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直线的点法式方程与一般式方程练习课(课堂PPT)

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3. 直线的一般式方程PPT完美课件

3. 直线的一般式方程PPT完美课件
A1A2+B1B2=0
3. 直线的一般式方程PPT完美课件
*
理论迁移 3. 直线的一般式方程PPT完美课件
例1 已知直线经过点A（6，-4），
斜率为 4 ，求直线的点斜式和一般式方
程.
3
例2 把直线l的一般式方程 x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的 斜率以及它在x轴与y轴上的截距， 并画出图形.
*
知识探究（二）：一般式方程的变式探究
思考1:设A，B不同时为0，那么集合
M={(x，y)| Ax+By+C=0 }的几何意义如 何？
思考2:如何由直线的一般式方程 Ax+By+C=0，求直线的斜率及在两坐 标轴上的截距？
*
3. 直线的一般式方程PPT完美课件
思考3:当A，B，C分别为何值时，直
•
8．能够由具体的阅读材料进行拓展和 迁移， 联系相 关的文 学名著 展开分 析，提 出自己 的认识 和看法 ，说出 自己阅 读文学 名著的 感受和 体验。
•
9巧妙结合故事情节，在尖锐的矛盾冲 突中， 充分深 刻显示 人物复 杂内心 世界， 突出了 对人物 性格的 刻画， 使其有 血有肉 ，栩栩 如生。
3. 直线的一般式方程PPT完美课件
3. 直线的一般式方程PPT完美课件
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3. 直线的一般式方程PPT完美课件
例3 已知直线l1：ax+(a+1)y-a=0
和l2：(a+2)x+2(a+1)y-4=0，若l1//l2，
求a的值.
例4 已知直线l1：x-ay-1=0和 l2:a2x+y+2=0，若l1⊥l2，求a的值.
3. 直线的一般式方程PPT完美课件

直线的点法向式方程和直线的一般式方程PPT教学课件

直线的点法向式方程和直线的一般式方程PPT教学课件
直线的点法向式Байду номын сангаас程 和直线的一般式方程
问题1：确定一条直线须具备哪些条件?
在几何上，要确定一条直线需要一些条件，如两个点、一个点 和一个平行方向，再如一个点和一个垂直方向。 问题 2：已知一个向量 n (a,b) ,一条直线 l 经过 Px0 , y0 点, 且l n ,
写出直线 l 的方程. 设直线l 上任意一点Q 的坐标为(x, y) ，由直线垂直于非零向量 n ，故 PQ n 。根据 PQ n 的充要条件知 PQ n 0 ，即： a(x x0 ) b( y y0 ) 0 ⑤； 反之，若 (x1, y1) 为方程⑤的任意一解，即 a(x1 x0 ) b( y1 y0 ) 0 ，记 (x1, y1) 为 坐标的点为 Q1 ，可知 PQ1 n ，即 Q1 在直线 l 上。综上，根据直线方程的 定义知，方程⑤是直线 l 的方程，直线 l 是方程⑤的直线。我们把方程 ⑤叫做直线l 的点法向式方程。
3:扩张特点：组织商业公司，以印度和北美作为 扩张重点
4:扩张简况(17世纪初开始) 印度：在西、东海岸建立殖民地 北美：沿大西洋沿岸建立殖民地
英国对印度的侵略
英法在北美殖民地
争夺殖民地的斗争
• 英荷：三次英荷战争，英国夺得新尼德 兰，荷兰丧失海上强国地位
• 英法：在欧、亚、美 争霸，通过七年 战争，英国夺得印度和北美大 片土 地
（2）求过点 B(3, 4) 且垂直于直线 l2 : 3x 7 y 6 0 的直线方程。 例 3 能否把直线方程 2x 3y 5 0化为点方向式方程？点法向式方程？若能， 它的点方向式方程和点法向式纺方程是否唯一？并观察 x、y 的系数与方向向 量和法向量有什么联系？ 变式：直线 ax by c 0 的方向向量可以表示为？

直线的两点式和一般式方程 课件-2023学年高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册

直线的两点式和一般式方程 课件-2023学年高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册

−1
−1
=
2−1 2−1
适用条件：
直线l的斜率存在，且不为0
（即直线不与坐标轴垂直）
---直线l在x轴上的截距
的一般式方程．
方法一：设P（x，y）为平面直角坐标系中任意一点，
则P在直线l上的充要条件是 AP 与 Ԧ ＝（3，－4）垂直．
又因为 AP ＝（x－3，y－2），所以3×（x－3）＋（－4）×（y－2）＝0，
整理可得一般式方程为3x－4y－1＝0．
方法二：因为 Ԧ =（3，－4）是直线的一个法向量，
5
即 ＝ − −
3
5
−1
−3−1
＝
−(−2)
3−(−2)
，因此直线l的截距为−
，
3
5
．
新知应用
例2
已知直线l在x轴，y轴上的截距分别为a，b，且ab≠0，求直线l的方程．
解答：根据已知可得直线l通过点（a，0），（0，b），而且a≠0，b≠0，
因此直线的两点式方程为


这一方程可以整理为 +
学习目标
• 1、掌握直线的两点式方程和截距式方程。
• 2、了解直线的一般式方程的形式特征，理解直线的一般式方程
与二元一次方程的关系。
• 3、能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化。
• 4、会选择适当的方程形式求直线方程。
基础自测
1.思考辨析 (正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)给定两点就可以用两点式写出直线的方程. ( × )
注意到 1 2 ＝（x2－x1，y2－y1）是直线l2的一个方向向量．
设P（x，y）为平面直角坐标系中一点，则1 ＝（x－x1，y－y1），

直线的两点式方程与一般式方程PTT课件

直线的两点式方程与一般式方程PTT课件
章节：第二章 直线与圆的方程
标题：2.2.2直线的两点式
方程
1课时
环节1：教学目标分解
教学目标
1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的
几种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式）.
2.会进行直线方程的五种形式之间的转化.
3.会根据不同的直线位置特征，求直线的方程.
素养目标
数学抽象
（1） 3x 3 y 8 3 6 0 （2） x 2 （3） 4 x y 7 0
（4） 2 x y 6 0 （5） y 2 ；
距，此时直线在轴上的截距是.

方程


+

= 1由直线在两条坐标轴上的截距与确定

我们把方程



+ = 1叫做直线的截距式方程，简称截距式.
课堂例题
例4 已知△ 的三个顶点(−5，0)，(3， − 3)，(0，2)，
求边所在直线的方程，以及这条边上的中线 所在直线的方
－＝(－)
斜截式
= +
两点式
截距式
一般式
− ��
−
=
−
−

+ =

+ + =
求直线方程时方程形式的选择技巧
(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程时，通常选用点斜式
方程．
(2)已知直线的斜率，通常选用点斜式或斜截式，再由其他条件
y 1 x 2

；
3 1 0 2
因为 A 0,5 ， B 5,0 ，
y 5 x 0

所以直线 AB 的两点式方程：

直线方程的一般式共18页PPT资料

直线方程的一般式共18页PPT资料

l (1) 在x轴上的截距为-3；
(2) l的斜率为1.
解:(1)将y=0代入原方程,得xm22m2m63
所以
2m6 3 m2 2m3
解得 m5或m3(舍去)
3
l 故当
m
5 3
时,
在x轴上的截距为-3
l (2)直线 的方程可化为 ym 2m 22 2m m 1 3x2m 2 2m m 61
所以 km 2m 2 2 2m m 1 31,解m 得 3 4或 m（ 1 舍）
3x-4y+12=0或3x+4y-12=0
思考题:
已知直线 l1 , l 2 的方程分别为: A 1xB 1yC 10
A 2xB 2yC 20
如何用系数表示两条直线的平行与垂直的位置关系?
小结：
1、直线的一般式方程Ax+By+C=0 (其中A,B不同时为零)的两方面含义: (1)平面直角坐标系中的每一条直线都是关于x,y的二元一次方程; (2)每一个关于x,y的二元一次方程都表示一条直线. 2、直线的一般式方程与其他几种方程的互化,解题时灵活加以运用.
l 故当m 4 时, 的斜率为1.
注意:解答本题时3验算是必不可少的,即Ax+By+C=0 表示直线的条件是:
A,B不同时为零
例3 已知直线 的斜率为 1 ,且和两坐标轴围成面积为3的三
ll 角形,求直线 的方程 6
课堂练习：
1.直线ax+by+c=0，当ab<0,bc<0时，此直线不通过的象限是( D)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限
D.第四象限
2.两条直线2x-y+k=0和4x-2y+1=0的位置关系是( D )

02教学课件_2.2.3 直线的一般式方程(共34张PPT)

02教学课件_2.2.3 直线的一般式方程(共34张PPT)

(2)过点(-1,3),且与l垂直.
思路分析:可先求斜率,再利用点斜式方程求解;也可利用平行、垂直直线系方
程,利用待定系数法求解.
3
解:(方法 1)由题设 l 的方程可化为 y=- x+3,
4
3
∴l 的斜率为-4.
3
(1)∵直线 l'与 l 平行,∴l'的斜率为- .
4
3
又∵直线 l'过(-1,3),由点斜式知方程为 y-3=- (x+1),即 3x+4y-9=0.
化为截距式为
2
;
.
1
解析:方程化为 3y=-2x-1,则 y=-3x-3;
x
y
-
-
方程化为 2x+3y=-1,得-2x-3y=1,即 1 + 1=1.
2
2
1
答案:y=-3x-3;
x
y
-
-
1 + 1=1
2
3
3
3.两条直线的位置关系
3.判断下列两组直线是否平行或垂直:
(1)x+2y-7=0; 2x+4y-7=0.
求实数m的值;
(2)已知直线l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0垂
直,求实数a的值.
思路分析:利用在一般式方程下,两直线平行或垂直的条件求解.
解:(1)由2×3-m(m+1)=0,得m=-3或m=2.
当m=-3时,l1:x-y+2=0,l2:3x-3y+2=0,
(1)求实数 m 的范围；
(2)若该直线的斜率 k＝1，求实数 m 的值．

2019年322、3 直线的两点式方程、直线的一般式方程(共65张PPT语文


已知直线mx＋ny＋12＝0在x轴、y轴上的截距分别是－ 3和4，则m＝________，n＝________.
[答案] 4 －3
[解析] 解法1：将方程mx＋ny＋12＝0化为截距式得 －x1m2＋－y1n2＝1，
因此有－ －mn1122＝ ＝－4 3
，解之得m＝4，n＝－3.
解法2：由截距意义知，直线经过A(－3,0)和B(0,4)两 点，
[点评] (2)中求直线方程时，可以从不同角度入手解 决．
法一：所求直线过点A(－1,2)，可设方程为y－2＝k(x ＋1)，整理为一般式用垂直条件求k.
法二：已知直线的斜率k1＝－ ，故所求直线的斜率k ＝2，直接用点斜式写出方程.
[例6] 据下列所给条件求直线方程． (1)△ABC的顶点A(－1,3)，B(2,4)，C(3，－2)，求BC 边上的中线所在直线的方程． (2)▱ABCD的顶点A(1,2)，B(2，－1)，C(3，－3)，求直 线BD的方程．
(2)解法 1：已知直线 l：3x＋4y－20＝0 的斜率 k＝－34. （Ⅰ）过 A(2,2)与 l 平行的直线方程为
y－2＝－34(x－2)．即 3x＋4y－14＝0. （Ⅱ）过 A 与 l 垂直的直线的斜率 k1＝－1k＝43
方程为 y－2＝43(x－2)． 即 4x－3y－2＝0 为所求．
直线l：2x－3y＋6＝0的斜率及在y轴上的截距分别为 ________．
[例4] 如图，某地长途汽车客运公司规定旅客可随身 携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票， 行李票费用y(元)与行李重量x(kg)的关系用直线AB的方程表 示．试求：
(1)直线AB的方程； (2)旅客最多可免费携带多少行李？
[解析] (1)B(2,4)，C(3，－2)的中点D(52，1)， ∴BC边上的中线AD所在直线斜率k＝－3－ 1－152 ＝－47，∴直线AD的方程为：y－3＝－47(x＋1)， 即4x＋7y－17＝0. (2)平行四边形ABCD两对角线AC与BD交点M为AC的 中点，∴M(2，－12)，直线BM的方程为x＝2， 即直线BD的方程为x－2＝0.

直线方程的两点式和一般式 课件

(2)直线方程任一形式都可化为一般式，而直线方程的一般式 在一定条件下才能化为点斜式、斜截式、两点式或截距式．
直线方程的应用
直线 l 的方程为(a－2)y＝(3a－1)x－1(a∈R)．
(1)求证：直线 l 必过定点；
(2)若直线 l 不过第二象限，求实数 a 的取值范围． [解] (1)证明：直线方程可变为 a(3x－y)－(x－2y＋1)＝0 的
＝－2(x－15)2＋54 150(0≤x≤90)．②9 分 3
∴当 x＝15，y＝60－2×15＝50 时， 3
Smax＝54 150 m2.11 分
因此点 P 距直线 AE 15 m，距直线 BC 50 m 时所开发的面积 最大，最大面积为 54 150 m2.③12 分 [规范与警示] (1)解答本题的 3 个关键步骤如下： 一是根据条件建立适当的坐标系是将几何问题转化成代数问 题的关键，也是失分点．
二是根据直线方程确定 x 和 y 的关系后，在②处要根据实际情 况确定出 x 的范围，否则会在后面的应用中忽略范围而出现错 误解答．
三 是在解 答的③ 处的 结论一 定不能 漏掉， 否则解 题步骤 不完 整，造成没必要的 失分． (2)解决 该类问题应注意以下两点： 一是利用坐标法解 决生活问题时，首先要建立适当的坐 标系， 再借助已知条件寻求 x 和 y 的关系．要求一定准确、恰当，否 则给后面的运算化 简带来麻烦．
(3)分类讨论思想的运用 对于特殊情况的处理，考虑问题要全面，这对于完整的解题 是必需的，如本例中的截距互为相反数这一条件的处理，就 必须分等于零和不等于零两种情况来分类讨论，使问题的解 决做到不重不漏．
已知直线 l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论 a 为何值，直线 l 恒过第一象限；

直线的方程(第2课时直线方程的两点式与一般式)课件-2024-2025学年高二上学期数学选择性必修一


5(x+1)+2(y-3)=0,即5x+2y-1=0.
答案:5x+2y-1=0
.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)直线方程的一般式可表示任意一条直线.( √ )
(2)直线方程的截距式可表示除过原点外的所有直线.( × )
(3)直线方程的两点式适用于求不过原点,且与两坐标轴不垂直的直线的方
(3)若已知直线在坐标轴上的截距是否可以确定直线方程?
提示:可以.
2.(1)直线方程的两点式:过点A(x1,y1),B(x2,y2)(其中x1≠x2,y1≠y2)的直线方程
-1
-1
的两点式为 - = - ,与 坐标轴 垂直的直线没有两点式方程.
2 1
2 1
(2)直线方程的截距式:经过两点P(a,0),Q(0,b)(其中ab≠0)的直线l方程的截

D.5

+ 3 =0
).
二、直线方程的一般式
【问题思考】
1.(1)当B≠0时,方程Ax+By+C=0表示怎样的直线?B=0(A≠0)呢?
提示:当 B≠0 时,由 Ax+By+C=0,得


y=- x- ,所以该方程表示斜率为- ,在

上截距为- 的直线;
当 B=0,A≠0 时,由 Ax+By+C=0,得
图1-1-4
(1)在上述问题中,解题关键是确定直线AB,那么直线AB的方程确定后,点
A,B能否确定?
提示:能确定.
(2)根据图1-1-4,以O为原点,OA所在直线为x轴,OB所在直线为y轴,建立平面

2018-2019学年人教B版必修二2.2.2 第二课时 直线的两点式和一般式方程课件(21张)


x y ＋ ＝1 a b
Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)
直线 l 不与坐标轴 平行或重合，且不 过原点 任何情况
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)斜率不存在的直线能用两点式方程表示 ( ×)
(2)经过任意两个不同的点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方 程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示 (3)所有直线都有一般式 (√ ) ( √ )
同理可由直线方程的两点式得直线 BC 的方程为 y－2 x－2 ＝ ，即 x＋2y－6＝0. 1－2 4－2 ∴三边 AB，AC，BC 所在的直线方程分别为 x＝2，x－y－3＝0，x＋2y－6＝0.
当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是 否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方 程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再 用点斜式写方程．
5 2 ＋ ＝1， ②可化为 ab＝± 9，解a b 无解， ab＝9， 15 5 2 a＝－ 2 ， ＋ ＝1， 解得a b 得 6 ab＝－9， b＝ 5
a＝3， 或 b＝－3.
∴l 的方程为 4x－25y＋30＝0 或 x－y－3＝0.
法二：由题意知直线的斜率一定存在． 设直线的点斜式方程为 y－2＝k(x－5)， 2 x＝0 时，y＝2－5k，y＝0 时，x＝5－ . k 根据题意得
2 2－5k＝－5－ ，解方程得 k
2 k＝ 或 1. 5
2 2 当 k＝ 时，直线方程为 y－2＝ (x－5)，即 2x－5y＝0； 5 5 当 k＝1 时，直线方程为 y－2＝1×(x－5)，即 x－y－3＝0.
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5、在同一直角坐标系中画出以下三条直线， 并观察直线间的位置关系： l1:x+2y-2=0; l2: x+2y+2=0; l3:2x-y-4=0;
.
10
A、
C A
>0，
C B
<0
B、
C A
>0，
C B
<0
C、
C A
>0，CB
>0
D、
C A
>0，
C B
>0
y l
x 0
.
5
巩固练习：
1、求过点 A (1,3)，法向量n=（3，2）的直 线方程 2、求过点 A(2,5)，方向向量v=（2，1）的 直线方程
3、求过点A(1,5)，B（-3，-2）的直线方程
分析：直线3x-2y+5=0的法向量可以直接由方程得出， n=(3,-2)，由法向量可以得出直线的方向向量，通过方 向向量可以求出斜率。（也可以把方程化为斜截式直接 找出斜率）直线3x-2y+5=0的斜率也就是直线l的斜率， 利用斜截式，带入斜率和点（1，-1），即可求方程。
.
4
例题解析：
例题3：已知直线l：Ax+By+C=0如图所示，则（ ）
直线的点法式方程 与一般式方程练习课
.
1
温故知新：
形式
条件
方程
点向式 点斜式 斜截式
过点p0(x0,y0),v=(v1,v2) v2(x-x0)-v1(y-y0)=0 过点p0(x0,y0),斜率为k y-y0= k(x-x0) 斜率为k,在y轴上的截距为b y= kx+b
点法式
过点p0(x0,y0),n=(A,B) A(x-x0)+B(y-y0)=0
一般式
所有直线
Ax+By+C=0(A,B不全为零）
.
2
例题解析：
例题1：已知点A(1,2),B(-1,3)，求线段AB的 垂直平分线的方程。
分析：线段AB的垂直平分线,经过线段AB的中点，且 与向量AB垂直，然后由点法式方程可以求得。
.
3
例题解析：
例题2：已知直线l与直线3x-2y+5=0的斜率相同， 且过点（1，-1），求直线l的方程。
2、求直线4x-y=8与坐标轴围成的三角形 的面积。
.
8
拓展提高：
3、已知三角形ABC顶点A(-3,0)，B(2,1)， C(-2,3). 求（1）BC边所在直线方程； （2） BC边上的高所在直线方程
.
9
拓展提高：
4、已知直线l与直线3x-2y+5=0的法向量相同， 且过点（-4、求过点A(-2,0)，且斜率k=2的直线方程
5、求斜率k=-2,且在y轴上的截距为-1的直 线方程
6、已知点A(3,-2),B(-3,4)，求（1）直线 AB的方程，（2）线段AB的垂直平分线的方 程。
.
7
拓展提高：
1、若三点A(2,3)，B(a,4)，C(8,a)在同一条 直线上，求a的值。