 与B 互斥，则()12P A B =D.若B 发生时A 一定发生，则()14P AB =11.将函数sin 1y x =+图象上所有的点向左平移π3个单位，再把所得各点的横坐标缩短为原来的12π（纵坐标不变）得到函数()y f x =的图象，则下列关于()y f x =说法正确的是（）A.()f x 的最小正周期为1B.()f x 在5ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数C.对于任意x ∈R 都有()223f x f x ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭D.若方程()1102f x ωω⎛⎫=> ⎪⎝⎭在[)0,2上有且仅有4个根，则117,63ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知角的终边经过点1(2P ，则tan α的值为____________．13.若函数()sin()f x A x ωϕ=+0,0,||2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则函数()y f x =的解析式为_______．14.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，如图是一个正八边形的窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正八边形，正八边形ABCDEFGH 的边长为4，P 是正八边形ABCDEFGH 内的动点（含边界），则AP AB ⋅的取值范围为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量()1,4a =- ，()2,1b =-r（1）求5877a b -；（2）若向量()2,c m = ，向量ma c + 与向量a mb +共线，求m 的值．16.2024年5月3日，搭载嫦娥六号探测器的长征五号遥八运载火箭，在中国文昌航天发射场成功发射，这是我国航天器继嫦娥五号之后，第二次实现月球轨道交会对接，为普及探月知识，某校开展了“探月科普知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于80分的学生被评为“探月达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．（1）估计参加这次竞赛的学生成绩的75%分位数；（2）若在抽取的80名学生中，从成绩在[)70,80，[)80,90，[]90,100中采用分层抽样的方法随机抽取6人，再从这6人中选择2人，求被选中的2人均为“探月达人”的概率．17.已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos sin sin 2A BC a b a cπ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=+-（1）求角B ；（2）若点D 在AC 上，BD 为ABC ∠的角平分线，3BD =，求2a c +的最小值．18.已知函数()()π14sin cos R 6f x x x x ⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭（1）求函数()f x 的最小值，以及()f x 取得最小值时x 的集合；（2）已知ππ2βα<<<，π82125f αβ-⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π102613f β⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求cos α的值．19.若函数()f x 在定义域区间[],a b 上连续，对任意1x ，[]2,x a b ∈恒有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥⎪⎝⎭，则称函数()f x 是区间[],a b 上的上凸函数，若恒有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，则称函数()f x 是区间[],a b 上的下凸函数，当且仅当12x x =时等号成立，这个性质称为函数的凹凸性．上述不等式可以推广到取函数定义域中的任意n 个点，即若()f x 是上凸函数，则对任意1x ，2x ，…，[],n x a b ∈恒有()()()1212n nf x f x f x x x x f n n ++++++⎛⎫≥⎪⎝⎭，若()f x 是下凸函数，则对任意1x ，2x ，…，[],n x a b ∈恒有()()()1212n n f x f x f x x x x f n n ++++++⎛⎫≤⎪⎝⎭，当且仅当12n x x x === 时等号成立．应用以上知识解决下列问题：（1）判断函数()()21R f x x x =+∈在定义域上是上凸函数还是下凸函数（说明理由）；（2）证明()sin h x x =，()0,πx ∈上是上凸函数；（3）若A 、B 、C 、()0,πD ∈，且πA B C D +++=，求sin sin sin sin A B C D +++的最大值．遵义市2023~2024学年度第二学期期末质量监测高一数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,2,3,4A =，{}3,4,5,6B =，则()U A B =ð（）A.{}1,3,5 B.{}2,4,6 C.{}1,2,5,6 D.{}3,5,6【答案】C 【解析】【分析】根据交集和补集含义即可得到答案.【详解】由题意得{}3,4A B = ，则(){}1,2,5,6U A B = ð.故选：C.2.在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若10a =，14b =，23B π=，则sin A =（）A.5314-B.514C.514-D.14【答案】D 【解析】【分析】根据正弦定理即可得到答案.【详解】根据正弦定理有sin sin a b A B =，即10sin 2A =sin 14A =.故选：D.3.如图，向量AB a =，BD b =，DC c = ，则AC 向量可以表示为（）A.a b c ++r r rB.a b c+-r r rC.a b c-+r r rD.a b c--【答案】A【解析】【分析】利用图形结合向量线性运算即可.【详解】AC AD DC A a b c B BD DC =+=++++=.故选：A.4.已知3sin 4α=，且π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 2α=（）A. B.8C.14-D.14【答案】B 【解析】【分析】首先求出cos 4α=，再利用二倍角正弦公式即可.【详解】因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 4α=，则cos 4α==，则3sin 22sin cos 24ααα==⨯⨯.故选：B.5.某中学高一年级甲、乙两班参加了物理科的调研考试，其中甲班40人，乙班35人，甲班的平均成绩为82分，乙班的平均成绩为85分，那么甲、乙两班全部75名学生的平均成绩是多少分（）A.82.4B.82.7C.83.4D.83.5【答案】C 【解析】【分析】根据平均数计算公式直接求解即可.【详解】全班75名学生的平均成绩4035828583.47575x =⨯+⨯=.故选：C .6.已知()1,2A ，()2,3B ，()2,5C -，则三角形ABC 的面积为（）A.3B.5C.7D.8【答案】A 【解析】【分析】根据两点间的距离判定三角形为直角三角形，求解即可.【详解】||AB == ，||BC ===,||AC ===222||||AC AB BC ∴+=，所以三角形ABC 为直角三角形，1=2S ∴⨯，故选：A .7.遵义市正安县被誉为“中国吉他之乡”，正安县地标性建筑“大吉他”位于正安县吉他广场的中心，现某中学数学兴趣小组准备在吉他广场上对正安“大吉他”建筑的高度进行测量，采用了如图所示的方式来进行测量：在地面选取相距30米的C 、D 两观测点，且C 、D 与“大吉他”建筑的底部B 在同一水平面上，在C 、D 两观测点处测得“大吉他”建筑顶部A 的仰角分别为45︒，30︒，测得30CBD ∠=︒，则“大吉他”建筑AB 的估计高度为多少米（）A.米 B.34米C.米D.30米【答案】D 【解析】【分析】根据仰角可得BC AB h ==，BD ==，在三角形BCD 利用余弦定理即可求解.【详解】设教学楼的高度为h ，在直角三角形ABC 中，因为45ACB ∠= ，所以BC AB h ==，在直角三角形ABD 中，因为30ADB ∠= ，所以tan 30ABBD= ，所以BD ==，在BCD △中，由余弦定理可得2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅∠，代入数值可得)22233022h h =+-⨯，解得30h =或30h =-（舍），故选：D.8.已知函数()f x 的定义域为R ，()()()2f x y f x f y +=+-，则（）A.()00f = B.函数()2f x -是奇函数C.若()22f =，则()20242f =- D.函数()f x 在()0,∞+单调递减【答案】B 【解析】【分析】对A ，赋值法令0x y ==求解；对B ，赋值法结合奇函数的定义判断；对C ，令2y =求得函数的周期求解；对D ，利用单调性定义结合赋值法求解判断.【详解】对于A ，令0x y ==，可得()()()0002f f f =+-，解得()02f =，故A 错误；对于B ，令y x =-，可得()()()02f f x f x =+--，又()02f =，则()()()222f x f x f x ⎡⎤--=-+=--⎣⎦，所以函数()2f x -是奇函数，故B 正确；对于C ，令2y =，得()()()()222f x f x f f x +=+-=，则()f x 是周期函数，周期为2，所以()()202402f f ==，故C 错误；对于D ，令1x x =，21y x x =-，且210x x >>，则()()()1211212f x x x f x f x x +-=+--，即()()()21212f x f x f x x -=--，而0x >时，()f x 与2大小不定，故D 错误.故选：B.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数23i z =+（i 是虚数单位），则下列正确的是（）A.z =B.z 的虚部是3C.若i z t +是实数，则0=tD.复数z 的共轭复数为23iz =-+【答案】AB 【解析】【分析】对A ，根据复数的模的计算公式即可判断；对B ，根据复数虚部的定义即可判断；对C ，根据复数的分类可判断；对D ，根据共轭复数的定义即可判断.【详解】对于A ，z ==A 正确；对于B ，复数23i z =+的虚部为3，故B 正确；对于C ，因为()i 23i z t t +=++是实数，则30t +=，即3t =-，故C 错误；对于D ，复数23i z =+的共轭复数为23i z =-，故D 错误.故选：AB.10.已知事件A 、B 发生的概率分别为()13P A =，()14P B =，则下列说法正确的是（）A.若A 与B 相互独立，则()12P A B = B.若()14P AB =，则事件A 与B 相互独立C.若A 与B 互斥，则()12P A B = D.若B 发生时A 一定发生，则()14P AB =【答案】ABD 【解析】【分析】根据互斥事件和独立事件的概率公式逐项判断.【详解】对于A ，若A 与B 相互独立，则()()()1113412P AB P A P B ==⨯=，所以()()()()111134122P A B P A P B P AB ⋃=+-=+-=，故A 对；对于B ，因为()13P A =，()14P B =，则()()131144P B P B =-=-=，因为()()()131344P A P B P AB =⨯==，所以事件A 与B 相互独立，故B 对；对于C ，若A 与B 互斥，则()()()1173412P A B P A P B ⋃=+=+=，故C 错；对于D ，若B 发生时A 一定发生，则B A ⊆，则()()14P AB P B ==，故D 对．故选：ABD11.将函数sin 1y x =+图象上所有的点向左平移π3个单位，再把所得各点的横坐标缩短为原来的12π（纵坐标不变）得到函数()y f x =的图象，则下列关于()y f x =说法正确的是（）A.()f x 的最小正周期为1B.()f x 在5ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数C.对于任意x ∈R 都有()223f x f x ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭D.若方程()1102f x ωω⎛⎫=> ⎪⎝⎭在[)0,2上有且仅有4个根，则117,63ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【答案】AC 【解析】【分析】根据图象变换得到()f x 的解析式，进而可判断A ，B ，C 选项；对D ，题意转化为πsin π03x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭在[)0,2上有且仅有4个根，根据正弦函数的性质求解判断.【详解】把函数sin 1y x =+图象上所有的点向左平移π3个单位，可得πsin 13y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再把所得各点的横坐标缩短为原来的12π（纵坐标不变）得到函数()πsin 2π13f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，对于A ，周期2π12πT ==，故A 正确；对于B ，令πππ2π2π2π232k x k -+≤+≤+，Z k ∈，即511212k x k -++≤≤，Z k ∈，所以函数()f x 的单调递增区间为51,1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，故B 错误；对于C ，()22ππsin 2π1sin 2π13333f x f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=++++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦5ππsin 2πsin 2π233x x ⎛⎫⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππsin 2π2πsin 2π233x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+--+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππsin 2πsin 2π2233x x ⎛⎫⎛⎫=---+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故C 正确；对于D ，根据题意方程112f x ω⎛⎫= ⎪⎝⎭即πsin π03x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭在[)0,2上有且仅有4个根，ππππ2π333x ωω∴≤+<+，由正弦函数性质得π4π2π5π3ω<+≤，解得11763ω<≤，故D 错误.故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知角的终边经过点1(2P ，则tan α的值为____________．【答案】【解析】【详解】试题分析：．考点：三角函数的定义13.若函数()sin()f x A x ωϕ=+0,0,||2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则函数()y f x =的解析式为_______．【答案】1()2sin(24f x x π=+【解析】【分析】根据函数()f x 的图象求得2,4A T π==，得到1()2sin()2f x x ϕ=+，再由(22f π=和题设条件，求得4πϕ=，即可求得函数的解析式.【详解】由函数()f x 的图象可得72,()422A T πππ==--=，所以22142T ππωπ===，即1()2sin()2f x x ϕ=+，又由()22f π=，即1sin()122πϕ⨯+=，可得2,42k k Z ππϕπ+=+∈，即2,4k k Z πϕπ=+∈，又因为||2ϕπ<，所以4πϕ=，所以1()2sin()24f x x π=+.故答案为：1()2sin(24f x x π=+.14.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，如图是一个正八边形的窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正八边形，正八边形ABCDEFGH 的边长为4，P 是正八边形ABCDEFGH 内的动点（含边界），则AP AB ⋅的取值范围为________．【答案】⎡-+⎣【解析】【分析】建立平面直角坐标系，得到向量的坐标，用向量的数量积坐标运算即可求解.【详解】以A 为坐标原点，,AB AF 所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，则()()0,0,4,0A B 过H 作AF的垂线，垂足为N ，正八边形ABCDEFGH 中，边长为4，所以()821801358HAB ︒︒-⨯∠==，所以AN HN =，所以222AN HN HA AN +=⇒=，所以4AF =+，设(),P x y ，则()()4,0,,AB AP x y == ，所以4AP AB x ⋅=，因为P 是正八边形ABCDEFGH 内的动点（含边界），所以x 的范围为4x -≤≤+所以416x -≤≤+故答案为：⎡-+⎣.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量()1,4a =- ，()2,1b =-r（1）求5877a b -；（2）若向量()2,c m = ，向量ma c + 与向量a mb +共线，求m 的值．【答案】（1）5（2）1-或89【解析】【分析】（1）根据向量的坐标运算，向量模的公式运算得解；（2）根据向量的坐标运算求得ma c + 和a mb +坐标，再由向量共线即可计算出m 的值.【小问1详解】因为()1,4a =- ，()2,1b =-r，所以()5858582,43,4777777a b ⎛⎫-=--⨯⨯+=- ⎪⎝⎭r r ，所以58577a b -==r r .【小问2详解】因为()2,5ma c m m +=-+r r ，()21,4a mb m m +=--+r r，又ma c + 与a mb +共线，所以()()()24521m m m m -+-+=-，所以2980m m +-=，解得1m =-或89.所以m 的值为1-或89.16.2024年5月3日，搭载嫦娥六号探测器的长征五号遥八运载火箭，在中国文昌航天发射场成功发射，这是我国航天器继嫦娥五号之后，第二次实现月球轨道交会对接，为普及探月知识，某校开展了“探月科普知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于80分的学生被评为“探月达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．（1）估计参加这次竞赛的学生成绩的75%分位数；（2）若在抽取的80名学生中，从成绩在[)70,80，[)80,90，[]90,100中采用分层抽样的方法随机抽取6人，再从这6人中选择2人，求被选中的2人均为“探月达人”的概率．【答案】（1）82.5；（2）15.【解析】【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，结合75%分位数的意义列式计算即得.（2）求出抽取的6人中，“探月达人”人数，再利用列举法求出概率.【小问1详解】由频率分布直方图知，成绩在[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90)内的频率依次为：0.05,0.15,0.2,0.3,0.2，则成绩在80分以下的频率为0.7，成绩在90分以下频率为0.9，因此参加这次竞赛的学生成绩的75百分位数为(80,90)x ∈，由(80)0.020.05x -⨯=，解得82.5x =，所以参加这次竞赛的学生成绩的75百分位数为82.5.【小问2详解】由于0.30.20.163,62,610.30.20.10.30.20.10.30.20.1⨯=⨯=⨯=++++++，则6人中，成绩在[70,80),[80,90),[90,100]内的学生分别为3人，2人，1人，其中有3人为“探月达人”，设为a ，b ，c ，有3人不是“探月达人”，设为,,d e f ，则从6人中选择2人作为学生代表，有,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad ae af bc bd be bf cd ce cf de df ef ，共15种，其中2人均为“探月达人”为,,ab ac bc ，共3种，所以被选中的2人均为“探月达人”的概率为31155=.17.已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos sin sin 2A BC a b a cπ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=+-（1）求角B ；（2）若点D 在AC 上，BD 为ABC ∠的角平分线，BD =，求2a c +的最小值．【答案】（1）π3B =（2）6+【解析】【分析】（1）利用正弦定理进行角换边，再结合余弦定理即可得到答案；（2）根据面积法得1112a c +=，再利用乘“1”法即可得到最小值.【小问1详解】因为sin sin sin C A Ba b a c-=+-，所以由正弦定理可得c a ba b a c-=+-，即222a c b ac +-=，又因为222cos 2a c b B ac+-=，则1cos 2B =，因为(0,π)B ∈，所以π3B =.【小问2详解】因为ABD CBD ABC S S S += 所以1π1π1πsin sin sin 262623AB BD BC BD AB BC ⨯+⨯=⨯，因为BD =，所以c BD a BD ⨯+⨯=，所以2()c a ac ⨯+=，即1112a c +=，所以22242(2)66c a a c a c a c a c ⎛⎫+=++=++≥+⎪⎝⎭，当且仅当22a c ==+时，2a c +取得最小值6+.18.已知函数()()π14sin cos R 6f x x x x ⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭（1）求函数()f x 的最小值，以及()f x 取得最小值时x 的集合；（2）已知ππ2βα<<<，π82125f αβ-⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π102613f β⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求cos α的值．【答案】（1）最小值为2-，x 的集合为,|ππZ 3x x k k ⎧⎫⎨⎬⎩⎭=-+∈（2）6365-【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换得π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则得到其最小值和此时所对应的x 的集合；（2）首先求出4sin()5αβ-=，再计算出3cos()5αβ-=，5cos 13β=-，12sin 13β=，最后化简为繁，利用两角和的余弦公式即可得到答案.【小问1详解】21()14sin cos cos 1cos 2cos 22f x x x x x x x ⎛⎫=-++=-++ ⎪ ⎪⎝⎭π121cos 22sin 26x x x ⎛⎫=-+++=+ ⎪⎝⎭当ππ22π,Z 62x k k +=-+∈，即ππ,Z 3x k k =-+∈时，()f x 取得最小值2-，此时x 的集合为,|ππZ 3x x k k ⎧⎫⎨⎬⎩⎭=-+∈.【小问2详解】πππ82sin 22sin()21221265f αβαβαβ⎛⎫--⎛⎫⎛⎫-=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则4sin()5αβ-=，因为ππ2β<<，所以ππ2β-<-<-，又因为ππ2α<<，所以ππ22αβ-<-<，所以3cos()5αβ-=，因为πππ102sin 22sin 2cos 26266213f βπβββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以5cos 13β=-，因为ππ2β<<，所以12sin 13β==，cos cos[()]cos()cos sin()sin ααββαββαββ=-+=---354126351351365⎛⎫=⨯--⨯=- ⎪⎝⎭.19.若函数()f x 在定义域区间[],a b 上连续，对任意1x ，[]2,x a b ∈恒有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥⎪⎝⎭，则称函数()f x 是区间[],a b 上的上凸函数，若恒有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，则称函数()f x 是区间[],a b 上的下凸函数，当且仅当12x x =时等号成立，这个性质称为函数的凹凸性．上述不等式可以推广到取函数定义域中的任意n 个点，即若()f x 是上凸函数，则对任意1x ，2x ，…，[],n x a b ∈恒有()()()1212n n f x f x f x x x x f n n ++++++⎛⎫≥⎪⎝⎭，若()f x 是下凸函数，则对任意1x ，2x ，…，[],n x a b ∈恒有()()()1212n n f x f x f x x x x f n n ++++++⎛⎫≤⎪⎝⎭，当且仅当12n x x x === 时等号成立．应用以上知识解决下列问题：（1）判断函数()()21R f x x x =+∈在定义域上是上凸函数还是下凸函数（说明理由）；（2）证明()sin h x x =，()0,πx ∈上是上凸函数；（3）若A 、B 、C 、()0,πD ∈，且πA B C D +++=，求sin sin sin sin A B C D +++的最大值．【答案】（1）下凸函数，理由见解析（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）作差()()121222f x f x x x f ++⎛⎫-⎪⎝⎭，化简即可证明；（2）任意取12,(0,π)x x ∈，作差()()12122112sin sin cos cos 222222h x h x x x x x x x h ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再分析其符号即可；（3）根据（2）中结论得sin sin sin sin sin 44A B C D A B C D ++++++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，代入计算即可得到答案.【小问1详解】下凸函数，理由如下：任意取12,R x x ∈，因为()()()()22221212*********22424f x f x x x x x x x x x f ++-+++⎛⎫-=+-=- ⎪⎝⎭即()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，当且仅当12x x =时等号成立，故2()1(R)f x x x =+∈是下凸函数.【小问2详解】任意取12,(0,π)x x ∈，不妨设12x x ≤，()()12121212sin sin sin 2222h x h x x x x x x x h ++++⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12121122sincos cos sin sin cos sin cos 22222222x x x x x x x x=+--2112sin sin cos cos 2222x x x x ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，由于12π0222x x <≤<，根据sin y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，cos y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则2112sin sin ,cos cos 2222x x x x ≥≥，所以()()121222h x h x x x h ++⎛⎫≥⎪⎝⎭，即函数()h x 是上凸函数.【小问3详解】当(0,,π,),A B C D ∈，且πA B C D +++=，由（2）知()sin ,(0,π)h x x x =∈是上凸函数，所以sin sin sin sin πsin sin 4442A B C D A B C D++++++⎛⎫≤==⎪⎝⎭，故πsin sin sin sin 4sin 4sin 244A B C D A B C D +++⎛⎫+++≤== ⎪⎝⎭所以当且仅当π4A B C D ====时等号成立，即sin sin sin sin A B C D +++的最大值为.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是作差因式分解得()()12122112sin sin cos cos 222222h x h x x x x x x x h ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再分析其正负即可.。

秘密★启用前广安市2023—2024学年度下期期末教学质量检测高一数学试题本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名､座位号和准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.5.考试结束后，只将答题卡交回.第I 卷（选择题，共58分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数所表示的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.从小到大排列的数据的第三四分位数为（）A.B.9C.D.103.复数满足，则（ ）A. B.C.D.4.如图，在梯形中，在上，且，设，则（）A. B.C. D.()3i 1i -1,2,3,7,8,9,10,11172192z 1i22iz z +-=+z =31i 515--31i 515-+11i 155-11i 155+ABCD 2,AB DC E =BC 12CE EB =,AB a AD b == DE =1233a b + 1233a b - 2133a b + 2133a b -5.已知表示两条不同直线，表示平面，则（ ）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则6.一艘船向正北航行，在处看灯塔在船的北偏东方向上，航行后到处，看到灯塔在船的北偏东的方向上，此时船距灯塔的距离（即的长）为（）B. C. D.7.在复平面内，满足的复数对应的点为，复数对应的点为，则的值不可能为（ ）A.3B.4C.5D.68.已知下面给出的四个图都是正方体，为顶点，分别是所在棱的中点.则满足直线的图形的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.为普及居民的消防安全知识，某社区开展了消防安全专题讲座.为了解讲座效果，随机抽取14位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份消防安全知识问卷，这14位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的得分如图所示，下列说法正确的是（）,m n α,m n α⊥∥αm n ⊥m ∥,n α∥αm ∥n ,m m n α⊥⊥n ∥αm ∥,m n α⊥n α⊥A S 30 10nmile B S 75 S BS 5i11iz --=-z Z 1i --0Z 0Z Z ,A B ,E F AB EF ⊥A.讲座前问卷答题得分的中位数小于70B.讲座后问卷答题得分的众数为90C.讲座前问卷答题得分的方差大于讲座后得分的方差D.讲座前问卷答题得分的极差大于讲座后得分的极差10.若平面向量满足.则（ ）A.B.向量与的夹角为C. D.在上的投影向量为11.如图，在棱长为1的正方体中，是的中点，点是侧面上的动点.且平面，则（）A.在侧面B.异面直线与所成角的最大值为C.三棱锥的体积为定值D.直线与平面所成角的正切值的取值范围是第II 卷（非选择题，共92分）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某学校高中二年级有男生600人，女生400人，为了解学生的身高情况，现按性别分层，采用比例分配,a b2a b a b ==+= 2a b ⋅=-aa b -π3a b -= a b - a 32a1111ABCD A B C D -M 11A B P 11CDD C MP ∥1AB C P 11CDD C AB MP π21A PB C -124MP 11ABB A ⎡⎣的分层随机抽样方法抽取一个容量为50的样本，则所抽取的男生人数为__________.13.已知的内角的对边分別为，且边上的高为则__________.14.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体.如图是以一个正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有8个面为正三角形，6个面为正方形的“阿基米德多面体”，包括在内的各个顶点都在球的球面上.若为球上的动点，记三棱锥体积的最大值为，球的体积为.则__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知复数（其中.（1）若为实数，求的值；（2）当时，复数是方程的一个根，求实数的值.16.（15分）已知向量.（1）若与垂直，求实数的值；（2）已知为平面内四点，且.若三点共线，求实数的值.17.（15分）一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：），将全部数据按区间分成5组，得到如图所示的频率分布直方图.ABC V ,,A B C ,,a b c ()πsin π,6,2A A b BC ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭c =,,A B C O P O P ABC -1V O V 1V V=122i,i z m z m =-=-)m ∈R 12z z m 1m =12z z ⋅220x px q ++=,p q ()()1,2,3,2a b =-=2ka b - 2a b + k ,,,O A B C ()2,3,3,2OA a b OB a b OC m m =+=+=-,,A B C m kg [)[)[]50,60,60,70,,90,100（1）求图中的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）若一次进货太多，水果不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求）.请问，每天应该进多少水果？18.（17分）从①；②；③.这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答该题记的内角的对边分别为，已知__________.（1）求角的大小；（2）若点在上，平分.求的长；（3的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分.19.（17分）我国古代数学名著《九章算术》在“商功”一章中，将“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”称为“阳马”.现有如图所示一个“阳马”形状的几何体，底面是正方形，底面，为线段的中点，为线段上的动点.（1）平面与平面是否垂直？若垂直，请证明，若不垂直，请说明理由；（2）求二面角的大小；（3）若直线平面，求直线与平面所成角的正弦值.a 85%()cos sin a a C B C +=+πsin 62a b c B +⎛⎫+= ⎪⎝⎭()sin sin sin B A C A -=-ABC V ,,A B C ,,a b c C D AB CD ,2,ACB a c ∠==CD a ABCD PA ⊥,ABCD PA AB =E PB F BC AEF PBC B PC D --PC ∥AEF AB AEF数学试题参考答案及评分标准一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.【命题意图】本小题主要考查复数的代数运算及其几何意义，考查化归与转化等数学思想，考查数学抽象､数学运算等数学核心素养.【答案】C【解析】，故所表示的点位于第三象限.2.【命题意图】本小题主要考查四分位数等基础知识，考查数学抽象等数学核心素养.【答案】C【解析】由于，该组数据的第三四分位数为9和10的平均数.3.【命题意图】本小题主要考查复数的代数运算､共轭复数等基础知识，考查化归与转化等数学思想，考查数学运算等数学核心素养.【答案】B【解析】设，则，即，所以且，即，所以.4.【命题意图】本小题主要考查平面向量的线性运算的几何意义等基础知识，考查数学抽象､直观想象､数学运算等数学核心素养.【答案】D【解析】依题意，.5.【命题意图】本小题主要考查空间直线与平面等基础知识，考查化归与转化､数形结合等数学思想，考查推理论证､空间想象､运算求解等数学能力.【答案】A【解析】若，则，故A 正确；若，则相交或平行或异面，故B 错误；若，则或，故C 错误；若，则或或()343i 1i i i 1i -=-+=--()3i 1i -875%6⨯=192()i ,z a b a b =+∈R ()()1i 2i 31i 22i i 555a b a b +-+-+==+313i i 55a b -+=+35a -=135b =31,515a b =-=31i 515z =-+23DE AE AD AB BE AD AB BC AD=-=+-=+-()()2233AB AC AB AD AB AD DC AB AD=+--=++-- 212121323333AB AD AB AB AD AB AD a b ⎛⎫=++--=-=- ⎪⎝⎭,m n α⊥∥αm n ⊥m ∥,n α∥α,m n ,m m n α⊥⊥n ∥αn α⊂m ∥,m n α⊥n ∥αn α⊂或与相交，故D 错误.6.【命题意图】本小题主要考查正弦定理和余弦定理的应用等基础知识，考查化归与转化､数形结合等数学思想，考查数学抽象､运算求解等数学核心素养.【答案】B【解析】在中，，依据正弦定理，，则.7.【命题意图】本小题主要考查复数运算的几何意义，复数与向量的关系等基础知识，考查化归与转化等数学思想，考查数学抽象､逻辑推理､数学运算等数学核心素养.本小题根据习题7.2第8题内容创编.【答案】A 【解析】依题意，，点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，故只需求和之间距离的取值范围即可，点，则，故的值不可能等于3.8.【命题意图】本小题主要考查空间直线与平面位置关系等基础知识，考查化归与转化等数学思想，考查空间想象等数学能力.本小题根据第8.6节例2､习题8.6第11题等题创编.【答案】D【解析】对于图①和图②，分别取如图所示的棱中点，易证平面，则，故图①和图②均符合题意；对于图③，连接，易证平面，则，图③符合题意；对于图④，取如图所示的棱的中点，易证，于是平面，所以，故图④符合题意.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.9.【命题意图】本小题主要考查统计图的识别､统计量的意义等基础知识，考查了数学抽象､数据处理等数学核心素养.【答案】ACD【解析】由图可知，讲座前问卷答题的得分的中位数应该小于，A 正确；讲座后问卷答题的得分的众n α⊥n αABS V 45ASB ∠= sin sin30AB BSASB ∠=10sin30sin45BS ==()()5i 1i 5i 32i 1i 2-+-==+-Z ()3,20Z Z 0Z 5=046Z Z……0Z ZG AB ⊥EFG AB EF ⊥AC EF ⊥ABC AB EF ⊥G ,AB EG AB FG ⊥⊥AB ⊥EFG AB EF ⊥70数为95，B 错误；讲座前问卷答题得分比讲座后波动大，故讲座前问卷答题的得分的方差大于讲座后得分的方差，C 正确；由图可知，讲座前问卷答题的得分的极差大于讲座后得分的极差，D 正确.10.【命题意图】本小题主要考查平面向量的线性运算及其几何意义，平面向量的数量积等基础知识，考查化归与转化等数学思想，考查数学抽象､数学运算､直观想象等素养.【答案】AD【解析】方法1：由于，则，得正确；，则，C 错误；又，所以，则向量与的夹角为，B 错误；在上的投影向量为正确.方法2：根据向量加法的平行四边形法则，满足条件的向量构成如图所示的平行四边形，且，则，A 正确；向量与的夹角为错误；C 错误；在上的投影向量为，D 正确.11.【命题意图】本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和相关计算，考查推理论证､空间想象､运算求解等数学能力.【答案】ABD【解析】如图，取的中点，取的中点，取的中点，依题意，，易证，则，可知，四点共面，又平面平面，所以平面，同理，平面，又平面，所以平面平面，又平面，所以平面，于是，在侧面的轨迹即为线段，由，得，则A 正确；当在处时，此时直线，即异面直线与所成角的最大值为，B 正确；由上可2a b a b ==+= 222||2824a b a b a b a b +=++⋅=+⋅= 2,A a b ⋅=-()222||282212a b a b a b -=+-⋅=-⨯-= a b -= ()26a a b a a b ⋅-=-⋅= ()cos ,a a b a a b a a b ⋅--===⋅- a a b -π6a b - a ()2423,D 222a ab a a a b a a a a a a a ⋅--⋅+⋅=⋅=⋅=,a b2π,3a b = 2πcos23a b a b ⋅=⋅=- a a b - π,B 6a b -= a b- a 32a 1CC R CD N 11B C H 1B C ∥HR MN ∥1B C MN ∥HR ,,M N R H HR ⊄11,AB C B C ⊂1AB C HR ∥1AB C MH ∥1AB C ,,HR MH H HR MH ⋂=⊂MNRH MNRH ∥1AB C MP ⊂MNRH MP ∥1AB C P 11CDD C NR 1AB =NR ==P N AB MP ⊥AB MP π2知，平面，则线段上的点到平面的距离为定值的面积也为定值，则（定值），C 错误；由于平面平面，故直线与平面所成角和直线与平面所成角相等，取的中点，连接，则平面，故是直线与平面所成的角，且，则，D 正确.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计抽样问题，主要考查分层抽样方法相关知识；考查运算求解能力，抽象概括能力.本小题源于教材必修第二册“巩固复习”第5题.【答案】30【解析】该学校高二年级学生中，男生占比为，则所抽取的男生人数为.13.【命题意图】本小题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，考查化归与转化等数学思想，考查推理论证､运算求解等数学能力.【答案】3【解析】依题意得，则，因为，所以的面积，即，根据余弦定理，得，则有，解得.14.【命题意图】本小题主要考查几何体中的相关运算，体积公式等知识，考查化归与转化等数学思想，考查空间想象､运算求解等数学能力.NR ∥1AB C NR 1AB C 01,hAB C V 111111111132212A PBC P AB C N AB C B ANC V V V V ----⎛⎫====⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭11ABB A ∥11CDD C MP 11ABB A MP 11CDD C 11C D Q PQ MQ ⊥11CDD C MPQ ∠MP 11CDD C 1tan MQ MPQ PQ PQ ∠==1PQ …1tan MPQ ∠……188P 60036004005=+350305⨯=sin A A -=tan A =()0,πA ∈2π.3A ABC =V 112π6sin223ABC S c ==⨯V a =22366a c c =++260c c --=3c =【解析】根据图形可知，该阿基米德多面体是由一个正方体切去八个角得到的，该多面体的外接球球心与正方体的外接球球心相同，设该多面体的棱长为1，可知球的半径为1为如图正方体中与点等距的一个顶点，设三棱锥的高为，由，得，球心到平面距离为，三棱锥，故其体积的最大值，所以四､解答题：本题共5小题，共77分.15.（13分）【命题意图】本小题设置课程学习情境，主要考查复数的概念及代数运算等基础知识，考查化归与转化等数学思想，考查数学抽象､数学运算等数学核心素养.【解析】（1），因为为实数，所以，解得.故为实数时，的值为.（2）当时，，O Q A B C ､､Q ABC -h Q ABC A QBC V V --=21111332h ⎛⨯=⨯ ⎝h =O ABC 122-=P ABC -11113V ⎫=+=⎪⎪⎭14π3V V ==()()()2122232i2i i 2i i 11m m m m z m z m m m+--+-===-++12z z 220m -=m =12z z m 1m =122i,1i z z =-=-则复数，因为是方程的一个根，所以，化简得，由解得16.（15分）【命题意图】本小题设置课程学习情境，主要考查平面向量线性运算､数量积､共线向量及其坐标运算等基础知识，考查化归与转化等数学思想，考查数学抽象､数学运算等数学核心素养.【解析】（1），则，因为与垂直，所以，解得.（2），，，，因为三点共线，所以.所以，解得.17.（15分）【命题意图】本小题设置生活实践情景，设计水果进货规划问题，考查平均数､百分位数等统计量的计算，样本估计总体，决策等相关知识；考查统计概率思想；运算求解能力和应用能力.本小题源于教材必修第二册P 223复习参考题“综合运用”第9题编制.【解析】（1）由直方图可得，样本落在的频率分别为，由()()122i 1i 13i z z ⋅=--=-13i -220x px q ++=()22(13i)13i 0p q -+-+=()16123i 0p q p +--+=()160,1230,p q p +-=⎧⎨-+=⎩4,20.p q =-⎧⎨=⎩()()()21,223,26,42ka b k k k -=--=--- ()()()221,23,25,2a b +=-+=- 2ka b - 2a b +()()562420k k ----=229k =()()()21,223,27,2OA a b =+=-+= ()()()331,23,26,4OB a b =+=-+=- ()()()6,47,21,6AB OB OA =-=--=-- ()()()3,27,237,22AC OC OA m m m m =-=--=--- ,,A B C AB ∥AC()()22637m m ---=-⨯-2m =[)[)[]50,60,60,70,,90,100 10,10,0.2,0.4,0.3a a，解得.则样本落在频率分别为，所以，该苹果日销售量的平均值为.（2）为了能地满足顾客的需要，即估计该店苹果日销售量的分位数.方法1：依题意，日销售量不超过90kg 的频率为，则该店苹果日销售量的分位数在，设为，则，解得.所以，每天应该进95kg 苹果.方法2：依题意，日销售量不超过90kg 的频率为，则该店苹果日销售量的分位数在，所以日销售量的分位数为.所以，每天应该进95kg 苹果.18.（17分）【命题意图】本小题主要考查正弦定和余弦定理等基础知识，考查化归与转化等数学思想，考查推理论证､运算求解等数学能力.【解析】（1）若选条件①，依题意，得，根据正弦定理得，因为，所以，则，，所以.又，则，所以.若选条件②.由正弦定理得，10100.20.40.31a a ++++=0.005a =[)[)[]50,60,60,70,,90,100 0.05,0.05,0.2,0.4,0.3()5060607070808090901000.050.050.20.40.383.5kg 22222+++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=85%85%10.03100.7-⨯=85%[]90,100()kg x ()0.031000.15x ⨯-=()95kg x =10.03100.7-⨯=85%[]90,10085%()0.850.7901095kg 10.7-+⨯=-cos sin a a C A +=sin sin cos sin A A C C A +=π02A <<sin 0A >1cos C C +=cos 1C C -=11cos 22C C -=π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭0πC <<ππ66C -=π3C =πsin sin sin sin 62A B C B +⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以，，，即.因为，所以，所以.若选条件③在中，因为，所以，即，化简得.又，则，故.因为，所以.（2）依题意，，即，则在中，根据余弦定理，有，即，解得或（舍去），所以（3）依题意，的面积，所以.又为锐角三角形，且，则，所以.()sin sin 1sin sin sin cos 222B C B A B C B B ⎫++++==⎪⎪⎭sin cos cos sin sin 2B C B C B ++=sin sin cos sin cos cos sin sin C B C B B C B C B +=++sin sin cos sin C B B C B =+cos 1C C -=π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()0,πC ∈ππ66C -=π3C =ABC V ()sin sin sin ,πB A C A A B C -=-++=()()sin sin sin C A A C A +-=-sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A C A A C A C A +-=-sin 2cos sin A C A =()0,πA ∈sin 0A ≠1cos 2C =0πC <<π3C =1π1π1πsin sin sin 262623a CDb CD ab ⋅⋅+⋅⋅=⋅()a b CD +⋅=CD =ABC V 22222π2cos 3c a b ab a b ab =+-=+-2742b b =+-3b =1a =-CD ==ABC V 11sin 22ABC S ab C ab ===V 4ab =ABC V π3C =2ππ0,32A B ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭π2π63B <<又，则，所以.由正弦定理，得，所以，所以，所以的取值范围为.19.（17分）【命题意图】本小题设置探索创新情境，设计空间直线､平面的位置关系问题，主要考查直线与平面的位置关系､直线与平面所成角､二面角等基础知识；考查直观想象､逻辑推理､数学运算等数学核心素养.本小题源于教材必修第二册P 164习题8.6“拓展探索”第21题.【解析】（1）平面平面.理由如下：因为平面平面，所以，因为，又.所以平面，故.在中，为的中点，所以.因为平面平面，所以平面.又平面，所以平面平面.π02B <<ππ62B <<tan B >sin sin a b A B =sin sin b A a B =22πsin 3sin ab B a B⎛⎫- ⎪⎝⎭=14sin 222sin B B B ⎫+⎪⎝⎭==+228a <<a <<a AEF ⊥PBC PA ⊥,ABCD BC ⊂ABCD PA BC ⊥BC AB ⊥PA AB A ⋂=BC ⊥PAB BC AE ⊥PAB V ,PA AB E =PB AE PB ⊥PB ⊂,PBC BC ⊂,PBC PB BC B ⋂=AE ⊥PBC AE ⊂AEF AEF ⊥PBC（2）不妨设，计算可得又，所以，则，作于，连结，又，可知，所以，所以是二面角的平面角在中，由，，则，连结，知，在中，根据余弦定理，得，所以.（3）因为直线平面平面，平面平面，所以直线直线.又为线段的中点，所以为线段上的中点.由（2）知，所以.设与交点为，连结，由（1）知，平面平面，平面平面，所以平面.所以直线与平面所成角为.又由为上的中点，可得为的中点，1AB =PB PD PC ====,,PB PD BC DC PC PC ===PBC PDC ≅V V PCB PCD ∠∠=BG PC ⊥G DG ,BC DCCG CG ==GBC GDC ≅V V 90DGC BGC ∠∠== BGD ∠B PC D --Rt PBC V PC BG PB BC ⋅=⋅1=BG DG ==BD BD =GBD V 222cos 2BG DG BD BGD BG DG∠+-=⋅12==-120BGD ∠= PC ∥,AEF PC ⊂PBC PBC ⋂AEF EF =PC ∥EF E PB F BC BG PC ⊥BG EF ⊥BG EF H AH AEF ⊥PBC AEF ⋂PBC EF =BH ⊥AEF AB AEF BAH ∠PC ∥,EF F BC H BG可知，，又，所以直线与平面.12BH BG ===1AB =sin BH BAH AB ∠==AB AEF。

周口市（太康一高、郸城一高、淮阳中学）等校2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学（人教版）全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考场号､座位号､考生号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数（ ）A. B. C. D.2.已知向量，若，则实数（ ）A.-2B.2C.-1D.13.从这4个数中一次性地任取两个数，则这两个数的和大于87的概率为（）A.B. C. D.4.已知表示两条不同的直线，表示平面，则下列命题错误的是（ ）A.若，则可能平行､异面或者相交B.若，则与可能平行､相交或者C.若，则D.若，则5.已知向量，则在上的投影向量为（ ）A. B. C. D.6.在正方体中，三棱锥的体积为72，则正方体的棱长为（）i z1i 1z =-z z =1i -1i +2i +2i-()212,,1,a x b x ⎛⎫== ⎪⎝⎭a b ⊥ x =22,33,44,5512131656,m n αm ∥,n α∥α,m n m ∥,m n α⊥n αn α⊂,m m n α⊥⊥n α⊂,m n αα⊥⊂m n⊥)(),2sin ,2cos ,24a b a b ααββ==-=b a 2b 2a12b - 12a- 1111ABCD A B C D -11B A DC -1111ABCD A B C D -A.3B.4C.6D.87.经调查得到两类群体一段时间里每天使用电脑的时间（单位：小时）统计如下：甲群体总人数为40，该群体每天使用电脑时间的平均数为8小时，方差为2；乙群体总人数为20，该群体每天使用电脑时间的平均数为7小时，方差为1，若将这两个群体混合后得到丙样本，则丙样本在这段时间里每天使用电脑时间的方差为（ ）A.B. C. D.38.在中，角所对的边竹别是，若的取值范围为（ ）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图所示为四边形的平面图，其中，用斜二测画法画出它的直观图四边形，其中，则下列说法正确的是（）A.B.C.四边形为等腰梯形D.四边形的周长为10.设是一个随机试验中的三个事件，且与互斥，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若事件相互独立，则C.D.32179177ABC ,,A B C ,,a b c 6,b ac==B π0,6⎛⎤ ⎥⎝⎦π0,4⎛⎤ ⎥⎝⎦π0,3⎛⎤ ⎥⎝⎦5π0,12⎛⎤ ⎥⎝⎦ABCD AB ∥,24,,CD AB CD AD AB AD ==⊥=A B C D ''''45x A y ∠'''= A D ''=4A B ''=A B C D ''''A B C D ''''6+,,A B C ()()14,,35P A P B A ==C ()715P A B +=()215P AB =,A B ()415P AB =()29P AC =()13P AC =11.在三棱锥中，底面为球心，作一个表面积为的球，设三棱锥外接球的半径为，则下列说法正确的是（ ）A.的最小值为1B.的最小值为C.当取得最小值时，球与侧面的交线长为D.当取得最小值时，球与侧面的交线长为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知为复数的共轭复数，且满足，则复数的实部为__________.13.在某次考弍中，某陪考老师记录了12名同学提前到考场的时间（单位：分钟）分别为，则该组数据的上四分位数为__________.14.已知等边三角形的边长为2，点分别为边上不与端点重合的动点，且，则的最大值为__________.四､解答题：共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）为了全面提高学生素质，促进学生德､智､体､美､劳全面发展，某校鼓励学生在课余时间参加社会实践活动，现随机抽取该校一些学生，并对他们某天参加活动的时长进行了统计，得到如下的样本数据的频率分布直方图.（1）求的值；（2）估计该校学生这天参加社会实践活动的平均时长；（3）若该校共有2000名学生，以频率作为概率，估计该校学生中这天参加社会实践活动的时长不低于30分钟的人数.16.（15分）已知复数为虚数单位，.（1）若在复平面内对应的点位于第一象限，求的取值范围；A BCD -AB ⊥,2,1,tan BCD AD BC CBD ∠===B 6πA BCD -R R R 32R B ACD π6R B ACD π3z z 2z z +=z 11,12,12,13,13,14,14,15,15,16,17,18ABC ,M N ,BC AC BM CNBC CA=AM MN ⋅ a ()1223i,2i,i z a a z a =-+-=+a ∈R 1z a（2）若是方程的根，求.17.（15分）2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作，若某市经过初次选拔后有小明､小王､小红三名同学成功进入决赛，在决赛环节中三名同学同时解答一道试题.已知小明正确解出这道题的概率是，小明､小红两名同学都解答错误的概率是，小王､小红两名同学都正确解出的概率是.设小明､小王､小红正确解出该道题分别为事件，三个事件两两独立，且.（1）求三名同学都正确解出这道题的概率；（2）求小王正确解出这道题的概率.18.（17分）如图，为三棱锥的高，且点在的内部.点为的中点，且，直线平面.（1）求直线与平面所成角的大小.（2）若直线分别与直线所成的角相等，且.①求二面角的大小；②求三棱锥的体积.19.（17分）三边长度均为整数的三角形称为“整边三角形”.已知整边三角形的内角所对的边分别为，且.（1）证明：；（2）若，当取最小值时，求整边三角形的面积.12z z +()220x x b b -+=∈R 2z 3411214,,A B C ,,A B C ()()()()P ABC P A P B P C =PO P ABC -O ABC D AP 2AD AO ==OD ∥PBC AP ABC AP ,BP CP BO CO PO ==P BC A --P ABC -ABC ,,A B C ,,a b c 22cos sin sin 2cos2A AB B -=2a c b +=2C A =a ABC数学（人教版）参考答案1.B 【解析】因为，所以，故.故选B.2.A 【解析】因为，所以，解得.故选A.3.B 【解析】从这4个数中一次性地任取两个数的所有可能的结果有，，共6种，其中满足两个数的和大于87的结果有，共2种，所以任取两个数的和大于87的概率.故选B.4.C 【解析】若，则可能平行､异面或者相交，故A正确；若，则与可能平行､相交或者，故B正确；若，则与可能平行，也可能，故C错误；若，由线面垂直的性质定理可知，故D正确.故选C.5.D 【解析】因为，所以，又因为，所以，所以在上的投影向量为.故选D.6.C 【解析】设正方体的棱长为，易知三棱锥为正四面体，则其棱长为，解得，故正方体的棱长为6.故选C.7.B 【解析】丙样本每天使用电脑时间的平均数为（小时），故丙样本每天使用电脑时间的方差为.故选B.8.C 【解析】，当且仅当时取等号，1i1z=-111iiz=+=-1iz=+a b⊥20x+=2x=-22,33,44,55()()()()22,33,22,44,22,55,33,44()()33,55,44,55()()33,55,44,552163P==m∥,nα∥α,m nm∥,m nα⊥nαnα⊂,m m nα⊥⊥nαnα⊂,m nαα⊥⊂m n⊥24a b-=224416a b a b+-⋅=22||2,||4a b==1a b⋅=-ba21||2a ba aa⋅⋅=-1111ABCD A B C D-a11B A DC-=321)7233a==6a=1111ABCD A B C D-40820723603⨯+⨯=4060⨯2223202317281736039⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+⨯+-=⎢⎥⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2222218122a cb ac bac Bac ac ac+--===-…a c=3，即.故选C.9.BC 【解析】由题意可画出其直观图如下，其中A 错误，B 正确；过点分别作，垂足分别为点，故，，故，则四边形为等腰梯形，故C 正确；故四边形的周长为，即D 错误.故选BC.10.BD 【解析】对于选项，因为，，所以，所以A 选项错误；对于选项，因为事件相互独立，所以，所以选项正确；对于C 选项，因为事件与互斥，故，所以选项错误；对于D 选项，，所以选项正确.故选BD.11.AC 【解析】因为底面，故，设，则，由，且，得在中，由余弦定理得.设的外接圆半径为，在cos 1B B ∴…3cos B B +…πsin 3B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭…()ππ4πππ2ππ0,π,,,,,0,3333333B B B B ⎛⎫⎛⎤⎛⎤∈∴+∈∴+∈∴∈ ⎪ ⎥⎥⎝⎭⎝⎦⎝⎦A B ''∥,4,C D A B AB C D ===''''''12,2CD A D AD '=='=,D C '',D M A B C N A B '''⊥'⊥'',M N sin451A M D M C N A D ''''==='= 1NB A B C D A M ''''-'=-='B C ''=A B C D ''''A B C D ''''426++=+A ()()()()()1,3P A B P A P B P AB P A +=+-=()()47,515P B P A B =+=()()()()147235153P AB P A P B P A B =+-+=+-=B ,A B ()()()415P AB P A P B ==B AC ()0P AC =C ()()()13P AC P A P AC =-=D AB ⊥BCD ,,AB BD AB BC AB CD ⊥⊥⊥BDA ∠θ=2cos ,2sin BD AB θθ==tan CBD ∠=()0,πCBD ∠∈sin CBD CBD ∠∠==BCD 22222cos 14cos CD BC BD BC BD CBD ∠θθ=+-⋅⋅=+-BCD r中，由正弦定理得，则，当时，取得最小值1，故A 正确，B 错误.此时，又，所以.又因为，所以平面，过点作交于点，则，所以侧面.而，设球的半径为，则，所以.由，设，则点在侧面上的轨迹长即为球与侧面的交线长.取研究，当在上时，，所以；当在上时，在中，由正弦定理得.因为，所以，故，.因为，所以，所以点在侧面上的运动轨迹是半径为1，圆心角为的圆弧，弧长为，所以当取得最小值时，球与侧面的交线长为，故C 正确，D 错误.故选AC.12.1 【解析】设，为虚数单位，则，由题意可得，解得，故的实部为1.13.15.5 【解析】因为，所以这组数据的上四分位数是.14. 【解析】设，其中，则BCD 22222334,cos sin 82CD r r CBD θθ∠==+2222111sin cos 82R r θθθ=+=+cos θ=R CD AC ===2AD =CD AC ⊥CD AB ⊥CD ⊥ABC B BE AC ⊥AC E CD BE ⊥BE ⊥ACD BE =B d 24π6πd =232d =2312-=1EF =F ACD B ACD Rt ACD 1F CD 11CE EF ==145CEF ∠=2F AD ACD 22sin sin EF AE CAD AF E ∠∠==21sin 2AF E ∠=45CAD ∠= 2150AF E ∠< 230AF E ∠= 2105AEF ∠= 145CEF ∠= 1230F EF ∠= F ACD 30 ππ62π2π6⋅=R B ACD π6i,,z a b a b =+∈R i i z a b =-()()i i 22z z a b a b a +=++-==1a =z 1275%9⨯=151615.52+=43-,BM tBC CN tCA == 01t <<()()AM MN MA NM BA BM CB BM CN⋅=⋅=-⋅+-，所以当时，取得最大值.15.解：（1）由题意知，，解得.（2）由题意知，该校学生这天参加社会实践活动的平均时长为23.4（分钟）.（3）由题意知，该校学生中这天参加社会实践活动的时长不低于30分钟的人数为（人）.16.解：（1）因为在复平面内对应的点位于第一象限，所以解得.（2）由题意可得，故，即，所以解得，故.17.解：（1）由题意得，，所以三名同学都正确解出这道题的概率为.（2）因为，所以.又，()()()()1BA tBC CB tBC tCA BA tBC t CB tCA ⎡⎤=-⋅+-=---⎣⎦()()211t BA CB tBA CA t t BC CB t BC CA=-⋅-⋅--⋅+⋅()()2211t BA BC t AB AC t t BC t CB CA =--⋅-⋅+--⋅ ()()2212412t t t t t=---+--()()214cos604cos60414cos60t t t t t =--⋅⋅-⋅⋅+--⋅⋅()221223212333t t t ⎡⎛⎫⎤=-+-=---⎢ ⎪⎥⎝⎭⎦⎢⎣13t =AM MN ⋅ 43-0.16100.300.200.101a ++++=0.024a =50.16150.24250.30350.20450.10⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()20000.200.10600⨯+=1z 20,30,a a ->⎧⎨->⎩()2,3a ∈123i z z a +=+()2(3i)23i 0a a b +-++=()22966i 0a a b a -+-+-=2290,660,a ab a ⎧-+-=⎨-=⎩1a =22i z =+==()()()()()()3134416P ABC P A P B P C P A P BC ===⨯=316()34P A =1()4P A =1(()()12P AC P A P C ==所以，即.又，所以.所以小王正确解出这道题的概率为.18.解：（1）因为为三棱锥的高，故底面.又平面，故.因为点为的中点，故，则为等边三角形，故.又底面，则即为直线与平面所成的角，故与平面所成角的大小为.（2）①如图，延长交于点，连接.直线为过直线的平面与平面的交线，又平面，故.又为的中点，故为的中点.则，又平面平面，故，故.因为直线与直线所成的角相等，所以.1()3P C =()23P C =()()()14P BC P B P C ==()38P B =38PO P ABC -PO ⊥ABC AO ⊂ABC PO AO ⊥D AP AD AO OD ==ADO π3DAO ∠=PO ⊥ABC DAO ∠AP ABC AP ABC π3AO BC E PE PE DO APE PBC OD ∥PBC OD ∥PE D AP O AE 2,AO AD OE OD BO PO CO =======PO ⊥,,ABC BO CO ⊂ABC ,PO BO PO CO ⊥⊥PB PC =AP ,BP CP BPA CPA ∠∠=在与中，故，故.在与中，故，故，即为的平分线，又，则，且为的中点，又，则，则即为二面角的平面角，则，则二面角的大小为.②由，可知，则，故19.解：（1）证明：因为，所以，因为，所以，所以，由正弦定理，得.（2）因为，由正弦定理及余弦定理可得，BPA CPA ,,,AP AP BPA CPA PB PC ∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩BPA CPA ≅ AB AC =ABO ACO ,,,AO AO AB AC BO CO =⎧⎪=⎨⎪=⎩ABO ACO ≅ BAO CAO ∠∠=AE BAC ∠AB AC =AE BC ⊥E BC PB PC =PE BC ⊥PEO ∠P BC A --π3PEO DOA ∠∠==P BC A --π32,OE BO ==BE ==BC =11432P ABC V -=⨯⨯=三棱锥22cos 2cos sin 1cos sin 2cos 2A A AB B B --==+sin sin cos 2sin cos sin A A B B A B +=-()πC A B =-+()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+sin sin 2sin A C B +=sin sin sin a b c A B C==2a c b +=2C A =sin sin a c A C=222cos 2b c a A bc +-=222sin22cos sin c A b c a A a A bc+-====，解得（舍）或，故，则，所以因为，所以的最小值为4，此时，所以整边三角形的面积为.()()()222bc a c a b bc a bcbc ++-+-==()()245322b c a c a c a c a c c c+-++--==c a =32c a =54b a =3cos 24c A a ==sin A ==*,,a b c ∈N a 4,5,6a b c ===ABC 1sin 2bc A =1562⨯⨯=。

2024年南通市高一学年度质量监测数学 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效.3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数()21i z a a =+−是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A. 0 B. 1 C. -1 D. 1± 2. 下列特征数中，刻画一组数据离散程度的是（ ）A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差 3. 已知圆锥的底面半径和高均为1，则该圆锥的侧面积为（ ）A. πB.C. 2πD. π4. 已知向量()2,4a =− ，()1,b x = ，若a b ∥，则||b = （ ）A. B. C. D. 5. 一个水果盘子里有2个苹果和3个桃子，从盘中任选2个，则选中的水果品种相同的概率为（ ）A. 110B. 15C. 25D. 126. 若π2cos 33α −= ，则πsin 26α −= （ ） A. 79− B. 19− C. 19 D. 797. 某数学兴趣小组测量学校旗杆的高度，在旗杆底部O 的正东方向A 处，测得旗杆顶端P 的仰角为60 ，在A 的南偏西30 方向上的B 处，测得P 的仰角为45 （O ，A ，B 在同一水平面内），A ，B 两点间的距离为20m ，则旗杆的高度OP 1.4≈ 1.7≈）（ ）A. 10mB. 14mC. 17mD. 20m8. 在锐角三角形ABC 中，2sin tan tan cos A B C C =+，则sin cos C A的取值范围为（ ）A. ∞ +B. +∞C. ()1,+∞D. ()2,+∞ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．下列命题为真命题的是（ ）A. 若222sin sin sin A B C +=，则ABC 为直角三角形B. 若sin sin a A b B =，则ABC 为等腰三角形C. 若cos cos a A b B =，则ABC 为等腰三角形D. 若sin cos cos AB C a b c==，则ABC 为等腰直角三角形 10. 已知a ，b ，c 为三条直线，α，β，γ为三个平面．下列命题为真命题的是（ ）A 若a c ⊥，b c ⊥，则a bB. 若a α ，a β⊂，b αβ= ，则a b C 若a α⊥，a β⊂，则αβ⊥ D. 若αγ⊥，βγ⊥，a αβ∩=，则a γ⊥ 11. 4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件A =“两个球颜色不同”，B =“两个球标号的和为奇数”，C =“两个球标号都不小于2”，则（ ）A. A 与B 互斥B. A 与C 相互独立C. ()()()P AB P AC P A +=D. ()()()()P ABC P A P B P C = 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 样本数据7，8，10，11，12，13，15，17的第40百分位数为________．13. 已知向量a ，b 满足2b = ，向量a 在b 上的投影向量为12b，则a b ⋅= ___________． 14. 以棱长为2的正方体的六个面为底面，分别向外作形状相同的正四棱锥，得到一个多面体，已知正四棱锥的侧面与底面所成的角为π4．该多面体的体积为________，其面数为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，222a c b +=．..（1）求B ；（2）若c =，求tan C ．16. 如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，,E F 分别是棱,BC AP 的中点．（1）证明：PC BD ⊥；（2）证明：//EF 平面PCD ．17. 某班学生日睡眠时间（单位：h ）的频率分布表如下： 分组[7，7.5） [7.5，8） [8，8.5） [85，9] 频数4 x 20 y 频率a b 0.4 0.12（1）计算该班学生平均日睡眠时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）用比例分配的分层随机抽样方法，从该班日睡眠时间在[)7,7.5和[]8.5,9的学生中抽取5人．再从抽取的5人中随机抽取2人，求2人中至少有1人的日睡眠时间在[7，7.5）的概率． 18. 已知ABC 面积为9，点D 在BC 边上，2CD DB =．（1）若4cos 5BAC ∠=，AD DC =， ①证明：sin 2sin ABD BAD ∠=∠；②求AC ；（2）若AB BC =，求AD 的最小值．19. 如图，等腰梯形ABCD 为圆台1OO 的轴截面，E ，F 分别为上下底面圆周上的点，且B ，E ，D ，F 四点共面．.的的（1）证明：BF DE ；（2）已知2AD =，4BC =，四棱锥C-BEDF 的体积为3． ①求三棱锥B-ADE 的体积；②当母线与下底面所成的角最小时，求二面角C-BF-D 的正弦值．。

高一数学下学期期末考试知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

2、集合的中元素的三个特性：1.元素的肯定性; 2.元素的互异性;3.元素的无序性 .第一章集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

2、集合的中元素的三个特性：1.元素的肯定性;2.元素的互异性;3.元素的无序性说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是肯定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。

(3)集合中的元素是同等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考核排列顺序是否一样。

(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了肯定性和整体性。

3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋大西洋印度洋北冰洋}1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员}B={12345}2.集合的表示方法：罗列法与描写法。

注意啊：常用数集及其记法：非负整数集(即自然数集) 记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A ，相反，a不属于集合A 记作 a?A罗列法：把集合中的元素一一罗列出来，然后用一个大括号括上。

描写法：将集合中的元素的公共属性描写出来，写在大括号内表示集合的方法。

用肯定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

①语言描写法：例：{不是直角三角形的三角形}②数学式子描写法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2}4、集合的分类：1.有限集含有有限个元素的集合2.无穷集含有无穷个元素的集合3.空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。