专题03 统计与概率-高考数学备考关键问题指导高端精品(2018版)(原卷版)

考点1 古典概型与统计交汇考查题组一古典概型与用样本估计总体交汇考查调研1 某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取40件产495,510内的产品为合格品，否则为不合格品，品作为样本，并称出它们的重量（单位：克），重量值落在[)统计结果如表：（1）求甲流水线样本中合格品的频率；（2）从乙流水线上重量值落在[]505,515内的产品中任取2件产品，求这2件产品中恰好只有一件合格的概率．【解析】（1）由频数分布表可知，甲流水线样本中合格品数为814830++=， 故甲流水线样本中合格品的频率为300.7540=． （2）乙流水线上重量值落在[]505,515内的合格产品件数为0.025404⨯⨯=， 不合格产品件数为0.015402⨯⨯=．设合格产品的编号为a ，b ，c ，d ，不合格产品的编号为e ，f ．抽取2件产品的基本事件空间为(){,a b =Ω，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),a f ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),b f ，(),c d ，(),c e ，(),c f ，(),d e ，(),d f ，(),}e f ，共15个．用A 表示“2件产品中恰好只有一件合格”这一基本事件，则(){,A a e =，(),a f ，(),b e ，(),b f ，(),c e ，(),c f ，(),d e ，(),}d f ，共8个，故所求的概率为815P =．☆技巧点拨☆求解古典概型与用样本估计总体交汇问题的模型(1)识图：即能读懂已知频率分布直方图或茎叶图所隐含的信息并进行信息提取．(2)转化：即对文字语言较多的题，需要根据题目信息耐心阅读，步步实现文字语言与符号语言间的转化． (3)计算：即对频率分布直方图或茎叶图所反馈的信息进行提取，并结合古典概型的概率公式进行运算．题组二古典概型与独立性检验的交汇考查调研2 随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方式.某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”的赞成人数如下表：（1）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关；（2）若从年龄在[25,35）和[55,65）的被调查人中按照分层抽样的方法选取6人进行追踪调查，并给予其中3人“红包”奖励，求3人中至少有1人年龄在[55,65）的概率.参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++.参考数据：【解析】（1）根据条件得22⨯列联表：根据列联表所给的数据，计算得到2K 所以有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关. （2）由分层抽样可知： [55,65）（岁）抽取562105⨯=+（人）； [25,35）（岁）抽取1064105⨯=+（人）. 年龄在[55,65）（岁）记为,A B ，年龄在[25,35）（岁）记为,,,a b c d ，则从6人中任取3人的所有情况为：(),,A B a 、(),,A B b 、(),,A B c 、(),,A B d 、(),,A a b 、(),,A a c 、(),,A a d 、(),,A b c 、(),,A b d 、(),,A c d 、(),,B a b 、(),,B a c 、(),,B a d 、(),,B b c 、(),,B b d 、(),,B c d 、()()()(),,,,,,,,a b c a b d a c d b c d 、、、，共20种情况，其中至少有一人年龄在[55,65）岁的情况有： (),,A B a 、(),,A B b 、(),,A B c 、(),,A B d 、(),,A a b 、(),,A a c 、(),,A a d 、(),,A b c 、(),,A b d 、(),,A c d 、(),,B a b 、(),,B a c 、(),,B a d 、(),,B b c 、(),,B b d 、(),,B c d ，共16种情况.记至少有一人年龄在[55,65）岁为事件A ，则()164205P A ==. 故至少有一人年龄在[55,65）岁的概率为45.☆技巧点拨☆古典概型与独立性检验的交汇问题的解题策略(1)古典概型的概率问题，关键是正确找出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率计算公式计算；当基本事件总数较少时，用列举法把所有的基本事件一一列举出来，要做到不重不漏，有时可借助表格，树状图列举；同时注意判断是古典概型还是几何概型，基本事件前者是有限的，后者是无限的，两者都有等可能性．(2)独立性检验是用来考察两个分类变量是否有关系，计算随机变量的观测值K 2，K 2越大，说明两个分类变量有关系的可能性越大．考点2 随机变量及其分布与统计交汇考查题组一随机变量及其分布与用样本估计总体交汇考查调研1 树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．(1)求这200人年龄的样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数(精确到小数点后一位)；(2)现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求这2组恰好抽到2人的概率；(3)若从所有参与调查的人(人数很多)中任意选出3人，设其中关注环境治理和保护问题的人数为随机变量，求的分布列与数学期望．【解析】(1)由，得，则平均数为岁.设中位数为，则，故．(2)第1,2组抽取的人数分别为2，3．设第2组中恰好抽取2人的事件为，则．(3)从所有参与调查的人中任意选出1人，关注环境治理和保护问题的概率为，的所有可能取值为0，1,2,3，∴，，，，所以的分布列为：∵，∴．题组二随机变量及其分布与独立性检验的交汇考查调研2 心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某高中数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位：人）（1）能否据此判断有的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）将以上列联表中女生选做几何题的频率作为概率，从该校1500名女生中随机选6名女生，记6名女生选做几何题的人数为，求的数学期望和方差.附表：参考公式：，其中.【解析】（1）由表中数据计算得的观测值为，可以判断有的把握认为视觉和空间能力与性别有关.（2）以列联表中女生选做几何题的频率作为概率，从该校名女生中随机选名女生，记名女生选做几何题的人数为，则服从二项分布，根据二项分布的期望公式可得数学期望为，根据二项分布的方差公式可得方差为.1．（福建省南平市2018届高三第二次（5月）综合质量检查）五四青年节活动中，高三(1)、(2)班都进行了3场知识辩论赛，比赛得分情况的茎叶图如图所示（单位：分），其中高三(2)班得分有一个数字被污损，无法确认，假设这个数字具有随机性()，那么高三(2)班的平均得分大于高三(1)班的平均得分的概率为A．B．C．D．【答案】D【解析】由茎叶图可得高三（1）班的平均分为，高三（2）的平均分为，由，得10>x>5,又，所以x可取6，7，8，9，故所求的概率为，选D．2．（百校联盟2018届高三TOP20四月联考）某高中在今年的期末考试历史成绩中随机抽取名考生的笔试成绩，作出其频率分布直方图如图所示，已知成绩在中的学生有1名，若从成绩在和两组的所有学生中任取2名进行问卷调查，则2名学生的成绩都在中的概率为A．B．C．D．【答案】C3．（山东省名校联盟2018年第一次适应性模拟试题）某市一中毕业生有3000名，二中毕业生有2000名．为了研究语文高考成绩是否与学校有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取100名学生，先统计了他们的成绩（折合成百分制），然后按“一中”、“二中”分为两组，再将成绩分为5组，，，，，，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图：（1）从成绩在90分（含90分）以上的学生中随机抽取2人，问至少抽到一名学生是“一中”的概率；（2）规定成绩在70分以下为“成绩不理想”，请根据已知条件构造列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“成绩理想不理想与所在学校有关”？附：【答案】(1);(2)见解析.（2）列联表如下：将列联表中的数据代入公式，可得：，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“成绩理想不理想与所在学校有关”.4．（2018届陕西省高三教学质量检测）某高中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需的时间(单位:分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中上学路上所需时间的范围是，样本数据分组为(1)求直方图中的值；(2)如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；(3)从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于 40分钟的人数记为，求的分布列和数学期望.(以直方图中的频率作为概率)【答案】( 1 )；(2)；(3)见解析.(3)的可能取值为0，1，2，3，4.5．（河北省石家庄市2018届高中毕业班模拟考试） 2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占，而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣．（1）完成下面的列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？（2）若将频率视为概率，现再从该校一年级全体学生中，采用随机抽样的方法每次抽取1名学生，抽取5次，记被抽取的5名学生中对冰球有兴趣的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列、期望和方差．附表：参考公式：【答案】（1）见解析；（2）见解析.（2）由列联表中数据可知，对冰球有兴趣的学生频率是，将频率视为概率，即从大一学生中抽取一名学生，对冰球有兴趣的概率是，由题意知，从而X的分布列为：，.6．（安徽省“皖南八校”2018届高三第三次（4月）联考数学试题）自2016年底，共享单车日渐火爆起来，逐渐融入大家的日常生活中，某市针对18岁到80岁之间的不同年龄段的城市市民使用共享单车情况进行了抽样调查，结果如下表所示：（1）采用分层抽样的方式从年龄在内的人中抽取人，求其中男性、女性的使用人数各为多少？（2）在（1）中选出人中随机抽取4人，求其中恰有2人是女性的概率；（3）用样本估计总体，在全市18岁到80岁的市民中抽取4人，其中男性使用的人数记为，求的分布列.【答案】（1）男性、女性人数分别为6,4；（2）；（3）见解析.,所以分布列为：1．（2017新课标全国II理科）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）．其频率分布直方图如下：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50 kg，新养殖法的箱产量不低于50 kg”，估计A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．附：，22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】（1）0.4092；（2）见解析；（3）52.35kg .【解析】（1）记B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg ”，C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg ”，由题意知()()()()P A P BC P B P C ==，旧养殖法的箱产量低于50kg 的频率为()0.0120.0140.0240.0340.04050.62++++⨯=， 故()P B 的估计值为0.62．新养殖法的箱产量不低于50kg 的频率为()0.0680.0460.0100.00850.66+++⨯=， 故()P C 的估计值为0.66．因此，事件A 的概率估计值为0.620.660.4092⨯=．2． (2016新课标全国I理科)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. （I ）求X 的分布列；（II ）若要求()0.5P X n ≤≥，确定n 的最小值；（III ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n =与20n =之中选其一，应选用哪个？ 【答案】（I ）见解析；（II ）19；（III ）19=n .（III ）记Y 表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.当19=n 时，08.0)500220019(2.0)50020019(68.020019⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=EY。

5.概率的基本性质及常见概率的计算 (1)随机事件的概率:0≤P(A)≤1;必然事件的概率是1;不可能事件 的概率是0. (2)若事件A,B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B). (3)若事件A,B对立,则P(A∪B)=P(A)+P(B)=1. (4)两种常见的概率模型 ①古典概型的特点:有限性,等可能性;
卷 设问特点 别
核心知识
考点精题
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1.统计图表 (1)在频率分布直方图中:①各小矩形的面积表示相应各组的频率, 频率 各小矩形的高= 组距 ;②各小矩形面积之和等于1. (2)茎叶图:当数据是两位数时,用中间的数字表示十位数,两边的 数字表示个位数;当数据是三位数,前两位相对比较集中时,常以前 两位为茎,第三位(个位)为叶(其余类推).
3.变量间的相关关系 (1)如果散点图中的点从整体上看大致分布在一条直线的附近,那 么我们说变量x和y具有线性相关关系. (2)线性回归方程:若变量x与y具有线性相关关系,有n个样本数据
(xi,yi)(i=1,2,…,n),则回归方程为������ = b x+������,其中������ = ������ − ������ ������.
核心知识
考点精题
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卷 设问特点 别 求平均数、方差, 全 求正态分布的概 国 率,求二项分布 Ⅰ 的 E( X) 2014 全 求线性回归方 国 程,并分析变化 , Ⅱ 求预报值 年份
涉及知识点
题目类型
解题思想 方法
频率分布直方图、样本的数据 分析、抽 平均数、 方差、 正 特征、正态 象,转换 态分布、二项分 分布、二项 思想 布、数学期望 分布 平均值、 回归方程 回归分析 分析、处 理数据
核心知识

教学参谋1考卷解析2018年8月2013〜2018年高考数学全国卷“概率与统计”专题分析®内江师范学院数学与信息科学学院余小芬蒲葭露刘成龙多数高考试题立意深刻、构思巧妙、设计新颖，直接 体现了高考命题理念、命题原则、命题思路.研究高考试 题，对把握试题特点、知识考点、难易程度有益;对把握 高考命题动态、领会命题精神有利;对提高复习的针对 性、减少复习盲目性有效.本文以2013~2018年高考数学 全国卷中“概率与统计”试题为研究对象，从试题特点、考查要点、教学建议进行分析，以飨读者.—、2013~2018年全国卷“概率与统计”试题特点1.命题背景概率与统计是高考数学中考查实际应用能力和数 学建模能力的一个重要载体，也是考查必然与或然数学 思想的重要内容.全国卷概率与统计命题取材贴近生产、生活，比如，概率部分常以抽签选号、比赛得分、电路 流通、质量抽检等角度命题，考查各类随机事件的概率；统计部分常从成本控制、利润获取、方案决策、数据预测 等角度命题，考查利用样本数据估计总体特征，利用均 值、方差等对实际问题作出评价或判断.特别指出，2018 年高考重视数学文化考查，比如2018年全国I卷理科第 10题以古希腊数学家希波克拉底研究的直角三角形外 接半圆图形为载体考查几何概型，2018年全国n卷理科 第8题以哥德巴赫猜想为背景考查古典概型等等.2知识考查近年全国卷中概率与统计部分主要考查抽样方法 (以分层抽样为主)、统计图(表)的应用(识图、作图、用 图)、系数的相关性（独立性检验思想、回归思想的运 用)、随机事件(互斥事件、独立事件、独立重复试验、等 可能事件)的概率、离散型随机变量的分布列、期望、方 差、正态分布.概率与统计命题中呈现一定的交汇性.首先，概率 与统计知识交织紧密，尤其以统计图(表)为载体，结合 图(表)中数据，运用频率估计概率思想，考查古典概型、互斥事件的概率加法公式、对立事件的概率乘法公式 等.其次，在分析生产、销售中的成本、利润问题时，概率统计与分段函数、函数最值相结合是历年考查的热点.3. 能力考查《普通高中数学课程标准（2017年版)》(下文简称 《标准》)指出数学学科核心素养包括:数学抽象、逻辑推 理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析.其中，数 据分析是指针对研究对象获取数据，运用数学方法对数 据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的素 养.概率与统计部分教学的主要目的是使学生体会统计 与概率的基本思想，处理数据、制定决策,培养学生“用 数据说话”的理性思维.全国卷概率与统计部分对学生 能力的考查呈现6大特点：淡化解题技巧，重视通性通 法;减少运算速度要求，强调运算思路本身;重视形成科 学正确的随机观念认识随机现象;重视培养对信息的阅 读、筛选、分析能力;重视培养解决实际问题中的估算、判断、决策能力;重视必然与或然、分类与整合、化归与 转化等数学思想在解题中的运用■4. 命题规律⑴客观题的命题规律2013~2014年全国卷客观题主要考查概率知识，尤 其古典概型在历年试题中均有涉及.从2015年开始，客 观题重视考查统计知识，以对统计图的认识为主要考査 形式.同时，几何概型成为概率部分的“新兴”考点，尤其 在2016、2017、2018年考查题数最多，主要涉及线段、面 积模型.此外，抽样方法、样本数据特征、二项分布、正态 分布等知识点隔年交替考查，主要考查基本概念、公式 等规则的运用•⑵解答题的命题规律2010年前，全国卷考查核心为随机事件的概率，重 视逻辑推理，强调排列组合问题解答的技巧性,但在合 情推理和应用意识方面考查较少.从2011年开始，增加 考查频率分布表、频率分布直方图的应用，通过利用图 (表冲数据，利用频率估计概率的思想解决问题.2013~ 2016年，又增加对茎叶图、散点图、折线图的应用考查，增加考查绘制(或完善)茎叶图、频率分布直方图，增加 回归分析统计案例，重视结合实际生活经验对问题进行42十7龙*?高中2018年8月考卷解析教学参谋判断、评价、预测处理.2017年独立性检验在停考7年后 “重登舞台”,并且2018年依然“隆重登场”;正态分布在 停考3后,2017年“再现身影尤其是正态分布试题具有鲜明的特点:从以往考查“已知规则、简单套用”过渡到 考查“理解原理、回归运算”.(裴光亚语)总的来看，尽管 解答题焕然一新，但对中位数、均值、标准差等数据的计 算仍为考查重点，频率估计概率、样本估计总体仍是问 题解决的核心思想.二、2010~2018年全国卷"概率与统计”试题分类评析为进一步把握命题方向，下面对近八年全国卷概率 与统狀题分类评析•1.统计部分(1) 抽样方法在统计的教学中，应引导学生根据实际问题的需 求，选择不同的抽样方法获取数据，理解数据蕴含的信 息.常见抽样方法有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样. 近年全国卷中，抽样方法主要涉及分层抽样.例如2018 年全国I卷文科第18题、2018年全国H I卷文科第14题、2013年全国I卷理科第3题.(2) 统计图表的应用统计图表具有直观、实用的特性.《标准》指出:根据 数据分析的需求，选择适当的统计图表描述和表达数 据，并从样本数据中提取需要的数字特征，估计总体的 统计规律，解决相应的实际问题.高考对统计的考查也 常以统计图表为信息载体，从多角度、多层次命制试题, 充分考查学生识图、作图、用图的能九(i )简单识图应用近年，全国卷立足生产、生活热点，设计出很多可读 性强、图文新颖、贴近生活的统计图.比如2016年全国m 卷理科第4题介绍一年中各月平均最高气温和平均最低 气温的雷达图、2017年全国m卷理科第3题考查了以“旅 游”为背景的折线统计图、2018年全国I卷理科第3题呈 现了关于新农村建设的农村经济收入变化饼状图.(i i)用样本的数字特征估计总体特征“以数据进行推断的思考方式已成为现代社会普遍 应用的思维模式，以样本估计总体是统计学最核心的思 想方法历年全国卷中，不乏用样本估计总体的试题，这类题考查学生画(或完善)频率分布直方图、茎叶图 等，并从样本中提取或计算重要数据，如“三数”、标准差 等，进而要求对总体进行合理的解释或评价的能九例如2018年全国I卷文科第19题，该题坚持了高考 “立德树人”的基本导向，通过对比某家庭使用节水龙头 前后的用水量，让学生树立保护水资源的可持续发展意识，培养节约用水的良好品行.第1问考查频数分布表、频率分布直方图，强调学生的作图能力;第2问考查利用 样本数据特征估计总体特征、古典概型等基本知识，考 查学生的估算意识以及计算能力；第3问涉及对节水前 后用水量的对比，考查学生对频数分布表的理解和应 甩近年全国卷同类型考题还有:2017年全国I卷文科 第2题;2015年全国I I卷文(理)科第18题等.可见，样本 估计总体是历年全国卷文科数学的高频考点.(i i i)统计图(表)的综合应用在工农业生产与经济生活中，质量控制、成本控制、风险控制以及产品库存等问题是经常要面对并需解决 的问题，而这些问题中普遍受到随机因素或不确定性变 量的影响，自然地需要建立随机模型，需要搜集、整理和 处理数据，需要应用统计或概率的知识和方法并最终作 出决策.高考命题常以上述实际问题为背景，以统计图 (表)为载体，考查频率与概率、随机变量分布列、期望的 计算及应用等知识，考查学生的建模、数据处理等综合 能九例如2016年全国I卷理科第19题，该题以实际生产 中成本控制为命题背景，考查柱状图的应用.第1问根据 柱状图及频率估计概率的基本思想，考查分布列的求 解.在计算;r所对应的各个概率时，涉及分类讨论思想，将问题转化为互斥事件的和以及独立事件的积进行处 理;第2问在第1问分布列的基础上，考查互斥事件的概 率加法公式；第3问以费用期望值的最小化为决策依据 确定购买量.事实上，为确定最优购买量，应逐一计算n= 16,17,…,22时所对应的期望值，通过比较得出最小期 望值所对应的41即为最优购买量.但为降低运算量，减 少重复表示，命题者只要求考生计算并对比n=19与n=20 所对应的期望值，这也体现了试题设问方式和能力考查 方向的新变化.近年全国卷同类型考题还有:2017年全 国HI卷文(理)科第18题;201碑全国I卷文科第1顿等.(3)变量的相关性2017年《考试大纲》对“变量的相关性”和“统计案 例”的要求是:两个“会”一会作两个有关联变量的数 据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系.三 个“了解”—了解最小二乘法的思想，了解独立性检验 (只要求2x2列联表)的基本思想、了解回归分析的基本 思想.两个“能”—能根据给出的线性回归方程系数公 式建立线性回归方程;能应用一些常见的统计方法解决 一些实际问题.特别指出，在教学中，不要求学生记忆线 性回归方程、独立性检验中的相关公式或取值，能利用 已知公式代值计算、并利用所得结果对问题进行判断或 预测即可.重点考查统计思想的运用.高中十龙*? 43(i ) 独立性检验思想的应用独立性检验可谓是逐步登上高考舞台的新生花且. 独立性检验试题首次出现在2009年辽宁省卷中，由此拉 开了对独立性检验考查的序幕.近年全国卷独立性检验 的试题有:2018年全国H I 卷文(理)科第19题,2017年全 国n 卷文(理)科第19题.鉴于独立性检验在实际问题中 的应用广泛，其极有可能成为新的热门考点，复习备考 中应引起重视.以2018年全国m 卷文(理)科第19题为例,该题第2 问考查学生对独立性检验思想的应甩首先根据中位数m 完善两种生产方式下工人完成工作情况的列联表，进而 利用公式得出随机变量於的观测值，最后与临界值比较 得出结论.(i i ) 回归思想的应用回归思想是统计学的重要思想.高考试题对回归思 想的应用往往从画散点图，理解相关系数的意义，利用 最小二乘法求回归方程,预测等角度设置问题以2018年全国n 卷文(理)科第18题为例，该题考查 折线图，变量间的相关关系.第1问直接利用题中所给两 模型的回归方程，不难得出该地区2018年的环境基础设 施投资额的预测值;该题考查了对利用回归方程进行数 据计算、模型拟合的回归思想的应用.近年全国卷同类 型考题还有:2016年全国ID 卷文(理)科第18题,2015年 全国I 卷文(理)科第19题等.2•概率部分(1)随机事件的概率例1 (2013年大纲卷•文20)甲、乙、丙三人进行羽 毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结 束时，负的一方在下一局当裁判,设各局双方获胜的概率均为各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判.(I )求第4局甲当裁判的概率；(n )求前4局中乙恰好当1次裁判的概率_评析:本例考查相互独立事件、互斥事件、对立事件 概率的求法.（I )问考查学生的逻辑推理能力.由于第1 局甲当裁判，所以“第4局甲当裁判”必推出“第2局比赛 结果为甲胜”(这样甲才能进入第三局比赛)且“第三局 比赛结果为甲负进而利用相互独立事件同时发生的 概率乘法公式解决问题.（n )问考查分类讨论、化归与 转化的数学思想.解题关键是分析出“前4局中乙恰好当 1次裁判”的三种具体赛况：（乙负，乙裁，乙胜，乙赛）, (乙胜，乙胜，乙负，乙裁）,（乙胜，乙负，乙裁，乙赛).近 年全国卷同类型考题还有:2014年大纲卷文科第20题.特别指出，在随机事件的概率部分，除了事件的关 系和运算是考查的重点，古典概型、几何概型、条件概率参谋J 考卷醜f ____________________________________2018年8月也是近年考查的热点.例如古典概型的考题有:2018年 全国n 卷文科第5题、理科第8题,2017年全国n 卷文科 第11题等;几何概型的考题有:2018年全国I 卷文科第9 题、理科第10题，2017年全国I 卷文科第4题、理科第2 题等;条件概率的考题有:2018年全国m 卷文科第5题、2016年全国n卷文(理)科第18题（n )问等.⑵离散型随机变量的分布列、均值与方差均值和方差(或标准差)是统计学的重要概念.均值 反映了随机变量取值的平均水平，方差(或标准差)刻画 随机变量的分散程度，它们都是解决实际问题的重要理 论依据.高考对离散型随机变量的分布列、均值、方差的 常见考查方式有两种:一是利用随机事件的概率性质或 公式求解分布列，再求期望、方差.这是2014年前大纲卷 理科数学解答题的高频考点.二是结合统计图（表)考 查，利用分布列、均值、方差等对实际问题作出判断、决 策等，这是历年新课标卷解答题的考查重点、热点.例2 (2018年全国I 卷•理20)某工厂的某种产品 成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对 产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验 时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果 决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合 格品的概率都为;),且各件产品是否为不合格品 相互独立.(I )记20#产品中恰有2件不合格品的概率为办),求/t p )的最大值点P 。

概率与统计热点一 常见概率模型的概率几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率、条件概率是高考的热点，几何概型主要以客观题考查，求解的关键在于找准测度(面积，体积或长度)；相互独立事件，互斥事件常作为解答题的一问考查，也是进一步求分布列，期望与方差的基础，求解该类问题要正确理解题意，准确判定概率模型，恰当选择概率公式.【例1】现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. (1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列.解 依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0，1，2，3，4). 则P (A i )＝C i 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i.(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率 P (A 2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827.(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3＋A 4，且A 3与A 4互斥，∴P (B )＝P (A 3＋A 4)＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133×23＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝19.(3)依题设，ξ的所有可能取值为0，2，4. 且A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥. 则P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827，P (ξ＝2)＝P (A 1＋A 3)＝P (A 1)＋P (A 3)＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫131·⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133×23＝4081，P (ξ＝4)＝P (A 0＋A 4)＝P (A 0)＋P (A 4) ＝C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫234＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝1781.所以ξ的分布列是【类题通法】(1)本题44人中恰有i 人参加甲游戏的概率P ＝C i 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i，这是本题求解的关键.(2)解题中常见的错误是不能分清事件间的关系，选错概率模型，特别是在第(3)问中，不能把ξ＝0，2，4的事件转化为相应的互斥事件A i 的概率和.【对点训练】甲、乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为34，23，12，乙队每人答对的概率都是23，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分. (1)求ξ＝2的概率；(2)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率. 解 (1)ξ＝2，则甲队有两人答对，一人答错，故P (ξ＝2)＝34×23×⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×12＝1124；(2)设甲队和乙队得分之和为4为事件A ，甲队比乙队得分高为事件B .设乙队得分为η，则η～B ⎝⎛⎭⎪⎫3，23.P (ξ＝1)＝34×⎝⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×12＝14，P (ξ＝3)＝34×23×12＝14，P (η＝1)＝C 13·23·⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝29，P (η＝2)＝C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫232·13＝49，P (η＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，∴P (A )＝P (ξ＝1)P (η＝3)＋P (ξ＝2)P (η＝2)＋P (ξ＝3)·P (η＝1) ＝14×827＋1124×49＋14×29＝13， P (AB )＝P (ξ＝3)·P (η＝1)＝14×29＝118， ∴所求概率为P (B|A )＝P （AB ）P （A ）＝11813＝16.热点二 离散型随机变量的分布列、均值与方差离散型随机变量及其分布列、均值与方差及应用是数学高考的一大热点，每年均有解答题的考查，属于中档题.复习中应强化应用题目的理解与掌握，弄清随机变量的所有取值是正确列随机变量分布列和求均值与方差的关键，对概率模型的确定与转化是解题的基础，准确计算是解题的核心，在备考中强化解答题的规范性训练.【例2】甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立.(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望).解 用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示“第k 局乙获胜”，则P (A k )＝23，P (B k )＝13，k ＝1，2，3，4，5. (1)P (A )＝P (A 1A 2)＋P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2A 3A 4) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)·P (A 3)P (A 4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋23×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝5681.(2)X 的可能取值为2，3，4，5.P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)·P (B 2)＝59，P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝29，P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)P (B 4)＝1081， P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881. 故X 的分布列为E (X )＝2×59＋3×29＋4×81＋5×81＝81. 【类题通法】求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤 第一步：确定随机变量的所有可能值； 第二步：求每一个可能值所对应的概率； 第三步：列出离散型随机变量的分布列； 第四步：求均值和方差；第五步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.【对点训练】为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元.求： ①顾客所获的奖励额为60元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.解(1)设顾客所获的奖励额为X.①依题意，得P(X＝60)＝C11C13C24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为1 2 .②依题意，得X的所有可能取值为20，60.P(X＝60)＝12，P(X＝20)＝C23C24＝12，即X的分布列为所以顾客所获的奖励额的数学期望为E(X)＝20×2＋60×12＝40(元).(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元.所以，先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理，可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为X 1的数学期望为E(X1)＝20×16＋60×3＋100×6＝60(元)，X 1的方差为D(X1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝1 6003.对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为X 2的数学期望为E(X2)＝40×16＋60×3＋80×6＝60(元)，X 2的方差为D(X2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003.由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.热点三概率与统计的综合应用概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点.主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键.复习时要在这些图表上下工夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及数学均值与方差的运算.【例3】2018年6月14日至7月15日，第21届世界杯足球赛将于俄罗斯举行，某大学为世界杯组委会招收志愿者，被招收的志愿者需参加笔试和面试，把参加笔试的40名大学生的成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示：(1)分别求出成绩在第3，4，5组的人数；(2)现决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6人进行面试.①已知甲和乙的成绩均在第3组，求甲或乙进入面试的概率；②若从这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第4组中有X名学生被考官D 面试，求X的分布列和数学期望.解 (1)由频率分布直方图知： 第3组的人数为5×0.06×40＝12. 第4组的人数为5×0.04×40＝8. 第5组的人数为5×0.02×40＝4.(2)利用分层抽样，在第3组，第4组，第5组中分别抽取3人，2人，1人. ①设“甲或乙进入第二轮面试”为事件A ，则 P (A )＝1－C 310C 312＝511，所以甲或乙进入第二轮面试的概率为511. ②X 的所有可能取值为0，1，2，P (X ＝0)＝C 24C 26＝25，P (X ＝1)＝C 12C 14C 26＝815，P (X ＝2)＝C 22C 26＝115.所以X 的分布列为E (X )＝0×25＋1×815＋2×115＝15＝3.【类题通法】本题将传统的频率分布直方图与分布列、数学期望相结合，立意新颖、构思巧妙.求解离散型随机变量的期望与频率分布直方图交汇题的“两步曲”：一是看图说话，即看懂频率分布直方图中每一个小矩形面积表示这一组的频率；二是活用公式，本题中X 服从超几何分布.【对点训练】某公司为了解用户对某产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记事件C ：“A 评价结果相互独立.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率.解 (1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散. (2)记C A 1表示事件：“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；C A 2表示事件：“A 地区用户的满意度等级为非常满意”； C B 1表示事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意”； C B 2表示事件：“B 地区用户的满意度等级为满意”， 则C A 1与C B 1独立，C A 2与C B 2独立，C B 1与C B 2互斥，C ＝C B 1C A 1∪C B 2C A 2.P (C )＝P (C B 1C A 1∪C B 2C A 2) ＝P (C B 1C A 1)＋P (C B 2C A 2) ＝P (C B 1)P (C A 1)＋P (C B 2)P (C A 2).由所给数据得C A 1，C A 2，C B 1，C B 2发生的频率分别为1620，420，1020，820，即P (C A 1)＝1620，P (C A 2)＝420，P (C B 1)＝1020，P (C B 2)＝820，故P (C )＝1020×1620＋820×420＝0.48. 热点四 统计与统计案例能根据给出的线性回归方程系数公式求线性回归方程，了解独立性检验的基本思想、方法，在选择或填空题中常涉及频率分布直方图、茎叶图及样本的数字特征(如平均数、方差)的考查，解答题中也有所考查.【例4】从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑10i ＝1x i ＝80，∑10i ＝1y i ＝20，∑10i ＝1x i y i ＝184，∑10i ＝1x 2i ＝720. (1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄. 附：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝，a ^＝y －b ^x ，其中x ，y 为样本平均值.解 (1)由题意知n ＝10，x ＝1n ∑ni ＝1x i ＝8010＝8，y ＝1n ∑ni ＝1y i ＝2010＝2， 又l xx ＝∑ni ＝1x 2i －n x 2＝720－10×82＝80， l xy ＝∑ni ＝1x i y i －n x y ＝184－10×8×2＝24， 由此得b ^＝l xy l xx ＝2480＝0.3，a ^＝y －b ^x ＝2－0.3×8＝－0.4， 故所求线性回归方程为y ^＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b ^＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关.(3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ^＝0.3×7－0.4＝1.7(千元). 【类题通法】(1)分析两个变量的线性相关性，可通过计算相关系数r 来确定，r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强，r 的绝对值越接近于0，表明两变量线性相关性越弱.(2)求线性回归方程的关键是正确运用b ^，a ^的公式进行准确的计算.【对点训练】4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动.为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查.下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位：分钟)的频率分布直方图.若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”，低于60分钟的学生称为“非读书迷”.(1)根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”与性别有关？(2)将频率视为概率.1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列、期望E (X )和方差D (X ). 解 (1)完成2×2列联表如下：11K 2＝10060×40×55×45≈8.249＞6.635，故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关.(2)将频率视为概率.则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率P ＝25.由题意可知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25，P (X ＝i )＝C i 3⎝ ⎛⎭⎪⎫25i ⎝ ⎛⎭⎪⎫353－i(i ＝0，1，2，3).X 的分布列为均值E (X )＝np ＝3×25＝5，方差D (X )＝np (1－p )＝3×25×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25＝1825.。