2020高中数学 2.2.2对数函数及其性质教材分析 新人教A版必修1

2.2.2对数函数及其性质一、教学内容分析《普通高中课程标准数学教科书·必修（1）》（人民教育出版社）高中一年级第二单元2.2.2《对数函数的图象和性质》第一课时。

函数是高中数学的主体内容——变量数学的主要研究对象之一，是中学数学的重点知识，研究函数的一般理论和基本方法，用函数的思想方法解决实际问题，是函数教学的主要目标。

必修(Ⅰ)2.2.2对数函数及其性质，按课标要求教学时间为3个学时，本节课为第1课时，本节课教学是学生在学过正比例函数、一次函数、二次函数、反比例函数和指数函数的基础上进一步学习的一种新函数，对对数函数概念的理解，图象和性质的掌握和应用有利于学生对初等函数认识的系统性，有利于进一步加深对函数思想方法的理解。

为后面进一步探究对数函数的应用及指数函数、对数函数的综合应用起到承上启下的作用。

二、学情与教材分析对数函数是高中引进的第二个初等函数，是本章的重点内容。

学生在前面的函数性质、指数函数学习的基础上，用研究指数函数的方法，进一步研究和学习对数函数的概念、图象和性质以及初步应用，有利于学生进一步完善初等函数的认识的系统性，加深对函数的思想方法的理解，在教学过程中，虽然学生的认知水平有限，但只要让学生体验对数函数来源于实践，通过教师课件的演示，通过数形结合，让学生感受y=log a x(a>0且a≠1)中，a取不同的值时反映出不同的函数图象，让学生观察、小组讨论、发现、归纳出图象的共同特征、函数图象的规律，进而探究学习对数函数的性质。

最后将对数函数、指数函数的图象和性质进行比较，以便加深对对数函数的概念、图象和性质的理解，同时也为后面教学作准备。

三、设计思想在本节课的教学过程中，通过古遗址上死亡生物体内碳14含量与生物死亡年代关系的探索，引出对数函数的概念。

通过对底数a的分类讨论，探究总结出对数函数的图象与性质，使学生经历从特殊到一般的过程，体验知识的产生、形成过程，通过例题的分析与练习，进一步培养学生自主探索，合作交流的学习方式，通过学生经历直观感知，观察、发现、归纳类比，抽象概括等思维过程，落实培养学生积极探索学习习惯，提高学生的数学思维能力的新课程理念。

课题：2.2.2对数函数及其性质（2）精讲部分学习目标展示（1）掌握对数函数的图象及性质（2）掌握对数函数的性质比较大小（3）掌握对数形式的函数定义域、值域的求法 衔接性知识1. 请画出指数函数()log (0a f x x a =>且1)a ≠的图象并，说明这些图象过哪个定点。

2. ①当0x >时，2log 0x ；当0x <时，2log 0x；②当0x >时，12log 0x；当0x <时，12log 0x.基础知识工具箱对数函数的图象和性质函数名称 指数函数解析式 ()log (0a f x x a =>且1)a ≠定义域 (0,)+∞值域(,)-∞+∞，图象1a > 01a <<性质奇偶性 对数函数是非奇非偶函数单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值分布0(1)log 0(1)1(01)a x x x x >>⎧⎪==⎨⎪<<<⎩0(1)log 0(1)0(01)a x x x x <>⎧⎪==⎨⎪><<⎩典例精讲剖析例1. 比较下列各组数中两个值的大小：（1）2log 3.4，2log 3.8； （2）05log 1.8，05log 2.1；（3）log 5.1a ，log 5.9a （0a >，1a ≠）； （4）7log 5，6log 7；（5） 2.10.3，0.312，2log 0.3； （6）0.7log 0.8， 1.1log 0.9，0.91.1 解：（1）对数函数2y log x =在(0,)+∞上是增函数，且3.4 3.8<.于是22log 3.4log 3.8<.（2）对数函数0.5y log x =在(0,)+∞上是减函数，且1.8 2.1<，于是0505log 1.8log 2.1>. （3）当1a >时，对数函数log a x 在(0,)+∞上是增函数，于是log 5.1log 5.9a a <；当01a <<时，对数函数log a x 在(0,)+∞上是减函数，于是log 5.1log 5.9a a >. （4）因为函数7log x 和函数6log x 都是在(0,)+∞上的增函数，所以77log 5log 71<=，66log 7log 61>=，所以76log 5log 7<.（5） 2.1000.30.31<<=Q ，0.310221>=，22log 0.3log 10<=，2.10.312log 0.30.32∴<<，（6）0.70.70log 0.8log 0.71<<=Q ， 1.1 1.1log 0.9log 10<=，0.901.1 1.11>=0.91.10.7log 0.9log 0.8 1.1∴<<例2. 解下列不等式：（1）33log (21)log (52)x x ->- （2）0.30.3log (35)log (27)x x -≥+解：（1）原不等式可化为2105202152x x x x ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩125232x x x ⎧>⎪⎪⎪⇒<⎨⎪⎪>⎪⎩3522x ⇒<< 所以，原不等式的解集为35(,)22（2）原不等式可化为3502703527x x x x ->⎧⎪+>⎨⎪-≤+⎩527212x x x ⎧>⎪⎪⎪⇒>-⎨⎪≤⎪⎪⎩5122x ⇒<≤所以，原不等式的解集为5(,12]2例3.若3log 14a<（0a >，1a ≠），求实数a 的取值范围. 解：3log 14a <Q ，3log log 4a a a ∴<当1a >时，134a a >⎧⎪⎨>⎪⎩1a ⇒>；当01a <<时，0134a a <<⎧⎪⎨<⎪⎩ 304a ⇒<<. 从而1a >或304a <<，即实数a 的取值范围3(0,)(1,)4+∞U 例4.已知函数23()log (87)f x x x =-+-，求函数()f x 的定义域与值域解：由已知，得2870x x -+->2870x x ⇒-+<(1)(7)0x x ⇒--<1070x x ->⎧⇒⎨-<⎩或1070x x -<⎧⎨->⎩17x x >⎧⇒⎨<⎩或17x x <⎧⎨>⎩17x ⇒<< 所以函数()f x 的定义域为(1,7)设287t x x =-+-，则 2287(4)9t x x x =-+-=--+17x <<Q ，∴当4x =时，t 取得最大值9，即09t <≤，33log log 92t ∴≤=，()2f x ≤，所以函数()f x 的值域(,2]-∞精练部分A 类试题（普通班用）1. 设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．b >a >cD ．b >c >a[答案] A[解析] a ＝log 3π>log 33＝1，b ＝log 23＝lg 3lg2＝12lg3lg2＝12log 23>12log 22＝12，又12log 23<12log 24＝1，c ＝log 32＝lg 2lg3＝12lg2lg3＝12·log 32<12log 33＝12，∴a >b >c ..2. 已知集合{2|log ,1}A y y x x ==>，1{|(),1}2x B y y x ==>，则A B =U ( ) A ．1{|0}2y y << B ．{|0}y y > C ．Φ D ．R[答案] B [解析]{2|log ,1}{|0}A y y x x y y ==>=>，11{|(),1}{y |0y }22x B y y x ==>=<<所以，{|0}A B y y =>U ，故选B.3. 函数y =定义域为( )A.3(,1)4 B. 3(,)4+∞ C ．(1,)+∞D. 3(,1)(1,)4+∞U[答案] A[解析] 0.50.5log (43)0log 1x ->=，∴0431x <-<，∴314x <<. 4. 若3log 14a>（0a >，1a ≠），求实数a 的取值范围. 解：3log 14a >Q ，3log log 4a a a ∴>当1a >时，134a a >⎧⎪⎨<⎪⎩，它无解；当01a <<时，0134a a <<⎧⎪⎨>⎪⎩ 314a ⇒<<.从而1a >或304a <<，即实数a 的取值范围3(,1)45. 已知0.70.7log (2)log (1)m m <-，求m 的取值范围[解析] (1)考察函数0.7y log x =，它在(0,)+∞上是减函数． 因为0.70.7log (2)log (1)x m <-，所以210m m >->.由201021m m m m >⎧⎪->⎨⎪>-⎩，得1m >,所以m 的取值范围是(1,)+∞ 6. 判断函数21()log 1xf x x+=-的奇偶性 解：由已知，得101xx +>-1010x x +>⎧⇒⎨->⎩或1010x x +<⎧⎨-<⎩，解得11x -<< 所以()f x 的定义域为(1,1)-，它关于原点对称1222111()log log ()log 111x x xf x x x x--++-===-+--Q ，()()f x f x ∴-=- 从而()f x 是奇函数B 类试题（3+3+4）（尖子班用）1. 设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．b >a >cD ．b >c >a[答案] A[解析] a ＝log 3π>log 33＝1，b ＝log 23＝lg 3lg2＝12lg3lg2＝12log 23>12log 22＝12，又12log 23<12log 24＝1，c ＝log 32＝lg 2lg3＝12lg2lg3＝12·log 32<12log 33＝12，∴a >b >c ..2. 已知集合{2|log ,1}A y y x x ==>，1{|(),1}2x B y y x ==>，则A B =U ( ) A ．1{|0}2y y << B ．{|0}y y > C ．Φ D ．R[答案] B [解析]{2|log ,1}{|0}A y y x x y y ==>=>，11{|(),1}{y |0y }22x B y y x ==>=<<所以，{|0}A B y y =>U ，故选B.3. 函数y =定义域为( )A.3(,1)4 B. 3(,)4+∞ C ．(1,)+∞D. 3(,1)(1,)4+∞U[答案] A[解析] 0.50.5log (43)0log 1x ->=，∴0431x <-<，∴314x <<. 4．函数(23)log a y x -=在在(0,)+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是________ [答案] 3(,2)2[解析]由已知，得0231a <-<，解得322a <<，所以实数a 的取值范围是3(,2)25．已知0.70.7log (2)log (1)m m <-，则m 的取值范围是________ [答案] (1,)+∞[解析] (1)考察函数0.7y log x =，它在(0,)+∞上是减函数．因为0.70.7log (2)log (1)x m <-，所以210m m >->.由201021m m m m >⎧⎪->⎨⎪>-⎩得1m >,所以m 的取值范围是(1,)+∞6.函数12log y x =，(0,8]x ∈的值域是[答案] [3,)-+∞[解析] 08x <≤Q ，，∴1122log log 83y x =≥=- ，即函数的值域是[3,)-+∞.7. 若3log 14a>（0a >，1a ≠），求实数a 的取值范围. 解：3log 14a >Q ，3log log 4a a a ∴>当1a >时，134a a >⎧⎪⎨<⎪⎩，它无解；当01a <<时，0134a a <<⎧⎪⎨>⎪⎩ 314a ⇒<<. 从而1a >或304a <<，即实数a 的取值范围3(,1)48.已知函数2110()log (1020)f x x x =-+，求()f x 的定义域与值域解：使解析式有意义，得210200x x -+>，220x x ∴-<，(2)0x x -< 从而02x x >⎧⎨<⎩或02x x <⎧⎨>⎩，解得02x <<，所以()f x 的定义域(0,2)设2102t x x =-+，则2210210(1)10t x x x =-+=--+02x <<Q ，∴当1x =时，t 取得最大值10，即010t <≤，所以111010log log 101t ≥=-从而()f x 的值域为[1,)-+∞ 9. 判断函数21()log 1xf x x+=-的奇偶性 解：由已知，得101xx +>-1010x x +>⎧⇒⎨->⎩或1010x x +<⎧⎨-<⎩，解得11x -<< 所以()f x 的定义域为(1,1)-，它关于原点对称1222111()log log ()log 111x x xf x x x x--++-===-+--Q ，()()f x f x ∴-=- 从而()f x 是奇函数 10. 已知1100100x ≤≤，求函数lg (lg 2)y x x =⋅-的最大值与最小值 解：设lg t x =，则22(2)2(1)1y t t t t t t =-=-=--1100100x ≤≤Q，2lg 2x ∴-≤≤，即22t -≤≤ 所以当1t =，即10x =时，min 1y =-；当2t =-，即1100x =时，max 8y =； 故函数lg (lg 2)y x x =⋅-的最大值为8，最小值为1-。

《对数函数及其性质》说课稿各位评委、各位老师，下午好！今天我说课的内容是《对数函数及其性质》第一课时,下面我主要从：★教材分析★学情分析★教法、学法★教学过程★板书设计等五个角度进行说课。

一、教材分析1、本节课内容在教材中的地位与作用《对数函数及其性质》是高中数学人教A版必修一第2章第2节内容，它是高中阶段我们所要研究的重要的基本初等函数之一，并且对数函数一直是高考的重点和热点．本节内容是在学生已经学过指数、指数函数、对数基础上引入的，因此既是对上述知识的拓展和延伸，也是对函数思想的进一步认识与理解．本节课的学习使学生的知识体系更加完整、系统，同时它也为学生今后进一步学习对数方程、对数不等式等内容奠定了基础。

《对数函数及其性质》按课标要求是四个课时。

第一课时是本节课的内容是对数函数的定义、图象、性质及其初步应用；第二课时是对数函数性质的应用，利用对数函数的单调性比较两个数的大小的方法以及解对数不等式；第三课时是对数型函数恒过定点问题及同底的对数函数和指数函数互为反函数关系问题;第四课时是对数型复合函数的单调性及值域。

这样处理在于突出重点、分散难点，使学生更容易接受和理解.2、教学目标知识与技能：1、理解对数函数的概念，能正确描绘对数函数的图象，掌握对数函数的性质。

2、初步利用对数函数的图象与性质来解决简单的问题。

.过程与方法：1、经历探究对数函数的图象与性质的过程，培养学生观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力；2、渗透类比、数形结合、分类讨论等数学思想方法。

情感、态度价值观：1、培养学生勇于探索的精神以及数学应用意识，让学生主动融入学习。

感受获得成功后的喜悦心情，养成积极合作、大胆交流、虚心学习的良好品质。

2、发展学生数学应用意识，培养学生思维的创新性、深刻性。

（根据新课程标准和本班学生实际情况我制定如下的教学目标以及重点、难点） 3、教学重点、难点重点: 理解对数函数定义，掌握其图象及性质。

《对数函数及其性质》说课稿内容选自：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修1 “2.2.2 指数函数及其性质”第一课时从背景分析、教学目标设计、课堂结构设计、教学媒体设计、教学过程设计及教学评价设计六个方面对本节课进行说明。

一、背景分析：1、学习任务分析本节课主要学习对数函数的概念、图像和性质，求对数函数的定义域。

对数函数是学生学习高中数学新教材引进的第二个基本初等函数，是学生学习指数函数和对数的运算后学习，本节课通过实际问题，引入对数函数，学生利用学习指数的方法来探索和研究对数函数的图像，性质，体会数形结合概括归纳的数学思想和方法，发展学生的数学思维能力。

对数函数是本章一类重要函数，蕴含着很重要的数学思想。

根据课程标准我将本节课的重点确定为对数函数的概念、图像性质。

2、学情分析学生的基础较好，大多数学生的动手能力较好，因此可以通过描点，让学生动手画图像，观察图像的特征，进一步理解性质，因此我将本课的难点确定为：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括对数函数的性质。

二、教学目标设计:《课程标准》指出本节课的学习目标是：通过具体实例理解对数函数的概念，能借助计算机或计算器画出具体对数函数的图像，探索并理解对数函数的性质。

所以本节课的教学目标为：1、知识目标：理解指数函数的定义，掌握对数函数的图性质及其简单应用。

2、能力目标：通过教学培养学生观察问题、分析问题的能力，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力。

3、情感目标：通过学习，使学生学会认识事物的特殊与一般性之间的关系，构建和谐的课堂氛围，培养学生勇于提问，善于探索的思维品质。

三、课堂结构设计：创设情景，形成概念（约需6分钟）四、教学媒体设计：根据本节课的教学任务，和学生学习的需要，教学媒体设计如下：教师利用多媒体准备的素材①对数函数的图像②例题和习题③与本节课相关的结论设计意图：利用电脑，演示作图过程及图像的变化的动态过程，例题和习题，从而使学生直接的接受并提高学生的学习兴趣和积极性，很好地突破难点和提高教学效率，从而增大教学的容量和直观性、准确性。

《对数函数及其性质》教学设计一、教材分析本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学（必修一）》（人教A版），教学内容为“2.2.2 对数函数及其性质”（第一课时），主要内容是学习对数函数的定义、图象、性质及初步应用。

这是必修一第二章“基本初等函数（Ⅰ）”中，继研究“指数函数及其性质”后所研究的第二个函数，无论从知识或思想方法的角度对数函数与指数函数都有许多类似之处。

与指数函数相比，对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活，能力要求也更高。

学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提高，也为解决函数综合问题及其在实际上的应用奠定良好的基础。

教学中，一方面利用研究指数函数所获得的经验，按照研究函数的一般方法来研究对数函数，进一步体验研究函数的一般方法；另一方面，加强与指数函数的联系，在知识与知识间的联系中学习新知识，帮助学生形成良好的知识结构，发展理性思维，提高认识能力．二、教学目标结合课程标准的要求，参照教材的安排，考虑到学生已有的认知结构、心理特征，我制定了如下的教学目标：1、知识目标：理解对数函数的概念，掌握对数函数的性质，了解对数函数在生产实际中的简单应用。

2、能力目标：通过学习，使学生掌握对数函数的单调性及其判定，会进行同底数的对数和不同底数的对数的大小比较，加深对对数函数的性质的理解，深化学生对函数图像变化规律的理解。

通过对对数函数的学习，渗透数形结的数学思想，分类讨论等数学思想。

培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力。

3、情感目标：通过教学培养学生数学交流能力和与人合作精神，培养学生用联系的观点分析问题、观察问题，从而解决分析问题的能力。

学会认识事物的特殊与一般性之间的关系，构建和谐的课堂氛围，培养学生勇于提问，善于探索的思维品质。

三、教学重点与难点教学重点：掌握对数函数的图象和性质，教学难点：底数对对数函数值变化的影响．四、学法分析本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，我进行了以下学法指导：(1)类比学习：与指数函数类比学习对数函数的图像与性质．(2)探究定向性学习：学生在教师建立的情境下，通过思考、分析、操作、探索，归纳得出对数函数的图像与性质．五、教学过程设计教学流程：创设情境，引入新课→探究新知，加深理解→讲解例题，强化应用→归纳小结，巩固双基→布置作业，提高升华（一）创设情境，引入新课由于有了之前学习指数函数的基础，学生很容易就可归纳总结出函数的特征：含有对数符号，底数是常数，真数是变量，从而得出对数函数的定义：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．可以让学生观察解析式的特点并可归纳总结出三条：1、对数符号前系数为1；2、底数是不为0的正常数；3、真数是一个自变量x 的形式。

2.2.2 对数函数及其性质（2）从容说课研究对数函数需从研究函数的一般规律入手.本节课起承上启下的作用，侧重于研究对数函数的单调性、奇偶性.对于比较大小的问题，一般常用方法有：底相同，真数不同的，可看作同一对数函数上的几个函数值，用对数函数的单调性比较大小；底相同，指数不同的，可看作同一指数函数上的几个函数值，用指数函数的单调性比较大小；底数不同，真数相同的几个数，可通过图象比较大小，也可通过换底公式比较大小；底不相同，真数也不相同的几个数，可通过特殊值来比较大小，常用的特殊值是“0”或“1”.对于对数函数奇偶性的判定不能仅从形式上去观察而得出结论，应从定义上严格加以论证，这类问题技巧性较强.对数函数的单调性需严格按定义来加以论证.三维目标一、知识与技能1.掌握对数函数的单调性.2.会进行同底数对数和不同底数的对数的大小比较.二、过程与方法1.通过师生双边活动使学生掌握比较同底对数大小的方法.2.培养学生的数学应用的意识.三、情感态度与价值观1.用联系的观点分析、解决问题.2.认识事物之间的相互转化.教学重点利用对数函数单调性比较同底对数大小.教学难点不同底数的对数比较大小.教具准备投影、作业讲义.教学过程一、创设情景，引入新课上一节，大家学习了对数函数y=log a x的图象和性质，明确了对数函数的单调性，即当a＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a＜1时，在（0，+∞）上是减函数.这一节，我们主要通过对数函数的单调性解决有关问题.二、讲解新课例题讲解【例1】比较下列各组数中两个值的大小：（投影显示）（1）log23.4，log23.8；（2）log0.51.8，log0.52.1；（3）log a5.1，log a5.9；（4）log75，log67.请同学们回顾一下我们利用指数函数的有关性质比较大小的方法和步骤，并完成以下练习.（生板演前三题，师组织学生进行课堂评价，师生共同讨论完成第四题）解：（1）对数函数y =log 2x 在（0，+∞）上是增函数，且3.4＜3.8.于是log 23.4＜log 23.8.（2）对数函数y =log 0.5x 在（0，+∞）上是减函数，且1.8＜2.1，于是log 0.51.8＞log 0.52.1.（3）当a ＞1时，对数函数y =log a x 在（0，+∞）上是增函数，于是log a 5.1＜log a 5.9； 当0＜a ＜1时，对数函数y =log a x 在（0，+∞）上是减函数，于是log a 5.1＞log a 5.9. 请观察第（4）题，你认为它和其他三题有什么区别？两个对数式的底数和真数均不相同.能否找到一个具体的对数函数，根据这个函数的单调性来比较它们的大小呢？……这种困惑同学们以前遇到过吗？以前我们是怎样解决这类问题的呢？解：因为函数y =log 7x 和函数y =log 6x 都是定义域上的增函数，所以log 75＜log 77=1=log 66＜log 67.所以log 75＜log 67.本例是利用对数函数的单调性来比较两个对数式的大小的问题，一般是根据所给对数式的特征，确定一个目标函数，把需要比较大小的对数式看作是对应函数中两个能比较大小的自变量的值对应的函数值，再根据所确定的目标函数的单调性比较两个对数式的大小.当底数为变量时，要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小.若题中所给的对数式的底数和真数都不相同时，可以找一个中间量作为桥梁，通过比较中间量与这两个对数式的大小来比较对数式的大小，一般选择“0”或“1”作为中间量进行比较.已知log m 4＜log n 4，比较m 、n 的大小.该题和我们以前见到的题目有什么不同？已知对数式的大小关系，要求我们确定底数的大小关系.你能解决这个问题吗？……你能解决与这个问题有关的一个问题吗？若变量在真数位置上，我就可以解决这个问题了.你能设法对原式进行变换使变量在真数位置上吗？……你最希望已知条件的不等式两边的对数式变成怎样的形式？log 4m 和log 4n .如果能找到log 4m 和log m 4的关系，这个问题就可以了，请回顾一下对数的运算法则，你能找到log 4m 和log m 4的关系吗？结论：log m 4=m4log 1. 有了这个关系，题中已知条件就变为m4log 1＜n 4log 1，你能据此确定m 、n 的大小关系吗？已知条件对于m 、n 有什么限制吗？由已知可得m 、n 都大于0，且都不等于1. 在这个条件的限制下，你能由条件m4log 1＜n 4log 1确定m 、n 的大小关系吗？将条件m4log 1＜n 4log 1进行怎样的变换才能确定m 、n 的大小关系呢？ 将两边同乘以log 4m ·log 4n 即可.能直接乘以log 4m ·log 4n 吗？乘以log 4m ·log 4n 之后原式中的不等号方向如何变化？解：∵log m 4＜log n 4，∴m4log 1＜n 4log 1. 当m ＞1，n ＞1时，得0＜m4log 1＜n 4log 1， ∴log 4n ＜log 4m .∴m ＞n ＞1. 当0＜m ＜1，0＜n ＜1时，得m 4log 1＜n 4log 1＜0， ∴log 4n ＜log 4m .∴0＜n ＜m ＜1.当0＜m ＜1，n ＞1时，得log 4m ＜0，0＜log 4n ，∴0＜m ＜1，n ＞1.∴0＜m ＜1＜n .综上所述，m 、n 的大小关系为m ＞n ＞1或0＜n ＜m ＜1或0＜m ＜1＜n .【例2】 判断函数f （x ）=ln （21x +－x ）的奇偶性.你觉得要解决这个问题需要掌握哪些知识？即函数单调性的定义以及运用函数的单调性判断函数单调性的方法和步骤以及对数的定义.如何运用这些知识解决这个问题呢？至此，你能解决这个问题吗？ 解：∵12+x ＞x 恒成立，故f （x ）的定义域为（－∞，+∞），又∵f （－x ）=ln （21x ++x ）=－ln x x ++211=－ln 2222)1(1x x xx -+-+=－ln （21x +－x ）=－f （x ），∴f （x ）为奇函数.在根据函数的单调性的定义判断函数单调性的时候，首先应该根据函数的解析式确定函数的定义域，当所给函数的定义域关于原点对称时，再判断f （x ）和f （－x ）之间的关系.f （x ）为奇函数⇔f （－x ）=－f （x ）⇔f （x ）+f （－x ）=0⇔)()(x f x f -=－1〔f （x ）≠0〕，f （x ）为偶函数⇔f （－x ）=f （x ）⇔f （－x ）－f （x ）=0⇔)()(x f x f -=1〔f （x ）≠0〕. 在解决具体问题时，可以根据函数解析式的具体特点选择不同的方式来判断.你能够用这些等价的变形再次研究例3吗？看一看哪一种方法最好.【例3】（1）证明函数f （x ）=log 2（x 2+1）在（0，+∞）上是增函数；（2）问：函数f （x ）=log 2（x 2+1）在（－∞，0）上是减函数还是增函数？分析：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对数函数单调性比较同底数对数大小的方法.（1）证明：设x 1、x 2∈（0，+∞），且x 1＜x 2，则f （x 1）－f （x 2）=log 2（x 12+1）－log 2（x 22+1），∵0＜x 1＜x 2，∴x 12+1＜x 22+1.又∵y =log 2x 在（0，+∞）上是增函数，∴log 2（x 12+1）＜log 2（x 22+1），即f （x 1）＜f （x 2）.∴函数f （x ）=log 2（x 2+1）在（0，+∞）上是增函数.（2）解：是减函数，证明可以仿照上述证明过程.利用定义证明函数的单调性是研究单调性问题的重要方法.【例4】 已知f （log a x ）=)1()1(22--a x x a ，其中a ＞0，且a ≠1.（1）求f （x ）；（2）求证：f （x ）是奇函数；（3）求证：f （x ）在R 上为增函数.分析：利用换元法，可令t =log a x ，求出f （x ），从而求出f （x ）.证明奇函数及增函数可运用定义.（1）解：设t =log a x ，则t ∈R ，∴x =a t （x ＞0）.则f （t ）=)1()1(22--a a a a t t =12-a a （a t －a －t ）. （2）证明：∵f （－x ）=12-a a （a －x －a x ）=－12-a a（a x －a －x）=－f （x ）， ∴f （x ）为奇函数.（3）证明：设x 1、x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f （x 2）－f （x 1）=12-a a ；（a 2x －a －2x ）－（a 1x －a －1x ）］ =12-a a ；（a 2x －a 1x ）+a －1x a －2x （a 2x －a 1x ）］ =12-a a （a 2x －a 1x ）（1+a －1x a －2x ）. 若0＜a ＜1，则a 2－1＜0，a 1x ＞a 2x ， ∴f （x 2）＞f （x 1）.∴y =f （x ）在R 上为增函数；若a ＞1，则a 2－1＞0，a 1x ＜a 2x . ∴f （x 2）＞f （x 1）.∴y =f （x ）在R 上为增函数.综上，a ＞0，且a ≠1时，y =f （x ）是增函数.二、目标检测课本P85练习3.答案：（1）＜（2）＜（3）＞（4）＞三、课堂小结通过本节的学习，大家要掌握利用对数函数的增减性比较两对数大小的方法，并能掌握分类讨论思想.四、布置作业课本P88习题2.2B第2，3题.板书设计2.2.2 对数函数及其性质（2）1.对数函数大小比较方法2.复合函数的单调性和奇偶性的判断一、例题解析二、学生训练、目标检测题评析三、课堂小结与布置作业。

2.2.2 对数函数及其性质一、教学内容及解析【教材内容】本节课是新课标高中数学必修①中第三章对数函数内容的第二课时，也就是对数函数的入门.对数函数对于学生来说是一个全新的函数模型，学习起来比较困难.而对数函数又是本章的重要内容，在高考中占有一定的分量，它是在指数函数的基础上，对函数类型的拓广，同时在解决一些日常生活问题及科研中起十分重要的作用.通过本节课的学习，可以让学生理解对数函的概念，从而进一步深化对对数模型的认识与理解。

同时，通过对数概念的学习，对培养学生对立统一，相互联系、相互转化的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义.【学情分析】大部分学生学习的自主性较差，主动性不够，学习有依赖性，且学习的信心不足，对数学存在或多或少的恐惧感.通过对指数函与指数函数的学习，学生已多次体会了对立统一、相互联系、相互转化的思想，并且探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼.因此，学生已具备了探索发现研究对数函数定义的认识基础，故应通过指导，教会学生独立思考、大胆探索和灵活运用类比、转化、归纳等数学思想的学习方法.第1页共20 页【设计思路】学生是教学的主体,本节课要给学生提供各种参与机会.为了调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动.本节课我利用多媒体辅助教学,教学中我引导学生从实例出发，从中认识对数的模型，体会引入对数的必要性.在教学重难点上，步步设问、启发学生的思维,通过课堂练习、探究活动,学生讨论的方式来加深理解,很好地突破难点和提高教学效率.让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权.二、教学目标及其解析【知识目标定位】1、理解对数函数的概念,了解对数函数与指数函数的关系；理解对数函数的性质。

2、通过对数函数的学习，树立相互联系，相互转化的观点，渗透数形结合，分类讨论的思想． .3、通过学生分组探究进行活动，掌握对数函数的重要性质。

通过做练习，使学生感受到理论与实践的统一.4、培养学生的类比、分析、归纳能力，严谨的思维品质以及在学习过程中培养学生探究的意识.【知识目标解析】理解对数函数的概念，以及将对数函数与指数函数进行互相转换。