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量子力学习题集及解答目录第一章量子理论基础 (1)第二章波函数和薛定谔方程 (5)第三章力学量的算符表示 (28)第四章表象理论 (48)第五章近似方法 (60)第六章碰撞理论 (94)第七章自旋和角动量 (102)第八章多体问题 (116)第九章相对论波动方程 (128)第一章 量子理论基础1．设一电子为电势差V 所加速，最后打在靶上，若电子的动能转化为一个光子，求当这光子相应的光波波长分别为5000A （可见光），1A （x 射线）以及0.001A （γ射线）时，加速电子所需的电势差是多少？[解] 电子在电势差V 加速下，得到的能量是eV m =221υ这个能量全部转化为一个光子的能量，即λνυhc h eV m ===221 )(1024.1106.11031063.6419834A e hc V λλλ⨯=⋅⨯⨯⨯⨯==∴--（伏） 当A50001=λ时， 48.21=V （伏）A 12=λ时 421024.1⨯=V （伏）A 001.03=λ时 731024.1⨯=V （伏）2．利用普朗克的能量分布函数证明辐射的总能量和绝对温度的四次方成正比，并求比例系数。
[解] 普朗克公式为18/33-⋅=kT hv v e dvc hvd πνρ单位体积辐射的总能量为⎰⎰∞∞-==00/3313T hv v e dv v c h dv U κπρ令kThvy =，则 440333418T T e dy y c h k U y σπ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰∞ （★） 其中 ⎰∞-=0333418y e dyy c h k πσ （★★）（★）式表明，辐射的总能量U 和绝对温度T 的四次方成正比。
这个公式就是斯忒蕃——玻耳兹曼公式。
其中σ是比例常数，可求出如下：因为)1()1(1121 +++=-=-------yy y y y ye e e e e e∑∞=-=1n ny edy e y e dy y n ny y ⎰∑⎰∞∞=-∞⎪⎭⎫ ⎝⎛=-013031 令 ny x =，上式成为dx e x n e dy y xn y⎰∑⎰∞-∞=∞=-03140311 用分部积分法求后一积分，有⎰⎰⎰∞-∞∞--∞∞--+-=+-=0220332333dx xe e x dx e x e x dx e x x xx xx66660=-=+-=∞∞--∞-⎰xx x e dx e xe又因无穷级数 ∑∞==144901n n π故⎰∞=⨯=-0443159061ππy e dy y 因此，比例常数⎰∞-⨯==-=015334533341056.715818ch k e dy y c h k y ππσ尔格/厘米3·度43．求与下列各粒子相关的德布罗意波长：（1）能量为100电子伏的自由电子； （2）能量为0.1电子伏的自由中子； （3）能量为0.1电子伏，质量为1克的质点； （4）温度T =1k 时，具有动能kT E 23=（k 为玻耳兹曼常数）的氦原子。
量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1）以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
北师大 结构化学 课后习题 第一章 量子理论基础习题答案1 什么是物质波和它的统计解释？参考答案:象电子等实物粒子具有波动性被称作物质波。
物质波的波动性是和微粒行为的统计性联系在一起的。
对大量粒子而言，衍射强度（即波的强度）大的地方，粒子出现的数目就多，而衍射强度小的地方，粒子出现的数目就少。
对一个粒子而言，通过晶体到达底片的位置不能准确预测。
若将相同速度的粒子，在相同的条件下重复多次相同的实验，一定会在衍射强度大的地方出现的机会多，在衍射强度小的地方出现的机会少。
因此按照波恩物质波的统计解释，对于单个粒子，ψψ=ψ*2代表粒子的几率密度，在时刻t ，空间q 点附近体积元τd 内粒子的几率应为τd 2ψ；在整个空间找到一个粒子的几率应为 12=ψ⎰τd 。
表示波函数具有归一性。
2 如何理解合格波函数的基本条件？ 参考答案合格波函数的基本条件是单值，连续和平方可积。
由于波函数2ψ代表概率密度的物理意义，所以就要求描述微观粒子运动状态的波函数首先必须是单值的，因为只有当波函数ψ在空间每一点只有一个值时，才能保证概率密度的单值性；至于连续的要求是由于粒子运动状态要符合Schrödinger 方程，该方程是二阶方程，就要求波函数具有连续性的特点；平方可积的是因为在整个空间中发现粒子的概率一定是100%，所以积分⎰τψψd *必为一个有限数。
3 如何理解态叠加原理？ 参考答案在经典理论中，一个波可由若干个波叠加组成。
这个合成的波含有原来若干波的各种成份（如各种不同的波长和频率）。
而在量子力学中，按波函数的统计解释，态叠加原理有更深刻的含义。
某一物理量Q 的对应不同本征值的本征态的叠加，使粒子部分地处于Q 1状态，部分地处于Q 2态，……。
各种态都有自己的权重（即成份）。
这就导致了在态叠加下测量结果的不确定性。
但量子力学可以计算出测量的平均值。
4 测不准原理的根源是什么？ 参考答案根源就在于微观粒子的波粒二象性。
量子力学课后习题详解第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
第一章 量子理论基础 例题解析1 金属钠的逸出功是2.3eV, 波长5.890x10-7m 的光能否从金属钠表面打出光电子？在金属钠上发生光电效应的临域频率是多少？ 解：(1) 根据Einstein 光电方程0221w mvh +=ν可知，只有当入射光的能量0w h >ν时，才可能使电子克服逸出功而产生动能为221mv 的光电子。
JJ eV w 1919010685.310602.13.23.2--⨯=⨯⨯==由于18103-⨯==ms c c ，λν，波长5.890x10-7m 的光的能量为：J chh 19783410375.310890.510310626.6---⨯=⨯⨯⨯⨯==λν可见，0w h <ν，波长5.890x10-7m 的光不能从金属钠表面打出光电子。
(2) 通过逸出功和临域频率之间的关系，即00νh w =，可获得金属钠的临域频率。
11434190010561.510626.610685.3---⨯=⨯⨯==sh w ν2 对任意实物粒子，物质波波长为λ，欲求其动能可用下面哪个公式？ (1)λhc(2)222λm h(3) eV解：因为光速C 、频率ν和波长λ有如下关系： λνC=故光子能量为)(λνεc h h ==。
所以(1) 式只适用于光。
不适用于实物粒子。
(3) 式为一个电子通过电势差V 所获得的能量，仅对电子适用。
对任意实物粒子，动量p=mv 。
故mT mv m mv P 2212)(222=⋅==，T 为粒子动能。
根据德布罗依关系式mTh P h 2==λ有222λm hT =所以(2) 式对任意实物粒子都适用。
3 若描述粒子运动状态的波函数为)21exp()(22x x αψ-=，其中α为实常数，求(1)归一化常数，(2)该粒子几率密度。
解:(1)根据归一化公式，假设归一化函数为)21e x p ()'(22x k x αψ-=，则1)'()'*(=⎰∞∞-dx x x ψψ即1)exp(222=-⎰∞∞-x d x k α，根据积分公式，απα2)exp(022=-⎰∞x d x ，所以归一化因子πα=2k，即21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=παk(2) 归一化的波函数为)21exp()2221x x απαψ-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=（粒子几率密度为)exp())(222x x x W απαψ-==（)(x W 取极值的条件是一阶导数为零，即，)exp(2)(223=--=x x x W dxd απα显然，当0=x 时，)(x W 取极大值，为πα=)0(W ；当α1±=x 时，πααe W =±)1(；当0)(=±∞=±∞=x W x 时，。
上述结果表明，在无穷远处发现粒子的几率为零，说明该粒子的运动被束缚在一个有限的空间之中，即状态)21exp()(22x x αψ-=描述的是一个束缚态。
习题答案1 什么是物质波和它的统计解释？ 参考答案:象电子等实物粒子具有波动性被称作物质波。
物质波的波动性是和微粒行为的统计性联系在一起的。
对大量粒子而言，衍射强度（即波的强度）大的地方，粒子出现的数目就多，而衍射强度小的地方，粒子出现的数目就少。
对一个粒子而言，通过晶体到达底片的位置不能准确预测。
若将相同速度的粒子，在相同的条件下重复多次相同的实验，一定会在衍射强度大的地方出现的机会多，在衍射强度小的地方出现的机会少。
因此按照波恩物质波的统计解释，对于单个粒子，ψψ=ψ*2代表粒子的几率密度，在时刻t ，空间q 点附近体积元τd 内粒子的几率应为τd 2ψ；在整个空间找到一个粒子的几率应为 12=ψ⎰τd 。
表示波函数具有归一性。
2 如何理解合格波函数的基本条件？ 参考答案合格波函数的基本条件是单值，连续和平方可积。
由于波函数2ψ代表概率密度的物理意义，所以就要求描述微观粒子运动状态的波函数首先必须是单值的，因为只有当波函数ψ在空间每一点只有一个值时，才能保证概率密度的单值性；至于连续的要求是由于粒子运动状态要符合Schrödinger 方程，该方程是二阶方程，就要求波函数具有连续性的特点；平方可积的是因为在整个空间中发现粒子的概率一定是100%，所以积分⎰τψψd *必为一个有限数。
3 如何理解态叠加原理？ 参考答案在经典理论中，一个波可由若干个波叠加组成。
这个合成的波含有原来若干波的各种成份（如各种不同的波长和频率）。
而在量子力学中，按波函数的统计解释，态叠加原理有更深刻的含义。
某一物理量Q 的对应不同本征值的本征态的叠加，使粒子部分地处于Q 1状态，部分地处于Q 2态，……。
各种态都有自己的权重（即成份）。
这就导致了在态叠加下测量结果的不确定性。
但量子力学可以计算出测量的平均值。
4 测不准原理的根源是什么？ 参考答案根源就在于微观粒子的波粒二象性。
5 铝的逸出功是4.2eV ，用2000Å的光照射时，问（a ）产生的光电子动能是多少？(b)与其相联系的德布罗依波波长是多少？(c)如果电子位置不确定量与德布罗依波波长相当，其动量不确定量如何？ 参考答案(a)根据爱因斯坦光电方程W m h +=221υν，又λνc =，得光电子动能：JWch m T 1919191910834210219.31072.610939.9106.12.410200010310626.621------⨯=⨯-⨯=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=-⋅==λυ(b)由德布罗依关系式，相应的物质波波长为mmTh P h 10253419313410781.810546.710626.610219.3101.9210626.62------⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯===λ(c) 由不确定关系式h Px x ≥∆⋅∆，若位置不确定量λ≈∆x ，则动量不确定量1251034.10546.710781.810626.6----⋅⨯=⨯⨯==≈∆ms J P hPx λ（单位或者为：kg.m/s ）6 波函数e -x(0≤x≤∞)是否是合格波函数,它归一化了吗？如未归一化，求归一化常数。
参考答案没有归一化，归一化因子为27 一个量子数为n ，宽度为l 的一维势箱中的粒子,①在0~1/4 的 区域内的几率是多少？②n 取何值时几率最大？③当n→∞时，这个几率的极限是多少？ 参考答案（1）2sin214124ππψn n dx w ln -==⎰（2）ππ6141,12s i n,...)3,2,1(43max +=-==+=w n k k n 时 （3）41=w 8 函数x llx llx ππψ2sin22sin23)(+=是不是一维势箱中粒子的可能状态？如果是，其能量有无确定值？如果有，是多少？如果能量没有确定值，其平均值是多少？ 参考答案根据态叠加原理，)(x ψ是一维势箱中粒子一个可能状态。
能量无确定值。
l平均值为2210425mlh9 在这些算符∑，，exp ，dxd 中，那些是线性算符？参考答案 ∑，dxd是线性算符.10 下列函数, 那些是22dx d 的本征函数? 并求出相应的本征值。
(a) e imx (b) sinx (c) x 2+y 2 (d) (a-x)e -x 参考答案(a) 和 (b) 是的本征函数，其相应的本征值分别为-m 2和-1。
11 有算符,ˆ,ˆX X dx d D== 求D X X D ˆˆˆˆ-。
参考答案根据算符之积的定义1ˆˆˆˆ)()]([)()]([)]([)]([)](ˆ[ˆ)](ˆ[ˆ)()ˆˆˆˆ(=-∴=-+=-=-=-D X X Dx f x dxf d X x f x drf d X x drf d X x Xf dx d x f D X x f X D x f D X X D模拟试题，给出一些常用考试题形实例一 填空题1 波函数模的平方代表 。
2 一维势箱存在一个节点的状态能量为 。
3 玻尔原子结构论解释了 。
4 波函数的归一性公式为 。
5 一维势箱的基态波函数为 。
6 力学量G 平均值公式为 。
7 合格波函数必须满足 。
8 不确定关系式为 。
9 态叠加原理可描述为 。
10 德布罗依关系式为 。
二 选择题1 光电效应实验中，光电子的最大动能取决于———。
（1）外加电压 （2）入射光谱（3）材料的临界频率 （4）入射光频率 2 波长相同的中子和电子———。
（1）速率相同 （2）动量相同 （3）动量不同 （4）能量相同 3 粒子处于定态，即处于———状态。
（1）静止 （2）势能为零 （3）时间为零 （4）几率密度分布不随时间变化 4 把一波函数ψ乘以一常数C ，则———。
（1）状态不变 （2）几率密度为原来C 2倍 （3）能量为原来的C 2 （4）几率为原来的C 倍 5 函数)0()(∞<≤=-x e x f x 的归一化常数———。
（1）2/1 （2）1 （3）0 （4）2三 计算题1 函数x a a a x a x )/2sin(/2/sin /12)(ππψ-=是不是一维势阱中粒子的一个可能状态？如果是，能量有无确定值？如果有，其值是多少？如果没有，其平均值是多少？。
