2.5等比数列的前n项和(一)

解：2) q 1 2,a3 52a1 (1) a = n = , n 2a= ±q1) 2 说明：.∴ q = 1 n 1 即 意q(1 q 1 的取值， 1 在利用公时式一定要注 应把它作为第一素考虑 当代入公式 an = a1q , sn .=2，2， ， q = 1时，数列为常数列 21 - q 得： ， 2 S = na 1 , n n, n a 所以.在五个变量 =12q,2 4na, Sn中，知三可求 4 1 a5 na1q (1-q ) , 82[1-( -1) n ] 二，并要根据具体题目 选择适当的公式 .n a1
七.新课导学，作业布置
(1).探究等比数列前n项和的性质 (2).用等比数列解决实际问题 (3).会用分组求和法的方法求等比数列的 前n项和 (4).预习课本 p56-58 (5).习题2.5 A组 第1、2题
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分析：由等比数列的通项公式可知，任一项 皆可用首项及公比来表示，因此上式可变为： Sn =a1+a1q+a1q2 + … +a1qn—1 ①
如果将等式①两边同乘q，则得到一个新的等式
qSn=
a1q+a1q2+a1q3 + …+a1qn—1 +a1qn
n
②
Sn-qSn=a1-a1qn ①-②得:
a1 - a1q a1 1 q n ⑴当q≠1时 Sn= 1 q 1 q
⑵当q=1时
(1-q)Sn=a1-a1qn
Sn=na1
三、总结升华，得出结论
等比数列的前n项和公式 a1 (1 q n ) (q 1) an= a1qn-1 Sn 1 q na (q 1) 1

S5 2S5 S5 a6 a1 a1(q5 1)
探究：已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，
如何确定等比数列的前n项和Sn？
等比数列的前n项和
设等比数列 a1 , a2 , a3 ,L , an ,L
它的前n项和是 Sn a1 a2 a3 L an
即Sn a1 a1q a1q2 L a1qn2 a1qn1 L L (1)
3
三、例题分析
例2、在等比数列{an}中
(2) a1 2，S3 14，求q和a3
解：（2）由S3
a（1 1
-
q
3）
1- q
a1 (1
q
q2 )可得
q2 q 6 0
解得q 3或2
当q 3时，a3 a1q2 2 9 18 当q 2时，a3 a1q2 2 4 8
三、例题分析
Sn
1时a， (1S1naa
na)
(1 a 1a
n
)
当a 1时，Sn na1 n
(a 0)
三、例题分析 例1、求下列等比数列前n项的和：
（1）1 , 1 , 1 , 1 , ; （2）a, a2, a3, a4, 2 4 8 16
(a 0)
随堂练习:求和：(a - 1) (a2 - 2) (an - n)
六、作业
P61 A组 第1、4（2）题
课堂练习
1、若等比数列{an }的公比q
1 3
，且a1
a3
a99
60，则{an }的前100项和S100 ___8_0___
2、数列1 1 , 2 1 , 3 1 , 4 1 , 2 4 8 16
n(n 的前n项和是 2
1)
1
1 2n

命题角度2 通项公式、前n项和公式的综合应用 例2 在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q. 解 由题意，得若q＝1， 则S3＝3a1＝6，符合题意. 此时，q＝1，a3＝a1＝2. 若q≠1，则由等比数列的前n项和公式， 得 S3＝a111－－qq3＝211－－qq3＝6， 解得q＝－2. 此时，a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8. 综上所述，q＝1，a3＝2或q＝－2，a3＝8.
若q=1，则Sn na1
Sn

na1 a1(1

q
n
1 q
)
, ,
q 1 (完整版） 错位相减法
q 1
类型一 等比数列前n项和公式的应用 命题角度1 前n项和公式的直接应用 例1 求下列等比数列前8项的和： (1)12，14，18，…； 解 因为 a1＝12，q＝12， 所以 S8＝1211－－12128＝225556.
Sn 2n1 2
1.等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于
1－xn A. 1－x
1－xn－1 B. 1－x
√C.11－－xxn，x≠1， n，x＝1
解析 当x＝1时，Sn＝n；
当
x≠1
1－xn 时，Sn＝ 1－x .
1－xn－1

D.
1－x
，x≠1，
n，x＝1
(2)a1＝27，a9＝2143，q<0.
解 由 a1＝27，a9＝2143，可得2143＝27·q8.
又由 q<0，可得 q＝－13，
所以
S8＝a11－－aq8q＝a11－－aq9＝217－－－214313＝1
640 81 .
反思与感悟 求等比数列前n项和，要确定首项、公比或首项、末

1.19≈2.36 1.110≈2.60 1.111≈2.85
1.00499≈1.04 1.004910≈1.05 1.004911≈1.06
解:(1)今年学生人数为b人,则10年后学生人数为b(1+4.9‰)10≈1.05b, 由题设可知,1年后的设备为 a×(1+10%)-x=1.1a-x, 2年后的设备为 (1.1a-x)×(1+10%)-x=1.12a-1.1x-x=1.12a-x(1+1.1),…, 10年后的设备为
题型三 等比数列的综合应用
【例3】 (12分) (2012年高考陕西卷)设{an}是公比不为1的等比数列,其前 n项和为Sn,且a5,a3,a4成等差数列. (1)求数列{an}的公比; (2)证明:对任意k∈N+,Sk+2,Sk,Sk+1成等差数列.
名师导引: (1)由a5,a3,a4成等差数列,列方程求解; (2)利用求和公式,等差中项证明. (1)解:设数列{an}的公比为q(q≠0,q≠1). 由a5,a3,a4成等差数列, 得2a3=a5+a4,……………………………………………………2分 即2a1q2=a1q4+a1q3.………………………………………………4分 由a1≠0,q≠0得,q2+q-2=0, 解得q1=-2,q2=1(舍去), 所以q=-2.………………………………………………………6分
法二 对任意 k∈N+,2Sk= 2a1(1 qk ) , 1 q
Sk+2+Sk+1= a1(1 qk 2 ) + a1(1 qk 1) = a1(2 qk 2 qk 1) ,
1 q
1 q
1 q