求锐角三角函数值常用方法

求锐角三角函数值的常用方法作者：王小艳来源：《理科考试研究·初中》2013年第06期锐角三角函数是沟通代数与几何知识的桥梁，它剥去代数知识的外表转化为解直角三角形的问题，或以锐角三角函数知识为工具将几何知识转化为解代数问题，从而将平面几何中对直角三角形的研究转化为定量研究，达到化难为易的目的.多年来，锐角三角函数一直是中考命题的热点之一.从题型上看，选择题、填空题、解答题、综合题、压轴题，型型皆有.但是，课本上“解直角三角形”一节中这方面例题很少，因而一些同学对这类题的解答感到无从入手.为了解决这个问题，现将求锐角三角函数值的常用方法总结如下：一、直接用锐角三角函数的定义二、用同角三角函数间的关系我们知道，直角三角形的两锐角互余，两直角边的平方和等于斜边的平方，那么在直角三角形中，这些锐角三角函数之间又有怎样的关系呢？三、用等角来替代当直接用三角函数的定义求某锐角的三角函数值较为困难时，可通过相等角进行转换求值.四、构造直角三角形要解含有特殊角（或已知角的三角函数值）的锐角三角形，往往要作某条边上的高线，将其分成两个直角三角形，且使已知角成为构造的直角三角形的一个内角，以便展开推理和计算.求锐角三角函数值的方法较多，且方法灵活，是中考中常见的题型. 我们可以根据已知条件结合图形选用灵活的求解方法.当题目直接用定义求某锐角三角函数值不方便时，经常分析图形、条件，观察图中有没有与所求锐角相等的锐角，然后改求其相等角的三角函数值，这是一个非常重要的解题技巧.当题目直接用定义求其锐角三角函数值不方便时，还常分析图形，观察图形中有没有与这个锐角互余的锐角，然后利用互余两角的三角函数关系式，改求其余角的相应三角函数值.由于初中阶段求三角函数值常用方法是用定义，故若题目图形中所求锐角不在直角三角形中时，常用的处理手段是适当作垂线，使所求锐角含在直角三角形中.当然，如何作垂线应推敲一下，在有30，45或者60度角条件时，经常设法作出含30，45，60度角的直角三角形，这一常用解题思路在解题中的应用.。

锐角三角函数值的求解攻略浙江嘉善县泗洲中学（314100）杨晓霞［摘要］锐角三角函数是历年中考数学的重点和热点内容，研究锐角三角函数对中考应用题的复习备考乃至中考数学命题模式的把握都有非常重要的指导意义.［关键词］三角函数；锐角；求解［中图分类号］G633.6［文献标识码］A［文章编号］1674-6058（2021）08-0020-02一、定义法［例1］如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=15，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点D，垂足为E，求sin∠CAD的值.分析：在图1中，∠CAD为直角三角形CAD的一个内角，根据锐角的正弦的定义，可知sin∠CAD=CDAD.因此，本题的解题关键是求出∠CAD的对边CD和斜边AD的长度.根据线段的垂直平分线的性质易知AD=BD.已知条件BC=3，可表示出CD长.在Rt△CAD中运用勾股定理求解.当然，这里最好引入一个未知数，以简便表示相关线段长度.解：因为AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点D，所以有AD=BD.不妨设AD=BD=x，又BC=3，则CD=x-3，而AC=15，在Rt△CAD中，根据勾股定理知AC2+CD2=AD2，即15+()x-32=x2，解得x=4.即AD=4，CD=1，所以sin∠CAD=CDAD=14.点评：本题主要考查锐角三角函数中正弦的定义，并检测学生对一元二次方程的求解的掌握程度，勾股定理在解题中起了关键作用.二、参数法［例2］如图2，在△ABC中，∠C=90°，sin A=25，求sin B的值.分析：根据已知条件中的sin A=25，可以结合锐角三角函数中正弦的定义，引入一个参数，设出角A的对边CB和斜边AB的长度，再运用勾股定理求得角A的邻边AC的长度后，问题得解.解：因为∠C=90°，sin A=25，根据此比值可设CB=2x，AB=5x，其中x>0，再由勾股定理得AC2=AB2-CB2=21x2，即AC=21x，结合锐角三角函数中正弦的定义可知，sin B=ACAB=21x5x=点评：熟练掌握锐角三角函数中正弦的定义是解决本题的关键所在，若已知条件中给出具体角的比值，通常的做法是引入一个大于0的参数，根据比值设出相应边的长度，然后根据勾股定理求解.三、构造法1.三角形中的构造［例3］如图3，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使得DC=12BD，连接AC，若tan B=53，求tan∠CAD的值.分析：本题要求tan∠CAD，但由于∠CAD不在图中已知的直角三角形中，需要另外构造直角三角形，使得∠CAD置于其中.可以过点D作边AD的垂线，构造出直角三角形ADH来解决.解：过点D作边AD的垂线DH交AC于H，垂足为D，如图4所示，根据△BAD为直角三角形可知，∠BAD=∠ADH=90°，所以AB∥DH，易证得△CDH∽△CBA，进而得到DH AB=CD CB，因为已知条件中有DC=12BD，则DH AB=CD CB=13，又在Rt△BAD中，tan B=53，不妨设AD=5k，AB=3k，这样DH=k，故在Rt△ADH中，有tan∠CAD=DHAD=k5k=15.点评：如果在三角形中求相关角的三角函数值时，所求角并不在已知直角三角形中，这时我们就需要通过作垂线段来构造直角三角形，从而将所求角置于直角三角形中，再结合三角函数值的定义求解.本题还运用了相似三角形的相关性质.此外，本题亦可图1图2图3图4［基金项目］本文系全国教育科学“十三五”规划2017年度教育部重点课题“核心素养视角下的中学数学命题模式研究”（批准号：DHA17035）成果.数学·解题研究过点C 作直线AD 的垂线，通过构造出两个相似的直角三角形，利用相似比计算出相应的边长求解.2.圆中的构造［例4］如图5，在半径为3的圆O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，连接AC ，BD ，若AC =2，求tan D 的值.分析：题中已知条件提及直径AB ，又要求角D 的正切值，自然联想到这里应该是要借助“直径AB 所对的圆周角为直角”这一性质来构造直角三角形，然后将角D 置于其中求解.解：连接BC ，如图6所示，因为AB 为直径，则∠ACB =90°，这样在直角三角形ACB 中，有tan A =BCAC，根据圆周角的性质，不难发现∠A =∠D ，故tan D =BCAC，又圆O 的半径为3，AC =2，那么BC =AB 2-AC 2=36-4=42，所以tan D =BCAC=422=22.点评：在圆中求锐角三角函数值时，利用直径来构造直角三角形是最常用的构造方法，一般还会利用“同弧（或等弧）所对的圆周角相等”这一性质，将目标角进行等量转化.3.网格中的构造［例5］如图7所示，已知△ABC 的三个顶点均在格点上，则cos A 的值为.图7图8分析：因为网格中无直角三角形，所以需要借助网格格点构造直角三角形，不妨通过点B 来构造，连接格点B 、D ，如图8所示，易知△ABD 为直角三角形.解：如图8所示，连接格点B 、D ，根据正方形的对角线的特征，易知△ABD 为直角三角形，可设小正方形的边长为1，则AB =10，AD =22，所以cos A =AD AB =2210=255.点评：在网格中求锐角三角函数值，一般都是借助网格中的格点去构造直角三角形，通常构造的方法也不是唯一的，本题也可以通过补网格，利用格点C 来构造直角三角形.四、等量转化法1.网格中的转化［例6］如图9，在边长相同的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 、CD 相交于点P，则tan∠APD 的值为.图9图10分析：本题可将∠APD 转化为∠BPC ，然后通过小正方形的对角线构造直角三角形解决.解析：连接格点B 、Q ，交DC 于点H ，如图10所示，则BH ⊥DC ，所以tan∠APD =tan∠BPH =BHPH ，若设小正方形的边长为1，那么BH=易知△BDP ∽△ACP ，则DP PC =BD AC =13，所以DP =14DC=那么PH =DH -DP 故tan∠APD =BH PH =22=2.点评：在网格中，若对所求角直接构造直角三角形较困难，可以进行适当的等量转化.本题将∠APD 等量转化为∠BPC 是解题的关键.2.折叠中的转化［例7］如图11，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =4，将△ABC 折叠，使点A 落在BC边上的点D 处，EF 为折痕，若AE =3，则sin∠BFD =.分析：根据折叠的性质，∠A =∠EDF =45°，注意到∠BFD =180°-∠B -∠BDF =135°-∠BDF ，∠CDE =180°-∠EDF -∠BDF =135°-∠BDF .这样将∠BFD 等量转化成∠CDE ，再在Rt△CDE 中求解.解析：由题意知，∠A =∠EDF =∠B =45°，在△BFD 中，∠BFD =180°-∠B -∠BDF =135°-∠BDF ，又因为∠CDE =180°-∠EDF -∠BDF =135°-∠BDF ，所以∠BFD =∠CDE ，易知CE =1，DE =3，故sin∠BFD =sin∠CDE =CE DE =13.点评：折叠问题中，要紧扣相关角、边之间的等量关系.将∠BFD 等量转化成∠CDE 是成功解决本题的关键一步.锐角三角函数值的求解是中考数学的必考题型，其涉及的题目类型多变，可采用的解题策略也较多，在平时的教学过程中，教师要注意归纳、小结各种解题方法，以便学生在解题时可以信手拈来.（责任编辑黄桂坚）图5图6图11数学·解题研究。

专题训练(六) 锐角三角函数求值的六种方法讲解►方法一运用定义求锐角三角函数值1．在下列网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则∠O的正弦值是________．图ZT－6－12．如图ZT－6－2所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5.(1)求AB的长；(2)求两个锐角的三角函数值．图ZT－6－2►方法二巧设参数求锐角三角函数值3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝513，则cos A的值是()A.512B.813C.23D.12134．2017·铜仁如图ZT －6－3，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 是AB 的中点，ED ⊥AB 交AC 于点E.设∠A ＝α，且tan α＝13，则tan 2α＝________．图ZT －6－35．已知：如图ZT －6－4，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝12，求∠B 的正弦值、余弦值．图ZT －6－46．如图ZT －6－5，∠C ＝90°，∠DBC ＝30°，AB ＝BD ，根据此图求tan 15°的值．图ZT －6－5► 方法三 利用边角关系求锐角三角函数值7．如图ZT －6－6所示，在四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，若EF ＝2，BC ＝5，CD ＝3，则tan C 的值是( )图ZT －6－6A.34B.43C.35D.458．如图ZT －6－7所示，在△ABC 中，点D 在AC 上，DE ⊥BC ，垂足为E ，若AD ＝2DC ，AB ＝4DE ，则sin B 的值是( )图ZT －6－7A.12B.73C.3 77D.349．已知锐角三角形ABC 中，点D 在BC 的延长线上，连结AD ，若∠DAB ＝90°，∠ACB ＝2∠D ，AD ＝2，AC ＝32，根据题意画出示意图，并求出tan D 的值．►方法四利用等角求锐角三角函数值10．如图ZT－6－8所示，∠ACB＝90°，DE⊥AB，垂足为E，AB＝10，BC＝6，求∠BDE的正弦值、余弦值、正切值．图ZT－6－811．如图ZT－6－9所示，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE折叠后，点D正好落在AB边上的点F处，求tan∠AFE的值．图ZT －6－9► 方法五 利用同角三角函数的关系求锐角三角函数值同角三角函数之间有如下关系：对于锐角α，有sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α. 12．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos B ＝23，则sin B 的值为( )A.2 53B.53C.2 55D.5513．已知α为锐角，且cos α＝13，求tan α＋cos α1＋sin α的值．► 方法六 利用互余两角三角函数的关系求锐角三角函数值 若∠A ＋∠B ＝90°，则sin A ＝cos B ，cos A ＝sin B.对于锐角α，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小，tan α随α的增大而增大．14．已知0°＜∠A ＜90°，那么cos (90°－∠A)等于( ) A ．cos A B ．sin (90°＋∠A) C ．sin A D ．sin (90°－∠A)15．在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝3，求cos B 的值．16．在△ABC 中，(1)若∠C ＝90°，cos A ＝1213，求sin B 的值；(2)若∠A＝35°，∠B＝65°，试比较cos A与sin B的大小，并说明理由．教师详解详析1．[答案]10 10[解析] 如图，过点C作CD⊥OB于点D，根据正方形的性质可知点D为小正方形对角线的中点，∴CD＝22，由勾股定理得OC＝22＋12＝5，∴在Rt△OCD中，sin O＝CDOC＝225＝1010.2．解：(1)AB＝AC2＋BC2＝13.(2)sin A＝BCAB＝513，cos A＝ACAB＝1213，tan A＝BCAC＝512；sin B＝ACAB＝1213，cos B＝BCAB＝513，tan B＝ACBC＝125.3．D4．[答案]34[解析] 连结BE.∵D是AB的中点，ED⊥AB，∴ED是AB的垂直平分线，∴EB＝EA，∴∠EBA ＝∠A ＝α，∴∠BEC ＝2α.∵tan α＝13，设DE ＝a ，则AD ＝3a ，∴AE ＝10a ，AB ＝6a ，∴BC ＝3 10a 5，AC ＝9 10a 5，∴CE ＝9 10a 5－10a ＝4 10a 5，∴tan2α＝BCCE ＝3 10a 54 10a5＝34. 5．解：∵∠C ＝90°，tan A ＝BC AC ＝12， ∴设BC ＝x ，AC ＝2x ， ∴AB ＝5x ，∴sin B ＝AC AB ＝2x 5x ＝2 55，cos B ＝BC AB ＝x 5x ＝55.6．解：设AB ＝BD ＝2x . ∵AB ＝BD ，∠DBC ＝30°， ∴∠A ＝12∠DBC ＝15°.∵∠DBC ＝30°，∠C ＝90°， ∴CD ＝x ，由勾股定理可求出BC ＝3x ， ∴AC ＝AB ＋BC ＝2x ＋3x ， ∴tan15°＝CDAC ＝2－ 3.7．[解析] B 连结BD .∵E ，F 分别是AB ，AD 的中点， ∴BD ＝2EF ＝4.∵BC ＝5，CD ＝3，BD ＝4， ∴BD 2＋CD 2＝BC 2，∴△BCD 是直角三角形，且∠BDC ＝90°， ∴tan C ＝BD CD ＝43.8．[解析] D 如图，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，则有DE ∥AF . ∵AD ＝2DC ，∴DC ∶AC ＝1∶3＝DE ∶AF ， ∴AF ＝3DE . ∵AB ＝4DE ， ∴sin B ＝AF AB ＝3DE 4DE ＝34.9．解：示意图如图所示．∵∠ACB ＝∠D ＋∠CAD ，∠ACB ＝2∠D ， ∴∠CAD ＝∠D ， ∴AC ＝DC .∵∠BAD ＝90°，∴∠B ＋∠D ＝90°.∵∠BAC ＋∠CAD ＝90°，∴∠B ＝∠BAC ，∴BC ＝AC ，∴BD ＝2AC .∵AC ＝32， ∴BD ＝3.在Rt △BAD 中，∵AD ＝2，BD ＝3，∴AB ＝5，∴tan D ＝AB AD ＝52. 10．解：∵在Rt △ABC 中，AB ＝10，BC ＝6， ∴AC ＝AB 2－BC 2＝8.∵∠C ＝∠DEB ＝90°，∠B ＝∠B ，∴△ACB ∽△DEB ，∴∠A ＝∠BDE ，∴sin ∠BDE ＝sin A ＝35， cos ∠BDE ＝cos A ＝45， tan ∠BDE ＝tan A ＝34.11．解：根据图形得∠AFE ＋∠EFC ＋∠BFC ＝180°. 根据折叠的性质，得∠EFC ＝∠EDC ＝90°，∴∠AFE ＋∠BFC ＝90°.在Rt △BCF 中，∠BCF ＋∠BFC ＝90°，∴∠AFE ＝∠BCF .又根据折叠的性质，得CF ＝CD ＝10.在Rt △BCF 中，BC ＝8，CF ＝10，由勾股定理，得BF ＝CF 2－BC 2＝6，∴tan ∠BCF ＝34， ∴tan ∠AFE ＝tan ∠BCF ＝34. 12．[解析] B ∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos B ＝23， ∴sin B ＝1－（23）2＝53. 故选B.13．解：∵cos α＝13， ∴sin α＝1－（13）2＝2 23， tan α＝sin αcos α＝2 2313＝2 2， ∴tan α＋cos α1＋sin α＝2 2＋131＋2 23＝2 2＋3－2 2＝3.14．C15．解：∵tan A ＝3，∴∠A ＝60°，sin A ＝32. 又∵∠A ＋∠B ＝90°，∴cos B ＝sin A ＝32. 16．解：(1)在Rt △ABC 中，∵∠A ＋∠B ＝90°，∴sin B ＝cos A ＝1213. (2)cos A ＜sin B .理由：∵cos A ＝cos35°＝sin55°＜sin65°， ∴cos A ＜sin B .。

求锐角三角函数值的几种常用方法锐角三角函数是初中数学的重要内容，也是中考的热点之一．求锐角的三角函数值 方法较多，下面举例介绍求锐角三角函数值的几种常用方法，供参考．一、定义法当已知直角三角形的两条边，可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值． 例1 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( )(A )513 (B )1213 (C )512 (D )135分析 题目中已知乞A 的对边BC 和斜边AB 的长，可直接运用锐角三角函数的定义求解．解 ∵在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，∴sin A 513BC AB =故选A 二、参数法锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线 段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题．例2 在△ABC 中，∠C =90°，如果tan A =512，那么sin B 的值是 ． 分析 由已知条件∠A 的正切，可知直角三角形中两边的比值，据此可用参数法将第三边表示出来，进而求出sin B 的值．解如图2 ∵tan A =512BC AC =， ∴设BC =5k ，AC =12k (k >O )．由勾股定理，得AB =13k ，∴1212sin 1313AC k B AB k === 三、等角代换法当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“两锐角相等，则三角函数值也相等” 来解决．例3 如图3，在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是AB 边上的中线，BC =5，CD =4，则cos ∠ACD 的值为 ．分析 由已知条件，不难知道∠ACD 与∠A 相等，所以欲求cos ∠ACD ，只要求cos A 即可．解 在Rt △ABC 中，∵CD 是AB 边上的中线，∴CD =AD =BD ，∴∠ACD =∠A ．又∵CD =4，∴AB =2 CD =8，由勾股定理，得AC =∴cos A =AC AB =∴cos ∠ACD =cos A =8 四、构造法直角三角形是求解或运用三角函数的前提条件，故当题目中已知条件并非直角三角 形时，需通过添加辅助线构造直角三角形，然后求解．例4 在△ABC 中，∠A =120°，AB =4，AC =2，则sinB 的值是( )(A (B (C (D 分析 由于∠B 不在直角三角形中，因此需添加辅助线构造直角三角形，从而求解． 解 如图4，过点C 作CD ⊥BA ，交BA 的延长线于点D ．∵∠BAC =120°，∴∠DA C =180°一∠BAC=180°一120°=60°．在Rt △ABC 中，∵A C =2，∠DAC =60°，∴CD =AC ·sin ∠DAC =2=∴AD =1．又∵AB =4 ∴BD =AB +AD =5， 在Rt △ABC 中，由勾股定理，得BC =∴sin CD B BC === 故选D ．。

用锐角三角函数概念解题的常见方法(含答案11页)用锐角三角函数概念解题的常见方法1．锐角三角函数（1）锐角三角函数的定义我们规定：sinA=abab，cosA=，tanA=，cotA=．ccba锐角的正弦、余弦、正切、余切统称为锐角的三角函数．（2）用计算器由已知角求三角函数值或由已知三角函数值求角度对于特殊角的三角函数值我们很容易计算，甚至可以背诵下来，但是对于一般的锐角又怎样求它的三角函数值呢？用计算器可以帮我们解决大问题．①已知角求三角函数值；②已知三角函数值求锐角．2直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半．3．锐角三角函数的性质（1）0<sinα<1，o<cosα<1（0°<α<90°）1（2）tanα·cotα=1或tanα=（3）tanα=1；cot?sin?cos?，cotα=．cos?sin?（4）sinα=cos（90°-α），tanα=cot（90°-α）．有关锐角三角函数的问题，常用下面几种方法：一、设参数例1. 在?ABC中，?C?90?，如果tanA?5，那么sinB的值等于（）12D.12 5A.513B.1213C.512解析：如图1，要求sinB的值，就是求AC5的值，而已知的tanA?，也就是AB12BC5? AC12可设BC?5k，AC?12k则AB?(5k)2?(12k)2?13k?sinB?12k12?，选B 13k13二、巧代换例2. 已知tan??3，求sin??2cos?的值。

5sin??cos?解析：已知是正切值，而所求的是有关正弦、余弦的值，我们可以利用关系式sin??3，作代换sin??3cos?，代入即可达到约分的目的，也可以把所求的cos?分式的分子、分母都除以cos?。

tan??2sin??2sin??2cos? ?cos?sin5sin??cos?5?1cos?再把sin?1?3代入，得：原式? cos?16三、妙估计例3. 若太阳光与地面成37?角，一棵树的影长为10m，则树高h的范围是（取?1.7）A. 3?h?5B. 5?h?10C. 10?h?15D. h?15 解析：如图2，树高h?10tan37?，要确定h的范围，可根据正切函数是增函数，估计tan30??tan37??tan45?即10tan30??10tan37??10tan45??10??h?10 3?5?h?10，故选B四、善转化例4. 在?ABC中，1?A?30?，tanB?BC?，求AB的长。