教育最新K122018-2019学年高中数学人教A版选修4-4学案：第二讲一2.圆的参数方程-含答案

第2课时 圆的参数方程[核心必知]如图，设圆O 的半径是r ，点M 从初始位置M 0(t ＝0时的位置)出发，按逆时针方向在圆O 上作匀速圆周运动，点M 绕点O 转动的角速度为ω，以圆心O 为原点，OM 0所在的直线为x 轴，建立直角坐标系．(1)在t 时刻，M 转过的角度是θ，点M 的坐标是(x ，y )，那么θ＝ωt (ω为角速度)．设|OM |＝r ，那么由三角函数定义，有cos ωt ＝x r ，sin ωt ＝yr，即圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos ωt ，y ＝r sin ωt (t 为参数)．其中参数t 的物理意义是：质点做匀速圆周运动的时刻．(2)若取θ为参数，因为θ＝ωt ，于是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)．其中参数θ的几何意义是：OM 0(M 0为t ＝0时的位置)绕点O 逆时针旋转到OM 的位置时，OM 0转过的角度．[问题思考]1．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝R cos θ，y ＝R sin θ(θ为参数，0≤θ<2π)是以坐标原点为圆心，以R 为半径的圆的参数方程，能否直接由圆的普通方程转化得出？提示：以坐标原点为圆心，以R 为半径的圆的标准方程为x 2＋y 2＝R 2，即(x R )2＋(yR )2＝1，令⎩⎨⎧xR ＝cos θ，yR＝sin θ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝R cos θ，y ＝R sin θ.2．若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为R ，则圆的参数方程是什么？提示：圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋R cos θ，y ＝y 0＋R sin θ.(0≤θ<2π)点M 在圆(x －r )2＋y 2＝r 2(r >0)上，O 为原点，x 轴的正半轴绕原点旋转到OM 形成的角为φ，以φ为参数．求圆的参数方程．[精讲详析] 本题考查圆的参数方程的求法，解答此题需要借助图形分析圆上点M (x ，y )的坐标与φ之间的关系，然后写出参数方程．如图所示，设圆心为O ′，连接O ′M①当M 在x 轴上方时，∠MO ′x ＝2φ.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos 2φ，y ＝r sin 2φ.②当M 在x 轴下方时，∠MO ′x ＝－2φ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos （－2φ），y ＝－r sin （－2φ）. 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos 2φ，y ＝r sin 2φ.③当M 在x 轴上时，对应φ＝0或φ＝±π2.综上得圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos 2φ，y ＝r sin 2φ.(φ为参数且－π2≤φ≤π2)(1)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到的参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程表示的曲线却可以是相同的，另外在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围．(2)确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题如果把参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos φ，y ＝r sin φ.φ的意义就改变了．1．设y ＝tx (t 为参数)，则圆x 2＋y 2－4y ＝0的参数方程是________． 解析：把y ＝tx 代入x 2＋y 2－4y ＝0 得x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t 21＋t 2， ∴参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t1＋t 2，y ＝4t 21＋t2.答案：⎩⎨⎧x ＝4t1＋t 2，y ＝4t 21＋t2(t 为参数)已知点P (2，0)，点Q 是圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)上一动点，求PQ 中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？[精讲详析] 本题主要考查圆的参数方程的应用及轨迹的求法．解答本题需设出PQ 的中点M 的坐标为(x ，y )，然后利用已知条件中的参数分别表示x ，y ，从而求出轨迹方程，根据方程说明轨迹的形状．设中点为M (x ，y )，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ2，y ＝0＋sin θ2，即⎩⎨⎧x ＝1＋12cos θ，y ＝12sin θ.它是圆的参数方程，表示以(1，0)为圆心，以12为半径的圆．解决此类问题的关键是利用已知圆的参数方程中所含的参数表示出所求点的坐标，求得参数方程，然后根据参数方程说明轨迹所表示的曲线．2．设点M (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上移动，求点Q (x (x ＋y )，y (x ＋y ))的轨迹的参数方程． 解：设M (cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，点Q (x 1，y 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝cos θ（cos θ＋sin θ），y 1＝sin θ（cos θ＋sin θ），(θ为参数) 即为所求的参数方程．已知点P (x ，y )是圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)上的动点，(1)求3x ＋y 的取值范围；(2)若x ＋y ＋a ≥0恒成立，求实数a 的取值范围．[精讲详析] 本题考查圆的参数方程的求法及不等式的恒成立问题，解决本题需要正确求出圆x 2＋y 2＝2y 的参数方程，然后利用参数方程求解问题(1)、(2)．(1)∵P 在圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ上，∴3x ＋y ＝3cos θ＋sin θ＋1＝2sin (θ＋π3)＋1∴－2＋1≤3x ＋y ≤2＋1.即3x ＋y 的取值范围为[－1，3]． (2)∵x ＋y ＋a ＝cos θ＋sin θ＋1＋a ≥0， ∴a ≥－(cos θ＋sin θ)－1.又－(cos θ＋sin θ)－1＝－2sin (θ＋π4)－1≤2－1，∴a ≥2－1即a 的取值范围为[2－1，＋∞)．(1)解决此类问题的关键是根据圆的参数方程写出点的坐标，并正确确定参数的取值范围．(2)利用圆的参数方程求参数或代数式的取值范围的实质是利用正、余弦函数的有界性．3．设方程⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ，y ＝3＋sin θ(θ为参数)表示的曲线为C ，求在曲线C 上到原点O 距离最小的点P 的坐标．解：∵OP 2＝(1＋cos θ)2＋(3＋sin θ)2＝5＋23sin θ＋2cos θ＝5＋4sin (θ＋π6)．当θ＝2k π＋43π，k ∈Z 时，OP 最小，此时点P 的坐标为(12，32)．高考模拟中常利用圆的参数方程考查直线与圆、圆与圆的位置关系．本考题将直线的极坐标方程与圆的参数方程相结合，考查直线与圆的交点问题，属低档题．[考题印证]已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝1，则直线l 和圆C 的交点的直角坐标为________．[命题立意] 本题主要考查圆的参数方程与直线的极坐标方程．[解析] 由圆的参数方程知圆心的坐标为(0，1)，半径r ＝1，由直线l 的极坐标方程可知直线l 的方程为y ＝1，则根据图象可知直线l 和圆C 的交点为(－1，1)，(1，1)．答案：(－1，1)，(1，1)一、选择题1．圆的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．则圆的圆心坐标为( )A ．(0，2)B ．(0，－2)C ．(－2，0)D ．(2，0) 解析：选D 圆的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4. 故圆心坐标为(2，0)．2．直线3x －4y －9＝0与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的位置关系是( )A ．相切B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但不过圆心解析：选D 圆的普通方程为x 2＋y 2＝4，∴圆心坐标为(0，0)，半径r ＝2，点(0，0)到直线3x －4y －9＝0的距离为d ＝|－9|32＋42＝95<2，∴直线与圆相交，而(0，0)点不在直线上． 3．P (x ，y )是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数)上任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为( )A ．36B ．6C ．26D ．25解析：选A 设P (2＋cos α，sin α)，代入得： (2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2＝25＋sin 2α＋cos 2α－6cos α＋8sin α＝26＋10sin(α－φ)(tan φ＝34，φ为锐角)．∴最大值为36.4．设Q (x 1，y 1)是单位圆x 2＋y 2＝1上一个动点，则动点P (x 21－y 21，x 1y 1)的轨迹方程是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12cos 2θ，y ＝sin 2θC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝12sin 2θD.⎩⎨⎧x ＝12cos 2θ，y ＝12sin 2θ解析：选C 设x 1＝cos θ，y 1＝sin θ.P (x ，y )则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 21－y 21＝cos 2θ，y ＝x 1y 1＝12sin 2θ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝12sin 2θ.二、填空题5．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)表示的图形是________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α，且cos 2α＋sin 2α＝1，∴x 2＋(y －1)2＝1.∴该参数方程表示以(0，1)为圆心，以1为半径的圆． 答案：圆6．已知圆C ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，则实数a 的取值范围为________．解析：将圆C 的方程代入直线方程，得 cos θ－1＋sin θ＋a ＝0，即a ＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－2sin(θ＋π4)．∵－1≤sin(θ＋π4)≤1，∴1－2≤a ≤1＋ 2. 答案：[1－2，1＋2]7．P (x ，y )是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数)上任意一点，则P 到直线x －y ＋4＝0的距离的最小值是________．解析：由P 在曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α上可得P 的坐标为(2＋cos α，sin α)．由点到直线的距离公式得d ＝|cos α－sin α＋6|2＝|2cos （α＋π4）＋6|2，当cos (α＋π4)＝－1时，d 最小，d min ＝－2＋62＝－1＋3 2.答案：－1＋3 28．已知动圆x 2＋y 2－2ax cos θ－2by sin θ＝0(a ，b 是正常数，且a ≠b ，θ为参数)，则圆心的轨迹的参数方程为________．解析：设P (x ，y )为动圆的圆心，由x 2＋y 2－2ax cos θ－2by sin θ＝0得：(x －a cos θ)2＋(y －b sin θ)2＝a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ.答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ三、解答题9．已知圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，写出它的参数方程． 解：x 2＋y 2＝2x 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1， 设x －1＝cos θ，y ＝sin θ，则参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜2π)．10．已知实数x ，y 满足x 2＋(y －1)2＝1，求t ＝x ＋y 的最大值． 解：方程x 2＋(y －1)2＝1表示以(0，1)为圆心，以1为半径的圆．∴其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ.(θ为参数)∴t ＝x ＋y ＝cos θ＋sin θ＋1 ＝2sin(θ＋π4)＋1∴当sin (θ＋π4)＝1时t max ＝2＋1.11．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数，且0≤θ≤2π)，点M 是曲线C 1上的动点．(1)求线段OM 的中点P 的轨迹的参数方程；(2)以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l 的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＋1＝0(ρ>0)，求点P 到直线l 距离的最大值．解：(1)曲线C 1上的动点M 的坐标为(4cos θ，4sin θ)，坐标原点O (0，0)，设P 的坐标为(x ，y )，则由中点坐标公式得x ＝12(0＋4cos θ)＝2cos θ，y ＝12(0＋4sin θ)＝2sin θ，所以点P 的坐标为(2cos θ，2sin θ)，因此点P 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数，且0≤θ≤2π)．(2)由直角坐标与极坐标关系⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0，又由(1)知点P 的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆，因为原点(0，0)到直线x －y ＋1＝0的距离为|0－0＋1|12＋（－1）2＝12＝22， 所以点P 到直线l 距离的最大值为2＋22.。

曲线的参数方程教学目标：1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。

2．分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。

3．会进行参数方程和普通方程的互化。

教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。

参数方程和普通方程的互化。

教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。

参数方程和普通方程的等价互化。

教学过程一．参数方程的概念1．探究：（1）平抛运动： 为参数）t gt y tx (215001002⎪⎩⎪⎨⎧-== 练习：斜抛运动：为参数）t gt t v y t v x (21sin cos 200⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=αα2．参数方程的概念 （见教科书第22页） 说明：（1）一般来说，参数的变化X 围是有限制的。

（2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。

例1．（教科书第22页例1）已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y tx (t 为参数) （1）判断点M 1(0,1),M 2(5,4)与曲线C 的位置关系； （2）已知点M 3(6,a )在曲线C 上，求a 的值。

)0,1()21,21()21,31()7,2()(2cos sin 2D C B A y x ，、，、，、的坐标是表示的曲线上的一个点为参数、方程θθθ⎩⎨⎧==A 、一个定点B 、一个椭圆C 、一条抛物线D 、一条直线二．圆的参数方程)(sin cos 为参数t t r y t r x ⎩⎨⎧==ωω)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==r y r x说明：（1）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。

（2）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值X 围。

例2．（教科书第24页例2）思考：你能回答教科书第25页的思考吗？三．参数方程和普通方程的互化1．阅读教科书第25页，明确参数方程和普通方程的互化的方法。

第二讲 参数方程一 曲线的参数方程 1 参数方程的概念 2 圆的参数方程[学习目标]1.理解曲线参数方程的有关概念.2.掌握圆的参数方程.3.能够根据圆的参数方程解决最值问题. [知识链接]曲线的参数方程中，参数是否一定具有某种实际意义？在圆的参数方程中，参数θ有什么实际意义？提示 联系x ，y 的参数t (θ，φ，…)可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是无实际意义的任意实数.圆的参数方程中，其中参数θ的几何意义是OM 0绕点O 逆时针旋转到OM 的位置时，OM 0转过的角度. [预习导引] 1.参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ）y ＝g （t ）①，并且对于 t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出的点的坐标间的关系的方程叫做普通方程.2.圆的参数方程(1)如图所示，设圆O 的半径为r ，点M 从初始位置M 0开始出发，按逆时针方向在圆O 上作均速圆周运动，设M (x ，y )，点M 转过的角度是θ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ·cos θ，y ＝r ·sin θ(θ为参数)，这就是圆心在原点，半径为r 的圆的参数方程. (2)圆心为C (a ，b )，半径为r 的圆的普通方程与参数方程要点一 参数方程的概念 例1 已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at2(t 为参数，a ∈R )，点M (－3，4)在曲线C 上.(1)求常数a 的值；(2)判断点P (1，0)、Q (3，－1)是否在曲线C 上？ 解 (1)将M (－3，4)的坐标代入曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2，得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝1＋2t ，4＝at 2，消去参数t ，得a ＝1.(2)由(1)可得，曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝t 2， 把点P 的坐标(1，0)代入方程组，解得t ＝0，因此P 在曲线C 上，把点Q 的坐标(3，－1)代入方程组，得到⎩⎪⎨⎪⎧3＝1＋2t ，－1＝t 2，这个方程组无解，因此点Q 不在曲线C 上. 规律方法 点与曲线的位置关系满足某种约束条件的动点的轨迹形成曲线，点与曲线的位置关系有两种：点在曲线上、点不在曲线上.(1)对于曲线C 的普通方程f (x ，y )＝0，若点M (x 1，y 1)在曲线上，则点M (x 1，y 1)的坐标是方程f (x ，y )＝0的解，即有f (x 1，y 1)＝0，若点N (x 2，y 2)不在曲线上，则点N (x 2，y 2)的坐标不是方程f (x ，y )＝0的解，即有f (x 2，y 2)≠0. (2)对于曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）(t 为参数)，若点M (x 1，y 1)在曲线上，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f （t ），y 1＝g （t ）对应的参数t 有解，否则参数t 不存在.跟踪演练1 已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数，0≤θ＜2π).判断点A (2，0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫－3，32是否在曲线C 上？若在曲线上，求出点对应的参数的值.解 把点A (2，0)的坐标代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ，得cos θ＝1，且sin θ＝0，由于0≤θ＜2π，解之得θ＝0，因此点A (2，0)在曲线C 上，对应参数θ＝0，同理，把B ⎝⎛⎭⎪⎫－3，32代入参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝2cos θ，32＝3sin θ.∴⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝－32，sin θ＝12.又0≤θ＜2π，∴θ＝56π，所以点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32在曲线C 上，对应θ＝56π.要点二 圆的参数方程及其应用例2 设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ(θ为参数)，直线l 的方程为x －3y ＋2＝0，则曲线C 上到直线l 距离为71010的点的个数为( ) A.1 B.2 C.3D.4解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ.得(x －2)2＋(y ＋1)2＝9.曲线C 表示以(2，－1)为圆心，以3为半径的圆， 则圆心C (2，－1)到直线l 的距离d ＝710＝71010＜3， 所以直线与圆相交.所以过圆心(2，－1)与l 平行的直线与圆的2个交点满足题意，又3－d ＜71010，故满足题意的点有2个. 答案 B规律方法 1.本题利用三角函数的平方关系，消去参数；数形结合，判定直线与圆的位置关系.2.参数方程表示怎样的曲线，一般是通过消参，得到普通方程来判断，特别要注意变量的取值范围.跟踪演练2 已知实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2＝9，求x 2＋y 2的最大值和最小值.解 由已知，可把点(x ，y )视为圆(x －1)2＋(y －1)2＝9上的点，设⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数).则x 2＋y 2＝(1＋3cos θ)2＋(1＋3sin θ)2＝11＋6(sin θ＋cos θ)＝11＋62sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.∵－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1，∴11－62≤x 2＋y 2≤11＋6 2.∴x 2＋y 2的最大值为11＋62，最小值为11－6 2. 要点三 参数方程的实际应用例3 某飞机进行投弹演习，已知飞机离地面高度为H ＝2 000 m ，水平飞行速度为v 1＝100 m/s ，如图所示.(1)求飞机投弹t s 后炸弹的水平位移和离地面的高度；(2)如果飞机追击一辆速度为v 2＝20 m/s 同向行驶的汽车，欲使炸弹击中汽车，飞机应在距离汽车的水平距离多远处投弹？(g ＝10 m/s 2)解 (1)如图所示，建立平面直角坐标系，设炸弹投出机舱的时刻为0 s ，在时刻t s 时其坐标为M (x ，y )，由于炸弹作平抛运动，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100t ，y ＝2 000－12gt 2， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100t ，y ＝2 000－5t 2，令y ＝2 000－5t 2＝0，得t ＝20(s )，所以飞机投弹t s 炸弹的水平位移为100t m ，离地面的高度为(2 000－5t 2)m ，其中，0≤t ≤20.(2)由于炸弹水平分运动和汽车的运动均为匀速直线运动，以汽车参考系.水平方向S 相对＝v 相对t ，所以飞机应距离汽车投弹的水平距离为s ＝(v 1－v 2)t ＝(100－20)×20＝1 600(m).规律方法 本题通过点的坐标的参数方程利用运动学知识使问题得解.由于水平抛出的炸弹做平抛运动，可以分解为在水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动，炸弹飞行的时间也就是它作自由落体运动所用的时间. 跟踪演练3 如果本例条件不变，求：(1)炸弹投出机舱10 s 后这一时刻的水平位移和高度各是多少m?(2)如果飞机迎击一辆速度为v 2＝20 m/s 相向行驶的汽车，欲使炸弹击中汽车，飞机应在距离汽车的水平距离多远处投弹？解 (1)将t ＝10代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100t ，y ＝2 000－5t 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1 000，y ＝1 500， 所以炸弹投出机舱10 s 后这一时刻的水平位移和高度分别是1 000 m 和1 500 m. (2)由于炸弹水平分运动和汽车的运动均为匀速直线运动，以汽车为参考系.水平方向s 相对＝v 相对t ，所以飞机应距离汽车投弹的水平距离为s ＝(v 1＋v 2)t ＝(100＋20)×20＝2 400(m).1.曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上点的横、纵坐标之间的联系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x 、y 间的间接联系.在具体问题中的参数可能有相应的几何意义，也可能没有什么明显的几何意义.曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点，反过来，对于曲线上的任一点也必然对应着参数相应的允许取值.2.求曲线参数方程的主要步骤第一步，画出轨迹草图，设M (x ，y )是轨迹上任意一点的坐标.画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系.第二步，选择适当的参数.参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x ，y 与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x ，y 的值可以由参数唯一确定.第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略.1.下列方程：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ，y ＝m (m 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ，y ＝n (m ，n 为参数)；(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2；(4)x ＋y ＝0中，参数方程的个数为( ) A.1 B.2 C.3D.4解析 由参数方程的概念知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＝m是参数方程，故选A.答案 A2.当参数θ变化时，由点P (2cos θ，3sin θ)所确定的曲线过点( ) A.(2，3)B.(1，5)C.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2D.(2，0)解析 当2cos θ＝2，即cos θ＝1，3sin θ＝0.∴过点(2，0). 答案 D3.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝2(t 为参数)表示的曲线是( )A.两条直线B.一条射线C.两条射线D.双曲线解析 当t ＞0时⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，y ＝2，是一条射线；当t ＜0时，⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，y ＝2，也是一条射线，故选C. 答案 C4.已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1y ＝t 2(t 为参数)，若y ＝1，则x ＝________. 解析 当y ＝1时，t 2＝1，∴t ＝±1，当t ＝1时，x ＝2；当t ＝－1时，x ＝0.∴x 的值为2或0. 答案 2或05.已知直线y ＝x 与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α，(α为参数)相交于两点A 和B ，求弦长|AB |.解 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α，得⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2cos α，y －2＝2sin α.∴(x －1)2＋(y －2)2＝4，其圆心为(1，2)，半径r ＝2，则圆心(1，2)到直线y ＝x 的距离d ＝|1－2|12＋（－1）2＝22. ∴|AB |＝2r 2－d 2＝222－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝14.一、基础达标1.已知O 为原点，参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)上的任意一点为A ，则|OA |＝( )A.1B.2C.3D.4解析 |OA |＝x 2＋y 2＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，故选A. 答案 A2.已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，曲线C 不经过第二象限，则实数a 的取值范围是( )A.a ≥2B.a ＞3C.a ≥1D.a ＜0解析 ∵曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，∴化为普通方程为(x －a )2＋y2＝4，表示圆心为(a ，0)，半径等于2的圆.∵曲线C 不经过第二象限，则实数a 满足a ≥2，故选A. 答案 A3.圆心在点(－1，2)，半径为5的圆的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－cos θ，y ＝5＋2sin θ(0≤θ＜2π)B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋5cos θ，y ＝－1＋5sin θ(0≤θ＜2π)C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ＜π)D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ＜2π) 解析 圆心在点C (a ，b )，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ，(θ∈[0，2π)).故圆心在点(－1，2)，半径为5的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ＜2π).答案 D4.将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为( ) A.y ＝x －2B.y ＝x ＋2C.y ＝x －2(2≤x ≤3)D.y ＝x ＋2(0≤y ≤1)解析 将参数方程中的θ消去，得y ＝x －2.又x ∈[2，3]. 答案 C5.若点(－3，－33)在参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos θ，y ＝6sin θ(θ为参数)的曲线上，则θ＝________.解析 将点(－3，－33)的坐标代入参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos θ，y ＝6sin θ(θ为参数)得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝－12，sin θ＝－32，解得θ＝4π3＋2k π，k ∈Z . 答案4π3＋2k π，k ∈Z 6.已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝1，则直线l 与圆C 的交点的直角坐标为________.解析 由圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α.可求得其在直角坐标系下的方程为x 2＋(y －1)2＝1，由直线l 的极坐标方程ρsin θ＝1可求得其在直角坐标系下的方程为y ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，x 2＋（y －1）2＝1可解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±1，y ＝1.所以直线l 与圆C 的交点的直角坐标为(－1，1)，(1，1). 答案 (－1，1)，(1，1)7.已知曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ(θ为参数)，如果曲线C 与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，求实数a 的取值范围.解 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ，∴x 2＋(y ＋1)2＝1.∵圆与直线有公共点，则d ＝|0－1＋a |2≤1，解得1－2≤a ≤1＋ 2. 二、能力提升8.若P (2，－1)为圆O ′：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋5cos θ，y ＝5sin θ(0≤θ＜2π)的弦的中点，则该弦所在直线l的方程是( ) A.x －y －3＝0 B.x ＋2y ＝0 C.x ＋y －1＝0D.2x －y －5＝0解析 ∵圆心O ′(1，0)，∴k PO ′＝－1.∴k l ＝1. ∴直线l 方程为x －y －3＝0. 答案 A9.如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为________.解析 将x 2＋y 2－x ＝0配方，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，∵圆的直径为1.设P (x ，y )，则x ＝|OP |cosθ＝1×cos θ×cos θ＝cos 2θ，y ＝|OP |sin θ＝1×cos θ×sin θ＝sin θcos θ，∴圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数).答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)10.曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝sin t ＋1(t 为参数)与圆x 2＋y 2＝4的交点坐标为________.解析 ∵sin t ∈[－1，1]，∴y ∈[0，2].∵方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝sin t ＋1表示的曲线是线段x ＝1(0≤y ≤2).令x ＝1，由x 2＋y 2＝4，得y 2＝3， ∵0≤y ≤2，∴y ＝ 3. 答案 (1，3)11.设点M (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上移动，求点P (x ＋y ，xy )的轨迹. 解 设点M (cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，点P (x ′，y ′).则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝cos θ＋sin θ， ①y ′＝cos θsin θ， ② ①2－2×②，得x ′2－2y ′＝1.即x ′2＝2⎝⎛⎭⎪⎫y ′＋12.∴所求点P 的轨迹为抛物线x 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12的一部分⎝⎛⎭⎪⎫|x |≤2，|y |≤12.12.已知点M (x ，y )是圆x 2＋y 2＋2x ＝0上的动点，若4x ＋3y －a ≤0恒成立，求实数a 的取值范围.解 由x 2＋y 2＋2x ＝0，得(x ＋1)2＋y 2＝1，又点M 在圆上，∴x ＝－1＋cos θ，且y ＝sin θ(θ为参数)，因此4x ＋3y ＝4(－1＋cos θ)＋3sin θ＝－4＋5sin(θ＋φ)≤－4＋5＝1.(φ由 tan φ＝43确定)∴4x ＋3y 的最大值为1.若4x ＋3y －a ≤0恒成立，则a ≥(4x ＋3y )max ， 故实数a 的取值范围是[1，＋∞). 三、探究与创新13.已知圆系方程为x 2＋y 2－2ax cos φ－2ay sin φ＝0(a ＞0，且为已知常数，φ为参数) (1)求圆心的轨迹方程；(2)证明圆心轨迹与动圆相交所得的公共弦长为定值. (1)解 由已知圆的标准方程为：(x －a cos φ)2＋(y －a sin φ2)＝a 2(a ＞0).设圆心坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝a sin φ(φ为参数)，消参数得圆心的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2.(2)证明 由方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2ax cos φ－2ay sin φ＝0x 2＋y 2＝a 2得公共弦的方程：2ax cos φ＋2ay sin φ＝a 2，即x cos φ＋y sin φ－a2＝0，圆x 2＋y 2＝a2的圆心到公共弦的距离d ＝a2为定值.∴弦长l ＝2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝3a (定值). 3 参数方程和普通方程的互化[学习目标]1.了解参数方程化为普通方程的意义.2.掌握参数方程化为普通方程的基本方法.3.能够利用参数方程化为普通方程解决有关问题. [知识链接]普通方程化为参数方程，参数方程的形式是否唯一？提示 不一定唯一.普通方程化为参数方程，关键在于适当选择参数，如果选择的参数不同，那么所得的参数方程的形式也不同. [预习导引]参数方程与普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ），就是曲线的参数方程.在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致.要点一 把参数方程化为普通方程例1 在方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋t cos θy ＝b ＋t sin θ，(a ，b 为正常数)中，(1)当t 为参数，θ为常数时，方程表示何种曲线？ (2)当t 为常数，θ为参数时，方程表示何种曲线？解 方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋t cos θ， ①y ＝b ＋t sin θ， ②(a ，b 是正常数)，(1)①×sin θ－②×cos θ得x sin θ－y cos θ－a sin θ＋b cos θ＝0. ∵cos θ、sin θ不同时为零，∴方程表示一条直线. (2)(i)当t 为非零常数时，原方程组为⎩⎪⎨⎪⎧x －at＝cos θ， ③y －b t ＝sin θ. ④③2＋④2得（x －a ）2t 2＋（y －b ）2t2＝1， 即(x －a )2＋(y －b )2＝t 2，它表示一个圆. (ii)当t ＝0时，表示点(a ，b ).规律方法 1.消去参数的常用方法：将参数方程化为普通方程，关键是消去参数，如果参数方程是整式方程，常用的消元法有代入消元法、加减消元法.如果参数方程是分式方程，在运用代入消元或加减消元之前要做必要的变形.另外，熟悉一些常见的恒等式至关重要，如sin 2α＋cos 2α＝1，(e x ＋e －x )2－(e x －e －x )2＝4，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 21＋k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 1＋k 22＝1等.2.把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响.本题启示我们，形式相同的方程，由于选择参数的不同，可表示不同的曲线.跟踪演练1 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)化成普通方程为________.解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α，cos 2α＋sin 2α＝1，∴x 2＋(y －1)2＝1. 答案 x 2＋(y －1)2＝1要点二 把普通方程化成参数方程 例2 求方程4x 2＋y 2＝16的参数方程： (1)设y ＝4sin θ，θ为参数；(2)若令y ＝t (t 为参数)，如何求曲线的参数方程？若令x ＝2t (t 为参数)，如何求曲线的参数方程？解 (1)把y ＝4sin θ代入方程，得到4x 2＋16sin 2θ＝16，于是4x 2＝16－16sin 2θ＝16cos 2θ，∴x ＝±2cos θ. ∴4x 2＋y 2＝16的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数) (2)将y ＝t 代入椭圆方程4x 2＋y 2＝16，得4x 2＋t 2＝16， 则x 2＝16－t 24.∴x ＝±16－t 22.因此，椭圆4x 2＋y 2＝16的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16－t 22y ＝t ，和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－16－t 22，y ＝t(t 为参数). 同理将x ＝2t 代入椭圆4x 2＋y 2＝16，得椭圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝41－t 2和⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝－41－t 2(t 为参数).规律方法 1.将圆的普通方程化为参数方程 (1)圆x 2＋y 2＝r2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)；(2)圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ为参数).2.普通方程化为参数方程关键是引入参数(例如x ＝f (t )，再计算y ＝g (t ))，并且要保证等价性.若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过x ＝f (t )，y ＝g (t )，调整t 的取值范围，使得在普通方程转化为参数方程的过程中，x ，y 的取值范围保持一致.跟踪演练2 设y ＝tx (t 为参数)，则圆x 2＋y 2－4y ＝0的参数方程是________.解析 把y ＝tx 代入x 2＋y 2－4y ＝0得x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t21＋t 2，∴参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t21＋t 2.(t 为参数).答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t1＋t 2，y ＝4t 21＋t 2.(t 为参数)要点三 参数方程的应用例3 已知x 、y 满足x 2＋(y －1)2＝1，求： (1)3x ＋4y 的最大值和最小值； (2)(x －3)2＋(y ＋3)2的最大值和最小值. 解 由圆的普通方程x 2＋(y －1)2＝1得圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ.(θ∈[0，2π)).(1)3x ＋4y ＝3cos θ＋4sin θ＋4＝4＋5sin(θ＋φ)， 其中tan φ＝34，且φ的终边过点(4，3).∵－5≤5sin(θ＋φ)≤5，∴－1≤4＋5sin(θ＋φ)≤9， ∴3x ＋4y 的最大值为9，最小值为－1.(2)(x －3)2＋(y ＋3)2＝(cos θ－3)2＋(sin θ＋4)2＝26＋8sin θ－6cos θ＝26＋10sin(θ＋φ). 其中tan φ＝－34.且φ的终边过点(4，－3).∵－10≤10sin(θ＋φ)≤10，∴16≤26＋10sin(θ＋φ)≤36， 所以(x －3)2＋(y ＋3)2的最大值为36，最小值为16.规律方法 1.运用参数思想解题的关键在于参数的选择.选择参数时，应注意所选择的参数易于与两个坐标产生联系.由于三角函数的巨大作用，常选择角为参数，若轨迹与运动有关，常选择时间为参数.2.解决与圆有关的最大值和最小值问题，常常设圆的参数方程，然后转化为求三角函数的最大值和最小值问题.3.注意运用三角恒等式求最值：a sin θ＋b cos θ＝a 2＋b 2sin(θ＋φ).其中tan φ＝b a(a ≠0)，且φ的终边过点(a ，b ).跟踪演练3 如图，已知点P 是圆x 2＋y 2＝16上的一个动点，定点A (12，0)，当点P 在圆上运动时，利用参数方程求线段PA 的中点M 的轨迹.解 因为圆x2＋y 2＝16的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，所以可设点P (4cos θ，4sin θ)，设点M (x ，y )，由线段中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ＋122，y ＝4sin θ2(θ为参数)，即点M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋6，y ＝2sin θ(θ为参数)，所以点M 的轨迹是以点(6，0)为圆心、2为半径的圆.1.参数方程和普通方程的互化参数方程化为普通方程，可通过代入消元法和三角恒等式消参法消去参数方程中的参数，通过曲线的普通方程来判断曲线的类型.由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数，寻求曲线上任一点M 的坐标x ，y 和参数的关系，根据实际问题的要求，我们可以选择时间、角度、线段长度、直线的斜率、截距等作为参数. 2.同一道题参数的选择往往不是唯一的，适当地选择参数，可以简化解题的过程，降低计算量，提高准确率.求轨迹方程与求轨迹有所不同，求轨迹方程只需求出方程即可，而求轨迹往往是先求出轨迹方程，然后根据轨迹方程指明轨迹是什么图形.3.参数方程与普通方程的等价性把参数方程化为普通方程后，很容易改变了变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性.1.与普通方程x 2＋y －1＝0等价的参数方程为(t 为参数)( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin t y ＝cos 2t B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos ty ＝sin 2t C.⎩⎨⎧x ＝1－ty ＝tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t y ＝1－tan 2t 解析 A 化为普通方程为x 2＋y －1＝0，x ∈[－1，1]，y ∈[0，1].B 化为普通方程为x 2＋y －1＝0，x ∈[－1，1]，y ∈[0，1].C 化为普通方程为x 2＋y －1＝0，x ∈[0，＋∞)，y ∈(－∞，1].D 化为普通方程为x 2＋y －1＝0，x ∈R ，y ∈R . 答案 D2.将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t，y ＝t 2＋1t2(t 为参数)化为普通方程为________.解析 由x ＝t ＋1t 得x 2＝t 2＋1t 2＋2，又y ＝t 2＋1t 2，∴x 2＝y ＋2.∵t 2＋1t2≥2，∴y ≥2.答案 x 2－y ＝2(y ≥2) 3.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ(θ为参数)表示的曲线的普通方程是________.解析 y 2＝(sin θ＋cos θ)2＝sin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝1＋2sin θcos θ＝1＋x ，又x ＝sin 2θ∈[－1，1]，∴曲线的普通方程是y 2＝x ＋1(－1≤x ≤1).答案 y 2＝x ＋1(－1≤x ≤1)4.已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2(其中t 是参数，a ∈R )，点M (5，4)在该曲线上. (1)求常数a ；(2)求曲线C 的普通方程.解 (1)由题意，可知⎩⎪⎨⎪⎧1＋2t ＝5，at 2＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，a ＝1，所以a ＝1.(2)由已知及(1)可得，曲线C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝t 2，由第一个方程，得t ＝x －12，代入第二个方程，得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122，即(x －1)2＝4y 为所求.一、基础达标1.曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|sin θ|，y ＝cos θ(θ为参数)的方程等价于( )A.x ＝1－y 2B.y ＝1－x 2C.y ＝±1－x 2D.x 2＋y 2＝1解析 由x ＝|sin θ|得0≤x ≤1；由y ＝cos θ得－1≤y ≤1.故选A. 答案 A2.已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－2－t (t 为参数)与圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋1，y ＝2sin θ(θ为参数)，则直线l 的倾斜角及圆心C 的直角坐标分别是( ) A.π4，(1，0) B.π4，(－1，0) C.3π4，(1，0) D.3π4，(－1，0) 解析 直线消去参数得直线方程为y ＝－x ，所以斜率k ＝－1即倾斜角为3π4.圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4，圆心坐标为(1，0). 答案 C3.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t2，y ＝2t1＋t2(t 为参数)化为普通方程为( )A.x 2＋y 2＝1B.x 2＋y 2＝1去掉(0，1)点 C.x 2＋y 2＝1去掉(1，0)点 D.x 2＋y 2＝1去掉(－1，0)点解析 x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 22＝1，又∵x ＝－1时，1－t 2＝－(1＋t 2)不成立，故去掉点(－1，0). 答案 D4.若x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则x ＋3y 的最大值为( ) A.1 B.2 C.3D.4解析 由于圆x 2＋y 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ，(θ为参数)，则x ＋3y ＝3sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，故x ＋3y 的最大值为2.故选B. 答案 B5.在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 解析 由ρcos θ＝4，知x ＝4.又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3，∴x 3＝y 2(x ≥0). 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，x 3＝y 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－8. ∴|AB |＝（4－4）2＋（8＋8）2＝16. 答案 166.在极坐标系中，圆C 1的方程为ρ＝42cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面坐标系，圆C 2的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(θ为参数)，若圆C 1与C 2相切，则实数a ＝________.解析 圆C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ＋4y ，其标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8，圆心为(2，2)，半径长为22，圆C 2的圆心坐标为(－1，－1)，半径长为|a |，由于圆C 1与圆C 2外切，则|C 1C 2|＝22＋|a |＝32或|C 1C 2|＝|a |－22＝32⇒a ＝±2或a ＝±5 2. 答案 ±2或±5 27.已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，(t 为参数，t ＞0).求曲线C 的普通方程.解 由x ＝t －1t两边平方得x 2＝t ＋1t－2，又y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，则t ＋1t ＝y 3(y ≥6). 代入x 2＝t ＋1t －2，得x 2＝y 3－2.∴3x 2－y ＋6＝0(y ≥6).故曲线C 的普通方程为3x 2－y ＋6＝0(y ≥6). 二、能力提升8.已知在平面直角坐标系xOy 中圆C 的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数)，以Ox为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝0，则圆C 截直线所得弦长为( ) A. 2 B.2 2 C.3 2D.4 2解析 圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θy ＝1＋3sin θ的圆心为(3，1)，半径为3，直线普通方程为ρ⎝⎛⎭⎪⎫cos θcos π6－sin θsin π6＝32x －12y ＝0，即3x －y ＝0，圆心C (3，1)到直线3x －y ＝0的距离为d ＝|（3）2－1|3＋1＝1，所以圆C 截直线所得弦长|AB |＝2r 2－d 2＝232－12＝4 2. 答案 D9.过原点作倾斜角为θ的直线与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos α，y ＝2sin α相切，则θ＝________.解析 直线为y ＝x tan θ，圆为(x －4)2＋y 2＝4，直线与圆相切时，易知tan θ＝±33，∴θ＝π6或5π6.答案π6或5π610.在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θy ＝3cos θ(θ为参数，a ＞0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________.解析 曲线C 1的普通方程为2x ＋y ＝3，曲线C 2的普通方程为x 2a 2＋y 29＝1，直线2x ＋y ＝3与x轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，故曲线x 2a 2＋y 29＝1也经过这个点，代入解得a ＝32(舍去－32). 答案 3211.在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系.已知直线l上两点M ，N 的极坐标分别为(2，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数).(1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系.解 (1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2，0)，⎝⎛⎭⎪⎫0，233.又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝33x . (2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2，0)，⎝⎛⎭⎪⎫0，233，所以直线l 的平面直角坐标方程为x ＋3y －2＝0. 又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径为r ＝2，圆心到直线l 的距离d ＝|2－3－2|2＝32＜r ，故直线l 与圆C 相交.12.已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t －2，y ＝22t(t 为参数).(1)指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数；(2)若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C ′1，C ′2.写出C ′1，C ′2的参数方程.C ′1与C ′2公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同？说明你的理由.解 (1)C 1是圆，C 2是直线.C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1， 圆心C 1(0，0)，半径r ＝1.C 2的普通方程为x －y ＋2＝0.因为圆心C 1到直线x －y ＋2＝0的距离为1，所以C 2与C 1只有一个公共点.(2)压缩后的参数方程分别为C ′1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝12sin θ(θ为参数)，C ′2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t －2，y ＝24t (t 为参数)，化为普通方程为C ′1：x 2＋4y 2＝1，C ′2：y ＝12x ＋22，联立消元得2x 2＋22x ＋1＝0， 其判别式Δ＝(22)2－4×2×1＝0，所以压缩后的直线C ′2与椭圆C ′1仍然只有一个公共点，和C 1与C 2公共点的个数相同. 三、探究与创新13.已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π).解 (1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t 消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得，ρ2－8ρcosθ－10ρsin θ＋16＝0，∴C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0； (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.∴C 1与C 2的交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2.二 圆锥曲线的参数方程[学习目标]1.掌握椭圆的参数方程及应用.2.了解双曲线、抛物线的参数方程.3.能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题. [知识链接]1.椭圆的参数方程中，参数φ是OM 的旋转角吗？ 提示 椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)中的参数φ不是动点M (x ，y )的旋转角，它是点M 所对应的圆的半径OA (或OB )的旋转角，称为离心角，不是OM 的旋转角. 2.双曲线的参数方程中，参数φ的三角函数sec φ的意义是什么？ 提示 sec φ＝1cos φ，其中φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠32π. 3.类比y 2＝2px (p ＞0)，你能得到x 2＝2py (p ＞0)的参数方程吗？提示 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt ，y ＝2pt 2(p ＞0，t 为参数，t ∈R .) [预习导引] 1.椭圆的参数方程2.双曲线的参数方程3.抛物线的参数方程(1)抛物线y 2＝2px 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t ∈R ，t 为参数).(2)参数t 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.要点一 椭圆参数方程的应用 例1 已知A 、B 分别是椭圆x 236＋y 29＝1的右顶点和上顶点，动点C 在该椭圆上运动，求△ABC 重心G 的轨迹的普通方程.解 由题意知A (6，0)，B (0，3).由于动点C 在椭圆上运动，故可设动点C 的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G 的坐标为(x ，y )，由三角形重心的坐标公式可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋0＋6cos θ3，y ＝0＋3＋3sin θ3(θ为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝1＋sin θ.故重心G 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数).规律方法 本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性.运用参数方程显得很简单，运算更简便.跟踪演练1 已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，曲线C 2：x 264＋y 29＝1.(1)化C 1为普通方程，C 2为参数方程；并说明它们分别表示什么曲线？(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：x －2y －7＝0距离的最小值.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos t ＝x ＋4，sin t ＝y －3. ∴曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，C 1表示圆心是(－4，3)，半径是1的圆.曲线C 2：x 264＋y 29＝1表示中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ，(θ为参数)(2)依题设，当t ＝π2时，P (－4，4)；且Q (8cos θ，3sin θ)，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋4cos θ，2＋32sin θ. 又C 3为直线x －2y －7＝0，M 到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13| ＝55|5cos(θ＋φ)－13|， 从而当cos θ＝45，sin θ＝－35时，⎝ ⎛⎭⎪⎫其中φ由sin φ＝35，cos φ＝45确定，cos(θ＋φ)＝1，d 取得最小值855.要点二 双曲线参数方程的应用例2 求证：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值.证明 由双曲线x 2a 2－y 2b2＝1，得两条渐近线的方程是：bx ＋ay ＝0，bx －ay ＝0，设双曲线上任一点的坐标为(a sec φ，b tan φ)， 它到两渐近线的距离分别是d 1和d 2，则d 1·d 2＝|ab sec φ＋ab tan φ|b 2＋a 2·|ab sec φ－ab tan φ|b 2＋（－a ）2＝|a 2b 2（sec 2φ－tan 2φ）|a 2＋b 2＝a 2b2a 2＋b 2(定值).规律方法 在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离公式对参数形式的点的坐标仍适用，另外本题要注意公式sec 2φ－tan 2φ＝1的应用.跟踪演练2 如图，设P 为等轴双曲线x 2－y 2＝1上的一点，F 1、F 2是两个焦点，证明：|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.证明 设P (sec φ，tan φ)，∵F 1(－2，0)，F 2(2，0)， ∴|PF 1|＝（sec φ＋2）2＋tan 2φ ＝2sec 2φ＋22sec φ＋1， |PF 2|＝（sec φ－2）2＋tan 2φ＝2sec 2φ－22sec φ＋1，|PF 1|·|PF 2|＝（2sec 2φ＋1）2－8sec 2φ＝2sec 2φ－1. ∵|OP |2＝sec 2φ＋tan 2φ＝2sec 2φ－1， ∴|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2. 要点三 抛物线参数方程的应用例3 设抛物线y 2＝2px 的准线为l ，焦点为F ，顶点为O ，P 为抛物线上任一点，PQ ⊥l 于Q ，求QF 与OP 的交点M 的轨迹方程.解 设P 点的坐标为(2pt 2，2pt )(t 为参数)， 当t ≠0时，直线OP 的方程为y ＝1tx ，QF 的方程为y ＝－2t ⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2，它们的交点M (x ，y )由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1txy ＝－2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2确定，两式相乘，消去t ，得y 2＝－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，∴点M 的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0(x ≠0).当t ＝0时，M (0，0)满足题意，且适合方程2x 2－px ＋y 2＝0. 故所求的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0.规律方法 1.抛物线y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，参数t 为任意实数，它表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.2.用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程.跟踪演练3 已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，其中p ＞0，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E ，若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________. 解析 根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y 2＝2px ，所以y 2M ＝6p ，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，±6p ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以p 2＋3＝p 2＋6p ，所以p 2＋4p －12＝0，解得p ＝2(负值舍去).答案 21.圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ中的参数θ是半径OM 的旋转角，椭圆参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ中的参数φ是椭圆上点M 的离心角.2.椭圆（x －m ）2a 2＋（y －n ）2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋a cos φ，y ＝n ＋b sin φ(φ为参数).3.双曲线的参数方程中，参数φ的三角函数cot φ、sec φ、csc φ的意义分别为cot φ＝1tan φ，sec φ＝1cos φ，csc φ＝1sin φ. 4.抛物线y 2＝2px 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，由于y x ＝1t ，因此t 的几何意义是抛物线的点(除顶点外)与抛物线的顶点连线的斜率的倒数.5.利用圆锥曲线的参数方程，可以方便求解一些需要曲线上点的两个坐标独立表示的问题，如求最大值、最小值问题、轨迹问题等.1.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝e t＋e －t，y ＝2（e t －e －t）(t 为参数)的普通方程是( ) A.抛物线 B.一条直线 C.椭圆D.双曲线解析 由参数方程⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝2e t＋2e －t，y ＝2（e t －e －t）平方相减可得4x 2－y 2＝16，即x 24－y 216＝1，故答案为D. 答案 D2.椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的焦点坐标为( )A.(0，0)，(0，－8)B.(0，0)，(－8，0)C.(0，0)，(0，8)D.(0，0)，(8，0)解析 利用平方关系化为普通方程：（x －4）225＋y29＝1.∴焦点(0，0)，(8，0). 答案 D3.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α2＋cos α2，y ＝2＋sin α(α为参数)表示的普通方程是________.解析 因x 2＝1＋sin α，y 2＝2＋sin α，所以y 2－x 2＝1，又因x ＝sinα2＋cos α2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4，所以答案为y 2－x 2＝1(|x |≤2且y ≥1). 答案 y 2－x 2＝1(|x |≤2且y ≥1)4.点P (1，0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (参数t ∈R )上的点的最短距离为( )A.0B.1C. 2D.2解析 d 2＝(t 2－1)2＋4t 2＝(t 2＋1)2.∵t ∈R ，∴d 2min ＝1，∴d min ＝1. 答案 B5.已知点P 是椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，求点P 到直线l ：x ＋2y ＝0的距离的最大值. 解 因为P 为椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，故可设P (2cos θ，sin θ)，其中θ∈[0，2π).又直线l ：x ＋2y ＝0. 因此点P 到直线l 的距离d ＝|2cos θ＋2sin θ|12＋22＝22⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π45.又θ∈[0，2π)，∴d max ＝225＝2105， 即点P 到直线e ：x ＋2y ＝0的距离的最大值为2105.一、基础达标1.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)化为普通方程为( )。

(1)建立直角坐标系，设曲线上任一点P 坐标为(x ，y )； (2)选取适当的参数；(3)根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P 坐标与参数的函数式； (4)证明这个参数方程就是所要求的曲线的方程．过点P (－2，0)作直线l 与圆x 2＋y 2＝1交于A 、B 两点，设A 、B 的中点为M ，求M 的轨迹的参数方程．[解] 设M (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为x ＝ty －2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty －2，x 2＋y 2＝1消去x 得(1＋t 2)y 2－4ty ＋3＝0. ∴y 1＋y 2＝4t 1＋t 2，则y ＝2t 1＋t 2.x ＝ty －2＝2t 21＋t 2－2＝－21＋t 2，由Δ＝(4t )2－12(1＋t 2)>0得t 2>3.∴M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－21＋t 2，y ＝2t 1＋t2(t 为参数且t 2>3).在求出曲线的参数方程后，通常利用消参法得出普通方程．一般地，消参数经常采用的是代入法和三角公式法．但将曲线的参数方程化为普通方程，不只是把其中的参数消去，还要注意x ，y 的取值范围在消参前后应该是一致的，也就是说，要使得参数方程与普通方程等价，即它们二者要表示同一曲线．已知曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos t ，y ＝－2＋2sin t (0≤t ≤π)，把它化为普通方程，并判断该曲线表示什么图形？[解] 由曲线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos t ，y ＝－2＋2sin t ，得⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2cos t ，y ＋2＝2sin t . ∵cos 2t ＋sin 2t ＝1， ∴(x －1)2＋(y ＋2)2＝4. 由于0≤t ≤π， ∴0≤sin t ≤1.从而0≤y ＋2≤2，即－2≤y ≤0.∴所求的曲线的参数方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝4(－2≤y ≤0)． 这是一个半圆，其圆心为(1，－2)，半径为2.已知参数方程⎩⎨⎧x ＝⎝⎛⎭⎫t ＋1t sin θ， ①y ＝⎝⎛⎭⎫t －1t cos θ， ②(t ≠0)．(1)若t 为常数，θ为参数，方程所表示的曲线是什么？(2)若θ为常数，t 为参数，方程所表示的曲线是什么？ [解] (1)当t ≠±1时，由①得sin θ＝xt ＋1t ，由②得cos θ＝yt －1t .∴x 2⎝⎛⎭⎫t ＋1t 2＋y 2⎝⎛⎭⎫t －1t 2＝1. 它表示中心在原点，长轴长为2⎪⎪⎪⎪t ＋1t ，短轴长为2⎪⎪⎪⎪t －1t ，焦点在x 轴上的椭圆． 当t ＝±1时，y ＝0，x ＝±2sin θ，x ∈[－2，2]， 它表示在x 轴上[－2，2]的一段线段． (2)当θ≠k π2(k ∈Z )时，由①得x sin θ＝t ＋1t .由②得y cos θ＝t －1t .平方相减得x 2sin 2θ－y 2cos 2θ＝4，即x 24sin 2θ－y 24cos 2θ＝1，它表示中心在原点，实轴长为4|sin θ|，虚轴长为4|cos θ|，焦点在x 轴上的双曲线． 当θ＝k π(k ∈Z )时，x ＝0，它表示y 轴； 当θ＝k π＋π2(k ∈Z )时，y ＝0，x ＝±⎝⎛⎭⎫t ＋1t . ∵t ＋1t ≥2(t ＞0时)或t ＋1t≤－2(t ＜0时)，∴|x |≥2.∴方程为y ＝0(|x |≥2)，它表示x 轴上以(－2，0)和(2，0)为端点的向左、向右的两条射线.求直线的参数方程，根据参数方程参数的几何意义，求直线上两点间的距离，求直线的倾斜角，判断两直线的位置关系；根据已知条件求圆的参数方程，根据圆的参数方程解决与圆有关的最值、位置关系等问题．设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ(θ为参数)，直线l 的方程为x －3y ＋2＝0，则曲线C 上到直线l 距离为71010的点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [解析] 曲线C 的标准方程为：(x －2)2＋(y ＋1)2＝9， 它表示以(2，－1)为圆心，半径为3的圆，因为圆心(2，－1)到直线x －3y ＋2＝0的距离d ＝|2＋3＋2|10＝71010，且3－71010<71010，故过圆心且与l 平行的直线与圆相交的两点为满足题意的点．[答案] B(北京高考)直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t ，(t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α，(α为参数)的交点个数为________．[解析] 直线的普通方程为x ＋y －1＝0，圆的普通方程为x 2＋y 2＝32，圆心到直线的距离d ＝22＜3，故直线与圆的交点个数是2. [答案] 2求直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2t ，y ＝－2t 被曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝－1＋4sin θ截得的弦长．[解] 直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2t ，y ＝－2t ，的普通方程为x ＋y ＋1＝0曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝－1＋4sin θ，即圆心为(1，－1)，半径为4的圆则圆心(1，－1)到直线x ＋y ＋1＝0的距离 d ＝|1－1＋1|12＋12＝22.设直线被曲线截得的弦长为t ，则t ＝242－⎝⎛⎭⎫222＝62， ∴直线被曲线截得的弦长为62.直线⎩⎨⎧x ＝－1＋t2，y ＝32t(t 为参数)与圆x 2＋y 2＝a (a >0)相交于A 、B 两点，设P (－1，0)，且|P A |∶|PB |＝1∶2，求实数a 的值．[解] 法一：直线参数方程可化为：y ＝3(x ＋1)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3（x ＋1），x 2＋y 2＝a ，消去y ，得：4x 2＋6x ＋3－a ＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)(不妨设x 1<x 2)，则 Δ＝36－16(3－a )>0，① x 1＋x 2＝－32，②x 1·x 2＝3－a4，③ |P A ||PB |＝－1－x 1x 2＋1＝12，④ 由①②③④解得a ＝3.法二：将直线参数方程代入圆方程得 t 2－t ＋1－a ＝0设方程两根为t 1、t 2，则 Δ＝1－4(1－a )>0⇒a >34.t 1＋t 2＝1，t 1·t 2＝1－a .(*) 由参数t 的几何意义知 |P A ||PB |＝－t 1t 2＝12或|P A ||PB |＝－t 2t 1＝12. 由t 1t 2＝－12，解得a ＝3.能根据条件求椭圆、双曲线、抛物线的参数方程，并利用圆锥曲线的参数方程解最值、直线与圆锥曲线的位置关系等问题．已知点P (3，2)平分抛物线y 2＝4x 的一条弦AB ，求弦AB 的长． [解] 设弦AB 所在的直线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)， 代入方程y 2＝4x 整理得t 2sin 2α＋4(sin α－cos α)t －8＝0.①∵点P (3，2)是弦AB 的中点，由参数t 的几何意义可知，方程①的两个实根t 1、t 2满足关系t 1＋t 2＝0， sin α－cos α＝0， ∴0≤α＜π， ∴α＝π4.∴|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝4·8sin 2π4＝8. 过点B (0，－a )作双曲线x 2－y 2＝a 2右支的割线BCD ，又过右焦点F 作平行于BD 的直线，交双曲线于G 、H 两点．求证：|BC ||GF |·|BD ||FH |＝2. [证明] 当a ＞0时，设割线的倾斜角为α，则它的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝－a ＋t sin α(t 为参数)．①则过焦点F 平行于BD 的直线GH 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a ＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)．② 将①代入双曲线方程，得t 2cos 2α＋2at sin α－2a 2＝0. 设方程的解为t 1，t 2，则有|BC |·|BD |＝|t 1t 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a 2cos 2α，同理，|GF |·|FH |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2cos 2α.∴|BC ||GF |·|BD ||FH |＝2， 当a ＜0时，同理可得上述结果．一、选择题1．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋3t (t 为参数)所表示的图形分别是( )A ．圆、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．直线、直线解析：选A 由ρ＝cos θ，得x 2＋y 2＝x ，∴ρ＝cos θ表示一个圆．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－ty ＝2＋3t得到3x ＋y ＝－1，表示一条直线．2．设r >0，那么直线x cos θ＋y sin θ＝r (θ是常数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos φ，y ＝r sin φ(φ是参数)的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．视r 的大小而定 解析：选B 圆心到直线的距离d ＝|0＋0－r |cos 2θ＋sin 2θ＝|r |＝r ，故相切．3．双曲线⎩⎨⎧x ＝3tan θ，y ＝sec θ(θ为参数)，那么它的两条渐近线所成的锐角是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3tan θy ＝sec θ⇒y 2－x 23＝1，两条渐近线的方程是y ＝±33x ，所以两条渐近线所夹的锐角是60°.4．若动点(x ，y )在曲线x 24＋y 2b 2＝1(b >0)上变化，则x 2＋2y 的最大值为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧b 24＋4 （0<b <4），2b （b ≥4） B.⎩⎪⎨⎪⎧b 24＋4（0<b <2），2b （b ≥2） C.b 24＋4 D ．2b 解析：选A 设动点的坐标为(2cos θ，b sin θ)，代入x 2＋2y ＝4cos 2θ＋2b sin θ＝ －(2sin θ－b 2)2＋4＋b 24，当0<b <4时，(x 2＋2y )max ＝b 24＋4，当b ≥4时，(x 2＋2y )max ＝－(2－b 2)2＋4＋b 24＝2b .二、填空题5．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t sin 70°，y ＝2＋t cos 70°(t 为参数)的倾斜角的大小为________．解析：原参数方程变为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 20°y ＝1＋t sin 20°(t 为参数)，故直线的倾斜角为20°.答案：20°6．已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t ，y ＝2－4t (t 为参数)与直线l 2：2x －4y ＝5相交于点B ，又点A (1，2)，则|AB |＝________．解析：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t y ＝2－4t代入2x －4y ＝5得t ＝12，则B (52，0)，而A (1，2)，得|AB |＝52.答案：527．圆的渐开线参数方程为：⎩⎨⎧x ＝π4cos φ＋π4φsin φ，y ＝π4sin φ－π4φcos φ(φ为参数)．则基圆的面积为________．解析：易知，基圆半径为π4.∴面积为π·(π4)2＝116π3.答案：116π38．(重庆高考)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________．解析：ρcos θ＝4化为直角坐标方程为x ＝4 ①，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3，化为普通方程为y 2＝x 3②， ①、②联立得A (4，8)，B (4，－8)，故|AB |＝16. 答案：16 三、解答题9．经过P (－2，3)作直线交抛物线y 2＝－8x 于A 、B 两点． (1)若线AB 被P 平分，求AB 所在直线方程； (2)当直线的倾斜角为π4时，求|AB |.解：设AB 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)代入抛物线方程，整理得t 2sin 2α＋(6sin α＋8cos α)t －7＝0.于是t 1＋t 2＝－6sin α＋8cos αsin 2α，t 1t 2＝－7sin 2α. (1)若p 为AB 的中点，则t 1＋t 2＝0. 即6sin α＋8cos α＝0⇒tan α＝－43.故AB 所在的直线方程为y －3＝－43(x ＋2)．即4x ＋3y －1＝0.(2)|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝ （6sin α＋8cos αsin 2α）2－4（－7sin 2α）＝2sin 2α16＋12sin 2α，又α＝π4，∴|AB |＝2sin 2π4 16＋12sin （2×π4）＝87.10．已知对于圆x 2＋(y －1)2＝1上任意一点P (x ，y )，不等式x ＋y ＋m ≥0恒成立，求实数m 的取值范围．解：圆x 2＋(y －1)2＝1的参数方程可写为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ.∵x ＋y ＋m ≥0恒成立，∴cos θ＋1＋sin θ＋m ≥0恒成立．∵sin θ＋1＋cos θ＝2sin (θ＋π4)＋1≥1－2，∴m ≥－(1－2)．即m 的取值范围为[2－1，＋∞)．11．设P 为椭圆弧x 225＋y 29＝1(x ≥0，y ≥0)上的一动点，又已知定点A (10，6)，以P 、A为矩形对角线的两端点，矩形的边平行于坐标轴，求此矩形的面积的最值．解：设P (5cos θ，3sin θ)(0≤θ≤π2)，则矩形面积为S ＝(10－5cos θ)(6－3sin θ)＝15[4＋sin θcos θ－2(sin θ＋cos θ)]， 令t ＝sin θ＋cos θ，则sin θcos θ＝t 2－12，∴S ＝152(t －2)2＋452.∵t ∈[1，2]， ∴当t ＝1，即P (5，0)或P (0，3)处有最大值，最大值为30； 当t ＝2，即P (522，322)处有最小值，最小值为1352－30 2.(时间：90分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ(θ为参数)表示的曲线上的一个点的坐标是( )A ．(2，－7)B ．(1，0) C.⎝⎛⎭⎫12，12 D.⎝⎛⎭⎫13，23 解析：选C 由y ＝cos 2θ得y ＝1－2sin 2θ， ∴参数方程化为普通方程是y ＝1－2x 2(－1≤x ≤1)， 当x ＝12时，y ＝1－2×(12)2＝12，故选C.2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t (t 为参数)被圆x 2＋y 2＝9截得的弦长为( )A.125B.125 5 C.95 5 D.9510解析：选B⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t⇒⎩⎨⎧x ＝1＋5t ×25，y ＝1＋5t ×15，把直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t 代入x 2＋y 2＝9得(1＋2t )2＋(2＋t )2＝9，5t 2＋8t －4＝0.|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝（－85）2＋165＝125，弦长为5|t 1－t 2|＝1255.3．直线⎩⎨⎧x ＝1－15t ，y ＝－1＋25t(t 为参数)的斜率是( )A ．2 B.12C ．－2D ．－12解析：选C由⎩⎨⎧x ＝1－15t ， ①y ＝－1＋25t ， ②①×2＋②得2x ＋y －1＝0， ∴k ＝－2.4．若圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝3＋2sin θ(θ为参数)，直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1，y ＝6t －1(t为参数)，则直线与圆的位置关系是( )A ．过圆心B ．相交而不过圆心C ．相切D ．相离解析：选B 直线与圆的普通方程分别为3x －y ＋2＝0与(x ＋1)2＋(y －3)2＝4， 圆心(－1，3)到直线的距离 d ＝|－3－3＋2|10＝410＝2105，而d <2且d ≠0，故直线与圆相交而不过圆心．5．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θ(θ为参数)所表示的曲线为( )A ．抛物线的一部分B ．一条抛物线C ．双曲线的一部分D ．一条双曲线解析：选A x ＋y 2＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，即y 2＝－x ＋1. 又x ＝cos 2θ∈[0，1]，y ＝sin θ∈[－1，1]， ∴为抛物线的一部分．6．点P (x ，y )在椭圆（x －2）24＋(y －1)2＝1上，则x ＋y 的最大值为( )A ．3＋ 5B ．5＋ 5C ．5D ．6解析：选A 椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)， x ＋y ＝2＋2cos θ＋1＋sin θ＝3＋5sin (θ＋φ)， ∴(x ＋y )max ＝3＋ 5.7．过点(3，－2)且与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)有相同焦点的椭圆方程是( )A.x 215＋y 210＝1B.x 2152＋y 2102＝1 C.x 210＋y 215＝1 D.x 2102＋y 2152＝1 解析：选A 化为普通方程是x 29＋y 24＝1.∴焦点坐标为(－5，0)，(5，0)，排除B 、C 、D.8．已知过曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝5sin θ⎝⎛⎭⎫θ为参数且0≤θ≤π2上一点P 与原点O 的距离为13，则P 点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫332，52 B.⎝⎛⎭⎫322，522C.⎝⎛⎭⎫32，532 D.⎝⎛⎭⎫125，125 解析：选A 设P (3cos θ，5sin θ)，则|OP |2＝9cos 2θ＋25sin 2θ＝9＋16sin 2θ＝13， 得sin 2θ＝14.又0≤θ≤π2，∴sin θ＝12，cos θ＝32.∴x ＝3cos θ＝332.y ＝5sin θ＝52.∴P 坐标为(332，52)．9．设曲线⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ与x 轴交点为M 、N ，点P 在曲线上，则PM 与PN 所在直线的斜率之积为( )A ．－34B ．－43C.34D.43解析：选A 令y ＝0得sin θ＝0，∴cos θ＝±1. ∴M (－2，0)，N (2，0)．设P (2cos θ，3sin θ)． ∴k PM ·k PN ＝3sin θ2cos θ＋2·3sin θ2cos θ－2＝3sin 2θ4（cos 2θ－1）＝－34.10．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ＋a cos θ，y ＝a cos θ＋a sin θ(θ为参数)的图形是( )A ．第一、三象限的平分线B ．以(－a ，－a )、(a ，a )为端点的线段C ．以(－2a ，－2a )、(－a ，－a )为端点的线段和以(a ，a )、(2a ，2a )为端点的线段D ．以(－2a ，－2a )、(2a ，2a )为端点的线段解析：选D 显然y ＝x ，而x ＝a sin θ＋a cos θ＝2a sin(θ＋π4)，－2|a |≤x ≤2|a |.故图形是以(－2a ，－2a )、(2a ，2a )为端点的线段．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上) 11．(广东高考)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为________．解析：极坐标方程化为直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，令⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x －1，sin θ＝y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋1，y ＝sin θ(θ为参数)． 答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋1，y ＝sin θ(θ为参数)12．设直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝a ＋3t (t 为参数)，直线l 2的方程为y ＝3x －4，若直线l 1与l 2间的距离为10，则实数a 的值为________．解析：将直线l 1的方程化为普通方程得3x －y ＋a －3＝0，直线l 2方程即3x －y －4＝0，由两平行线的距离公式得|a －3＋4|10＝10⇒|a ＋1|＝10⇒a ＝9或a ＝－11.答案：9或－1113．直线y ＝2x －12与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin φ，y ＝cos 2φ(φ为参数)的交点坐标为________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin φ，y ＝cos 2φ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin φ， ①y ＝1－2sin 2φ， ②将①代入②中，得y ＝1－2x 2(－1≤x ≤1)， ∴2x 2＋y ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －12，2x 2＋y ＝1，解之得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝12或⎩⎨⎧x ＝－32，y ＝－72(舍去)．答案：(12，12)14．(陕西高考)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为________．解析：由题意得圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝14，圆心⎝⎛⎭⎫12，0在x 轴上，半径为12，则其圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12＋12cos α，y ＝12 sin α(α为参数)，注意α为圆心角，θ为同弧所对的圆周角，则有α＝2θ，有⎩⎨⎧x ＝12＋12cos 2θ，y ＝12sin 2θ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)求直线⎩⎨⎧x ＝1＋45t ，y ＝－1－35t (t 为参数)被曲线ρ＝2cos(θ＋π4)所截的弦长．解：将方程⎩⎨⎧x ＝1＋45t ，y ＝－1－35t ，ρ＝2cos (θ＋π4)分别化为普通方程3x ＋4y ＋1＝0，x 2＋y 2－x＋y ＝0，圆心C (12，－12)，半径为22，圆心到直线的距离d ＝110，弦长＝2r 2－d 2＝212－1100＝75. 16．(12分)(辽宁高考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(a ＞b ＞0，φ为参数)．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ＝α与C 1，C 2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝π2时，这两个交点重合．(1)分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值；(2)设当α＝π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α＝－π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积．解：(1)C 1，C 2的普通方程分别为x 2＋y 2＝1和x 29＋y 2＝1.因此C 1是圆，C 2是椭圆．当α＝0时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(1，0)，(a ，0)，因为这两点间的距离为2，所以a ＝3.当α＝π2时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(0，1)，(0，b )，因为这两点重合，所以b ＝1.(2)C 1，C 2的普通方程分别为x 2＋y 2＝1和x 29＋y 2＝1.当α＝π4时，射线l 与C 1交点A 1的横坐标为x ＝22，与C 2交点B 1的横坐标为x ′＝31010.当α＝－π4时，射线l 与C 1，C 2的两个交点A 2，B 2分别与A 1，B 1关于x 轴对称，因此四边形A 1A 2B 2B 1为梯形，故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为（2x ′＋2x ）（x ′－x ）2＝25.17．(12分)已知经过A (5，－3)且倾斜角的余弦值是－35的直线，直线与圆x 2＋y 2＝25交于B 、C 两点．(1)求BC 中点坐标；(2)求过点A 与圆相切的切线方程及切点坐标．解：(1)直线参数方程为⎩⎨⎧x ＝5－35t ，y ＝－3＋45t (t 为参数)，代入圆的方程得t 2－545t ＋9＝0.∴t M ＝t 1＋t 22＝275，则 x M ＝4425，y M ＝3325，中点坐标为M (4425，3325)． (2)设切线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋t cos α，y ＝－3＋t sin α(t 为参数)，代入圆的方程得t 2＋(10cos α－6sin α)t＋9＝0.Δ＝(10cos α－6sin α)2－36＝0，cos α＝0或tan α＝815.∴过A 点切线方程为x ＝5，8x －15y －85＝0.又t 切＝－b2a＝3sin α－5cos α，t 1＝3，t 2＝－3.将t 1，t 2代入切线的参数方程知，相应的切点为(5，0)，(4017，－7517)．18．(14分)在双曲线x 2－2y 2＝2上求一点P ，使它到直线x ＋y ＝0的距离最短，并求这个最短距离．解：设双曲线x 22－y 2＝1上一点P (2sec α，tan α)(0≤α＜2π，且α≠π2，α≠32π)，则它到直线x ＋y ＝0的距离为d ＝|2sec α＋tan α|2＝|2＋sin α|2|cos α|.于是d 2＝2＋22sin α＋sin 2α2cos 2α，化简得，(1＋2d 2)sin 2α＋22sin α＋2(1－d 2)＝0. ∵sin α是实数，∴Δ＝(22)2－8(1＋2d 2)(1－d 2)≥0， ∴d ≥22. 当d ＝22时，sin α＝－22， ∴α＝54π或74π，这时x 0＝－2，y 0＝1.或x 0＝2sec 74π＝2，y 0＝tan 74π＝－1.故当双曲线上的点P 为(－2，1)或(2，－1)时， 它到直线x ＋y ＝0的距离最小，这个最小值为22. 模块综合检测(时间：90分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t ，y ＝2－4t (t 为参数)，则直线l 的倾斜角的余弦值为( )A ．－45B ．－35C.35D.45解析：选B 由l 的参数方程可得l 的普通方程为4x ＋3y －10＝0，设l 的倾斜角为θ，则tan θ＝－43，由1cos 2θ＝sin 2θ＋cos 2θcos 2θ＝tan 2θ＋1，得cos 2θ＝925，又π2<θ<π，∴cos θ＝－35.2．柱坐标⎝⎛⎭⎫2，π3，1对应的点的直角坐标是( )A ．(3，－1，1)B ．(3，1，1)C ．(1，3，1)D ．(－1，3，1)解析：选C 由直角坐标与柱坐标之间的变换公式 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，z ＝1.3．在极坐标系中，点A 的极坐标是(1，π)，点P 是曲线C ：ρ＝2sin θ上的动点，则|P A |的最小值是( )A ．0 B. 2 C.2＋1 D.2－1解析：选D A 的直角坐标为(－1，0)，曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1，|AC |＝2，则|P A |min ＝2－1.4．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ＋t sin 15°，y ＝cos θ－t sin 75°(t 为参数，θ是常数)的倾斜角是( )A ．105°B ．75°C ．15°D ．165° 解析：选A 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ＋t sin 15°，y ＝cos θ－t sin 75°⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ＋t cos 75°，y ＝cos θ－t sin 75°， 消去参数t 得，y －cos θ＝－tan 75°(x －sin θ)， ∴k ＝－tan 75°＝tan (180°－75°)＝tan 105°.故直线的倾斜角是105°.5．双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan θ，y ＝21cos θ(θ为参数)的渐近线方程为( ) A ．y ＝±22x B ．y ＝±12xC ．y ＝±2xD ．y ＝±2x解析：选D 把参数方程化为普通方程得y 24－x 2＝1，渐近线方程为y ＝±2x .6．已知直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t sin 30°，y ＝－1＋t sin 30°(t 为参数)与圆x 2＋y 2＝8相交于B 、C 两点，O 为原点，则△BOC 的面积为( )A ．27 B.30 C.152 D.302解析：选C⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t sin 30°，y ＝－1＋t sin 30⇒⎩⎨⎧x ＝2－12t ＝2－22t ′，y ＝－1＋12t ＝－1＋22t ′(t ′为参数)． 代入x 2＋y 2＝8，得t ′2－32t ′－3＝0， ∴|BC |＝|t ′1－t ′2|＝（t ′1＋t ′2）2－4t ′1t ′2＝（32）2＋4×3＝30，弦心距d ＝8－304＝22，S △BCO ＝12|BC |·d ＝152.7．已知点P 的极坐标为(π，π)，则过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程为( ) A ．ρ＝π B ．ρ＝cos θ C ．ρ＝πcos θ D ．ρ＝－πcos θ解析：选D 设M (ρ，θ)为所求直线上任意一点，由图形知OM cos ∠POM ＝π，∴ρcos (π－θ)＝π. ∴ρ＝－πcos θ.8．直线l ：y ＋kx ＋2＝0与曲线C ：ρ＝2cos θ相交，则k 满足的条件是( ) A ．k ≤－34 B ．k ≥－34C ．k ∈RD ．k ∈R 且k ≠0解析：选A 由题意可知直线l 过定点(0，－2)，曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1.由图可知，直线l 与圆相切时，有一个交点，此时|k ＋2|k 2＋1＝1，得－k ＝34.若满足题意，只需－k ≥34.即k ≤－34即可．9．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θ，y ＝cos 2⎝⎛⎭⎫π4－θ2(θ为参数，0≤θ<2π)所表示的曲线是( ) A ．椭圆的一部分 B ．双曲线的一部分C ．抛物线的一部分，且过点⎝⎛⎭⎫－1，12 D ．抛物线的一部分，且过点⎝⎛⎭⎫1，12 解析：选D 由y ＝cos 2(π4－θ2)＝1＋cos （π2－θ）2＝1＋sin θ2，可得sin θ＝2y －1，由x ＝1＋sin θ得x 2－1＝sin θ， ∴参数方程可化为普通方程x 2＝2y ， 又x ＝1＋sin θ∈[0，2]．10．在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝π3，ρcos θ＋ρsin θ＝1围成的图形的面积为( )A.14 B.3－34 C.2－34 D.13解析：选B 三条直线的直角坐标方程依次为y ＝0，y ＝3x ，x ＋y ＝1，如图．围成的图形为△OPQ ，可得 S △OPQ ＝12|OQ |·|y P |＝12×1×33＋1＝3－34. 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)11．(江西高考)设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．解析：消去曲线C 中的参数t 得y ＝x 2，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y ＝x 2中，得ρ2cos 2θ＝ρsin θ，即ρcos 2θ－sin θ＝0.答案：ρcos 2θ－sin θ＝012．(安徽高考)在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R )的距离是________．解析：将ρ＝4sin θ化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心为(0，2)．将θ＝π6(ρ∈R )化成直角坐标方程为x －3y ＝0，由点到直线的距离公式可知圆心到直线的距离d ＝|0－23|2＝ 3.答案： 313．(广东高考)已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝ 2 cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)，C 在点(1，1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为________．解析：曲线C 的普通方程为：x 2＋y 2＝ ( 2 cos t )2＋( 2 sin t )2＝(cos 2t ＋sin 2t )＝2，由圆的知识可知，圆心(0，0)与切点(1，1)的连线垂直于切线l ，从而l 的斜率为－1，由点斜式可得直线l 的方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.由ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，可得l 的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－2＝0.答案：ρcos θ＋ρsin θ－2＝0或ρ(cos θ＋sin θ)＝214．(湖北高考)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数，a＞b ＞0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22m (m 为非零常数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆 O 相切，则椭圆C 的离心率为________．解析：由题意知，椭圆C 的普通方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝m ，圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝b 2，设椭圆C 的半焦距为c ，则根据题意可知，|m |＝c ，|m |2＝b ，所以有c ＝2b ，所以椭圆C 的离心率e ＝ca＝cb 2＋c 2＝63. 答案：63三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)(新课标全国卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，M 是C 1上的动点，P 点满足OP ―→＝2OM ―→，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.解：(1)设P (x ，y )，则由条件知M (x 2，y2)．由于M 点在C 1上，所以⎩⎨⎧x2＝2cos α，y2＝2＋2sin α.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.(α为参数)(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ1＝8sin θ. 射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.16．(12分)(福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2，0)，⎝⎛⎭⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)．(1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系．解：(1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2，0)，(0，233)，又P 为线段MN 的中点， 从而点P 的平面直角坐标为(1，33)， 故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝33x . (2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2，0)，(0，233)，所以直线l 的平面直角坐标方程为3x ＋3y －23＝0. 又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝2，圆心到直线l 的距离d ＝|23－33－23|3＋9＝32<r ，故直线l 与圆C 相交．17．(12分)已知某圆的极坐标方程为ρ2－42ρcos(θ－π4)＋6＝0，求：(1)圆的普通方程和参数方程；(2)在圆上所有的点(x ，y )中x ·y 的最大值和最小值．解：(1)原方程可化为ρ2－42ρ(cos θcos π4＋sin θsin π4)＋6＝0，即ρ2－4ρcos θ－4ρsinθ＋6＝0.①因为ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以①可化为x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0，即(x －2)2＋(y －2)2＝2，此方程即为所求圆的普通方程．设cos θ＝2（x －2）2，sin θ＝2（y －2）2，所以参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)． (2)由(1)可知xy ＝(2＋2cos θ)·(2＋2sin θ) ＝4＋22(cos θ＋sin θ)＋2cos θ·sin θ ＝3＋22(cos θ＋sin θ)＋(cos θ＋sin θ)2.②设t ＝cos θ＋sin θ，则t ＝2sin (θ＋π4)，t ∈[－2，2]．所以xy ＝3＋22t ＋t 2＝(t ＋2)2＋1.当t ＝－2时xy 有最小值为1； 当t ＝2时，xy 有最大值为9.18．(14分)曲线的极坐标方程为ρ＝21－cos θ，过原点作互相垂直的两条直线分别交此曲线于A 、B 和C 、D 四点，当两条直线的倾斜角为何值时，|AB |＋|CD |有最小值？并求出这个最小值．解：由题意，设A (ρ1，θ)，B (ρ2，π＋θ)，C (ρ3，θ＋π2)，D (ρ4，θ＋32π)．则|AB |＋|CD |＝(ρ1＋ρ2)＋(ρ3＋ρ4) ＝21－cos θ＋21＋cos θ＋21＋sin θ＋21－sin θ＝16sin 22θ.∴当sin 22θ＝1即θ＝π4或θ＝34π时，两条直线的倾斜角分别为π4，3π4时，|AB |＋|CD |有最小值16.。

一 曲线的参数方程第1课时 参数方程的概念及圆的参数方程学习目标 1.理解曲线参数方程的有关概念.2.掌握圆的参数方程.3.能够根据圆的参数方程解决最值问题．知识点一 参数方程的概念思考 在生活中，两个陌生的人通过第三方建立联系，那么对于曲线上点的坐标(x ，y )，直接描述它们之间的关系比较困难时，可以怎么办呢？ 答案 可以引入参数，作为x ，y 联系的桥梁． 梳理 参数方程的概念 (1)参数方程的定义在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t (θ，φ，…)的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，①并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，t 叫做参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫普通方程． (2)参数的意义参数是联系变数x ，y 的桥梁，可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．特别提醒：普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式，参数方程可以与普通方程进行互化．知识点二 圆的参数方程思考 如图，角θ的终边与单位圆交于一点P ，P 的坐标如何表示？答案 P (cos θ，sin θ)，由任意角的三角函数的定义即x ＝cos θ，y ＝sin θ. 梳理 圆的参数方程类型一 参数方程及应用例1 已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ，y ＝2t 2＋1(t 为参数)． (1)判断点M 1(0,1)，M 2(5,4)与曲线C 的位置关系； (2)已知点M 3(6，a )在曲线C 上，求a 的值． 解 (1)把点M 1的坐标(0,1)代入方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝3t ，1＝2t 2＋1.解得t ＝0.∴点M 1在曲线C 上．同理可知，点M 2不在曲线C 上． (2)∵点M 3(6，a )在曲线C 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧6＝3t ，a ＝2t 2＋1，解得t ＝2，a ＝9.∴a ＝9.反思与感悟 参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线位置关系的判断，与平面直角坐标普通方程下的判断方法是一致的．跟踪训练1 在平面直角坐标系中，已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝－2＋2sin θ(θ为参数)．(1)求曲线C 上的点Q (－3，－3)对应的参数θ的值； (2)若点P (m ，－1)在曲线C 上，求m 的值． 解 (1)把点Q 的坐标(－3，－3)代入参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ －3＝2cos θ，－3＝－2＋2sin θ，即⎩⎨⎧cos θ＝－32，sin θ＝－12，解得θ＝7π6＋2k π(k ∈Z )，故曲线上的点Q 对应的参数θ的值是7π6＋2k π(k ∈Z )．(2)把点P 的坐标(m ，－1)代入参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，－1＝－2＋2sin θ，解得sin θ＝12，故cos θ＝±32，即m ＝±3，即所求m 的值是±3. 类型二 求曲线的参数方程例2 如图，△ABP 是等腰直角三角形，∠B 是直角，腰长为a ，顶点B ，A 分别在x 轴、y 轴上滑动，求点P 在第一象限的轨迹的参数方程．解 方法一 设点P (x ，y )，过P 点作x 轴的垂线交x 轴于点Q .如图所示，则Rt △OAB ≌Rt △QBP .取OB ＝t ，t 为参数(0<t <a )． ∵|OA |＝a 2－t 2， ∴|BQ |＝a 2－t 2.又∵|PQ |＝|OB |＝t ，∴点P 在第一象限的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋a 2－t 2，y ＝t(0<t <a )．方法二 设点P (x ，y )，过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点Q ，如图所示．取∠QBP ＝θ，θ为参数⎝⎛⎭⎫0<θ<π2， 则∠ABO ＝π2－θ，在Rt △OAB 中，|OB |＝a cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝a sin θ. 在Rt △QBP 中，|BQ |＝a cos θ，|PQ |＝a sin θ. ∴点P 在第一象限的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a (sin θ＋cos θ)，y ＝a sin θ(θ为参数，0<θ<π2)．反思与感悟 求曲线参数方程的主要步骤(1)画出轨迹草图，设M (x ，y )是轨迹上任意一点的坐标． (2)选择适当的参数，参数的选择要考虑以下两点①曲线上每一点的坐标x ，y 与参数的关系比较明显，容易列出方程； ②x ，y 的值可以由参数惟一确定．(3)根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略．跟踪训练2 长为3的线段两端点A ，B 分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上滑动，AB →＝3AP →，点P 的轨迹为曲线C .(1)以直线AB 的倾斜角α为参数，求曲线C 的参数方程； (2)求点P 到点D (0，－2)距离的最大值． 解 (1)设P (x ，y )，由题意，得 x ＝23|AB |cos(π－α)＝－2cos α， y ＝13|AB |sin(π－α)＝sin α. 所以曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2cos α，y ＝sin α.(α为参数，π2<α<π)(2)由(1)得|PD |2＝(－2cos α)2＋(sin α＋2)2 ＝4cos 2α＋sin 2α＋4sin α＋4 ＝－3sin 2α＋4sin α＋8 ＝－3⎝⎛⎭⎫sin α－232＋283. 当sin α＝23时，|PD |取得最大值2213.类型三 圆的参数方程及应用例3 如图，圆O 的半径为2，P 是圆O 上的动点，Q (4,0)在x 轴上．M 是PQ 的中点，当点P 绕O 作匀速圆周运动时，(1)求点M 的轨迹的参数方程，并判断轨迹所表示的图形； (2)若(x ，y )是M 轨迹上的点，求x ＋2y 的取值范围． 解 (1)设点M (x ，y )，令∠xOP ＝θ，。

第二讲 参数方程复习课学习目标 1.梳理知识要点，构建知识网络.2.进一步巩固对参数方程等相关概念的理解和认识.3.能综合应用极坐标、参数方程解决问题．1．参数方程的定义一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数错误!①并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．参数方程中的参数可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．2．常见曲线的参数方程 (1)直线过定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x0＋tcos α，y ＝x0＋tsin α(t为参数)． (2)圆 ①圆x 2＋y 2＝r2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rcos θ，y ＝rsin θ(θ为参数)；②圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋rcos θ，y ＝b ＋rsin θ(θ为参数)．(3)椭圆中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a >b >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos φ，y ＝bsin φ(φ为参数)．(4)双曲线中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线b 2x 2－a 2y 2＝a 2b 2(a >0，b >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝asec φ，y ＝btan φ(φ为参数)．(5)抛物线抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2ptan2α，y ＝2ptan α(α为参数)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt2，y ＝2pt (t为参数)．类型一 参数方程化为普通方程 例1 把下列参数方程化为普通方程：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ－4sin θ，y ＝2cos θ＋sin θ(θ为参数)；(2)错误!(t 为参数，a ，b >0)． 解 (1)关于cos θ，sin θ的方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ－4sin θ，y ＝2cos θ＋sin θ，变形得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝y －2x9，cos θ＝x ＋4y9.∴⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4y 92＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2x 92＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，即5x 2＋4xy ＋17y 2－81＝0. (2)由错误!解得错误! ∴①2－②2，得4x2a2－4y2b2＝4，∴x2a2－y2b2＝1(x >0)． 反思与感悟 参数方程化为普通方程的注意事项(1)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致，由参数方程化为普通方程时需要考虑x 的取值范围，注意参数方程与消去参数后所得的普通方程同解性的判定．(2)消除参数的常用方法：①代入消参法；②三角消参法；③根据参数方程的特征，采用特殊的消参手段．跟踪训练1 判断方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ＋1sin θ，y ＝sin θ－1sin θ(θ是参数且θ∈(0，π))表示的曲线的形状．解 ∵x 2－y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋1sin θ2－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－1sin θ2＝4， 即x 2－y 2＝4，∴x24－y24＝1.又∵θ∈(0，π)，∴sin θ>0，∴x ＝sin θ＋1sin θ≥2， 当且仅当θ＝π2时等号成立，又y ＝sin θ－1sin θ＝sin2θ－1sin θ≤0， ∴曲线为等轴双曲线x24－y24＝1在右支位于x 轴下方的部分．类型二 参数方程的应用 命题角度1 直线参数方程的应用例2 已知点P (3,2)平分抛物线y 2＝4x 的一条弦AB ，求弦AB 的长．解 设弦AB 所在的直线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋tcos α，y ＝2＋tsin α(t 为参数)，代入方程y 2＝4x 整理，得t 2sin 2α＋4(sin α－cos α)t －8＝0.①∵点P (3,2)是弦AB 的中点，由参数t 的几何意义可知，方程①的两个实根t 1，t 2满足关系t 1＋t 2＝0. 即sin α－cos α＝0.∵0≤α<π，∴α＝π4.∴|AB |＝|t 1－t 2|＝错误!＝错误!＝8.反思与感悟 应用直线的参数方程求弦长要注意的问题 (1)直线的参数方程应为标准形式． (2)要注意直线倾斜角的取值范围．(3)设直线上两点对应的参数分别为t 1，t 2. (4)套公式|t 1－t 2|求弦长．跟踪训练2 直线l 过点P 0(－4,0)，它的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋32t ，y ＝12t(t 为参数)，直线l 与圆x 2＋y 2＝7相交于A ，B 两点． (1)求弦长|AB |；(2)过P 0作圆的切线，求切线长． 解 将直线l 的参数方程代入圆的方程， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫－4＋32t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 2＝7，整理得t 2－43t ＋9＝0. (1)设A 和B 两点对应的参数分别为t 1和t 2，由根与系数的关系，得t 1＋t 2＝43，t 1t 2＝9.故|AB |＝|t 2－t 1|＝错误!＝2错误!. (2)设圆过P 0的切线为P 0T ，T 在圆上， 则|P 0T |2＝|P 0A |·|P 0B |＝|t 1t 2|＝9， ∴切线长|P 0T |＝3.命题角度2 曲线参数方程的应用例3 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2.(1)求曲线C 与直线l 在该直角坐标系下的普通方程；(2)动点A 在曲线C 上，动点B 在直线l 上，定点P (－1,1)，求|PB |＋|AB |的最小值．解 (1)由曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α，可得(x －2)2＋y 2＝1，由直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，可得ρ(sin θ＋cos θ)＝4， 即x ＋y ＝4.(2)方法一 设P 关于直线l 的对称点为Q (a ，b )， 故错误!⇒错误! 所以Q (3,5)，由(1)知曲线C 为圆，圆心C (2,0)，半径r ＝1， |PB |＋|AB |＝|QB |＋|AB |≥|QC |－1.仅当Q ，B ，A ，C 四点共线时，且A 在B ，C 之间时等号成立，故(|PB |＋|AB |)min ＝26－1.方法二 如图，圆心C 关于直线l 的对称点为D (4,2)，连接PD ，交直线l 于点B ，此时|PB |＋|AB |有最小值，且|PB |＋|AB |＝|PB |＋|BC |－1＝|PB |＋|BD |－1＝|PD |－1＝26－1.反思与感悟 (1)关于折线段的长度和或长度差的最大值或最小值的求法，常常利用对称性以及两点之间线段最短解决．(2)有关点与圆、直线与圆的最大值或最小值问题，常常转化为经过圆心的直线、圆心到直线的距离等．跟踪训练3 已知曲线C ：x24＋y29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．解 (1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|，则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.类型三 极坐标与参数方程例4 在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α，y ＝tsin α(t 为参数)，l 与圆C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)方法一 在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )． 设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程，得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝错误!＝错误!.由|AB |＝10，得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153. 方法二 把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α，y ＝tsin α代入(x ＋6)2＋y 2＝25，得t 2＋(12cos α)t ＋11＝0， 设A ，B 对应的参数为t 1，t 2， 所以t 1＋t 2＝－12cos α，t 1t 2＝11.则|AB |＝|t 1－t 2|＝错误!＝错误!＝错误!，所以cos 2α＝错误!，所以tan α＝±错误!. 所以l 的斜率为153或－153.反思与感悟 (1)极坐标与参数方程综合是高考的重点、热点．(2)解决此类问题一般可以转化为直角坐标下求解．当然也可以转化为极坐标下求解，关键是根据题目特点合理转化．跟踪训练4 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cost ，y ＝23sint(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为3ρcos θ＋2ρsin θ＝12.(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，M 为曲线C 与y 轴负半轴的交点，求四边形OMAB 的面积．解 (1)由⎩⎨⎧x ＝4cos t ，y ＝23sin t ，得⎩⎪⎨⎪⎧x 4＝cos t ，y23＝sin t ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 232＝(cos t )2＋(sin t )2＝1， 所以曲线C 的普通方程为x216＋y212＝1.在3ρcos θ＋2ρsin θ＝12中，由ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ， 得3x ＋2y －12＝0，所以直线l 的直角坐标方程为3x ＋2y －12＝0.(2)由(1)可得M (0，－23)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x216＋y212＝1，3x ＋2y －12＝0，易得A (4,0)，B (2,3)，所以四边形OMAB 的面积为12×4×(3＋23)＝6＋4 3.1．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝10sin θ(θ为参数)的焦点坐标为( )A ．(±3,0)B ．(0，±3)C ．(±6,0)D ．(0，±6)答案 D解析 曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝10sin θ(θ为参数)的普通方程为y2102＋x282＝1，这是焦点在y 轴上的椭圆，c 2＝a 2－b 2＝62， 所以焦点坐标为(0，±6)．2．椭圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(0≤φ<2π)，则椭圆的离心率为( )A.12B.32C.22D.34 答案 A3．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1＋4t(t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝22sin θ，则直线l 与圆C 的位置关系为( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．由参数确定答案 C4．点P (1,0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2，y ＝2t (t 为参数)上的点的最短距离为________．答案 1解析 设点P (1,0)到曲线上的点的距离为d ，则d ＝错误!＝错误!＝错误!＝t 2＋1≥1.所以点P 到曲线上的点的距离的最小值为1.5．在平面直角坐标系xOy 中，设P (x ，y )是椭圆x23＋y 2＝1上的一个动点，求S ＝x ＋y 的最大值和最小值．解 椭圆x23＋y 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，故设动点P (3cosφ，sin φ)，其中φ∈[0,2π)． 因此S ＝x ＋y ＝3cos φ＋sin φ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3cos φ＋cos π3·sin φ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ＋π3. ∴当φ＝π6时，S 取得最大值2；当φ＝7π6时，S 取得最小值－2.1．参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式．某些曲线上点的坐标，用普通方程描述它们之间的关系比较困难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解，而用参数方程来描述曲线上点的坐标的间接关系比较方便，学习参数方程有助于进一步体会数学方法的灵活多变，提高应用意识和实践能力．2．参数方程、极坐标方程是解析几何曲线方程的另外两种巧妙的表达形式，解题时要善于根据解题的需求将参数方程与普通方程进行互化，达到方便解题的目的，同时注意参数的范围．一、选择题1．在极坐标系中，直线2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2＋2与圆ρ＝2sin θ的位置关系为( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．以上都有可能答案 B解析 直线2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2＋2与圆ρ＝2sin θ的直角坐标方程分别为x ＋y ＝2＋1，x 2＋(y －1)2＝1，圆心(0,1)到直线x ＋y －(2＋1)＝0的距离d ＝错误!＝1，所以直线与圆相切．2．下列各点在方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos2θ(θ为参数)所表示的曲线上的为( )A ．(2，－7)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12 D ．(1,0)答案 C3．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t(t 为参数)上与点P (－2,3)的距离等于2的点的坐标是( )A ．(－4,5)B ．(－3,4)C ．(－3,4)或(－1,2)D ．(－4,5)或(0,1)答案 C4．下列参数方程(t 为参数)与普通方程x 2－y ＝0表示同一曲线方程的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|t|，y ＝tB.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cost ，y ＝cos2tC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tant ，y ＝1＋cos2t1－cos2tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tant ，y ＝1－cos2t1＋cos2t答案 D解析 注意参数的范围，可利用排除法，普通方程x 2－y ＝0中的x ∈R ，y ≥0.A 中x ＝|t |≥0，B 中x ＝cos t ∈[－1,1]，故排除A 和B ；而C 中y ＝2cos2t 2sin2t ＝1tan2t ＝1x2，即x 2y＝1，故排除C.5．抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t ，y ＝4t2(t 为参数)的准线方程是( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．y ＝1D ．y ＝－1答案 D解析 由x ＝4t ，得t 2＝x216，∴y ＝4t 2＝x24，即x 2＝4y ，∴准线方程为y ＝－1.6．若直线y ＝x －b 与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ， θ∈[0,2π)有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围是( )A ．(2－2，1)B ．[2－2，2＋2]C ．(－∞，2－2)∪(2＋2，＋∞)D ．(2－2，2＋2)答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ消去θ，得(x －2)2＋y 2＝1.(*) 将y ＝x －b 代入(*)式， 化简得2x 2－(4＋2b )x ＋b 2＋3＝0， 依题意知，Δ＝[－(4＋2b )]2－4×2(b 2＋3)>0，解得2－2<b <2＋ 2.二、填空题7．点(－3,0)到直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2t ，y ＝22t (t 为参数)的距离为________． 答案 1解析 ∵直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝22t 的普通方程为x －22y ＝0， ∴点(－3,0)到直线的距离为d ＝错误!＝1. 8．已知P 为椭圆4x 2＋y 2＝4上的点，O 为原点，则|OP |的取值范围是________．答案 [1,2]解析 由4x 2＋y 2＝4，得x 2＋y24＝1. 令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)， 则|OP |2＝x 2＋y 2＝cos 2φ＋4sin 2φ＝1＋3sin 2φ.∵0≤sin 2φ≤1，∴1≤1＋3sin 2φ≤4，∴1≤|OP |≤2.9．在极坐标系中，直线过点(1,0)且与直线θ＝π3(ρ∈R )垂直，则直线的极坐标方程为________________________________________________________________________．答案 2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1(或2ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1、ρcos θ＋3ρsin θ＝1) 解析 由题意可知在平面直角坐标系中，直线θ＝π3的斜率是3，所求直线过点(1,0)，且斜率是－13，所以直线方程为y ＝－13(x －1)，化成极坐标方程为ρsin θ＝－13(ρcos θ－1)，化简得2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1. 10．已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，7π4，则点A 到直线l 的距离为______________________________________________________________．答案 522解析 ∵2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2， ∴2ρ⎝⎛⎭⎪⎫sin θcos π4－cos θsin π4＝2(ρsin θ－ρcos θ)＝2， 即ρsin θ－ρcos θ＝1，∴直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.∵点A ⎝⎛⎭⎪⎫22，7π4的直角坐标为(2，－2)， ∴点A 到直线l 的距离d ＝|2＋2＋1|2＝522. 三、解答题11．已知x ，y 满足(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，求S ＝3x －y 的最值．解 由(x －1)2＋(y ＋2)2＝4可知，曲线表示以(1，－2)为圆心，2为半径的圆． 令x ＝1＋2cos θ，y ＝－2＋2sin θ，则S ＝3x －y ＝3(1＋2cos θ)－(－2＋2sin θ)＝5＋6cos θ－2sin θ＝5＋210·sin(θ＋φ)(其中tan φ＝－3)，所以，当sin(θ＋φ)＝1时，S 取得最大值5＋210；当sin(θ＋φ)＝－1时，S 取得最小值5－210.12．已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．解 (1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0，圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16.(2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心(0,0)到直线l 的距离d ＝|－2a|5≤4， 解得－25≤a ≤2 5. 即实数a 的取值范围为[－25，25]．13．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数，且0≤θ<2π)，点M 是曲线C 1上的动点．(1)求线段OM 的中点P 的轨迹的直角坐标方程；(2)以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l 的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＋1＝0(ρ>0)，求点P 到直线l 距离的最大值．解 (1)曲线C 1上的动点M 的坐标为(4cos θ，4sin θ)，坐标原点为O (0,0)，设P 的坐标为(x ，y )，则由中点坐标公式，得x ＝12(0＋4cos θ)＝2cos θ，y ＝12(0＋4sin θ)＝2sin θ， 所以点P 的坐标为(2cos θ，2sin θ)，因此点P 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数，且0≤θ<2π)，消去参数θ，得点P 轨迹的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.(2)由直角坐标与极坐标关系，得直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0.又点P 的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆，因为原点(0,0)到直线x －y ＋1＝0的距离为错误!＝错误!＝错误!，所以点P 到直线l 距离的最大值为2＋22. 四、探究与拓展14．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋t ，y ＝3＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0(ρ≥0,0≤θ<2π)，则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ＝________.答案 5解析 直线l 的普通方程为y ＝x ＋1，曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x ，联立两方程⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋1，y2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2.所以公共点为(1,2)，所以公共点的极径为ρ＝22＋1＝ 5.15．设飞机以v ＝150m/s 的速度水平匀速飞行，若在飞行高度h ＝588m 处投弹(假设炸弹的初速度等于飞机的速度)．(1)求炸弹离开飞机后的轨迹方程；(2)试问飞机在离目标多远(水平距离)处投弹才能命中目标．解 (1)如图所示，A 为投弹点，坐标为(0,588)，B 为目标，坐标为(x 0,0)．记炸弹飞行的时间为t ，在A 点t ＝0.设M (x ，y )为飞行曲线上的任一点，它对应时刻t ，炸弹初速度v 0＝150 m/s ，用物理学知识，分别计算水平、竖直方向的路程，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝v0t ，y ＝588－12gt2(g ＝9.8 m/s 2)，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝150t ，y ＝588－4.9t2，所以炸弹离开飞机后的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝150t ，y ＝588－4.9t2(0≤t ≤230)．(2)炸弹飞行到地面目标B 处的时间t 0满足方程y ＝0，即588－4.9t 20＝0，解得t 0＝230 s.将t 0＝230代入x ＝150t 中，得x 0＝30030 m.即飞机在离目标30030 m(水平距离)处投弹才能命中目标．。

2．圆的参数方程[对应学生用书P17]圆的参数方程(1)在t 时刻，圆周上某点M 转过的角度是θ，点M 的坐标是(x ，y )，那么θ＝ωt (ω为角速度)．设|OM |＝r ，那么由三角函数定义，有cos ωt ＝x r ，sin ωt ＝yr ，即圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝r cos ωty ＝r sin ωt (t 为参数)．其中参数t 的物理意义是：质点做匀速圆周运动的时间．(2)若取θ为参数，因为θ＝ωt ，于是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝r cos θy ＝r sin θ(θ为参数)．其中参数θ的几何意义是：OM 0(M 0为t ＝0时的位置)绕点O 逆时针旋转到OM 的位置时，OM 0转过的角度．(3)若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为R ，则圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋R cos θy ＝y 0＋R sin θ(0≤θ＜2π)．[对应学生用书P17][例1] 圆(x －r )2＋y 2＝r 2(r ＞0)，点M 在圆上，O 为原点，以∠MOx ＝φ为参数，求圆的参数方程．[思路点拨] 根据圆的特点，结合参数方程概念求解．[解] 如图所示，设圆心为O ′，连O ′M ，∵O ′为圆心， ∴∠MO ′x ＝2φ. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos 2φ，y ＝r sin 2φ.(1)确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题容易把参数方程写成⎩⎨⎧x ＝r ＋r cos φ，y ＝r sin φ.(2)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．1．已知圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，写出它的参数方程． 解：x 2＋y 2＝2x 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1， 设x －1＝cos θ，y ＝sin θ，则参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜2π)．2．已知点P (2,0)，点Q 是圆⎩⎨⎧x ＝cos θy ＝sin θ上一动点，求PQ 中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解：设中点M (x ，y )．则⎩⎨⎧x ＝2＋cos θ2，y ＝0＋sin θ2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12cos θ，y ＝12sin θ，(θ为参数)这就是所求的轨迹方程．它是以(1,0)为圆心，以12为半径的圆.[例2] 若x ，y 满足(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，求2x ＋y 的最值．[思路点拨] (x －1)2＋(y ＋2)2＝4表示圆，可考虑利用圆的参数方程将求2x ＋y 的最值转化为求三角函数最值问题．[解] 令x －1＝2cos θ，y ＋2＝2sin θ，则有 x ＝2cos θ＋1，y ＝2sin θ－2， 故2x ＋y ＝4cos θ＋2＋2sin θ－2. ＝4cos θ＋2sin θ＝25sin(θ＋φ)． ∴－25≤2x ＋y ≤2 5.即2x ＋y 的最大值为25，最小值为－25.圆的参数方程突出了工具性作用，应用时，把圆上的点的坐标设为参数方程形式，将问题转化为三角函数问题，利用三角函数知识解决问题．3．已知圆C ⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，求实数a 的取值范围．解：法一：∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ消去θ，得x 2＋(y ＋1)2＝1.∴圆C 的圆心为(0，－1)，半径为1. ∴圆心到直线的距离d ＝|0－1＋a |2≤1.解得1－2≤a ≤1＋ 2.法二：将圆C 的方程代入直线方程，得 cos θ－1＋sin θ＋a ＝0，即a ＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－2sin(θ＋π4)． ∵－1≤sin(θ＋π4)≤1，∴1－2≤a ≤1＋ 2.[对应学生用书P19]一、选择题1．圆的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．则圆的圆心坐标为( ) A ．(0,2) B ．(0，－2) C ．(－2,0)D ．(2,0)解析：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ化为(x －2)2＋y 2＝4，其圆心坐标为(2,0)．答案：D2．直线：x ＋y ＝1与曲线⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ化为x 2＋y 2＝4，它表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆，由于12＝22<2＝r ，故直线与圆相交，有两个公共点． 答案：C3．直线：3x －4y －9＝0与圆：⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ，(θ为参数)的位置关系是( )A ．相切B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心解析：圆心坐标为(0,0)，半径为2，显然直线不过圆心，又圆心到直线距离d ＝95<2，故选D.答案：D4．P (x ，y )是曲线⎩⎨⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数)上任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为( )A ．36B ．6C ．26D ．25解析：设P (2＋cos α，sin α)，代入得： (2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2 ＝25＋sin 2α＋cos 2α－6cos α＋8sin α ＝26＋10sin(α－φ)．∴最大值为36. 答案：A 二、填空题5．x ＝1与圆x 2＋y 2＝4的交点坐标是________． 解析：圆x 2＋y 2＝4的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，令2cos θ＝1得cos θ＝12，∴sin θ＝±32. ∴交点坐标为(1，3)和(1，－3)． 答案：(1，3)；(1，－3)6．参数方程⎩⎨⎧x ＝3cos φ＋4sin φ，y ＝4cos φ－3sin φ表示的图形是________．解析：x 2＋y 2＝(3cos φ＋4sin φ)2＋(4cos φ－3sin φ)2＝25.∴表示圆． 答案：圆7．设Q (x 1，y 1)是单位圆x 2＋y 2＝1上一个动点，则动点P (x 21－y 21，x 1y 1)的轨迹方程是________．解析：设x 1＝cos θ，y 1＝sin θ，P (x ，y )．则⎩⎨⎧x ＝x 21－y 21＝cos 2θ，y ＝x 1y 1＝12sin 2θ.即⎩⎨⎧x ＝cos 2θ，y ＝12sin 2θ，为所求．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θy ＝12sin 2θ三、解答题8．P 是以原点为圆心，r ＝2的圆上的任意一点，Q (6,0)，M 是PQ 中点 ①画图并写出⊙O 的参数方程；②当点P 在圆上运动时，求点M 的轨迹的参数方程． 解：①如图所示，⊙O 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ.②设M (x ，y )，P (2cos θ，2sin θ)， 因Q (6,0)，∴M 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋2cos θ2，y ＝2sin θ2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ.9．(新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t(t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.10．已知直线C 1：⎩⎨⎧ x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，圆C 2：⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点．当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．解：(1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －1)，x 2＋y 2＝1，解得C 1与C 2的交点为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32.(2)C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0. A 点坐标为(sin 2α，－cos αsin α)， 故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin 2α，y ＝－12sin αcos α，(α为参数)．P 点轨迹的普通方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋y 2＝116.故P 点轨迹是圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，半径为14的圆．。

二 圆锥曲线的参数方程1．理解椭圆的参数方程及其应用．(重点) 2．了解双曲线、抛物线的参数方程．3．能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题．(难点、易错点)[基础·初探]教材整理1 椭圆的参数方程阅读教材P 27～P 29“思考”及以上部分，完成下列问题．普通方程参数方程x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0) ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数)y 2a 2＋x2b 2＝1(a >b >0) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b cos φy ＝a sin φ(φ为参数)椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φy ＝5sin φ(φ为参数)的离心率为( )A.45 B.35 C.34D.15【解析】 由椭圆方程知a ＝5，b ＝4，∴c 2＝9，c ＝3，e ＝35.【答案】 B教材整理2 双曲线的参数方程 阅读教材P 29～P 32，完成下列问题.普通方程参数方程x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec φy ＝b tan φ(φ为参数)下列双曲线中，与双曲线⎩⎨⎧x ＝3sec θ，y ＝tan θ(θ为参数)的离心率和渐近线都相同的是( )A.y 23－x 29＝1B.y 23－x 29＝－1 C.y 23－x 2＝1 D.y 23－x 2＝－1 【解析】 由x ＝3sec θ得， x 2＝3cos 2θ＝3sin 2θ＋cos 2θcos 2θ＝3tan 2θ＋3， 又∵y ＝tan θ，∴x 2＝3y 2＋3，即x 23－y 2＝1.经验证可知，选项B 合适． 【答案】 B教材整理3 抛物线的参数方程阅读教材P 33～P 34“习题”以上部分，完成下列问题． 1．抛物线y2＝2px 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2y ＝2pt(t 为参数)．2．参数t 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．若点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t2y ＝4t (t 为参数)上，则|PF |＝________.【解析】 抛物线为y 2＝4x ，准线为x ＝－1， |PF |等于点P (3，m )到准线x ＝－1的距离，即为4. 【答案】 4[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑：疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：椭圆的参数方程及应用将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)化为普通方程，并判断方程表示曲线的焦点坐标．【思路探究】 根据同角三角函数的平方关系，消去参数，化为普通方程，进而研究曲线形状和几何性质．【自主解答】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝3sin θ得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x5，sin θ＝y3，两式平方相加，得x 252＋y 232＝1.∴a ＝5，b ＝3，c ＝4.因此方程表示焦点在x 轴上的椭圆，焦点坐标为F 1(4,0)和F 2(－4,0)．椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ，(θ为参数，a ，b 为常数，且a >b >0)中，常数a ，b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长，焦点在长轴上．[再练一题]1．若本例的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝5sin θ，(θ为参数)，则如何求椭圆的普通方程和焦点坐标？【解】 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝5sin θ，化为⎩⎪⎨⎪⎧x3＝cos θ，y5＝sin θ，两式平方相加，得x 232＋y 252＝1.其中a ＝5，b ＝3，c ＝4.所以方程的曲线表示焦点在y 轴上的椭圆，焦点坐标为F 1(0，－4)与F 2(0,4).双曲线参数方程的应用求证：双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值．【思路探究】 设出双曲线上任一点的坐标，可利用双曲线的参数方程简化运算．【自主解答】 由双曲线x 2a 2－y 2b2＝1，得两条渐近线的方程是：bx ＋ay ＝0，bx －ay ＝0， 设双曲线上任一点的坐标为(a sec φ，b tan φ)， 它到两渐近线的距离分别是d 1和d 2， 则d 1·d 2＝|ab sec φ＋ab tan φ|b 2＋a 2·|ab sec φ－ab tan φ|b 2＋－a 2＝|a 2b2sec 2 φ－tan 2 φ|a 2＋b 2＝a 2b2a 2＋b2(定值)．在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离公式对参数形式的点的坐标仍适用，另外本题要注意公式sec 2φ－tan 2φ＝1的应用．[再练一题]2．如图2­2­1，设P 为等轴双曲线x 2－y 2＝1上的一点，F 1、F 2是两个焦点，证明：|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.图2­2­1【证明】 设P (sec φ，tan φ)， ∵F 1(－2，0)，F 2(2，0)， ∴|PF 1|＝sec φ＋22＋tan 2φ＝2sec 2φ＋22sec φ＋1，|PF 2|＝sec φ－22＋tan 2φ＝2sec 2φ－22sec φ＋1，|PF 1|·|PF 2|＝2sec 2φ＋12－8sec 2φ＝2sec 2φ－1.∵|OP |2＝sec 2φ＋tan 2φ＝2sec 2φ－1， ∴|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.抛物线的参数方程设抛物线y 2＝2px 的准线为l ，焦点为F ，顶点为O ，P 为抛物线上任一点，PQ ⊥l于Q ，求QF 与OP 的交点M 的轨迹方程.【导学号：91060021】【思路探究】 解答本题只要解两条直线方程组成的方程组得到交点的参数方程，然后化为普通方程即可．【自主解答】 设P 点的坐标为(2pt 2,2pt )(t 为参数)， 当t ≠0时，直线OP 的方程为y ＝1tx ，QF 的方程为y ＝－2t ⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2，它们的交点M (x ，y )由方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1t x y ＝－2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2确定，两式相乘，消去t ，得y 2＝－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，∴点M 的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0(x ≠0)． 当t ＝0时，M (0,0)满足题意，且适合方程2x 2－px ＋y 2＝0. 故所求的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0.1．抛物线y2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)，参数t 为任意实数，它表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．2．用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程．[再练一题]3．已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)，其中p >0，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E ，若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________.【解析】 根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y 2＝2px ，所以y 2M ＝6p ，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，±6p ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以p2＋3＝p 2＋6p ，所以p 2＋4p －12＝0，解得p ＝2(负值舍去)．【答案】 2[构建·体系]圆锥曲线的参数方程—⎪⎪⎪—椭圆的参数方程—双曲线的参数方程—抛物线的参数方程1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)化为普通方程为( )A ．x 2＋y 24＝1 B ．x 2＋y 22＝1C ．y 2＋x 24＝1D ．y 2＋x 24＝1【解析】 易知cos θ＝x ，sin θ＝y2，∴x 2＋y 24＝1，故选A.【答案】 A2．方程⎩⎪⎨⎪⎧x cos θ＝a ，y ＝b cos θ(θ为参数，ab ≠0)表示的曲线是( )【导学号：91060022】A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．双曲线的一部分【解析】 由x cos θ＝a ，∴cos θ＝ax， 代入y ＝b cos θ，得xy ＝ab ，又由y ＝b cos θ知，y ∈[－|b |，|b |]， ∴曲线应为双曲线的一部分． 【答案】 D3．圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．【解析】 将参数方程化为普通方程为y 2＝4x ，表示开口向右，焦点在x 轴正半轴上的抛物线，由2p ＝4⇒p ＝2，则焦点坐标为(1,0)．【答案】 (1,0) 4．在直角坐标系xOy中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t(t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________.【解析】 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t ，消去参数t 得2x ＋y －3＝0.又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ，消去参数θ得x 2a 2＋y 29＝1.方程2x ＋y －3＝0中，令y ＝0得x ＝32，将⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0代入x 2a 2＋y 29＝1，得94a 2＝1. 又a >0，∴a ＝32.【答案】 325．已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，求它们的交点坐标．【解】 将⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π)化为普通方程得：x 25＋y 2＝1(0≤y ≤1，x ≠－5)，将x ＝54t 2，y ＝t 代入得：516t 4＋t 2－1＝0，解得t 2＝45，∴t ＝255(y ＝t ≥0)，x ＝54t 2＝54×45＝1，∴交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，255.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)学业分层测评(七) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．曲线C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝5sin φ(φ为参数)的离心率为( )A.23B.35C.32D.53【解析】 由题设，得x 29＋y 25＝1，∴a 2＝9，b 2＝5，c 2＝4，因此e ＝c a ＝23.【答案】 A 2．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P ，原点为O ，直线PO 的倾斜角为π4，则P 点坐标是( )A ．(3,4) B.⎝⎛⎭⎪⎫322，22 C ．(－3，－4) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫125，125 【解析】 因为y －0x －0＝43tan θ＝tan π4＝1，所以tan θ＝34，所以cos θ＝45，sin θ＝35，代入得P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫125，125.【答案】 D3．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α2＋cos α2，y ＝2＋sin α(α为参数)的普通方程是( )A ．y 2－x 2＝1 B ．x 2－y 2＝1C ．y 2－x 2＝1(1≤y ≤3) D ．y 2－x 2＝1(|x |≤2)【解析】 因为x 2＝1＋sin α， 所以sin α＝x 2－1.又因为y 2＝2＋sin α＝2＋(x 2－1)， 所以y 2－x 2＝1.∵－1≤sin α≤1，y ＝2＋sin α， ∴1≤y ≤3，∴普通方程为y 2－x 2＝1，y ∈[1，3]． 【答案】 C4．点P (1,0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2y ＝2t (参数t ∈R )上的点的最短距离为( )A ．0B ．1 C. 2D ．2【解析】 d 2＝(x －1)2＋y 2＝(t 2－1)2＋4t 2＝(t 2＋1)2， 由t 2≥0得d 2≥1，故d min ＝1. 【答案】 B5．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t－2－ty ＝2t ＋2－t(t 为参数)表示的曲线是( )【导学号：91060023】A ．双曲线B ．双曲线的上支C ．双曲线的下支D ．圆【解析】 将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，得：x 2－y 2＝(2t －2－t )2－(2t ＋2－t )2＝－4，即y 2－x 2＝4.又注意到2t＞0,2t＋2－t≥22t ·2－t＝2，得y ≥2. 可见与以上参数方程等价的普通方程为：y 2－x 2＝4(y ≥2)．显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支． 【答案】 B 二、填空题6．已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t y ＝4sin t(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为________．【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π3＝1，y ＝4sin π3＝23，得点M 的坐标为(1,23) 直线OM 的斜率k ＝231＝2 3.【答案】 2 37．设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t2化为普通方程为y ＝x 2，由于ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，所以化为极坐标方程为ρsin θ＝ρ2cos 2θ，即ρcos 2θ－sin θ＝0.【答案】 ρcos 2θ－sin θ＝08．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t (t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．【解析】 由⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t ，得y ＝x ，又由⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，得x 2＋y 2＝2.由⎩⎨⎧y ＝x ，x 2＋y 2＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即曲线C 1与C 2的交点坐标为(1,1)． 【答案】 (1,1) 三、解答题9．如图2­2­2所示，连接原点O 和抛物线y ＝12x 2上的动点M ，延长OM 到点P ，使|OM |＝|MP |，求P 点的轨迹方程，并说明是什么曲线？图2­2­2【解】 抛物线标准方程为x2＝2y ，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝2t 2，得M (2t,2t 2)．设P (x ，y )，则M 是OP 中点．∴⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝x ＋02，2t 2＝y ＋02，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t y ＝4t2(t 为参数)，消去t 得y ＝14x 2，是以y 轴对称轴，焦点为(0,1)的抛物线．10．已知直线l 的极坐标方程是ρcos θ＋ρsin θ－1＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，椭圆C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝sin θ(θ为参数)，求直线l 和椭圆C 相交所成弦的弦长．【解】 由题意知直线和椭圆方程可化为：x ＋y －1＝0，① x 24＋y 2＝1，②①②联立，消去y 得：5x 2－8x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝85.设直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 两点直角坐标分别为(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫85，－35，则|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫852＝825，故所求的弦长为825.[能力提升]1．P 为双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4sec θ，y ＝3tan θ(θ为参数)上任意一点，F 1，F 2为其两个焦点，则△F 1PF 2重心的轨迹方程是( )A ．9x 2－16y 2＝16(y ≠0) B ．9x 2＋16y 2＝16(y ≠0) C ．9x 2－16y 2＝1(y ≠0) D ．9x 2＋16y 2＝1(y ≠0)【解析】 由题意知a ＝4，b ＝3，可得c ＝5， 故F 1(－5,0)，F 2(5,0)，设P (4sec θ，3tan θ)，重心M (x ，y )，则x ＝－5＋5＋4sec θ3＝43sec θ，y ＝0＋0＋3tan θ3＝tan θ.从而有9x 2－16y 2＝16(y ≠0)． 【答案】 A2．若曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ，y ＝cos θ－1(θ为参数)与直线x ＝m 相交于不同两点，则m 的取值范围是( )A ．RB ．(0，＋∞)C ．(0,1)D ．[0,1)【解析】 将曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ，y ＝cos θ－1化为普通方程得(y ＋1)2＝－(x －1)(0≤x ≤1)．它是抛物线的一部分，如图所示，由数形结合知0≤m <1.【答案】 D3．对任意实数，直线y ＝x ＋b 与椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝4sin θ(0≤θ≤2π)，恒有公共点，则b 的取值范围是________．【解析】 将(2cos θ，4sin θ)代入y ＝x ＋b 得： 4sin θ＝2cos θ＋b .∵恒有公共点，∴以上方程有解．令f (θ)＝4sin θ－2cos θ＝25sin(θ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫tan φ＝12，∴－25≤f (θ)≤25， ∴－25≤b ≤2 5. 【答案】 [－25，25]4．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝sin α(α为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．【解】 (1)把极坐标系下的点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π2化为直角坐标，得点(0,4)．因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上．(2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)，从而点Q 到直线l 的距离为d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋42＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋22，由此得，当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.。

第二章参数方程复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．参数方程化为普通方程的易错点将参数方程化为普通方程时，很容易改变变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致．2．圆锥曲线中的三点注意事项(1)注意不要将椭圆方程中的参数的几何意义与圆的方程中的参数的几何意义相混淆．(2)把圆锥曲线的参数方程化为普通方程时注意变量x(或y)的变化．(3)利用参数方程的参数求轨迹方程时，注意参数的特殊取值．3．关注直线参数方程中参数t具有几何意义的前提条件t具有几何意义的前提条件是直线参数方程为标准形式．4．圆的渐开线和摆线的两个易错点(1)对圆的渐开线和摆线的概念理解不透导致错误．(2)弄不清圆的渐开线和摆线的参数方程导致错误.专题一求曲线的参数方程用参数方程求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点横、纵坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程．如果动点轨迹与直线、圆、圆锥曲线等有关，那么通常取直线、圆、圆锥曲线的参数方程中的参数作为中间变量．[例1] 过点P (－2，0)作直线l 与圆x 2＋y 2＝1交于A 、B 两点，设A 、B 的中点为M ，求M 的轨迹的参数方程．解：设M (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为x ＝ty －2. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty －2，x 2＋y 2＝1，消去x 得(1＋t 2)y 2－4ty ＋3＝0. 所以y 1＋y 2＝4t 1＋t 2，得y ＝2t 1＋t 2.x ＝ty －2＝2t 21＋t 2－2＝－21＋t 2，由Δ＝(4t )2－12(1＋t 2)>0，得t 2>3.所以M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－21＋t 2，y ＝2t 1＋t2(t 为参数且t 2>3)．归纳升华求曲线参数方程的五步1．建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点M 的坐标； 2．写出适合条件的点M 的集合；3．选择适当的参数，用参数及坐标表示集合，列出方程； 4．将方程化为最简形式；5．证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．注意：最后一步可以省略，但一定要注意所求的方程所表示的点是否都在曲线上，要注意那些特殊的点．[变式训练] 以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，已知点P 的直角坐标为(1，－5)，点C 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，若直线l 过点P ，且倾斜角为π3，圆C 的半径为4.(1)求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程． (2)试判断直线l 与圆C 的位置关系． 解：(1)直线l 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π3，y ＝－5＋t sin π3(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝－5＋32(t 为参数)．由题知C 点的直角坐标为(0，4)，圆C 的半径为4， 所以圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝16， 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得圆C 的极坐标方程为ρ＝8sin θ.(2)由题意得，直线l 的普通方程为3x －y －5－3＝0， 圆心C 到l 的距离为d ＝|－4－5－3|2＝9＋32>4，所以直线l 与圆C 相离． 专题二 参数方程及其应用(1)求直线的参数方程，根据参数方程参数的几何意义，求直线上两点间的距离，求直线的倾斜角，判断两直线的位置关系；根据已知条件求圆的参数方程，根据圆的参数方程解决与圆有关的最值、位置关系等问题．(2)能根据条件求椭圆、双曲线、抛物线的参数方程，并利用圆锥曲线的参数方程解最值、直线与圆锥曲线的位置关系等问题．[例2] 已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝－1＋t sin α(t 为参数)．(1)若α＝π4，求曲线C 2的普通方程，并说明它表示什么曲线；(2)曲线C 1和曲线C 2的交点分别记为M ，N ，求|MN |的最小值． 解：(1)因为α＝π4，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋22t ，y ＝－1＋22t (t 为参数)，所以x －1＝y ＋1，所以曲线C 2的普通方程是y ＝x －2，它表示过点(1，－1)，倾斜角为π4的直线．(2)曲线C 1的普通方程为x 2＋y 2＝4， 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝－1＋t sin α(t 为参数)代入x 2＋y 2＝4中得(1＋t cos α)2＋(－1＋t cos α)2＝4，所以t 2＋2(cos α－sin α)t －2＝0，设t 1，t 2为方程的两个根，则有 |MN |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝ 4（cos α－sin α）2＋8＝12－4sin 2α， 所以当sin 2α＝1时，|MN |的最小值为2 2.归纳升华1．曲线的参数方程化为普通方程的基本方法是消参，可以通过加减消参法、平方消参法等进行，解题中要注意参数方程与普通方程的等价性．2．把曲线的参数方程化为普通方程，可把要解决的问题转化为我们熟悉的问题加以解决，是解决参数方程问题的一个重要指导思想．3．求圆锥曲线或圆上的点到某点或者某条直线的距离的最值时，使用参数方程可以把问题化为求三角函数的最值问题．4．直线的参数方程的应用非常广泛，可用来解决直线与圆锥曲线的位置关系问题．在解决这类问题时，利用直线参数方程中参数t 的几何意义，可以避免通过解方程组求交点坐标等烦琐运算，使问题得到简化．直线的参数方程有多种形式，但只有标准形式才具有明确的几何意义．[变式训练] 直线l 过点P 0(－4，0)，它的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋32t ，y ＝12t(t 为参数)，与圆x 2＋y 2＝7相交于A ，B 两点．(1)求弦长|AB |；(2)过P 0作圆的切线，求切线长． 解：将直线l 的参数方程代入圆的方程， 得⎝⎛⎭⎪⎫－4＋32t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 2＝7，整理得t 2－43t ＋9＝0.(1)设A 和B 两点对应的参数分别为t 1和t 2， 由根与系数的关系得t 1＋t 2＝43，t 1·t 2＝9. 故|AB |＝|t 2－t 1|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝2 3. (2)设圆过P 0的切线为P 0T ，T 在圆上， 则|P 0T |2＝|P 0A |·|P 0B |＝|t 1t 2|＝9， 所以切线长|P 0T |＝3.专题三 极坐标方程与参数方程的综合应用把极坐标方程与参数方程综合起来考查的频率较高，常考查极坐标方程、参数方程、普通方程的相互转化．一般是将所给的方程化为较熟悉的普通方程，然后根据曲线性质去解决问题．在高考中选择题、填空题和解答题都有可能出现．[例3] 已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值． 解：(1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入ρ2＝2ρcos θ即得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t(t 为参数)代入x 2＋y 2－2x ＝0，得t 2＋53t ＋18＝0.设这个方程的两个实根分别为t 1，t 2，则由参数t 的几何意义即知，|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝18.归纳升华1．先把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，曲线的参数方程化为普通方程，然后使用熟悉的解析几何知识解决问题，再根据题目的要求进行变换来求解结果，最后得出符合题目要求的结论．2．参数方程中一个确定的参数值对应着曲线上一个确定的点，在由参数方程求曲线交点坐标时，也可以先通过方程组求出参数值，再根据参数值得出交点坐标．3．解题时如果涉及求直线被曲线截得的线段的长度或者直线上的点与曲线交点之间线段长度的和、乘积等问题时，可以利用直线的参数方程中参数的几何意义加以解决．[变式训练] (2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．解：(1)直线l 1的普通方程为y ＝k (x －2)，直线l 2的普通方程为x ＝－2＋ky ，消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)，即C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)l 3化为普通方程为x ＋y ＝ 2. 联立⎩⎨⎧x ＋y ＝2，x 2－y 2＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝322，y ＝－22.所以ρ2＝x 2＋y 2＝184＋24＝5.所以l 3与C 的交点M 的极径为 5. 专题四 数形结合思想数形结合思想是数学中重要的思想之一，利用数形结合思想解题具有直观性、灵活性、深刻性的特点，并跨越各知识点的界线，有较强的综合性．加强这方面的学习和训练是打好基础、巩固知识、提高能力的一个重要环节．[例4] 已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)，其中p >0，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E .若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________．解析：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt ，(t 为参数)消参得y 2＝2px ，则抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线为直线x ＝－p2.将x ＝3代入y 2＝2px 得y ＝±6p .如图，不妨令M 的坐标为(3，6p )，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，6p . 因为|EF |＝|MF |，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋p 22＋（－6p ）2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－32＋（－6p ）2，化简得p 2＋4p －12＝0，因为p >0，所以p ＝2. 答案：2归纳升华1．化参数方程为普通方程，由几何性质确定抛物线的焦点与准线方程．2．根据两点距离的定义，得关于p 的方程，从而求得p 值，再结合抛物线的图象，确定p 的范围，体现了转化与数形结合思想的应用．[变式训练] 在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数，a＞b ＞0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22m (m 为非零常数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为________．解析：椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22m 得22(ρsin θ＋ρcos θ)＝22m ，即直线方程为x ＋y －m ＝0.由ρ＝b ，得ρ2＝b 2，即x 2＋y 2＝b 2，所以圆的标准方程为x 2＋y 2＝b 2.因为直线x ＋y －m ＝0过椭圆的焦点，代入得m ＝±c ，直线x ＋y －m ＝0与圆x 2＋y 2＝b 2相切，则|m |2＝b ，即|m |＝2b .所以c ＝2b ，解得a ＝3·b ，所以离心率e ＝c a＝2b 3b＝63. 答案：63。