2.4隐函数的导数

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dD dt
1 cm / min. D 10 20
例7 一质子沿曲线y 1 x 3 运动，当其在点(2,3)时，
纵坐标y以4 cm / s 的速率增加，问此时横坐标x的变化
率是多少？
1 dy 1 (1 x 3 ) 2 3 x 2 解： y 1 x3 dx 2 dy =4 dt
dy a sin t sin t dy dt 解： a a cos t 1 cos t dx dx dt sin dy 2 1 . t dx 2 1 cos 2 当 t 时, x a ( 1), y a . 2 2
所求切线方程为 y a x a( 2 1)
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即 y x a(2 ) 2
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例7. 不 计 空 气 的 阻 力 , 以初速度 v0 , 发 射 角
发射炮弹 , 其运动方程为 x v 0 t cos , 1 2 y v 0 t si n gt , 2 求 (1)炮 弹 在 时 刻 t 0的 运 动 方 向 ; ( 2)炮 弹 在 时 刻 t 0的 速 度 大 小 .
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1 点(1,1)处的切线方程 y 1 x 1， 2 即 x 2 y 3 0.
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例3 证明双曲线x y a (a 0)上任一点的切线与
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两坐标轴围成的三角形的面积等于常数2a 2 .
证:在曲线xy a 2上任取一点( x0 , y0 ),
dy dx dy , , . dx dt dt
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隐函数的求导公式法隐函数求导是微积分中的一个重要概念，它用于在给定一个方程时，求解出其中的变量关系，并对其进行求导。

隐函数求导可以通过求导公式法来进行，该方法适用于一些特定类型的隐函数。

首先我们来看一下隐函数的一阶导数的求导公式。

设有一个隐函数F(x, y) = 0，其中y = f(x) 是其隐函数形式，则根据链式法则有:dF/dx + dF/dy * dy/dx = 0其中dF/dx表示对F(x, y)关于x求偏导，dF/dy表示对F(x, y)关于y求偏导，dy/dx表示f(x)对x的导数，即f'(x)。

根据上述公式，我们可以通过求导公式法来求解隐函数的导数。

下面我们通过一个例子来说明该方法的具体应用。

假设有一个隐函数方程x^2 + y^2 = 1，我们要求解出y对x的导数。

首先，我们对隐函数方程两边同时求导，得到：2x + 2y * dy/dx = 0然后，将dy/dx表示出来，得到：dy/dx = -2x / 2y = -x / y通过这个例子，我们可以看到隐函数的导数可以通过求导公式法来求解。

当然，在实际应用中，我们可能会遇到更复杂的隐函数，需要运用多次求导公式法或者其他方法来求解。

除了一阶导数的求导公式法，我们还可以推广到二阶导数的求导公式法。

设有一个隐函数F(x, y) = 0，其中y = f(x) 是其隐函数形式。

根据求导公式法，我们可以得到：dF/dx + dF/dy * dy/dx = 0对该式两边再次求导，得到：d^2F/dx^2 + d^2F/dy^2 * dy/dx + (dF/dx * dy/dx + dF/dy *d^2y/dx^2) = 0化简上述方程，可以得到二阶导数的求导公式：d^2y/dx^2 = - (dF/dx * dy/dx + dF/dy * d^2y/dx^2) / (d^2F/dy^2) 通过这个公式，我们可以求解出隐函数的二阶导数。

总结一下，隐函数的求导公式法是求解隐函数导数的一种常用方法。

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对数求导法 此方法是先在yf(x)的两边取对数 然后用隐函数求 导法求出y的导数 设yf(x) 两边取对数 得 ln yln f(x) 两边对x 求导 得 1 y [ln f (x)] y y f(x)[ln f(x)] 对数求导法适用于求幂指函数y[u(x)]v(x)的导数及多 因子之积和商的导数
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三、相关变化率
设xx(t)及yy(t)都是可导函数 而变量x与y间存在某 种关系 从而变化率间也存在一定关系 这两个相互依赖 的变化率称为相关变化率 相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系 以便从其中一个变化率求出另一个变化率
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例10 一气球从离开观察员500m处离地面铅直上升 其速度为140m/min(分) 当气球高度为500m时 观察员视 线的仰角增加率是多少？ 解 设气球上升t(秒)后 又当h500(米)时 sec2a2 其高度为h 观察员视线的 气球 仰角为a 则
eyyyxy0 y y y 从而 (xe 0) xey 提示: (ey)e yy (xy)yxy 即
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例2 求由方程y52yx3x70所确定的隐函数yf(x) 在x0处的导数y|x0 解法一 把方程两边分别对x求导数得 5y4y2y121x60
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x f (t ) d2 y 例10. 设 y t f (t ) f (t ) , 且 f (t ) 0 , 求 2 . dx
d y t f (t ) t, 解: f (t ) dx
d2 y 1 f (t ) d x2

两种方法相比，方法二较简便，因为可避免商
的求导运算，尤其是在求指定点的二阶偏导数时，
dy y 1.已知 ln x y arctan ，求 . x dx
2 2
2. 求由方程
x y
y
x
所确定的
隐函数 y f ( x)的导数.
(２)、二元隐函数求导法则
设方程 F ( x, y, z ) =0确定z是x, y的具有连续偏导 数的函数 z f ( x, y),将 z f ( x, y) 代入上述方 程，得到关于x,y 的恒等式 ：
F ( x, y, f ( x, y)) 0
，
如果函数 F ( x, y, z ) 具有连续的偏导数，将上述 两端对x,y求偏导，根据复合函数求导法则有
F F z 0, x z x
若
F F z 0, y z y
Fz 0 ，得:
z Fx x Fz
②直接法
方程两边连续求导两次
方程两边对x求导得：Fx Fy 方程两边再对x求导得：
dy 0 dx
Fx
x y
x
Fy dy dy Fx Fx dy Fy d2y 1 ( 1 ) Fy 2 0 x y dx x y dx dx dx dy dy 2 d2y Fxx 2 Fxy Fyy ( ) Fy 2 0 dx dx dx 2 2 2 F F 2 F F F F F xy x y yy x 解得： d y xx y dx2 Fy3
dFy dFx Fy Fx 2 d y dx 于是 2 dx dx Fy2
Fy dx Fy dy Fx dx Fx dy ( ) Fy Fx ( ) x dx y dx x dx y dx Fy2