直线方程的一般式

④经过两点P1（3，-2），P2（5，-4）；
x+y-1=0，
⒊求下列直线的斜率和在Y轴上的截距，并 画出图形： ① k= - 3，B=5； ① 3x+y-5=0 ② x/4 －y/5 =1 ③ x+2y=0
② k=5/4，b= -5 ； ③ k= -1/2，b=0； ④ k=7/6，b=2/3 ⑤ k=0，b=7/2。
㈠复习提问：
点斜式：已知直线上一点P1（x1，y1）的坐标， 和直线的斜率k，则直线的方程是
y y1 k ( x x1 )
有斜率的直线
斜截式：已知直线的斜率k，和直线在y轴上的 截距b则直线方程是
y kx b
有斜率的直线
x x 0 过点 与 x 轴垂直的直线可表示成 ， （x0 , y0） 过点（x0 , y0） 与y轴垂直的直线可表示成 y y0。
④ 7x－6y+4=0
⑤ 2y－7=0
1、直线方程的一般式Ax+By+C=0（A，B不同时为零）
A k 斜率为： B
纵截距为：
C B
2、掌握直线方程的一般式与特殊式的互化。
布置作业：课本P54-1、2；课本P55第六题
4 y 4 x 6 3
4x+3y – 12=0
巩固训练（一）
若直线l在x轴上的截距-4时，倾斜角的余弦值 是-3/5， 则直线l的点斜式方程是
直线l的斜截式方程是___________ 4x+3y+16=0 直线l的一般式方程是___________
例2：把直线L的方程x –2y+6= 0化成斜截式， 求出直线L的斜率和它在x轴与y轴上的截距， 并画图。 y

直线方程 Ax +By + C = 0 的系数A、B、 C 满足什么关系时,这条直线有以下性质：
A≠0 ，B =0 ；
B≠0 ，A = 0 ； B≠0 ，A = C= 0 ； A≠0 ，B = C = 0 .
4. 是x 轴所在直线；
5. 是y 轴所在直线.
小结:
知道直线方程的一般式及由一般式化其它形式， 及求斜率，截距等
2、直线与二元一次方程的关系
探究1:方程Ax+By+C=0总可以表示直线吗? 根据斜率存在,不存在即B为0,或不为0进行分类
对于方程Ax+By+C=0
A C 当B 0时, 方程可以化为y - x - , B B 这是直线方程的斜截式,
A C 表示斜率为 - , 截距是 - 的直线, B B 当B 0时, 方程Ax By C 0化为Ax C 0,
例2、把直线l的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l 的斜率及它在x轴与y轴上的截距
y
解： 由 x 2 y 6 0 1 y x3 有 2 1 故 l 的斜率 k
2
B(0,3)
A(6,0)
纵截距为3 令y 0则
0
x
x 6
即横截距为－6
所以………
思考
1. 与两条坐标轴都相交； AB≠0 2. 只与x 轴相交； 3. 只与 y 轴相交；
C 因为A.B不全为0, 所以A 0方程化为x - , A 表示垂直于x轴的直线, 即斜率不存在的直线
结论:当A.B不全为0的时候,方程Ax+By+C=0表示直线, 可以表示平面内的任何一条直线
探究2
在平面直角坐标系中，对于任意一条直线都可以

y
解： 由 x 2 y 6 0 1 y x3 有 2 1 故 l 的斜率 k 2 纵截距为3 令y 0 则
B(0,3)
A(6,0)
0
x
x 6
即横截距为－6
针对性练习：课本P99 练习1、2、3
课堂小结：
斜率和一点坐标 斜率k和截距b 点斜式 斜截式
y y0 k ( x x0 )
轴
平行
；
时，方
2.当 A 0，B 0，C为任意实数 程表示的直线与x轴垂直；
3.当 A 0，B 0，C 0 时，方程表示的直 重合 线与x轴———————— ；
4.当A 0，B 0，C 0 时，方程 表示的直线与y轴重合 ；
5.当 C 0, A, B不同时为0 时，方程
例2、三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)， 求①BC边所在直线的方程 ②AC边所在直线的方程
y C .
. A
O
x
. B
例2、三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)， 求③BC边上中线所在直线的方程
y C .
. A
O
.M
. B
x
中点坐标公式
y
A(x1，y1)
.
C
. A
O
.
M
x
.
B
例2、三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)，
求①BC边所在直线的方程
②AC边所在直线的方程
两点式 截距式
③BC边上中线所在直线的方程 两点式
④BC边上垂直平分线所在直线的方程? 点斜式
⑤BC边上高所在直线的方程?
点斜式

(A) A·B>0,A·C>0
(B) A·B>0,A·C<0
(C) A·B<0,A·C>0
(D) A·B<0,A·C<0
2、设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且 │PA│=│PB│，若直线PA的方程为x-y+1=0，则 直线PB的方程是( )
A.2y-x-4=0 B.2x-y-1=0
C.x+y-5=0 D.2x+y-7=0
例题分析
例2、把直线l 的方程x –2y+6= 0化成斜截式，求出
直线l 的斜率和它在x轴与y轴上的截距，并画图.
y
. B
.
A
O
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
；舟山出海捕鱼 舟山出海捕鱼
；
、相互照见即简易得多、笔直得多。哪像今人这般诡秘周折？ 什么叫“天地作合”？ ? 《诗经》里慢慢找。懂得天地，方懂男女。 最后，我想对孩子说一句：多闻草木少识人。 ? 这年头，名人的繁殖速度比细菌还快，都急疯了。 ? 草木润性，尘沸乱心。这个信息爆炸和绿色稀疏 的年代，即便“少识”，业已识多；即便“多闻”，亦然寡闻。 生命的舞鞋 偶尔，在路边的鞋店里，你会遇见一些特殊的顾客，他（她）是一位拄着双拐或摇着轮椅的不幸的人，空荡荡的裤管暗示他们已经失去了一条左腿或一条右腿……或许，一开始你并未多虑什么，只是用同情和尊 敬的目光轻轻地掠过那些受伤的躯体。可冷不丁，一个清冷的念头升了起来：在其一生中，会有多少永不曾穿用过的鞋子啊！而那只永远多余的鞋子又将在他们敏感脆弱的心灵中占据什么样的位置？ 这个念头久久折磨并感动着你。虽思忖不出更多的理性的意义，但觉得有一种清洌的生 命之美隐含在其中。 我曾亲眼目睹一位豆蔻少女，由双亲陪着将一辆轮椅摇进了鞋店。全家人兴致勃勃地围着柜台指点个不停，请老板把一只只精美的盒子打开、浏览，再换一只，打开……约半小时光景，他们在这不足十二平米的店铺里已研究了不下十双鞋子。奇怪的是，那少女总嫌 左鞋的质地不够完美而遗憾的摇头，在常人看来，这不免显得赘余，因为这命运已经注定她永无可能将这只实际的鞋子穿在脚上……但她和家人却挑剔得如此仔细、专注，笃诚的神情让人联想到收藏家。 一团美丽的小小的谜，像睫毛上的雾，不是么？直到后来—— 那天，我应邀到一位 朋友的朋友家参加一个晚会。到了才发现，晚会的女主人——那位弹奏出美妙琴声的典雅女子竟是位残疾人。她就那样怡静地坐在琴台后，披一袭水样的黑裙，不时回眸冲客人微笑着致意…… 那是一支名叫《在水一方》的曲子，我躲在最远的一处沙发上用心听着，惟觉得她身上有一股 月光般的清洁和摄人魂魄的力量……朋友告诉我，她曾是位小有名气的舞蹈演员，跳芭蕾舞的，在国内比赛中获过奖，四年前，她在旅游登山时遇上了滚石，失去了一条左腿。我愣住了，这灾难对一个靠足尖支撑生命的艺术女子而言，难道不比死亡更残酷吗？是的，朋友感触地说，她绝 望过、痛不欲生过、也曾偷偷服下过安眠药……可她毕竟挺过来了，现在她活得很出色，除了每天教学生练琴，还坚持写作，刚出了本散文集，很值得一读。 怀着好奇和钦佩的心情，我提出参观一下主人的书房。迎面墙上有一幅放大的黑白剧照，那是她在全国比赛中演出《天鹅湖》的 情景……最后，我驻足在一排栗色的工艺橱前，透过浅蓝的挡板玻璃，我看到十几双洁白纤巧的专用舞鞋，灵秀极了，被主人拼列成几组优美的几何图，翩然欲飞的神态……旁边还附有“年、月”等字样的纸卡，显然这都是她当初训练或比赛用过的。令人惊奇的是，在下方橱格里，还躺 着些极普通的鞋子，和常人用的并无二致，可它们仅有单只，准确地说，是左鞋，全是新的，是一只只从未穿过的左鞋…… 见我隐隐发怔的样子，女主人微笑着解释道：“我用不着，就留下了，算个纪念吧。” 眼前霍然一亮，我兴奋得有些颤抖，啊，找到啦！我终于找到它们啦！这些 神秘的永不曾穿用的鞋子，它们并没有像所担心的那样莫名其妙地失踪或遭遗弃，而是一直被很好地珍藏着，像其主人那样真实有力地生活在这个世界上。千真万确，它们即在眼前啊！ 猛想起日前遇见的残疾少女和她的家人，那萦绕于怀的疑窦倏然澄明了：那些鞋子的真正价值并非形 式上的实用，而是出于精神的完整和对美之对称的需要，对一个有追求有尊严的生命来说，它们是永不可或缺和漠视的啊！正像这位可敬的女演员，虽然失去了一条极有价值的腿，但却赋予了人生更丰厚的美和价值，她的生命并没有掉队…… 临别时，女主人送了我一本她自己的书。书 的封面正好是那幅感人的《天鹅湖》，空白处有一段醒目的作者手记—— “人生真正的道路是一条简陋的绳索。倘若你能优雅地走在上面，你要微笑，你要感激生命给予你这么多……而一旦你不幸被它绊倒，跌出了眼泪，当你爬起来重新上路时，你仍要始终不渝地微笑，你仍要感激生 命给了你这么多……” 消逝的“放学路上” ? 1 “小呀么小儿郎，背着那书包上学堂。不怕太阳晒，也不怕那风雨狂；只怕先生骂我懒呀，没有学问呀无脸见爹娘。” 30年前的儿歌倏然苏醒，当我经过一所小学的时候。 下午四点半，方才还空荡荡的小街，像迅速充胀的救生圈，被各 式私车和眼巴巴的家长塞满了。 开闸了，小人儿鱼贯而出，大人们蜂拥而上。一瞬间，无数的昵称像蝉鸣般绽放，在空中结成一团热云。这个激动人心的场面，只能用“失物招领”来形容。 就在这时，那首歌突然跃出了记忆，一字不差。 我觉得像被什么拍了下肩，它就在耳畔奏响了。 这支叫《读书郎》的儿歌，陪伴了我整个童年和红领巾季节。那会儿，它几乎是我每天上学路上的喉咙伴奏，或叫脑海音乐罢。偏爱有个理由：它不像其他歌那么“正”，念书不是为“四个现代化”或“革命接班人”，而是“先生”和“爹娘” 我觉得新鲜，莫名的亲切。哼唱时，我觉 得自己就是歌里的小儿郎。甚至想，要是老师变成“先生”该多好啊。好在哪，不知道。 那个黄昏，当它突然奏响时，我感觉后背爬上了一只书包，情不自禁，竟有股蹦蹦跳跳的念头 从前，上学或放学路上的孩子，就是一群没纪律的麻雀。 无人护驾，无人押送，叽叽喳喳，兴高采烈， 玩透了、玩饿了再回家。 回头想，童年最大的快乐就是在路上，尤其放学路上。 那是三教九流、七行八作、形形色色、千奇百怪的大戏台，那是面孔、语言、腔调、扮相、故事的孵化器，那是一个孩子独闯世界的第一步，乃其精神发育的露天课堂、人生历练的风雨操场我孩提时代几乎 所有的趣人趣事趣闻，都是放学路上邂逅的。那是个最值得想象和期待的空间，每天充满新奇与陌生，充满未知的可能性，我作文里那些真实或瞎编的“一件有意义的事”，皆上演在其中。它的每一条巷子和拐角，每一只流浪狗和墙头猫，那烧饼铺、裁缝店、竹器行、小磨坊，那打锡壶 的小炉灶、卖冰糖葫芦的吆喝、爆米花的香味、弹棉弓的铮铮响，还有谁家出墙的杏子最甜、谁家树上新筑了鸟窝都会在某一时分与我发生联系。 对成长来说，这是最肥沃的土壤。 很难想象，若抽掉“放学路上”这个页码，童年还剩下什么呢？ 于我而言，啥都没了，连日记都不会写。 那个黄昏，我突然替眼前的孩子惋惜 他们不会再有“放学路上”了。 他们被装进一只只豪华笼子，直接运回了家，像贵重行李。 2 为何会丢失“放学路上”呢？ 我以为，除城市膨胀让路程变遥远、为脚力所不及外，更重要的是“路途”变了，此路已非彼路。具体说，即“传统街区” 的消逝那温暖而有趣的沿途，那细节充沛、滋养脚步的空间，消逝了。 何谓传统街区？它是怎样的情形呢？ “城市应是孩子嬉戏玩耍的小街，是拐角处开到半夜的点心店，是列成一排的锁匠鞋匠，是二楼窗口探出头凝视远方的白发老奶奶街道要短，要很容易出现拐角。”这是简·雅各 布斯在《美国大城市的死与生》中的话，我以为是对传统街区最传神的描述。 这样的街区生趣盎然、信息肥沃、故事量大，能为童年生长提供最充分的乐趣、最周到的服务和养分，而且它是安全的，家长和教育者放心。为何现在保险箱里的儿童，其事故风险却高于自由放养的年代？雅 各布斯在这部伟大的书里，回忆了多年前的一个下午 “从二楼的窗户望去，街上正发生的一幕引起她的注意：一个男人试图让一个八九岁的小女孩跟自己走，他一边极力哄劝，一边装出凶恶的样子；小女孩靠在墙上，很固执，就像孩子抵抗时的那种模样我心里正盘算着如何干预，但很 快发现没必要。从肉店里出来一位妇女，站在离男人不远的地方，叉着胳膊，脸上露出坚定的神色。同时，旁边店里的科尔纳基亚和女婿也走了出来，稳稳站在另一边 锁匠、水果店主、洗衣店老板都 出来了，楼上很多窗户也打开了。男人并未留意到这些，但他已被包围了，没人会让他 把小女孩弄走结果，大家感到很抱歉，小女孩是那个男人的女儿。” 这就是老街的能量和涵义，这就是它的神奇和美感。 在表面的松散与杂乱之下，它有一种无形的篦梳秩序和维护系统，凭借它，生活是温情、安定和慈祥的。它并不过多搜索别人的隐私，但当疑点和危机出现时，所有 眼睛都倏然睁开，所有脚步都会及时赶到。 其实，这很像中国人的一个词，一个生态关键词：“街坊”。 这样的背景下，一个孩子独自上学或放学，需要被忧虑吗？ 自由，源于安全与信赖。若整个社区都给人以“家”的亲切和熟悉，那一个孩子，无论怎样穿梭和游走，结果都是快乐 地、收获颇丰地回到家里。而路上所有的插曲，包括挨骂的那些顽皮、冒险和出格，都是世界给他的礼物，都是对成长的奖励和爱抚。 在雅各布斯看来，城市人彼此之间最深刻的关系，“莫过于共享一个地理位置”。她反对仅把公共设施和住房作为衡量生活的指标，认为一个理想社区 应丰富人与人间的交流，促进公共关系的繁育，而非把生活一块块切开，以“独立”和“私人”的名义封闭化、决裂化。 这个视角，对人类有着重大的精神意义。顺着她的思路往下走，你很快即发现：我们通常讲的“家园”“故乡” 这些饱含体温与感情的地点词汇，其全部基础皆在于 某种良好的人际关系、熟悉的街区内容、有安全感的共同生活所谓“家园”，并非一个单纯的物理空间，而是一个和地点联手的精神概念，代表一群人对生活属地的集体认同和相互依赖。 单纯的个体是没有“故乡”的，单纯的门户是无“家”可言的。 就像水，孤独的一滴构不成“水” 之涵义，它只能叫“液体”。 3 我越来越觉得如今孩子尤其大城市孩子，正面临一个危险：失去“家”“故乡”这些精神地点。 有位朋友，儿子6岁时搬了次家，10岁时又搬了次家，原因很简单，又购置了更大的房子。我问，儿子还记不记得从前的家？带之回去过吗？他主动要求过吗？

直线方程的一般式教学目标：1、知识目标：⑴掌握直线方程的一般式Ax+By+C=0的特征（A、B不同时为0）⑵理解直线方程五种形式之间的内在联系，掌握直线方程几种形式的互化，从整体上把握直线方程；2、能力目标：⑴通过直线方程一般式的教学培养学生全面、系统、周密地分析问题、讨论问题的能力。

⑵学会分类讨论思想解决数学问题。

3、情感目标：(1) 通过直线方程几种形式互化的教学，培养学生灵活的思维品质和辩证唯物主义观点(2)体验数学发现和探索的历程，培养创新意识教学重点、难点：1、重点：(1)掌握直线方程的一般形式，以及点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式的联系与转化;(2)让学生明白直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式表示直线有一定的局限性，只有直线的一般式能表示所有的直线;2、难点：(1)对直线方程一般式的理解与应用,进一步体会解析几何学科的特点。

(2)理解直线方程几种形式之间的内在联系，能从整体上把握直线的方程．教学方法引导探究法、讨论法教学用具实物投影仪，多媒体软件，电脑。

教学过程一、创设情境，引入新课练习：由下列条件，写出直线的方程：（1）经过点A （8,2），斜率是-2 Y-2=-2(x-8) ⇒ 2x+y-18=0 （2）经过点B （0,-2），倾角为4π； y=x-2 ⇒x-y-2=0 （3）经过点P 1（3,2），P 2（5,4） 242353--=--y x ⇒x-y-1=0 （4）在x 轴，y 轴上的截距分别为 2， 3.132=+yx ⇒2x+3y-6=0 师生活动：通过解题和讨论，总结前面学过的直线方程的几种特殊形式的条件、方程和使用范围如下：[设计意图]：由实例得出：直线方程的这几种特殊形式都具有局限性，我们需要找到一种形式的直线方程，能够表示坐标平面内的所有直线。

复习旧知识，为新知识的引入做好铺垫。

问题：上述四种直线方程的表示形式都有其局限性，是否存在一种更为完美的代数形式可以表示平面中的所有直线？提示：上述四种形式的直线方程有何共同特征？能否整理成统一形式？ （这些方程都是关于x 、y 的二元一次方程） 猜测：直线和二元一次方程有着一定的关系。

(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的 还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转
化为一般式．
无特别说明时，最好将所求直线方程的结果写成一 般式。
2．直线方程的一般式转化为其他形式的步骤： 一般式化斜截式的步骤：
①移项：By＝－Ax－C； A C ②当 B≠0 时，得斜截式：y＝－Bx－B.
结论：1．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0， 直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0
(1)若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0 (或A1C2－A2C1≠0)． A1 B1 C1
C2 A1 A2 (2)若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. ( )( ) 1 B1 B2
？
能否统一写成:
x ？
y
？
0
直线的一般式方程 (1)定义：关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
(2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都 可用一般式表示．
说明：直线与二元一次方程的关系 (1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关 于x，y的二元一次方程表示． (2)每个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．
第三章
§3.2.3 直线方程的一般式
●课标展示 1．掌握直线方程的一般式，明确各系数的意义． 2．掌握一般式与其它形式的互化． 3．了解二元一方程的四种特殊形式
形式
已知条件
点P(x0，y0)和斜 点斜式 率k 斜截式 斜率k和在y轴上 的截距b
适用范围 与x轴不垂 y－y0＝k(x－x0) 直的直线
变式 2．直线 3x－2y－4＝0 的截距式方程为( D ) 4x y A． － ＝1 3 2 3x y C． － ＝1 4 －2 x y B． － ＝1 1 1 3 2 D． y ＋ ＝1 －2

4 ＋4y－9＝0.
(2)由l′与l垂直，∴l′的斜率为43， 又过(－1,3)，由点斜式可得方程为y－3＝43(x＋1)， 即4x－3y＋13＝0.
方法二 (1)由 l′与 l 平行，可设 l′方程为 3x＋4y＋m＝0. 将点(－1,3)代入上式得 m＝－9. ∴所求直线方程为 3x＋4y－9＝0. (2)由 l′与 l 垂直，可设其方程为 4x－3y＋n＝0. 将(－1,3)代入上式得 n＝13. ∴所求直线方程为 4x－3y＋13＝0.
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y
的二元一次方程来表示．( √ )
(2)任意一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．( √ )
(3)直线l：Ax＋By＋C＝0的斜率为－AB.( × ) (4)当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0表示过原点的直线．(
(1) 若 l1∥l2 ⇔ A1B2 － A2B1 ＝ 0 且 B1C2 － B2C1≠0( 或 A1C2 － A2C1≠0)．
(2)若 l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 2．与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法 (1)与直线 Ax＋By＋C＝0 平行的直线方程可设为 Ax＋By＋m＝ 0，(m≠C)． (2)与直线 Ax＋By＋C＝0 垂直的直线方程可设为 Bx－Ay＋m＝ 0.
上的截距)； 当 B＝0，A≠0 时，则－C＝a(x 轴上的截距)，此时不存在斜率． A
[方法技巧] 解读直线方程的一般式： ①方程是关于 x，y 的二元一次方程． ②方程中等号的左侧自左向右一般按 x，y，常数的先后顺序排 列． ③x 的系数一般不为分数和负数． ④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件 即可求得直线的方程．

(2)要学会借助图形的直观，寻找量的关系．
思考题 3 (1)直线 Ax＋By＋C＝0，当 A>0，B<0，C>0
时，直线必经过的象限是( )
A．一、二、三
B．一、二、四
C．二、三、四
D．一、三、四
(2)直线 y＝ax＋b(a＋b＝0)的图像是( )
(3)若方程 Ax＋By＋C＝0 表示与两条坐标轴都相交的直线，
【解析】 设 l 与 l1，l2 的交点为(x1，y1)，(x2，y2)， ∵(x1，y1)，(x2，y2)关于原点对称，∴xy22＝＝－－xy11.， 又∵43x（1＋－yx11＋）6－＝50（，－y1）－6＝0，∴x1＝－3263，y1＝263. 由两点式得方程2y63＝－x3263，即 x＋6y＝0.
若 AC<0，BC<0，知 A、C 异号，B、C 异号． ∴A、B 同号，即 AB>0. ∴此时直线经过第一、二、四象限，故排除 B. 故 A、B、C 同号． 【答案】 A
探究 3 (1)该题主要考查二元一次方程与直线的位置关系， 充分体现了数形结合思想的重要性．方法一是常用方法，其通过 分析斜率与截距的符号，来刻画直线的特征；方法二是解决选择 题的常用方法，即排除法，分析过程中要注意特殊值的巧妙应用．
探究 5 方法一用的是代入法，代入法是求曲线方程、函数 解析式经常采用的方法，代入法往往跟对称联系在一起．
思考题 5 (1)求直线 2x＋3y－6＝0 关于点 A(1，－1)对称 的直线方程．
【思路分析】 利用所求直线上任意一点 P 关于点 A 的对称点 P′在已知直线上的关系求解．
【解析】 设 P(x，y)为所求直线上任一点，则 P 关于 A(1， －1)的对称点 P′(x0，y0)在已知直线 2x＋3y－6＝0 上．

直线的一般式方程例题及答案直线的一般式方程是一种描述直线位置关系的方程形式。

对于给定直线，一般式方程可以唯一地确定它的位置和方向。

在这篇文章中，我们将会讲解一些常见的直线方程例题以及它们的答案，希望能对大家理解直线的一般式方程有所帮助。

例题1：给出点P(-3, 4)和直线L: 3x + 4y + 5 = 0，求P到L的距离。

解法：我们需要用到一个公式，即点到直线的距离公式。

该公式为：d = |Ax0 + By0 + C| / √(A^2 + B^2)其中，(x0, y0)为点P的坐标，Ax + By + C = 0为直线L的一般式方程。

将点P和直线L的值代入公式中，可得：d = |3(-3) + 4(4) + 5| / √(3^2 + 4^2) = 25 / 5 = 5因此，点P到直线L的距离为5。

例题2：求过点A(1, 2)且与直线L1: 2x - 3y + 1 = 0垂直的直线L2的一般式方程。

解法：由于直线L2与直线L1垂直，所以它们的斜率乘积为-1。

因此，我们需要先求出直线L1的斜率，然后求出直线L2的斜率。

将L1的一般式方程转化为斜截式方程，可得：y = (2/3)x + 1/3因此，L1的斜率为2/3。

由于L2与L1垂直，所以L2的斜率为-3/2。

因此，直线L2的一般式方程为：3x + 2y + c = 0需要求出常数c。

将点A的坐标代入该方程中，可得：3(1) + 2(2) + c = 0解出c，可得c = -9。

因此，直线L2的一般式方程为：3x + 2y - 9 = 0例题3：求直线L1: 2x - y + 3 = 0和直线L2: 3x + ky - 1 = 0的交点坐标。

解法：我们可以将L1的一般式方程转化为y = 2x + 3的斜截式方程。

然后将该方程代入L2中，得到一个只含有x的方程。

解出x之后，再代入y = 2x + 3，即可求出交点坐标。

将L1的一般式方程转化为斜截式方程，可得：y = 2x + 3将该方程代入L2中，可得：3x + k(2x + 3) - 1 = 0化简得到：(3 + 2k)x + 3k - 1 = 0因为L1和L2有交点，所以该方程有解。

法二：令 2×3＝m(m＋1)， 解得 m＝－3 或 m＝2. 当 m＝－3 时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0， 显然 l1 与 l2 不重合，∴l1∥l2. 同理当 m＝2 时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0， 显然 l1 与 l2 不重合，∴l1∥l2. ∴m 的值为 2 或－3.
即 x＋y－1＝0.
[规律方法] 求直线的一般式方程的策略
1当
A≠0
时，方程可化为
x＋
B A
y＋
C A
＝0，只需求
B A
，
C A
的值；
若 B≠0，则方程化为
A B
x＋y＋
C B
＝0，只需确定
A B
，
C B
的值.因此，只要
给出两个条件，就可以求出直线方程.
2在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定
直线的一般式方程
直线的一般式方程 (1)．在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直 线的关于 x二，元y 一的次__方__程_________；任何关于 x，y 的二元一次一方条程直都线表示 _____A_x_＋_ ．By方＋程C＝__0_(_其__中__A_、__B__不__同__时__为___0_) ______________ 叫做直线方程的 一般式．
(3)在 x 轴和 y 轴上的截距分别是3，－3； 2
(4)经过两点 P1(3，－2)，P2(5，－4)．
[解] (1)由点斜式得 y－(－2)＝－12(x－8)， 即 x＋2y－4＝0. (2)由斜截式得 y＝2，即 y－2＝0.
(3)由截距式得3x＋－y3＝1， 2
即 2x－y－3＝0. (4)由两点式得－y－4－－－22＝5x－－33，

方程名称 已知条件
斜率k
直线
方程
应用
范围
点斜式 点P（x1 ,y1） y y1 k ( x x1 )
直线存在斜率k 直线存在斜率k 不包括垂直于坐标 轴的直线 不包括垂直于坐标轴 和过原点的直线
斜截式
两点式
截距b
斜率k
P(x 1 1 ,y1 ),P 2 ( x2 , y2 ) ( x1 x2 , y1 y2 )
2、直线与二元一次方程的关系
探究1:方程Ax+By+C=0总可以表示直线吗? 根据斜率存在,不存在即B为0,或不为0进行分类
对于方程Ax+By+C=0
A C 当B 0时, 方程可以化为y - x - , B B 这是直线方程的斜截式,
A C 表示斜率为 - , 截距是 - 的直线, B B 当B 0时, 方程Ax By C 0化为Ax C 0,
C 因为A.B不全为0, 所以A 0方程化为x - , A 表示垂直于x轴的直线, 即斜率不存在的直线
结论:当A.B不全为0的时候,方程Ax+By+C=0表示直线, 可以表示平面内的任何一条直线
探究2
在平面直角坐标系中，对于任意一条直线都可以
表示成Ax+By+C=0(A.B不全为0)的形式吗?
y kx b
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
横截距a(a 0) 纵截距b(b 0)
x y 1 a b
直线方程的四种形式： y y1 k ( x x1 ) 第一种：点斜式 第二种：斜截式 y kx b
第三种：两点式
第四种：截距式
因为在直角坐标系中,每一条直线都有倾斜角 当 90 可以写成：y 当 90 可以写成：

直线方程的五种形式是什么包括哪五种
直线方程主要包括一般式、点斜式、斜截式、两点式、截距式五种，详细形式如下，一起来看吧！
直线方程的五种形式
1：点斜式：已知直线过点(x0，y0)，斜率为k，则直线方程为y －y0＝k(x－x0)。

2：斜截式：已知直线在y轴上的截距为b，斜率为k，则直线方程为y＝kx＋b
3：两点式：已知一条直线经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，则直线方程为x-x1/x2-x1＝y-y1/y2-y1，但不包括垂直于坐标轴的直线。

4：截距式：已知直线在x轴和y轴上的截距为a，b，则直线方程为x/a＋y/b＝1
5：一般式：任何直线均可写成Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的形式。

直线方程相关学问点
求对称图形
⑴点（x1,y1）关于点(x0,y0)对称的点：（2x0-x1,2y0-y1)
⑴点（x0,y0）关于直线Ax+By+C=0对称的点：
( x0-2A(Ax0+By0+C)/(A^2+B^2) ，y0-2B(Ax0+By0+C)/(A^2+B^2) )
⑴直线y=kx+b关于点（x0,y0）对称的直线：y-2y0=k(x-2x0)-b
⑴直线1关于不平行的直线2对称：定点法、动点法、角平分线法
求对称轴
⑴两点的对称点：①求中点坐标
⑴两点的对称轴：①求中点坐标②求线段斜率③求与线段垂直的对称轴斜率④点斜式
⑴两条平行线的对称轴：①设P（x,y）在对称轴上②设方程d(Pl1)=d(Pl2)
⑴两条相交且不垂直的直线的对称轴：①角平分线斜率公式②k0k1=-1③求交点④点斜式。