华南理工大学高等数学教学课件9

高等数学B（下）华南理工简介《高等数学B（下）华南理工》是华南理工大学开设的高等数学B课程的下半部分。

本门课程主要讲授高等数学的进阶内容，包括多元函数微分学、多元函数积分学、曲线积分与曲面积分等。

本文档将对《高等数学B（下）华南理工》课程的相关内容进行介绍和概述。

目录1.多元函数微分学2.多元函数积分学3.曲线积分与曲面积分1. 多元函数微分学1.1 偏导数与全微分多元函数微分学是高等数学的重要内容之一，它主要研究多元函数的微分和导数。

在本章中，我们将学习偏导数与全微分的概念。

偏导数是多元函数在某一变量上求导的结果，它表示了函数沿着某一方向变化的速率。

全微分则是多元函数在某一点附近的线性近似。

1.2 隐函数与参数方程在本节中，我们将学习隐函数与参数方程的概念和性质。

隐函数是由一个或多个方程组构成的函数，而参数方程则是由参数表示的函数。

我们将探讨如何通过隐函数和参数方程来求解一些特定的问题，例如曲线的切线与法线方程。

1.3 多元函数的极值与条件极值本节将介绍多元函数的极值和条件极值的概念。

我们将学习如何通过求偏导数和利用拉格朗日乘数法来求解多元函数的极值和条件极值问题。

1.4 多元函数的积分在多元函数积分学中，我们将学习多重积分的概念和计算方法。

多重积分是对多元函数在一个区域上的积分，它可以理解为将一个二维或三维的区域切割成无穷小的小块，然后对每个小块进行积分求和。

2. 多元函数积分学2.1 曲线积分曲线积分是多元函数积分学的一个重要内容，它主要研究曲线上的积分问题。

在本章中，我们将学习曲线积分的定义、性质以及计算方法。

曲线积分可以分为第一类曲线积分和第二类曲线积分，它们对应不同的物理问题和计算方法。

2.2 曲面积分曲面积分是多元函数积分学中的另一个重要内容，它主要研究曲面上的积分问题。

在本节中，我们将学习曲面积分的定义、性质以及计算方法。

曲面积分可以分为第一类曲面积分和第二类曲面积分，它们对应不同的曲面类型和积分方法。

高等数学教材华南理工大学华南理工大学高等数学教材华南理工大学（South China University of Technology）是位于中国广东省广州市的一所以工为主的国家重点大学。

作为一所综合性的工科大学，华南理工大学在高等数学课程的教学与研究方面一直以来都拥有优秀的声誉。

本文将探讨华南理工大学高等数学教材的特点和贡献。

一、教材编写团队与资源华南理工大学高等数学教材的编写是由一支由数学系教授、副教授和讲师组成的专业团队进行的。

这支团队拥有丰富的高等数学教学经验，精通综合性各专业领域的数学知识，并有着与其它知名高校教授合作或参与编写著作的经历。

此外，团队成员还能充分利用华南理工大学优质的图书馆资源以及国内外优秀的数学研究成果，为教材编写提供了广泛的资料来源。

二、教材内容与特点华南理工大学高等数学教材内容全面、系统，力求符合工科专业学生的学习需求和发展方向。

教材将数学理论与实际应用紧密结合，注重理论与实践的结合，突出数学建模与问题求解的能力培养，旨在培养学生的数学综合素质。

教材的章节设置较为合理，内容层次分明。

起点适中，注重数学知识的渐进性和逻辑性，使学生能够从基础概念与知识点出发，逐步形成数学思维的框架，并能有效地将理论知识应用到实际问题中。

教材还根据不同专业领域的需求，增设了相关的应用例题和习题，以加深学生对数学知识的理解和运用。

三、教材贡献与影响华南理工大学高等数学教材被广泛应用于该校各工科专业的本科教学中。

通过多年的实践，教材为学生提供了系统的高等数学学习平台，使其能够全面理解和掌握高等数学的基本理论与方法。

教材在教学实践中取得了显著的成就和影响。

许多学生通过学习该教材，不仅提升了数学水平，还培养了坚实的数学思维和问题解决能力。

此外，教材的应用导向和实践性质也为学生未来从事科学研究和工程实践提供了有力的支持和指导。

四、教材更新与发展华南理工大学高等数学教材是基于教学实践不断更新和发展的。

高 等 数 学第一章 函数与极限第一节 函数一、常量与变量1）、集合：集合是数学中的一个基本概念，广义来讲把一些事物放在一起就构成一个集合。

在数学中我们把具有某种特定性质的事物的总体叫集合。

如某班所有学生；全体自然数等等。

当集合中的元素抽象地用数表示时这个集合就变成了数集，如某班学生都用学号代替这个集合就变成数集了。

高等数学中我们都考虑数集。

邻域：设a 为任意实数以a 中心的开区间就叫做a 的邻域，记为()a U 。

设δ为任一正数开区间()δδ+-a a ,为a 的邻域，我们记为(){}δδδ+<<-=a x a x a U |,。

去心邻域：有时我们考虑a 的邻域时需要把a 点去掉，这样的邻域叫去心邻域，记为(){}δδ<-<=a x x a U0|, 。

2）、常量和变量：在一变化过程中保持一定的数值叫常量；在一变化过程中可以变化的数值叫变量。

高等数学是研究变量的数学。

二、函数的概念及其性质世界上的事物是普遍联系的，任何事物都不是孤立的，总是和其周围的事物发生各种各样的联系。

联系的形式也是纷繁复杂的，其中一种有代表性的情形就下面我们要讨论的函数。

定义：设x 和y 是两个变量，D 是一个给定的数集。

如果对于每个数D x ∈，变量y 按照一定的法则总有确定的数值和它对应，则称y 是x 的函数，记为()x f y =。

其中数集D 叫做这个函数的定义域，x 叫自变量，y 叫因变量（函数），数集(){}D x x f y y W ∈==,|叫函数的值域如图1。

注1：函数()x f 的定义域一般是指能使该算是有意义的所有x 取值所构成的集合。

注2：连函数相同，不但要对应法则一致，还要定义域一致。

例1：求函数()()xx x x x f 412ln 22+--+=定义域。

解:定义域为{}{}0401222>+-⋂>-+x x x x x x ，即{}413<<-x x 1）函数的表示方法① 列表法：当定义域是由有限个数构成的数集时可以考虑这种方法。

第一章 函数与极限§1 函数 §2 初等函数 §3 数列的极限 §4 函数的极限 §5 无穷小与无穷大 §6 极限运算法则 §7 极限存在准则 两个重要极限 §8 无穷小的比较 §9 函数的连续性与间断 §10连续函数的运算与性质第一节 函数一、实数与区间 二、领域 三、函数的概念 四、函数的特性一、实数与区间1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体. 组成这个集合的事物称为该集合的元素.2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.∀ a , b ∈ , 且a < b.a∈ M, a∉ M, A = { a1 , a 2 , , a n }有限集{ x a < x < b} 称为开区间, 记作 (a , b )o a x b { x a ≤ x ≤ b} 称为闭区间, 记作 [a , b] o aM = { x x所具有的特征 } 无限集数集分类: N----自然数集 Q----有理数集 数集间的关系: Z----整数集 R----实数集N ⊂ Z, Z ⊂ Q, Q ⊂ R.bx{ x a ≤ x < b} 称为半开区间, 记作 [a , b ) { x a < x ≤ b} 称为半开区间, 记作 (a , b] [a ,+∞ ) = { x a ≤ x } ( −∞ , b ) = { x x < b}o a o x x二、邻域有限区间常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 而数值变化的量称为变量. 注意 常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量的表示方法： 通常用字母 a, b, c 等表示常量, 用字母 x, y, t 等表示变量. 例三、函数的概念圆内接正多边形的周长设a与δ是两个实数 , 且δ > 0.数集{ x x − a < δ }称为点 a的δ邻域 ,点a叫做这邻域的中心 , δ 叫做这邻域的半径 .b ( −∞ , +∞ ) = { x −∞ < x < +∞ } =U δ (a ) = { x a − δ < x < a + δ }. δ δ无限区间区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.a a−δ a+δ o x 点a的去心δ 邻域 , 记作U δ0 (a ), 或 U (a , δ ).π S n = 2 nr sin n n = 3 ,4 ,5 ,S3S4S5圆内接正n 边形S6Oπ nr)Uδ (a ) = { x 0 < x − a < δ }.o定义:设 x 和 y 是两个变量, D 是给定的数集，如果对于每个数 x ∈ D , 变量 y 按照一定法则总函数的两要素: 定义域与对应法则.有唯一的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数， 记作因变量x ((D对应法则fx0 )f ( x0 )y = f ( x)自变量数集D叫做这个函数的定义域 自变量Wy)因变量看右图： 如果自变量在定义域 内任取一个数值时，对应 的函数值总是只有一个， 这种函数叫做单值函数， 否则叫做多值函数．y分段函数：在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的Wy⋅ ( x, y)x式子来表示的函数。

《高等数学》教学大纲（2010年3月讨论稿）全院专升本各专业适用一、课程的性质与任务《高等数学》课程，是成人高等教育本科各专业教学计划中的一门必修基础理论课，它不仅为专业计划中多门后继课程提供必要的数学基础，而且也是为提高学生科学素养而设置的课程。

通过本课程的学习，要使学生获得《高等数学》中的基本概念、基本理论和基本方法。

要通过各个教学环节，逐步培养学生具备较熟练的运算能力和运用数学方法处理问题的初步能力。

同时，在抽象思维和逻辑推理方面也有一定的提高，以提升学生的数学素质，使自学能力提高一个层次，为以后深造打下坚实的基础。

二、本课程的基本要求与重点专升本数学教学是比较特殊的一种教学形式，因学生是专科毕业生，已初步获得一元微积分的基本知识。

因此，根据成人高等教育以培养应用型人才的目标，按基础理论教材“必需、够用”的原则，本课程的基本要求：1.加深掌握一元函数微分和积分两大基本数学方法的理解和应用；2.获得多元函数微积分、常微分方程和无穷级数的系统的基本知识、基本理论和基本方法。

本课程的重点为：微分方程、二元函数微分学、二重积分、曲线积分和无穷级数。

（说明：曲线积分和无穷级数经管类不作要求）三、课程内容和考核要求第一章函数、极限与连续性（一）课程内容1.初等函数与非初等函数；2.函数的特性；3.数列的极限；4.函数的极限；5.极限的运算法则；6.两个重要极限；7.无穷小量及其性质和无穷大量；8.无穷小量的比较；9.函数的连续性概念和连续函数的运算；10.函数的间断点；11.闭区间上连续函数的性质。

（二）考核要求1.掌握求函数的定义域和函数值，理解函数记号的运用。

2.了解函数与其图形之间的关系，掌握画常用的简单的函数图像。

3.掌握求比较简单函数的反函数；掌握复合函数的分解；了解初等函数的构成；了解分段函数的表示。

4.理解函数的有界性和周期性，掌握判别函数的奇偶性和单调性（用一阶导数的符号）。

5.理解数列极限的直观定义。