下载文档原格式
2019届 北师大版数学精品资料【成才之路】高中数学 第三章 概率综合能力测试 北师大版必修3本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．时间120分钟，满分150分．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．对于概率是1‰的事件，下列说法正确的是( ) A ．概率太小，不可能发生 B ．1 000次中一定发生1次C ．1 000人中，999人说不发生，1人说发生D ．1 000次中有可能发生1 000次 [答案] D[解析] 概率是1‰是说明发生的可能性是1‰，每次发生都是随机的，1 000次中也可能发生1 000次，只是发生的可能性很小，故选D.2.从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A ．至少有1个黑球与都是黑球B ．至少有1个黑球与至少有1个红球C ．恰有1个黑球与恰有2个黑球D ．至少有1个黑球与都是红球 [答案] C[解析] “从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球”这一事件共包含3个基本事件，关系如图所示. 显然恰有1个黑球与恰有2个黑球互斥但不对立．3．从装有大小相同的3个红球和2个白球的口袋内任取1个球，取到白球的概率为( )A.15 B.13 C ．12 D.25[答案] D[解析] 任取1球，有5种取法，取到1个白球有两种可能，所以取到白球的概率为25.4．某产品的设计长度为20 cm ，规定误差不超过0.5 cm 为合格品，今对一批产品进行测量，测得结果如下表：A.580B.780 C ．1720 D.320[答案] D[解析] P ＝5＋75＋68＋7＝320.5．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )A.π2B.π4 C ．π6D.π8[答案] B[解析] 总面积2×1＝2.半圆面积12×π×12＝π2.∴p ＝π22＝π4.6．将一枚均匀的硬币先后抛掷两次，至少出现一次正面向上的概率是( ) A.12 B.14 C ．34 D.1[答案] C[解析] 将一枚硬币先后抛掷两次包含的基本事件有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)4种可能的结果，至少出现一次正面向上包含了3个基本事件，故所求概率为34.7．(2015·福建文，8)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x <0的图像上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于()A.16 B.14 C ．38 D.12[答案] B[解析] 由已知得，B (1,0)，C (1,2)，D (－2,2)，F (0,1)(F 为f (x )与y 轴的交点)，则矩形ABCD 面积为3×2＝6，阴影部分面积为12×3×1＝32，故该点取自阴影部分的概率等于326＝14. 8．甲、乙两人随意住两间空房，则甲、乙两人各住一间房的概率是( ) A.14 B.13 C ．12 D.23 [答案] C[解析] 不妨设两间空房为A 、B ，则甲、乙两人随意入住的所有可能情况为：甲、乙都住A ；甲、乙都住B ；甲住A ，乙住B ；甲住B ，乙住A 共4种情况．其中甲、乙两人各住一间的情形有2种，故所求的概率P ＝24＝12.9．从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是( )A.34 B.14 C ．12D.18[答案] A[解析] 从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条总共有4种情况，依据四条边长可得满足条件的三角形有三种情况：2、3、4或3、4、5或2、4、5，故P ＝34.10.袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取3次，则下列事件中概率是89的是( )A ．颜色全相同 B.颜色不全相同 C ．颜色全不相同 D.无红颜色球[答案] B[解析] 共有3×3×3＝27种可能，而颜色全相同有三种可能，其概率为19.因此，颜色不全相同的概率为1－19＝89，故选B.11．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆，在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A ．1－2πB.12－1πC.2πD.1π[答案] A[解析] 本题考查几何概型的计算方法．设图中阴影面积为S 1，S 2，令OA ＝R ，∴S 2－S 1＝πR 24－π·(R 2)2＝0，即S 2＝S 1，由图形知，S 1＝2(S 扇ODC －S △ODC )＝2[πR224－12·(R 2)2]＝πR 2－2R 28， ∴P ＝S 1＋S 2S 扇AOB ＝π－R 24πR24＝1－2π，充分利用图形的对称性才能求出阴影部分的面积．12.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A.18B.38C.58D.78[答案] D[解析] 本题主要考查古典概型概率的求法，关键是求出可能结果的种数．4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况共有24＝16种，其中仅在周六(周日)参加的各有1种，∴所求概率为1－1＋116＝78.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上) 13．口袋中装有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率是0.23，则摸出黑球的概率是________．[答案] 0.32[解析] 白球个数为100×0.23＝23，黑球个数为100－45－23＝32，所以摸出黑球的概率为32100＝0.32.14．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的坐标，则点P 落在圆x 2＋y 2＝25外的概率是________．[答案]712[解析] 基本事件空间含有36个基本事件，而“点P 落在圆x 2＋y 2＝25外”含有21个基本事件，所以概率为2136＝712.15．同时抛掷两个骰子，向上的点数之积为偶数的概率为________． [答案] 34[解析] 同时抛掷两个骰子，有6×6＝36种不同结果，朝上一面的点数之积是奇数，当且仅当两个骰子向上一面都是奇数的有3×3＝9个不同结果，∴“朝上一面点数的积为奇数”的概率P ＝936＝14，其对立事件“朝上一面点数的积为偶数”的概率为1－14＝34.16．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．[答案]1316[解析] 本题主要考查几何概型． ∵去看电影的概率P 1＝π×12－π122π×12＝34； ∴去打篮球的概率P 2＝π142π×12＝116. 小波不在家看书的概率P ＝34＋116＝1316.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较，在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂．现有芳香度分别为0,1,2,3,4,5的六种添加剂可供选用．根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验．(1)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4的概率； (2)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3的概率．[解析] 设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4”的事件为A ，“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3”的事件为B .六种添加剂中任选两种有15种不同选法．(1)芳香度之和等于4的取法有2种：(0,4)，(1,3)，故P (A )＝215.(2)芳香度之和等于1的取法有1种：(0,1)；芳香度之和等于2的法取有1种：(0,2)，所以事件B 的对立事件B 是“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和小于3”，所以P (B )＝215，故P (B )＝1－P (B )＝1315. 18．(本小题满分12分)现从A ，B ，C ，D ，E 五人中选取三人参加一个重要会议，五人被选中的机会均等．求：(1)A 被选中的概率； (2)A 和B 同时被选中的概率； (3)A 或B 被选中的概率．[解析] 基本事件有“ABC ，ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，CDE ，BCD ，BCE ，BDE ，ADE ”共10个．(1)事件A 被选中包含6个基本事件，即ABC ，ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，ADE . ∴P 1＝610＝0.6.(2)事件A 和B 同时被选中包含3个基本事件， 即ABC ，ABD ，ABE ，∴P 2＝310＝0.3.(3)A 、B 都不被选中只有事件CDE 一种，所以事件A 或B 被选中包含9个基本事件，∴P 3＝910＝0.90.19．(本小题满分12分)袋中有红、黄2种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取两次．求：(1)两次全是红球的概率； (2)两次颜色相同的概率； (3)两次颜色不同的概率．[解析] 因为是有放回地抽取两次，所以每次取到的球可以都是红球，也可以都是黄球．把第一次取到红球，第二次取到红球简记为(红，红)，其他情况用类似记法，则有放回地抽取2次，所有的基本事件有4个，分别是：(红，红)，(红，黄)，(黄，红)，(黄，黄)．(1)两次全是红球的概率是P 1＝14.(2)“两次颜色相同”包含“两次都是红球”与“两次都是黄球”这两个事件互斥，因此两次颜色相同的概率是P 2＝14＋14＝12.(3)“两次颜色不同”与“两次颜色相同”是对立事件，所以两次颜色不同的概率是P 3＝1－12＝12.点拨：可用枚举的方法把所有基本事件列举出来，解(2)、(3)可以考虑用互斥、对立事件求解．20.(本小题满分12分)(2015·北京文，17)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.(1)(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ [解析] (1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0.1，所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．21.(本小题满分12分)已知关于x 的一元二次方程x 2－2(a －2)x －b 2＋16＝0. (1)若a ，b 是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率； (2)若a ∈[2,6]，b ∈[0,4]，求方程没有实根的概率． [分析] 分别利用古典概型与几何概型的概率公式求解．[解析] (1)易知基本事件(a ，b )共有36个，方程有两正根(借助根与系数的关系)等价于a －2>0,16－b 2>0，Δ≥0，即a >2，－4<b <4，(a －2)2＋b 2≥16，设“方程有两个正根”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)共4个，故所求的概率为P (A )＝436＝19.(2)试验的全部结果构成区域为{(a ，b )|2≤a ≤6,0≤b ≤4，a ，b ∈N *}，其面积为16.设“方程无实根”为事件B ，则构成事件B 的区域为{(a ，b )|2≤a ≤6,0≤b ≤4，(a －2)2＋b 2<16}，其面积为14×π×42＝4π.故所求的概率为P (B )＝4π16＝π4.22.(本小题满分12分)某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13s 至18s 之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13,14)；第二组[14,15)……第五组[17,18]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)若成绩大于或等于14 s 且小于16 s 认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；(2)设m ，n 表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知m ，n ∈[13,14)∪[17,18]．求事件“|m －n |>1”的概率．[解析] (1)由题中的直方图知，成绩在[14,16)内的人数为50×(0.16×1)＋50×(0.38×1)＝27，所以该班成绩良好的人数为27. (2)设事件M ：“|m －n |>1”由频率分布直方图知，成绩在[13,14)的人数为50×0.06×1＝3， 设这3人分别为x ，y ，z ；成绩在[17,18)的人数为50×0.08×1＝4， 设这4人分别为A ，B ，C ，D .若m ，n ∈[13,14)时，则有xy ，xz ，yz 共3种情况；若m ，n ∈[17,18]时，则有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，共6种情况； 若m ，n 分别在[13,14)和[17,18]内时，此时有|m －n |>1.共有12种情况．所以基本事件总数为3＋6＋12＝21种，则事件“|m －n |>1”所包含的基本事件个数有12种. 所以P (M )＝1221＝47.。
第三章基础知识测试本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
时间120分钟，满分150分。
第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛掷一只骰子，落地时向上的点数是5的概率是( ) A.13 B ．14C.15 D ．16[答案] D[解析] 掷一次骰子相当于做一次试验，因为骰子是均匀的，它有6个面，每个面朝上的机会是均等的，故出现5点的可能性是16.2．下列结论正确的是( )A ．事件A 的概率P (A )必有0<P (A )<1B ．事件A 的概率P (A )＝0.999，则事件A 是必然事件C ．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗，结果有380人有明显的疗效，现有胃溃疡的病人服用此药，则估计其明显疗效的可能性为76%D ．某奖券中奖率为50%，则某人购买此券10张，一定有5张中奖 [答案] C[解析] A ，B 明显不对，C 中，380÷500＝76%，正确．D 中，购买此券10张，可能一张也不中奖．3．两根电线杆相距100 m ，若电线遭受雷击，且雷击点距电线标10 m 之内时，电线杆上的输电设备将受损，则电线遭受雷击时设备受损的概率为( )A ．0.1B ．0.2C ．0.05D ．0.5 [答案] B[解析] 概率P ＝10×2100＝0.2.4．在区间(10,20]内的所有实数中，随机取一个实数a ，则这个实数a <13的概率是( ) A.13 B ．17C.310 D ．710[答案] C[解析] 这是一个与长度有关的几何概型．所求的概率P ＝(10，13)的区间长度(10，20]的区间长度＝310.5．有100张卡片(从1号到100号)，从中任取1张，取到卡片是7的倍数的概率是( ) A.750 B ．7100C.748 D ．15100[答案] A[解析] 令1≤7k ≤100(k ∈Z )，则17≤k ≤1427，所以k ＝1,2，…，14.即在1～100中共有14个7的倍数，故所求概率P ＝750.6．某产品的设计长度为20 cm ，规定误差不超过0.5 cm 为合格品，今对一批产品进行测量，测得结果如下表：A.580 B ．780C.1720 D ．320[答案] D[解析] P ＝5＋75＋68＋7＝320.7．(2014·辽宁文，6)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )A.π2 B ．π4C.π6 D ．π8[答案] B[解析] 总面积2×1＝2. 半圆面积12×π×12＝π2.∴p ＝π22＝π4.8．将一枚均匀的硬币先后抛掷两次，至少出现一次正面向上的概率是( ) A.12 B ．14C.34 D ．1[答案] C[解析] 将一枚硬币先后抛掷两次包含的基本事件有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)4种可能的结果，至少出现一次正面向上包含了3个基本事件，故所求概率为34.9．已知某运动员每次投篮命中的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( ) A ．0.35 B ．0.25 C ．0.20 D ．0.15 [答案] B[解析] 由题意知在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、271、932、812、393，共5组随机数，故所求概率为520＝14＝0.25.10．在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32cm 2的概率为( )A.16 B ．13C.23 D ．45[答案] C[解析] 本题考查几何概型问题． 由题意如图知点C 在C 1C 2线段上时分成两条线段围成的矩形面积小于32cm 2, ∴P ＝812＝23.注意几何概型用长度刻画．第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上)11．袋中装有100个大小相同的红球、白球、黑球，从中任取一球，摸出红球、白球的概率分别是0.4和0.35，那么黑球共有________个．[答案] 25[解析] 可求得摸出黑球的概率为1－0.4－0.35＝0.25，袋中共有100个球，所以黑球有25个． 12.如图所示，在一个边长为a 、b (a >b >0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底分别为13a 与12a ，高为b .向该矩形内随机投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为________．[答案]512[解析] S 矩形＝ab ，S 梯形＝12(13a ＋12a )·b ＝512ab ，故所投的点落在梯形内部的概率为S 梯形S 矩形＝512ab ab ＝512.13．(2014·广东文，12)从字母a ，b ，c ，d ，e 中任取两个不同字母，则取到字母a 的概率为________． [答案] 25[解析] 本题考查古典概型．基本事件有(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )(c ，e )，(d ，e )共10个，含a 的有4个，故概率为410＝25.写全基本事件个数是解决问题的关键．14．设集合P ＝{－2，－1,0,1,2}，x ∈P 且y ∈P ，则点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝4内部的概率为________． [答案]925[解析] 以(x ，y )为基本事件，用列表法或坐标法可知满足x ∈P 且y ∈P 的基本事件有25个，且每个基本事件发生的可能性都相等．点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝4内部，则x ，y ∈{－1,1,0}，用列表法或坐标法可知满足x ∈{－1,1,0}且y ∈{－1,1,0}的基本事件有9个．所以点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝4内部的概率为925.15．有5根木棍，它们的长度分别是3,4,6,7,9，从中任取3根，能搭成一个三角形的概率是________．[答案]710[解析]从长度为3,4,6,7,9的5根木棍中任取3根，基本事件总数为10，其中事件“不能构成三角形”用A表示，有长度为3,4,7；3,4,9；3,6,9的三种情况，所以P(A)＝310，故P(A)＝1－P(A)＝710.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表所示：(1)(2)这名运动员射击一次，击中10环的概率约为多少？[解析](1)填表如下：(2)这名运动员射击一次，击中10环的概率约为0.9.17．(本小题满分12分)先后抛掷两枚均匀的正方体骰子，观察向上的点数，问：(1)共有多少种不同的结果？(2)所得点数之和是3的概率是多少？(3)所得点数之和是3的倍数的概率是多少？[解析](1)先后抛掷两枚骰子，第一枚骰子出现6种结果，对其每一种结果，第二枚又有6种可能结果，于是一共有6×6＝36(种)不同的结果．(2)所得点数之和为3记为事件A，共有两种结果：“第一枚点数为1，第二枚点数为2”和“第一枚点数为2，第二枚点数为1”，故所求概率为P(A)＝236＝118.(3)第一次抛掷，向上的点数为1,2,3,4,5,6这6个数中的某一个，第二次抛掷时都可以有两种结果，使两次向上的点数和为3的倍数(例如第一次向上的点数为4，则当第二次向上的点数为2或5时，两次的点数之和都为3的倍数)，于是共有6×2＝12(种)不同的结果．因为抛掷两枚骰子得到的36种结果是等可能出现的，记“向上的点数之和是3的倍数”为事件概率为P (B )＝1236＝13.B ，则事件B 的结果有12种，故所求的18．(本小题满分12分)某城市为了发展地铁，事先对地铁现状做一份问卷调查，为此，成立了地铁运营发展指挥部，下设A ，B ，C 三个工作组，其分别有组员24人、24人、12人．为搜集意见，拟采用分层抽样的方法从A ，B ，C 三个工作组抽取5名工作人员来完成．(1)求从三个工作组分别抽取的人数；(2)问卷调查搜集意见结束后，若从抽取的5名工作人员中再随机抽取2名进行汇总整理，求这2名工作人员没有A 组工作人员的概率.[解析] (1)三个工作组的总人数为24＋24＋12＝60， 样本容量与总体中个体数的比为560＝112，所以从三个工作组分别抽取的人数为2,2,1.(2)设A 1，A 2为从A 组抽得的2名工作人员，B 1，B 2为从B 组抽得的工作人员，C 1为从C 组抽得的工作人员．若从这5名工作人员中随机抽取2名，其所有可能的结果有(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，C 1)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，C 1)，(B 1，B 2)，(B 1，C 1)，(B 2，C 1)，共有10种，其中没有A 组工作人员的结果有(B 1，B 2)，(B 1，C 1)，(B 2，C 1)，共有3种，所以所求的概率P ＝310. 19．(本小题满分12分)设点(p ，q )在|p |≤3，|q |≤3中按均匀分布出现，试求方程x 2＋2px －q 2＋1＝0的两根都是实数的概率．[解析] 基本事件总数的区域A 的测度为正方形的面积，即A 的测度＝62＝36. 由方程x 2＋2px －q 2＋1＝0的两根都是实数Δ＝(2p )2－4(－q 2＋1)≥0， ∴p 2＋q 2≥1.∴当点(p ，q )落在如右图所示的阴影部分时，方程的两根均为实数，由图可知，区域B 的测度＝S 正方形－S ⊙O ＝36－π，∴原方程两根都是实数的概率是P ＝36－π36.20．(本小题满分13分)设x ∈(0,4)，y ∈(0,4)．(1)若x ∈N *，y ∈N *，以x ，y 作为矩形的边长，记矩形的面积为S ，求S <4的概率； (2)若x ∈R ，y ∈R ，求这两数之差不大于2的概率．[解析] (1)若x ∈N *，y ∈N *，则(x ，y )所有的结果为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)共9个，满足S <4的(x ，y )所有的结果为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)共5个，故S <4的概率为59.(2)所有结果的区域为Ω＝{(x ，y )|0<x <4,0<y <4}，两数之差不大于2的所有的结果的区域为A ＝{(x ，y )|0<x <4,0<y <4，|x －y |≤2}，则P (A )＝42－2242＝34.21．(本小题满分14分)某单位要在甲、乙、丙、丁4人中安排2人分别担任周六、周日的值班任务(每人被安排是等可能的，每天只安排1人，每人最多排一天)．(1)一共有多少种安排方法？(2)其中甲、乙2人都被安排的概率是多少？ (3)甲、乙两人中至少有1人被安排的概率是多少？[解析] (1)用“甲乙”表示安排甲担任周六值班任务，安排乙担任周日值班任务，则所有的安排情况如下：甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丙丁，丁甲，丁乙，丁丙，共有12种安排方法．(2)由(1)知在甲、乙、丙、丁4人中安排2人的结果是有限个，属于古典概型．甲、乙2人都被安排的情况包括：甲乙，乙甲，共2种，所以甲、乙2人都被安排(记为事件A )的概率P (A )＝212＝16.(3)方法一：“甲、乙2人中至少有1人被安排”与“甲、乙2人都不被安排”这两个事件是对立事件，因为甲、乙2人都不被安排的情况包括：丙丁，丁丙，共2种，则甲、乙两人都不被安排的概率为212＝16，所以甲、乙2人中至少有1人被安排(记为事件B )的概率P (B )＝1－16＝56.方法二：甲、乙2人中至少有1人被安排的情况包括：甲乙，甲丙、甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丁甲，丁乙，共10种，所以甲、乙2人中至少有1人被安排(记为事件B )的概率P (B )＝1012＝56.。
高一数学必修3第三章概率测试题及答案(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高一数学必修3第三章概率测试题及答案(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高一数学必修3第三章概率测试题及答案(word版可编辑修改)的全部内容。
一、选择题：1．下列说法正确的是( )．A．如果一事件发生的概率为十万分之一，说明此事件不可能发生B．如果一事件不是不可能事件，说明此事件是必然事件C．概率的大小与不确定事件有关D．如果一事件发生的概率为99.999％，说明此事件必然发生2．从一个不透明的口袋中摸出红球的概率为1/5，已知袋中红球有3个，则袋中共有除颜色外完全相同的球的个数为（ )．A．5个 B．8个 C．10个 D．15个3．下列事件为确定事件的有( ）．（1)在一标准大气压下，20℃的纯水结冰(2）平时的百分制考试中,小白的考试成绩为105分（3）抛一枚硬币,落下后正面朝上(4）边长为a,b的长方形面积为abA．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．从装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是（ )．A．至少有1个白球，都是白球 B．至少有1个白球，至少有1个红球C．恰有1个白球，恰有2个白球 D．至少有1个白球，都是红球5．从数字1，2，3，4，5中任取三个数字，组成没有重复数字的三位数,则这个三位数大于400的概率是（ )．A．2/5 B、2/3 C．2/7 D．3/46．从一副扑克牌(54张）中抽取一张牌,抽到牌“K”的概率是( ）．A．1/54 B．1/27 C．1/18 D．2/277．同时掷两枚骰子，所得点数之和为5的概率为（）．A．1/4 B．1/9 C．1/6 D．1/128．在所有的两位数（10~99）中,任取一个数,则这个数能被2或3整除的概率是（ )． A．5/6 B．4/5 C．2/3 D．1/29．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40％，甲不输的概率为90％，则甲、乙两人下成和棋的概率为( )．A．60％ B．30％ C．10％ D．50％10．根据多年气象统计资料，某地6月1日下雨的概率为0.45，阴天的概率为0.20，则该日晴天的概率为（）．A．0.65 B．0.55 C．0。
顺序结构与选择结构 同步练习
思路导引
1.设计求|x |的算法，并画出流程图. 解：具体算法如下：
（1）若x <0，则|x |等于－x ；（2）若x ≥0，则|x |等于x . 算法流程图如图2－2－11.
图2－2－11
2.画出由梯形两底a 、b 和高h ，求梯形面积的算法流程图. 解：算法流程图如图2－2－12.
图2－2－12
3.画出从a ，b ，c 三个数中找出最大值的算法流程图. 解：算法流程图如图2－2－13.
图2－2－13
4.已知点P （x 0，y 0）和直线l ：Ax +By
+C =0，写出求点P 到直线l 的距离d 的算法流程图.
解：算法流程图如图2－2－14.
图2－2－14
←根据绝对值的意义.
←两两之间进行大小比较. ←d =
2
2
00|
|B
A C By Ax +++.
5.设汽车托运重量为P kg 的货物时，托运每千米的费用标准为
⎩⎨
⎧+⨯=时，当），－（
时，当，
kg 20201.1203.0kg 202.0P P P P y 画出行李托运费用的算法流程图.
5.解：算法流程图如图2－2－15.（x 为托运路程）
图2－2－15
←分段函数函数值的算法一般用选择结构.
≤ >。
一、选择题1．某同学用“随机模拟方法”计算曲线ln y x =与直线,0x e y ==所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[]1,e 上的均匀随机数i x 和10个区间[]0,1上的均匀随机数()*,110i y i N i ∈≤≤，其数据如下表的前两行． x 2.50 1.01 1.90 1.22 2.52 2.17 1.89 1.96 1.36 2.22 y 0.84 0.25 0.98 0.15 0.01 0.60 0.59 0.88 0.84 0.10 lnx0.900.010.640.200.920.770.640.670.310.80由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是A ．()215e + B ．()215e - C ．()315e + D ．()315e - 2．有五条线段长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率（ ） A ．110B ．310C ．12D ．7103．如图所示，已知圆1C 和2C 的半径都为2，且1223C C =，若在圆1C 或2C 中任取一点，则该点取自阴影部分的概率为（ ）A 33533π+B 33533π+C 331033π+D 331033π+4．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”.那么从长方体八个顶点中任取四个顶点，则这四个顶点组成的几何体是“鳖臑”的概率为（ ） A ．435B ．635C ．1235D ．18355．口袋里装有大小相同的5个小球，其中2个白球，3个红球，现一次性从中任意取出3个，则其中至少有1个白球的概率为（ ） A ．910B ．710C ．310D ．1106．已知三个村庄,,A B C 所处的位置恰好位于三角形的三个顶点处，且6,8,10AB km BC km AC km ===.现在ABC ∆内任取一点M 建一大型的超市，则M 点到三个村庄,,A B C 的距离都不小于2km 的概率为（ ） A ．3324+ B ．12πC ．21324- D ．1212π- 7．已知0.5log 5a =、3log 2b =、0.32c =、212d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，从这四个数中任取一个数m ，使函数()32123x mx x f x =+++有极值点的概率为（ ） A ．14 B ．12 C ．34D ．18．某研究机构在对具有线性相关的两个变量x 和y 进行统计分析时，得到如下数据：x 4 6 8 10 12 y12356由表中数据求得y 关于x 的回归方程为ˆˆ0.65yx a =+落在回归直线下方的概率为（ ） A ．25B ．35C ．34D ．129．如图的折线图是某公司2018年1月至12月份的收入与支出数据，若从6月至11月这6个月中任意选2个月的数据进行分析，则这2个月的利润（利润＝收入﹣支出）都不高于40万的概率为（ ）A ．15B ．25C ．35D ．4510．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这个10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是( ) A ．710B ．35C ．12D ．2511．从一口袋中有放回地每次摸出1个球，摸出一个白球的概率为0.4，摸出一个黑球的概率为0.5，若摸球3次，则恰好有2次摸出白球的概率为 A ．0.24B ．0.26C ．0.288D ．0.29212．圆周率π是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数，它既常用又神秘，古今中外很多数学家曾研究它的计算方法.下面做一个游戏：让大家各自随意写下两个小于1的正数然后请他们各自检查一下，所得的两数与1是否能构成一个锐角三角形的三边，最后把结论告诉你，只需将每个人的结论记录下来就能算出圆周率的近似值.假设有n 个人说“能”，而有m 个人说“不能”，那么应用你学过的知识可算得圆周率π的近似值为（） A ．mm n+ B ．nm n+ C ．4mm n+ D ．4nm n+ 二、填空题13．一个多面体的直观图和三视图所示，M 是AB 的中点，一只蝴蝶在几何体ADF BCE -内自由飞翔，由它飞入几何体F AMCD -内的概率为______．14．重庆一中高一，高二，高三的模联社团的人数分别为25，15，10，现采用分层抽样的方法从中抽取部分学生参加模联会议，已知在高二年级和高三年级中共抽取5名同学，若从这5名同学中再随机抽取2名同学承担文件翻译工作，则抽取的两名同学来自同一年级的概率为__________.15．乒乓球赛规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，甲发球得1分的概率为35，乙发球得1分的概率为23，各次发球的胜负结果相互独立，甲、乙的一局比赛中，甲先发球.则开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率为________.16．设{}{}1,3,5,7,2,4,6a b ∈∈，则函数()log a bf x x =是增函数的概率为__________．17．如图，在半径为1的圆上随机地取两点,B E ，连成一条弦BE ，则弦长超过圆内接正BCD ∆边长的概率是__________．18．从甲、乙、丙、丁四人中选3人当代表，则甲被选上的概率为______．19．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率是________20．某公司的班车在8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是__________三、解答题21．袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球､黄球､绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是59，得到黄球或绿球的概率是23，试求：（1）从中任取一球，得到黑球､黄球､绿球的概率各是多少？（2）从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？22．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；（2）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程y bx a=+；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？23．某生产企业研发了一种新产品，该新产品在某网店试销一个阶段后得到销售单价x和月销售量y之间的一组数据，如下表所示：（Ⅰ）根据统计数据，求出y关于x的回归直线方程，并预测月销售量不低于12万件时销售单价的最大值；（Ⅱ）生产企业与网店约定：若该新产品的月销售量不低于10万件，则生产企业奖励网店1万元；若月销售量不低于8万件且不足10万件，则生产企业奖励网店5000元；若月销售量低于8万件，则没有奖励.现用样本估计总体，从上述5个销售单价中任选2个销售单价，求抽到的产品含有月销量量不低于10万件的概率.参考公式：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归直线y bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，a y bx =-.参考数据：51392i ii x y==∑，521502.5i i x ==∑.24．安庆市某中学教研室从高二年级随机抽取了50名学生的十月份语文成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数），得到如图所示的频率分布直方图.（1）若该校高二年级共有学生1000人，试估计十月份月考语文成绩不低于60分的人数； （2）为提高学生学习语文的兴趣，学校决定在随机抽取的50名学生中成立“二帮一”小组，即从成绩[]90,100中选两位同学，共同帮助[)40,50中的某一位同学.已知甲同学的成绩为42分，乙同学的成绩为95分，求甲乙恰好被安排在同一小组的概率.25．某市工会组织了一次工人综合技能比赛，一共有1000名工人参加，他们的成绩都分布在[]52,100内，数据经过汇总整理得到如下的频率分布直方图，规定成绩在76分及76分以上的为优秀.（1）求图中t 的值；（2）估计这次比赛成绩的平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）；（3）某工厂车间有25名工人参加这次比赛，他们的成绩分布和整体的成绩分布情况完全一致，若从该车间参赛的且成绩为优秀的工人中任选两人，求这两人成绩均低于92分的概率.26．端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有6个粽子，其中豆沙粽1个，肉粽2个，白粽3个，这三种粽子的外观完全相同．（Ⅰ）从中不放回的任取3个，记X 表示取到的肉粽个数，求X 的分布列和()E X ； （Ⅱ）从中有放回的任取3个，记Y 表示取到的肉棕个数，求(2)P Y ≥； （Ⅲ）比较()E X 与()E Y 的大小（只需写出结论）．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【详解】 由题意可得ACB ABCD=10SnS ∆曲线矩形，n 为阴影部分的点的个数，即满足y<lnx,共6个点，即ACB ABCD6=101S S S e ∆=-曲线矩形，所以S=()315e -,选D.2．B解析：B 【分析】列出所有的基本事件，并找出事件“所取三条线段能构成一个三角形”所包含的基本事件，再利用古典概型的概率公式计算出所求事件的概率． 【详解】所有的基本事件有：()1,3,5、()1,3,7、()1,3,9、()1,5,7、()1,5,9、()1,7,9、()3,5,7、()3,5,9、()3,7,9、()5,7,9，共10个，其中，事件“所取三条线段能构成一个三角形”所包含的基本事件有：()3,5,7、()3,7,9、()5,7,9，共3个，由古典概型的概率公式可知，事件“所取三条线段能构成一个三角形”的概率为310， 故选：B ． 【点睛】本题考查古典概型的概率计算，解题的关键就是列举基本事件，常见的列举方法有：枚举法和树状图法，列举时应遵循不重不漏的基本原则，考查计算能力，属于中等题．3．D解析：D 【分析】设两圆交于点,A B ，连接11,AC BC ,12,AB C C ，设12,AB C C 交于点D ，由已知的数据可得1AC B △为等边三角形，从而可求出阴影部分的面积，进而求出总面积，即可求出概率. 【详解】设两圆交于点,A B ，连接11,AC BC ,12,AB C C ，设12,AB C C 交于点D ， 则112132C D C C ==,190ADC ∠=︒， 所以1113cos C D AC D AC ∠==，所以130AC D ∠=︒，则160AC B ∠=︒, 所以1AC B △为等边三角形， 所以604342(4)233603S ππ⨯=-⨯=-阴， 图形的总面积42024(23)2333S πππ=⨯--=+总， 所以求概率为4232333201033233ππππ--=++，故选：D【点睛】此题考查几何概型概率的求法，关键是求阴影部分的面积，属于中档题.4．C解析：C 【分析】本题是一个等可能事件的概率，从正方体中任选四个顶点的选法是48C ，四个面都是直角三角形的三棱锥有4×6个，根据古典概型的概率公式进行求解即可求得． 【详解】由题意知本题是一个等可能事件的概率，从长方体中任选四个顶点的选法是4870C =，以A 为顶点的四个面都是直角三角形的三棱锥有：111111111111,,,,,A A D C A A B C A BB C A BCC A DCC DD C A ------共6个．同理以1111,,,,,,B C D A B C D 为顶点的也各有6个， 但是，所有列举的三棱锥均出现2次，∴四个面都是直角三角形的三棱锥有186242⨯⨯=个， ∴所求的概率是24127035= 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了古典概型问题，解题关键是掌握将问题转化为从正方体中任选四个顶点问题，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.5．A解析：A 【分析】根据题意,求出总的基本事件数和至少有1个白球包含的基本事件数,然后利用古典概型的概率计算公式求解即可. 【详解】由题意可知,从5个大小相同的小球中,一次性任意取出3个小球包含的总的基本事件数为n =35C 10=,一次性任意取出的3个小球中,至少有1个白球包含的基本事件数为122123239m C C C C =+=,由古典概型的概率计算公式得,一次性任意取出的3个小球中,至少有1个白球的概率为910m P n ==. 故选:A 【点睛】本题考查利用组合数公式和古典概型的概率计算公式求随机事件的概率；正确求出总的基本事件数和至少有1个白球包含的基本事件数是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.6．D解析：D 【分析】采用数形结合，计算ABC S ∆，以及“M 点到三个村庄,,A B C 的距离都不小于2km ”这部分区域的面积S ，然后结合几何概型，可得结果. 【详解】由题可知：222AB BC AC += 所以该三角形为直角三角形分别以,,A B C 作为圆心，作半径为2的圆 如图所以则 “M 点到三个村庄,,A B C 的距离都不小于2km ” 该部分即上图阴影部分，记该部分面积为S11682422ABC S AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯=又三角形内角和为π，所以2122422ABC S S ππ∆=-⨯=- 设M 点到三个村庄,,A B C 的距离都不小于2km 的概率为P所以242122412ABCS P S ππ∆--=== 故选：D 【点睛】本题考查面积型几何概型问题，重点在于计算面积，难点在于计算阴影部分面积，考验理解能力，属基础题.7．B解析：B 【分析】求出函数的导数，根据函数的极值点的个数求出m 的范围，通过判断a ，b ，c ，d 的范围，得到满足条件的概率值即可． 【详解】f ′（x ）＝x 2+2mx +1， 若函数f （x ）有极值点， 则f ′（x ）有2个不相等的实数根， 故△＝4m 2﹣4＞0，解得：m ＞1或m ＜﹣1，而a ＝log 0.55＜﹣2，0＜b ＝log 32＜1、c ＝20.3＞1，0＜d ＝（12）2＜1， 满足条件的有2个，分别是a ，c ， 故满足条件的概率p 2142==， 故选：B ． 【点睛】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及对数、指数的性质，是一道中档题．8．A解析：A 【分析】求出样本点的中心，求出ˆa的值，得到回归方程得到5个点中落在回归直线下方的有(6,2)，(8,3)，共2个，求出概率即可．【详解】8x =， 3.4y =，故3.40.658ˆa=⨯+，解得： 1.8a =-， 则0.65.8ˆ1yx =-， 故5个点中落在回归直线下方的有(6,2)，(8,3)，共2个， 故所求概率是25p =， 故选：A ． 【点睛】本题考查回归方程概念、概率的计算以及样本点的中心，考查数据处理能力，是一道基础题．9．B解析：B 【分析】从7月至12月这6个月中任意选2个月的数据进行分析，基本事件总数2615n C ==，由折线图得6月至11月这6个月中利润（利润=收入-支出）低于40万的有6月，9月，10月，由此即可得到所求． 【详解】如图的折线图是某公司2017年1月至12月份的收入与支出数据， 从6月至11月这6个月中任意选2个月的数据进行分析，基本事件总数2615n C ==，由折线图得6月至11月这6个月中利润（利润=收入-支出）不高于40万的有6月，8月，9月，10月，∴这2个月的利润（利润=收入-支出）都不高于40万包含的基本事件个数246m C ==， ∴这2个月的利润（利润=收入-支出）都低于40万的概率为62155m P n ===， 故选：B 【点睛】本题主要考查了古典概型，考查了运算求解能力，属于中档题．10．B解析：B 【分析】先由题意写出成等比数列的10个数，然后找出小于8的项的个数，代入古典概率的计算公式即可求解 【详解】解：由题意()13n n a -=-成等比数列的10个数为：1，3-，2(3)-，39(3)(3)-⋯-其中小于8的项有：1，3-，3(3)-，5(3)-，7(3)-，9(3)-共6个数 这10个数中随机抽取一个数， 则它小于8的概率是63105P ==． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用，属于基础试题11．C解析：C 【分析】首先分析可能的情况：（白，非白，白）、（白，白，非白）、（非白，白，白），然后计算相应概率. 【详解】因为摸一次球，是白球的概率是0.4，不是白球的概率是0.6， 所以0.40.60.40.40.40.60.60.40.40.288P =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 故选C. 【点睛】本题考查有放回问题的概率计算，难度一般.12．C解析：C把每一个所写两数作为一个点的坐标，由题意可得与1不能构成一个锐角三角形是指两个数构成点的坐标在圆221x y +=内，进一步得到211411+m m nπ⨯=⨯，则答案可求。
第三章 §2 2.3一、选择题1．如果事件A 与B 是互斥事件，则( ) A ．A ＋B 是必然事件 B.A －与B －一定互斥 C.A －与B －一定不互斥 D.A －＋B －是必然事件[答案] D[解析] 特例检验：在掷一粒骰子的试验中，“上面出现点数1”与“上面出现点数2”分别记作A 与B ，则A 与B 是互斥而不对立的事件，A ＋B 不是必然事件，A －与B －也不互斥，∴A 、B 选项错误，A －＋B －是必然事件，还可举例验证C 不正确．2．从1,2,3，…，9这9个数中任取两数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是( )A ．①B ．②④C ．③D ．①③[答案] C[解析] 可根据互斥和对立事件的定义分析事件，③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～9中任取两数共有3个事件：“两个奇数”“一奇一偶”“两个偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个偶数”是对立事件．3．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对成品任意抽查一件抽得正品的概率为( )A ．0.99B ．0.98C ．0.97D ．0.96 [答案] D[解析] 设“抽得正品”为事件A ，则P (A )＝1－0.03－0.01＝0.96. 4．抽查10件产品，设“至少抽到2件次品”为事件A ，则A －为( ) A ．“至多2件次品” B ．“至多2件正品” C ．“至少2件正品” D ．“至多1件次品” [答案] D[解析] 至少2件次品与至多1件次品不能同时发生，且必有一个发生．5．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高低于160 cm 的概率为0.2，该同学的身高在[160,175] cm 的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm 的概率为( )A ．0.2B ．0.3C ．0.7D ．0.8[答案] B[解析] 设身高低于160 cm 为事件M ，身高在[160,175] cm 为事件N ，身高超过175 cm 为事件Q ，则事件M 、N 、Q 两两互斥，且M ＋N 与Q 是对立事件，则该同学的身高超过175 cm 的概率为P (Q )＝1－P (M ＋N )＝1－P (M )－P (N )＝1－0.2－0.5＝0.3.6．如果事件A 与B 是互斥事件，且事件A ＋B 的概率是0.8，事件A 的概率是事件B 的概率的3倍，则事件A 的概率为( )A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.8 [答案] C[解析] 由题意知P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.8， ① P (A )＝3P (B )，②解①②组成的方程组知P (A )＝0.6. 二、填空题7．某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次击中10环，有3次击中9环，有4次击中8环，有1次未中靶．假设此人射击一次，则他中靶的概率大约是________．[答案] 0.9[解析] P ＝210＋310＋410＝910＝0.9.8．掷一粒骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则事件A ＋B －发生的概率为________．[答案] 23[解析] B －表示“大于或等于5的点数出现”． ∵A 与B －互斥，∴P (A ＋B －)＝P (A )＋P (B －)＝26＋26＝23.三、解答题9．一个箱子内有9张票，其号数分别为1、2、…、9.从中任取2张，其号数至少有一个为奇数的概率是多少？[分析] 从9张票中任取2张，要弄清楚取法种数为12×9×8＝36，“号数至少有一个为奇数”的对立事件是“号数全是偶数”，用对立事件的性质求解非常简单．[解析] 从9张票中任取2张，有 (1,2)，(1,3)，…，(1,9)； (2,3)，(2,4)，…，(2,9)； (3,4)，(3,5)，…，(3,9)； …(7,8)，(7,9)；(8,9)，共计36种取法．记“号数至少有一个为奇数”为事件B ，“号数全是偶数”为事件C ，则事件C 为从号数为2,4,6,8的四张票中任取2张有(2,4)，(2,6)，(2,8)，(4,6)，(4,8)，(6,8)共6种取法．∴P (C )＝636＝16，由对立事件的性质得P (B )＝1－P (C )＝1－16＝56.一、选择题1．甲袋中有大小相同的4只白球、2只黑球，乙袋中有大小相同的6只白球、5只黑球，现从两袋中各取一球，则两球颜色相同的概率是( )A.1233 B ．533C.433 D ．1733[答案] D[解析] 基本事件总数有6×11＝66，而两球颜色相同包括两种情况：两白或两黑，其包含的基本事件有4×6＋2×5＝34(个)，故两球颜色相同的概率P ＝3466＝1733.2．从装有5只红球、5只白球的袋中任意取出3只球，有事件：①“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”；②“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”；③“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”；④“取出3只红球”与“取出3只白球”．其中是对立事件的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．③[答案] D[解析] 从袋中任取3只球，可能取到的情况有：“3只红球”“2只红球1只白球”“1只红球2只白球”“3只白球”，由此可知①②④中的两个事件都不是对立事件．对于③，“取出3只球中至少有1只白球”包含“2只红球1只白球”“1只红球2只白球”“3只白球”三种情况，故是对立事件．二、填空题3．同时抛掷两枚骰子，没有5点或6点的概率为49，则至少有一个5点或6点的概率是________．[答案] 59[解析] 记“没有5点或6点”的事件为A ，则P (A )＝49，“至少有一个5点或6点”的事件为B .由已知A 与B 是对立事件，则P (B )＝1－P (A )＝1－49＝59.4．一枚五分硬币连掷三次，事件A 为“三次反面向上”，事件B 为“恰有一次正面向上”，事件C 为“至少两次正面向上”．写出一个事件A 、B 、C 的概率P (A )、P (B )、P (C )之间的正确关系式__________．[答案] P (A )＋P (B )＋P (C )＝1[解析] 一枚五分硬币连掷三次包含的基本事件有(反，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(正，反，反)，(反，反，正)，(正，反，正)，(正，正，反)，(正，正，正)共8种，事件A ＋B ＋C 刚好包含这8种情况，且它们两两互斥，故P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝1.三、解答题5．在某一时期，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下：(1)10～16m ；(2)低于12m ；(3)不低于14m.[解析] 分别设年最高水位低于10m ，在10～12m ，在12～14m ，在14～16m ，不低于16m 为事件A ，B ，C ，D ，E .因为这五个事件是彼此互斥的，所以(1)年最高水位在10～16m 的概率是：P (B ＋C ＋D )＝P (B )＋P (C )＋P (D )＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82. (2)年最高水位低于12m 的概率是： P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.1＋0.28＝0.38.(3)年最高水位不低于14m 的概率是： P (D ＋E )＝P (D )＋P (E )＝0.16＋0.08＝0.24.6．某射手射击一次，中靶的概率为0.95.记事件A 为“射击一次中靶”，求： (1)A 的概率是多少？(2)若事件B (环数大于5)的概率是0.75，那么事件C (环数小于6)的概率是多少？事件D (环数大于0且小于6)的概率是多少？[解析] (1)P (A )＝1－P (A )＝1－0.95＝0.05. (2)由题意知，事件B 即为“环数为6,7,8,9,10环” 而事件C 为“环数为0,1,2,3,4,5环”， 事件D 为“环数为1,2,3,4,5环”． 可见B 与C 是对立事件，而C ＝D ＋A . 因此P (C )＝P (B )＝1－P (B )＝1－0.75＝0.25. 又P (C )＝P (D )＋P (A )，所以P (D )＝P (C )－P (A )＝0.25－0.05＝0.20.7．(2014·四川文，16)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c .(1)求“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率； (2)求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率． [解析] (1)由题意，(a ，b ，c )所有的可能为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)， (2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种． 设“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”为事件A ， 则事件A 包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种． 所以P (A )＝327＝19.因此，“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率为19.(2)设“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”为事件B ，则事件B包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种．所以P(B)＝1－P(B)＝1－327＝8 9.因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为89.。
数学北师版必修3第三章概率单元检测(时间：90分钟，满分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法中正确的是( )．A．事件的概率范围是(0,1)B．不可能事件的概率不一定为0C．必然事件的概率为1D．小概率事件一定不发生2．下列事件：①物体在重力作用下会自由下落；②方程x2－2x＋3＝0有两个不相等的实数根；③下周日会下雨；④某寻呼台每天某一时段内收到传呼的次数少于10次．其中随机事件的个数为( )．A．1 B．2 C．3 D．43．某箱内有十张标有0到9的卡片，从中任取一张，则取到卡片上的数字不小于6的概率是( )．A．13B．35C．25D．144．在数轴上的区间[0,3]内任取一点，则此点落在区间[2,3]内的概率是( )．A．13B．12C．23D．345．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是( )．A．0.42 B．0.28C．0.3 D．0.76．在一个袋子中装有分别标注着数字1,2,3,4的四个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机地一次取出两个小球，则取出的小球标注的数字之和为7或6的概率是( )．A．16B．15C．13D．567．从集合A＝{1,2,3}到集合B＝{a，b，c}随机构造一个映射，其中A中的三个元素与B中的一个元素对应的概率为( )．A．19B．13C．127D．以上均错误8．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}，若|a－b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )．A．19B．29C．718D．499．在正方形ABCD内任取一点P，则使∠APB＜90°的概率是( )．A．π8B．π4C．π18- D．π14-10．设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a，b)，记“点P(a，b)落在直线x＋y＝n上”为事件C n(2≤n≤5，n∈N)，若事件C n的概率最大，则n的所有可能值为( )．A．3 B．4C．2和5 D．3和4二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)11．抛掷一枚骰子，向上的点数是奇数为事件A，事件A的对立事件是______．12．口袋内装有100个大小相同的红球、白球和黑球，其中有45个红球，从中摸出1个球，若摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为__________．13．从某校高二年级的所有学生中，随机抽取20人，测得他们的身高分别为：(单位：cm)162,148,154,165,168,172,175,162,171,170,150,151,152,160,163,175,164,179,149 ,172.根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级任意抽取一名同学身高在155.5～170.5 cm之间的概率为________．(用分数表示)14．(2011山东济南月考)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为m，从{3,4,5}中随机选取一个数为n，则m＜n的概率是__________．15．如图，四边形ABCD为矩形，AB，BC＝1，以A为圆心，1为半径画圆，交线段AB于E，在圆弧DE上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点的概率为__________．三、解答题(本大题共2小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)假设储蓄卡的密码由4个数字组成，每个数字可以是0,1,2，…，9十个数字中的任意一个．假设一个人完全忘记了自己的储蓄卡密码，问他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是多少？17．(本小题满分13分)(2011浙江宁波高一期中，22)如图，在长为52宽为42的大矩形内有一个边长为18的小正方形，现向大矩形内随机投掷一枚半径为1的圆片，求：(1)圆片落在大矩形内部时，其圆心形成的图形面积；(2)圆片与小正方形及内部有公共点的概率．参考答案1．答案：C2．答案：B3．答案：C 数字不小于6有6,7,8,9共4个基本事件，而事件总数为10个，∴42105P ==. 4．答案：A 区间[2,3]的长度为1，整个区间的长度为3，由几何概型的概率计算公式可知所求概率为13. 5．答案：C 摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3.6．答案：C 用(x ，y )表示取出两球上标注的数字，则所有的基本事件是：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共有6个.数字之和为7或6包含的基本事件有：(3,4)，(2,4)，共有2个，则所求概率为13. 7．答案：A 从集合A ＝{1,2,3}到集合B ＝{a ，b ，c }随机构造一个映射，共有27个基本事件，且每个基本事件的出现是等可能的，而其中A 中的三个元素与B 中的一个元素对应包括3个基本事件，其概率为31279=. 8．答案：D 首先要弄清楚“心有灵犀”的实质是|a －b |≤1，由于a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，则满足要求的事件可能的结果有：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，共16种，而依题意得基本事件的总数有36种.因此他们“心有灵犀”的概率为164369P ==，故选D.9．答案：C 如图所示，以AB 为直径作半圆，当点P 落在AB 上时，∠APB =90°，所以使∠APB ＜90°的点落在图中的阴影部分.设正方形的边长为1，“在正方形ABCD 内任取一点P ，则使∠APB ＜90°”为事件A ，则μΩ=1，211π1π1228A μ⎛⎫=-⨯=- ⎪⎝⎭，所以()π18A P A Ωμμ==-.10．答案：D 点P的所有可能情况为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3).点P(a，b)落在直线x＋y＝n上(2≤n≤5，n∈N)，且事件C n的概率最大.当n＝3时，点P 可能是(1,2)，(2,1)，当n＝4时，点P可能是(1,3)，(2,2)，即事件C3，C4的概率最大，故选D.11．答案：向上的点数是偶数12．答案：0.32 摸出红球的概率为0.45，所以摸出黑球的概率P＝1－0.45－0.23＝0.32.13．答案：25样本中有8人身高在155.5～170.5 cm之间，所以估计在该校高二年级任意抽取一名同学身高在155.5～170.5 cm之间的概率为82 205=.14．答案：35所有的基本事件是：(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共15个.满足m＜n的基本事件有9个，则所求的概率为93 155=.15．答案：13连接AC交DE于点F，则点P在EF上时直线AP与线段BC有公共点.∵ABBC＝1，∴∠BAC＝π6.直线AP与线段BC有公共点的概率π16π32P==.16．答案：解：一个密码相当于一个基本事件，总共有10 000个基本事件，它们分别是0000,0001,0002，…，9998,9999.随机地试密码，相当于试到任何一个密码的可能性都是相等的，所以这是一个古典概型.事件“试一次密码就能取到钱”由1个基本事件构成，即由正确的密码构成.所以P(“试一次密码就能取到钱”)＝1 10000.17．答案：解：(1)当小圆片落在大矩形内部时，其圆心形成的图形为一个长为50宽为40的矩形，故其面积为S＝50×40＝2 000.(2)当小圆片与小正方形及内部有公共点时，其圆心形成的图形面积为：S′＝(18＋2)×(18＋2)－4×1×1＋4×1π4×12＝396＋π，故小圆片与小正方形及内部有公共点的概率为396π2000P+ =.。
