必修五等比数列——高一数学讲义

高一数学复习考点知识讲解课件等比数列的性质考点知识1.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算.2.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形．导语在我们学习等比数列的过程中，发现它与等差数列有相似之处，这其实就是我们在这两类数列之间无形之中产生了类比思想，类比的前提大多为结论提供线索，它往往能把人的认知从一个领域引申到另一个共性的领域，由此推出另一个对象也具有同样的其他特定属性的结论，有人曾说“类比使人聪颖，数学使人严谨，数学使人智慧”，今天我们就用类比的思想来研究等比数列具有哪些性质．一、由等比数列构造新等比数列问题1结合我们所学，你能类比等差数列、等比数列的通项公式的结构特点及运算关系吗？提示等差数列等比数列定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫作等比数列符号表示 a n －a n －1＝d (n ≥2，n ∈N *)a na n －1＝q (n ≥2，n ∈N *) 通项公式 a n ＝a 1＋(n －1)da n ＝a 1q n －1类比差⇒商；和⇒积，积⇒乘方性质等差数列首项a 1，公差d等比数列首项a 1，公比q把等差数列前k 项去掉，得到一个以a k ＋1为首项，以d 为公差的等差数列把等比数列前k 项去掉，得到一个以a k ＋1为首项，以q 公比的等比数列等差数列中，a k ，a k ＋m ，a k ＋2m …是以公差为md 的等差数列等比数列中，a k ，a k ＋m ，a k ＋2m …是以公比为q m 的等比数列等差数列中任意一项加上同一个常数，构成一个公差不变的等差数列等比数列中任意一项同乘一个非零常数，构成一个公比不变的等比数列两个等差数列相加，还是一个等差数列两个等比数列相乘，还是一个等比数列知识梳理1．在等比数列{a n }中，每隔k 项(k ∈N *)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列．2．若{a n }是等比数列，公比为q ，则数列{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }都是等比数列，且公比分别是q ，1q ，q 2.3．若{a n }，{b n }是项数相同的等比数列，公比分别是p 和q ，那么{a n b n }与⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 也都是等比数列，公比分别为pq 和pq .注意点：在构造新的等比数列时，要注意新数列中有的项是否为0，比如公比q ＝－1时，连续相邻偶数项的和都是0，故不能构成等比数列．例1如果数列{}a n 是等比数列，那么下列数列中不一定是等比数列的是()A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a nB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫3a n C.{}a n ·a n ＋1 D.{}a n ＋a n ＋1 答案D解析取等比数列a n ＝()－1n ，则a n ＋a n ＋1＝0，所以{a n ＋a n ＋1}不是等比数列，故D 错误；对于其他选项，均满足等比数列通项公式的性质．反思感悟由等比数列构造新的等比数列，一定要检验新的数列中的项是否为0，主要是针对q <0的情况．跟踪训练1设{a n }是各项为正数的无穷数列，A i 是边长为a i ，a i ＋1的矩形面积(i ＝1,2，…)，则{A n }为等比数列的充要条件为() A ．{a n }是等比数列B ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…或a 2，a 4，…，a 2n ，…是等比数列C ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列D ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同答案D解析因为A i 是边长为a i ，a i ＋1的矩形面积(i ＝1,2，…)，所以A i ＝a i a i ＋1(i ＝1,2,3，…，n ，…)， 则数列{A n }的通项为A n ＝a n a n ＋1.根据等比数列的定义，数列{A n }(n ＝1,2,3，…)为等比数列的充要条件是A n ＋1A n ＝a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n ＝q (常数)．二、等比数列中任意两项之间的关系问题2结合上面的类比，你能把等差数列里面的a n ＝a m ＋(n －m )d 类比出等比数列中相似的性质吗？提示类比可得a n ＝a m q n －m ；由等比数列的定义可知a n ＝a 1q n －1，a m ＝a 1q m －1，两式相除可得a n a m ＝a 1q n －1a 1qm －1＝q (n －1)－(m －1)＝q n －m ，即a n ＝a m q n －m . 知识梳理等比数列通项公式的推广和变形a n ＝a m q n －m . 例2在等比数列{a n }中：(1)已知a 3＋a 6＝36，a 4＋a 7＝18，a n ＝12，求n ； (2)已知a 5＝8，a 7＝2，a n >0，求a n . 解设等比数列{a n }的公比为q .(1)由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝q (a 3＋a 6)＝18，a 3＋a 6＝36，得q ＝12.再由a 3＋a 6＝a 3·(1＋q 3)＝36得a 3＝32，则a n ＝a 3·qn －3＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －8＝12，所以n －8＝1，所以n ＝9. (2)由a 7＝a 5·q 2得q 2＝14.因为a n >0，所以q ＝12， 所以a n ＝a 5·qn －5＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －8.反思感悟等比数列的通项公式及变形的应用(1)在已知等比数列的首项和公比的前提下，利用通项公式a n ＝a 1q n －1(a 1q ≠0)可求出等比数列中的任意一项．(2)在已知等比数列中任意两项的前提下，利用a n ＝a m q n －m (q ≠0)也可求出等比数列中的任意一项．跟踪训练2(1)在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，那么这个数列的公比为()A ．2B.12C ．2或12D ．－2或12(2)已知等比数列{a n }中，a 3＝2，a 4a 6＝16，则a 9－a 10a 5－a 6等于()A ．16B ．8C ．4D ．2 答案(1)C(2)C解析(1)设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，∵a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，∴a 1(1＋q 3)＝18，a 1(q ＋q 2)＝12，q ≠－1，化为2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或12.故选C.(2)等比数列{a n }中，设其公比为q (q ≠0)，a 3＝2，a 4a 6＝a 3q ·a 3q 3＝a 23q 4＝4q 4＝16，∴q4＝4.∴a 9－a 10a 5－a 6＝a 1q 8－a 1q 9a 1q 4－a 1q 5＝q 4＝4，故选C.三、等比数列中多项之间的关系问题3结合上面的类比，你能把等差数列里面的a m ＋a n ＝a k ＋a l ，类比出等比数列中相似的性质吗？提示类比可得a m a n ＝a k a l ，其中m ＋n ＝k ＋l ，m ，n ，k ，l ∈N *. 推导过程：a m ＝a 1q m －1，a n ＝a 1q n －1，a k ＝a 1q k －1，a l ＝a 1q l －1，所以a m a n ＝a 1q m －1·a 1q n －1＝a 21q m ＋n －2，a k a l ＝a 1q k －1·a 1q l －1＝a 21qk ＋l －2， 因为m ＋n ＝k ＋l ，所以有a m a n ＝a k a l . 知识梳理设数列{a n }为等比数列，则：(1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n . (2)若m ，p ，n 成等差数列，则a m ，a p ，a n 成等比数列．注意点：(1)性质的推广：若m ＋n ＋p ＝x ＋y ＋z ，有a m a n a p ＝a x a y a z ；(2)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同；(3)在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积都相等，即a 1·a n ＝a 2·a n －1＝…. 例3已知{a n }为等比数列． (1)若{a n }满足a 2a 4＝12，求a 1a 23a 5；(2)若a n >0，a 5a 7＋2a 6a 8＋a 6a 10＝49，求a 6＋a 8；(3)若a n >0，a 5a 6＝9，求log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10的值． 解(1)在等比数列{a n }中， ∵a 2a 4＝12，∴a 23＝a 1a 5＝a 2a 4＝12， ∴a 1a 23a 5＝14.(2)由等比中项，化简条件得a 26＋2a 6a 8＋a 28＝49，即(a 6＋a 8)2＝49， ∵a n >0， ∴a 6＋a 8＝7.(3)由等比数列的性质知a 5a 6＝a 1a 10＝a 2a 9＝a 3a 8＝a 4a 7＝9， ∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2·…·a 10) ＝log 3[(a 1a 10)(a 2a 9)(a 3a 8)(a 4a 7)(a 5a 6)] ＝log 395＝10.反思感悟利用等比数列的性质解题(1)基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题．(2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量．跟踪训练3(1)公比为32的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a16等于() A．4B．5C．6D．7答案B解析因为a3a11＝16，所以a27＝16.又因为a n>0，所以a7＝4，所以a16＝a7q9＝32，即log2a16＝5.(2)已知在各项均为正数的等比数列{a n}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝________. 答案5 2解析方法一因为{a n}是等比数列，所以a1a7＝a24，a2a8＝a25，a3a9＝a26.所以a24·a25·a26＝(a1a7)·(a2a8)·(a3a9)＝(a 1a 2a 3)·(a 7a 8a 9)＝5×10＝50. 因为a n >0，所以a 4a 5a 6＝5 2.方法二因为a 1a 2a 3＝(a 1a 3)a 2＝a 22·a 2＝a 32＝5，所以a 2＝135.因为a 7a 8a 9＝(a 7a 9)a 8＝a 38＝10，所以a 8＝1310.同理a 4a 5a 6＝a 35＝1133312332222528()()(510)5052a a a ==⋅==.1．知识清单：(1)由等比数列构造新的等比数列． (2)等比数列中任意两项之间的关系． (3)等比数列中多项之间的关系． 2．方法归纳：公式法、类比思想．3．常见误区：构造新的等比数列易忽视有等于0的项．1．在等比数列{a n }中，若a 2＝4，a 5＝－32，则公比q 应为()A ．±12B ．±2C.12D ．－2 答案D解析因为a 5a 2＝q 3＝－8，故q ＝－2.2．已知{a n }，{b n }都是等比数列，那么() A ．{a n ＋b n }，{a n b n }都一定是等比数列B ．{a n ＋b n }一定是等比数列，但{a n b n }不一定是等比数列C ．{a n ＋b n }不一定是等比数列，但{a n b n }一定是等比数列D ．{a n ＋b n }，{a n b n }都不一定是等比数列 答案C解析当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，比如取两个数列是互为相反数的数列，两者的和就不是等比数列．两个等比数列的积一定是等比数列． 3．已知在等比数列{}a n 中，有a 3a 7a 10＝9，则a 4a 28等于() A ．3B ．9C ．20D ．无法计算 答案B解析由等比数列多项之间的下标和的关系可知3＋7＋10＝4＋8＋8，故a 4a 28＝9.4．若正项等比数列{a n }满足a 1a 5＝4，当1a 2＋4a 4取最小值时，数列{}a n 的公比是________．答案2解析设正项等比数列{}a n 的公比为q ()q >0， 因为a 1a 5＝4，所以由等比数列的性质可得a 2a 4＝4，因此1a 2＋4a 4≥21a 2·4a 4＝2，当且仅当1a 2＝4a 4，即a 4a 2＝q 2＝4，即q ＝2(负值舍去)时，等号成立． 所以数列{}a n 的公比是2.课时对点练1．已知数列{a n }满足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n ，则a 7a 3等于() A ．4B ．2C ．5D.52答案A解析因为a n a n ＋1＝2n ，所以a n －1a n ＝2n －1(n ≥2)，所以a n ＋1a n －1＝2(n ≥2)， 数列{a n }的奇数项组成等比数列，偶数项组成等比数列，故a 7a 3＝22＝4. 2．在等比数列{a n }中，a 2，a 18是方程x 2＋6x ＋4＝0的两根，则a 4a 16＋a 10等于()A ．6B ．2C ．2或6D ．－2答案B解析由题意知a 2＋a 18＝－6，a 2·a 18＝4，所以a 2<0，a 18<0，故a 10<0，所以a 10＝－a 2·a 18＝－2，因此a 4·a 16＋a 10＝a 210＋a 10＝2，故选B.3．在等比数列{a n }中，若a 1<0，a 2＝18，a 4＝8，则公比q 等于()A.32B.23C ．－23D.23或－23答案C解析因为a 4＝a 2·q 2，所以q 2＝a 4a 2＝818＝49. 又因为a 1<0，a 2>0，所以q <0.所以q ＝－23. 4．在等比数列{a n }中，若a 2a 3a 6a 9a 10＝32，则a 29a 12的值为() A ．4B ．2C ．－2D ．－4答案B解析由a 2a 3a 6a 9a 10＝(a 2a 10)·(a 3a 9)·a 6＝a 56＝32＝25，得a 6＝2，则a 29a 12＝a 6a 12a 12＝a 6＝2. 5．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，则第5节的容积为()A ．2B.6766C ．3D. 3答案D解析方法一依题意可设，竹子自上而下各节的容积成等比数列{a n }，设其公比为q (q ≠0)，由上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，可知⎩⎪⎨⎪⎧a 1·a 1q ·a 1q 2＝3，a 1q 6·a 1q 7·a 1q 8＝9，解得a 1q ＝33，q 3＝63，所以第5节的容积为a 1q 4＝a 1q ·q 3＝33·63＝ 3.故选D. 方法二依题意可设，竹子自上而下各节的容积成等比数列{a n }，由上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，可知a 1a 2a 3＝3，a 7a 8a 9＝9，由等比数列的性质可知a 1a 2a 3a 7a 8a 9＝(a 1a 9)·(a 2a 8)·(a 3a 7)＝a 65＝27.所以a 5＝ 3.故选D.6．(多选)设{a n }是等比数列，有下列四个命题，其中正确的是()A ．{a 2n }是等比数列B ．{a n a n ＋1}是等比数列C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等比数列 D ．{lg|a n |}是等比数列答案ABC解析由{a n }是等比数列可得a na n －1＝q (q 为定值，n >1)．A 中，a 2n a 2n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n a n －12＝q 2为常数，故A 正确；B 中，a n a n ＋1a n －1a n ＝a n ＋1a n －1＝q 2，故B 正确； C 中，1a n 1a n －1＝a n －1a n＝1q 为常数，故C 正确； D 中，lg|a n |lg|a n －1|不一定为常数，故D 错误．7．在正项等比数列{a n }中，若3a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 2021－a 2020a 2023－a 2022＝________. 答案19解析设正项等比数列{a n }的公比q ＞0，∵3a 1，12a 3,2a 2成等差数列，∴2×12a 3＝3a 1＋2a 2，即a 1q 2＝3a 1＋2a 1q ，∴q 2－2q －3＝0，q ＞0，解得q ＝3.则原式＝a 2021－a 2020q 2(a 2021－a 2020)＝1q 2＝19. 8．已知数列{a n }为等比数列，且a 3＋a 5＝π，则a 4(a 2＋2a 4＋a 6)＝________. 答案π2解析因为数列{a n }为等比数列，且a 3＋a 5＝π，所以a 4(a 2＋2a 4＋a 6)＝a 4a 2＋2a 24＋a 4a 6＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝π2.9．已知数列{a n }是等比数列，a 3＋a 7＝20，a 1a 9＝64，求a 11的值． 解∵{a n }为等比数列，∴a 1·a 9＝a 3·a 7＝64.又∵a 3＋a 7＝20，∴a 3＝4，a 7＝16或a 3＝16，a 7＝4.①当a 3＝4，a 7＝16时，a 7a 3＝q 4＝4， 此时a 11＝a 3q 8＝4×42＝64.②当a 3＝16，a 7＝4时，a 7a 3＝q 4＝14， 此时a 11＝a 3q 8＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝1. 10．已知数列{a n }为等比数列．(1)若a n >0，且a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝36，求a 3＋a 5的值；(2)若数列{a n }的前三项和为168，a 2－a 5＝42，求a 5，a 7的等比中项． 解(1)∵a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝36，∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝36，即(a 3＋a 5)2＝36，又∵a n >0，∴a 3＋a 5＝6.(2)设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 2－a 5＝42，∴q ≠1.由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝168，a 1q －a 1q 4＝42， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q ＋q 2)＝168，a 1q (1－q 3)＝42， 解得⎩⎨⎧ a 1＝96，q ＝12.若G 是a 5，a 7的等比中项，则有G 2＝a 5·a 7＝a 1q 4·a 1q 6＝a 21q 10＝962×⎝ ⎛⎭⎪⎫1210＝9， ∴a 5，a 7的等比中项为±3.11．设各项均为正数的等比数列{a n }满足a 4a 8＝3a 7，则log 3(a 1a 2·…·a 9)等于()A ．38B ．39C ．9D ．7答案C 解析因为a 4a 8＝a 5a 7＝3a 7且a 7≠0，所以a 5＝3，所以log 3(a 1a 2·…·a 9)＝log 3a 95＝log 339＝9.12．已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2等于()A ．2B ．1C.12D.18答案C解析方法一∵a 3，a 5的等比中项为±a 4，∴a 3a 5＝a 24，a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 24＝4(a 4－1)，∴a 24－4a 4＋4＝0，∴a 4＝2.又∵q 3＝a 4a 1＝214＝8， ∴q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝14×2＝12.方法二∵a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 1q 2·a 1q 4＝4(a 1q 3－1)，将a 1＝14代入上式并整理，得q 6－16q 3＋64＝0，解得q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝12.13．等比数列{a n }是递减数列，前n 项的积为T n ，若T 13＝4T 9，则a 8a 15等于()A．±2B．±4C．2D．4答案C解析∵T13＝4T9，∴a1a2...a9a10a11a12a13＝4a1a2 (9)∴a10a11a12a13＝4.又∵a10·a13＝a11·a12＝a8·a15，∴(a8·a15)2＝4，∴a8a15＝±2.又∵{a n}为递减数列，∴q>0，∴a8a15＝2.14．在等比数列{a n}中，若a7＝－2，则此数列的前13项之积等于________．答案－213解析由于{a n}是等比数列，∴a1a13＝a2a12＝a3a11＝a4a10＝a5a9＝a6a8＝a27，∴a1a2a3…a13＝(a27)6·a7＝a137，而a7＝－2.∴a1a2a3…a13＝(－2)13＝－213.15．在等比数列{a n }中，若a 7a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 20a 10＝________. 答案23或32解析∵{a n }是等比数列，∴a 7·a 11＝a 4·a 14＝6，又a 4＋a 14＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝2，a 14＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝3，a 14＝2.∵a 14a 4＝q 10，∴q 10＝32或q 10＝23. 而a 20a 10＝q 10，∴a 20a 10＝23或32. 16．已知{a n }是等差数列，满足a 1＝2，a 4＝14，数列{b n }满足b 1＝1，b 4＝6，且{a n －b n }是等比数列．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若任意n ∈N *，都有b n ≤b k 成立，求正整数k 的值．解(1)设{a n }的公差为d ，则d ＝a 4－a 13＝4，所以a n ＝2＋(n －1)×4＝4n －2，故{a n }的通项公式为a n ＝4n －2(n ∈N *)．设c n ＝a n －b n ，则{c n }为等比数列．c1＝a1－b1＝2－1＝1，c4＝a4－b4＝14－6＝8，＝8，故q＝2.设{c n}的公比为q，则q3＝c4c1则c n＝2n－1，即a n－b n＝2n－1.所以b n＝4n－2－2n－1(n∈N*)．故{b n}的通项公式为b n＝4n－2－2n－1(n∈N*)．(2)由题意得，b k应为数列{b n}的最大项．由b n＋1－b n＝4(n＋1)－2－2n－4n＋2＋2n－1＝4－2n－1(n∈N*)．当n<3时，b n＋1－b n>0，b n<b n＋1，即b1<b2<b3；当n＝3时，b n＋1－b n＝0，即b3＝b4；当n>3时，b n＋1－b n<0，b n>b n＋1，即b4>b5>b6>…所以k＝3或k＝4.。