第一章量子理论基础 习题

量子力学习题集及解答目录第一章量子理论基础 (1)第二章波函数和薛定谔方程 (5)第三章力学量的算符表示 (28)第四章表象理论 (48)第五章近似方法 (60)第六章碰撞理论 (94)第七章自旋和角动量 (102)第八章多体问题 (116)第九章相对论波动方程 (128)第一章 量子理论基础1．设一电子为电势差V 所加速，最后打在靶上，若电子的动能转化为一个光子，求当这光子相应的光波波长分别为5000A （可见光），1A （x 射线）以及0.001A （γ射线）时，加速电子所需的电势差是多少？[解] 电子在电势差V 加速下，得到的能量是eV m =221υ这个能量全部转化为一个光子的能量，即λνυhc h eV m ===221 )(1024.1106.11031063.6419834A e hc V λλλ⨯=⋅⨯⨯⨯⨯==∴--（伏） 当A50001=λ时， 48.21=V （伏）A 12=λ时 421024.1⨯=V （伏）A 001.03=λ时 731024.1⨯=V （伏）2．利用普朗克的能量分布函数证明辐射的总能量和绝对温度的四次方成正比，并求比例系数。

[解] 普朗克公式为18/33-⋅=kT hv v e dvc hvd πνρ单位体积辐射的总能量为⎰⎰∞∞-==00/3313T hv v e dv v c h dv U κπρ令kThvy =，则 440333418T T e dy y c h k U y σπ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰∞ （★） 其中 ⎰∞-=0333418y e dyy c h k πσ （★★）（★）式表明，辐射的总能量U 和绝对温度T 的四次方成正比。

这个公式就是斯忒蕃——玻耳兹曼公式。

其中σ是比例常数，可求出如下：因为)1()1(1121 +++=-=-------yy y y y ye e e e e e∑∞=-=1n ny edy e y e dy y n ny y ⎰∑⎰∞∞=-∞⎪⎭⎫ ⎝⎛=-013031 令 ny x =，上式成为dx e x n e dy y xn y⎰∑⎰∞-∞=∞=-03140311 用分部积分法求后一积分，有⎰⎰⎰∞-∞∞--∞∞--+-=+-=0220332333dx xe e x dx e x e x dx e x x xx xx66660=-=+-=∞∞--∞-⎰xx x e dx e xe又因无穷级数 ∑∞==144901n n π故⎰∞=⨯=-0443159061ππy e dy y 因此，比例常数⎰∞-⨯==-=015334533341056.715818ch k e dy y c h k y ππσ尔格/厘米3·度43．求与下列各粒子相关的德布罗意波长：（1）能量为100电子伏的自由电子； （2）能量为0.1电子伏的自由中子； （3）能量为0.1电子伏，质量为1克的质点； （4）温度T =1k 时，具有动能kT E 23=（k 为玻耳兹曼常数）的氦原子。

第一章量子力学基础例题与习题一、练习题1．立方势箱中的粒子，具有的状态量子数，是A． 211 B． 231 C． 222 D． 213。

解：(C)。

2．处于状态的一维势箱中的粒子，出现在处的概率是多少？A．B．C．D．E．题目提法不妥，以上四个答案都不对。

解：(E)。

3．计算能量为100eV光子、自由电子、质量为300g小球的波长。

( )解：光子波长自由电子300g小球。

4．根据测不准关系说明束缚在0到a范围内活动的一维势箱中粒子的零点能效应。

解：。

5．链状共轭分子在波长方向460nm处出现第一个强吸收峰，试按一维势箱模型估计该分子的长度。

解：6．设体系处于状态中，角动量和有无定值。

其值是多少？若无，求其平均值。

解：角动量角动量平均值7．函数是不是一维势箱中粒子的一种可能的状态？如果是，其能量有没有确定值？如有，其值是多少？如果没有确定值，其平均值是多少？解：可能存在状态，能量没有确定值，8．求下列体系基态的多重性。

(2s+1) (1)二维方势箱中的9个电子。

(2)二维势箱中的10个电子。

(3)三维方势箱中的11个电子。

解：(1)2，(2)3，(3)4。

9．在0－a间运动的一维势箱中粒子，证明它在区域内出现的几率。

当，几率P怎样变？解：10．在长度l的一维势箱中运动的粒子，处于量子数n的状态。

求 (1)在箱的左端1/4区域内找到粒子的几率？(2)n为何值，上述的几率最大？(3)，此几率的极限是多少？(4)(3)中说明什么？解：11．一含K个碳原子的直链共轭烯烃，相邻两碳原子的距离为a，其中大π键上的电子可视为位于两端碳原子间的一维箱中运动。

取l＝(K－1)a，若处于基组态中一个π电子跃迁到高能级，求伴随这一跃迁所吸收到光子的最长波长是多少？解：12．写出一个被束缚在半径为a的圆周上运动的质量为m的粒子的薛定锷方程，求其解。

解：13．在什么条件下?解：14．已知一维运动的薛定锷方程为：。

和是属于同一本征值得本征函数，证明常数。

量子力学课后习题详解第一章 量子理论基础1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。

解 根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1） 以及 λνc =， （2）||λνρρλd d v =， （3）有(),118)(|)(||52-⋅=⋅===kThc v v ehc cd c d d dvλνλλπλλρλλλρλρρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。

但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kThc kThce kT hc ehcd d λλλλλπλρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThcλλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。

首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯≈-3109.2λ这便是维恩位移定律。

据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。

1.2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。

解：根据德布罗意波粒二象性的关系，可知λh P =。

所考虑的粒子是非相对论性的电子（动能eV c m E e k 621051.0⨯=<<），满足ek m p E 22=， 因此利用非相对论性的电子的能量—动量关系式，有nmm mE c m hc E m h ph e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯====--λ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1， eV c m e 621051.0⨯=。

北师大 结构化学 课后习题 第一章 量子理论基础习题答案1 什么是物质波和它的统计解释？参考答案:象电子等实物粒子具有波动性被称作物质波。

物质波的波动性是和微粒行为的统计性联系在一起的。

对大量粒子而言，衍射强度（即波的强度）大的地方，粒子出现的数目就多，而衍射强度小的地方，粒子出现的数目就少。

对一个粒子而言，通过晶体到达底片的位置不能准确预测。

若将相同速度的粒子，在相同的条件下重复多次相同的实验，一定会在衍射强度大的地方出现的机会多，在衍射强度小的地方出现的机会少。

因此按照波恩物质波的统计解释，对于单个粒子，ψψ=ψ*2代表粒子的几率密度，在时刻t ，空间q 点附近体积元τd 内粒子的几率应为τd 2ψ；在整个空间找到一个粒子的几率应为 12=ψ⎰τd 。

表示波函数具有归一性。

2 如何理解合格波函数的基本条件？ 参考答案合格波函数的基本条件是单值，连续和平方可积。

由于波函数2ψ代表概率密度的物理意义，所以就要求描述微观粒子运动状态的波函数首先必须是单值的，因为只有当波函数ψ在空间每一点只有一个值时，才能保证概率密度的单值性；至于连续的要求是由于粒子运动状态要符合Schrödinger方程，该方程是二阶方程，就要求波函数具有连续性的特点；平方可积的是因为在整个空间中发现粒子的概率一定是100%，所以积分⎰τψψd *必为一个有限数。

3 如何理解态叠加原理？ 参考答案在经典理论中，一个波可由若干个波叠加组成。

这个合成的波含有原来若干波的各种成份（如各种不同的波长和频率）。

而在量子力学中，按波函数的统计解释，态叠加原理有更深刻的含义。

某一物理量Q 的对应不同本征值的本征态的叠加，使粒子部分地处于Q 1状态，部分地处于Q 2态，……。

各种态都有自己的权重（即成份）。

这就导致了在态叠加下测量结果的不确定性。

但量子力学可以计算出测量的平均值。

4 测不准原理的根源是什么？ 参考答案根源就在于微观粒子的波粒二象性。

量子力学 第一章 习题一、填空题1． 普朗克（Planck ）常数h 的数值是 ，普朗克（Planck ）常数ħ和h 之间的关系是 ，普朗克（Planck ）常数ħ的数值是 。

2． 索末菲（Sommerfeld ）的量子化条件是 。

3． 德布罗意（de Broglie ）公式是 。

二、问答题1．什么是黑体（或绝对黑体）？根据普朗克（Planck ）黑体辐射规律（教材第二页1.2.1式），试讨论辐射频率很高（趋于无穷大）和很低（趋于零）时的黑体辐射规律，并与维恩公式、瑞利——金斯公式相比较。

请给出波长在λ到λ+d λ之间的辐射能量密度规律。

2．什么是光电效应？光电效应的实验特点是什么？经典物理在解释光电效应时的困难是什么？采用爱因斯坦（Einstein ）的光量子假设后，光电效应是如何解释的？3．光子有什么特点？爱因斯坦关于光子能量、动量和光子频率、波长之间的关系是什么？这个关系反映出光子的什么特征？4．什么是康普顿效应？试由Einstein 的光量子说，利用能量动量守恒，解释Compton 效应。

康普顿效应说明了什么？和光电效应相比，入射光子能量哪个大，并说明理由。

5．玻尔的氢原子模型内容是什么？试根据玻尔的氢原子模型给出里德堡（Rydberg ）常数和氢原子第一玻尔半径的表达式和数值结果。

并说明为什么玻尔的量子论是半经典的半量子的？三、多项选择题1．说明微观粒子具有波动性的现象有 说明电磁波具有粒子性的现象有(a)以太漂移说 (b)黑体辐射 (c)光电效应(d)康普顿（Compton ）效应 (e)原子结构和线性光谱 (f)电子的双缝衍射 (g)戴维逊（Davisson ）——革末（Germer ）实验(h)迈克尔逊（Michelson ）——莫雷（Monley ）实验四、计算题1． 教材习题(1.1)(1.2)(1.3)(1.4)(1.5)2． 设粒子限制在长、宽、高分别为a,b,c 的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。

【最新整理，下载后即可编辑】量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。

解 根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1）以及 c v =λ，（2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。

但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒kThce kThc λλ=--)1(5 如果令x=kThc λ ，则上述方程为x e x =--)1(5这是一个超越方程。

首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。

据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。

1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。

解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λhP =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22=如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph =λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eVc e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。

量子力学课后习题详解第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。

解 根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。

但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。

首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。

据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。

1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。

解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。

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解 根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。

但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc e kThcλλ⇒ kThcekThcλλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。

首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。

据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。

1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。

一、是非题1. “波函数平方有物理意义， 但波函数本身是没有物理意义的”。

对否 解：不对2. 有人认为，中子是相距为10-13 cm 的质子和电子依靠库仑力结合而成的。

试用测不准关系判断该模型是否合理。

解：库仑吸引势能大大地小于电子的动能, 这意味着仅靠库仑力是无法将电子与质子结合成为中子的，这个模型是不正确的。

二、选择题1. 一组正交、归一的波函数123,,,ψψψ。

正交性的数学表达式为 a ，归一性的表达式为 b 。

()0,()1i i i i a d i jb ψψτψψ**=≠=⎰⎰2. 列哪些算符是线性算符------------------------------------------------------ (A, B, C, E )(A) dxd(B) ∇2 (C) 用常数乘 (D) (E) 积分3. 下列算符哪些可以对易-------------------------------------------- (A, B, D )(A) xˆ 和 y ˆ (B) x∂∂和y ∂∂ (C) ˆx p和x ˆ (D) ˆx p 和y ˆ 4. 下列函数中 (A) cos kx (B) e -bx(C) e -ikx(D) 2e kx -(1) 哪些是dxd的本征函数；-------------------------------- (B, C ) (2) 哪些是的22dx d 本征函数；-------------------------------------- (A, B, C )(3) 哪些是22dx d 和dxd的共同本征函数。

------------------------------ (B, C )5. 关于光电效应，下列叙述正确的是：(可多选) ------------------（C,D ）(A)光电流大小与入射光子能量成正比 (B)光电流大小与入射光子频率成正比 (C)光电流大小与入射光强度成正比 (D)入射光子能量越大，则光电子的动能越大6. 提出实物粒子也有波粒二象性的科学家是：------------------------------（ A ）(A) de Bröglie (B) A.Einstein (C) W. Heisenberg (D) E. Schrödinger7. 首先提出微观粒子的运动满足测不准原理的科学家是：--------------（ C ）(A) 薛定谔 (B) 狄拉克 (C) 海森堡 (D) 波恩 8. 下列哪几点是属于量子力学的基本假设(多重选择)：---------------（ AB）(Ａ)电子自旋(保里原理) (Ｂ)微观粒子运动的可测量的物理量可用线性厄米算符表征 (Ｃ)描写微观粒子运动的波函数必须是正交归一化的 (Ｄ)微观体系的力学量总是测不准的，所以满足测不准原理9. 描述微观粒子体系运动的薛定谔方程是：------------------------------（ D ） (A) 由经典的驻波方程推得 (B) 由光的电磁波方程推得(C) 由经典的弦振动方程导出 (D) 量子力学的一个基本假设三、填空题：1. 1927年戴维逊和革未的电子衍射实验证明了实物粒子也具有波动性。

第一章量子力学基础第八组：070601337刘婷婷 070601339黄丽英 070601340李丽芳 070601341林丽云070601350陈辉辉 070601351唐枋北【1．1】经典物理学在研究黑体辐射、光电效应与氢光谱时遇到了哪些困难？什么叫旧量子论？如何评价旧量子论？[解]：困难：（1）黑体辐射问题。

黑体就是理论上不反射任何电磁波的物体，黑体辐射是指这类物体的电磁波辐射，由于这类物体不反射,所以由它释放出来的电磁波都来自辐射，实验中在不同的能量区间对黑体辐射规律给出了不同的函数，然而这两个函数无法兼容，是完全不同的，而事实上黑体辐射本该遵循某个唯一的规律。

况且经典理论还无法说明这两个函数中的任意一个.这个问题研究的是辐射与周围物体处于平衡状态时的能量按波长（或频率）的分布。

实验得出的结论是：热平衡时辐射能量密度按波长分布的曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度有关，而与空腔的形状及组成的物质无关。

这一结果用经典理论无法解释。

（2）光电效应。

光照射到金属上时，有电子从金属中逸出。

实验得出的光电效应的有关规律同样用经典理论无法解释。

（3）按照经典电动力学，由于核外电子作加速运动，原子必然坍缩。

经典物理学不能解释原子的稳定性问题。

原子光谱是线状结构的，而按照经典电动力学，作加速运动的电子所辐射的电磁波的频率是连续分布的，这与原子光谱的线状分布不符。

定义：从1900年普朗克提出振子能量量子化开始，人们力图以某些物理量必须量子化的假定来修正经典力学，用于解释某些宏观现象，并且给出其微观机制。

这种在量子力学建立以前形成的量子理论称为旧量子论。

评价：旧量子论冲破了经典物理学能量连续变化的框框。

对于黑体辐射、光电效应与氢光谱等现象的解释取得了成功。

但是，旧量子论是一个以连续为特征的经典力学加上以分立为特征的量子化条件的自相矛盾的体系，本质上还是属于经典力学的范畴。

由于把微观粒子当作经典粒子，并把经典力学的运动规律应用于微观粒子，因而必然遭到严重的困难。

第五章 近似方法一、概念与名词解释 1. 斯塔克效应 2. 跃迁概率 3. 费米黄金规则 4. 选择定则 二、计算1. 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为r o ,电荷均匀分布的小 球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正 .2. 转动惯量为I ，电矩为D 的空间转子处在均匀电场 E 中，如果电 场较小，用微扰理论求转子基态能量的二级修正 .3. 转动惯量为I ，电矩为D 的平面转子处在均匀弱电场 E 中，电场 处在转子运动的平面上，用微扰法求转子的能量的二级修正 .E 0a b4. 设哈密顿量在能量表象中的矩阵是 E la 0b ,a 、b 是实数.b E 02 a(1) 用微扰公式求能量至二级修正；(2) 直接用求解能量本征方程的方法求能量的准确解， 并与(1)的结果 比较.E 10 0 a5. 设哈密顿量在能量表象中的矩阵是 0 E 10b，(E 02 E 10)* *E 0a bE2(1) 用简并微扰方法求能量至二级修正； (2) 求能量的准确值，并与 (1)的结果比较 .6. 在简并情况下，求简并微扰论的波函数的一级修正和能量的二级 修正.7. 线谐振子受到微扰aexp(-似2)的作用，计算基态能量的一级修正， 其中常数(3>0.8. 设线谐振子哈密顿算符用升算符a +与降算符a 表示为H o (a a 1/2)，此体系受到微扰I?'(a a)的作用，求体系的能级到二级近似.已知升与降算符对H o 的本征态|n>的作用为 a |n J n l|n 1J; an) Vn|n —1.9. 一个电荷为q 的线谐振子受到恒定弱电场E i 的作用，利用微扰 论求其能量至二级近似，并与其精确结果比较.10. 一维非简谐振子的哈密顿量为 H=p 2/2m+m 忍x 2/2+仅3. B 是常数， 若将H' x 3看成是微扰，用微扰论求能量至二级修正，求能量本 征函数至一级修正.11. 二维耦合谐振子的哈密顿量为H=(p x 2+P y 2)/2卩+卩w (x 2+y 2)/2+ ?xy.若X<1，试用微扰论求其第一激发态的能级与本征函数.12. 在各向同性三维谐振子上加一微扰 H' axy bz 2,求第一激发态的 一级能量修正.13. 一维无限深势阱(0<xva)中的粒子，受到微扰H' 2 x/a/、(「旳作用，求基态能量的一级修正.2x(1 - x/a) (a/2 x a)14. 处于一维无限深势阱(0<xva)中的粒子，受到微扰H' ° (°x a/3,2a/3 x a)的作用，计算基态能量的一级修正.-V1 (a/3 x 2a/3)15. 在一维无限深势阱(0<x<a)中运动的粒子，受微扰16. 一个粒子处在二维无限深势阱V(x,y) 0 (0 a)中运动，现加(其他) 上微扰H' xy(0 x,y a), 求基态能量和第一激发态的能量修正值.2 2 217. 粒子在如下势阱中运动V(x)－2 2sin( x/a)/80 a2 (0 x a),求其(x 0,x a) 基态能量的一级近似.0 (0 x a/2)18. 粒子处于如下势阱中V(x) 2 2/80 a2 (a/2 x a) , 求其能级的一(x 0,X a)级近似值.19. 自旋为?/2的粒子处于一维无限深方势阱(0<xva)中，若其受到微扰H'cos(2 x/a)s?y(0 x a)的作用，求基态能量至一级修正，0 (x 0,x a)其中入为一小量.20. 两个自旋为?/2，固有磁矩算符分别为?1 ?1和?2 ?2的粒子，处于均匀磁场 B B0k 中，若粒子间的相互作用?1 ?2可视为微扰，求体系能量的二级近似，其中a仅丫为实常数.21. 类氢原子中，电子与原子核的库仑作用为U(r)= —Ze2/r，当核电荷增加e(从Z-Z+1)，相互作用增加H' -e2/r，试用微扰论求能量的一级修正并与严格解比较.22. 设氢原子处于均匀的弱电场0k 和弱磁场 B B0k 中，不考虑自旋效应，用微扰论讨论其n=2的能级劈裂情况.23. 求氢原子n=3简并度n2=9时的斯塔克效应.24. 设在t=0时，电荷为e的线性谐振子处于基态.在t>0时起，附加一与谐振子振动方向相同的恒定外电场£,求其处在任意态的概率.25. 一个自旋为？/2,磁矩为？ g?的粒子处于如下弱旋转磁场中B B°cos( t)i B o s in (t)j Bk ,粒子与磁场的作用为-g?B.若粒子开始处于S z= ?/2的状态，讨论跃迁情况并计算跃迁概率.26. 求氢原子的第一激发态的自发辐射系数.27. 一个处在第一激发态(2p)的氢原子位于一空腔中，求空腔温度等于多少时，自发跃迁概率和受激跃迁概率相等.28. 一个粒子在吸引势V(r)二-g2/r3/2中运动，试用类氢原子的波函数作为尝试波函数，求基态能量.29. 以(r) exp(-cr2)为试探波函数，求氢原子基态能量与波函数，其中c>0.30. 设一维非简谐振子的哈密顿算符为I? p2/2 x4,以(x) . a/ exp(-a 2x2/2)为试探波函数，a为变分参数，求其基态能量.231. 取尝试波函数为Ce-ax , C为归一化常数，a是变分参数，试用变分法求谐振子的基态能量和基态波函数，并算出归一化常数 C. 32. 设粒子在中心力场V(r)二-Ar n(n为整数)中运动，选R(r)=Nexp(-町为试探波函数，求其基态能量.进而求出库仑场(n= -1,A>0)和谐振子势(n=2,A<0)的结果，并与严格解比较.33. 试用①二exp[-f(x-1)2(x+2)/3]/(x+1)为试探波函数，f为变分参数，求势场为V(x)=g2(x2-1)2/2的基态能量，其中g是个很大的常数.三、1.在无简并的微扰论中，证明 (0) nE (0) 匚n E⑴(0) n(1)\ n /E (0)E n⑴ nW -E (1)1— n(1)、\ n/nm2m nm (nxm)|/ , m 是粒子质量，求证:nm0 (在(xy )/b z /a(其他地方)1内),其中 a 探(1+2 卩3), b^R(1- 03)，且2. 一维运动的体系，定义从|m ＞态跃迁到|n ＞态相应的振子强度为3. 设体系在t=0时处于基态|0＞，若长时间加上微扰V?(x, t) F(x)exp(-t/ ),证明该体系处于另一能量本征态|1＞的概率为(E i -E o )2~~亍四、综合题1. 一根长度为d 质量均匀分布的棒可绕其中心在一平面内转动，棒 的质量为M.在棒的两端分别有电荷+Q 和-Q. (1)写出体系的哈密顿量、本征函数和本征值；⑵ 如果在转动平面内存在一电场强度为 E 的弱电场，准确到一级修正，它的本征函数和能量如何变化？⑶如果这个电场很强，求基态的近似波函数和相应的能量值 .2.对于一个球形核来说，可以假定核子处在一个半径为R 的球对称势阱中，势场是V 0(r R).相应地，对发生微小形变的核，可以认为核子处在椭球形势阱中，势壁高仍为无限大，即势场是〈n 爭〈n 爭E (?)E ⑴np＜＜1，利用微扰论，准确到一级近似，求椭球形核相对于球形核这里C、a是复数，(x)0 (x 0)1 (x 0)基态能量的变化•(提示：作变量代换，将椭球形势阱化成球形势阱后再讨论微扰影响.)3. 一个量子体系由哈密顿量H=H o+H'描述，其中H' = i兀A,H°]是一个加在非微扰哈密顿量H o上的微扰，A是个厄米算符，入是个实数. 设B是另一个厄米算子，而且C=i[B,A].(1)已知A、B、C在无微扰(非简并)基态的平均值为<A>o、<B>o、<C>o•当微扰加入时，求B在微扰后的基态上的平均值至入的第一级；_ 3p2 1⑵ 将这个结果用到如下三维问题上：H o 匹丄m 2x2 , H' X3.i i 2m 2计算X i在基态的平均值<X i>(i=1,2,3)至入的最低阶，并将这个结果和精确解相比较.4. 把处在基态的氢原子放在平行板电容器中，取平行板法线方向为z轴方向.电场沿z轴方向，可视为均匀电场.设电容器突然充电，然后放电，电场随时间的变化是⑴°t/(t o )(为常数).求时间充o e-t/(t o)分长后，氢原子跃迁到2s态和2p态的概率.5. 考虑势U=g|x|的能级.(1)用量纲分析，推导本征值和参数(质量m、？、g)的关系;⑵用尝试波函数忙C q x+a) &a-x)(1-|x|/a)对基态能量作变分计算⑶为什么忙c q x+c)q a-x)不是一个好的尝试波函数?(4)如果要求第一激发态能量，你将如何处理？6. 一个质量为m的粒子在汤川势U(r)=-洽口斤中运动，用变分法，取尝试波函数©= e-ar,问入的临界值加等于多少时，能使得 e 无束缚态，> b有束缚态？7. 介子一般可看成夸克和反夸克(q可的束缚态.考虑S态介子，设夸克质量为mq,束缚q和q的势U=A/叶Br , A<0 , B>0.(1) 选用类似于氢原子基态波函数的©= e-r/a作为尝试波函数，用变分法求基态能量(在用变分法决定a的方程中，可近似取A = 0来简化计算).(2) 用不确定性原理估算基态能量，并和变分法的结果(1)比较.。

量子力学习题及解答第一章量子理论基础1．1由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λT=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。

解根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833−⋅=πρ，（1）以及c v =λ，（2）λρρd dv v v −=，（3）有,118)()(5−⋅=⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−=kT hc v v e hc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。

但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−⋅+−−⋅=−kT hc kThc e kT hc ehc λλλλλπρ⇒0115=−⋅+−−kThc ekThc λλ⇒kThc ekThc λλ=−−)1(5如果令x=kThcλ，则上述方程为xe x =−−)1(5这是一个超越方程。

首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ把x 以及三个物理常量代入到上式便知Km T m ⋅×=−3109.2λ这便是维恩位移定律。

据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。

1．2在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。

解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e µ<<动），那么ep E µ22=如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0×，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph =λnmm mE c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=×=××××===−−µµ在这里，利用了meV hc ⋅×=−61024.1以及eVc e 621051.0×=µ最后，对Ec hc e 22µλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。

第⼀章量⼦⼒学基础第⼀章量⼦⼒学基础知识⼀、概念题1、⼏率波：空间⼀点上波的强度和粒⼦出现的⼏率成正⽐，即，微粒波的强度反映粒⼦出现⼏率的⼤⼩，故称微观粒⼦波为⼏率波。

2、测不准关系：⼀个粒⼦不能同时具有确定的坐标和动量3、若⼀个⼒学量A 的算符A作⽤于某⼀状态函数ψ后，等于某⼀常数a 乘以ψ，即，ψψa A=?，那么对ψ所描述的这个微观体系的状态，其⼒学量A 具有确定的数值a ，a 称为⼒学量算符A的本征值，ψ称为A ?的本征态或本征波函数，式ψψa A=?称为A ?的本征⽅程。

4、态叠加原理：若n ψψψψ,,,,321为某⼀微观体系的可能状态，由它们线性组合所得的ψ也是该体系可能存在的状态。

其中：∑=++++=ii i n n c c c c c ψψψψψψ332211，式中n c c c c ,,,,321为任意常数。

5、Pauli 原理：在同⼀原⼦轨道或分⼦轨道上，⾄多只能容纳两个电⼦，这两个电⼦的⾃旋状态必须相反。

或者说两个⾃旋相同的电⼦不能占据相同的轨道。

6、零点能：按经典⼒学模型，箱中粒⼦能量最⼩值为0，但是按照量⼦⼒学箱中粒⼦能量的最⼩值⼤于0，最⼩的能量为228/ml h ，叫做零点能。

⼆、选择题1、下列哪⼀项不是经典物理学的组成部分？ ( )a. ⽜顿(Newton)⼒学b. 麦克斯韦(Maxwell)的电磁场理论c. 玻尔兹曼(Boltzmann)的统计物理学d. 海森堡(Heisenberg)的测不准关系2、下⾯哪种判断是错误的？( )a. 只有当照射光的频率超过某个最⼩频率时，⾦属才能发⾝光电⼦b. 随着照射在⾦属上的光强的增加，发射电⼦数增加，但不影响光电⼦的动能c. 随着照射在⾦属上的光强的增加，发射电⼦数增加，光电⼦的动能也随之增加d. 增加光的频率，光电⼦的动能也随之增加3、根据Einstein的光⼦学说，下⾯哪种判断是错误的？( )a. 光是⼀束光⼦流，每⼀种频率的光的能量都有⼀个最⼩单位，称为光⼦b. 光⼦不但有能量，还有质量，但光⼦的静⽌质量不为0c. 光⼦具有⼀定的动量d. 光的强度取决于单位体积内光⼦的数⽬，即，光⼦密度4、根据de Broglie关系式及波粒⼆象性，下⾯哪种描述是正确的？( )a. 光的波动性和粒⼦性的关系式也适⽤于实物微粒b. 实物粒⼦没有波动性c. 电磁波没有粒⼦性d. 波粒⼆象性是不能统⼀于⼀个宏观物体中的5、下⾯哪种判断是错误的？( )a. 机械波是介质质点的振动b. 电磁波是电场和磁场的振动在空间的传播c. 实物微粒波的强度反映粒⼦出现的⼏率的⼤⼩d. 实物微粒波的强度反映粒⼦出现的⼏率的⼤⼩，也反映了粒⼦在空间振动的强度6、下⾯对宏观物体和微观粒⼦的⽐较哪⼀个是不正确的？( )a. 宏观物体同时具有确定的坐标和动量，可⽤⽜顿⼒学描述，⽽微观粒⼦没有同时确定的位置和动量，需⽤量⼦⼒学描述b. 宏观物体有连续可测的运动轨道，可追踪各个物体的运动轨迹加以分辨；微观粒⼦具有⼏率分布特性，不可能分辨出各个粒⼦的轨道。

北师大 结构化学 课后习题第一章 量子理论基础习题答案1 什么是物质波和它的统计解释？参考答案:象电子等实物粒子具有波动性被称作物质波。

物质波的波动性是和微粒行为的统计性联系在一起的。

对大量粒子而言，衍射强度（即波的强度）大的地方，粒子出现的数目就多，而衍射强度小的地方，粒子出现的数目就少。

对一个粒子而言，通过晶体到达底片的位置不能准确预测。

若将相同速度的粒子，在相同的条件下重复多次相同的实验，一定会在衍射强度大的地方出现的机会多，在衍射强度小的地方出现的机会少。

因此按照波恩物质波的统计解释，对于单个粒子，ψψ=ψ*2代表粒子的几率密度，在时刻t ，空间q 点附近体积元τd 内粒子的几率应为τd 2ψ；在整个空间找到一个粒子的几率应为12=ψ⎰τd 。

表示波函数具有归一性。

2 如何理解合格波函数的基本条件？参考答案合格波函数的基本条件是单值，连续和平方可积。

由于波函数2ψ代表概率密度的物理意义，所以就要求描述微观粒子运动状态的波函数首先必须是单值的，因为只有当波函数ψ在空间每一点只有一个值时，才能保证概率密度的单值性；至于连续的要求是由于粒子运动状态要符合Schrödinger 方程，该方程是二阶方程，就要求波函数具有连续性的特点；平方可积的是因为在整个空间中发现粒子的概率一定是100%，所以积分⎰τψψd *必为一个有限数。

3 如何理解态叠加原理？参考答案在经典理论中，一个波可由若干个波叠加组成。

这个合成的波含有原来若干波的各种成份（如各种不同的波长和频率）。

而在量子力学中，按波函数的统计解释，态叠加原理有更深刻的含义。

某一物理量Q 的对应不同本征值的本征态的叠加，使粒子部分地处于Q 1状态，部分地处于Q 2态，……。

各种态都有自己的权重（即成份）。

这就导致了在态叠加下测量结果的不确定性。

但量子力学可以计算出测量的平均值。

4 测不准原理的根源是什么？参考答案根源就在于微观粒子的波粒二象性。

北师大 结构化学 课后习题 第一章 量子理论基础习题答案1 什么是物质波和它的统计解释？参考答案:象电子等实物粒子具有波动性被称作物质波。

物质波的波动性是和微粒行为的统计性联系在一起的。

对大量粒子而言，衍射强度（即波的强度）大的地方，粒子出现的数目就多，而衍射强度小的地方，粒子出现的数目就少。

对一个粒子而言，通过晶体到达底片的位置不能准确预测。

若将相同速度的粒子，在相同的条件下重复多次相同的实验，一定会在衍射强度大的地方出现的机会多，在衍射强度小的地方出现的机会少。

因此按照波恩物质波的统计解释，对于单个粒子，ψψ=ψ*2代表粒子的几率密度，在时刻t ，空间q 点附近体积元τd 内粒子的几率应为τd 2ψ；在整个空间找到一个粒子的几率应为 12=ψ⎰τd 。

表示波函数具有归一性。

2 如何理解合格波函数的基本条件？ 参考答案合格波函数的基本条件是单值，连续和平方可积。

由于波函数2ψ代表概率密度的物理意义，所以就要求描述微观粒子运动状态的波函数首先必须是单值的，因为只有当波函数ψ在空间每一点只有一个值时，才能保证概率密度的单值性；至于连续的要求是由于粒子运动状态要符合Schrödinger 方程，该方程是二阶方程，就要求波函数具有连续性的特点；平方可积的是因为在整个空间中发现粒子的概率一定是100%，所以积分⎰τψψd *必为一个有限数。

3 如何理解态叠加原理？ 参考答案在经典理论中，一个波可由若干个波叠加组成。

这个合成的波含有原来若干波的各种成份（如各种不同的波长和频率）。

而在量子力学中，按波函数的统计解释，态叠加原理有更深刻的含义。

某一物理量Q 的对应不同本征值的本征态的叠加，使粒子部分地处于Q 1状态，部分地处于Q 2态，……。

各种态都有自己的权重（即成份）。

这就导致了在态叠加下测量结果的不确定性。

但量子力学可以计算出测量的平均值。

4 测不准原理的根源是什么？ 参考答案根源就在于微观粒子的波粒二象性。