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第三讲等腰（直角）三角形的存在性问题处理策略一、两圆一线与两线一圆二、代数解法（SSS法）前提：三边的平方是常数或者是关于某个参数的二次式，根据边或直角分类三、几何解法（SAS法）1等腰三角形的存在性问题前提：三角形有一个不变的内角θ步骤：①用同一个参数表示该不变角相邻的两条边；②以腰为标准分三类列方程。
具体如下：情形一、当定角θ为顶角时，如图3-2-6，有a=b;情形二1等腰三角形的存在性问题、当定角θ为底角且b为腰时，如图3-2-7，有cosθ=a/2b；情形三、当定角θ为底角且a为腰时，如图3-2-8，有cosθ=b/2a.2直角三角形存在性问题法1:若直角三角形有一个不变的锐角θ,可狠抓不变角θ,利用其三角函数列式计法2:依托直角三角形,作“横平竖直”辅助线,造“一线三直角”,利用相似求解3等腰直角三角形存在性问题方法:一般构造“一线三直角”全等,即“K 字型”全等值得一提的是,以上问题,有时还可以结合导角、相似等转化手段进行求解例1、在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=12,点P是这个菱形内部或边上的一点,若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D(两点不重合)两点间的最短距离是_________。
变式1、在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=12,点P是这个菱形外部的一点,若以点P、B、D为顶点的三角形是Z直角三角形，则P、C(两点不重合)两点间的最短距离是_________。
例2、已知点A(3,0),B(0,4),在坐标轴上找一点C，使△ABC为等腰三角形，求所有点C的坐标..变式1、已知点A(3,0),B(0,4),在坐标轴上找一点C，使△ABC为直角三角形，求所有点C的坐标..例3、如图，二次函数y=a（x2﹣2mx﹣3m2）（其中a，m是常数，且a＞0，m＞0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于C（0，﹣3），点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD，过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．（1）用含m的代数式表示a；（2）求证：为定值；（3）设该二次函数图象的顶点为F，探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．以下是几何解法（一、）显性的不变角（二、例4已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0),C(8,0),D(8,8),抛物线y=ax2+bx+c过A、C两点．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段EG最长？②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形？请直接写出相应的t值．例5在△ABC中，AB=AC,点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B,若AB=10,BC=16,当△APD为直角三角形时，求BP的长变式：在△ABC中，AB=AC,点P、D分别是BC、AC边上的点（点P不与B、C重合），且∠ABD=∠B,若AB=10,BC=16,当△APD为等腰三角形时，求BP的长（二）隐形的不变角（三）例6、如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P以每秒1个单位的速度从A向C运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从A→B→C方向运动，它们到C点后都停止运动，设点P，Q运动的时间为t秒．（1）在运动过程中，求P，Q两点间距离的最大值；（2）经过t秒的运动，求△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式；（3）P ，Q 两点在运动过程中，是否存在时间t ，使得△PQC 为等腰三角形？若存在，求出此时的t 值；若不存在，请说明理由例7在平面直角坐标系中，已知点A(1,0)与直线l ：y=x 34,点B 在x 轴正半上，且位于点A 的右侧，过点B 作x 轴的垂线，交直线l 于点C,再过点C 作直线l 的垂线，交x 轴于点D 在BC 上取点E ，使BE=BA,连接OE,并延长，交CD 于点F,当△CEF 为等腰三角形时，求点C 的坐标..练习1、直线y=-x+4与x 轴交于点B,点C 在直线AB 上，在平面直角坐标系中求一点，使得以O 、A 、C 、D 为顶点的四边形是菱形。
等腰三角形的性质定理及其证明课件一、教学内容本节课的教学内容来自于小学数学教材第六册第四章“几何图形”的相关内容。
具体章节为第1节“等腰三角形的性质定理及其证明”。
本节课的主要内容包括：等腰三角形的定义、性质定理及其证明，以及等腰三角形的应用。
二、教学目标1. 让学生掌握等腰三角形的定义和性质定理，能够运用性质定理解决相关问题。
2. 培养学生观察、思考、交流、合作的能力，提高学生的几何思维水平。
3. 通过对等腰三角形的探究，培养学生对数学的兴趣和自信心。
三、教学难点与重点重点：等腰三角形的性质定理及其证明。
难点：理解并证明等腰三角形的性质定理。
四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、课件、几何模型。
学具：笔记本、尺子、三角板、剪刀。
五、教学过程1. 实践情景引入：让学生观察教室里的等腰三角形物品，如三角板、剪刀等，引导学生发现等腰三角形的特征。
3. 证明等腰三角形的性质定理：引导学生利用几何模型，通过剪切、拼接等方法，证明等腰三角形的性质定理。
4. 例题讲解：出示相关例题，如“已知一个等腰三角形，求其底角的度数”，让学生运用性质定理解决问题。
5. 随堂练习：出示一些关于等腰三角形的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
六、板书设计板书内容主要包括等腰三角形的定义、性质定理及其证明过程。
板书设计要简洁明了，突出重点，便于学生理解和记忆。
七、作业设计1. 作业题目：已知一个等腰三角形，求其底角的度数。
答案：底角的度数= (180° 顶角的度数) ÷ 2。
2. 作业题目：判断下列三角形是否为等腰三角形，并说明理由。
答案：判断三角形是否为等腰三角形，只需判断两腰是否相等。
如果两腰相等，则为等腰三角形。
八、课后反思及拓展延伸课后反思：本节课的教学内容较为抽象，学生可能在理解上存在一定困难。
教师应关注学生的学习情况，针对性地进行辅导，帮助学生克服困难。
拓展延伸：让学生观察生活中的等腰三角形物品，尝试解释其原理。
等腰三角形的性质完整课件一、教学内容本节课的教学内容来源于人教版小学数学五年级下册第117页至119页，主要讲述了等腰三角形的性质。
具体内容包括：1. 等腰三角形的定义；2. 等腰三角形的两底角相等；3. 等腰三角形的底边中线、高、角平分线合一；4. 等腰三角形的应用。
二、教学目标1. 让学生掌握等腰三角形的定义及其性质；2. 培养学生运用等腰三角形的性质解决实际问题的能力；3. 培养学生的观察能力、动手操作能力和团队协作能力。
三、教学难点与重点重点：等腰三角形的性质及应用；难点：等腰三角形底边中线、高、角平分线合一的证明。
四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、课件；学具：三角板、量角器、直尺、圆规、剪刀、彩笔。
五、教学过程1. 实践情景引入：让学生观察教室里的等腰三角形物品，如三角形桌椅、三角形黑板等，引导学生发现等腰三角形的特征。
2. 讲解等腰三角形的定义：等腰三角形是指有两边相等的三角形。
3. 证明等腰三角形两底角相等：通过实际操作，让学生用三角板、量角器等工具，测量等腰三角形两底角的度数，发现两底角相等。
4. 讲解等腰三角形底边中线、高、角平分线合一的性质：引导学生观察等腰三角形底边上的中线、高、角平分线，发现它们交于同一点。
5. 应用练习：让学生运用等腰三角形的性质解决实际问题，如计算等腰三角形的面积、判断一个三角形是否为等腰三角形等。
六、板书设计板书内容：等腰三角形的性质1. 等腰三角形的定义2. 等腰三角形两底角相等3. 等腰三角形底边中线、高、角平分线合一七、作业设计三角形1：底边为6cm，两腰分别为5cm、5cm；三角形2：底边为8cm，两腰分别为7cm、7cm；三角形3：底边为10cm，两腰分别为8cm、8cm。
答案：三角形1是等腰三角形，因为两腰相等；三角形2是等腰三角形，因为两腰相等；三角形3不是等腰三角形，因为两腰不相等。
2. 题目：已知一个等腰三角形的底边长为12cm，腰长为5cm，求该等腰三角形的面积。
知识点：2.（尺规作图）已知线段 AB，以AB为边的等腰△ABC有无数个，C点的分布位置可分为三类：（1）以点A为圆心, AB长为半径的圆周上；（2）以点A为圆心, AB长为半径的圆周上；（3）线段AB的垂直平分线上。
以下简称“两弧一中垂线”。
有关直角三角形的存在性问题解题策略: 第一步分类讨论：一般按直角顶点分三类。
第二步画状态图：利用尺规作图，画一圆两垂线。
第四步列方程：过直角顶点作两坐标轴的平行线, 构造K 型相似或射影型相似。
若是等腰直角三角形, 则构造 K型全等。
有关等腰三角形的存在性问题解题策略：分类讨论：按哪两边相等分三类。
画状态图：利用尺规作图，画两弧一中垂线。
列方程：一是运用勾股定理表示两腰，利用两腰相等列出方程；二是利用等腰三角形的性质，过顶点作底边的垂线，把底边平分来列方程；三是构造相似三角形来列方程。
其实这类问题的解决关键就是:点。
一、在所求的等腰三角形中，有两个顶点的坐标是确定的（即一边长度确定），确定第三个顶点的存在。
解题策略1：已知等腰三角形一边(不妨设为AB)与其第三个点(不妨设为P )所在直线或曲线(不妨设为l)，来确定等腰三角形的第三点P的位置(即确定三角形的形状)。
而对已知一边的等腰三角形，根据等腰三角形的特殊性可分以下情况讨论：①该边(AB )是等腰三角形的底边,则第三点P一定在该边的垂直平分线上，所以一定在AB 的垂直平分线与直线或曲线l的交点处；②该边 AB是等腰三角形的腰，此时又可对该边的两个端点进行讨论：当点 A为等腰三角形顶角的顶点时，则第三个点 P 必在以A为圆心，AB为半径的圆上；当点B为等腰三角形顶角的顶点时，则第三个点 P 必在以B 为圆心，AB为半径的圆上。
进而再根据点P所在直线l的位置，可以确定点P为圆与直线或曲线l的交点。
不妨把这种尺规作图的方法称为“两圆（弧）一中垂线”法。
例1 （内蒙古巴彦淖尔市）如图，抛物线2=++与x轴交于点A(1，0)、y ax bx cB(7，0)，与y轴交于点C，且OC的长为7。
