用锐角三角函数概念解题的常见方法(含答案11页)

初三数学锐角三角函数中考要求例题精讲模块一 三角函数基础一、锐角三角函数的定义如图所示，在Rt ABC △中，a 、b 、c 分别为A ∠、B ∠、C ∠的对边．（1）正弦：Rt ABC ∆中，锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记作sin A ，即sin aA c=． （2）余弦：Rt ABC ∆中，锐角A 的邻边与斜边的比叫做A ∠的余弦，记作cos A ，即cos b A c =． （3）正切：Rt ABC ∆中，锐角A 的对边与邻边的比叫做A ∠的正切，记作tan A ，即tan a A b=． 注意：① 正弦、余弦、正切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意三角形随便套用定义． ② sin A 、cos A 、tan A 分别是正弦、余弦、正切的数学表达符号，是一个整体，不能理解为sin 与A 、cos 与A 、tan 与A 的乘积．③ 在直角三角形中，正弦、余弦、正切分别是某个锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值，当这个锐角确定后，这些比值都是固定值．二、特殊角三角函数a A这些特殊角的三角函数值一定要牢牢记住！ 三、锐角三角函数的取值范围在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，000a b c a c b c >>><<，，，，，又sin a A c =，cos b A c =，tan aA b=，所以 0sin 10cos 1tan 0A A A <<<<>，，． 四、三角函数关系 1．同角三角函数关系： 22sin cos 1A A +=，sin tan cos AA A= 2．互余角三角函数关系：(1) 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值：()sin cos 90A A =︒-；(2) 任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值：()cos sin 90A A =︒-； (3) 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值：()tan cot 90A A =︒-． 3．锐角三角函数值的变化规律：(1)A 、B 是锐角，若A >B ，则sin A >sin B ；若A <B ，则sin A <sin B(2) A 、B 是锐角，若A >B ，则cos A <cos B ；若A <B ，则cos A >cos B (3) A 、B 是锐角，若A >B ，则tan tan A B >；若A <B ，则tan tan A B < 【例1】 已知在ABC △中，A B ∠∠、是锐角，且5sin tan 22913A B AB cm ===，，，则ABC S =△ ． 【解析】过C 作CD AB ⊥于D ，这样由三角函数定义得到线段的比：5sin tan 213CD CDA B AC BD====，， 设5132CD m AC m CD n BD n ====，，，，解题的关键是求出m n 、值．51222CD BD n m AD m ====， 所以529122922AB AD BD m m m =+=+==所以12101452ABC m CD S AB CD ===⋅=，，△ 小结：设ABC △中，a b c 、、为A B C ∠∠∠、、的对边，R 为ABC △外接圆的半径，不难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论：（1）111sin sin sin 222ABC S bc A ac B ab C ===△；（2）2sin sin sin a b c R A B C===． 【答案】145【巩固】如图，点A 在半径为R 的O 上，以A 为圆心，r 为半径作A ，设O 的弦PQ 与A 相切，求证PA QA ⋅为定值．【答案】证明线段乘积为定值，联想到三角形的面积，可以和三角函数联系起来．∵1sin 2APQ S PA QA A =⋅△，12APQ S r PQ =⋅△， ∴sin PA QA A r PQ ⋅⋅=⋅．在APQ △中，sin 2PQ A R =，∴2PQPA QA r PQ R⋅=⋅÷，∴2PA QA Rr ⋅=为定值．【例2】 求tan1tan2tan3tan89︒⋅︒⋅︒⋅⋅︒的值【答案】∵tan cot 1αα=，tan cot(90)αα=︒-∴tan1tan89tan1cot11︒︒=︒︒=，tan2tan88tan2cot 21︒︒=︒︒=， tan44tan46tan44cot 441︒︒=︒︒=，而tan451︒=，∴tan1tan2tan3tan891︒⋅︒⋅︒⋅⋅︒=．【巩固】化简：22sin cos sin 1tan sin cos αααααα++-- 【解析】原式()2222cos sin cos sin cos sin sin cos αααααααα+=+--22cos sin sin cos cos sin αααααα-==--． 【答案】sin cos αα-【例3】已知tan α1）221cos sin cos 1sin cos sin a ααααα-+-+（2090α︒<<︒）．【答案】⑴221cos sin cos 1sin cos sin a ααααα-+-+()()222222sin sin sin sin cos sin sin cos sin cos cos 3cos cos cos sin cos cos cos sin cos sin sin αααααααααααααααααααααα⎛⎫+ ⎪++⎝⎭====+⎛⎫++ ⎪⎝⎭，1sin 2cos αα-=OQPA【巩固】已知tan 2α=，求4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+．【答案】4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+4sin 24226cos 3sin 532115cos αααα-⨯-===+⨯+．【例4】 已知α为锐角，且22sin 5cos 10αα-+=，求α的度数． 【答案】∵22sin cos 1αα+=∴22(1cos )5cos 10αα--+=，即：22cos 5cos 30αα+-=． ∴(2cos 1)(cos 3)0αα-+=． 解得：cos 3α=-或1cos 2α=． ∵0cos 1α≤≤，∴1cos 2α=，∴60α=︒． 【巩固】若α为锐角，且22cos 7sin 50αα+-=，求α的度数．【答案】由α为锐角，可知0sin 1α<<． 又由22cos 7sin 50αα+-=，22sin cos 1αα+=可知22sin 7sin 30αα-+=，解之得1sin 302αα=⇒=︒． 【例5】已知sin cos αα+（α为锐角），求作以1sin α和1cos α为两根的一元二次方程． 【解析】∵sin cos αα+=，两边平方得：22sin cos 2sin cos 2αααα++=又∵22sin cos 1αα+=，∴1sin cos 2αα⋅=．∴11sin cos sin cos sin cos αααααα++==112sin cos αα⋅= ∴以1sin α和1cos α为两根的一元二次方程为：220x -+=【答案】220x -+=【巩固】若方程222210x ax a -+-=的一个根是sin α，则它的另一个根必是cos α或cos α-． 【答案】不妨设方程的另一根为m ，由一元二次方程的根系关系可知sin m a α+=，21sin 2a m α-=， 故2(sin )1sin 2m m αα+-=，整理可得22sin (sin )1m m αα=+-，即22sin 1m α+=，又22sin cos 1αα+=，故cos m α=±．【巩固】已知：ABC △中，方程2(sin sin )(sin sin )(sin sin )0B A x A C x C B -+-+-=的两根相等，求证60B <︒． 【答案】两根相等则判别式为0，但是观察系数的规律，是否有其他的好办法呢？∵此方程系数之和为0，∴1x =必为此方程的根．又∵此方程两根相等，∴121x x ==，∴12sin sin 1sin sin C Bx x B A-==-．又由正弦定理，有c b b a -=-，∴2c ab +=． 再由余弦定理，有22222222()3()26212cos 22882c a a c c a ba c ca ca ca B caca ca ca ++-+-+--====≥．∴60B ︒≤，且等号不会成立，否则方程就不存在了．【巩固】在ABC △中，60A =︒，最大边与最小边的边长分别是方程2327320x x -+=的两个根，求ABC △的外接圆半径和内切圆的面积．【答案】题目中涉及到边长的关系，以及外接圆半径，这为正弦定理提供了便利条件．∵60A =︒，且显然此三角形有两边不等（即以已知方程为根的两边）， ∴ABC △中，A 既不是最大角也不是最小角，不防设b 为最大边，c 为最小边， 由韦达定理，有3293b c bc +==，， 又由余弦定理，有：2222cos a b c bc A =+-222()3b c bc b c bc =+-=+- 813249=-=．∴7a =（7a =-舍去）又由正弦定理，有2sin aR A===∴7916a b c ++=+=． 1sin 2S bc A P r ==⋅（其中2a b cP ++=，r 为内切圆半径）即132822r =⨯，∴r =∴内切圆面积21ππ3S r ==．【例6】 若0°<θ<30°，且1sin 3km θ=+(k 为常数，且k <0)，则m 的取值范是 ． 【答案】∵0°<θ<30°∴sin 0°<sin θ<sin 30°，即0<sin θ<12∴0<13km +<12，所以1136km -<<，又因为0k <∴1163m k k<<-． 模块二 解直角三角形一、解直角三角形的概念根据直角三角形中已知的量（边、角）来求解未知的量（边、角）的过程就是解直角三角形．二、直角三角形的边角关系如图，直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳： （1）三边之间的关系：222a b c += (勾股定理) （2）锐角之间的关系：90A B ∠+∠=︒（3）边角之间的关系：sin cos ,cos sin ,tan a b aA B A B A c c b=====三、解直角三角形的四种基本类型（1）已知斜边和一直角边(如斜边c ，直角边a )，由sin aA c=求出A ∠，则90B A ∠=︒-∠，b =； （2）已知斜边和一锐角(如斜边c ，锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，sin a c A =，cos b c A =； （3）已知一直角边和一锐角(如a 和锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，tan b a B =，sin ac A=； （4）已知两直角边(如a 和b )，求出c =tan aA b=，得90B A ∠=︒-∠． 具体解题时要善于选用公式及其变式，如sin a A c =可写成sin a c A =，sin a c A=等． 四、解直角三角形的方法解直角三角形的方法可概括为：“有斜(斜边)用弦(正弦，余弦)，无斜用切(正切，余切)，宁乘毋除，取原避中”．这几句话的意思是：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切； 当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求得时，则用原始数据，尽量避免用中间数据． 五、解直角三角形的技巧及注意点在Rt ABC ∆中，90A B ∠+∠=︒，故sin cos(90)cos A A B =︒-=，cos sin A B =．利用这些关系式，可在解题时进行等量代换，以方便解题． 六、如何解直角三角形的非基本类型的题型对解直角三角形的非基本类型的题型，通常是已知一边长及一锐角三角函数值，可通过解方程(组)来转化为四种基本类型求解；（1）如果有些问题一时难以确定解答方式，可以依据题意画图帮助分析；（2）对有些比较复杂的问题，往往要通过作辅助线构造直角三角形，作辅助线的一般思路是：①作垂线构成直角三角形；②利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边等． 七、直角三角形中其他重要概念（1）仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图⑴．（2）坡角与坡度：坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为hi l=，坡面与水平面的夹角记作α，叫做坡角，则tan hi lα==．坡度越大，坡面就越陡．如图⑵． cb aC BA（3）方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度．如图⑶．八、解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题：（1）分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；（2）找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；（3）根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；（4）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位．【例7】 如图，某高层楼房与上海东方明珠电视塔隔江想望，甲、乙两学生分别在这楼房的A B ，两层，甲在A 层测得电视塔塔顶D 的仰角为α，塔底C 的俯角为β，乙在B 层测得塔顶D 的仰角为θ，由于塔底的视线被挡住，乙无法测得塔底的俯角，已知A B ，之间的高度差为a ，求电视塔高CD （用含a αβθ，，，的代数式表示）【解析】作AE CD ⊥于E ，BF CD ⊥于F ，设DE x = 在Rt ADE ∆中，由tan DE AE α=，得tan tan DE xAE αα==， 在Rt DBF ∆中，由tan DFBFθ=，得 tan tan DF x aBF θθ+==，因为AE BF =， 所以tan tan x x a αθ+=，解得tan tan tan a x αθα⋅=-，从而tan tan aAE θα=- 在Rt AEC ∆中，由tan EC AE β=，得tan tan tan tan a EC AE ββθα=⋅=- 所以()tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan a a a CD DE EC αβαβθαθαθα+=+=+=--- 【答案】()tan tan tan tan a αβθα+-【例8】 一座建于若干年前的水库大坝的横断面如图所示，其中背水面的整个坡面是长为90米、宽为5图(3)图(2)图(1)俯角仰角视线视线水平线铅垂线米的矩形． 现需将其整修并进行美化，方案如下：① 将背水坡AB 的坡度由1:0.75改为；② 用一组与背水坡面长边垂直的平行线将背水坡面分成9块相同的矩形区域，依次相间地种草与栽花 ．（1）求整修后背水坡面的面积；（2）如果栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元，那么种植花草至少需要多少元？【答案】（1）作AE BC ⊥于E ．∵ 原来的坡度是1:0.75，∴ 140.753AE EB == ． 设4AE k =，3BE k =， ∴ 5AB k =， 又 ∵ 5AB =米， ∴1k =，则4AE =米 ．设整修后的斜坡为AB '，由整修后坡度为，有AE EB ='，∴∠AB E '=30°， ∴ 28AB AE '==米 ． ∴ 整修后背水坡面面积为908720⨯=米2 ． （2）将整修后的背水坡面分为9块相同的矩形，则每一区域的面积为80米2 ．解法一：∵ 要依次相间地种植花草，有两种方案：第一种是种草5块，种花4块，需要20×5×80+25×4×80=16000元； 第二种是种花5块，种草4块，需要20×4×80+25×5×80=16400元 ． ∴ 应选择种草5块、种花4块的方案，需要花费16000元 ．解法二：∵ 要依次相间地种植花草，则必然有一种是5块，有一种是4块，而栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元，∴ 两种方案中，选择种草5块、种花4块的方案花费较少 ． 即：需要花费20×5×80+25×4×80=16000元 ．【例9】 如图，在某海域内有三个港口A 、D 、C ．港口C 在港口A 北偏东60︒方向上，港口D 在港口A北偏西60︒方向上．一艘船以每小时25海里的速度沿北偏东30︒的方向驶离A 港口3小时后到达B 点位置处，此时发现船舱漏水，海水以每5分钟4吨的速度渗入船内．当船舱渗入的海水总量超过75吨时，船将沉入海中．同时在B 处测得港口C 在B 处的南偏东75︒方向上．若船上的抽水机每小时可将8吨的海水排出船外，问此船在B 处至少应以怎样的航行速度驶向最近的港口停靠，才能保证船在抵达港口前不会沉没（要求计算结果保留根号）？并指出此时船的航行方向．DCBA【解析】连结AC、AD、BC、BD，延长AT，过B作BT AT⊥于T，AC与BT交于点E．过B作BP AC⊥于点P．由已知得90BAD∠=︒，30BAC∠=︒，32575AB=⨯=（海里），在BEP∆和AET∆中，90BPE ATE∠=∠=︒，AET BEP∠=∠，∴30EBP EAT∠=∠=︒．∵60BAT∠=︒，∴30BAP∠=︒，从而17537.52BP=⨯=（海里）．∵港口C在B处的南偏东75︒方向上，∴45CBP∠=︒．在等腰Rt CBP∆中，BC==，∴BC<AB．BAD∆是Rt∆，∴BD AB>．综上，可得港口C离B点位置最近．∴此船应转向南偏东75︒方向上直接驶向港口C．设由B驶向港口C船的速度为每小时x海里，548)5÷⨯-<7，解不等式，得x>．答：此船应转向沿南偏东75︒的方向向港口C航行，且航行速度至少不低于每小时能保证船在抵达港口前不会沉没．【答案】此船应转向沿南偏东75︒的方向向港口C航行，且航行速度至少不低于每小时证船在抵达港口前不会沉没．【巩固】海面上B处有一货轮正在向正南方向航行，其航行路线是当它到达正南方C时，在驶向正西方的目的地A处，且200CA CB==海里，在AB中点O处有一客轮，其速度为货轮的一半，现在客轮要截住货轮取一件货物，于是选择某一航向行驶去截住货轮，那么当客轮截住客轮时至少航行了多少海里，它所选择了怎样的方向角？（路程保留整数海里，角度精确到度）【解析】如图，由题意可知，ABC∆为等腰直角三角形，假设客轮截住货轮的地点在BC边上时，过OD BC⊥于D，OD为客轮到达BC边的最短距离，即客轮航行的路程为OD，由货轮速度为客轮的2倍可知，货轮航行的距离为2OD BC=，即货轮此时到达了C点，∴客轮截住货轮的地点不可能在BC边上．∴客轮截住货轮的地点在AC 边上．设在AC 边上的F 点两船相遇，设客轮航行的距离为x ，即OE x =，则2BC CE x +=， ∴2200CE x =-，过O 作OF AC ⊥于F ，则11002OF BC ==海里，11002FC AC ==海里， ∴3002EF x =-在Rt DEF ∆中，222OF EF OE +=， 即222100(3002)x x +-=，解得x =1282x ≈，2118x ≈∴141OE OA ≤=∴1282x ≈不符合题意，∴118x ≈ 即当客轮截住货轮时，航行了118海里． 在Rt OEF ∆中，100cos 0.8475118EOF ∠=≈ ∴32EOF ∠=︒∴客轮的航行方向应为南偏东32︒．【答案】客轮的航行方向应为南偏东32︒课堂检测1． （辽宁竞赛）如图，湖心岛上有一凉亭，现欲利用湖岸边的开阔平整地带，测量凉亭顶端到湖面所在平面的高度AB (见示意图)，可供使用的工具有测倾器、皮尺．（1）请你根据现有条件，设计一个测量凉亭顶端到湖面所在平面的高度AB 的方案，画出测量方案的平面示意图，并将测量的数据标注在图形上（所测的距离用m ，n 表示，角用α，β表示，测倾器高度忽略不计）；（2）根据你所测量的数据，计算凉亭到湖面的高度AB (用字母表示)．F EDOC BA【解析】（1）如图所示，在点C 测得ACB α∠=，在点D 测得ADB β∠=，测得DC m =（2）在Rt ABC ∆中，设AB x =，tan x BC α=在Rt ABD ∆中，tan xBD β= BD BC m -=， 即tan tan x xm βα-= 解得tan tan tan tan x m αβαβ⋅=-【答案】（1）DC m =；（2）tan tan tan tan m αβαβ⋅-2． 化简：222tan1tan 2....tan89sin 1sin 2...sin 89︒⋅︒︒︒+︒++︒【解析】tan1tan2....tan89tan451︒⋅︒︒=︒=()()22222222sin 1sin 2...sin 89sin 1cos 1sin 2cos 2...sin 45︒+︒++︒=︒+︒+︒+︒++︒1894422=+=，故原式289=． 【答案】2893． 如图1、图2，是一款家用的垃圾桶，踏板AB （与地面平行）或绕定点P （固定在垃圾桶底部的某一位置）上下转动（转动过程中始终保持''AP A P BP B P ==，）．通过向下踩踏点A 到'A （与地面接触点）使点B 上升到点'B ，与此同时传动杆BH 运动到''B H 的位置，点H 绕固定点D 旋转（DH 为旋转半径）至点'H ，从而使桶盖打开一个张角'HDH ∠．如图3，桶盖打开后，传动杆''H B 所在的直线分别与水平直线AB DH 、垂直，垂足为点M C 、，设''H C B M =．测得6cm 12cm '8cm AP PB DH ===，，．要使桶盖张开的角度'HDH ∠不小于60︒，那么踏板AB 离地面的高度至少等于多少cm ？（结果保留两位有效数字）【解析】过点'A 作'A N AB ⊥垂足为N 点，在Rt 'H CD ∆中， 若'HDH ∠不小于60︒， 则'3sin 60'H C H D ≥︒=， 即3''43H C H D ≥=， ∴''43B M H C =≥， ∵Rt 'Rt 'A NP B MP ∆∆∽ ∴''''A N A PB M B P=， ∴''643'23 3.5cm 'A P B M A N B P ⋅⨯=≥=≈，∴踏板AB 离地面的高度至少等于3.5cm ．【答案】踏板AB 离地面的高度至少等于3.5cm课后作业1． 化简求值：1sin 1sin 1cos 1cos 1sin 1sin 1cos 1cos αααααααα⎛⎫⎛⎫-+-+-- ⎪⎪ ⎪⎪+-+-⎝⎭⎝⎭（090α︒<<︒） 【解析】原式()()()()222222221sin 1sin 1cos 1cos 1sin 1sin 1cos 1cos αααααααα⎡⎤⎡⎤-+-+⎢⎥⎢⎥=-⋅-⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦由090α︒<<︒可知，0cos 1α<<，0sin 1α<<．故原式1sin 1sin 1cos 1cos cos cos sin sin αααααααα-+-+⎛⎫⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2sin 2cos 4cos sin αααα--=⋅=． 图3图2C MAA'P BB'HDH'H'DHB'BPA'A（图1）NCMA'PBB'HDH'【答案】42． 若045α︒<<︒，且sin cos αα=sin α的值． 【解析】方法1：由2263sin cos sin cos 256αααα==，结合22sin cos 1αα+=，可得 2226397sin (1sin )sin 2561616ααα-=⇒=或． 由045α︒<<︒可知221sin sin 452α<︒=，故27sin sin 16αα=⇒=． 方法2：由sin cos 2sin cos αααα=，结合22sin cos 1αα+=，可得sin cos αα+==cos sin αα-=，故sin α．3． （2011甘肃兰州）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad ）．如图①在ABC △中，AB AC =，顶角A 的正对记作sadA ，这时=BCsadA AB=底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： （1）60sad ︒= ．（2）对于0180A ︒<<︒，∠A 的正对值sadA 的取值范围是 ． （3）如图②，已知3sin 5A =，其中A ∠为锐角，试求sadA 的值．【解析】（1）1（2）02sadA <<（3）设53AB a BC a ==，，则4AC a =．在AB 上取4AD AC a ==，作DE AC ⊥于点E ． 则312416164sin 4cos 44555555DE AD A a a AE AD A a a CE a a =⋅=⋅==⋅=⋅==-=，，，CD =图②图①C BAC B A∴CDsadAAC==EDCBA。

锐角三角函数的题型及解题技巧锐角三角函数是三角函数的基础，它应用广泛，解题技巧性强，下面归纳出锐角三角函数的常见题型，并结合例题介绍一些解题技巧。

一、 化简或求值例1 （1）已知tan 2cot 1a a -=，且a 是锐角，求22tan cot 2a a +-的值。

（2）化简()()22sin cos cos sin a b a b a a a a ++-。

分析分析 （1）由已知可以求出tan a 的值，化简22tan cot 2a a +-可用1tan cot a a =×；（2）先把平方展开，再利用22sin cos 1a a +=化简。

化简。

解 （1）由tan 2cot 1a a -=得2tan 2tan a a -=，解关于tan a 的方程得tan 2a =或tan 1a =-。

又a 是锐角，∴tan 2a =。

∴22tan cot 2a a +-＝22tan 2tan cot cot a a a a -×+＝2(tan cot )a a -＝tan cot a a -。

由tan 2a =，得1cot 2a =，∴22tan cot 2a a +-＝tan cot a a -＝13222-=。

（2）()()22sin cos cos sin a b a b a a a a ++-＝2222sin 2sin cos cos a ab b a a a a +××+＋2222cos 2cos sin sin a ab b a a a a -××+＝()()222222sin cos sin cos a b a a a a +++＝22a b +。

说明说明 在化简或求值问题中，经常用到“1”的代换，即22sin cos 1a a +=，tan cot 1a a ×=等。

等。

二、已知三角函数值，求角例2 在△ABC 中，若223cos sin 022A B æö-+-=ç÷ç÷èø(),A B ÐÐ均为锐角，求C Ð的度数。

锐角三角函数应用题的方法与技巧
x
《锐角三角函数应用题的方法与技巧》
一、总体思路
1、识别出三角形所涉及的三角函数，并确定三角函数的参数：根据题干里面提供的线段、角度等长度或角度来初步判断三角形的形状，并由此来计算出三个角度和三条边。

2、判断题目的性质：根据题目要求，判断出是求边长还是求角度。

3、解答：
（1）求边长：利用相应的三角函数关系（正弦定理、余弦定理、正切定理等），求出答案;
（2）求角度：利用相应的三角函数关系，求出角度的三角函数值，再用反三角函数求出角度。

二、技巧总结
1、画图法：根据题干中提供的信息，画出准确的三角形图形，便于计算和判断。

2、直角三角形快速求角度：根据对边比斜边的特点，找出角度所对应的三角函数值，再用反三角函数计算出角度。

3、正弦定理、余弦定理：正弦定理可用于计算夹角的一边的长度，余弦定理可用于求另一边的长度。

4、正切定理：正切定理可以用于求夹角的角度大小。

5、各种三角函数的关系：在计算三个角度的大小时，可以利用三个角度的和为180°；在计算三条边的长度时，可以利用三条边之和的性质。

用锐角三角函数概念解题的常见方法(含答案11页)用锐角三角函数概念解题的常见方法1．锐角三角函数（1）锐角三角函数的定义我们规定：sinA=abab，cosA=，tanA=，cotA=．ccba锐角的正弦、余弦、正切、余切统称为锐角的三角函数．（2）用计算器由已知角求三角函数值或由已知三角函数值求角度对于特殊角的三角函数值我们很容易计算，甚至可以背诵下来，但是对于一般的锐角又怎样求它的三角函数值呢？用计算器可以帮我们解决大问题．①已知角求三角函数值；②已知三角函数值求锐角．2直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半．3．锐角三角函数的性质（1）0&lt;sinα&lt;1，o&lt;cosα&lt;1（0°&lt;α&lt;90°）1（2）tanα·cotα=1或tanα=（3）tanα=1；cot?sin?cos?，cotα=．cos?sin?（4）sinα=cos（90°-α），tanα=cot（90°-α）．有关锐角三角函数的问题，常用下面几种方法：一、设参数例1. 在?ABC中，?C?90?，如果tanA?5，那么sinB的值等于（）12D.12 5A.513B.1213C.512解析：如图1，要求sinB的值，就是求AC5的值，而已知的tanA?，也就是AB12BC5? AC12可设BC?5k，AC?12k则AB?(5k)2?(12k)2?13k?sinB?12k12?，选B 13k13二、巧代换例2. 已知tan??3，求sin??2cos?的值。

5sin??cos?解析：已知是正切值，而所求的是有关正弦、余弦的值，我们可以利用关系式sin??3，作代换sin??3cos?，代入即可达到约分的目的，也可以把所求的cos?分式的分子、分母都除以cos?。

tan??2sin??2sin??2cos? ?cos?sin5sin??cos?5?1cos?再把sin?1?3代入，得：原式? cos?16三、妙估计例3. 若太阳光与地面成37?角，一棵树的影长为10m，则树高h的范围是（取?1.7）A. 3?h?5B. 5?h?10C. 10?h?15D. h?15 解析：如图2，树高h?10tan37?，要确定h的范围，可根据正切函数是增函数，估计tan30??tan37??tan45?即10tan30??10tan37??10tan45??10??h?10 3?5?h?10，故选B四、善转化例4. 在?ABC中，1?A?30?，tanB?BC?，求AB的长。

求锐角三角函数值的经典题型+)超级经典好用(方法归纳．求锐角三角函数值的几种常用方法一、定义法可直接运用锐角三角函数的定当已知直角三角形的两条边，义求锐角三角函数的值．，则=5BC例1 如图1，在△ABC中，∠C=90°，AB=13，)sin A的值是(121355 )) (C ) (D (A ) (B5131213对应训练：) ( ，则tan的值为190°，若BC＝，ABA=中，∠1．在Rt△ABC C＝515522 ． A ． D B ． C ．552二、参数（方程思想）法锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题．5BC=90°，如果tan A=，那么sin ABC 例2 在△中，∠12的值是．对应训练：31.）tanA的值等于（ A=．在△ABC中，∠C=90°，sin，那么54334.D C. . A． B 3455则AC= ，已．知△中，，3cosB=2，2?5290C??AB．AB=3．cosABAC求△3．已知RtABC中，、和B,90C???BC,A tan,?12?43，OC⊥AB于C点，＝4．已知：如图，⊙O的半径OA16cm??sin?AOC4求：AB 及OC的长．三、等角代换法当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等两锐角“角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用”相等，则三角函数值也相等来解决．ABABCRtBCACD边上3 在△°，中，∠是=90例ACDCDBC的值为 =5，=4，则∠的中线，．cos对应训练的直径，是的如图，若的外接圆，是1.OO⊙⊙⊙OABC△AD32，，则的值是（）A．半径为B sin2AC 32．433．． C． DB234落在，使点42. 如图，沿折叠矩形纸片BCABCDAEDA D的值边的点处．已知，则，AB=8,8?ABEFC tan?10∠BCFEB C3434Ｃ．Ｄ．为 ( )Ａ．Ｂ．F 5534为3. 如图6，在等腰直角三角形中，，，ACDABC?6??C?90?AC1( ) ，则上一点，若的长为?tan?DBA AD5． D．．A． B C y22212C A与经过点直径为10的⊙，和点4．如图，A，C，0)(05)O(0xDO yDBx轴右侧圆弧上一点，，轴的正半轴交于点是B题图第8OBC313 C B．．则cos∠的值为（）A．2524．D5Ox轴的正半的顶点为5.如图，角，它的一边在?OAP（3，4点一），则，轴上另一边上有．??sin ABCDDEAB3，⊥的边长为10cm如图，，6.（庆阳中考）菱形， A sin52．则这个菱形的面积= cm ABCCACA的平分线=8=90°，，∠，在7. 如图6Rt△中，∠ABADBCB316.、的长 =求∠的度数及边3B C D．四、构造（直接三角形）法直角三角形是求解或运用三角函数的前提条件，故当题目中已知条件并非直角三角形时，需通过添加辅助线构造直角三角形，然后求解，即化斜三角形为直角三角形．）化斜三角形为直角三角形（1sinBABCAABAC的值是=2°，=4，在△例4 ，则中，∠=120( ) BCAD2152173 ())() ( ()147145对应训练：ABCABBCABC的面积等6，＝9，△＝．已知：如图，△1中，B． sin9于，求在△ABC中，∠BAC=90°2．（重庆）如图，在DRt，点的ABCBC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△周长．（结果保留根号））利用网格构造直角三角形（2网格的格例5 如图所示，△ABC的顶点是正方形）的值为（点，则sinA155210 D．．A． B C．25105C对应练习：sin A =_______. 1．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则ABC?逆时针绕着点三点在正方形网络线的交点处，若将．如图，A、B、CA2BA'B?AC'B'tan旋转得到的值为（，则）1111 D. C. A.B. 3243．正方形网格中，如图放置，则tan的值是（） AOB∠AOB∠A1Ｃ．Ｄ．Ｂ．Ａ．25525OB4. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点在格点上，ABC△请按要求完成下列各题：CDAD∥BCD）线段（用签字笔画，连接2；（为格点））（1 ．．．的长为CD；若你所选的锐的三个内角中任选一个锐角，（3）请你在ACD△．．值数应的正弦函对，则它所角是tan的BC中点，则CAE∠若是．（4） E为 . 值是三角函数与四边形： 2，BCD=90°，AB=BC=如图，四边形ABCD中，∠BAD=135°，∠．16 ．AD(2) 求的长BDC= ． (1) 求BD的长； tan ∠3A分别作AE⊥BC于点E，AF中，过点2．如图，在平行四边形⊥CD于点F． ABCD243，，求CF的长．AF2）若AE=4，= DAF∠（1）求证：BAE=∠；（ sin BAE55三角函数与圆：3.如图，DE是⊙O的直径，CE与⊙O相切，E为切点.连接CDEF=BF.，使F上取一个点EC，在B于点O交⊙．（1）求证:BF是⊙O的切线;DE4=9，求BF的长． , 2（）若 cosC5E OD FBC。

求锐角三角函数常用方法锐角三角函数是三角函数中的一部分，它们是正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域在锐角范围内的部分。

在数学中，常用的锐角三角函数常见方法有：单位圆法、加法公式、倍角公式和倒数关系等。

1.单位圆法：单位圆法是研究锐角三角函数最基本的方法之一、单位圆法的基本思想是，把一个角落在标准位置的角看做单位圆上的一条弧，角的顶点作为圆心，角的边所在的直线成为弧的切线。

这样可以通过单位圆上的坐标来表示角的边上的函数值。

以正弦函数为例，假设角为A，边所在的线段与单位圆交于点P(x,y)。

可以得到如下关系：sin(A) = y2.加法公式：加法公式是指锐角三角函数在角度A和角度B的和角度(A+B)时，对应的函数值之间的关系。

常用的加法公式如下：sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)tan(A + B) = (tan(A) + tan(B))/(1 - tan(A)tan(B))3.倍角公式：倍角公式是指锐角三角函数在角度A的两倍角度2A时，对应的函数值之间的关系。

常用的倍角公式如下：sin(2A) = 2sin(A)cos(A)cos(2A) = cos^2(A) - sin^2(A)tan(2A) = 2tan(A)/(1 - tan^2(A))4.倒数关系：倒数关系是指锐角三角函数之间的倒数关系。

常用的倒数关系如下：cosec(A) = 1/sin(A)sec(A) = 1/cos(A)cot(A) = 1/tan(A)5.三角函数的特殊值：在锐角三角函数中，特殊的角度对应的函数值是常用的。

常见的特殊角度包括：- sin(0) = 0- cos(0) = 1- tan(0) = 0- sin(30°) = 1/2- cos(30°) = √3/2- tan(30°) = √3/3- sin(45°) = √2/2- cos(45°) = √2/2- tan(45°) = 1除了以上常见的方法外，还有其他一些方法也能在特定的问题中应用。

锐角三角函数的题型及解题技巧锐角三角函数是三角函数的基础，它应用广泛，解题技巧性强，下面归纳出锐角三角函数的常见题型，并结合例题介绍一些解题技巧。

一、 化简或求值例1 （1）已知tan 2cot 1αα-=，且α是锐角，的值。

（2）化简()()22sin cos cos sin a b a b αααα++-。

分析 （1）由已知可以求出tan α1tan cot αα=⋅；（2）先把平方展开，再利用22sin cos 1αα+=化简。

解 （1）由tan 2cot 1αα-=得2tan 2tan αα-=，解关于tan α的方程得tan 2α=或tan 1α=-。

又α是锐角，∴tan 2α=＝tan cot αα-。

由tan 2α=，得1cot 2α=＝tan cot αα-＝13222-=。

（2）()()22sin cos cos sin a b a b αααα++-＝2222sin 2sin cos cos a ab b αααα+⋅⋅+＋2222cos 2cos sin sin a ab b αααα-⋅⋅+＝()()222222sin cos sin cos a b αααα+++＝22a b +。

说明 在化简或求值问题中，经常用到“1”的代换，即22sin cos 1αα+=，tan cot 1αα⋅=等。

二、已知三角函数值，求角例2 在△ABC 中，若2cos sin 02A B ⎛--= ⎝⎭(),A B ∠∠均为锐角，求C ∠的度数。

分析 几个非负数的和为0，则这几个数均为0。

由此可得cos A 和sin B 的值，进而求出,A B ∠∠的值，然后就可求出C ∠的值。

解由题意得cos 0,2sin 0.A B ⎧-=⎪⎪-=解得cos 2sin 3A B ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又∵,A B ∠∠均为锐角，∴45A ∠=,60B ∠=。

∴18075C A B ∠=-∠-∠=.说明 解这类问题首先要熟记特殊角的三角函数值，还要掌握一些化简的技巧。

求锐角三角函数值的几种常用方法一、定义法当已知直角三角形的两条边，可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值． 例1 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( )(A )513 (B )1213 (C )512 (D )135 对应训练：1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB =5，则tan A 的值为( )A ．5 B ．25 C ．12D ．2 二、参数（方程思想）法锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题． 例2 在△ABC 中，∠C =90°，如果tan A =512，那么sin B 的值是 ． 对应训练：1．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=53，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 432．已知△ABC 中，ο90=∠C ，3cosB=2， AC=52 ，则AB= ．3．已知Rt △ABC 中，,12,43tan ,90==︒=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．4．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，⋅=∠43sin AOC求：AB 及OC 的长．D C B A Oyx第8题图AD ECBF三、等角代换法当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“两锐角相等，则三角函数值也相等” 来解决．例3 在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是AB 边上的中线，BC =5，CD =4，则cos ∠ACD 的值为 ． 对应训练1.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（ ）A ．23 B ．32 C ．34 D ．432. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =，AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( )Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．453. 如图6，在等腰直角三角形ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 为AC 上一点，若1tan 5DBA ∠= ，则AD 的长为( )A ．2B ．2C ．1D ．224． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ）A ．12 B ．32 C ．35D ．455.如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则sin α= ．6.（庆阳中考）如图，菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，3sin 5A =，则这个菱形的面积= cm 2．7. 如图6，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，∠A 的平分线AD =3316求 ∠B 的度数及边BC 、AB 的长.DABCCBA四、构造（直接三角形）法直角三角形是求解或运用三角函数的前提条件，故当题目中已知条件并非直角三角 形时，需通过添加辅助线构造直角三角形，然后求解，即化斜三角形为直角三角形． （1）化斜三角形为直角三角形例4 在△ABC 中，∠A =120°，AB =4，AC =2，则sinB 的值是( )(A )5714 (B )35 (C )217 (D )2114对应训练：1．已知：如图，△ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，△ABC 的面积等于9，求sin B ．2．（重庆）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB=2，求△ABC 的周长．（结果保留根号）（2）利用网格构造直角三角形例5 如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为（ ）A ．12 B ．55 C ．1010D ．255 1．如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______. 2．如图，A 、B 、C 三点在正方形网络线的交点处，若将ABC ∆绕着点A 逆时针旋转得到''B AC ∆，则'tan B 的值为（ ）A.41B.31C.21D.13．正方形网格中，AOB∠如图放置，则tan AOB∠的值是（）Ａ．5Ｂ．25Ｃ．12Ｄ．24. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC△的三个顶点在格点上，请按要求完成下列各题：（1）用签字笔．．．画AD∥BC（D为格点），连接CD；（2）线段CD的长为；（3）请你在ACD△的三个内角中任选一个锐角．．，若你所选的锐角是，则它所对应的正弦函数值是．（4）若E为BC中点，则tan∠CAE的值是 .三角函数与四边形：1．如图，四边形ABCD中，∠BAD=135°，∠BCD=90°，AB=BC=2，tan∠BDC=63．(1) 求BD的长；(2) 求AD的长．2．如图，在平行四边形ABCD中，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．（1）求证：∠BAE=∠DAF；（2）若AE=4，AF=245，3sin5BAE∠=，求CF的长．三角函数与圆：3.如图，DE是⊙O的直径，CE与⊙O相切，E为切点.连接CD交⊙O于点B，在EC上取一个点F，使EF=BF. （1）求证:BF是⊙O的切线;（2）若54Ccos=, DE=9，求BF的长．ABO。

三法教你求锐角三角函数值要求锐角的三角函数值，我们需要使用三角函数的定义和性质。

以下是三个法则，可以帮助我们求解锐角的三角函数值。

对于特殊的角度，我们可以通过直接代入角度值来求解三角函数值。

下面是一些常见的特殊角度及其对应的正弦、余弦和正切值：角度正弦值余弦值正切值0°01030°1/2√3/2√3/345°1/√21/√2160°√3/21/2√390°10无穷大法则二：半角公式通过半角公式，我们可以将求解锐角的三角函数值问题转化为求解特殊角的问题。

半角公式如下：sin(x/2) = ±√[(1 - cos(x)) / 2]cos(x/2) = ±√[(1 + cos(x)) / 2]tan(x/2) = sin(x) / (1 + cos(x))通过半角公式，我们可以将一个锐角x转化为一个特殊角度x/2，然后使用法则一中的特殊角度的三角函数值来求解。

法则三：倍角公式倍角公式可以将求解锐角的三角函数值问题转化为两倍角度或半角度的问题。

倍角公式如下：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)tan(2x) = 2tan(x) / (1 - tan^2(x))通过倍角公式，我们可以将一个锐角x转化为两倍角度2x或者半角度x/2的问题，然后使用法则一中的特殊角度的三角函数值来求解。

举例：现在我们来求解一个锐角的三角函数值，假设锐角为45°。

根据法则一，我们知道sin(45°) = 1/√2，cos(45°) = 1/√2，tan(45°) = 1根据法则二，将角度45° 转化为半角度22.5°。

根据半角公式，我们可以得到sin(22.5°) = ±√[(1 - cos(45°))/2] = ±√[(1 - 1/√2)/2] ≈ ±0.382，cos(22.5°) = ±√[(1 + cos(45°))/2] =±√[(1 + 1/√2)/2] ≈ ±0.924，tan(22.5°) = sin(45°) / (1 + cos(45°)) = (1/√2) / (1 + 1/√2) ≈ 0.414根据倍角公式，将角度45° 转化为两倍角度90° 或者半角度22.5°。

求锐角三角函数的方法归类锐角三角函数是沟通代数与几何知识的桥梁，一直是中考命题的热点之一，从题型上看，选择题、填空题、解答题、综合题、压轴题，型型皆有，然面课本上的例题又比较少，使我们在求锐角三角函数值时无从下手，现将求锐角三角函数值常用的方法做个归纳：一、直接用锐角三角函数的定义例.如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为点D.已知BC=14,AD=12，tan∠BAD=,求sinC的值,分析：已知条件中的tan∠BAD==,由AD=12，可得BD的值，问题中的sinC=,而AD=12是已知条件，所以我们只需求AD的值就可解了，这道题就是直接利用正弦值的定义求值。

解：∵在直角△ABD中，，∴BD=AD•tan∠BAD=12× =9. ∴CD=BC-BD=14-9=5.∴.∴．如果直接找不到边的值，该怎么办？在格点图形中，经常采用适当的方法求边例：如图,△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上,求sin∠ACB的值分析根据勾股定理，可得BC、AC的长，采用补全图形求出△ABC的面积，求出高AN，解直角三角形求出即可．解：由勾股定理可得：BC==5,AC==,∵∴∴AN=1二、巧用参数求锐角三角函数若已知两边的比值或一个三角函数值，而不能直接求出三角函数相应边的长，则可采用设参数的方法，先用参数表示出三角函数相应边的长，再根据三角函数公式计算它们的比值，即可得出三角函数值.例：已知a、b、c是的三边，且a、b、c满足,若5b-4c=0,求sinA+sinB的值。

分析：这是一道中档题，已知条件没有直接说明三角形的形状，所以先从入手，由勾股定理的逆定理判断出三角形为直角三角形，且斜边为c，再由5b-4c=0得出b,c之间的数量关系，此时用设参数的方法可以轻松得到三边之间的关系，问题就迎刃而解了。

三，用同角三角函数间的关系例.如图，在正方形网格中，求∠AOB的正切值.分析：连接AB，就可以根据勾股定理求出OA，OB，AB的长度，根据余弦定理就可以求出cos∠AOB，根据同角三角函数的关系，就可以求出，∠AOB的正切值．解：方法一：连接AB，根据勾股定理可以得到OA=OB=，AB=根据余弦定理可以得到：OA2+OB2-2OA•OB•cos∠AOB=AB2即：10+10-20cos∠AOB=8，解得cos∠AOB=．∴∠AOB的正切值．方法二：根据勾股定理可以得到OA=OB=，AB=过点A作AC⊥OB于C,=4=,可得AC=, sin∠AOB=,∴∠AOB的正切值．四、用等角来替代当直接用三角函数的定义求某锐角的三角函数值较为困难时，可通过相等角进行转换求值，这是一个非常重要的解题技巧。

求锐角三角函数值常用方法求锐角三角函数值，是“锐角三角函数”一节中重要内容，也是中考中常见的题型.现将求锐角三角函数值的常用方法总结如下，供同学们在学习时参考.一、直接用锐角三角函数的定义例1 在△ABC 中，∠C = 900，AC =6，BC =8.则sinA = （ ）. A 、54 B 、53C 、43 D 、34分析 由定义知锐角A 的正弦等于角A 的对边比斜边，只要求出斜边AB 即可. 解：由勾股定理知，AB =22BC AC + = 10, ∴sinA =54 故选A.二、用同角三角函数间的关系 例2 若∠A 为锐角，且sinA = 23，则cosA = ( ) A 、1 B 、23 C 、22D 、21分析 本题可由sin 2A + cos 2A = 1直接求得.cosA = A 2sin 1- = 2)23(1-= 21故选D.(注：本题也可用三角函数的定义求解) 例3 已知 tanA =32, 则cotA = 析解：由tanA ×cotA = 1.得 cotA =即cotA = 32.三、用等角来替换例4如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB = 900,CD ⊥AB 于D,BC=3,AC = 4,设∠BCD = a,求sina.析解 ：由题意可知，∠BCD = ∠A ，sin a =sinA = ABBC,只要求出AB 即可.在Rt △ABC 中，BC = 3,AC = 4,∴AB = 5.∴sinA =53 ∴sina = 53四、构造直角三角形例5 如图2，已知 △ABC 中，D 是AB 的中点，DC ⊥AC,且cotA = 23,求∠BCD 的四个三角函数值.分析 为了求出∠BCD 的三角函数值，必须构造一个以∠BCD 为锐角的直角三角形，可作DE ⊥CD,接下来的关键是求出Rt △CDE 的三边长或三边之比.在Rt △CDE 中，由cotA =23，可设AC = 3a, CD = 2a,而DE= 21AC = 23a .在Rt △CDE 中，利用勾股定理可求出CE,故∠BCD 的四个三角函数值可求出.解：过D 点作DE ⊥CD 交BC 于点E. ∵∠ACD = ∠CDE = 900 ∴AC ∥DE 又∵D 为AB 的中点，∴DE 为△ABC 的中位线. 在Rt △ACD 中，由cotA =23，可设AC = 3a ,CD = 2a , ∴ DE = 23a. 在Rt △CDE 中，由勾股定理CE =22DE CD +=22)23()2(a a +=25a , ∴sin ∠BCD =CE DE = 53,cos ∠BCD =CE CD =54tan ∠BCD =CD DE =43, cot ∠BCD =DE CD =34锐角三角函数走进中考一、利用概念进行判断在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，则sinA=c a ,cosA=c b ,tanA=ab 。

锐角三角函数及解答锐角三角函数的定义1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则．A．a＝c•sin AB．b＝c•cos BC．a＝b•tan AD．a＝b•tan B2．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC：AB＝3：5，则tan A的值为（）A．B．C．D．特殊角的三角函数值3．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则∠B的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°4．计算：4sin45°﹣2tan30°cos30°+．5．计算：2sin245°﹣6cos30°+3tan45°+4sin60°．解直角三角形6．如图，∠α的顶点位于正方形网格的格点上，若tanα＝，则满足条件的∠α是（）A．B．C．D．7．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，连接AB、AC，则sin∠BAC的值为（）A．B．C．D．8．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，如果BD＝9，DC＝5，cos B＝，E为AC的中点，那么sin∠EDC的值为（）A．B．C．D．9．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tan A＝，则CD的值为（）A．2B．C．D．10．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°＝＝＝＝2﹣．类比这种方法，计算tan22.5°的值为．11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，AE＝6，cos A＝．（1）求CD的长；（2）求tan∠DBC的值．12．如图，在△ABC中，AD是中线，∠ABC＝30°，∠ADC＝45°．（1）求的值；（2）求∠ACB的度数．参考答案与试题解析锐角三角函数的定义1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则A、C．A．a＝c•sin AB．b＝c•cos BC．a＝b•tan AD．a＝b•tan B【解答】解：A、sin A＝，则a＝c•sin A，本选项说法正确；B、cos B＝，则a＝c•cos B，本选项说法错误；C、tan A＝，则a＝b•tan A，本选项说法正确；D、tan B＝，则b＝a tan B，本选项说法错误；故答案为：A、C．2．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC：AB＝3：5，则tan A的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC：AB＝3：5，设AC＝3x，AB＝5x，∴BC＝＝＝4x，∴tan A＝＝＝．故选：B．特殊角的三角函数值3．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则∠B的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°【解答】解：∵tan30°＝，∴∠A＝30°，∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，故选：C．4．计算：4sin45°﹣2tan30°cos30°+．【解答】解：原式＝＝＝．5．计算：2sin245°﹣6cos30°+3tan45°+4sin60°．【解答】解：原式＝2×（）2﹣6×+3×1+4×＝2×﹣3+3+2＝1﹣3+3+2＝4﹣．解直角三角形6．如图，∠α的顶点位于正方形网格的格点上，若tanα＝，则满足条件的∠α是（）A．B．C．D．【解答】解：A．观察图形可得tanα＝，不符合题意；B．观察图形可得tanα＝，符合题意；C．观察图形可得tanα＝，不符合题意；D．观察图形可得tanα＝，不符合题意．故选：B．7．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，连接AB、AC，则sin∠BAC的值为（）A．B．C．D．【解答】解：连接BC，∵AC2＝42+22＝20，AB2＝32+42＝25，BC2＝12+22＝5，∴AC2+BC2＝AB2．∴∠ACB＝90°．∴sin∠BAC＝＝．故选：B．8．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，如果BD＝9，DC＝5，cos B＝，E为AC的中点，那么sin∠EDC的值为（）A．B．C．D．【解答】解：在Rt△ABD中，cos B＝＝，BD＝9，∴AB＝BD＝15，由勾股定理得AD＝＝＝12，在Rt△ADC中，由勾股定理得AC＝＝＝13，∵E为AC中点，∴ED＝EC＝AC＝，∴sin∠EDC＝sin C＝＝．故选：C．9．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tan A＝，则CD的值为（）A．2B．C．D．【解答】解：延长AD、BC，两线交于O，在Rt△ABO中，∠B＝90°，tan A＝＝，AB＝3，∴OB＝4，∵BC＝2，∴OC＝OB﹣BC＝4﹣2＝2，在Rt△ABO中，∠B＝90°，AB＝3，OB＝4，由勾股定理得：AO＝5，∵∠ADC＝90°，∴∠ODC＝90°＝∠B，∵∠O＝∠O，∴△ODC∽△OBA，∴＝，∴＝，解得：DC＝，故选：D．10．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°＝＝＝＝2﹣．类比这种方法，计算tan22.5°的值为．【解答】解：如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，延长CB至点D，使得AB＝BD，则∠BAD＝∠D．∵∠ABC＝45°，∴45°＝∠BAD+∠D＝2∠D，∴∠D＝22.5°，设AC＝1，则BC＝1，AB＝AC＝，∴CD＝CB+BD＝CB+AB＝1+，∴tan22.5°＝tan D＝＝＝＝﹣1．故答案为：﹣1．11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，AE＝6，cos A＝．（1）求CD的长；（2）求tan∠DBC的值．【解答】解：（1）在Rt△ADE中，∠AED＝90°，AE＝6，cos A＝，∴AD＝＝10，∴＝＝8．∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC，∴CD＝DE＝8；（2）由（1）AD＝10，DC＝8，∴AC＝AD+DC＝18，在△ADE与△ABC中，∵∠A＝∠A，∠AED＝∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴，即＝，∴BC＝24，∴．12．如图，在△ABC中，AD是中线，∠ABC＝30°，∠ADC＝45°．（1）求的值；（2）求∠ACB的度数．【解答】解：（1）过点A作BD的垂线交BD的延长线于点E，在Rt△ABE中，∵∠ABC＝30°，∴AB＝2AE，BE＝＝AE，在Rt△ADE中，∵∠ADC＝45°，∴DE＝AE，∴BD＝BE﹣DE＝AE﹣AE＝（﹣1）AE，∴＝＝+1；（2）如图，在AB上取一点E，使得DB＝DE，连接EC．∵DB＝DE，∴∠DBE＝∠DEB＝30°，∴∠EDC＝∠B+∠DEB＝60°，∵DB＝DC＝DE，∴△DEC是等边三角形，∴∠ECD＝∠CED＝60°，∴∠CEB＝∠CEA＝90°，∵∠ADC＝45°，∴∠EDA＝∠EDC﹣∠ADC＝15°，∵∠DEB＝∠EDA+∠AED，∴∠EDA＝∠EAD＝15°，∴ED＝EA＝EC，∵∠CEA＝90°，∴∠ECA＝45°，∴∠ACB＝∠ACE+∠ECB＝45°+60°＝105°．第11页（共11页）。