数学：3.2.3《直线的一般式方程》课件(新人教版A必修2)

a－2 ≥0， ∵a＋1 a－2≤0，
得a<－1或a＝2.
解析答
类型二
判断两条直线的位置关系
例2 判断下列直线的位置关系：
(1)l1：2x－3y＋4＝0，l2：3y－2x＋4＝0； 解 直线 l2 的方程可写为－ 2x ＋
2 ， －3 4 3y＋4＝0 由题意知 ＝ 3 ≠ 4， －2 ∴l1∥l2.
2＋B2≠0 C. A · B ≠ 0 D. A 解析 方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A、
B不能同时为0，即A2＋B2≠0.
解析答
1 2 3 4
2.已知ab<0，bc<0，则直线ax＋byC ＝c通过( A.第一、二、三象限 C.第一、三、四象限
)
B.第一、二、四象限 D.第二、三、四象限
一条直线，
∴a≠－2.
解析答
(2)直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0，
①若l在两坐标轴上的截距相等，求a； 令x＝0，则y＝a－2， a－2 令y＝0，则 x＝ ， a＋1 ∵l在两坐标轴上的截距相等， a－2 ∴a－2＝ ， a＋1 解 得a＝2或a＝0.
解析答
②若l不经过第二象限，求实数a的取值范围. a－2 解 由①知，在x轴上截距为 ， a＋1 在y轴上的截距为a－2，
(2)l1：2x－3y＋4＝0，l2：－4x＋6y－8＝0； 2 －3 4 解 由题意知 ＝ 6 ＝ ， －4 －8 ∴l1与l2重合.
解析答
(3)l1：(－a－1)x＋y＝5，l2：2x＋(2a＋2)y＋4＝0. 解 由题意知，当a＝－1时， l1：y＝5，l2：x＋2＝0， ∴l1⊥l2. 当a≠－1时， －a－1 1 2 ≠2a＋2， 故l1不平行于l2， 又(－a－1)×2＋(2a＋2)×1＝0， ∴l1⊥l2，综上l1⊥l2.

例1．若直线(2m 2 +m-3)x+(m 2 +2m)y=4m-1在x轴上 的截距为1, 求 m 的值.
例2．已知直线(3a-1)x-(a-2)y-1=0不经过 第二象限, 求 a 的取值范围.
例3.根据下列条件,求直线L的方程： (1)过点P(2,1)且与直线3x-2y-6=0平行； (2)过点P(1,-1)且与直线2x+3y+1=0垂直.
例5. ABC的一个顶点A(3, 1), B、C的平分线 分别是x=0, x y, 求直线BC的方程.
2．每个关于的x,y二元一次方程都表示一条直线吗?
3．每一条直线都可用一个关于的x,y二元一次方程表示吗?
直线方程的一般式：
Ax By C 0
探究：
(其中A,B不同时为0)
在方程Ax+By+C=0中A,B,C为何值时，方程表示的直线 (1)平行于x轴 (3)与x轴重合 (2)平行于y轴 (4)与y轴重合
直线方பைடு நூலகம்的一般式
复习：
1．点斜式：y y0 （x x0） k存在 k 2．斜截式：y=kx+b k存在 y-y1 x x1 3．两点式： k存在且k 0 y2 -y1 x2 x1 x y 4．截距式： 1 k存在且k 0且不过原点 a b
思考：
1.直线的四种方程形式有何共同点?
小结：
1．一般地, 与Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0 2．一般地, 与Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0
例4．已知定直线L:y=4x和定点P(6,4), 点Q为第一象限内的点 且在直线L上, 直线PQ交x轴正半轴于M , 求当 OMQ的面积最 小时Q点的坐标.

1．要注意方程yy2－－yy11＝xx2－－xx11和方程(y－y1)(x2－x1)＝ (x－x1)(y2－y1)形式不同，适用范围也不同．前者为分式形 式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线．后 者为整式形式方程，适用于过任何两点的直线方程．
2．直线方程的截距式为xa＋by＝1，x 项对应的分母是直 线在 x 轴上的截距，y 项对应的分母是直线在 y 轴上的截距， 中间以“＋”相连，等式的另一端是 1，由方程可以直接读 出直线在两轴上的截距，如：x3－4y＝1，x3＋4y＝－1 就不是 直线的截距式方程．
1．经过(5，－3)，(－7，－3)两点的直线的方程 是________________． 答案：y＝－3
3．已知直线与x轴、y轴分别交于A，B两点且线段 AB的中点为P(4,1)，求直线l的方程．
解：设 A 点(x,0)，B 点(0，y)，由 AB 的中点 P(4,1)，可 得 A 点(8,0)，B 点(0,2)，由直线方程的两点式可得2y－ －00＝ x0－ －88，整理可得 x＋4y－8＝0.也可利用截距式x8＋2y＝1， ∴x＋4y－8＝0.
2．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋ B2y＋C2＝0，
(1)若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或 A1C2－A2C1≠0)．
(2)若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
3．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为 Ax＋By＋m＝0，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线 方程可设为Bx－Ay＋m＝0.
4．过点A(5,2)，且在两坐标轴上的截距互为相反 数的直线l的方程为______________________．
解析：(1)当直线 l 在两坐标轴上的截距互为相反数且 不为 0 时，可设直线 l 的方程为xa＋－ya＝1，又直线 l 过点 A(5,2)，所以5a＋－2a＝1，解得 a＝3，所以直线 l 的方程为x3－3y＝1，即 x－y－3＝0；

(2)过点 A 和直线 l 垂直的直线方程．
栏
解析：解法一：(1)由题意，所求直线斜率为－34，过点 A(2,2)，
目 链 接
则所求方程为 y－2＝－43(x－2)，即 3x＋4y－14＝0.
(2)由题意，所求直线斜率为43，过点 A(2,2)，则所求直线方 程为 y－2＝43(x－2)，即 4x－3y－2＝0.
目 链
接
3．清楚直线与二元一次方程的对应关系，能由直线的一
般式转化为所需要的其他直线形式(xíngshì)．
第三页，共31页。
栏 目 链 接
第四页，共31页。
基础
梳理
(1)在平面直角坐标系中，任何一条直线
都可以用一个关于 x，y 的_二__元_一__次__方程表示．
栏 目
链
接
(2)每个关于 x，y 的二元一次方程都表示
栏
目
解析：斜截式：y＝32x＋3；
链 接
截距式：－x2＋3y＝1.
第八页，共31页。
自测 自评
1．直线x3＋4y＝1，化成一般式方程为( )
A．y＝－43x＋4
B．y＝－43(x－3)
栏
目
C．4x＋3y－12＝0 D．4x＋3y＝12
链 接
答案：C
第九页，共31页。
自测 自评
2．若方程 Ax＋By＋C＝0 表示直线，则 A，B 应
链 接
－y－1－55＝x2－－－－11.
化为一般式方程为：2x＋y－3＝0.
第十七页，共31页。
(4)由截距式方程可得，所求直线方程为－x3＋－y1＝1，
化成一般式方程为：x＋3y＋3＝0.
栏
目
链
点评：这类题目求解的关键是选准合适的方程形式， 接

答案
知识点二 直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系
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题型探究
重点难点 个个击破
类型一 直线一般式的性质
例1 设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0. (1)若直线l在x轴上的截距为－3，则m＝_－__53_____. 解析 令y＝0，
2m－6 则 x＝m2－2m－3，
场景记忆法小妙招
超级记忆法--身体法
1. 头--神经系统 2. 眼睛--循环系统 3. 鼻子--呼吸系统 4. 嘴巴--内分泌系统 5. 手--运动系统 6. 胸口--消化系统 7. 肚子--泌尿系统 8. 腿--生殖系统
超级记忆法-记忆方法
TIP1：在使用身体记忆法时，可以与前面提到过的五感法结合起来，比如产生 一些听觉、视觉、触觉、嗅觉、味觉，记忆印象会更加深刻； TIP2：采用一些怪诞夸张的方法，比如上面例子中腿上面生长出了很多植物， 正常在我们常识中不可能发生的事情，会让我们印象更深。
TIP3：另外，还有研究表明，记忆在我们的睡眠过程中也并未停止，我们的大 脑会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是 非常宝贵的，不要全部用来玩手机哦~ TIP4：早晨起床后，由于不受前摄抑制的影响，我们可以记忆一些新的内容或 者复习一下昨晚的内容，那么会让你记忆犹新。
如何利用规律实现更好记忆呢？
a－2 a＋1，
在y轴上的截距为a－2，
∵ aa－＋21≥0， a－2≤0，
得a<－1或a＝2.
解析答案
类型二 判断两条直线的位置关系
例2 判断下列直线的位置关系：
(1)l1：2x－3y＋4＝0，l2：3y－2x＋4＝0； 解 直线l2的方程可写为－2x＋3y＋4＝0， 由题意知－22＝－33≠44， ∴l1∥l2.

第十六页，共20页。
题型三 直线的一般式方程(fāngchéng)的应用
【例3】 设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R). (1)若l在两坐标轴上的截距互为相反数,求l的方程; (2)若l不经过第二(dì èr)象限,求实数a的取值范围.
第十七页，共20页。
题后反思(1()f已ǎn知直线的方程可确定其斜率、截距,从而可解决与斜率、截距有 sī) 关的问题. (2)已知直线的大致位置,可确定斜率、截距的范围(或符号),从而可建立不等 式求解(qiú jiě)参数的范围,反之若已知斜率、截距的范围(或符号)也可确定 直线的大致位置.
3.2.3 直线(zhíxiàn)的一般式方程
第一页，共20页。
自主(zìzhǔ)预习
课堂(kètáng)探究
第二页，共20页。
课标要求 (yāoqiú)
自主(zìzhǔ) 预习
1.了解二元一次方程与直线的对应关系(guān xì). 2.掌握直线方程的一般式. 3.能根据所给条件求直线方程,并能在几种形式间相互转化.
第十一页，共20页。
第十二页，共20页。
第十三页，共20页。
题后反思 所给直线方程是一般式,且直线斜率可能不存在(cúnzài)时,利用 l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0和l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0(或B1C2-B2C1≠0) 来判定两条直线是否垂直或平行,避免了讨论斜率是否存在(cúnzài)的情况,比用 斜率来判定更简便.
第三页，共20页。
知识(zhī shi)梳 理直线的一般式方程
(1)定义:关于x,y的二元一次方程 Ax+By+C=0 (其中A,B不同时为0)叫做直线的 一般式方程,简称一般式. (2)适用范围:平面(píngmiàn)直角坐标系中,任何一条直线都可用一般式表示.

不垂直于x、 y轴的直线
截距式 在x轴上的截距a, 在y轴上的截距b
x y 1
不垂直于x、y 轴的直线，不
ab
过原点的直线
（二）填空 1．过点(2,1)，斜率为2的直线的方程是__y-1_=2(_x-2)________
23． ．过过点点((22,,11))，，斜斜率率为不存0的在直的线直方线程的是方__程y=1__是_____x=__2 _________
0
(x6)A≠0，B≠0;
例题分析
例1、已知直线经过点A（6，- 4），斜率为 求直线的点斜式和一般式方程.
，
4 3
注意 对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x的系数
为正，x,y的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x项，
含y项、常数项顺序排列.
例2、把直线l 的方程x –2y+6= 0化成斜截式，求出直
y
(1) A=0 , B≠0 ,C≠0;
0
x
2.二元一次方程的系数和常数项对 直线的位置的影响
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表 示的直线：
（1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）与x轴重合;
（4）与y轴重合; （5）过原点;（6）与x轴和y轴相交;
y
(1) A=0 , B≠0 ,C≠0;
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表 示的直线：
（1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）与x轴重合;
（4）与y轴重合; （5）过原点;（6）与x轴和y轴相交;
y
(1) A=0 , B≠0 ,C≠0;
(2) B=0 , A≠0 , C≠0;
(3) A=0 , B≠0 ,C=0;

3.2.3 直线的一般式方程
目标导航 课标要求 素养达成
1.了解二元一次方程与直线的对应关系. 2.掌握直线方程的一般式. 3.能根据所给条件求直线方程,并能在几种形式间相 互转化.
通过直线方程的一般式的学习,锻炼了学生的数形结 合思想的养成,促进数学抽象、数学运算等核心素养 的达成.
新知探求 课堂探究
解得 m=3 或 m=- 5 . 3
所以综合得 m=- 5 . 3
(2)斜率为1.
解:(2)由题意得 2m2 m 1 0，③ (m2 2m 3) 2m2 m 1.④ 由③得 m≠-1 且 m≠ 1 .
2 由④得 m=-1 或 4 .
3 所以 m= 4 .
3
题型二 利用直线一般式方程解决平行、垂直问题
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
0, 0,
所以
a≤-1.
方法技巧
(1)已知直线的方程可确定其斜率、截距,从而可解决与斜
率、截距有关的问题.
(2)已知直线的大致位置,可确定斜率、截距的范围(或符号),从而可建立
不等式求解参数的范围,反之若已知斜率、截距的范围(或符号)也可确定
直线的大致位置.
即时训练3-1:直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3,分别求满足下列条 件的直线l的方程. (1)过定点A(-3,4);

-8-
3.2.3
1 2
直线的一般式方程
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
2.直线方程的五种形式及比较 剖析:如下表所示.
名称 方程 一般 y-y0=k(x-x0) 点 情况 斜 斜截 式 y=kx+b 式 y-y1 一般 y2 -y1 x-x1 两 情况 = x2 -x1 点 式 截距 x y + =1 式 a b 常数的几何意义 适用条件 (x0,y0)是直线上的 直线不垂直 一个定点,k 是斜率 于 x 轴 k 是斜率,b 是直线 直线不垂直 在 y 轴上的截距 于x轴 (x1,y1),(x2,y2)是直线 直线不垂直 上的两个定点 于 x 轴和 y 轴 a,b 分别是直线在 x 直线不垂直 轴、y 轴上的两个非 于 x 轴和 y 轴, 零截距 且不过原点
-10-
3.2.3
题型一
直线的一般式方程
题型二 题型三 题型四
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
题型一 选择适当的形式写出直线的方程
【例1】 根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程: (1)斜率是 3, 且经过点������(5,3); (2)斜率为4,在y轴上的截距为-2; (3)经过A(-1,5),B(2,-1)两点; (4)在x轴、y轴上的截距分别是-3,-1.
知识梳理
重难聚焦
典例透析
【做一做2】 直线2x+y+4=0的斜率k= 答案:-2
.
-6-
3.2.3
1 2
直线的一般式方程
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
1.直线方程的一般式与其他形式的互化 剖析:一般式化斜截式的步骤: (1)移项,By=-Ax-C;

④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
答案
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题型探究
重点突破
题型一 直线的一般形式与其他形式的转化 例1 (1)下列直线中，斜率为－43，且不经过第一象限的是( B ) A.3x＋4y＋7＝0 B.4x＋3y＋7＝0 C.4x＋3y－42＝0 D.3x＋4y－42＝0 解析 将一般式化为斜截式，斜率为－43的有：B、C 两项. 又 y＝－43x＋14 过点(0，14)即直线过第一象限， 所以只有B项正确.
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/7/12
最新中小学教学课件
35
谢谢欣赏！
2019/7/12
最新中小学教学课件
36
C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限 解析 由 ax＋by＝c，得 y＝－abx＋bc， ∵ab<0，∴直线的斜率 k＝－ab>0， 直线在 y 轴上的截距cb<0. 由此可知直线通过第一、三、四象限.
12345
解析答案
12345
3.过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( A ) A.x－2y－1＝0 B.x－2y＋1＝0 C.2x＋y－2＝0 D.x＋2y－1＝0 解析 由题意，得所求直线斜率为12，且过点(1，0). 故所求直线方程为 y＝12(x－1)，即 x－2y－1＝0.