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第七章 量子散射理论

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理论声学第07章散射

理论声学第07章散射
波在散射体表面和周围
介质之间的传播行为。
02
边界条件包括反射和透
射两种情况，其中反射
系数和透射系数分别表
示声波在散射体表面反
射和透射的能力。
03
边界条件是确定散射波
场分布的重要因素，也
是求解散射问题的重要
条件。
散射的格林函数
01
02
03
格林函数是描述散射问题的另一重要数学工具，它表示的是在给定源点处单位
和方向。
02
散射的基本理论
弹性散射
01
02
03
弹性散射是指散射过程中，入射波的频率不发生改变，只发生
波前的方向变化。
在弹性散射中，散射体的性质决定了散射的强度和方向，而与
入射波的频率无关。
弹性散射的微观机制主要包括分子振动、晶格振动等。
非弹性散射
非弹性散射是指散射过程中，入射波的频率发生
变化，同时波前的方向也会发生改变。
有限元法
定义
有限元法是一种将连续的求解域离散化为有限个小的互连
子域（即有限元），对每个子域进行求解，最后将所有子
域的结果汇总得到原问题的近似解。
应用
有限元法广泛应用于结构力学、流体力学等领域，在声学
散射问题中，可以用于模拟声波在复杂形状物体上的散射。
优点
适应性强，可以处理复杂的几何形状和边界条件。
03
散射的数学模型
散射的波动方程
描述散射问题的波动方程是线
性偏微分方程，其形式为：
▽²p + ω²p = 0，其中p表示
声压，ω表示角频率。
该方程描述了声波在介质中
的传播行为，包括散射体的
散射效应。
求解该方程可以得到散射波的

《等离子体电子学》

《等离子体电子学》
粒子与波（续）
量子力学表示法-局部孤立的粒子群和波包
自由空间平面波的频率与波数之间的关系
(z方向传播的波包)
（泰勒展开）
气相和表面的基本过程（1）
粒子与波（续）
量子力学表示法-局部孤立的粒子群和波包
（波包函数）
气相和表面的基本过程（1）
粒子与波（续）
量子力学表示法-局部孤立的粒子群和波包
碰撞与截面（续）
碰撞中的守恒定律
实验室坐标系
质心坐标系
εR>0: 第一类碰撞，总动能转化为非弹性过程的内能
εR<0: 第二类碰撞，非弹性过程释放能量转化为动能
εR=0：弹性碰撞
εR: 能量损失
气相和表面的基本过程（1）
碰撞与截面（续）
碰撞截面定义
硬球模型：
轴对称系：勒让
德多项式
变换
有效势
相互作用势
离心力
气相和表面的基本过程（1）
散射的量子理论（续）
微分散射截面

薛定谔方程求解
散射造成相移
无散射时，u(r)即为入射波
气相和表面的基本过程（1）
散射的量子理论（续）
微分散射截面

薛定谔方程求解
通解
气相和表面的基本过程（1）
散射的量子理论（续）
范围
与电磁辐射的关系：束缚电子在
原子系统的不同能级中跃迁时产
生电磁辐射或光子辐射
每种原子系统都有其独特的原子
能级（决定于束缚电子与原子核
之间的电磁作用）
气相和表面的基本过程（2）
电子-原子碰撞
原子能级（续）
原子能级的计算需要求解薛定谔方

第七讲-散射-一、散射截面PPT课件

第七讲-散射-一、散射截面PPT课件
（8）
此方程类似一维波动方程，我们知道： 对于一维势垒或势阱的散射情况
kx A ike xBiekx
k xceikx
式中 e ikx 为入射波或透射波， e ikx 为散射波，波只沿一方向散射。 对于三维情形，波可沿各方向散射，三维散射时，在r处的粒子的波函数
应为入射波和散射波之和。
（13）
由此可知，若知道了f (,)，即可求得q(,) ，f (,) 称为散射振幅，所以，
对于给定能量的入射粒子，速率 v给定，于是入射粒子流密度N= v 给定，只要
知道了散射振幅 f (,) ，也就能求出微分散射截面，f (,) 的具体形式通过求
schrödinger方程（5）的解并要求在 r时具有渐近形式（9）而得出。
的正交性
0 P l(c)o P l(sc)o sisd n2 l2 1ll
可以得到
Aei(l1 2l) l
(2l1)ilei1 2l
即 A l (2 l 1 )ileil (2 l 1 )ei(1 2l l) -
（3-13）
11
将此结果代入（3-11）式
(2 l 1 )e i2 lP l(c)o 2 isk ()f (2 l 1 )P l(c)os
第七讲 散射
一、散射截面
散射过程：方向准直的均匀单能粒子由远处沿z轴方向射向靶粒子，由于受到 靶粒子的作用，朝各方向散射开去，此过程称为散射过程。散射 后的粒子可用探测器测量。 靶粒子的处在位置称为散射中心。 ds
θ
Z
散射角：入射粒子受靶粒子势场的作用，其运动方向偏离入射方向的角度。
弹性散射：若在散射过程中，入射粒子和靶粒子的内部状态都不发生变化，则称
即可得到第l个分波的相移，由于每个分波都将产生相移l，所以，必须寻找各个

散射理论[1]

散射理论[1]

Q q( )2 sin d 2bdb b 2
0 0

b
在量子力学中，确定在远离散射区粒子的波函数，即 只有通过解定态薛定谔方程才能得到散射截面。 方法不同，计算的结果也有差异。
3、散射截面的求解（重点） 2 2 取散射中心为坐标原点， 2 U (r ) E 是入射粒子质量，E是它的能量，令
2 dn L3 U (r )e
3
i ( k k ) r
dr
2
L3 k d 3 2 8
2
k vL U ( r )e 2 4 v
i ( k k ) r
dr d
该式与 dn vL3q( , )d 比较得：
0 0
2
q(θ, φ)决定于散射过程的物理机制，它与入射粒子 和散射中心的性质及其相互作用、相对能量相关联。研究 散射截面的意义正在于此。
2、经典与量子散射的差异 在经典散射中，用轨道进行计算： 立体角dΩ=sin θd θd φ 内的粒子必为入射环面 b|db | d φ 所通过的入射粒子 q(θ） sin θ=b|db | /d θ
k


2 1



4 k2
(2 1)sin

2
Q
其中
4 Q 2 (2 1) sin 2 k
是第 分波的散射截面。
2、分波法的适用范围 用分波法求散射截面归结为计算相移。 分波法是解决散射问题的普遍方法，但由于要求许多 相移 ,使得实际应用受到很大限制。 从准经典轨道角动量L=pr考虑
j (kr)是球面贝塞尔函数： (kr) j

2kr J

第七讲散射理论

第七讲散射理论

第七讲散射理论一、散射现象的一般描述1、什么是散射？简单地说，散射就是指粒子与粒子之间或粒子与力场之间的碰撞（相互作用）过程，是一种具有重要实际意义的现象，所以散射现象也称碰撞现象，其可以示意为：粒子流散射中心如：原子物理中的α粒子散射实验。

2、散射的分类：弹性散射：一粒子与另一粒子碰撞的过程中，只有动能的交换，粒子内部状态并无改变。

非弹性散射：两粒子碰撞中粒子的内部状态有所改变（例如原子被激发或电离）。

在这里我们只讨论弹性散射，即假设碰撞过程中粒子的内部状态未变，并假设散射中心质量很大、碰撞对其运动没有影响。

3、散射的经典力学描述从经典力学来看，在散射过程中，每个入射粒子都以一个确定的碰撞参数（瞄准距离）b 和方位角0ϕ射向靶子，由于靶子的作用，入射粒子的轨道将发生偏转，沿某方向(,)θϕ出射。

例如在α粒子的散射实验中，有22cot 422M b Ze θυπε= （偏转角θ与瞄准距离之间的关系） 那些瞄准距离在b b db -和之间的α粒子，散射后，必定向着d θθθ+和之间的角度射出，如下图所示：凡通过图中所示环形面积d σ的α粒子，必定散射到角度在d θθθ+和之间的一个空心圆锥体之中。

环形面积d σ称为有效散射截面，又称微分截面。

且2222401()()4sin 2Ze d d M σθπευΩ= 然而，在散射实验中，人们并不对每个粒子的轨道感兴趣，而是研究入射粒子束经过散射后沿不同方向出射的分布。

设一束粒子流以稳定的入射流强度沿Z 轴方向射向靶粒子A ，由于靶粒子的作用，设在单位时间内有dn 个粒子沿(,)θϕ方向的立体角d Ω中射出，显然，,(,)dn Nd dn q Nd θϕ∝Ω=Ω令，即1(,)()dn q N d θϕ=Ω显然，(,)q θϕ具有面积的量纲，称为微分散射截面。

微分散射截面),(ϕθq 表示单位时间内散射到单位立体角Ωd （面积/距离平方）的粒子数占总粒子数比率，即Ω=Nd q dn ),(ϕθ。

量子力学 散射理论

量子力学 散射理论

相比，知
对高能入射粒子，相应条件为：
（比较容易满足）
二、高阶波恩近似
定义算符T为： 有
据 可见 其中：
(=- 1
4
2m
2
(2
)3
k ' |V | ()
)
二阶波恩近似
作业：
一、6.2(a)
二、求一阶波恩近似下，方势阱(V(r)=V0θ(a-r))产生的 微分散射截面。
对坐标基（也可以采用其他表象）：
该积分方程对|Φ>=|p>，有：
计算
= =
（记
(E 2k 2 / 2m)
于是形式解为： 对局域势： 得：
考虑观察点远离势中心
可以得到： 其中出射球面波振幅为：
微分散射截面（单位立体角内的跃迁速率除以流量）
平面波~尺度远大于 势作用范围的波包
§7.2 波恩近似
一、将 得一阶波恩近似： 记 则对球心势有
代入散射振幅公式
二、应用举例
对Yakawa势
即一阶波恩近似下 对库仑势（µ0,V0/µZZ’e2）
与经典卢瑟夫散射截面公式相同：
一阶球心势散射特点
1）
f（（1） ）
-
2m 2q
0
rV
(r
)
sin
qrdr
仅依赖于q，且为实数
2）dd f ( ) 2 F(q2) 2 F(k2(1 cos )) 2 与V的符号无关
第七章 散射理论
散射是探测物质结构如质量、电荷和势场分布的主 要实验途径。因此，散射理论具有众多重要的应用。
散射问题常可用含时微扰的方法，也可以用定态微扰 的方法处理。
§7.1 Lippmann-Schwinger 方程

非弹性碰撞过程及电子阻止本领

非弹性碰撞过程及电子阻止本领自本世纪三十年代量子力学诞生以来，入射粒子在固体中的电子阻止本领一直是一个较活跃的研究领域。

特别是近30年以来，随着实验测试手段的不断提高，人们可以较精确地测量电子阻止本领的值，这又进一步地促进了人们对电子阻止本领的理论研究。

一般地，研究电子阻止本领的主要理论方法有：量子力学扰动理论、线性介电响应理论、量子散射理论、半唯象理论及经验理论（公式）。

本章将分别对上述理论给以简单介绍。

4.1 高速离子的电子阻止本领 − 量子力学扰动理论描述 （一）非弹性散射截面考虑由一个入射粒子和一个靶原子组成的系统。

在0=t 时刻，入射粒子同靶原子之间不发生相互作用，系统处于未扰动状态。

这时系统的哈密顿量为a p H H H ˆˆˆ0+=，其中p H ˆ和a H ˆ分别为入射粒子的哈密顿量和孤立靶原子的哈密顿量。

与0ˆH 相对应的系统的本征函数为nu ，本征值为n E 。

当在0>t 时，入射粒子与靶原子开始相互作用，设系统的波函数为)(t ψ，满足如下薛定谔方程)()ˆˆ()(0t V H tt i ψ+=∂ψ∂η（4.1-1） 其中V ˆ是它们之间的相互作用势。

将)(t ψ按0ˆH 的本征函数nu 展开： ]/)(exp[)()(00ηt t iE u t a t n n n n --=ψ∑∞= （4.1-2）其中)(t a n 为展开系数。

将（4.1-2）式代入方程（4.1-1），并利用波函数n u 的正交性，可以得到关于展开系数)(t a n 的方程)](ex p[)()(00t t i t a V dt t da i mn m m mn n --=∑∞=ωη (4.1-3) 其中η/)(n m mn E E -=ω为系统从本征态n u 跃迁到本征态m u 的频率，⎰=m n nm u V u d V ˆ*τ (4.1-4)则为跃迁矩阵元，其中τd 表示空间体积元。

再根据波函数)(t ψ的归一性，很容易得到展开系数)(t a n 所满足的归一化条件1)(20=∑∞=t a n n (4.1-5）对于高速入射粒子，相互作用势V ˆ相对0ˆH 是个小量，这样可以采用微扰理论来求解方程(4.1-3)。

拉曼散射理论

激光拉曼光谱实验拉曼散射是印度科学家Raman在1928年发现的，拉曼光谱因之得名。

光和媒质分子相互作用时引起每个分子作受迫振动从而产生散射光，散射光的频率一般和入射光的频率相同，这种散射叫做瑞利散射，由英国科学家瑞利于1899年进行了研究。

但当拉曼在他的实验室里用一个大透镜将太阳光聚焦到一瓶苯的溶液中，经过滤光的阳光呈蓝色，但是当光束进入溶液之后，除了入射的蓝光之外，拉曼还观察到了很微弱的绿光。

拉曼认为这是光与分子相互作用而产生的一种新频率的光谱带。

因这一重大发现，拉曼于1930年获诺贝尔奖。

激光拉曼光谱是激光光谱学中的一个重要分支，应用十分广泛。

如在化学方面应用于有机和无机分析化学、生物化学、石油化工、高分子化学、催化和环境科学、分子鉴定、分子结构等研究；在物理学方面应用于发展新型激光器、产生超短脉冲、分子瞬态寿命研究等，此外在相干时间、固体能谱方面也有广泛的应用。

实验目的：1、掌握拉曼光谱仪的原理和使用方法；2、测四氯化碳的拉曼光谱，计算拉曼频移。

实验重点：拉曼现象的产生原理及拉曼频移的计算实验难点：光路的调节实验原理：[仪器结构及原理]1、仪器的结构LRS-II激光拉曼/荧光光谱仪的总体结构如图12-4-1所示。

2、单色仪单色仪的光学结构如图12-4-2所示。

S1为入射狭缝，M1为准直镜，G为平面衍射光栅，衍射光束经成像物镜M2汇聚，经平面镜M3反射直接照射到出射狭缝S2上，在S2外侧有一光电倍增管PMT，当光谱仪的光栅转动时，光谱信号通过光电倍增管转换成相应的电脉冲，并由光子计数器放大、计数，进入计算机处理，在显示器的荧光屏上得到光谱的分布曲线。

3、激光器本实验采用50mW半导体激光器，该激光器输出的激光为偏振光。

其操作步骤参照半导体激光器说明书。

4、外光路系统外光路系统主要由激发光源（半导体激光器）、五维可调样品支架S、偏振组件P1和P2以及聚光透镜C1和C2等组成（见图12-4-3）。

第七讲散射理论

第七讲散射理论一、散射现象的一般描述1、什么是散射？简单地说，散射就是指粒子与粒子之间或粒子与力场之间的碰撞（相互作用）过程，是一种具有重要实际意义的现象，所以散射现象也称碰撞现象，其可以示意为：粒子流散射中心如：原子物理中的α粒子散射实验。

2、散射的分类：弹性散射：一粒子与另一粒子碰撞的过程中，只有动能的交换，粒子内部状态并无改变。

非弹性散射：两粒子碰撞中粒子的内部状态有所改变（例如原子被激发或电离）。

在这里我们只讨论弹性散射，即假设碰撞过程中粒子的内部状态未变，并假设散射中心质量很大、碰撞对其运动没有影响。

3、散射的经典力学描述从经典力学来看，在散射过程中，每个入射粒子都以一个确定的碰撞参数（瞄准距离）b 和方位角0ϕ射向靶子，由于靶子的作用，入射粒子的轨道将发生偏转，沿某方向(,)θϕ出射。

例如在α粒子的散射实验中，有22cot 422M b Ze θυπε= （偏转角θ与瞄准距离之间的关系） 那些瞄准距离在b b db -和之间的α粒子，散射后，必定向着d θθθ+和之间的角度射出，如下图所示：凡通过图中所示环形面积d σ的α粒子，必定散射到角度在d θθθ+和之间的一个空心圆锥体之中。

环形面积d σ称为有效散射截面，又称微分截面。

且2222401()()4sin 2Ze d d M σθπευΩ= 然而，在散射实验中，人们并不对每个粒子的轨道感兴趣，而是研究入射粒子束经过散射后沿不同方向出射的分布。

设一束粒子流以稳定的入射流强度沿Z 轴方向射向靶粒子A ，由于靶粒子的作用，设在单位时间内有dn 个粒子沿(,)θϕ方向的立体角d Ω中射出，显然，,(,)dn Nd dn q Nd θϕ∝Ω=Ω令，即1(,)()dn q N d θϕ=Ω显然，(,)q θϕ具有面积的量纲，称为微分散射截面。

微分散射截面),(ϕθq 表示单位时间内散射到单位立体角Ωd （面积/距离平方）的粒子数占总粒子数比率，即Ω=Nd q dn ),(ϕθ。

第七章散射理论

第七章 散射理论.前面几章主要讨论了薛定谔方程中的束缚态问题，特别是微扰理论；必须要求微扰H '在无微扰表象中的矩阵元mn H '的绝对值远小于无微扰表象中相应的能级间隔00m n E E -，以保证微扰级数收敛，而对于能量连续的散射态，能级间隔趋于零，因此一般来说，不能用第五章中的方法处理。

但是，另一方面，微观粒子之间的散射或称碰撞过程的研究，对于理解许多物理现象十分重要。

例如，许多复合粒子的内部结构、电荷分布等，就是通过散射实验给出的。

核子、介子的夸克结构，由于目前在实验上还未找到自由夸克，也只能通过散射实验间接地予以论证，今年来的高能重离子碰撞之所以能引起巨大的关注，也是因为人们相信，有可能由此得出夸克、胶子等离子态。

至于高能宇宙线、气体放电、原子、分子物理的研究，散射过程更占着重要地位。

建立一套散射理论无论从实验上看，还是从使理论更加完整的角度上看，都是完全必要的。

散射过程最主要的特点是散射粒子的波函数，一般来说，在无穷远处并不为零。

而且，入射粒子的能量通常是给定的。

散射粒子在无穷元处的波函数并不为零，能谱连续。

散射过程中最感兴趣的物理结果是粒子被散射后，散射到各个不同方向，各个不同立体角的概率。

在8.1中将看到，这些物理结果可以用微分散射截面以及总散射截面描述。

本章将分别就弹散射和非弹性散射两种不同情况，按入射粒子是高能粒子还是低能粒子，分别建立各种不同的散射理论。

我们还将逐步介绍适用于各种不同情况的处理散射过程的近似方法，包括分波法、格林函数法和玻恩近似、克劳勃近似、S 矩阵、T 矩阵和形式散射微扰理论、光学势、扭曲波近似等等。

7.1散射问题的一般描述 在经典力学中，弹性散射是按照粒子在散射过程中，同时满足动量守恒和能量守恒来定义的。

在量子力学中，一般说来，除非完全略不粒子之间的相互作用能，否则，动量将不守恒。

这是因为动量算符ˆP与势能算符U(r)不对易，动量不是守恒。

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114
dn =
u A f (θ ,ϕ ) 2 r
2
d S = u A f (θ ,ϕ ) 2 d Ω
这也就是单位时间内散射到立体角 d Ω 中的粒子数。上式中 u 为粒子速度。 又由于入射粒子流密度 J
J = A 2u
可得散射微分截面为
σ (θ ,ϕ ) =
dn = f (θ ,ϕ ) 2 J dΩ
散射 4π (2l + 1)i l j l (k r )Yl 0 (θ ) → fl (θ )
e ik r r
（入射波的 l 分波） → （散射波的 l 分波） 2、处理过程 （1）解径向方程
a Rl (kr ) ~ 4π (2l + 1)i l jl (kr ) + l hl (kr ) 2
势散射理论:Born近似,分波法,Green方法 非相对论散射理论 散射理论 形式散射理论:定态求解框架与时间演化框架 相对论散射理论
非相对论散射理论的主要特征：参与碰撞的物质粒子（不包括光子），无论是种类还是 数量都是守恒的，仅是它们的束缚态的重新组合。 散射(碰撞)相互作用可以分为两大类： 可以用一个局域的空间变数的函数——势函数描述的情况，这时的散射称为势散射； 不可以用一个局域的空间变数的函数的情况。 这些属于形式散射理论和量子场散射理论。 §7.2 势散射理论
第七章 量子弹性散射理论
§7.1 散射理论概述 量子力学的基本问题分为两类：束缚态与散射态 研究散射的意义： 碰撞的具体情况与粒子本身的结构及它们之间的相互作用性质密切相 关，通过对散射结果的分析，可以探知粒子的结构，推动基础理论的发展。人们之所以能从 原子到夸克这样一个层次一个层次地深入认识物质的结构，在很大程度上，是依赖于对散射 的研究。 散射(碰撞)过程可以区分为以下三大种类： 弹性散射过程 非弹性散射过程 碰撞反应过程
按照量子力学，粒子的位置几率分布由波函数决定，因而求粒子被散射后的位置几率， 就归结为通过薛定谔方程求散射后的波函数。 （1）系统的定态方程 设两个粒子将的相互作用势能为 V (r1 − r2 ) ，则求解系统的薛定谔方程可归结为求解定态 方程：
113
2 2 2 2 − ∇ − ∇2 Ψ + V (r1 − r2 )Ψ = Etotal Ψ 1 2m2 2m1
r →∞ ψ (r ,θ ) →∑ l
Al kr
sin(kr − lπ 2 + δ l ) Pl (cos θ )
渐近行为
ikz eikr ψ (r ,θ ) → A e + f (θ , ϕ ) r →∞ r
3、散射波研究
（1）入射或透射平面波按球面波展开 { Pl (cos θ )}
112
势散射理论主要讨论没有内部结构的弹性散射。 一、散射的量子力学基本描述 1、散射截面 设入射方向为 z 方向，入射粒子和靶粒子的相互作用由相互作用势能描述，并近似地认 为相互作用是有限的。 在入射粒子没有进入相互作用范围时，可以用平面波描述；进入相互作用范围后，因受 势场作用而被散射到各个可能的方向。 入射粒子被散射后的运动方向与入射方向之间的夹角 θ 称为散射角。 粒子探测器在远离散射中心的地方， 探测到的是被散射后， 又离开了相互作用范围的粒 子。探测器的窗口对散射中心张成一个立体角，凡通过这个立体角的粒子都能观测到，被散 射到某一个立体角中的粒子数是基本的实验观测量。在理论上计算粒子被散射（ θ , ϕ ）方向 上单位立体角中的几率，是研究散射问题的中心课题。 设入射粒子在单位时间通过单位面积的粒子数为 J ， J 称为入射粒子流密度。设单位时 间里被散射到（ θ , ϕ ）方向的立体角 d Ω 中的粒子数为 dn 。 显然， dn 正比于 J ， dn 也正比于 d Ω 。我们定义： dN 与 J d Ω 的比值
l =0
∞
1 e ik r sin ( k r −lπ / 2 ) Pl (cos θ ) + f (θ ) kr r
（3） 、结论 最后得出散射振幅、微分截面及总截面用各分波的相移 δ l 来表示的普遍表达式：
1 ∞ f ( ) θ = ∑ (2l + 1)(e iδ l − 1) Pl (cosθ ) 2ik l =0 2 4π ∞ iδ l σ (θ ) = 2 ∑ 2l + 1e sin δ l Yl 0 (θ ) k l =0 4π ∞ σ t = 2 ∑ (2l + 1) sin 2 δ l k l =0
r →∞ eikz → ∑ (2l + 1)ii l ⋅ l =0
∞
1 1 sin k r − lπ Pl (cos θ ) 2 kr
（2）两个散射波表达式联立比较确定 f (θ )
116
∑ kr
l
Al
sin(kr − lπ 2 + δ l ) Pl (cos θ ) = ∑ (2l + 1)ii l ⋅
所以，整个问题的关键是取散射振幅 f (θ , ϕ ) 。求解散射问题有很多方法：如分波法、格林函 数法、波恩近似法等，但每种方法都有其适用范围。 另外，在轴对称时，散射振幅与 ϕ 无关。 f (θ , ϕ ) → f (θ ) 。 轴对称 二、分波法 分波法是在中心力场作用下粒子散射截面一个普遍计算方法。 1、物理思想 （1）入射波为平面波，其按守恒量的本征态展开为
r →∞ ψ i = eikz → ∑ 4π (2l + 1)i l ⋅ l =0 ∞
1 ei ( kr −lπ 2ikr
2)
− e− i ( kr −lπ 2) Yl 0 (θ )
（2）散射波 通过对中心力场中守恒量的分析，由分离变量法可得散射波的表达式为
ψ = ∑ R l (k r )Yl m (θ ,ϕ )
4、光学定理 由 Pl (1) = 1 ，有
Im f (0) =
与式
1 ∞ (2l + 1) sin 2 δ l ∑ k l =0
σt =
比较，得
4π k2
∑ (2l + 1) sin
l =0
∞
2
δl
σt =
4π Im f (0) k
上式就是著名的光学定理。它给出向前散射振幅 f (0) 与总截面的关系。 5、分波法适用范围 理论上是严格的，但不可能求无限项，故实际上是近似方法。低能散射结果更好。 三、Lippman-Schwinger 方程 1、物理思想 散射问题归结为求解 Schrodinger 方程
ei k r r
令 B (θ ,ϕ ) = A f (θ ,ϕ ) ，上式可写成
ψ → A eikz + f (θ , ϕ ) r →∞


eikr r
这就是散射问题中求解定态方程的边界条件。 f (θ , ϕ ) 称为球面散射波的振幅。在这一条件 下解薛定谔方程，就可以求得在具体势能场 U (r ) 中的散射的 f (θ , ϕ ) 。 3、 f (θ , ϕ ) 的意义 在 ψ → A ( eikz + f (θ )eikr / r ) 中，第二项的绝对值平方决定了散射粒子在空间的分 r →∞ 布，在 r 很大时，在 (θ , ϕ ) 方向观测到的粒子数密度为 A f (θ ,ϕ ) 2 / r 2 ，由此进一步可知，单 位时间内，在 (θ , ϕ ) 方向附近，穿过面元 d S = r 2 d Ω 的粒子数为
这是一个二体运动方程，它可化为两个运动方程，一个描述质心的运动，另一个描述粒子之 间的相对运动。若选用质心坐标系，则只需讨论粒子之间的相对运动方程：
−
2
2µ
∇ 2 Ψ + V (r )Ψ = E Ψ
上式中 µ 是折合质量， r 是散射粒子相对靶粒子的位置矢径， E 是相对运动的能量。在实验 上 E 是通过加速入射粒子而确定的，计算中作为已知条件应用。 （2） 、 r → ∞ 时波函数的渐进形式 在远离散射中心观察，粒子作自由运动。于是，当 r → ∞ 时，波函数应由两部分组成， 一部分是描述沿 z 方向运动的入射粒子的平面波 Ψ1 = A exp(ikz ) ；另一部分是描述粒子被散射 后从散射中心向外发散的球面出射波，即 Ψ 2 = B(θ ,ϕ ) exp(ik r ) / r 其中 k 为波矢。 对于弹性散射，粒子散射后能量不变，而且散射前后都假定了粒子在自由状态，因而散 射前后，波矢 k 的大小不变。 球面波的振幅 B 与 θ , ϕ 有关，是因为粒子被散射到不同方向的几率不一样。于是 当 r → ∞ 时，波函数的一般渐进形式为 Ψ → A ei k z + B (θ ,ϕ ) r →∞
2
容易证明
Ψ (r ) =
∫d
3
r ′G (r , r ′)V (r ′)Ψ (r ′)
是 Schrodinger 方程的一个解。但ψ (r ) 并不是唯一的解，下面的
Ψ (r ) = Ψ (0 ) (r ) +
可见：微分散射截面由球面散射波的振幅 f (θ , ϕ ) 决定。通常称函数 f (θ , ϕ ) 为散射振幅。 4、小结：散射问题
是求 → 粒子被散射到 (θ , ϕ ) 方向单位立体角中的几率
→ 而这个几率用散射微分截面 σ (θ , ϕ ) 来表征 → σ (θ ,ϕ ) = f (θ ,ϕ ) 2 。
（入射波） （散射外行波） 或
→∞ Rl (kr ) r → 4π (2l + 1)i l (1 + al )e i ( kr −lπ
[
2)
− e − i ( kr −lπ
2
] 2ikr
幅度 a l 待定。当 a l = 0 时，无散射；对于弹性散射，各分波的幅度不变（即只有相位改变， 反映了粒子数守恒） 。令：