量子力学2008

第一章 量子力学的历史渊源§1.1 Planck 的能量子假说 经典物理学的成就到19世纪末，已经建立了完整的经典物理学理论：(1)、以牛顿三大定律和万有引力定律为基础的经典力学(从天空到地上的各种尺度力学物体的机械运动)，(2)、以麦克斯韦方程组和洛仑兹力公式表述的电磁场理论(光的波动理论、电磁现象的规律)；(3)、热学以热力学三大定律为基础的宏观理论和统计物理所描述的微观理论（大量微观粒子的热现象等）。

这些理论能令人满意地解释当时所常见的物理现象，让当时绝大多数的物理学家相信物理学基本理论已经完成，剩下的工作在需要在细节上作一些补充和修正。

经典物理学所遇到的问题(1)、黑体辐射现象，(2)、光电效应；(3)、原子的光谱线系；(4)、原子的稳定性；(5)、固体的低温比热。

一、黑体辐射的微粒性 1、黑体辐射的几个物理量黑体：所有落到（或照射到）某物体上的辐射完全被吸收，则称该物体为黑体。

辐射本领：单位时间内从辐射体表面的单位面积上发射出的辐射能量的频率分布，用(,)E T ν表示。

所以在t ∆时间，从面积S ∆上发射出频率在ννν-+∆范围内的能量表示为： (,)E T t S νν∆∆∆因此，(,)E T ν的量纲为：22=1×⨯能量焦耳米秒米秒。

可以证明：（(,)v T ρ的单位为3⋅焦耳秒米）。

吸收率：照到物体上的辐射能量分布被吸收的份额， 用(,)A T ν表示。

G. Kirchhoff （基尔霍夫）证明：对任何一个物体，辐射本领(,)E v T 与吸收率(,)A T ν之比是一个普适的函数，即（f 与组成物体的物质无关）。

对于黑体的吸收率(,)1A v T =， 故其辐射本领(,)(,)E T f T νν=（等于普适函数与物质无关）。

所以只要黑体辐射本领研究清楚了，就把普适函数（对物质而言）弄清楚了。

辐射本领也可以用(,)E T λ描述, 由于单位时间内从辐射体表面的单位面积上发射出的辐射能量可写为：(,)(,)E v T dv E T d λλ∞∞=⎰⎰由于c νλ=知2cd d νλλ=-代入上式得：02(,)(,)cE v T d E T d λλλλ∞∞-=⎰⎰322(,)(,) (,)(,) ( )E v T E T E T E v T ccλνλλ⋅⇒==焦耳米秒或2、黑体的辐射本领黑体辐射的空间能量密度按波长（或频率）的分布只与温度有关。

浙江大学1998年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目 量子力学第一题：（10分）（1） 写出玻尔-索末菲量子化条件的形式。

（2） 求出均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。

（利用玻尔-索末菲量子化条件求，设外磁场强度为B）第二题：（20分）（1） 若一质量为μ的粒子在一维势场0,0(),,0x aV x x a x ≤≤⎧=⎨∞><⎩中运动，求粒子的可能能级。

（2） 若某一时刻加上了形如sinxe aω，（1e ）的势场，求其基态能级至二级修正（ω为一已知常数）。

（3） 若势能()V x 变成221,0()2,0x x V x x μω⎧>⎪=⎨⎪∞<⎩，求粒子（质量为μ）的可能的能级。

第三题：（20分）氢原子处于基态，其波函数形如raceψ-=，a 为玻尔半径，c 为归一化系数。

（1） 利用归一化条件，求出c 的形式。

（2） 设几率密度为()P r ，试求出()P r 的形式，并求出最可几半径r 。

（3） 求出势能及动能在基态时的平均值。

（4） 用何种定理可把ˆV<>及ˆT <>联系起来？第四题：（15分）一转子，其哈密顿量222ˆˆˆˆ222y x z x y zL L L H I I I =++，转子的轨道角动量量子数是1， （1） 试在角动量表象中求出角动量分量ˆx L ，ˆy L ，ˆzL 的形式； （2） 求出ˆH的本征值。

第五题：（20分）若基态氢原子处于平行板电场中，电场是按下列形式变化00,0,0t t E e t τε-≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ ，τ为大于零的常数，求经过长时间后，氢原子处于2P 态的几率。

（设ˆH'为微扰哈密顿，()805100,210ˆ3ta e He τε-'=⋅；（当0t >）()100,211ˆ0H±'=）。

第六题：（15分）（1） 用玻恩近似法，求粒子处于势场0()r aV x V e-=-，（0a >）中散射的微分散射截面。

郑州轻工业学院2008—2009学年度第二学期《量子力学》课程期末试卷A卷一、简答题（每小题8分，共32分）1.态叠加原理2．波函数的统计解释及波函数的标准条件3. 全同性原理和泡利不相容原理4. 量子力学五个基本假设是什么？二、计算题（共68分）1. 假设一平面转子角速度为ω，转动惯量为I ，试用波尔-索莫非条件求其能量可能值 （8分）2. 证明对易关系（8分）3. 设氢原子处于归一化状态 211021111(,,)()(,)()(,)22r R r Y R r Y ψθϕθϕθϕ-=-ˆˆˆ[,]x L y i z=求其能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。

（15分）4. 二元矩阵A ，B 满足20,1,A AA A A B A A +++=+==， （1）证明2B B =（2）在B 表象中求出A 的矩阵 （共15分）5.在某一选定的一组正交基下哈米顿算符由下列矩阵给出（1）设c << 1，应用微扰论求H 本征值到二级近似； （2）求H 的精确本征值；（3）在怎样条件下，上面二结果一致。

（共22分）郑州轻工业学院2008—2009学年度 第二学期《量子力学》课程期末试卷B 卷一、简答题（每小题8分，共32分）1. 德布罗意关系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2000301c c cH2．波函数的统计解释及波函数的标准条件3. 全同性原理和泡利不相容原理4. 试描述史特恩-盖拉赫实验二、计算题（共68分）1.证明：如果算符ˆA和ˆB均是厄米算符，则（ˆˆ）也是厄米算符A B（8分）2. 试求算符ˆixd Fie dx=-的本征函数 （8分）3. 设粒子在宽度为a 的一维无限深势阱中运动，已知粒子的波函数为求粒子能量取值的几率分布与其平均值。

（14分）24()cosx x x aaππψ=4. 有一粒子，其 Hamilton 量的矩阵形式为：H = H 0 + H ’，其中求能级的一级近似和波函数的0级近似。

郑州轻工业学院2008—2009学年度第二学期《量子力学》课程期末试卷A 卷标准答案一、 简答题（共32分）1. 德布罗意关系德布罗意关系：粒子的能量和动量与波的频率和波长之间的关系，正象光子和光波的关系一样。

,h E h p n k νωλ====2．波函数的统计解释及波函数的标准条件波函数的统计解释：波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。

波函数的标准条件：单值性，有限性，连续性 3. 全同性原理和泡利不相容原理全同性原理：在全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。

泡利不相容原理：不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态。

4. 试描述史特恩-盖拉赫实验（1）实验过程：一束处于S 态的氢原子束通过一个狭缝和不均匀磁场，最后打到感光板上。

（2）实验现象：在感光板上观察到两条分立的线。

（3）实验结果分析：氢原子有磁矩，且只有两个取向，但S 态氢原子的轨道磁矩等于零，表明S 态氢原子的磁矩不是由轨道运动引起的，而是由其自旋运动引起，这证明氢原子中电子具有自旋。

二、 计算题 （共68分）1.证明：如果算符ˆA和ˆB 均是厄米算符，则（ˆˆA B +）也是厄米算符 （8分） 证明：***121212ˆˆˆˆ()A B d A d B d ψψτψψτψψτ+=+⎰⎰⎰ 根据厄米算符的定义有**1212ˆˆ()A d A d ψψτψψτ=⎰⎰，**1212ˆˆ()B d B d ψψτψψτ=⎰⎰因此：根据厄米算符的定义可知ˆˆAB +也是厄米算符。

2. 试求算符ˆix d Fie dx=-的本征函数 （8分） 解：ˆF 的本征方程为ˆF F φφ=，即： ixdie F dxφφ-=， （3分） 整理得ix ix d iFe dx Fde φφ==-，两边同时积分可得ln ix Fe C φ=-+，则可求的 （4分）ixFe Ceφ-= （1分）3. 设粒子在宽度为a 的一维无限深势阱中运动，已知粒子的波函数为求粒子能量取值的几率分布与其平均值。

量子力学（物理学理论）—搜狗百科理论的产生及其发展量子力学是描述物质微观世界结构、运动与变化规律的物理科学。

它是20世纪人类文明发展的一个重大飞跃，量子力学的发现引发了一系列划时代的科学发现与技术发明，对人类社会的进步做出重要贡献。

量子力学 19世纪末正当人们为经典物理取得重大成就的时候，一系列经典理论无法解释的现象一个接一个地发现了。

德国物理学家维恩通过热辐射能谱的测量发现的热辐射定理。

德国物理学家普朗克为了解释热辐射能谱提出了一个大胆的假设：在热辐射的产生与吸收过程中能量是以hf为最小单位，一份一份交换的。

这个能量量子化的假设不仅强调了热辐射能量的不连续性，而且跟'辐射能量与频率无关，由振幅确定'的基本概念直接相矛盾，无法纳入任何一个经典范畴。

当时只有少数科学家认真研究这个问题。

爱因斯坦于1905年提出了光量子说。

1916年，美国物理学家密立根发表了光电效应实验结果，验证了爱因斯坦的光量子说。

1913年丹麦物理学家玻尔为解决卢瑟福原子行星模型的不稳定性（按经典理论，原子中电子绕原子核作圆周运动要辐射能量，导致轨道半径缩小直到跌落进原子核），提出定态假设：原子中的电子并不像行星一样可在任意经典力学的轨道上运转，稳定轨道的作用量fpdq必须为h的整数倍（角动量量子化），即fpdq=nh，n称之为量子数。

玻尔又提出原子发光过程不是经典辐射，是电子在不同的稳定轨道态之间的不连续的跃迁过程，光的频率由轨道态之间的能量差确定，即频率法则。

这样，玻尔原子理论以它简单明晰的图像解释了氢原子分立光谱线，并以电子轨道态直观地解释了化学元素周期表，导致了72号元素铪的发现，在随后的短短十多年内引发了一系列的重大科学进展。

这在物理学史上是空前的。

由于量子论的深刻内涵，以玻尔为代表的哥本哈根学派对此进行了深入的研究，他们对对应原理、矩阵力学、不相容原理、测不准关系、互补原理。

量子力学的几率解释等都做出了贡献。

武汉大学近十年量子力学部分考研真题的分类解析摘要:量子力学是大学物理学本科学生的必修课，同时它也是国内许多知名高校的物理学研究生入学考试的必考科目。

本文将武汉大学2002年—2011年的非相对论量子力学考研真题分八大类解析，给出了标准解法。

并在此基础上提炼出解题模型，提高了运用量子力学的理论解决问题的能力。

关键词:量子力学；考研真题；模型目录前言： (1)1 真题的分类解析 (1)1.1 一维散射问题 (1)1.1.1 阶梯势垒的散射 (1)1.1.2 δ势的散射 (3)1.2一维束缚定态问题 (3)1.2.1无限深势阱求解 (4)1.2.2 δ势求解 (4)1.2.3 初值问题求解 (5)1.2.4 傅立叶变换的应用 (7)1.3 三维束缚态问题 (8)1.3.1 无限深球方势阱基态求法 (8)1.3.2 盒子势求解 (9)1.4 两个角动量算符有关题目求解 (10)1.4.1 轨道角动量算符 (10)1.4.2 自旋角动量算符 (12)1.5 不确定关系的应用 (13)1.6 表象理论相关习题求解 (15)1.7 近似理论的应用 (16)1.7.1 非简并定态微扰 (17)1.7.2 简并定态微扰 (18)1.7.3 变分法 (19)1.8 多体问题——全同性原理的应用 (20)2 重要解题模型 (21)2.1 一维无限深势模型 (21)δ势模型 (21)2.2 ()x2.3 盒子势模型 (21)2.4 中心力场模型 (22)2.5 平面转子模型 (22)2.6 空间转子模型 (22)3 总结 (22)致谢： (22)参考文献： (23)前言：量子力学自诞生以来便显示出强大的生命力，它是描写微观物质的一个物理学理论，与相对论一起被认为是现代物理学的两大基本支柱，许多物理学理论和科学如原子物理学、固体物理学、核物理学和粒子物理学以及其它相关的学科都是以量子力学为基础。

基于这点，国内各大高校的研究生入学考试都将其设为必考科目。

2.2.3 2008年真题【题目】1. 轨道角动量的三个分量x L ，y L 和z L 是否有共同本征态？若果有，写出一个来；如果没有，请说明为什么【解题】没有，^^^,x y z L L i L ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦不对易，故无共同本征态【分析】 本题考察两个算符具有共同本征态的条件——两个算符对易。

属于基础概念的考核。

对易这一概念是量子力学考试中肯定会出现的概念，通常穿插在答题中间，对常用的对易关系一定要做到熟练运用，记忆的程度。

【题目】2. 已知哈密顿量221()2H V r μ=-∇+的本征值为n E ，相应的本征函数为()n r ϕ，求222()2H V r C μ=-∇++的本征值和本征函数（C 为常数）。

【解题】^1^^^211()()()()()()()()()()()n n n n n n n n n n n n H r E r H r H C r H r C r E r C r E C r ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ==+=+=+=+ 由上式知，^2H 的本征函数为()n r ϕ，本征值为nE C +【分析】首先写出哈密顿量的本征方程，通过两个不同哈密顿量的关系可以得出相关结果【题目】3. 计算对易关系2[,]?;[,]?z x y z p L L iL L =+= 【解题】 （1）22^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^,,,,()()()0z z z z y x y x y x x y y x x y p L L p L p p p L p i p i i p j p p i p i i p j i p p p p p p p p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=----=--+-=（2）^^^^^^^^^,,,x y z x z y z y x L i L L L L i L L i L i L ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦【分析】本题需要掌握常见量子算符的对易关系，比如坐标与动量、动量与动量、角动量与动量，并且有关对易几条性质得知道，比如⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∧∧∧∧∧∧∧∧∧C A B C B A C ,,B A ，，能将复杂的算符用一些简单并且我们所熟知的算符表示出来，并化简得出结果【题目】4. 利用不确定关系估算线性谐振子的基态能量。

牛顿力学与量子力学比较褚晓璇2008213570华中师范大学物理学院2008级基地班1.引入的背景牛顿力学定律基于广泛的生活实践、大量的科学实验，是对客观现实的反映。

牛顿运动定律是解决大量实际问题的基础，如：在宏观、低速、弱引力的广阔问题领域，包括天体力学的研究中取得了巨大成就。

量子力学的引入：量子力学是将物质的波动性与粒子性统一起来的动力学理论，他是在旧的量子论的基础上发展起来的，旧的量子论包括普朗克的量子假说、爱因斯坦的光量子理论和波尔的原子理论。

在19世纪末,经典物理学理论已经发展到相当完备的阶段.几个主要部门----力学,热力学和分子运动论,电磁学以及光学,都已经建立了完整的理论体系,在应用上也取得了巨大成果.其主要标志是:物体的机械运动在其速度远小于光速的情况下,严格遵守牛顿力学的规律;电磁现象总结为麦克斯韦方程组;光现象有光的波动理论,最后也归结为麦克斯韦方程组;热现象有热力学和统计物理的理论.在当时看来,物理学的发展似乎已达到了颠峰.于是,多数物理学家认为物理学的重要定律均已找到,伟大的发现不会再有了,理论已相当完善了.以后的工作无非是在提高实验精度和理论细节上作些补充和修正,使常数测得更精确而已。

然而汤姆森指出：“动力理论肯定了热和光是运动的两种方式，现在，它的美丽而晴朗的天空却被两朵乌云笼罩了，”“第一朵乌云出现在光的波动理论上，”“第二朵乌云出现在关于能量均分的麦克斯韦-玻尔兹曼理论上。

”他所说的第一朵乌云，主要是指迈克尔逊-莫雷实验结果和以太漂移说相矛盾；他所说的第二朵乌云，主要是指热学中的能量均分定则在气体比热以及势辐射能谱的理论解释中得出与实验不等的结果，其中尤以黑体辐射理论出现的“紫外灾难”最为突出。

二十世纪初期初，物理学出现了很多重大发现比如固体比热,黑体辐射,光电效应,原子结构这些新现象都涉及物质内部的微观过程,用已经建立起来的经典理论进行解释显得无能为力.随着新的实验事实不断发现,经典物理学在解释一些现象时出现了困难,其中表现最为明显和突出的是以下三个问题:1.黑体辐射问题;2.光电效应问题;3.原子稳定性和原子光谱.量子概念就是在对这三个问题进行理论解释时作为一种假设而提出的.到了十九世纪末，人们已认识到热辐射与光辐射都是电磁波。