点和圆直线和圆的位置关系

点、直线、圆与圆的位置关系—知识讲解（基础）【学习目标】1.理解并掌握点与圆、直线与圆、圆与圆的各种位置关系；2.理解切线的判定定理、性质定理和切线长定理，了解三角形的切圆和三角形的心的概念，并熟练掌握以上容解决一些实际问题；3.了解两个圆相离(外离、含)，两个圆相切(外切、切)，两圆相交，圆心距等概念．理解两圆的位置关系与d、r1、r2等量关系的等价条件并灵活应用它们解题．【要点梳理】要点一、点和圆的位置关系1．点和圆的三种位置关系：由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有2．三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系；（2）不在同一直线上的三个点确定一个圆.要点二、直线和圆的位置关系1．直线和圆的三种位置关系：(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．2．直线与圆的位置关系的判定和性质．直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么要点诠释：这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．要点三、切线的判定定理、性质定理和切线长定理1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可. 2．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.3．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段.4．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.5．三角形的切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的切圆.6．三角形的心：三角形切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的心. 三角形的心到三边的距离都相等.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与切圆半径乘积的一半，即(S 为三角形的面积，P为三角形的周长，r为切圆的半径).要点四、圆和圆的位置关系1．圆与圆的五种位置关系的定义两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交.两圆切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的部时，叫做这两个圆切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的部时，叫做这两个圆含.2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系：设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2，两圆心O1O2的距离为d，则：两圆外离 d＞r1+r2两圆外切 d=r1+r2两圆相交 r1-r2＜d＜r1+r2 (r1≥r2)两圆切 d=r1-r2 (r1＞r2)两圆含 d＜r1-r2 (r1＞r2)要点诠释：(1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数分类，又可以分为：相离(含外离、含)、相切(含切、外切)、相交；(2) 切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点；(3) 具有切或含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.【典型例题】类型一、点与圆的位置关系1.已知圆的半径等于5 cm，根据下列点P到圆心的距离：(1)4 cm；(2)5 cm；(3)6 cm，判定点P与圆的位置关系，并说明理由.【答案与解析】（1）当d=4 cm时，∵d＜r，∴点P在圆；（2）当d=5 cm时，∵d=r，∴点P在圆上；（3）当d=6 cm时，∵d＞r，∴点P在圆外.【总结升华】利用点与圆的位置关系，由点到圆心的距离与半径的大小比较.举一反三：【变式】点A在以O为圆心，3 为半径的⊙O，则点A到圆心O的距离d的围是________.【答案】0≤d＜3.类型二、直线与圆的位置关系2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3厘米，BC=4厘米，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？(1)r=2厘米； (2)r=2.4厘米； (3)r=3厘米【答案与解析】过C点作CD⊥AB于D，在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=3，BC=4，得AB=5，，∴AB·CD=AC·BC，∴AC BC34CD===2.4AB5•⨯(cm)，（1）当r =2cm时 CD＞r，∴圆C与AB相离；（2）当r=2.4cm时，CD=r，∴圆C与AB相切；(3）当r=3cm时，CD＜r，∴圆C与AB相交．【总结升华】欲判定⊙C与直线AB的关系，只需先求出圆心C到直线AB的距离CD的长，然后再与r比较即可．举一反三：【变式】如图，P点是∠AOB的平分线OC上一点，PE⊥OA于E，以P为圆心，PE为半径作⊙P .求证：⊙P与OB 相切。

点、直线、圆与圆的位置关系【要点梳理】要点一、点和圆的位置关系1．点和圆的三种位置关系：由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有2．三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系；（2）不在同一直线上的三个点确定一个圆.要点二、直线和圆的位置关系1．直线和圆的三种位置关系：(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．2．直线与圆的位置关系的判定和性质．直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么要点诠释：这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．要点三、切线的判定定理、性质定理和切线长定理1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可.2．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.3．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 4．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.5．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.6．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心)三角形三边中垂线的交点(1) 到三角形三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心)三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.要点四、圆和圆的位置关系1．圆与圆的五种位置关系的定义两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交.两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系：设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2，两圆心O1O2的距离为d，则：两圆外离d＞r1+r2两圆外切d=r1+r2两圆相交r1-r2＜d＜r1+r2 (r1≥r2)两圆内切d=r1-r2 (r1＞r2)两圆内含d＜r1-r2 (r1＞r2)要点诠释：(1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交；(2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点；(3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.【典型例题】类型一、点与圆的位置关系1.已知圆的半径等于5 cm，根据下列点P到圆心的距离：(1)4 cm；(2)5 cm；(3)6 cm，判定点P与圆的位置关系，并说明理由.【变式】点A在以O为圆心，3 为半径的⊙O内，则点A到圆心O的距离d的范围是________.类型二、直线与圆的位置关系2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3厘米，BC=4厘米，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？(1)r=2厘米； (2)r=2.4厘米； (3)r=3厘米【变式】如图，P点是∠AOB的平分线OC上一点，PE⊥OA于E，以P为圆心，PE为半径作⊙P .求证：⊙P与OB相切。

直线与圆、圆与圆的位置关系一、直线与圆的位置关系：1、直线与圆的位置关系有三种：如图所示. （1）直线与圆相交：有两个公共点； （2）直线与圆相切：有一个公共点； （3）直线与圆相离：没有公共点.2、直线与圆的位置关系的判定的两种方法：直线l 和圆C 的方程分别为：Ax+By+C=0，x 2+y 2+Dx+Ey+F=0. 1）代数法判断直线与圆的位置关系：由l 和C 的方程联立方程组220Ax By C x y Dx Ey F ++=⎧⎨++++=⎩， ①若方程有两个不相等的实数根（△>0），则直线与圆相交； ②若方程有两个相等的实数根（△=0），则直线与圆相切； ③若方程无实数根（△<0），则直线与圆相离.2）几何法判断直线与圆的位置关系：圆心C(a ，b)到直线的距离d=22||Aa Bb C A B+++与半径r 作比较①若d<r 时，直线l 和圆C 相交；②若d=r 时，直线l 和圆C 相切；③若d>r 时，直线l 和圆C 相离. 3、圆的切线的求法：（1）当点(x 0，y 0)在圆x 2+y 2=r 2上时，切线方程为x 0x+y 0y=r 2；（2）若点(x 0，y 0)在圆(x －a)2+(y －b)2=r 2上时，切线方程为(x 0－a)(x －a)+(y 0－b)(y －b)=r 2； （3）斜率为k 且与圆x 2+y 2=r 2相切的切线方程为21y kx k =±+；斜率为k 且与圆(x －a)2+(y －b)2=r 2相切的切线方程的求法：先设切线方程为y=kx+m ，然后变成一般 式kx －y+m=0，利用圆心到切线的距离等于半径来列出方程求m ；（4）点(x 0，y 0)在圆外面，则切线方程为y －y 0=k(x －x 0)，再变成一般式，因为与圆相切，利用圆心到直线距离 等于半径，解出k ，注意若此方程只有一个实根，则还有一条斜率不存在的直线，务必要补上. 4、直线与圆相交的弦长公式1）平面几何法求弦长公式：如图所示，直线l 与圆相交于两点A 、B ，线段AB 的长 即为直线l 与圆相交的弦长.设弦心距为d ，圆的半径为r ，弦长为AB ，则有 222()2AB d r +=，即AB=222r d - . 2）解析法求弦长公式：如图所示，直线l 与圆相交于两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，当直线AB 的倾斜角存在时，联 立方程组，消元得到一个关于x 的一元二次方程，求得x 1+x 2和x 1x 2.于是2121212||()4x x x x x x -=+-，这样就求得2121221||1||1||AB k x x y y k=+-=+-。

一：新课内容九年级上 24.2 直线和圆的关系二：新知识点回顾一.点与圆的位置关系有三种1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外； 4.不在同一直线上的三点确定一个圆 5. 三角形的外接圆与外心（1）. 外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆。

（2）.外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。

二、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点；3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点；drd=rrd在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”。

r dd CBAO4 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。

5.与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。

三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点。

任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形。

注意：直角三角形外接圆半径R=c 2，内切圆半径r = a+b-c26.三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角。

三：例题剖析（ 至少10个例题与习题 ） 点和圆的位置关系例1：若⊙O 的半径为5cm ，点A 到圆心O 的距离为4cm ，那么正确的是（ ） A ．点A 在圆外 B ．点A 在圆上 C. 点A 在圆内 D ．不能确定例2. ⊙O 的半径为r ，⊙O 的一条弦AB 长为r 3，那么以2r为半径的同心圆与AB 的位置关系是（ ）A. 相离B. 相切C. 相交D. 不能确定例3. 等腰△ABC 的腰AB=AC=6cm ，若以A 为圆心，以3cm 为半径的圆与BC 相切，则∠BAC 的度数为（ ）A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°例4. 已知：∠AOB=60°，P 为OA 上一点，OP=4cm ，以P 为圆心，cm 34为半径的圆与直线OB 的位置关系是（ ）A. 相交B. 相切C. 相离D. 以上都有可能例5. 直线l 上的一点到圆心O 的距离等于⊙O 的半径时，l 与⊙O 的位置关系是（ ）A. 相离B. 相切C. 相交D. 相切或相交例6. ⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，若l 与⊙O 有公共点，则d 与r 的关系为（ ）A. r d <B. r d ≤C. r d ≤<0D. r d ≤≤0例7如图,BC 是半圆O 的直径,P 是BC 延长线上一点,PA 切⊙O 于点A,∠B=30°. (1)试问AB 与AP 是否相等?请说明理由.(2)若PA=3,求半圆O 的直径。

§24.2 点和圆、直线和圆的位置关系一、知识点过关知识点1 点和圆的位置关系（重点；掌握）点和圆的位置关系有三种，设点P 到圆心O 的距离d OP =，⊙O 的半径为r ，则有： 点P r >；点P 在圆上 r =；点P 在圆内 r <； 【命题点1 根据d 与r 的数量关系判定点与圆的位置关系】例1 已知⊙O 的面积是16π，若5.4=OP ，则点P 在⊙O ；若4=OP ，则点P 在⊙O ；若OP ，则点P 在⊙O 内.针对性训练1、若点)0(，a B 在以点)01(，A 为圆心，2为半径的圆内，则a 的取值范围为 （ ） 31.<<-a A 3.<aB 1.->aC 13.-<>ora a D知识点2 圆的确定（重点；理解）不在同一条直线上的三个点确定一个圆。

经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心. 【命题点2 求三角形外接圆的半径】例2 △ABC 中，10==AC AB ，12=BC ，求△ABC 的外接圆半径.针对性训练1. 如图，点A ，B ，C 在同一条直线上，点D 在直线AB 外，过这4个点中的任意3个点，能画圆的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4知识点3 直线和圆的位置关系（重点；掌握）1.相交、相切与相离的概念[画图板书]（1）直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线.（2）直线和圆有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点.（3）直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离.2.直线与圆的位置关系如果设⊙O 的半径为r ，圆心到直线l 的距离为d ，可归纳出下列结论： （1）直线l 和⊙O 相离 r d >； （2）直线l 和⊙O 相切 r d =； （3）直线l 和⊙O 相交 r d <；【命题点3 根据直线与圆的位置关系求半径R 的取值范围】例3 已知︒=∠30MON ，在ON 边上有一点P ，cm OP 5=，若以点P 为圆心，以R 为半径作圆，求满足下列条件的⊙P 的半径R 的取值范围. （1）射线OM 与⊙P 只有一个公共点； （2）射线OM 与⊙P 有两个公共点.针对性训练1、在Rt △ABC 中，cm AC 3=，cm BC 4=，︒=∠90ACB .若以点C 为圆心，r 为半径的圆与直线AB 不相离，求r 的取值范围.知识点4 圆的切线的判定与性质（重点、难点；理解）1.切线的判定（1）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.（2）如果圆心到直线的距离等于半径，那么直线是圆的切线.经过半径的外端并且垂直于这条半斤的直线是圆的切线（切线的判定定理） 2.切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径. 【命题点4 切线的性质定理的应用】例4 如图所示，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于点D ，且CAD D ∠=∠2.连接OC. （1）求D ∠的度数；（2）若2=CD ，求BD 的长.针对性训练1、已知⊙O 中，AC 为直径，MA ，MB 分别切⊙O 于点A ，B. （1）如图①，若︒=∠25BAC ，求AMB ∠的大小；（2）如图②，过点B 作AC BD ⊥于点E ，交⊙O 于点D ，若MA BD =，求AMB ∠的大小.知识点5 切线长的定义及定理（重点、难点；掌握）1.定义经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长. 2.切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 【命题点5 利用切线长定理求角的度数】例5 如图所示，PA ，PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，BC 是⊙O 的直径，连接AB ，AC ，OP.︒=∠20BAC ，则P ∠的度数为 （ ）A.50°B.70°C.110°D.40°针对性训练1、如图所示，PA ，PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，已知BC 是⊙O 的直径，连接AB ，AC ，OP. 求证：（1）ABC APB ∠=∠2；（2）AC ∥OP.【命题点6 利用切线长定理求线段的长】例5 如图所示，PA ，PB 是⊙O 的切线，切点分别是A 、B ，Q 为︵AB上一点，过Q 点作⊙O 的切线，交PA ，PB 与E ，F 两点，已知cm PA 10=，求△PEF 的周长.针对性训练1、如图，P 是⊙O 外一点，PA ，PB 分别和⊙O 相切于点A ，B ，C 是劣弧︵AB上任意一点，过C 作⊙O 的切线DE ，分别交PA ，PB 于点D ，E. 已知△PDE 的周长为8，︒=∠70DOE ，点M ，N 分别在PB ，PA 的延长线上，MN 与⊙O 相切于点F ，且DN ，EM 的长是方程0102=+-k x x 的两根. （1）求P ∠的度数；（2）求PA 的长；（3）求四边形DEMN 的周长.知识点6 三角形的内切圆（重点、难点；掌握）（1）与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.（内切圆与外接圆对比）（2）三角形的内心到三角形三边的距离都相等.（3）三角形的内切圆的作法：先作出三角形的两条角平分线，以两条角平分线的交点为圆心，交点到一边的距离为半径作圆，即而已得到三角形的内切圆.推论：同弧或等弧所对的圆周角相等.半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 【命题点6 利用三角形内心求角的度数】例6 如图所示，⊙O 是△ABC 的内切圆，与边BC 、CA 、AB 的切点分别为D ，E ，F ，若上︒=∠70A ，则EDF ∠= 度.针对性训练1、⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，切点分别为D 、E 、F ，︒=∠90C ，4=AC ，3=AB ，求⊙O 的半径r .知识点7 圆内接多边形的概念及圆内接四边形的性质（重点；理解）1.概念：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.2.性质：圆内接多边形的对角互补.【命题点7 圆内接四边形与垂径定理的综合应用】例7 如图所示，四边形ABCD 的四个顶点都在⊙O 上，BD AC ⊥于E ，AB OF ⊥于F ，求证：CD OF =2.针对性训练1、如图所示，在圆内接四边形ABCD 中，︒=∠30B ，则=∠D .二、全方位技巧类型题1 根据点与圆的位置关系求r 的取值范围例1 已知△ABC ，︒=∠90C ，2=AC ，3=BC ，AB 的中点为M. （1）以C 为圆心，2为半径作⊙C ，则点A ，B ，M 与⊙C 的位置关系如何？（2）若以C 为圆心作⊙C ，使A ，B ，M 三点至少有一点在⊙C 的内部，且至少有一点在⊙C 的外部，求⊙C 的半径r 的取值范围.类型题2 有关圆与一元二次方程的综合题例2 设⊙O 的半径为2，点P 到圆心的距离m OP =，且m 使关于x 的方程012222=-+-m x x 有实数根，试确认点P 与⊙O 的位置关系.类型题3 切线的判定和性质的综合应用例3 如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，OC 与⊙O 相交于点D ，连接AD 并延长，与BC 相交于点E. （1）若3=BC ，1=CD ，求⊙O 的半径；（2）取BE 的中点F ，连接DF ，求证DF 是⊙O 的切线.类型题4 圆的切线与四边形的综合应用例4 如图所示，AB 是半圆O 的直径，点C 为半径OB 上一点，过点C 作CD ⊥AB 交半圆O 于点D ，将△ACD 沿AD 折叠得到△AED ，AE 交半圆于点F ，连接DF. （1）求证DE 是半圆的切线；（2）当BC OC =时，判断四边形ODFA 的形状，并证明你的结论.类型题5 圆周角定理的推论与垂径定理的综合应用例5 如图所示，点C ，D 在以AB 为直径的⊙O 上，且CD 平分ACB ∠，若2=AB ，︒=∠15CBA ，则CD 的长为 .类型题6 巧引辅助线，构造特殊三角形解题例6 如图所示，在⊙O 中，︒=∠=∠60BDC ACB ，cm AC 32=. （1）求BAC ∠的度数. （2）求⊙O 的周长.三、分层实战训练【基础巩固】1.已知点P 与圆周上的点的最小距离为6cm ，最大距离为16cm ，求该圆的半径.2.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ，⊙O 的半径为R ，若R d ，是方程02092=+-x x 的两个实数根，则直线和圆的位置关系是 .3.如图，△ABC 内接于半径为5的⊙O ，圆心O 到弦BC 的距离等于3， 则A ∠的正切值等于 （ ） 53.A 54.B 43.C 34.D4.已知AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，OB BD =，点C 在圆上，︒=∠30CAB .求证：DC 是⊙O 的切线.5.AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，连接BC ，AC ，作OD ∥BC 与过点A 的切线交于点D ，连接DC 并延长交AB 的延长线于点E.求证：DE 是⊙O 的切线.6.AB 是⊙O 的直径，点F ，C 是⊙O 上两点，且︵AF =︵FC =︵CB ，连接AC ，AF ，过点C 作AF CD ⊥，交AF 的延长线于点D ，垂足为D.求证：CD 是⊙O 的切线.7.已知⊙O 的直径为AB ，AB AC ⊥于点A ，BC 与⊙O 相交于点D ，在AC 上取一点E ，使得EA ED =. （1）求证：ED 是⊙O 的切线；（2）当3=OA ，4=AE 时，求BC 的长度.8.如图所示，在△ABC 中，BC AC =，α=∠CAB （定值），⊙O 的圆心O 在AB 上，并分别与AC ，BC 相切于点P ，Q. （1）求POQ ∠的大小；（2）设D 是CA 延长线上的一个动点，DE 与⊙O 相切于点M ，E 在CB 的延长线上，试判断DOE ∠的大小是否随着D 点位置的变化而变化，并说明理由. （3）在（2）的条件下，如果m AB =(m 为已知数)，53cos =α，设y DE x AD ==，，求y 关于x 的函数解析式.9.如图所示，在平面直角坐标系中，以点O 为圆心，半径为2的圆与y 轴交于点A ，点)24(，P 是⊙O 外一点，连接AP ，直线PB 与⊙O 相切于点B ，交x 轴于点C. （1）求证PA 是⊙O 的切线；（2）求点B 的坐标.10.如图，AB 是⊙O 的直线，弦CD 与AB 交于点E ，过点A 作⊙O 的切线与CD 的延长线交与点F ，如果CE DE 43=，58=AF ，D 为EF 的中点. （1）求证：ACF AFC ∠=∠；（2）求AB 的长.11.(2014*江苏扬州)如图，⊙O 与Rt △ABC 的斜边AB 相切与点D ，与直角边AC 相交于E 、F 两点，连接DE.已知︒=∠30B ，⊙O 的半径为12，弧DE 的长度为4π. （1）求证：DE ∥BC ；（2）若CE AF =，求线段BC 的长度.12.(2014*黑龙江哈尔滨)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，弦BD 交AC 于点E ，连接CD ，且DE AE =，CE BC =.（1）求ACB ∠的度数；（2）过点O 作AC OF ⊥于点F ，延长FO 交BE 与点G ，3=DE ，2=EG ，求AB 的长.。

24.2点、直线、圆和圆的位置关系（共7课时）第一课时：点和直线的位置关系教学内容1．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d<r．2．不在同一直线上的三个点确定一个圆．3．三角形外接圆及三角形的外心的概念．4．反证法的证明思路．教学目标1．理解并掌握设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P 在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d<r及其运用．2．理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用．3．了解三角形的外接圆和三角形外心的概念．4．了解反证法的证明思想．复习圆的两种定理和形成过程，并经历探究一个点、两个点、•三个点能作圆的结论及作图方法，给出不在同一直线上的三个点确定一个圆．接下去从这三点到圆心的距离逐渐引入点P•到圆心距离与点和圆位置关系的结论并运用它们解决一些实际问题．重点：点和圆的位置关系的结论：不在同一直线上的三个点确定一个圆其它们的运用．难点：讲授反证法的证明思路．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们口答下面的问题．1．圆的两种定义是什么？2．你能至少举例两个说明圆是如何形成的？3．圆形成后圆上这些点到圆心的距离如何？4．如果在圆外有一点呢？圆内呢？请你画图想一想．（1）在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，•另一个端点A所形成的图形叫做圆；圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形．（2）圆规：一个定点，一个定长画圆．（3）都等于半径．（4）经过画图可知，圆外的点到圆心的距离大于半径；•圆内的点到圆心的距离小于半径．二、探索新知由上面的画图以及所学知识，我们可知：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP=d则有：点P在圆外⇒d>r点P在圆上⇒d=r点P在圆内⇒d<r反过来，也十分明显，如果d>r⇒点P在圆外；如果d=r⇒点P在圆上；如果d<r⇒点P在圆内．因此，我们可以得到：这个结论的出现，对于我们今后解题、判定点P是否在圆外、圆上、圆内提供了依据．下面，我们接下去研究确定圆的条件：（学生活动）经过一点可以作无数条直线，经过二点只能作一条直线，那么，经过一点能作几个圆？经过二点、三点呢？请同学们按下面要求作圆．（1）作圆，使该圆经过已知点A，你能作出几个这样的圆？（2）作圆，使该圆经过已知点A、B，你是如何做的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？（3）作圆，使该圆经过已知点A、B、C三点（其中A、B、C三点不在同一直线上），•你是如何做的？你能作出几个这样的圆？老师在黑板上演示：（1）无数多个圆，如图1所示．（2）连结A、B，作AB的垂直平分线，则垂直平分线上的点到A、B的距离都相等，都满足条件，作出无数个．其圆心分布在AB的中垂线上，与线段AB互相垂直，如图2所示．lBAB(1) (2) (3)（3）作法：①连接AB、BC；②分别作线段AB、BC的中垂线DE和FG，DE与FG相交于点O；③以O 为圆心，以OA 为半径作圆，⊙O 就是所要求作的圆，如图3所示． 在上面的作图过程中，因为直线DE 与FG 只有一个交点O ，并且点O 到A 、B 、C•三个点的距离相等（中垂线上的任一点到两边的距离相等），所以经过A 、B 、C 三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．也就是，经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心．下面我们来证明：经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆．证明：如图，假设过同一直线L 上的A 、B 、C 三点可以作一个圆，设这个圆的圆心为P ，那么点P 既在线段AB 的垂直平分线L 1，又在线段BC 的垂直平分线L 2，•即点P 为L 1与L 2点，而L 1⊥L ，L 2⊥L ，这与我们以前所学的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾．所以，过同一直线上的三点不能作圆． 上面的证明方法与我们前面所学的证明方法思路不同，它不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立（即假设过同一直线上的三点可以作一个圆），由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到命题成立．这种证明方法叫做反证法．在某些情景下，反证法是很有效的证明方法．例1．某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．分析：圆心是一个点，一个点可以由两条直线交点而成，因此，只要在残缺的圆盘上任取两条线段，作线段的中垂线，交点就是我们所求的圆心． 作法：（1）在残缺的圆盘上任取三点连结成两条线段；（2）作两线段的中垂线，相交于一点．则O 就为所求的圆心．四、应用拓展例2．如图，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD=BC ，AB=48cm ，CD=30cm ，高27cm ，求作一个圆经过A 、B 、C 、D 四点，写出作法并求出这圆的半径（比例尺1：10）分析：要求作一个圆经过A 、B 、C 、D 四个点，应该先选三个点确定一个圆，•然后证明第四点也在圆上即可．要求半径就是求OC 或OA 或OB ，因此，•要在直角三角形中进行，不妨设在Rt △EOC 中，设OF=x ，则OE=27-x 由OC=OB 便可列出，•这种方法是几何代数解．作法分别作DC 、AD 的中垂线L 、m ，则交点O 为所求△ADC 的外接圆圆心． ∵ABCD 为等腰梯形，L 为其对称轴Al m BA C E D O F ∵OB=OA ，∴点B 也在⊙O 上∴⊙O 为等腰梯形ABCD 的外接圆设OE=x ，则OF=27-x ，∵OC=OB= 解得：x=20∴，即半径为25m ． 五、归纳总结（学生总结，老师点评）本节课应掌握：1． 点和圆的位置关系：设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为d ，则;;.P d r P d r P d r ⇔>⎧⎪⇔=⎨⎪⇔<⎩点在圆外点在圆上点在圆内2．不在同一直线上的三个点确定一个圆．3．三角形外接圆和三角形外心的概念．4．反证法的证明思想．5．以上内容的应用．六、布置作业1．教材P93 练习第二课时：直线和圆的位置关系（1）教学内容1．直线和圆相交、割线；直线和圆相切、圆的切线、切点；•直线和圆没有公共点、直线和圆相离等概念．2．设⊙O 的半径为r ，直线L 到圆心O 的距离为d直线L 和⊙O 相交⇔d<r ；直线和⊙O 相切⇔d=r ；直线L 和⊙O 相离⇔d>r ．教学目标1.探索并了解直线和圆的位置关系．2.根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系揭示直线和圆的位置关系．3．能够利用公共点个数和数量关系来判断直线和圆的位置关系．重点：探索并了解直线和圆的位置关系．难点：掌握识别直线和圆的位置关系的方法．教学过程一、复习引入（老师口答，学生口答，老师并在黑板上板书）同学们，我们前一节课已经学到点和圆的位置关系．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，(b)(c)则有：点P在圆外⇔d>r，如图（a）所示；点P在圆上⇔d=r，如图（b）所示；点P在圆内⇔d<r，如图（c）所示．(1)“大漠孤烟直，长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象．如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，那你能根据直线和圆的公共点个数想象一下，直线和圆有几种位置关系吗？探究一、请同学在纸上画一条直线，把硬币的边缘看作圆，在纸上移动硬币，你能发现直线和圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？直线和圆有三种位置关系：相交、相切和相离．（老师板书）如图所示：l(a)(b)相离(c)如图（a ），直线L 和圆有两个公共点，这时我们就说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．如图（b ），直线和圆有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，•这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．如图（c ），直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离．探究二、割线切线基本概念探究二、(1) 能否根据基本概念来判断直线与圆的位置关系？练习已知：如图所示，∠AOB =30°，P 为OB 上一点，且OP =5 cm ，以P 为圆心，以R 为半径的圆与直线OA 有怎样的位置关系？为什么？①R =2 cm ；②R =2.5 cm ；③R =4 cm ．(2) 练习课堂小结：（学生归纳，总结发言老师点评）1．直线和圆相交、割线、直线和圆相切，切线、切点、直线和圆相离等概念．2．设⊙O 的半径为r ，直线L 到圆心O 的距离为d 则有：直线L 和⊙O 相交⇔d<r直线L 和⊙O相切⇔d=r直线L和⊙O相离⇔d>r第三课时：直线和圆的位置关系（2）教学内容1切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．2切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．教学过程是否还有其他的方法来判断直线与圆的位置关系？我们知道，点到直线L的距离是这点向直线作垂线，这点到垂足D的距离，•按照这个定义，作出圆心O到L的距离的三种情况？（学生分组活动）：设⊙O的半径为r，圆心到直线L的距离为d，•请模仿点和圆的位置关系，总结出什么结论？老师点评直线L和⊙O相交⇔d<r，如图（a）所示；l(a)直线L和⊙O相切⇔d=r，如图（b）所示；直线L和⊙O相离⇔d>r，如图（c）所示．因为d=r⇒直线L和⊙O相切，这里的d是圆心O到直线L的距离，即垂直，并由d=r就可得到L经过半径r的外端，即半径OA的A点，因此，很明显的，•我们可以得到切线的判定定理：例1．如图，已知Rt△ABC的斜边AB=8cm，AC=4cm．（1）以点C为圆心作圆，当半径为多长时，直线AB与⊙C相切？为什么？（2）以点C为圆心，分别以2cm和4cm为半径作两个圆，这两个圆与直线AB分别有怎样的位置关系？分析：（1）根据切线的判定定理可知，要使直线AB与⊙C相切，•那么这条半径应垂直于直线AB，并且C点到垂足的长就是半径，所以只要求出如图AD 所示的CD 即可．（2）用d 和r 的关系进行判定，或借助图形进行判定．解：（1）如图24-54：过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ．在Rt △ABC 中∴因此，当半径为时，AB 与⊙C 相切．理由是：直线AB 为⊙C 的半径CD 的外端并且CD ⊥AB ，所以AB 是⊙C 的切线．（2）由（1）可知，圆心C 到直线AB 的距离，所以当r=2时，d>r ，⊙C 与直线AB 相离；当r=4时，d<r ，⊙C 与直线AB 相交．刚才的判定定理也好，或者例1也好，都是不知道直线是切线，而判定切线，反之，如果知道这条直线是切线呢？有什么性质定理呢？实际上，如图，CD 是切线，A 是切点，连结AO 与⊙O 于B ，那么AB 是对称轴，所以沿AB 对折图形时，AC 与AD 重合，因此，∠BAC=∠BAD=90°．因此，我们有切线的性质定理:三、巩固练习教材P94 练习，四、应用拓展例．如图，AB 为⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 在AB 的延长线上，且∠DCB=•∠A ．（1）CD 与⊙O 相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由．A D （2）若CD 与⊙O 相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O 的半径．分析：（1）要说明CD 是否是⊙O 的切线，只要说明OC 是否垂直于CD ，垂足为C ，•因为C 点已在圆上．由已知易得：∠A=30°，又由∠DCB=∠A=30°得：BC=BD=10解：（1）CD 与⊙O 相切理由：①C 点在⊙O 上（已知） ②∵AB 是直径∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90° ∵∠A=∠OCA 且∠DCB=∠A∴∠OCA=∠DCB∴∠OCD=90°综上：CD 是⊙O 的切线．（2）在Rt △OCD 中，∠D=30°∴∠COD=60°∴∠A=30°∴∠BCD=30°∴BC=BD=10∴AB=20，∴r=10答：（1）CD 是⊙O 的切线，（2）⊙O 的半径是10．五、归纳小结（学生归纳，总结发言老师点评）本节课应掌握：1切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．2、切线的性质定理，圆的切线垂直于过切点的半径．3、应用上面的知识解决实际问题．六、布置作业一、选择题．1．如图，AB 与⊙O 切于点C ，OA=OB ，若⊙O 的直径为8cm ，AB=10cm ，那么OA 的长是（ ）A2．下列说法正确的是（ ） A ．与圆有公共点的直线是圆的切线．B ．和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线;C ．垂直于圆的半径的直线是圆的切线;D ．过圆的半径的外端的直线是圆的切线3．已知⊙O 分别与△ABC 的BC 边，AB 的延长线，AC 的延长线相切，则∠BOC 等于（ ）A ．12（∠B+∠C ）B ．90°+12∠A AC．90°-12∠A D．180°-∠A二、填空题1．如图，AB为⊙O直径，BD切⊙O于B点，弦AC的延长线与BD交于D•点，•若AB=10，AC=8，则DC长为________．D2．如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A、B为切点，弦AB与PO交于C，⊙O半径为1，PO=2，则PA_______，PB=________，PC=_______AC=______，BC=______∠AOB=________．3．设I是△ABC的内心，O是△ABC的外心，∠A=80°，则∠BIC=•________，•∠BOC=________．第四课时：直线和圆的位置关系（3）教学内容1．切线长的概念．2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，•这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．3．三角形的内切圆及三角形内心的概念．教学目标1、了解切线长的概念．2、理解切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，熟练掌握它的应用．3、复习圆与直线的位置关系和切线的判定定理、性质定理知识迁移到切长线的概念和切线长定理，然后根据所学三角形角平分线的性质给出三角形的内切圆和三角形的内心概念，最后应用它们解决一些实际问题．重点：切线长定理及其运用．•难点与关键：切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题．教学过程一、复习引入1．已知△ABC，作三个内角平分线，说说它具有什么性质？2．点和圆有几种位置关系？你能说说在这一节中应掌握几个方面的知识？3．直线和圆有什么位置关系？切线的判定定理和性质定理，它们如何？老师点评：（1）在黑板上作出△ABC的三条角平分线，并口述其性质：•①三条角平分线相交于一点；②交点到三条边的距离相等．（2）（口述）点和圆的位置关系有三种，点在圆内⇔d<r；点在圆上⇔d=r；点在圆外⇔d>r；不在同一直线上的三个点确定一个圆；反证法的思想．（3）（口述）直线和圆的位置关系同样有三种：直线L和⊙O相交⇔d<r；直线L和⊙相切⇔d=r；直线L和⊙O相离⇔d>r；切线的判定定理：•经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线；切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．二、探索新知从上面的复习，我们可以知道，过⊙O上任一点A都可以作一条切线，•并且只有一条，根据下面提出的问题操作思考并解决这个问题．问题：在你手中的纸上画出⊙O，并画出过A点的唯一切线PA，•连结PO，•沿着直线PO将纸对折，设圆上与点A重合的点为B，这时，OB是⊙O的一条半径吗？PB是⊙O的切线吗？利用图形的轴对称性，说明圆中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？学生分组讨论，老师抽取3～4位同学回答这个问题．老师点评：OB与OA重叠，OA是半径，OB也就是半径了．又因为OB是半径，PB为OB•的外端，又根据折叠后的角不变，所以PB是⊙O的又一条切线，根据轴对称性质，•我们很容易得到PA=PB，∠APO=∠BPO．我们把PA或PB的长，即经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，•叫做这点到圆的切线长．从上面的操作几何我们可以得到：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．下面，我们给予逻辑证明．例1．如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线．Array求证：PA=PB，∠OPA=∠OPB．证明：∵PA、PB是⊙O的两条切线．∴OA⊥AP，OB⊥BP又OA=OB，OP=OP，∴Rt △AOP ≌Rt △BOP ∴PA=PB ，∠OPA=∠OPB因此，我们得到切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．我们刚才已经复习，三角形的三条角平分线于一点，并且这个点到三条边的距离相等．（同刚才画的图）设交点为I ，那么I 到AB 、AC 、BC 的距离相等，如图所示，因此以点I 为圆心，点I 到BC 的距离ID 为半径作圆，则⊙I 与△ABC 的三条边都相切． 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，•内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心． 例2．如图，已知⊙O 是△ABC 的内切圆，切点为D 、E 、F ，如果AE=1，CD=2，BF=3，且△ABC 的面积为6．求内切圆的半径r ．分析：直接求内切圆的半径有困难，由于面积是已知的，•因此要转化为面积法来求．就需添加辅助线，如果连结AO 、BO 、CO ，就可把三角形ABC 分为三块，•那么就可解决． 解：连结AO 、BO 、CO∵⊙O 是△ABC 的内切圆且D 、E 、F 是切点． ∴AF=AE=1，BD=BF=3，CE=CD=2∴AB=4，BC=5，AC=3又∵S △ABC =6∴12（4+5+3）r=6 ∴r=1答：所求的内切圆的半径为1． 三、巩固练习 教材P98 练习．五、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握：1．圆的切线长概念； 2．切线长定理3．三角形的内切圆及内心的概念．l AC第五课时：直线和圆的位置关系（4） 内容：直线和圆的位置关系复习要点梳理一、 直线和圆的位置关系1、直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交。

一、点与圆的位置关系1.确定圆的条件（1）圆心(定点)，确定圆的位置；（2）半径(定长)，确定圆的大小．注意：只有当圆心和半径都确定时，圆才能确定．2.点与圆的位置关系（3）点与圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定．（4）设O=；⊙的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有：点在圆外⇔d r>；点在圆上⇔d r 点在圆内⇔d r<.如下表所示：二、过已知点的圆1.过已知点的圆（1）经过点A的圆：以点A以外的任意一点O为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A的圆，这样的圆有无数个．（2）经过两点A B、的圆：以线段AB中垂线上任意一点O作为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A B、的圆，这样的圆也有无数个．（3）过三点的圆：若这三点A B C、、三点不共线时，圆心、、共线时，过三点的圆不存在；若A B C是线段AB与BC的中垂线的交点，而这个交点O是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．n≥个点的圆：只可以作0个或1个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的（4）过n()4圆的圆心．2.定理：不在同一直线上的三点确定一个圆（1）“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；（2）“确定”一词的含义是”有且只有”，即”唯一存在”．三、三角形的外接圆及外心1.三角形的外接圆（1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．（2）锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处(即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半)；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部.2. 三角形外心的性质（1） 三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； （2） 三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.一、点与圆的位置关系【例1】 已知圆内一点到圆周上的点的最大距离是7，最小距离是5，则该圆的半径是( )A ．2B ．6C ．12D ．7【巩固】1、一个已知点到圆周上的点的最大距离为5cm ，最小距离为1cm ，则此圆的半径为______．2、若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b （a>b ），则此圆的半径为（ ）DA ．2b a + B ．2ba - C ．22b a b a -+或D ．b a b a -+或3、定义：定点A 与O ⊙上的任意一点之间的距离的最小值称为点A 与O ⊙之间的距离．现有一矩形ABCD如图，14cm 12cm AB BC ==，，K ⊙与矩形的边AB BC CD 、、分别相切于点E F G 、、，则点A 与K ⊙的距离为______________．【例2】 已知ABC ∆中，90C ∠=︒，2AC =，3BC =，AB 的中点为M ，⑴以C 为圆心，2为半径作C ⊙，则点A ，B ，M 与C ⊙的位置关系如何？ ⑵若以C 为圆心作C ⊙，使A ，B ，M 三点至少有一点在C ⊙内，且至少有一点在C ⊙外，求C ⊙半径r 的取值范围．M CBA【巩固】1、Rt ABC ∆的两条直角边3BC =，4AC =，斜边AB 上的高为CD ，若以C 为圆心，分别以12r =，2 2.4r =，33r =为半径作圆，试判断D 点与这三个圆的位置关系.DCBA2、在ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，5AB =，以点C 为圆心，以r 为半径作圆，请回答下列问题，并说明理由.⑴当r 取何值时，点A 在C ⊙上，且点B 在C ⊙内部？⑵当r 在什么范围内取值时，点A 在C ⊙外部，且点B 在C ⊙的内部？ ⑶是否存在这样的实数r ，使得点B 在C ⊙上，且点A 在C ⊙内部？CBA二、过三点的圆【例3】 如图，四边形ABCD 中，AB AC AD ==，若7613CAD BDC ∠=︒∠=︒，，则CBD ∠=_________，BAC ∠=__________．DCBA【例4】 如图，在平面直角坐标系中，O '与两坐标轴分别交于A B C D ，，，四点，已知：()60A ，，()03B -，，()20C -，，则点D 的坐标是（ ） A ．()02，B ．()03，C ．()04，D ．()05，三、三角形的外接圆及外心【例5】 如图，ABC ∆内接于O ⊙，120BAC ∠=︒，AB AC =，BD 为O ⊙的直径，6AD =，则BC =.【巩固】等边三角形的外接圆的半径等于边长的（ ）倍．ABCD ．12【例6】 设Rt ABC ∆的两条直角边长分别为3，4，则此直角三角形的内切圆半径为 ，外接圆半径为 ．【巩固】1、如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A B C ，，，其中B 点的坐标为()44，，则该圆弧所在圆的圆心的坐标为 ．2、ABC ∆中，10AB AC ==，12BC =，求其外接圆的半径．【例7】 在等腰ABC ∆中，AB BC =，BH 是高，点M 是边AB 的中点，而经过点B ，M 于C 的圆同BH的交点是K ，求证32BK R =，其中R 是ABC ∆的外接圆半径．【巩固】1、已知∆ABC 中，=AB AC ，D 是∆ABC 外接圆劣弧AC 上的点(不与点A C ，重合)，延长BD 至E ．⑴求证：AD的延长线平分∠CDE；⑵若30∠=︒BAC，∆ABC中BC边上的高为2∆ABC外接圆的面积．AB CD E2、已知如图，ACD∆的外角平分线CB交其外接圆于B，连接BA、BD，求证：BA BD=．一、直线与圆的位置关系设O⊙的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表：切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．注意：这个定理共有三个条件，即一条直线满足：①垂直于切线②过切点③过圆心①过圆心，过切点⇒垂直于切线．AB过圆心，AB过切点M，则AB l⊥．②过圆心，垂直于切线⇒过切点．AB过圆心，AB l⊥，则AB过切点M．③过切点，垂直于切线⇒过圆心．AB l⊥，AB过切点M，则AB过圆心．l 3.切线的判定（1）定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（2）距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；（3）定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．注意：定理的题设是①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可；定理的结论是“直线是圆的切线”．因此，证明一条直线是圆的切线有两个思路：①连接半径，证直线与此半径垂直；②作垂直，证垂直在圆上．l4.切线长和切线长定理（1）切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．三、三角形的内切圆1.三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．2. 多边形的内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．3. 直角三角形内切圆的半径与三边的关系cb acbaO F ED CBACBAC B A设a 、b 、c 分别为ABC △中A ∠、B ∠、C ∠的对边，面积为S ，则内切圆半径为sr p=，其中()12p a b c =++．若90C ∠=︒，则()12r a b c =+-． 一、直线与圆位置关系的确定【例1】 如图，已知⊙O 是以数轴的原点O 为圆心，半径为1的圆，45AOB ∠=︒，点P 在数轴上运动，若过点P 且与OA 平行的直线与⊙O 有公共点，设OP x =，则x 的取值范围是A ．0≤x B．x C ．－1≤x ≤1D ．x【例2】 Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3cm AC =，4cm BC =，给出下列三个结论： ①以点C 为圆心，3 cm长为半径的圆与AB 相离；②以点C 为圆心，4cm 长为半径的圆与AB 相切；③以点C 为圆心，5cm 长为半径的圆与AB 相交．上述结论中正确的个数是（ ） A ．0个 B ．l 个 C ．2个 D ．3个【巩固】在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，12cm AC =，16cm BC =，以点C 为圆心，r 为半径的圆和AB 有怎样的位置关系？为什么？⑴ 9cm r =；⑵10cm r =；⑶9.6cm r =．DCBA【例3】 如下左图，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90C =︒∠，且AB AD BC >+，AB 是O 的直径，则直线CD 与O 的位置关系为( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．无法确定【巩固】如图，BC是半圆O的直径，点D是半圆上的一点，过点D作O的切线AD，BA DA⊥，10BC=，4AD=，那么直线CE与以点O为圆心，52为半径的圆的位置关系是．二、切线的性质及判定【例4】已知：O为BAC∠平分线上一点，OD AB⊥于D，以O为圆心．以OD为半径作圆O．求证：O⊙与AC相切．【巩固】如图，ABC∆为等腰三角形，AB AC=，O是底边BC的中点，O⊙与腰AB相切于点D，求证AC与O⊙相切．【例5】已知：如图，ABC∆内接于O，AD是过A的一条射线，且B CAD∠=∠．求证：AD是O的切线．【巩固】已知：如图，AB 是O ⊙的直径，C 为O ⊙上一点，MN 过C 点，AD MN ⊥于D ，AC 平分DAB ∠．求证：MN 为O ⊙的切线．【例6】 如图，已知OA 是O ⊙的半径，B 是OA 中点，BC OA ⊥，P 是OA 延长线上一点，且PA AC =．求证：PC 是O ⊙的切线．【巩固】如图，AB 是O ⊙的直径，C 点在圆上，CD AB ⊥于D ．P 在BA 延长线上，且PCA ACD ∠=∠．求证：PC 是O ⊙的切线．BP【例7】 如图，O ⊙是Rt ABC ∆的外接圆，90ABC ∠=︒，点P 是圆外一点，PA 切O ⊙于点A ，且PA PB =． （1）求证：PB 是O ⊙的切线．（2）已知1PA BC ==，求O ⊙的半径．【巩固】1、如图，AB 为O ⊙的直径，D 是BC 的中点，DE AC ⊥交AC 的延长线于E ，O ⊙的切线BF 交AD 的延长线于点F ．求证：DE 是O ⊙的切线；FAB2、如图，已知O 是正方形ABCD 对角线上一点，以O 为圆心、OA 长为半径的O ⊙与BC 相切于M ，与AB 、AD 分别相交于E 、F ． （1）求证：CD 与O ⊙相切．（2）若正方形ABCD 的边长为1，求O ⊙的半径．【例8】 如图，AB BC =，以AB 为直径的O ⊙交AC 于点D ，过D 作DE BC ⊥，垂足为E ．（1）求证：DE 是O ⊙的切线；（2）作DG AB ⊥交O ⊙于G ，垂足为F ，若308A AB ∠=︒=，，求弦DG 的长．【巩固】如图，AC 为O ⊙的直径，B 是O ⊙外一点，AB 交O ⊙于E 点，过E 点作O ⊙的切线，交BC 于D 点，DE DC =，作EF AC ⊥于F 点，交AD 于M 点．求证：BC 是O ⊙的切线；D CB A【例9】 如图，AB 是O 的直径，30BAC ∠=︒，M 是OA 上一点，过M 作AB 的垂线交AC 于点N ，交BC 的延长线于点E ，直线CF 交EN 于点F ，且ECF E ∠=∠． （1）证明CF 是O 的切线；（2）设O 的半径为1，且AC CE =，求MO 的长．A1. 已知60ABC ∠=︒，点O 在ABC ∠的平分线上，5cm OB =，以O 为圆心3cm 为半径作圆，则O 与BC 的位置关系是________．2.如图，半径为3cm 的O ⊙切直线AC 于B ，3cm AB BC =，，则AOC ∠的度数是 ．3.如图所示在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，A ∠的平分线交BC 于D ，E 为AB 上一点，DE DC =，以D 为圆心，以DB 的长为半径画圆．求证：（1）AC 是D ⊙的切线；（2）AB EB AC +=．E B4.如图，四边形ABCD 内接于O ，BD 是O 的直径，AE CD ⊥，垂足为E ，DA 平分BDE ∠．（1）求证：AE 是O 的切线；（2）若301cm DBC DE ∠==，，求BD 的长．5.如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，AB 经过圆心O ，且与小圆相交于点A 、与大圆相交于点B ．小圆的切线AC 与大圆相交于点D ，且CO 平分ACB ∠． ⑴ 试判断BC 所在直线与小圆的位置关系，并说明理由； ⑵ 试判断线段AC AD BC 、、之间的数量关系，并说明理由； ⑶ 若8cm 10cm AB BC ==，，求大圆与小圆围成的圆环的面积．。